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专题08 坐标系与一次函数
【考情预测】
坐标系与函数是初中函数最基础的部分，其中一次函数是中考非常重要的函数，年年考查，总分值为12分左右，预计2023年浙江各地中考一定还会考，一般小题的形式考察一次函数的图象及性质，大题主要以应用题或一次函数与几何图形综合。.
【考点梳理】
1．有序数对：（1）有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对．平面直角坐标系中的点和有序实数对是一一对应的．（2）经一点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标和纵坐标．有序实数对（a，b）叫做点P的坐标．
2．点的坐标特征
第一象限：a>0，b>0；第二象限：a<0，b>0；第三象限：a<0，b<0；第四象限：a>0，b<0；
原点：a=0，b=0 x轴上：b=0 y轴上：a=0
3．轴对称：（1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标（x，-y）；（2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标（-x，y）．
4．中心对称
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P'（-x，-y）．
5．图形在坐标系中的平移
图形（点）的平移与坐标变化
（1）点P（x，y）向右平移a个单位，其坐标变为P′（x+a，y）；
（2）点P（x，y）向左平移a个单位，其坐标变为P′（x-a，y）；
（3）点P（x，y）向上平移b个单位，其坐标变为P′（x，y+b）；
（4）点P（x，y）向下平移b个单位，其坐标变为P′（x，y-b）．
6．函数
（1）函数的定义:一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．
（2）函数解析式及函数值
函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式．
函数值：对于自变量x在取值范围内的某个确定的值a，函数y所对应的值为b，即当x=a，y=b时，b叫做自变量x的值为a时的函数值．
（3）函数的表示方法
函数的表示方法一般有三种：解析式法、列表法和图象法，表示函数关系时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为了全面地认识问题，需要几种方法同时使用．
7、一次函数
1）正比例函数的概念：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫正比例函数，其中k叫正比例系数．
2）一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数.
特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时， y叫做x的正比例函数．
8、一次函数的图象及性质
1）一次函数的图象特征与性质
函数 字母取值 图象 经过的象限 函数性质
y=kx+b(k≠0) k>0，b>0 一、二、三 y随x的增大而增大
k>0，b<0 一、三、四
k>0，b=0 一、三
y=kx+b(k≠0) k<0，b>0 一、二、四 y随x的增大而减小
k<0，b<0 二、三、四
k<0，b=0 二、四
2）k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系
在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=- ，即直线y=kx+b与x轴交于（–，0）．
①当–>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．
②当–=0，即b=0时，直线经过原点．③当–<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．
3）两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：
①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行； ②当k1=k2，b1=b2，两直线重合；
③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；④当k1·k2=–1时，两直线垂直．
4）一次函数的平移法则：左加右减，上加下减。
9、一次函数与方程（组）、不等式
1）一次函数与一元一次方程
任何一个一元一次方程都可以转化为kx+b=0(k，b为常数，且k≠0)的形式．
从函数的角度来看，解这个方程就是寻求自变量为何值时函数值为0；从函数图象的角度考虑，解这个方程就是确定直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标．
2）一次函数与一元一次不等式
任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b为常数，且a≠0）的形式．
从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件．
3）一次函数与二元一次方程组
一般地，二元一次方程mx+ny=p（m，n，p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）的形式．因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线．进一步可知，一个二元一次方程对应两个一次函数，因而也对应两条直线．
从数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标．
10、一次函数图象与图形面积
解决这类问题的关键是根据一次函数解析式求出一次函数图象与坐标轴的交点的坐标，或两条直线的交点坐标，进而将点的坐标转化成三角形的边长，或者三角形的高．如果围成的三角形没有边在坐标轴上或者与坐标轴平行，可以采用“割”或“补”的方法．
11、一次函数的实际应用
1）主要题型 （1）求相应的一次函数表达式；（2）结合一次函数图象求相关量、实际问题的最值等．
2）用一次函数解决实际问题的一般步骤为：（1）设定实际问题中的自变量与因变量；（2）通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式；（3）确定自变量的取值范围；（4）利用函数性质解决问题；（5）检验所求解是否符合实际意义；（6）答．
3）方案最值问题：
对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过列不等式，求解出某一个事物的取值范围，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出有多少种方案．
【重难点突破】
考点1. 坐标的确定
【解题技巧】确定点在坐标平面内的位置，关键是根据不同象限中点的坐标特征去判断，据题中的已知条件，判断横坐标、纵坐标是大于0，等于0，还是小于0，就可以确定点在坐标平面内的位置．
【典例精析】
例1．（2022·浙江台州·中考真题）如图是战机在空中展示的轴对称队形．以飞机B，C所在直线为x轴、队形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．若飞机E的坐标为(40，a)，则飞机D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用关于y轴对称，纵坐标相同，横坐标互为相反数，进而得出答案．
【详解】解：根据题意，点E与点D关于y轴对称，
∵飞机E的坐标为(40，a)，∴飞机D的坐标为(-40，a)，故选：B．
【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
例2．（2020·山东威海·中考真题）如图①，某广场地面是用．．三种类型地砖平铺而成的，三种类型地砖上表面图案如图②所示，现用有序数对表示每一块地砖的位置：第一行的第一块（型）地砖记作，第二块（型）地时记作…若位置恰好为型地砖，则正整数，须满足的条是__________．
【答案】m、n同为奇数或m、n同为偶数
【分析】几何图形，观察A型地砖的位置得到当列数为奇数时，行数也为奇数，当列数为偶数，行数也为偶数的，从而得到m、n满足的条件．
【解析】解：观察图形，A型地砖在列数为奇数，行数也为奇数的位置上或列数为偶数，行数也为偶数的位置上，若用（m，n）位置恰好为A型地砖，正整数m，n须满足的条件为m、n同为奇数或m、n同为偶数，故答案为：m、n同为奇数或m、n同为偶数．
【点睛】本题考查了坐标表示位置：通过类比点的坐标考查解决实际问题的能力和阅读理解能力．分析图形，寻找规律是关键．
【变式训练】
变式1．（2021·贵州遵义·中考真题）数经历了从自然数到有理数，到实数，再到复数的发展过程，数学中把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，用z＝a+bi表示，任何一个复数z＝a+bi在平面直角坐标系中都可以用有序数对Z（a，b）表示，如：z＝1+2i表示为Z（1，2），则z＝2﹣i可表示为（ ）
A．Z（2，0） B．Z（2，﹣1） C．Z（2，1） D．（﹣1，2）
【答案】B
【分析】根据题中的新定义解答即可．
【详解】解：由题意，得z＝2 i可表示为Z（2， 1）．故选：B．
【点睛】本题考查了点的坐标，弄清题中的新定义是解本题的关键．
变式2．（2022·浙江·一模）某雷达探测目标得到的结果如图所示，若记图中目标的位置为（3，30°），目标的位置为（2，180°），目标的位置为（4，240°），则图中目标的位置可记为_____．
【答案】（5，120°）．
【分析】根据坐标的意义，第一个数表示距离，第二个数表示度数，根据图形写出即可．
【详解】由图可知，图中目标的位置可记为（5，120°）．故答案为（5，120°）．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，读懂题目信息，理解位置坐标的实际意义是解题的关键．
变式3．（2023·浙江·二模）下图是利用平面直角坐标系画出的首钢园中部分场馆建筑的分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向，表示群明湖的点的坐标为，表示冰壶馆的点的坐标为，则表示下列场馆建筑的点的坐标正确的是（ ）
A．滑雪大跳台 B．五一剧场 C．冬奥组委会 D．全民畅读艺术书店
【答案】A
【分析】以群明湖的位置向右2个单位，为坐标原点建立平面直角坐标系，然后写出各建筑点的坐标，从而得解．
【详解】解：∵群明湖的点的坐标为，表示冰壶馆的点的坐标为，
则建立平面直角坐标系如图所示，
∴滑雪大跳台，五一剧场，冬奥组委会，全民畅读艺术书店，
故A正确，B、C、D错误；故选：A．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，解题的关键就是确定坐标原点和x，y轴的位置及方向．
考点2. 点的坐标特征
【解题技巧】
1．象限角平分线上的点的坐标特征：（1）第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数；（2）平行于x轴（或垂直于y轴）的直线上的点的纵坐标相等，平行于y轴（或垂直于x轴）的直线上的点的横坐标相等．
2．点P（x，y）到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|，到坐标原点的距离为．
【典例精析】
例1．（2022·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，点P(﹣3，a2+1)所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【详解】∵a2 0，∴a2+1 1，∴点P( 3,a2+1)所在的象限是第二象限．故选B.
例2．（2021·青海西宁·中考真题）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，若轴，且，则点B的坐标是________．
【答案】或
【分析】由题意，设点B的坐标为(-2，y)，则由AB=9可得，解方程即可求得y的值，从而可得点B的坐标．
【详解】∵轴∴设点B的坐标为(-2，y) ∵AB=9∴解得：y=8或y=－10
∴点B的坐标为或故答案为：或
【点睛】本题考查了平面直角坐标系求点的坐标，解含绝对值方程，关键是抓住平行于坐标轴的线段长度只与两点的横坐标或纵坐标有关，易错点则是考虑不周，忽略其中一种情况．
例3．（2022·浙江金华·中考真题）如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是，下列各地点中，离原点最近的是（ ）
A．超市 B．医院 C．体育场 D．学校
【答案】A
【分析】根据学校和体育场的坐标建立直角坐标系，利用勾股定理求出各点到原点的距离，由此得到答案．
【详解】解：根据学校和体育场的坐标建立直角坐标系，超市到原点的距离为，
医院到原点的距离为，学校到原点的距离为，
体育场到原点的距离为，故选：A．
【点睛】此题考查了根据点坐标确定原点，勾股定理，正确理解点坐标得到原点的位置及正确展望勾股定理的计算是解题的关键．
【变式训练】
变式1．（2023·广西·中考模拟）在平面直角坐标系中，有，两点，若轴，则A，B两点间的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据，则两点的纵坐标相等，求得,利用横坐标之差即可求解．
【详解】，
A，B两点间的距离为：．故选A．
【点睛】本题考查了平面内点的位置的确定，平行于坐标轴的点的特点，两点之间的距离，理解平行于坐标轴的线段上点的特点是解题关键．
变式2．（2022·四川广安·中考真题）若点P（m+1，m）在第四象限，则点Q（﹣3，m+2）在第________象限．
【答案】二
【分析】根据点P（m+1，m）在第四象限，可得到，从而得到，即可求解．
【详解】解：∵点P（m+1，m）在第四象限，
∴，解得：，∴，
∴点Q（﹣3，m+2）在第二象限．故答案为：二
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，熟练掌握四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）是解题的关键．
变式3．（2022·江苏江都·二模）如果点P（x，y）的坐标满足x+y=xy，那么称点P为“和谐点”，若某个“和谐点“P到x轴的距离为2，则P点的坐标为______．
【答案】（2，2）或（，-2）
【分析】设P点的坐标为（x，y），由“和谐点“P到x轴的距离为2得出|y|=2，将y=2或-2分别代入x+y=xy，求出x的值即可．
【详解】设P点的坐标为（x，y），∵“和谐点“P到x轴的距离为2，∴|y|=2，∴y=±2．
将y=2代入x+y=xy，得x+2=2x，解得x=2，∴P点的坐标为（2，2）；
将y=-2代入x+y=xy，得x-2=-2x，解得x=，∴P点的坐标为（，-2）．
综上所述，所求P点的坐标为（2，2）或（，-2）．故答案为（2，2）或（，-2）．
【点睛】本题考查了点的坐标，新定义，得出P点的纵坐标为2或-2是解题的关键．
表达4．（2022·广东香洲·二模）在平面直角坐标系中，点在轴上，则的值是____．
【答案】1
【分析】根据y轴上的点的横坐标为0列出方程求解得到a的值，即可得解．
【详解】解：∵点在y轴上，∴a-1=0，解得：a=1，故答案为：1．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记x轴上的点纵坐标为0是解题的关键．
考点3. 对称点的特征
【解题技巧】一般地，点P与点P1关于x轴对称，则横坐标相同，纵坐标互为相反数；点P与点P2关于y轴对称，则纵坐标相同，横坐标互为相反数，点P与点P3关于原点对称，则横、纵坐标分别互为相反数，简单记为“关于谁谁不变，关于原点都改变”．
【典例精析】
例1．（2022·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），则ab的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．12 D．﹣12
【答案】D
【分析】首先根据关于原点对称的点的坐标特点可得，可得a，b的值，再代入求解即可得到答案．
【详解】解： 点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），
，解得： 故选D
【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标都互为相反数．
例2．（2020·黑龙江大庆市·中考真题）点(2，3)关于y轴对称的点的坐标为_____．
【答案】(﹣2，3)
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（-x，y），即关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数．
【详解】点（2，3）关于y轴对称的点的坐标是（﹣2，3），故答案为：（﹣2，3）．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．
【变式训练】
变式1．
变式2．
变式3．
变式1．（2022·湖南长沙·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，即可求解．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是．故选D．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键．
变式2．（2021·湖北荆州市·中考真题）若点关干轴的对称点在第四象限，则的取值范围在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先根据题意求出点关于轴的对称点坐标，根据点在第四象限列方程组，求解即可.
【详解】∵∴点 关于轴的对称点坐标为
∵在第四象限∴ 解得： 故选：C
【点睛】本题考查点关于坐标轴对称点求法，以及根据象限点去判断参数的取值范围，能根据题意找见相关的关系是解题关键．
变式3．（2022 浙江中考模拟）如图，点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于直线1（y＝﹣1）对称，则a+b＝ ．
【分析】利用轴对称的性质求出等Q的坐标即可．
【解答】解：∵点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于直线1（y＝﹣1）对称，
∴a＝﹣2，b＝﹣3，∴a+b＝﹣2﹣3＝﹣5，故答案为﹣5．
考点4.坐标系中的平移、旋转与对称
【解题技巧】
图形的旋转性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
③旋转前、后的图形全等；④图形的旋转是由旋转中心和旋转的角度和方向决定．
图形的平移性质：①平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动；②连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等．
【典例精析】
例1．（2022·广东·中考真题）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位后，得到的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把点的横坐标加2，纵坐标不变，得到，就是平移后的对应点的坐标．
【详解】解：点向右平移2个单位长度后得到的点的坐标为．故选A．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移．掌握平移的规律是解答本题的关键．
例2．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点P(0，2)，点A(4，2)．以点P为旋转中心，把点A按逆时针方向旋转60°，得点B．在，，，四个点中，直线PB经过的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可得B（2，2+2），利用待定系数法可得直线PB的解析式，依次将M1，M2，M3，M4四个点的一个坐标代入y=x+2中可解答．
【详解】解：∵点A（4，2），点P（0，2），
∴PA⊥y轴，PA=4，由旋转得：∠APB=60°，AP=PB=4，如图，过点B作BC⊥y轴于C，
∴∠BPC=30°，∴BC=2，PC=2，∴B（2，2+2），设直线PB的解析式为：y=kx+b，
则，∴，∴直线PB的解析式为：y=x+2，
当y=0时，x+2=0，x=-，∴点M1（-，0）不在直线PB上，
当x=-时，y=-3+2=1，∴M2（-，-1）在直线PB上，
当x=1时，y=+2，∴M3（1，4）不在直线PB上，
当x=2时，y=2+2，∴M4（2，）不在直线PB上．故选：B．
【点睛】本题考查的是图形旋转变换，待定系数法求一次函数的解析式，确定点B的坐标是解本题的关键．
【变式训练】
变式1．（2020·柳州市中考真题）点A的坐标是（2，﹣3），将点A向上平移4个单位长度得到点A'，则点A'的坐标为_____．
【答案】（2，1）．
【分析】将点A的纵坐标加4，横坐标不变，即可得出点A′的坐标．
【详解】解：将点A（2，﹣3）向上平移4个单位得到点A′，
则点A′的坐标是（2，﹣3+4），即（2，1）．故答案为（2，1）．
【点睛】本题考查坐标与图形变化-平移，掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．
变式2．（2022·辽宁大连·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，将线段向右平移4个单位长度，得到线段，点A的对应点C的坐标是_______．
【答案】
【分析】由将线段向右平移4个单位长度，可得点A向右边平移了4个单位与C对应，再利用“右移加”即可得到答案．
【详解】解：∵将线段向右平移4个单位长度，∴点A向右边平移了4个单位与C对应，
∴ 即 故答案为：
【点睛】本题考查的是平移的坐标变化规律，熟记“右移加，左移减，上移加，下移减”是解本题关键．
变式3．（2020 泰安中考真题）如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C的坐标分别为A（0，3），B（﹣1，1），C（3，1）．△A'B'C′是△ABC关于x轴的对称图形，将△A'B'C'绕点B'逆时针旋转180°，点A'的对应点为M，则点M的坐标为 ．
【分析】延长A'B'后得出点M，进而利用图中坐标解答即可．
【解答】解：将△A'B'C'绕点B'逆时针旋转180°，如图所示：
所以点M的坐标为（﹣2，1），故答案为：（﹣2，1）．
考点5. 图形中的坐标问题
【解题技巧】
图形的旋转性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
③旋转前、后的图形全等；④图形的旋转是由旋转中心和旋转的角度和方向决定．
图形的平移性质：①平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动；②连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等．
【典例精析】
例1．（2022·青海·中考真题）如图所示，，，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求得OA的长，从而求出OC的长即可．
【详解】解：∵，∴OA=，
∵，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，
∴，∴，
∵点C为x轴负半轴上的点，∴C，故选：C．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，勾股定理等知识，明确AB=AC是解题的关键．
例2．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点，过点作交轴于点，过点作轴交于点，过点作交轴于点，过点作轴交于点…，按照如此规律操作下去，则点的纵坐标是______．
【答案】
【分析】先根据30°的特殊直角三角形，如，，，求出B点，B1点的纵坐标，发现规律，即可
【详解】∵当时， 当时，
故，∴为30°的直角三角形∴
∵∴为30°的直角三角形∴
∴为30°的直角三角形
∵轴 ∴ ∴
为30°的直角三角形
同理： …
故： 故答案为：
【点睛】本题考查30°的特殊直角三角形；注意只用求点的纵坐标，即长度
【变式训练】
变式1．（2022·天津·中考真题）如图，△OAB的顶点O(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB=6，OA=OB=5，则点A的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用HL证明△ACO≌△BCO，利用勾股定理得到OC=4，即可求解．
【详解】解：∵AB⊥x轴，∴∠ACO=∠BCO=90°，
∵OA=OB，OC=OC，∴△ACO≌△BCO(HL)，∴AC=BC=AB=3，
∵OA=5，∴OC=4，∴点A的坐标是（4，3），故选：D．
【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
变式2．（2022·浙江丽水·中考真题）三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B点的坐标是，则A点的坐标是___________．
【答案】
【分析】如图，延长正六边形的边BM与x轴交于点E，过A作轴于N，连接AO，BO，证明可得三点共线，可得关于O对称，从而可得答案．
【详解】解：如图，延长正六边形的边BM与x轴交于点E，过A作轴于N，连接AO，BO，
三个正六边形，O为原点，
同理：
三点共线，关于O对称， 故答案为：
【点睛】本题考查的是坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，关于原点成中心对称的两个点的坐标特点，正多边形的性质，熟练的应用正多边形的性质解题是解本题的关键．
变式3.（2022·浙江金东·一模）如图，动点P从(0，3)出发，沿所示的方向运动，每当碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2021次碰到矩形的边时，点P的坐标为_____．
【答案】（1，4）
【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2021除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．
【详解】解： 如图，
经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），反射角等于入射角，等于45°，
∵P从(0，3)出发，∴第一次反弹的碰触点为（3,0），第二次反弹的碰触点为（7,4），第三次反弹的碰触点为（8,3），第四次反弹的碰触点为（5,0），第五次反弹的碰触点为（1,4），第六次反弹的碰触点为（0,3），依次循环，∵2021÷6=336…5，∴当点P第2021次碰到矩形的边时为第336个循环组的第5次反弹，点P的坐标为（1，4）．故答案为：（1，4）．
【点睛】本题考查了坐标系坐标的规律问题，正确作出反弹的规律图是解题的关键．
考点6. 函数的相关概念与函数图象问题
【解题技巧】
1．函数图象上的任意点（x，y）中的x，y满足函数解析式．
2．满足函数解析式的任意一对（x，y）的值，所对应的点一定在函数的图象上．
3．利用函数困象可以求方程的解、不等式的解集、方程组的解，还可以预测变量的变化趋势．
【典例精析】
例1.（2022·浙江嘉兴·中考真题）6月13日，某港口的潮水高度y（）和时间x（h）的部分数据及函数图象如下：
x（h） … 11 12 13 14 15 16 17 18 …
y（） … 189 137 103 80 101 133 202 260 …
（数据来自某海洋研究所）
(1)数学活动：①根据表中数据，通过描点、连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图象．
②观察函数图象，当时，y的值为多少？当y的值最大时，x的值为多少？
(2)数学思考：请结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论．(3)数学应用：根据研究，当潮水高度超过260时，货轮能够安全进出该港口．请问当天什么时间段适合货轮进出此港口？
【答案】(1)①见解析；②， (2)①当时，y随x的增大而增大；②当时，y有最小值80 (3)和
【分析】（1）①根据表格数据在函数图像上描点连线即可；②根据函数图像估计即可；（2）从增减性、最值等方面说明即可；（3）根据图像找到y=260时所有的x值，再结合图像判断即可．
(1)①
②观察函数图象：当时，；当y的值最大时，；．
(2)答案不唯一．①当时，y随x的增大而增大；②当时，y有最小值80．
(3)根据图像可得：当潮水高度超过260时和，
【点睛】本题考查函数图像的画法、从函数图像获取信息，准确的画出函数图像是解题的关键．
例2.31．（2022·浙江温州·中考真题）小聪某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为s米，所经过的时间为t分钟，下列选项中的图像，能近似刻画s与t之间关系的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】分别对每段时间的路程与时间的变化情况进行分析，画出路程与时间图像，再与选项对比判断即可．
【详解】解：对各段时间与路程的关系进行分析如下：
从家到凉亭，用时10分种，路程600米，s从0增加到600米，t从0到10分，对应图像为
在凉亭休息10分钟，t从10分到20分，s保持600米不变，对应图像为
从凉亭到公园，用时间10分钟，路程600米，t从20分到30分，s从600米增加到1200米，对应图像为
故选：A．
【点睛】本题考查一次折线图像与实际结合的问题，注意正确理解每段时间与路程的变化情况是解题关键．
【变式训练】
变式1．（2022·贵州遵义·中考真题）遵义市某天的气温（单位：℃）随时间（单位：）的变化如图所示，设表示0时到时气温的值的极差（即0时到时范围气温的最大值与最小值的差），则与的函数图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据函数图象逐段分析，进而即可求解．
【详解】解：∵根据函数图象可知，从0时至5时，先变大，从5到10时，的值不发生变化 大概12时后变大，从14到24时，不变，
∴的变化规律是，先变大，然后一段时间不变又变大，最后不发生变化，
反映到函数图象上是先升，然后一段平行于的线段，再升，最后不变 故选A
【点睛】本题考查了函数图象，极差，理解题意是解题的关键．
变式2．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图①所示（图中各角均为直角)，动点Р从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动，△AFP的面积y随点Р运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如图②所示，下列说法正确的是（ ）
A．AF=5 B．AB=4 C．DE=3 D．EF=8
【答案】B
【分析】路线为A→B→C→D→E，将每段路线在坐标系中对应清楚即可得出结论．
【详解】解：坐标系中对应点运动到B点
B选项正确 即：解得：A选项错误
12~16s对应的DE段 C选项错误
6~12s对应的CD段 D选项错误故选：B．
【点睛】本题考查动点问题和坐标系，将坐标系中的图象与点的运动过程对应是本题的解题关键．
变式3．（2022·贵州·中考真题）现代物流的高速发展，为乡村振兴提供了良好条件，某物流公司的汽车行驶后进入高速路，在高速路上匀速行驶一段时间后，再在乡村道路上行驶到达目的地．汽车行驶的时间x（单位：h）与行驶的路程y（单位：）之间的关系如图所示，请结合图象，判断以下说法正确的是（ ）
A．汽车在高速路上行驶了 B．汽车在高速路上行驶的路程是
C．汽车在高速路上行驶的平均速度是 D．汽车在乡村道路上行驶的平均速度是
【答案】D
【分析】观察图象可得汽车在高速路上行驶了3.5-0.5-1=2h；汽车在高速路上行驶的路程是180-30=150km；汽车在高速路上行驶的平均速度是150÷2=75km/h；汽车在乡村道路上行驶的平均速度是（220-180）÷1=40km/h，即可求解．
【详解】解：A、根据题意得：汽车在高速路上行驶了3.5-0.5-1=2h，故本选项错误，不符合题意；
B、汽车在高速路上行驶的路程是180-30=150km，故本选项错误，不符合题意；
C、汽车在高速路上行驶的平均速度是150÷2=75km/h，故本选项错误，不符合题意；
D、汽车在乡村道路上行驶的平均速度是（220-180）÷1=40km/h，故本选项正确，符合题意；选：D
【点睛】本题主要考查了函数图象的动点问题，明确题意，准确从函数图象获取信息是解题的关键．
考点7. 一次函数（正比例函数）的相关概念
【解题技巧】
1．正比例函数是特殊的一次函数．
2．正比例函数解析式y=kx（k≠0）的结构特征：①k≠0；②x的次数是1．
【典例精析】
例1.（2022·河北·一模）有一个装有水的容器，如图所示．容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系
【答案】B
【分析】设水面高度为 注水时间为分钟，根据题意写出与的函数关系式，从而可得答案．
【详解】解：设水面高度为 注水时间为分钟，则由题意得：
所以容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系，故选B．
【点睛】本题考查的是列函数关系式，判断两个变量之间的函数关系，掌握以上知识是解题的关键．
例2.（2022·江苏南京·一模）定义：点A（x，y）为平面直角坐标系内的点，若满足x＝y，则把点A叫做“平衡点”，例如：M（1，1），N（﹣2，﹣2）都是“平衡点”，当﹣1≤x≤3时，直线y＝2x+m上有“平衡点”，则m的取值范围是_____．
【答案】﹣3≤m≤1
【分析】根据x＝y， 1≤x≤3可得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【详解】∵x＝y，∴x＝2x+m，即x＝﹣m．∵﹣1≤x≤3，∴﹣1≤﹣m≤3，∴﹣3≤m≤1．故答案为：﹣3≤m≤1
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据题意得出关于m的不等式是解答此题的关键．
【变式训练】
变式1．（2022·广东广州·中考真题）点在正比例函数（）的图象上，则的值为（ ）
A．-15 B．15 C． D．
【答案】D
【分析】直接把已知点代入，即可求出k的值．
【详解】解：∵点在正比例函数的图象上，∴，∴，故选：D．
【点睛】此题考查了用待定系数法求正比例函数的解析式，解题关键是正确得出k的值．
变式2．（2022·广西梧州·中考真题）在平面直角坐标系中，请写出直线上的一个点的坐标________．
【答案】（0，0）（答案不唯一）
【分析】根据正比例函数一定经过原点进行求解即可．
【详解】解：当x=0时，y=0，∴直线y=2x上的一个点的坐标为（0，0），
故答案为：（0，0）（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了正比例函数图象的性质，熟知其性质是解题的关键．
变式3．（2022·上海·中考真题）已知f（x）=3x，则f（1）=_____．
【答案】3
【分析】直接代入求值即可．
【详解】解：∵f（x）=3x，∴f（1）=3×1=3，故答案为：3
【点睛】本题主要考查了求函数值，直接把自变量的值代入即可．
考点8. 一次函数的图象及性质
【解题技巧】
1．通常画正比例函数y=kx（k≠0）的图象时只需取一点（1，k），然后过原点和这一点画直线．
2．当k>0时，函数y=kx（k≠0）的图象从左向右，呈上升趋势；当k<0时，函数y=kx（k≠0）的图象从左向右，呈下降趋势．
3．正比例函数y=kx中，|k|越大，直线y=kx越靠近y轴；|k|越小，直线y=kx越靠近x轴．
4．一次函数图象的位置和函数值y的增减性完全由b和比例系数k的符号决定．
【典例精析】
例1．（2022·四川眉山·中考真题）一次函数的值随的增大而增大，则点所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】据一次函数的性质求出m的范围，再根据每个象限点的坐标特征判断P点所处的象限即可．
【详解】∵一次函数的值随的增大而增大，
∴解得：∴在第二象限故选：B
【点睛】本题考查了一次函数的性质和各个象限坐标特点，能熟记一次函数的性质是解此题的关键．
例2．（2022·湖南邵阳·中考真题）在直角坐标系中，已知点，点是直线上的两点，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】因为直线，所以随着自变量的增大，函数值会减小，根据这点即可得到问题解答．
【详解】解：∵因为直线，∴y随着x的增大而减小，
∵32>，∴∴m【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是正确判断一次函数的增减性并灵活运用．
例3．（2022·浙江绍兴·中考真题）已知为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（ ）．
A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】根据一次函数的性质和各个选项中的条件，可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：∵直线y= 2x+3∴y随x增大而减小，当y=0时，x=1.5
∵(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)为直线y= 2x+3上的三个点，且x1∴若x1x2>0，则x1，x2同号，但不能确定y1y3的正负，故选项A不符合题意；
若x1x3<0，则x1，x3异号，但不能确定y1y2的正负，故选项B不符合题意；
若x2x3>0，则x2，x3同号，但不能确定y1y3的正负，故选项C不符合题意；
若x2x3<0，则x2，x3异号，则x1，x2同时为负，故y1，y2同时为正，故y1y2>0，故选项D符合题意．
选：D．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
【变式训练】
变式1．（2022·贵州遵义·中考真题）若一次函数的函数值随的增大而减小，则值可能是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一次函数的性质可得，即可求解．
【详解】解：∵一次函数的函数值随的增大而减小，∴．解得．故选D．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．
变式2．（2022·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“函数值y随自变量x增大而减小”；乙：“函数图像经过点(0，2)”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数，其表达式是____．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据题意的要求，结合常见的函数，写出函数解析式即可，最好找有代表性的、特殊的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等．
【详解】解：根据题意，甲：“函数值y随自变量x增大而减小”；可设函数为：
又满足乙：“函数图像经过点(0，2)”，则函数关系式为， 故答案为：（答案不唯一）
【点睛】本题考查学生对函数图象的掌握程度与灵活运用的能力，属于开放性题．
变式3．（2022·四川凉山·中考真题）一次函数y＝3x＋b（b≥0）的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据一次函数的性质可得其经过的象限，进而可得答案．
【详解】解：一次函数，
∵∴图象一定经过一、三象限，∴当时，函数图象一定经过一、二、三象限，
当时，函数图象经过一、三象限，∴函数图象一定不经过第四象限，故D正确．故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，属于基础题型，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
变式4．（2022·辽宁锦州·中考真题）点在一次函数的图像上，当时，，则a的取值范围是____________．
【答案】a＜2
【分析】根据一次函数的性质，建立不等式计算即可．
【详解】∵当时，，∴a-2＜0，∴a＜2，故答案为：a＜2．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
考点9. 用待定系数法确定一次函数的解析式
【解题技巧】
运用待定系数法求一次函数解析式的步骤可简单记为：一设，二代，三解，四回代．
【典例精析】
例1．（2022·江苏·苏州二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交、轴于点、，将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是______．
【答案】
【分析】先根据一次函数求得、坐标，再过作的垂线，构造直角三角形，根据勾股定理和正余弦公式求得的长度，得到点坐标，从而得到直线的函数表达式.
【详解】因为一次函数的图像分别交、轴于点、，则，，则．过作于点，因为，所以由勾股定理得，设，则，根据等面积可得：，即，解得．则，即，所以直线的函数表达式是．
【点睛】本题综合考察了一次函数的求解、勾股定理、正余弦公式，以及根据一次函数的解求一次函数的表达式，要学会通过作辅助线得到特殊三角形，以便求解.
例2．（2022·贵州铜仁·中考真题）在平面直角坐标系内有三点A( 1，4)、B( 3，2)、C(0，6)．(1)求过其中两点的直线的函数表达式（选一种情形作答）；(2)判断A、B、C三点是否在同一直线上，并说明理由．
【答案】(1)直线AB的解析式y=x+5；
(2)点A、B、C三点不在同一条直线上，理由见解析
【分析】（1）根据A、B两点的坐标求得直线AB的解析式；
（2）把C的坐标代入看是否符合解析式即可判定．
(1)解：设A( 1，4)、B( 3，2)两点所在直线解析式为y=kx+b，
∴，解得，∴直线AB的解析式y=x+5；
(2)解：当x=0时，y=0+5≠6，∴点C(0，6)不在直线AB上，即点A、B、C三点不在同一条直线上．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，以及判定是否是直线上的点，掌握一次函数图像上的点的坐标特征是关键．
【变式训练】
变式1．（2021·安徽中考真题）某品牌鞋子的长度ycm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系．若22码鞋子的长度为16cm，44码鞋子的长度为27cm，则38码鞋子的长度为（ ）
A．23cm B．24cm C．25cm D．26cm
【答案】B
【分析】设，分别将和代入求出一次函数解析式，把代入即可求解．
【详解】解：设，分别将和代入可得： ，解得 ，
∴，当时，，故选：B．
【点睛】本题考查一次函数的应用，掌握用待定系数法求解析式是解题的关键．
变式2．（2021·内蒙古·中考真题）在平面直角坐标系中，点，．以为一边在第一象限作正方形，则对角线所在直线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点作轴于点，先证明，再由全等三角形对应边相等的性质解得，最后由待定系数法求解即可．
【详解】解：正方形中，过点作轴于点，
设直线所在的直线解析式为，代入，得
，故选：A．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，涉及正方形性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
变式3．（2020·江苏南京市·中考真题）将一次函数的图象绕原点逆时针旋转，所得到的图像对应的函数表达式是__________．
【答案】
【分析】根据原一次函数与x,y轴的交点坐标，并求出旋转后这两点对应的坐标，再由待定系数法求解一次方程的表达式即可.
【详解】∵一次函数的解析式为，∴设与x轴、y轴的交点坐标为、，
∵一次函数的图象绕原点逆时针旋转，
∴旋转后得到的图象与原图象垂直，旋转后的点为、，
令，代入点得，，∴旋转后一次函数解析式为．
故答案为．
【点睛】本题考查了一次函数图像与几何变换，正确把握互相垂直的两直线的位置关系是解题的关键．
考点10. 一次函数与一元一次方程（不等式）
【解题技巧】
1．方程ax+b=k（a≠0）的解 函数y=ax+b（a≠0）中，y=k时x的值.
2．方程ax+b=k（a≠0）的解 函数y=ax+b（a≠0）的图象与直线y=k的交点的横坐标．
3.一次函数y=ax+b（a≠0）与一元一次不等式ax+b>0（或ax+b<0）的关系：
ax+b>0的解集 y=ax+b中，y>0时x的取值范围，即直线y=ax+b在x轴上方部分图象对应的x的取值范围；
ax+b<0的解集 y=ax+b中，y<0时x的取值范围，即直线y=ax+b在x轴下方部分图象对应的x的取值范围．
【典例精析】
例1．（2022·广西梧州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A，则关于x，y的二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由图象交点坐标可得方程组的解．
【详解】解：由图象可得直线与直线相交于点A（1，3），
∴关于x，y的二元一次方程组的解是．故选：B．
【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程关系，解题关键是理解直线交点坐标中x与y的值为方程组的解．
例2．（2022·湖北鄂州·中考真题）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y＝x都经过点A（3，1），当kx+b＜x时，x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x＜3 C．x＜1 D．x＞1
【答案】A
【分析】据不等式kx+b＜x的解集即为一次函数图象在正比例函数图象下方的自变量的取值范围求解即可
【详解】解：由函数图象可知不等式kx+b＜x的解集即为一次函数图象在正比例函数图象下方的自变量的取值范围，∴当kx+b＜x时，x的取值范围是，故选A．
【点睛】本题主要考查了根据两直线的交点求不等式的解集，利用图象法解不等式是解题的关键．
例3．（2022·江苏泰州·中考真题）一次函数的图像经过点(1，0)．当y>0时，x的取值范围是__________．
【答案】x<1
【分析】先用待定系数法，求出a的值．当y>0时，用含x的代数式表示y，解不等式即可．
【详解】解：把(1，0)代入一次函数，得a+2=0，解得：a=-2，∴，
当y>0时，即，解得：x<1．故答案为：x<1．
【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次不等式，解题的关键是正确列出不等式，算出x的取值范围．
【变式训练】
变式1．（2022·江苏无锡·中考真题）请写出一个函数的表达式，使其图像分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴相交：________．
【答案】
【分析】结合题意，根据一次函数图像的性质分析，即可得到答案．
【详解】函数的图像如下，函数分别于x轴相交于点B、和y轴相交于点A，
当时，，即 当时，，即
∴函数图像分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴相交 故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数图像的性质，从而完成求解．
变式2．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，函数的图像经过点，则关于的不等式的解集为________．
【答案】
【分析】观察一次函数图象，可知当y>3时，x的取值范围是，则的解集亦同．
【详解】由一次函数图象得，当y>3时，，
则y=kx+b>3的解集是．
【点睛】本题考查了一次函数与不等式结合，深入理解函数与不等式的关系是解题的关键．
变式3．（2022·浙江杭州·中考真题）已知一次函数y=3x-1与y=kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2），则方程组的解是_________．
【答案】
【分析】根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解．
【详解】解：∵一次函数y=3x-1与y=kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2），
∴联立y=3x-1与y=kx的方程组的解为：，即的解为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的交点坐标与二元一次方程组的解的关系是解题的关键．
考点11. 一次函数的应用
【解题技巧】
一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值．
【典例精析】
例1．（2022·浙江湖州·中考真题）某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动．大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知大巴行驶的速度是40千米/小时，轿车行驶的速度是60千米/小时．(1)求轿车出发后多少小时追上大巴？此时，两车与学校相距多少千米？(2)如图，图中OB，AB分别表示大巴、轿车离开学校的路程s（千米）与大巴行驶的时间t（小时）的函数关系的图象．试求点B的坐标和AB所在直线的解析式；(3)假设大巴出发a小时后轿车出发追赶，轿车行驶了1.5小时追上大巴，求a的值．
【答案】(1)轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米
(2)点B的坐标是，s＝60t－60(3)小时
【分析】(1)设轿车行驶的时间为x小时，则大巴行驶的时间为小时，根据路程两车行驶的路程相等得到即可求解；(2)由(1)中轿车行驶的时间求出点B的坐标是，进而求出直线AB的解析式；(3)根据大巴车行驶路程与小轿车行驶路程相等即可得到，进而求出a的值
(1)解：设轿车行驶的时间为x小时，则大巴行驶的时间为小时．
根据题意，得:,解得x＝2．则千米，
∴轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米．
(2)解：∵轿车追上大巴时，大巴行驶了3小时，
∴点B的坐标是．由题意，得点A的坐标为．设AB所在直线的解析式为，
则：解得k＝60，b＝－60．∴AB所在直线的解析式为s＝60t－60．
(3)解：由题意，得，解得：，故a的值为小时．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用、待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是读懂题意，明确图像中横坐标与纵坐标代表的含义．
例2．（2021·浙江绍兴市·中考真题）I号无人机从海拔10m处出发，以10m/min的速度匀速上升，II号无人机从海拔30m处同时出发，以a（m/min）的速度匀速上升，经过5min两架无人机位于同一海拔高度b（m）．无人机海拔高度y（m）与时间x（min）的关系如图．两架无人机都上升了15min．
（1）求b的值及II号无人机海拔高度y（m）与时间x（min）的关系式．
（2）问无人机上升了多少时间，I号无人机比II号无人机高28米．
【答案】（1）；（2）无人机上升12min，I号无人机比II号无人机高28米
【分析】（1）直接利用I号无人机从海拔10m处出发，以10m/min的速度匀速上升，求出其5分钟后的高度即可；（2）将I号无人机的高度表达式减去II号无人机高度表达式，令其值为28，求解即可．
【详解】解：（1）．设，
将，代入得：，∴；．
（2）令，解得，满足题意；
无人机上升12min，I号无人机比II号无人机高28米．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，涉及到了求一次函数的表达式，两个一次函数值之间的比较等内容，解决本题的关键是读懂题意，与图形建立关联，能建立高度的表达式等，本题着重于对函数概念的理解与应用，考查了学生的基本功．
【变式训练】
变式1．（2022·天津·中考真题）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
已知学生公寓、阅览室、超市依次在同一条直线上，阅览室离学生公寓，超市离学生公寓，小琪从学生公寓出发，匀速步行了到阅览室；在阅览室停留后，匀速步行了到超市；在超市停留后，匀速骑行了返回学生公寓．给出的图象反映了这个过程中小琪离学生公寓的距离与离开学生公寓的时间之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：(1)填表：
离开学生公寓的时间/ 5 8 50 87 112
离学生公寓的距离/ 0.5 1.6
(2)填空：①阅览室到超市的距离为___________；
②小琪从超市返回学生公寓的速度为___________；
③当小琪离学生公寓的距离为时，他离开学生公寓的时间为___________．
(3)当时，请直接写出y关于x的函数解析式．
【答案】(1)0.8，1.2，2(2)①0.8；②0.25；③10或116
(3)当时，；当时，；当时，
【分析】（1）根据题意和函数图象，可以将表格补充完整；
（2）根据函数图象中的数据，可以将各个小题中的空补充完整；
（3）根据（2）中的结果和函数图象中的数据，可以写出当时，y关于x的函数解析式．
(1)由图象可得，在前12分钟的速度为：1.2÷12=0.1km/min,
故当x=8时，离学生公寓的距离为8×0.1=0.8；
在时，离学生公寓的距离不变，都是1.2km 故当x=50时，距离不变，都是1.2km；
在时，离学生公寓的距离不变，都是2km，所以，当x=112时，离学生公寓的距离为2km
故填表为：
离开学生公寓的时间/ 5 8 50 87 112
离学生公寓的距离/ 0.5 0.8 1.2 1.6 2
(2)①阅览室到超市的距离为2-1.2=0.8；
②小琪从超市返回学生公寓的速度为：2÷（120-112）=0.25；
③分两种情形：当小琪离开学生公寓，与学生公寓的距离为时，他离开学生公寓的时间为：1÷0.1=10；
当小琪返回与学生公寓的距离为时，他离开学生公寓的时间为：
112+（2-1）÷｛2÷（120-112）｝=112+4=116min；故答案为：①0.8；②0.25；③10或116
(3)当时，设直线解析式为y=kx，
把（12，1.2）代入得，12k=1.2,解得，k=0.1∴；当时，；
当时，设直线解析式为，把（82，1.2），（92，2）代入得，
解得， ∴，
由上可得，当时，y关于x的函数解析式为．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
变式2．（2022·浙江绍兴·中考真题）一个深为6米的水池积存着少量水，现在打开水阀进水，下表记录了2小时内5个时刻的水位高度，其中x表示进水用时（单位：小时），y表示水位高度（单位：米）．
x 0 0.5 1 1.5 2
y 1 1.5 2 2.5 3
为了描述水池水位高度与进水用时的关系，现有以下三种函数模型供选择：（），y=ax2+bx+c （），（）(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式，并画出这个函数的图象．
(2)当水位高度达到5米时，求进水用时x．
【答案】(1)y＝x＋1（0≤x≤5），图见解析 (2)4小时
【分析】（1）观察表格数据，的增长量是固定的，故符合一次函数模型，建立模型待定系数法求解析式，画出函数图象即可求解；（2）根据，代入解析式求得的值即可求解．
(1)（1）选择y＝kx＋b，将（0，1），（1，2）代入，
得解得∴y＝x＋1（0≤x≤5）．
(2)当y＝5时，x＋1＝5，∴x＝4．答：当水位高度达到5米时，进水用时x为4小时．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，画一次函数图象，求一次函数的解析式，根据题意建立模型是解题的关键．
变式3．（2022·内蒙古包头·中考真题）由于精准扶贫的措施科学得当，贫困户小颖家今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市16天全部销售完．小颖对销售情况进行统计后发现，在该草莓上市第x天（x取整数）时，日销售量y（单位：千克）与x之间的函数关系式为草莓价格m（单位：元/千克）与x之间的函数关系如图所示．
(1)求第14天小颖家草莓的日销售量；(2)求当时，草莓价格m与x之间的函数关系式；
(3)试比较第8天与第10天的销售金额哪天多？
【答案】(1)40千克(2)(3)第10天的销售金额多
【分析】（1）把x=14代入求出y值即可；
（2）用待定系数法求解，设m与x之间的函数关系式为，把(4,24),(12,16)代入，求出k，b值即可求解；（3）把x=8，x=10分别代入y=12x，求出y，再把x=8，x=10分别代入（2）问所求解析式求出m值，然后分别求出my值，比较即可求解．
(1)解：∵当时，，∴当时，（千克）．
∴第14天小颖家草莓的日销售量是40千克．
(2)解：当时，设草莓价格m与x之间的函数关系式为，
∵点在的图像上，∴解得∴函数关系式为．
(3)解：∵当时，，∴当时，，当时，．
∵当时，，∴当时，，当时，．
∴第8天的销售金额为：（元），第10天的销售金额为：（元）．
∵，∴第10天的销售金额多．
【点睛】本题考查一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，函数图像，能从函数图像获取有用作息，用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
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专题08 坐标系与一次函数
【考情预测】
坐标系与函数是初中函数最基础的部分，其中一次函数是中考非常重要的函数，年年考查，总分值为12分左右，预计2023年浙江各地中考一定还会考，一般小题的形式考察一次函数的图象及性质，大题主要以应用题或一次函数与几何图形综合。.
【考点梳理】
1．有序数对：（1）有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对．平面直角坐标系中的点和有序实数对是一一对应的．（2）经一点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标和纵坐标．有序实数对（a，b）叫做点P的坐标．
2．点的坐标特征
第一象限：a>0，b>0；第二象限：a<0，b>0；第三象限：a<0，b<0；第四象限：a>0，b<0；
原点：a=0，b=0 x轴上：b=0 y轴上：a=0
3．轴对称：（1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标（x，-y）；（2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标（-x，y）．
4．中心对称
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P'（-x，-y）．
5．图形在坐标系中的平移
图形（点）的平移与坐标变化
（1）点P（x，y）向右平移a个单位，其坐标变为P′（x+a，y）；
（2）点P（x，y）向左平移a个单位，其坐标变为P′（x-a，y）；
（3）点P（x，y）向上平移b个单位，其坐标变为P′（x，y+b）；
（4）点P（x，y）向下平移b个单位，其坐标变为P′（x，y-b）．
6．函数
（1）函数的定义:一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．
（2）函数解析式及函数值
函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式．
函数值：对于自变量x在取值范围内的某个确定的值a，函数y所对应的值为b，即当x=a，y=b时，b叫做自变量x的值为a时的函数值．
（3）函数的表示方法
函数的表示方法一般有三种：解析式法、列表法和图象法，表示函数关系时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为了全面地认识问题，需要几种方法同时使用．
7、一次函数
1）正比例函数的概念：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫正比例函数，其中k叫正比例系数．
2）一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数.
特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时， y叫做x的正比例函数．
8、一次函数的图象及性质
1）一次函数的图象特征与性质
函数 字母取值 图象 经过的象限 函数性质
y=kx+b(k≠0) k>0，b>0 一、二、三 y随x的增大而增大
k>0，b<0 一、三、四
k>0，b=0 一、三
y=kx+b(k≠0) k<0，b>0 一、二、四 y随x的增大而减小
k<0，b<0 二、三、四
k<0，b=0 二、四
2）k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系
在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=- ，即直线y=kx+b与x轴交于（–，0）．
①当–>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．
②当–=0，即b=0时，直线经过原点．③当–<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．
3）两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：
①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行； ②当k1=k2，b1=b2，两直线重合；
③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；④当k1·k2=–1时，两直线垂直．
4）一次函数的平移法则：左加右减，上加下减。
9、一次函数与方程（组）、不等式
1）一次函数与一元一次方程
任何一个一元一次方程都可以转化为kx+b=0(k，b为常数，且k≠0)的形式．
从函数的角度来看，解这个方程就是寻求自变量为何值时函数值为0；从函数图象的角度考虑，解这个方程就是确定直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标．
2）一次函数与一元一次不等式
任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b为常数，且a≠0）的形式．
从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件．
3）一次函数与二元一次方程组
一般地，二元一次方程mx+ny=p（m，n，p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）的形式．因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线．进一步可知，一个二元一次方程对应两个一次函数，因而也对应两条直线．
从数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标．
10、一次函数图象与图形面积
解决这类问题的关键是根据一次函数解析式求出一次函数图象与坐标轴的交点的坐标，或两条直线的交点坐标，进而将点的坐标转化成三角形的边长，或者三角形的高．如果围成的三角形没有边在坐标轴上或者与坐标轴平行，可以采用“割”或“补”的方法．
11、一次函数的实际应用
1）主要题型 （1）求相应的一次函数表达式；（2）结合一次函数图象求相关量、实际问题的最值等．
2）用一次函数解决实际问题的一般步骤为：（1）设定实际问题中的自变量与因变量；（2）通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式；（3）确定自变量的取值范围；（4）利用函数性质解决问题；（5）检验所求解是否符合实际意义；（6）答．
3）方案最值问题：
对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过列不等式，求解出某一个事物的取值范围，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出有多少种方案．
【重难点突破】
考点1. 坐标的确定
【解题技巧】确定点在坐标平面内的位置，关键是根据不同象限中点的坐标特征去判断，据题中的已知条件，判断横坐标、纵坐标是大于0，等于0，还是小于0，就可以确定点在坐标平面内的位置．
【典例精析】
例1．（2022·浙江台州·中考真题）如图是战机在空中展示的轴对称队形．以飞机B，C所在直线为x轴、队形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．若飞机E的坐标为(40，a)，则飞机D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2020·山东威海·中考真题）如图①，某广场地面是用．．三种类型地砖平铺而成的，三种类型地砖上表面图案如图②所示，现用有序数对表示每一块地砖的位置：第一行的第一块（型）地砖记作，第二块（型）地时记作…若位置恰好为型地砖，则正整数，须满足的条是__________．
【变式训练】
变式1．（2021·贵州遵义·中考真题）数经历了从自然数到有理数，到实数，再到复数的发展过程，数学中把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，用z＝a+bi表示，任何一个复数z＝a+bi在平面直角坐标系中都可以用有序数对Z（a，b）表示，如：z＝1+2i表示为Z（1，2），则z＝2﹣i可表示为（ ）
A．Z（2，0） B．Z（2，﹣1） C．Z（2，1） D．（﹣1，2）
变式2．（2022·浙江·一模）某雷达探测目标得到的结果如图所示，若记图中目标的位置为（3，30°），目标的位置为（2，180°），目标的位置为（4，240°），则图中目标的位置可记为_____．
变式3．（2023·浙江·二模）下图是利用平面直角坐标系画出的首钢园中部分场馆建筑的分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向，表示群明湖的点的坐标为，表示冰壶馆的点的坐标为，则表示下列场馆建筑的点的坐标正确的是（ ）
A．滑雪大跳台 B．五一剧场 C．冬奥组委会 D．全民畅读艺术书店
考点2. 点的坐标特征
【解题技巧】
1．象限角平分线上的点的坐标特征：（1）第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数；（2）平行于x轴（或垂直于y轴）的直线上的点的纵坐标相等，平行于y轴（或垂直于x轴）的直线上的点的横坐标相等．
2．点P（x，y）到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|，到坐标原点的距离为．
【典例精析】
例1．（2022·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，点P(﹣3，a2+1)所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
例2．（2021·青海西宁·中考真题）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，若轴，且，则点B的坐标是________．
例3．（2022·浙江金华·中考真题）如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是，下列各地点中，离原点最近的是（ ）
A．超市 B．医院 C．体育场 D．学校
【变式训练】
变式1．（2023·广西·中考模拟）在平面直角坐标系中，有，两点，若轴，则A，B两点间的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式2．（2022·四川广安·中考真题）若点P（m+1，m）在第四象限，则点Q（﹣3，m+2）在第________象限．
变式3．（2022·江苏江都·二模）如果点P（x，y）的坐标满足x+y=xy，那么称点P为“和谐点”，若某个“和谐点“P到x轴的距离为2，则P点的坐标为______．
表达4．（2022·广东香洲·二模）在平面直角坐标系中，点在轴上，则的值是____．
考点3. 对称点的特征
【解题技巧】一般地，点P与点P1关于x轴对称，则横坐标相同，纵坐标互为相反数；点P与点P2关于y轴对称，则纵坐标相同，横坐标互为相反数，点P与点P3关于原点对称，则横、纵坐标分别互为相反数，简单记为“关于谁谁不变，关于原点都改变”．
【典例精析】
例1．（2022·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），则ab的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．12 D．﹣12
例2．（2020·黑龙江大庆市·中考真题）点(2，3)关于y轴对称的点的坐标为_____．
【变式训练】
变式1．（2022·湖南长沙·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2021·湖北荆州市·中考真题）若点关干轴的对称点在第四象限，则的取值范围在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
变式3．（2022 浙江中考模拟）如图，点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于直线1（y＝﹣1）对称，则a+b＝ ．
考点4.坐标系中的平移、旋转与对称
【解题技巧】
图形的旋转性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
③旋转前、后的图形全等；④图形的旋转是由旋转中心和旋转的角度和方向决定．
图形的平移性质：①平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动；②连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等．
【典例精析】
例1．（2022·广东·中考真题）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位后，得到的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点P(0，2)，点A(4，2)．以点P为旋转中心，把点A按逆时针方向旋转60°，得点B．在，，，四个点中，直线PB经过的点是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
变式1．（2020·柳州市中考真题）点A的坐标是（2，﹣3），将点A向上平移4个单位长度得到点A'，则点A'的坐标为_____．
变式2．（2022·辽宁大连·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，将线段向右平移4个单位长度，得到线段，点A的对应点C的坐标是_______．
变式3．（2020 泰安中考真题）如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C的坐标分别为A（0，3），B（﹣1，1），C（3，1）．△A'B'C′是△ABC关于x轴的对称图形，将△A'B'C'绕点B'逆时针旋转180°，点A'的对应点为M，则点M的坐标为 ．
考点5. 图形中的坐标问题
【解题技巧】
图形的旋转性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
③旋转前、后的图形全等；④图形的旋转是由旋转中心和旋转的角度和方向决定．
图形的平移性质：①平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动；②连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等．
【典例精析】
例1．（2022·青海·中考真题）如图所示，，，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点，过点作交轴于点，过点作轴交于点，过点作交轴于点，过点作轴交于点…，按照如此规律操作下去，则点的纵坐标是______．
【变式训练】
变式1．（2022·天津·中考真题）如图，△OAB的顶点O(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB=6，OA=OB=5，则点A的坐标是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·浙江丽水·中考真题）三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B点的坐标是，则A点的坐标是___________．
变式3.（2022·浙江金东·一模）如图，动点P从(0，3)出发，沿所示的方向运动，每当碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2021次碰到矩形的边时，点P的坐标为_____．
考点6. 函数的相关概念与函数图象问题
【解题技巧】
1．函数图象上的任意点（x，y）中的x，y满足函数解析式．
2．满足函数解析式的任意一对（x，y）的值，所对应的点一定在函数的图象上．
3．利用函数困象可以求方程的解、不等式的解集、方程组的解，还可以预测变量的变化趋势．
【典例精析】
例1.（2022·浙江嘉兴·中考真题）6月13日，某港口的潮水高度y（）和时间x（h）的部分数据及函数图象如下：
x（h） … 11 12 13 14 15 16 17 18 …
y（） … 189 137 103 80 101 133 202 260 …
（数据来自某海洋研究所）
(1)数学活动：①根据表中数据，通过描点、连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图象．
②观察函数图象，当时，y的值为多少？当y的值最大时，x的值为多少？
(2)数学思考：请结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论．(3)数学应用：根据研究，当潮水高度超过260时，货轮能够安全进出该港口．请问当天什么时间段适合货轮进出此港口？
例2．（2022·浙江温州·中考真题）小聪某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为s米，所经过的时间为t分钟，下列选项中的图像，能近似刻画s与t之间关系的是（ ）
A．B．C． D．
【变式训练】
变式1．（2022·贵州遵义·中考真题）遵义市某天的气温（单位：℃）随时间（单位：）的变化如图所示，设表示0时到时气温的值的极差（即0时到时范围气温的最大值与最小值的差），则与的函数图象大致是（ ）
A．B．C．D．
变式2．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图①所示（图中各角均为直角)，动点Р从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动，△AFP的面积y随点Р运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如图②所示，下列说法正确的是（ ）
A．AF=5 B．AB=4 C．DE=3 D．EF=8
变式3．（2022·贵州·中考真题）现代物流的高速发展，为乡村振兴提供了良好条件，某物流公司的汽车行驶后进入高速路，在高速路上匀速行驶一段时间后，再在乡村道路上行驶到达目的地．汽车行驶的时间x（单位：h）与行驶的路程y（单位：）之间的关系如图所示，请结合图象，判断以下说法正确的是（ ）
A．汽车在高速路上行驶了 B．汽车在高速路上行驶的路程是
C．汽车在高速路上行驶的平均速度是 D．汽车在乡村道路上行驶的平均速度是
考点7. 一次函数（正比例函数）的相关概念
【解题技巧】
1．正比例函数是特殊的一次函数．
2．正比例函数解析式y=kx（k≠0）的结构特征：①k≠0；②x的次数是1．
【典例精析】
例1.（2022·河北·一模）有一个装有水的容器，如图所示．容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系
例2.（2022·江苏南京·一模）定义：点A（x，y）为平面直角坐标系内的点，若满足x＝y，则把点A叫做“平衡点”，例如：M（1，1），N（﹣2，﹣2）都是“平衡点”，当﹣1≤x≤3时，直线y＝2x+m上有“平衡点”，则m的取值范围是_____．
【变式训练】
变式1．（2022·广东广州·中考真题）点在正比例函数（）的图象上，则的值为（ ）
A．-15 B．15 C． D．
变式2．（2022·广西梧州·中考真题）在平面直角坐标系中，请写出直线上的一个点的坐标________．
变式3．（2022·上海·中考真题）已知f（x）=3x，则f（1）=_____．
考点8. 一次函数的图象及性质
【解题技巧】
1．通常画正比例函数y=kx（k≠0）的图象时只需取一点（1，k），然后过原点和这一点画直线．
2．当k>0时，函数y=kx（k≠0）的图象从左向右，呈上升趋势；当k<0时，函数y=kx（k≠0）的图象从左向右，呈下降趋势．
3．正比例函数y=kx中，|k|越大，直线y=kx越靠近y轴；|k|越小，直线y=kx越靠近x轴．
4．一次函数图象的位置和函数值y的增减性完全由b和比例系数k的符号决定．
【典例精析】
例1．（2022·四川眉山·中考真题）一次函数的值随的增大而增大，则点所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
例2．（2022·湖南邵阳·中考真题）在直角坐标系中，已知点，点是直线上的两点，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
例3．（2022·浙江绍兴·中考真题）已知为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（ ）．
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式训练】
变式1．（2022·贵州遵义·中考真题）若一次函数的函数值随的增大而减小，则值可能是（ ）
A．2 B． C． D．
变式2．（2022·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“函数值y随自变量x增大而减小”；乙：“函数图像经过点(0，2)”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数，其表达式是____．
变式3．（2022·四川凉山·中考真题）一次函数y＝3x＋b（b≥0）的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
变式4．（2022·辽宁锦州·中考真题）点在一次函数的图像上，当时，，则a的取值范围是____________．
考点9. 用待定系数法确定一次函数的解析式
【解题技巧】
运用待定系数法求一次函数解析式的步骤可简单记为：一设，二代，三解，四回代．
【典例精析】
例1．（2022·江苏·苏州二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交、轴于点、，将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是______．
例2．（2022·贵州铜仁·中考真题）在平面直角坐标系内有三点A( 1，4)、B( 3，2)、C(0，6)．(1)求过其中两点的直线的函数表达式（选一种情形作答）；(2)判断A、B、C三点是否在同一直线上，并说明理由．
【变式训练】
变式1．（2021·安徽中考真题）某品牌鞋子的长度ycm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系．若22码鞋子的长度为16cm，44码鞋子的长度为27cm，则38码鞋子的长度为（ ）
A．23cm B．24cm C．25cm D．26cm
变式2．（2021·内蒙古·中考真题）在平面直角坐标系中，点，．以为一边在第一象限作正方形，则对角线所在直线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2020·江苏南京市·中考真题）将一次函数的图象绕原点逆时针旋转，所得到的图像对应的函数表达式是__________．
考点10. 一次函数与一元一次方程（不等式）
【解题技巧】
1．方程ax+b=k（a≠0）的解 函数y=ax+b（a≠0）中，y=k时x的值.
2．方程ax+b=k（a≠0）的解 函数y=ax+b（a≠0）的图象与直线y=k的交点的横坐标．
3.一次函数y=ax+b（a≠0）与一元一次不等式ax+b>0（或ax+b<0）的关系：
ax+b>0的解集 y=ax+b中，y>0时x的取值范围，即直线y=ax+b在x轴上方部分图象对应的x的取值范围；
ax+b<0的解集 y=ax+b中，y<0时x的取值范围，即直线y=ax+b在x轴下方部分图象对应的x的取值范围．
【典例精析】
例1．（2022·广西梧州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A，则关于x，y的二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2022·湖北鄂州·中考真题）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y＝x都经过点A（3，1），当kx+b＜x时，x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x＜3 C．x＜1 D．x＞1
例3．（2022·江苏泰州·中考真题）一次函数的图像经过点(1，0)．当y>0时，x的取值范围是__________．
【变式训练】
变式1．（2022·江苏无锡·中考真题）请写出一个函数的表达式，使其图像分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴相交：________．
变式2．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，函数的图像经过点，则关于的不等式的解集为________．
变式3．（2022·浙江杭州·中考真题）已知一次函数y=3x-1与y=kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2），则方程组的解是_________．
考点11. 一次函数的应用
【解题技巧】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值．
【典例精析】
例1．（2022·浙江湖州·中考真题）某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动．大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知大巴行驶的速度是40千米/小时，轿车行驶的速度是60千米/小时．(1)求轿车出发后多少小时追上大巴？此时，两车与学校相距多少千米？(2)如图，图中OB，AB分别表示大巴、轿车离开学校的路程s（千米）与大巴行驶的时间t（小时）的函数关系的图象．试求点B的坐标和AB所在直线的解析式；(3)假设大巴出发a小时后轿车出发追赶，轿车行驶了1.5小时追上大巴，求a的值．
例2．（2021·浙江绍兴市·中考真题）I号无人机从海拔10m处出发，以10m/min的速度匀速上升，II号无人机从海拔30m处同时出发，以a（m/min）的速度匀速上升，经过5min两架无人机位于同一海拔高度b（m）．无人机海拔高度y（m）与时间x（min）的关系如图．两架无人机都上升了15min．
（1）求b的值及II号无人机海拔高度y（m）与时间x（min）的关系式．（2）问无人机上升了多少时间，I号无人机比II号无人机高28米．
【变式训练】
变式1．（2022·天津·中考真题）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
已知学生公寓、阅览室、超市依次在同一条直线上，阅览室离学生公寓，超市离学生公寓，小琪从学生公寓出发，匀速步行了到阅览室；在阅览室停留后，匀速步行了到超市；在超市停留后，匀速骑行了返回学生公寓．给出的图象反映了这个过程中小琪离学生公寓的距离与离开学生公寓的时间之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：(1)填表：
离开学生公寓的时间/ 5 8 50 87 112
离学生公寓的距离/ 0.5 1.6
(2)填空：①阅览室到超市的距离为___________；
②小琪从超市返回学生公寓的速度为___________；
③当小琪离学生公寓的距离为时，他离开学生公寓的时间为___________．
(3)当时，请直接写出y关于x的函数解析式．
变式2．（2022·浙江绍兴·中考真题）一个深为6米的水池积存着少量水，现在打开水阀进水，下表记录了2小时内5个时刻的水位高度，其中x表示进水用时（单位：小时），y表示水位高度（单位：米）．
x 0 0.5 1 1.5 2
y 1 1.5 2 2.5 3
为了描述水池水位高度与进水用时的关系，现有以下三种函数模型供选择：（），y=ax2+bx+c （），（）(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式，并画出这个函数的图象．
(2)当水位高度达到5米时，求进水用时x．
变式3．（2022·内蒙古包头·中考真题）由于精准扶贫的措施科学得当，贫困户小颖家今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市16天全部销售完．小颖对销售情况进行统计后发现，在该草莓上市第x天（x取整数）时，日销售量y（单位：千克）与x之间的函数关系式为草莓价格m（单位：元/千克）与x之间的函数关系如图所示．
(1)求第14天小颖家草莓的日销售量；(2)求当时，草莓价格m与x之间的函数关系式；
(3)试比较第8天与第10天的销售金额哪天多？
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专题08 坐标系与一次函数
【考场演练1】热点必刷
1．（2022·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，将函数y=3x +2的图象向下平移3个单位长度，所得的函数的解析式是（ ）
A．y=3x+5 B．y=3x﹣5 C．y=3x+1 D．y=3x﹣1
【答案】D
【分析】根据“上加下减，左加右减”的平移规律即可求解．
【详解】解：将函数y=3x +2的图象向下平移3个单位长度，所得的函数的解析式是y=3x﹣1,
故选：D
【点睛】本题考查了一次函数的平移，掌握平移规律是解题的关键．
2．（2022·湖南株洲·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴的交点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令x=0，求出函数值，即可求解．
【详解】解：令x=0， ，∴一次函数的图象与轴的交点的坐标为．故选：D
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
3．（2022·陕西·中考真题）在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先把点P代入直线求出n，再根据二元一次方程组与一次函数的关系求解即可；
【详解】解：∵直线与直线交于点P（3，n），
∴，∴，∴，∴1=3×2+m，∴m=-5,
∴关于x，y的方程组的解；故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，二元一次方程与一次函数的关系，准确计算是解题的关键．
4．（2022·四川乐山·中考真题）点所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【详解】解：点（ 1，2）所在的象限是第二象限．故选：B．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（ ，＋）；第三象限（ ， ）；第四象限（＋， ）．
5．（2022·江苏·南通二模）已知点，点为坐标原点，连接，将线段按顺时针方向旋转90°，得到线段，则点的坐标是（ ）
A．（-1,-2） B．（1,2） C．（2,1） D．（-2,-1）
【答案】D
【分析】根据旋转的概念结合点A的坐标为(1，-2)，画出图形，利用全等三角形的知识，即可得到点的坐标．
【详解】解：如图，过AD⊥y轴于D，过作E⊥x轴于E，
∵点A的坐标为(1，-2)，∴AD=1，OD=2．
∵∠A1OE+∠A1OD=90°，∠AOD+∠A1OD=90°，∴∠A1OE =∠AOD．
又∵∠A1EO=∠ADO，OA1=OA，∴△A1EO≌△ADO，
∴A1E=AD=1，OE=OD=2，∴A1(-2，-1)，故选：D．
【点睛】本题主要考查了图形的旋转，坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，解题时应抓住旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度，通过画图求解．
6．（2022·湖北宜昌·中考真题）如图是小强散步过程中所走的路程（单位：）与步行时间（单位：）的函数图象．其中有一时间段小强是匀速步行的．则这一时间段小强的步行速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数图象得出匀速步行的路程和所用的时间，即可求出小强匀速步行的速度．
【详解】解：根据图象可知，小强匀速步行的路程为（m），
匀速步行的时间为：（min），
这一时间段小强的步行速度为：，故D正确．故选：D．
【点睛】本题主要考查从函数图象中获取信息，根据图象得出匀速步行的路程和时间，是解题的关键．
7．（2022·湖北随州·中考真题）已知张强家、体育场、文具店在同一直线上．下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中x表示时间，y表示张强离家的距离．则下列结论不正确的是（ ）
A．张强从家到体育场用了15min B．体育场离文具店1.5km
C．张强在文具店停留了20min D．张强从文具店回家用了35min
【答案】B
【分析】利用图象信息解决问题即可．
【详解】解：由图可知：A. 张强从家到体育场用了15min，正确，不符合题意；
B. 体育场离文具店的距离为：，故选项错误，符合题意；
C. 张强在文具店停留了：，正确，不符合题意；
D. 张强从文具店回家用了，正确，符合题意，故选：B．
【点睛】本题考查函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
8．（2022·湖南永州·中考真题）学校组织部分师生去烈士陵园参加“不忘初心，牢记使命”主题教育活动、师生队伍从学校出发，匀速行走30分钟到达烈士陵园，用1小时在烈主陵园进行了祭扫和参观学习等活动，之后队伍按原路匀速步行45分钟返校、设师生队伍离学校的距离为米，离校的时间为分钟，则下列图象能大致反映与关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用排除法，根据开始、结束时y均为0排除AC，根据队伍在陵园停留了1个小时，排除B．
【详解】队伍从学校出发，最后又返回了学校，因此图象开始、结束时y均为0，由此排除C，D，
因为队伍在陵园停留了1个小时，期间，y值不变，因此排除B，故选A．
【点睛】本题考查函数图象的识别，读懂题意，找准关键点位置是解题的关键．
9．（2022·湖北蔡甸·二模）小明同学利用“描点法”画某个一次函数的图象时，列出的部分数据如下表：
… 0 1 2 …
… 4 1 …
经过认真检查，发现其中有一个函数值计算错误，这个错误的函数值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】根据点的坐标（任取两个），利用待定系数法求出一次函数解析式，再逐一验证其它三点坐标即可得出结论．（或描点连线，亦可找出不在直线上那点的纵坐标）．
【详解】解：设该一次函数的解析式为（），
将，代入，得：，解得：，∴一次函数的解析式为．
当时，；当时，；当时，．∴C错误．故选：C．
【点睛】本题考查了待定系数法求出一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．
10．（2022·浙江台州·中考真题）吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上，家到公园、公园到学校的距离分别为400m，600m．他从家出发匀速步行8min到公园后，停留4min，然后匀速步行6min到学校，设吴老师离公园的距离为y（单位：m），所用时间为x（单位：min），则下列表示y与x之间函数关系的图象中，正确的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】根据吴老师离公园的距离以及所用时间可判断．
【详解】解：吴老师家出发匀速步行8min到公园，表示从(0，400)运动到(8，0)；
在公园，停留4min，然后匀速步行6min到学校，表示从(12，0)运动到(18，600)；
故选：C．
【点睛】本题考查函数的图象，解题关键是正确理解函数图象表示的意义，明白各个过程对应的函数图象．
11．（2022·山东烟台·中考真题）周末，父子二人在一段笔直的跑道上练习竞走，两人分别从跑道两端开始往返练习．在同一直角坐标系中，父子二人离同一端的距离s（米）与时间t（秒）的关系图像如图所示．若不计转向时间，按照这一速度练习20分钟，迎面相遇的次数为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】B
【分析】先求出二人速度，即可得20分钟二人所跑路程之和，再总结出第n次迎面相遇时，两人所跑路程之和（400n﹣200）米，列方程求出n的值，即可得答案．
【详解】解：由图可知，父子速度分别为：200×2÷120（米/秒）和200÷100＝2（米/秒），
∴20分钟父子所走路程和为（米），
父子二人第一次迎面相遇时，两人所跑路程之和为200米，
父子二人第二次迎面相遇时，两人所跑路程之和为200×2+200＝600（米），
父子二人第三次迎面相遇时，两人所跑路程之和为400×2+200＝1000（米），
父子二人第四次迎面相遇时，两人所跑路程之和为600×2+200＝1400（米），…
父子二人第n次迎面相遇时，两人所跑路程之和为200（n﹣1）×2+200＝（400n﹣200）米，
令400n﹣200＝6400，解得n＝16.5，∴父子二人迎面相遇的次数为16．故选：B．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是求出父子二人第 次迎面相遇时，两人所跑路程之和米．
12．（2022·湖北恩施·中考真题）图1是我国青海湖最深处的某一截面图，青海湖水面下任意一点A的压强P（单位：cmHg）与其离水面的深度h（单位：m）的函数解析式为，其图象如图2所示，其中为青海湖水面大气压强，k为常数且．根据图中信息分析（结果保留一位小数），下列结论正确的是（ ）
A．青海湖水深16.4m处的压强为188.6cmHg B．青海湖水面大气压强为76.0cmHg
C．函数解析式中自变量h的取值范围是 D．P与h的函数解析式为
【答案】A
【分析】根据函数图象求出函数解析式即可求解．
【详解】解：将点代入
即解得，A.当时，，故A正确；
B. 当时，，则青海湖水面大气压强为68.0cmHg，故B不正确；
C. 函数解析式中自变量h的取值范围是，故C不正确；
D. P与h的函数解析式为，故D不正确；故选：A
【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求解析式，从函数图像获取信息是解题的关键．
13．（2021·福建中考真题）如图，一次函数的图象过点，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先平移该一次函数图像，得到一次函数的图像，再由图像即可以判断出 的解集．
【详解】解：如图所示，将直线向右平移1个单位得到 ，该图像经过原点，由图像可知，在y轴右侧，直线位于x轴上方，即y>0，
因此，当x>0时，，故选：C．
【点睛】本题综合考查了函数图像的平移和利用一次函数图像求对应一元一次不等式的解集等，解决本题的关键是牢记一次函数的图像与一元一次不等式之间的关系，能从图像中得到对应部分的解集，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
14．（2022·山东泰安·中考真题）如图，四边形为平行四边形，则点B的坐标为________．
【答案】
【分析】根据平行四边形的性质以及点的平移即可得出结论．
【详解】解：四边形为平行四边形，
，即将点平移到的过程与将点平移到的过程保持一致，
将点平移到的过程是：（向左平移4各单位长度）；（上下无平移）；
将点平移到的过程按照上述一致过程进行得到，即，故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质及点的平移，掌握点的平移的代数表示是解决问题的关键．
15．（2022·江苏泰州·中考真题）如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为__________.
【答案】
【分析】根据第一步马往外跳，第二步马再往回跳但路线不与第一步的路线重合，这样走两步后的落点与出发点距离最短．
【详解】解：如下图所示：
马第一步往外跳，可能的落点为A、B、C、D、E、F点，
第二步往回跳，但路线不与第一步的路线重合，这样走两步后的落点与出发点距离最短，
比如，第一步马跳到A点位置，第二步在从A点跳到G点位置，此时落点与出发点的距离最短为，
故答案为：．
【点睛】本题借助象棋中的“马走日”的规则考察了两点之间的距离公式，解题的关键是读懂题意．
16．（2022·山东烟台·中考真题）观察如图所示的象棋棋盘，若“兵”所在的位置用（1，3）表示，“炮”所在的位置用（6，4）表示，那么“帅”所在的位置可表示为 _____．
【答案】（4，1）
【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案．
【详解】解：如图所示：
“帅”所在的位置：（4，1），故答案为：（4，1）．
【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题的关键．
17．（2022·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴正半轴上，以点为圆心，长为半径作弧，交轴正半轴于点，则点的坐标为__________．
【答案】
【分析】连接，先根据点的坐标可得，再根据等腰三角形的判定可得是等腰三角形，然后根据等腰三角形的三线合一可得，由此即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，
点的坐标为，，由同圆半径相等得：，是等腰三角形，
，（等腰三角形的三线合一），
又点位于轴正半轴，点的坐标为，故答案为：．
【点睛】本题考查了同圆半径相等、等腰三角形的三线合一、点坐标等知识点，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．
18．（2022·湖南永州·中考真题）已知一次函数的图象经过点，则______．
【答案】1
【分析】把点（m，2）代入一次函数y=x+1，列出关于m的一元一次方程，解之即可得m的值．
【详解】解：∵一次函数y=x+1的图象经过点（m，2）
∴把点（m，2）代入一次函数，得m+1=2解得：m=1故答案为：1．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式．根据一次函数图像上点的特征得出关于m的一元一次方程是解题的关键．
19．（2022·天津·中考真题）若一次函数（b是常数）的图象经过第一、二、三象限，则b的值可以是___________（写出一个即可）．
【答案】1（答案不唯一，满足即可）
【分析】根据一次函数经过第一、二、三象限，可得，进而即可求解．
【详解】解：∵一次函数（b是常数）的图象经过第一、二、三象限，
∴故答案为：1答案不唯一，满足即可）
【点睛】本题考查了已知一次函数经过的象限求参数的值，掌握一次函数图象的性质是解题的关键．
20．（2021·山东中考真题）甲、乙、丙三名同学观察完某个一次函数的图象，各叙述如下：
甲：函数的图象经过点（0，1）；乙：y随x的增大而减小；丙：函数的图象不经过第三象限．
根据他们的叙述，写出满足上述性质的一个函数表达式为 _______．
【答案】y=-x+1（答案不唯一）．
【分析】设一次函数解析式为y=kx+b，根据函数的性质得出b=1，k＜0，从而确定一次函数解析式，本题答案不唯一．
【详解】解：设一次函数解析式为y=kx+b，∵函数的图象经过点（0，1），∴b=1，
∵y随x的增大而减小，∴k＜0，取k=-1，∴y=-x+1，此函数图象不经过第三象限，
∴满足题意的一次函数解析式为：y=-x+1（答案不唯一）．
21．（2022·浙江丽水·中考真题）因疫情防控需婴，一辆货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆轿车从甲地急送防疫专家到乙地．已知甲、乙两地的路程是，货车行驶时的速度是．两车离甲地的路程与时间的函数图象如图．(1)求出a的值；(2)求轿车离甲地的路程与时间的函数表达式；(3)问轿车比货车早多少时间到达乙地？
【答案】(1)1.5(2)s=100t-150(3)1.2
【分析】（1）根据货车行驶的路程和速度求出a的值；
（2）将（a，0）和（3，150）代入s=kt+b中，待定系数法解出k和b的值即可；
（3）求出汽车和货车到达乙地的时间，作差即可求得答案．
(1)由图中可知，货车a小时走了90km，
∴a=；
(2)设轿车离甲地的路程与时间的函数表达式为s=kt+b，
将（1.5，0）和（3，150）代入得，
，解得，，
∴轿车离甲地的路程与时间的函数表达式为s=100t-150；
(3)将s=330代入s=100t-150，解得t=4.8，
两车相遇后，货车还需继续行驶：h，
到达乙地一共：3+3=6h，6-4.8=1.2h，
∴轿车比货车早1.2h时间到达乙地．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用待定系数法求函数解析式，路程、速度、时间三者之间的关系，从图中准确获取信息是解题的关键．
22．（2021·浙江丽水市·中考真题）李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地．行驶过程中，货车离目的地的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的关系如图所示（中途休息、加油的时间不计．当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒．设货车平均耗油量为0.1升/千米，请根据图象解答下列问题：
（1）直接写出工厂离目的地的路程；（2）求s关于t的函数表达式；
（3）当货车显示加油提醒后，问行驶时间t在怎样的范围内货车应进站加油？
【答案】（1）工厂离目的地的路程为880千米；（2）；（3）．
【分析】（1）根据图象直接得出结论即可；（2）根据图象，利用待定系数法求解函数表达式即可；再求出油量为（3）分别求出余油量为10升和0升时行驶的路程，根据函数表达式求出此时的t值，即可求得t的范围．
【详解】解：（1）由图象，得时，，答：工厂离目的地的路程为880千米．
（2）设，将和分别代入表达式，
得，解得，∴s关于t的函数表达式为．
（3）当油箱中剩余油量为10升时，（千米），
，解得（小时）．
当油箱中剩余油量为0升时，（千米），，解得（小时）．
随t的增大而减小，的取值范围是．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答的关键是理解题意，能从函数图象上提取有效信息解决问题．
23.（2022·新疆·中考真题）A，B两地相距，甲、乙两人分别开车从A地出发前往B地，其中甲先出发，如图是甲，乙行驶路程随行驶时间变化的图象，请结合图象信息．解答下列问题：(1)填空：甲的速度为___________；(2)分别求出与x之间的函数解析式；
(3)求出点C的坐标，并写点C的实际意义．
【答案】(1)60(2)，
(3)点C的坐标为，点C的实际意义为：甲出发时，乙追上甲，此时两人距A地
【分析】（1）观察图象，由甲先出发可知甲从A地到B地用了，路程除以时间即为速度；
（2）利用待定系数法分别求解即可；
（3）将与x之间的函数解析式联立，解二元一次方程组即可．
(1)解：观察图象，由甲先出发可知甲从A地到B地用了，
∵A，B两地相距，∴甲的速度为，故答案为：60；
(2)解：设与x之间的函数解析式为，
将点，代入得，解得，
∴与x之间的函数解析式为，
同理，设与x之间的函数解析式为，
将点，代入得，解得，
∴与x之间的函数解析式为；
(3)解：将与x之间的函数解析式联立得，
，解得，∴点C的坐标为，
点C的实际意义为：甲出发时，乙追上甲，此时两人距A地．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，涉及到求一次函数解析式，求直线交点坐标等知识点，读懂
题意，从所给图象中找到相关信息是解题的关键．
24．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）2008年5月12日14时28分四川汶川发生里氏8.0级强力地震．某市接到上级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区．乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发1.25小时（从甲组出发时开始计时）．图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程y甲（千米）、y乙（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象．请根据图象所提供的信息，解决下列问题：(1)由于汽车发生故障，甲组在途中停留了___小时；(2)甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区．请问甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米？(3)为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过25千米，请通过计算说明，按图象所表示的走法是否符合约定？
【答案】(1)1.9(2)270(3)按图象所表示的走法符合约定，理由见解析
【分析】（1）由于线段AB与x轴平行，故自3时到4.9时这段时间内甲组停留在途中，所以停留的时间为1.9时．（2）观察图象可知点B的纵坐标就是甲组的汽车在排除故障时距出发点的路程的千米数，从而求得直线EF和直线BD的解析式，即可求出B点的坐标．（3）由图象可知：甲、乙两组第一次相遇后在B和D相距最远，在两点处时， ，分别同25比较即可．
(1)4.9-3=1.9小时；故答案为：1.9 (2)设直线EF的解析式为y乙=kx+b，
∵点E（1.25，0）、点F（7.25，480）均在直线EF上，
∴，解得．∴直线EF的解析式是y乙=80x﹣100．
∵点C在直线EF上，且点C的横坐标为6，∴点C的纵坐标为80×6﹣100=380．
∴点C的坐标是（6，380）．设直线BD的解析式为y甲=mx+n；
∵点C（6，380）、点D（7，480）在直线BD上，
∴，解得．∴BD的解析式是y甲=100x﹣220．
∵B点在直线BD上且点B的横坐标为4.9，代入y甲得B（4.9，270），
∴甲组在排除故障时，距出发点的路程是270千米．
(3)符合约定．理由如下：由图象可知：甲、乙两组第一次相遇后在B和D相距最远，
在点B处有y乙﹣y甲=80×4.9﹣100﹣（100×4.9﹣220）=22千米＜25千米，
在点D有y甲﹣y乙=100×7﹣220﹣（80×7﹣100）=20千米＜25千米，∴按图象所表示的走法符合约定．
25．（2022·内蒙古通辽·中考真题）为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，两个商店的优惠活动如下：
甲：所有商品按原价8.5折出售；乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折． 设需要购买体育用品的原价总额为元，去甲商店购买实付元，去乙商店购买实付元，其函数图象如图所示.
(1)分别求，关于的函数关系式；(2)两图象交于点，求点坐标；
(3)请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算．
【答案】(1)y甲=0.85x；y乙与x的函数关系式为y乙=(2)（600，510）(3)当x＜600时，选择甲商店更合算；当x=600时，两家商店所需费用相同；当x＞600时，选择乙商店更合算．
【分析】（1）根据题意，可以分别写出甲、乙两家商店y与x的函数关系式；
（2）根据（1）的结论列方程组解答即可；（3）由点A的意义并结合图象解答即可．
【解析】(1)由题意可得，y甲=0.85x；乙商店：当0≤x≤300时，y乙与x的函数关系式为y乙=x；
当x＞300时，y乙=300+（x-300）×0.7=0.7x+90，
由上可得，y乙与x的函数关系式为y乙=
(2)由，解得，点A的坐标为（600，510）；
(3)由点A的意义，当买的体育商品标价为600元时，甲、乙商店优惠后所需费用相同，都是510元，
结合图象可知，当x＜600时，选择甲商店更合算；
当x=600时，两家商店所需费用相同；当x＞600时，选择乙商店更合算．
【点睛】本题考查一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
【考场演练2】重难点必刷
1．（2021·山东菏泽市·中考真题）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴，直线沿轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形截得的线段长为，直线在轴上平移的距离为，、间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形的面积为（ ）
A． B． C．8 D．10
【答案】C
【分析】根据平移的距离可以判断出矩形BC边的长，根据的最大值和平移的距离可以求得矩形AB边的长，从而求得面积
【详解】如图：根据平移的距离在4至7的时候线段长度不变，可知图中,
根据图像的对称性，，
由图（2）知线段最大值为，即 根据勾股定理
矩形的面积为，故答案为：C
【点睛】本题考查了矩形的面积计算，一次函数图形的实际意义，勾股定理，一次函数的分段函数转折点的意义；正确的分析函数图像，数形结合解决实际问题是解题的关键．
2．（2021·山东中考真题）记实数x1，x2，…，xn中的最小数为min|x1，x2，…，xn|＝﹣1，则函数y＝min|2x﹣1，x，4﹣x|的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别画出函数的图像，然后根据min|x1，x2，…，xn|＝﹣1即可求得．
【详解】如图所示，分别画出函数的图像，
由图像可得， ，故选：B．
【点睛】此题考查了一次函数图像的性质，解题的关键是由题意分析出各函数之间的关系．
3．（2022·辽宁和平·二模）如图，若点，点，在x轴上找一点P，使最小，则点P坐标为（ ）
A．（－5，0） B．（－1，0） C．（0，0） D．（1，0）
【答案】C
【分析】要使|PA PB|最小让PA＝PB即可，根据两点间的距离公式，列出方程，即可求解．
【详解】解：根据题意要使|PA PB|最小，则PA＝PB即可，设P（x，0），
∴，解得：x=0，∴P（0，0）故选：C．
【点睛】本题主要考查坐标与图形的性质，根据题意确定PA＝PB时P点符合题意是解题的关键．
4．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，，，，将四边形向左平移个单位后，点恰好和原点重合，则的值是（ ）
A．11.4 B．11.6 C．12.4 D．12.6
【答案】A
【分析】由题意可得，的值就是线段的长度，过点作，过点作，根据勾股定理求得的长度，再根据三角形相似求得，矩形的性质得到，即可求解．
【详解】解：由题意可得，的值就是线段的长度，
过点作，过点作，如下图：
∵，∴，由勾股定理得
∵∴，
又∵∴∴
∴，即解得，
∵∴∴∴，即解得
由题意可知四边形为矩形，∴ 故选A
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，图形的平移，矩形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
5.（2022·浙江嘉兴·中考真题）已知点，在直线（k为常数，）上，若的最大值为9，则c的值为（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】B
【分析】把代入后表示出，再根据最大值求出k，最后把代入即可．
【详解】把代入得：∴
∵的最大值为9∴，且当时，有最大值，此时
解得∴直线解析式为把代入得故选：B．
【点睛】本题考查一次函数上点的特点、二次函数最值，解题的关键是根据的最大值为9求出k的值．
6．（2022·安徽·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图像可能是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】分为和两种情况，利用一次函数图像的性质进行判断即可．
【详解】解：当时，两个函数的函数值：，即两个图像都过点，故选项A、C不符合题意；当时，，一次函数经过一、二、三象限，一次函数经过一、二、三象限，都与轴正半轴有交点，故选项B不符合题意；
当时，，一次函数经过一、二、四象限，与轴正半轴有交点，一次函数经过一、三、四象限，与轴负半轴有交点，故选项D符合题意．故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图像性质．理解和掌握它的性质是解题的关键．
一次函数的图像有四种情况：①当，时，函数的图像经过第一、二、三象限；
②当，时，函数的图像经过第一、三、四象限；
③当，时，函数的图像经过第一、二、四象限；
④当，时，函数的图像经过第二、三、四象限．
7．（2022·山东威海·中考真题）如图，在方格纸中，点P，Q，M的坐标分别记为（0，2），（3，0），（1，4）．若MN∥PQ，则点N的坐标可能是( )
A．（2，3） B．（3，3） C．（4，2） D．（5，1）
【答案】C
【分析】根据P，Q的坐标求得直线解析式，进而求得过点的解析式，即可求解．
【详解】解：∵P，Q的坐标分别为（0，2），（3，0），设直线的解析式为，
则，解得，直线的解析式为，
MN∥PQ，设的解析式为，，则，解得，
的解析式为，
当时，，当时，，当时，，当时，，故选C
【点睛】本题考查了求一次函数解析式，一次函数平移问题，掌握以上知识是解题的关键．
8．（2022·山东聊城·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点是x轴上一点，点E，F分别为直线和y轴上的两个动点，当周长最小时，点E，F的坐标分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【分析】作C（2，0）关于y轴的对称点G（2，0），作C（2，0）关于直线y=x+4的对称点D，连接AD，连接DG交AB于E，交y轴于F，此时△CEF周长最小，由y=x+4得A（-4，0），B（0，4），∠BAC=45°，根据C、D关于AB对称，可得D（-4，2），直线DG解析式为，即可得，由，得．
【详解】解：作关于轴的对称点，作关于直线的对称点D，连接AD，连接DG交AB于E，交轴于F，如图：
∴，，∴，此时周长最小，
由得，，∴，是等腰直角三角形，∴，
∵C、D关于AB对称，∴，∴，
∵，∴，∴，
由，可得直线DG解析式为，在中，令得，∴，
由，得，∴，∴的坐标为，的坐标为，故选：C．
【点睛】本题考查与一次函数相关的最短路径问题，解题的关键是掌握用对称的方法确定△CEF周长最小时，E、F的位置．
9．（2022·广西柳州·中考真题）如图，直线y1＝x+3分别与x轴、y轴交于点A和点C，直线y2＝﹣x+3分别与x轴、y轴交于点B和点C，点P（m，2）是△ABC内部（包括边上）的一点，则m的最大值与最小值之差为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【分析】由于P的纵坐标为2，故点P在直线y= 2上，要求符合题意的m值，则P点为直线y= 2与题目中两直线的交点，此时m存在最大值与最小值，故可求得．
【详解】∵点P (m， 2)是△ABC内部(包括边上)的点．∴点P在直线y= 2上，如图所示，，
当P为直线y= 2与直线y2的交点时，m取最大值，当P为直线y= 2与直线y1的交点时，m取最小值，
∵y2 =-x+ 3中令y=2，则x= 1，∵y1 =x+ 3中令y=2，则x= -1，∴m的最大值为1， m的最小值为- 1．
则m的最大值与最小值之差为：1- (-1)= 2．故选：B．
【点睛】本题考查一次函数的性质， 要求符合题意的m值，关键要理解当P在何处时m存在最大值与最小值，由于P的纵坐标为2，故作出直线y= 2有助于判断P的位置．
10．（2021·贵州安顺市·中考真题）小星在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题．现有7条不同的直线，其中，则他探究这7条直线的交点个数最多是（ ）
A．17个 B．18个 C．19个 D．21个
【答案】B
【分析】因为题中已知，可知：第1、2条直线相互平行没有交点，第3、4、5条直线交于一点，由此即可求解此题．
【详解】解：∵直线，其中
∴第1、2条直线相互平行没有交点，第3、4、5条直线交于一点，∴这5条直线最多有7个交点，
第6条直线，与前面5条直线的交点数最多有5个，第7条直线，与前面6条直线的交点数最多有6个，
∴得出交点最多就是7＋5+6＝18条，故选：B．
【点睛】本题考查两条直线相交或平行问题，做题关键在于分析得出两条平行直线，三条直线相交于一点．
11．（2022·广西·南宁三模）如图，在平面直角坐标系中，若折线与直线交（）有且仅有一个交点，则的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】B
【分析】先求出折线的最高点的坐标，然后直线经过最高点时，此时恰好有一个交点，然后分析直线与折线的那部分图像的交点问题即可得到答案.
【详解】解：∵直线的解析式为，∴直线经过点（-2，0），
∵折线的解析式为，∴折线的最高点坐标为（2，1）
∴当直线恰好经过（2，1）时，此时只有一个交点，∴，解得，
当时，直线与折线在的那部分图像平行，此时没有交点，
∴当时直线与折线在的那部分图像有一个交点，∴综上所述或，故选D.
【点睛】本题主要考查了一次函数图像的性质，解题的关键在于能够利用数形结合的思想进行求解.
12．（2022·黑龙江绥化·中考真题）小王同学从家出发，步行到离家a米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为（ ）
A．2.7分钟 B．2.8分钟 C．3分钟 D．3.2分钟
【答案】C
【分析】先根据题意求得A、D、E、F的坐标，然后再运用待定系数法分别确定AE、AF、OD的解析式，再分别联立OD与AE和AF求得两次相遇的时间，最后作差即可．
【详解】解： 如图：根据题意可得A（8，a），D(12,a)，E（4,0），F（12,0）
设AE的解析式为y=kx+b，则 ，解得∴直线AE的解析式为y=x-3a
同理：直线AF的解析式为：y=-x+3a,直线OD的解析式为：y=
联立 ，解得 联立 ，解得
两人先后两次相遇的时间间隔为9-6=3min．
故答案为C．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，根据题意确定相关点的坐标、求出直线的解析式成为解答本题的关键．
13．（2022·黑龙江大庆·中考真题）平面直角坐标系中，点M在y轴的非负半轴上运动，点N在x轴上运动，满足．点Q为线段的中点，则点Q运动路径的长为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设点M的坐标为（0，m），点N的坐标为（n，0），则点Q的坐标为，根据，得出，然后分两种情况，或，得出与的函数关系式，即可得出Q横纵坐标的关系式，找出点Q的运动轨迹，根据勾股定理求出运动轨迹的长即可．
【详解】解：设点M的坐标为（0，m），点N的坐标为（n，0），则点Q的坐标为，
∵，∴，（，） ，
∵当时，，∴，即，
∴此时点Q在一条线段上运动，线段的一个端点在x轴的负半轴上，坐标为（-4，0），另一端在y轴的负半轴上，坐标为（0，-4），∴此时点Q的运动路径长为；
∵当时，，∴，即，
∴此时点Q在一条线段上运动，线段的一个端点在x轴的正半轴上，坐标为（4，0），另一端在y轴的负半轴上，坐标为（0，-4），∴此时点Q的运动路径长为；
综上分析可知，点Q运动路径的长为，故B正确．故选：B．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中的动点问题，根据题意找出点Q的运动轨迹是两条线段，是解题的关键．
14．（2022·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为(10，4)，四边形ABEF是菱形，且tan∠ABE=．若直线l把矩形OABC和菱形ABEF组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点E作EG⊥AB于点G，利用三角函数求得EG=8，BG6，AG=4，再求得点E的坐标为(4，12)，根据题意，直线l经过矩形OABC的对角线的交点H和菱形ABEF的对角线的交点D，根据中点坐标公式以及待定系数法即可求解．
【详解】解：过点E作EG⊥AB于点G，
∵矩形OABC的顶点B的坐标为(10，4)，四边形ABEF是菱形，
∴AB=BE=10，点D的坐标为(0，4)，点C的坐标为(10，0)，
在Rt△BEG中，tan∠ABE=，BE=10，∴sin∠ABE=，即，
∴EG=8，BG=6，∴AG=4，∴点E的坐标为(4，12)，
根据题意，直线l经过矩形OABC的对角线的交点H和菱形ABEF的对角线的交点D，
点H的坐标为(，)，点D的坐标为(，)，
∴点H的坐标为(5，2)，点D的坐标为(2，8)，设直线l的解析式为y=kx+b，
把(5，2)，(2，8)代入得，解得：，∴直线l的解析式为y=-2x+12，故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形，待定系数法求函数的解析式，矩形和菱形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
15．（2022·湖北黄冈·中考真题）如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时，t的值为________．
【答案】##
【分析】根据函数图像可得AB=4=BC，作∠BAC的平分线AD，∠B＝36°可得∠B＝∠DAC＝36°，进而得到，由相似求出BD的长即可．
【详解】根据函数图像可得AB=4，AB+BC=8，∴BC=AB=4，
∵∠B＝36°，∴，作∠BAC的平分线AD，
∴∠BAD＝∠DAC＝36°＝∠B，∴AD=BD，，∴AD=BD=CD，
设，∵∠DAC＝∠B＝36°，∴，
∴，∴，解得： ，（舍去），
∴，此时(s)，故答案为：.
【点睛】此题考查了图形与函数图象间关系、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程，关键是证明．
16．（2021·山东聊城市·中考真题）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B，D两点坐标分别为B（﹣4，6），D（0，4），线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为__________．
【答案】
【分析】先得出D点关于x轴的对称点坐标为H（0，-4），再通过转化，将求四边形BDEF的周长的最小值转化为求FG+BF的最小值，再利用两点之间线段最短得到当F、G、B三点共线时FG+BF的值最小，用待定系数法求出直线BG的解析式后，令y=0，即可求出点F的坐标，最后得到点E的坐标．
【详解】解：如图所示，∵D（0，4），∴D点关于x轴的对称点坐标为H（0，-4），∴ED=EH，
将点H向左平移3个单位，得到点G（-3，-4），∴EF=HG，EF∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，∴EH=FG，∴FG =ED，
∵B（-4，6），∴BD=，
又∵EF＝3，∴四边形BDEF的周长=BD+DE+EF+BF=+FG+3+BF,
要使四边形BDEF的周长最小，则应使FG+BF的值最小，
而当F、G、B三点共线时FG+BF的值最小，设直线BG的解析式为：
∵B（-4，6），G（-3，-4），∴，∴，∴，
当y=0时，，∴，∴故答案为：．
【点睛】本题综合考查了轴对称的性质、最短路径问题、平移的性质、用待定系数法求一次函数的解析式等知识，解决问题的关键是“转化”，即将不同的线段之间通过转化建立相等关系，将求四边形的周长的最小值问题转化为三点共线和最短的问题等，本题蕴含了数形结合与转化的思想方法等．
17．（2023·成都市九年级期中）先将一矩形置于直角坐标系中，使点A与坐标系的原点重合，边，分别落在x轴、y轴上（如图1），再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30°（如图2），若，，则图1和图2中点B点的坐标为_________，点C的坐标_________．
【答案】
【分析】根据旋转的性质求解．
【详解】解：∵AB=4，在x轴正半轴上，∴图1中B坐标为（4，0），
在图2中过B作BE⊥x轴于点E，那么OE=4×cos30°=2，BE=2，在图2中B点的坐标为（2，2）；
易知图1中点C的坐标为（4，3），
在图2中，设CD与y轴交于点M，作CN⊥y轴于点N，那么∠DOM=30°，OD=3，
∴DM=3 tan30°=，OM=3÷cos30°=2，那么CM=4-，易知∠NCM=30°，
∴MN=CM sin30°=，CN=CM cos30°=，
则ON=OM+MN=，∴图2中C点的坐标为（，）．
【点睛】此题主要考查了旋转性质的应用，旋转前后对应角的度数不变，对应线段的长度不变，注意构造直角三角形求解．
18．（2023·湖北·鄂州市中考模拟）如图，将一矩形OBAC放在平面直角坐标系中，O为原点，点B，C分别在x轴、y轴上，点A为（8，6），点D为线段OC上一动点．将△BOD沿BD翻折，点O落在点E处，连接CE．当CE的长最小时，点D的坐标为_____________．
【答案】（0，）
【分析】当C、E、B共线时，EC最小，此时EC=BC-BE=BC-BO，设OD=DE=x，在RT△CDE中利用勾股定理，列出方程即可解决问题．
【详解】解：如图：
当C、E、B共线时，EC最小，此时EC=BC-BE=BC-BO，
在中，
EC的最小值=BC-BO=10-8=2设OD=DE=x在Rt△CDE中，
解得：点D的坐标为：（0，）．故答案为：（0，）．
【点睛】本题考查矩形的性质、坐标与图形性质、翻折变换等知识，解题的关键是正确寻找点E位置，学会利用勾股定理构建方程解决问题，属于中考常考题型．
19．（2021·辽宁朝阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(5，0)，点M的坐标为(0，4)，过点M作MNx轴，点P在射线MN上，若MAP为等腰三角形，则点P的坐标为___________．
【答案】(，4)或(，4)或(10，4)
【分析】分三种情况：①PM＝PA，②MP＝MA，③AM＝AP，分别画图，根据等腰三角形的性质和两点的距离公式，即可求解．
【详解】解：设点P的坐标为（x，4），分三种情况：①PM＝PA，
∵点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（0，4），∴PM＝x，PA＝ ，
∵PM＝PA，∴x＝，解得：x＝，∴点P的坐标为（，4）；
②MP＝MA，∵点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（0，4），∴MP＝x，MA＝＝，
∵MP＝MA，∴x＝，∴点P的坐标为（，4）；
③AM＝AP，∵点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（0，4），∴AP＝，MA＝＝，
∵AM＝AP，∴＝，解得：x1＝10，x2＝0（舍去），∴点P的坐标为（10，4）；
综上，点P的坐标为（，4）或（，4）或（10，4）．故答案为：(，4)或(，4)或(10，4)．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和坐标与图形的性质，熟练掌握坐标与图形特征，利用坐标特征和勾股定理求线段的长是解题的关键．
20．（2022·江苏·泰州二模）如图，在单位长度为1的网格中建立平面直角坐标系，则△ABO的重心的坐标是____________．
【答案】
【分析】由△ABO的重心可得如图所示，则有点G即为△ABO的重心，由题意可得：，则由中点坐标公式可得：，然后分别求出直线BC与OD的解析式，进而问题可求解．
【详解】解：由△ABO的重心可得如图所示：
∴点G即为△ABO的重心，由题意可得：，∴由中点坐标公式可得：，
设直线OD的解析式为，把点D代入则有：，解得：，∴直线OD的解析式为，
设直线BC的解析式为，把点B、C的坐标代入得：，
解得：，∴直线BC的解析式为，
∴联立直线BC、OD的解析式可得：，解得：，
∴点G的坐标为；故答案为．
【点睛】本题考查三角形重心及一次函数的性质，熟练掌握三角形的重心及一次函数的性质是解题的关键．
21．（2022·广东·深圳市一模）如图，直线与交点的横坐标为．则关于的不等式的解集为______．
【答案】
【分析】求出直线与轴的交点，利用图象法即可解决问题；
【详解】解：直线与的交点的横坐标为，
关于的不等式的解集为，时，，
不等式的解集为．故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式等知识，解题的关键是学会利用图象法解不等式问题．
22．（2021·四川广安市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，以此进行下去……若点的坐标为，则点的纵坐标为______．
【答案】
【分析】计算出△AOB的各边，根据旋转的性质，求出OB1，B1B3，...，得出规律，求出OB21，再根据一次函数图像上的点求出点B21的纵坐标即可．
【详解】解：∵AB⊥y轴，点B（0，3），∴OB=3，则点A的纵坐标为3，代入，
得：，得：x=-4，即A（-4，3），∴OB=3，AB=4，OA==5，
由旋转可知：OB=O1B1=O2B1=O2B2=…=3，OA=O1A=O2A1=…=5，AB=AB1=A1B1=A2B2=…=4，
∴OB1=OA+AB1=4+5=9，B1B3=3+4+5=12，∴OB21=OB1+B1B21=9+（21-1）÷2×12=129，
设B21（a，），则OB21=，解得：或（舍），
则，即点B21的纵坐标为，故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，旋转以及直角三角形的性质，求出△OAB的各边，计算出OB21的长度是解题的关键．
23．（2020·辽宁鞍山市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，在x轴上取两点C，D（点C在点D左侧），且始终保持，线段在x轴上平移，当的值最小时，点C的坐标为________．
【答案】（-1，0）
【分析】作点B关于x轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x轴交于点D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，得到此时AD+BC的值最小，求出直线AB″，得到点D坐标，从而可得点C坐标．
【详解】解：如图，作点B关于x轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x轴交于点D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，可知四边形B′B″DC为平行四边形，
则B′C=B″D，由对称性质可得：BC=B′C，∴AD+BC=AD+B′C=AD+B″D=AB″，
则此时AB″最小，即AD+BC最小，∵A（3，6），B（-2，2），∴B′（-2，-2），∴B″（-1，-2），
设直线AB″的表达式为：y=kx+b，则，解得：，∴直线AB″的表达式为：y=2x，
令y=0，解得：x=0，即点D坐标为（0，0），∴点C坐标为（-1，0），故答案为：（-1，0）．
【点睛】本题考查轴对称的性质，最短路径问题，一次函数表达式，解题关键是找到AD+BC最小时的情形．
24．（2021·内蒙古·中考真题）如图，点在直线上，点的横坐标为2，过点作轴，垂足为，以为边向右作正方形，延长交直线l于点；以为边向右作正方形，延长交直线l于点；……；按照这个规律进行下去，点的坐标为________．
【答案】
【分析】由题意分别求出A1、A2、A3、A4……An、B1、B2、B3、B4……Bn、的坐标，根据规律进而可求解．
【详解】解：∵点在直线上，点的横坐标为2，过点作轴，垂足为，
∴，，∴A1B1=1，根据题意，OA2=2+1=3，∴，，
同理，，，，……
由此规律，可得：，，∴即，
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数的应用、正方形的性质、点的坐标规律，理解题意，结合图象和正方形的性质，探索点的坐标规律是解答的关键．
25．（2022·四川德阳·中考真题）如图，已知点，，直线经过点．试探究：直线与线段有交点时的变化情况，猜想的取值范围是______．
【答案】或##或
【分析】根据题意，画出图象，可得当x=2时，y≥1，当x=-2时，y≥3，即可求解．
【详解】解：如图，
观察图象得：当x=2时，y≥1，即，解得：，
当x=-2时，y≥3，即，解得：，
∴的取值范围是或．故答案为：或
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
26．（2022·江苏·苏州市一模）阅读材料并解答下列问题：如图1，把平面内一条数轴绕原点逆时针旋转得到另一条数轴轴和轴构成一个平面斜坐标系．规定：过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交轴于点，若点在轴对应的实数为，点在轴对应的实数为，则称有序实数对为点在平面斜坐标系中的斜坐标．如图2，在平面斜坐标系中，点的斜坐标是，点的斜坐标是，连接．（1）线段的长=______；（2）在平面斜坐标系第一象限（类比于平面直角坐标系，正半轴与正半轴所夹区域）内，有一点，使为等腰直角三角形，求点的斜坐标．
【答案】（1）（2） (5-，2+)或(8-2，2+)．
【分析】（1）根据斜坐标的定义，直接求解即可；（2）分两种情况：①当点Q为直角顶点时，则PQ=QM=6，∠PQM=90°，②当点M为直角顶点时，则MP=QM，∠PMQ=90°，分别作出图形，即可求解．
【详解】解：（1）由斜坐标的定义可知：=8-2=6，故答案是：6；
（2）①当点Q为直角顶点时，则PQ=QM=6，∠PQM=90°，
过点M作MN∥y轴，交PQ于点N，过点M作ME∥x轴，延长QP交y轴于点F，
则四边形FNME是平行四边形，
∴EF=MN，∵，PQ∥x轴，MN∥y轴，∴∠MNQ=，
∴MN=MQ÷sin60°=6÷=，NQ=6÷tan60°=6÷=2，∴PN=6-2，
∴FN=2+6-2=8-2，OE=OF+EF=OF+MN=2+，∴M(8-2，2+)；
②当点M为直角顶点时，则MP=QM，∠PMQ=90°，
过点M作MN∥y轴，交PQ于点N，过点M作ME∥x轴，延长QP交y轴于点F，
则四边形FNME是平行四边形，过点M作MG⊥PQ，则MG==3，
由①可知：∠MNQ=，∴MN=MG÷sin60°=3÷=，NG=3÷tan60°=3÷=，
∴PN=3-，∴FN=2+3-=5-，OE=OF+EF=OF+MN=2+，∴M(5-，2+)；
综上所述：点M的坐标为(5-，2+)或(8-2，2+)．
【点睛】本题主要考查图形与坐标，锐角三角函数，以及等腰直角三角形的性质，根据题意画出图形，理解斜坐标系的定义，是解题的关键．
27．（2022·河北·中考真题）如图，平面直角坐标系中，线段AB的端点为，．
(1)求AB所在直线的解析式；(2)某同学设计了一个动画：在函数中，分别输入m和n的值，使得到射线CD，其中．当c＝2时，会从C处弹出一个光点P，并沿CD飞行；当时，只发出射线而无光点弹出．①若有光点P弹出，试推算m，n应满足的数量关系；②当有光点P弹出，并击中线段AB上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段AB就会发光，求此时整数m的个数．
【答案】(1)(2)①，理由见解析②5
【分析】（1）设直线AB的解析式为，把点，代入，即可求解；
（2）①根据题意得，点C（2，0），把点C（2，0）代入，即可求解；
②由①得：，可得，再根据题意找到线段AB上的整点，再逐一代入，即可求解．
(1)解：设直线AB的解析式为，
把点，代入得：，解得：，∴AB所在直线的解析式为；
(2)解： ，理由如下：若有光点P弹出，则c＝2，∴点C（2，0），
把点C（2，0）代入得：；
∴若有光点P弹出，m，n满足的数量关系为；
②由①得：，∴，
∵点，，AB所在直线的解析式为，∴线段AB上的其它整点为，
∵ 有光点P弹出，并击中线段AB上的整点，∴直线CD过整数点，
∴当击中线段AB上的整点（-8，19）时，，即（不合题意，舍去），
当击中线段AB上的整点（-7，18）时，，即，
当击中线段AB上的整点（-6，17）时，17=（-6-2）m，即（不合题意，舍去），
当击中线段AB上的整点（-5，16）时，16=（-5-2）m，即（不合题意，舍去），
当击中线段AB上的整点（-4，15）时，15=（-4-2）m，即（不合题意，舍去），
当击中线段AB上的整点（-3，14）时，14=（-3-2）m，即（不合题意，舍去），
当击中线段AB上的整点（-2，13）时，13=（-2-2）m，即（不合题意，舍去），
当击中线段AB上的整点（-1，12）时，12=（-1-2）m，即m=-4，
当击中线段AB上的整点（0，11）时，11=（0-2）m，即（不合题意，舍去），
当击中线段AB上的整点（1，10）时，10=（1-2）m，即m=-10，
当击中线段AB上的整点（2，9）时，9=（2-2）m，不存在，
当击中线段AB上的整点（3，8）时，8=（3-2）m，即m=8，
当击中线段AB上的整点（4，7）时，7=（4-2）m，即（不合题意，舍去），
当击中线段AB上的整点（5，6）时，6=（5-2）m，即m=2，
当击中线段AB上的整点（6，5）时，5=（6-2）m，即（不合题意，舍去），
综上所述，此时整数m的个数为5个．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质，理解有光点P弹出，并击中线段AB上的整点，即直线CD过整数点是解题的关键．
28．（2022·黑龙江·中考真题）为抗击疫情，支援B市，A市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往B市．甲、乙两辆货车从A市出发前往B市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达B市．甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B市．乙车维修完毕后立即返回A市．两车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）之间的函数图象如图所示．
(1)甲车速度是_______km/h，乙车出发时速度是_______km/h；(2)求乙车返回过程中，乙车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；(3)乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km？请直接写出答案．
【答案】(1)100 60(2)(3)3，6.3，9.125
【分析】（1）根据图象分别得出甲车5h的路程为500km，乙车5h的路程为300km，即可确定各自的速度；（2）设，由图象可得经过点（9，300），（12，0）点，利用待定系数法即可确定函数解析式；（3）乙出发的时间为t时，相距120km，根据图象分多个时间段进行分析，利用速度与路程、时间的关系求解即可．
(1)解：根据图象可得，甲车5h的路程为500km，∴甲的速度为：500÷5=100km/h；乙车5h的路程为300km，
∴乙的速度为：300÷5=60km/h；故答案为：100；60；
(2)设，由图象可得经过点（9，300），（12，0）点，
代入得，解得∴y与x的函数解析式为；
(3)解：设乙出发的时间为t时，相距120km，根据图象可得，
当0当5.5当8当9综上可得：乙车出发3h、6.3h与9.125h时，两车之间的距离为120km．
【点睛】题目主要考查根据函数图象获取相关信息，一次函数的应用，一元一次方程的应用等，理解题意，根据函数图象得出相关信息是解题关键．
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专题08 坐标系与一次函数
【考场演练1】热点必刷
1．（2022·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，将函数y=3x +2的图象向下平移3个单位长度，所得的函数的解析式是（ ）
A．y=3x+5 B．y=3x﹣5 C．y=3x+1 D．y=3x﹣1
2．（2022·湖南株洲·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴的交点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·陕西·中考真题）在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·四川乐山·中考真题）点所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2022·江苏·南通二模）已知点，点为坐标原点，连接，将线段按顺时针方向旋转90°，得到线段，则点的坐标是（ ）
A．（-1,-2） B．（1,2） C．（2,1） D．（-2,-1）
6．（2022·湖北宜昌·中考真题）如图是小强散步过程中所走的路程（单位：）与步行时间（单位：）的函数图象．其中有一时间段小强是匀速步行的．则这一时间段小强的步行速度为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·湖北随州·中考真题）已知张强家、体育场、文具店在同一直线上．下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中x表示时间，y表示张强离家的距离．则下列结论不正确的是（ ）
A．张强从家到体育场用了15min B．体育场离文具店1.5km
C．张强在文具店停留了20min D．张强从文具店回家用了35min
8．（2022·湖南永州·中考真题）学校组织部分师生去烈士陵园参加“不忘初心，牢记使命”主题教育活动、师生队伍从学校出发，匀速行走30分钟到达烈士陵园，用1小时在烈主陵园进行了祭扫和参观学习等活动，之后队伍按原路匀速步行45分钟返校、设师生队伍离学校的距离为米，离校的时间为分钟，则下列图象能大致反映与关系的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022·湖北蔡甸·二模）小明同学利用“描点法”画某个一次函数的图象时，列出的部分数据如下表：
… 0 1 2 …
… 4 1 …
经过认真检查，发现其中有一个函数值计算错误，这个错误的函数值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
10．（2022·浙江台州·中考真题）吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上，家到公园、公园到学校的距离分别为400m，600m．他从家出发匀速步行8min到公园后，停留4min，然后匀速步行6min到学校，设吴老师离公园的距离为y（单位：m），所用时间为x（单位：min），则下列表示y与x之间函数关系的图象中，正确的是（ ）
A．B．C． D．
11．（2022·山东烟台·中考真题）周末，父子二人在一段笔直的跑道上练习竞走，两人分别从跑道两端开始往返练习．在同一直角坐标系中，父子二人离同一端的距离s（米）与时间t（秒）的关系图像如图所示．若不计转向时间，按照这一速度练习20分钟，迎面相遇的次数为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
12．（2022·湖北恩施·中考真题）图1是我国青海湖最深处的某一截面图，青海湖水面下任意一点A的压强P（单位：cmHg）与其离水面的深度h（单位：m）的函数解析式为，其图象如图2所示，其中为青海湖水面大气压强，k为常数且．根据图中信息分析（结果保留一位小数），下列结论正确的是（ ）
A．青海湖水深16.4m处的压强为188.6cmHg B．青海湖水面大气压强为76.0cmHg
C．函数解析式中自变量h的取值范围是 D．P与h的函数解析式为
13．（2021·福建中考真题）如图，一次函数的图象过点，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
14．（2022·山东泰安·中考真题）如图，四边形为平行四边形，则点B的坐标为________．
15．（2022·江苏泰州·中考真题）如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为__________.
16．（2022·山东烟台·中考真题）观察如图所示的象棋棋盘，若“兵”所在的位置用（1，3）表示，“炮”所在的位置用（6，4）表示，那么“帅”所在的位置可表示为 _____．
17．（2022·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴正半轴上，以点为圆心，长为半径作弧，交轴正半轴于点，则点的坐标为__________．
18．（2022·湖南永州·中考真题）已知一次函数的图象经过点，则______．
19．（2022·天津·中考真题）若一次函数（b是常数）的图象经过第一、二、三象限，则b的值可以是___________（写出一个即可）．
20．（2021·山东中考真题）甲、乙、丙三名同学观察完某个一次函数的图象，各叙述如下：
甲：函数的图象经过点（0，1）；乙：y随x的增大而减小；丙：函数的图象不经过第三象限．
根据他们的叙述，写出满足上述性质的一个函数表达式为 _______．
21．（2022·浙江丽水·中考真题）因疫情防控需婴，一辆货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆轿车从甲地急送防疫专家到乙地．已知甲、乙两地的路程是，货车行驶时的速度是．两车离甲地的路程与时间的函数图象如图．(1)求出a的值；(2)求轿车离甲地的路程与时间的函数表达式；(3)问轿车比货车早多少时间到达乙地？
22．（2021·浙江丽水市·中考真题）李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地．行驶过程中，货车离目的地的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的关系如图所示（中途休息、加油的时间不计．当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒．设货车平均耗油量为0.1升/千米，请根据图象解答下列问题：（1）直接写出工厂离目的地的路程；（2）求s关于t的函数表达式；（3）当货车显示加油提醒后，问行驶时间t在怎样的范围内货车应进站加油？
23.（2022·新疆·中考真题）A，B两地相距，甲、乙两人分别开车从A地出发前往B地，其中甲先出发，如图是甲，乙行驶路程随行驶时间变化的图象，请结合图象信息．解答下列问题：(1)填空：甲的速度为___________；(2)分别求出与x之间的函数解析式；
(3)求出点C的坐标，并写点C的实际意义．
24．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）2008年5月12日14时28分四川汶川发生里氏8.0级强力地震．某市接到上级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区．乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发1.25小时（从甲组出发时开始计时）．图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程y甲（千米）、y乙（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象．请根据图象所提供的信息，解决下列问题：(1)由于汽车发生故障，甲组在途中停留了___小时；(2)甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区．请问甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米？(3)为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过25千米，请通过计算说明，按图象所表示的走法是否符合约定？
25．（2022·内蒙古通辽·中考真题）为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，两个商店的优惠活动如下：
甲：所有商品按原价8.5折出售；乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折． 设需要购买体育用品的原价总额为元，去甲商店购买实付元，去乙商店购买实付元，其函数图象如图所示. (1)分别求，关于的函数关系式；(2)两图象交于点，求点坐标；(3)请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算．
【考场演练2】重难点必刷
1．（2021·山东菏泽市·中考真题）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴，直线沿轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形截得的线段长为，直线在轴上平移的距离为，、间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形的面积为（ ）
A． B． C．8 D．10
2．（2021·山东中考真题）记实数x1，x2，…，xn中的最小数为min|x1，x2，…，xn|＝﹣1，则函数y＝min|2x﹣1，x，4﹣x|的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·辽宁和平·二模）如图，若点，点，在x轴上找一点P，使最小，则点P坐标为（ ）
A．（－5，0） B．（－1，0） C．（0，0） D．（1，0）
4．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，，，，将四边形向左平移个单位后，点恰好和原点重合，则的值是（ ）
A．11.4 B．11.6 C．12.4 D．12.6
5.（2022·浙江嘉兴·中考真题）已知点，在直线（k为常数，）上，若的最大值为9，则c的值为（ ）
A． B．2 C． D．1
6．（2022·安徽·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图像可能是（ ）
A． B．C． D．
7．（2022·山东威海·中考真题）如图，在方格纸中，点P，Q，M的坐标分别记为（0，2），（3，0），（1，4）．若MN∥PQ，则点N的坐标可能是( )
A．（2，3） B．（3，3） C．（4，2） D．（5，1）
8．（2022·山东聊城·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点是x轴上一点，点E，F分别为直线和y轴上的两个动点，当周长最小时，点E，F的坐标分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
9．（2022·广西柳州·中考真题）如图，直线y1＝x+3分别与x轴、y轴交于点A和点C，直线y2＝﹣x+3分别与x轴、y轴交于点B和点C，点P（m，2）是△ABC内部（包括边上）的一点，则m的最大值与最小值之差为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
10．（2021·贵州安顺市·中考真题）小星在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题．现有7条不同的直线，其中，则他探究这7条直线的交点个数最多是（ ）
A．17个 B．18个 C．19个 D．21个
11．（2022·广西·南宁三模）如图，在平面直角坐标系中，若折线与直线交（）有且仅有一个交点，则的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
12．（2022·黑龙江绥化·中考真题）小王同学从家出发，步行到离家a米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为（ ）
A．2.7分钟 B．2.8分钟 C．3分钟 D．3.2分钟
13．（2022·黑龙江大庆·中考真题）平面直角坐标系中，点M在y轴的非负半轴上运动，点N在x轴上运动，满足．点Q为线段的中点，则点Q运动路径的长为( )
A． B． C． D．
14．（2022·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为(10，4)，四边形ABEF是菱形，且tan∠ABE=．若直线l把矩形OABC和菱形ABEF组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式为（ ）
A． B． C． D．
15．（2022·湖北黄冈·中考真题）如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时，t的值为________．
16．（2021·山东聊城市·中考真题）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B，D两点坐标分别为B（﹣4，6），D（0，4），线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为__________．
17．（2023·成都市九年级期中）先将一矩形置于直角坐标系中，使点A与坐标系的原点重合，边，分别落在x轴、y轴上（如图1），再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30°（如图2），若，，则图1和图2中点B点的坐标为_________，点C的坐标_________．
18．（2023·湖北·鄂州市中考模拟）如图，将一矩形OBAC放在平面直角坐标系中，O为原点，点B，C分别在x轴、y轴上，点A为（8，6），点D为线段OC上一动点．将△BOD沿BD翻折，点O落在点E处，连接CE．当CE的长最小时，点D的坐标为_____________．
19．（2021·辽宁朝阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(5，0)，点M的坐标为(0，4)，过点M作MNx轴，点P在射线MN上，若MAP为等腰三角形，则点P的坐标为___________．
20．（2022·江苏·泰州二模）如图，在单位长度为1的网格中建立平面直角坐标系，则△ABO的重心的坐标是____________．
21．（2022·广东·深圳市一模）如图，直线与交点的横坐标为．则关于的不等式的解集为______．
22．（2021·四川广安市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，以此进行下去……若点的坐标为，则点的纵坐标为______．
23．（2020·辽宁鞍山市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，在x轴上取两点C，D（点C在点D左侧），且始终保持，线段在x轴上平移，当的值最小时，点C的坐标为________．
24．（2021·内蒙古·中考真题）如图，点在直线上，点的横坐标为2，过点作轴，垂足为，以为边向右作正方形，延长交直线l于点；以为边向右作正方形，延长交直线l于点；……；按照这个规律进行下去，点的坐标为________．
25．（2022·四川德阳·中考真题）如图，已知点，，直线经过点．试探究：直线与线段有交点时的变化情况，猜想的取值范围是______．
26．（2022·江苏·苏州市一模）阅读材料并解答下列问题：如图1，把平面内一条数轴绕原点逆时针旋转得到另一条数轴轴和轴构成一个平面斜坐标系．规定：过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交轴于点，若点在轴对应的实数为，点在轴对应的实数为，则称有序实数对为点在平面斜坐标系中的斜坐标．如图2，在平面斜坐标系中，点的斜坐标是，点的斜坐标是，连接．（1）线段的长=______；（2）在平面斜坐标系第一象限（类比于平面直角坐标系，正半轴与正半轴所夹区域）内，有一点，使为等腰直角三角形，求点的斜坐标．
27．（2022·河北·中考真题）如图，平面直角坐标系中，线段AB的端点为，．
(1)求AB所在直线的解析式；(2)某同学设计了一个动画：在函数中，分别输入m和n的值，使得到射线CD，其中．当c＝2时，会从C处弹出一个光点P，并沿CD飞行；当时，只发出射线而无光点弹出．①若有光点P弹出，试推算m，n应满足的数量关系；②当有光点P弹出，并击中线段AB上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段AB就会发光，求此时整数m的个数．
28．（2022·黑龙江·中考真题）为抗击疫情，支援B市，A市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往B市．甲、乙两辆货车从A市出发前往B市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达B市．甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B市．乙车维修完毕后立即返回A市．两车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）之间的函数图象如图所示．(1)甲车速度是_______km/h，乙车出发时速度是_______km/h；(2)求乙车返回过程中，乙车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；(3)乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km？请直接写出答案．
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