9.1.2三角形的内角和与外角和 教案
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9.1.2三角形的内角和与外角和 教学设计
课题 9.1.2三角形的内角和与外角和 单元 第9 单元 学科 数学 年级 七年级（下）
教材分析 小学阶段已经了解了“三角形的内角和等于180°”，但是，教材又将学生熟悉的知识点安排在此处，不仅仅是为了让学生做简单的回顾，更主要的是要让学生学习用演绎推理的方法证明这个结论.并在这个结论的基础上推出：直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，最后再给出“三角形的外角和等于360°”的结论，作为对后面探索多边形的外角和定理的铺垫.这部分内容是让学生进行演绎推理很好的素材，并且让学生体会到数学证明的必要性.
核心素养分析 通过剪拼的实验与操作，提高动手能力.经历三角形内角和外角关系的探究过程，在探究中发展合情推理的能力.使学生学会探索数学问题的归纳法和实验法等研究方法.
学习目标 1.理解三角形的外角的两条性质以及三角形的内角和与外角和.2.会利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”进行有关计算.
重点 理解并掌握三角形外角的性质以及其外角的和.
难点 三角形内角和外角的计算.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题在小学里，学生知道三角形内角和等于1800 ，通过运用几何画版制作的课件，使学生直观地感受三角形的三个内角之间的关系。情境1：感受△ABC的形状在不断变化过程中三角形三内角的和为1800。情境2：感受△ABC用拼图的方法得出三角形内角和等于1800 。方法一，在△ABC中，把∠A撕下，然后把点A与点C重合在同一点，摆成如图所示的位置。方法二，其它拼图验证方法（如集中在A点）得出如下的结论:三角形的内角和等于180°.如果我们不用剪拼办法，可不可以用说理的办法说明该结论正确呢？探究一：如图,已知△ABC,分别用∠1、∠2、∠3表示ABC的三个内角,证明∠1+∠2+∠3=180°.解 延长BC至点E,以点C为顶点,在BE的上侧作∠DCE =∠2 ,则CD// BA(同位角相等,两直线平行).∵CD// BA，∴∠1 = ∠ACD(两直线平行,内错角相等)∵∠3 + ∠ACD+ ∠DCE =180°,∴∠1 +∠2 +∠3 =180°(等量代换).由三角形的内角和等于180°,容易得出下面的结论:直角三角形的两个锐角互余.由于∠A+∠B+∠C=180°.∠C=90°，所以∠A+∠B=180°-90°=90°故直角三角形的两个锐角互余。【归纳结论】三角形的内角和等于 ；直角三角形的两个锐角 .探究二：如图,一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角.三角形的外角与内角有什么关系呢 在图中,显然有∠CBD(外角)＋∠ABC(相邻的内角)= 180°.图9.1.10那么外角∠CBD与其他两个不相邻的内角又有么关系呢 依据三角形的内角和等于180°,我们有∠ACB +∠BAC + ∠ABC = 180°.由上面两个式子,可以推出∠CBD = 180° - ∠ABC，∠ACB +∠BAC =180° -∠ABC.因而可以得到你与你的同伴所发现的结论:∠CBD =∠ACB +∠BAC.由此可知,三角形的外角有两条性质:1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.2.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个,这两个外角是对顶角.从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加,得到的和称为三角形的外角和.如图9.1.11所示，∠1 +∠2 +∠3就是△ABC的外角和.做一做在图9.1.11中，∠1＋_______= 180°,∠2 +_______=180°,∠3 +_______=180°.三式相加可以得到∠1 +∠2 +∠3＋_______+_______+_______=_______①而∠ACB +∠BAC +∠ABC =180°，②将①与②相比较,你能得出什么结论 可以得到∠1 +∠2 +∠3 = 360°.由此可知:三角形的外角和等于360°.你能由下图说明这一结论吗？ ∠2+∠EAD+∠BAD=360°∵∠EAD=∠1， ∠BAD=∠3∴∠2+∠1+∠3=360° 思考自议引入新课，激发学生继续探究三角形内角和和外角和的兴趣。
培养学生的数学语言表达能力，培养逻辑推理能力。
讲授新课 提炼概念三角形的内角和定理文字语言：三角形的内角和等于180°符号语言：∵ ∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角∴ ∠A＋∠B＋∠C＝180°（三角形的内角和等180°）三角形外角的性质∠ACD=∠ABC+ ∠BAC 即：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.因为：∠ACD+∠ACB=180° ∠ABC+ ∠BAC+ ∠ACB=180 °可知：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.典例精讲例1 如图9.1.12，D是ABC的BC边上一点，∠B =∠BAD，∠ADC = 80°，∠BAC = 70°．求:(1) ∠B的度数;(2)∠C的度数.解(1)∵∠ADC是△ABD的外角(已知)，∴∠B ＋∠BAD = ∠ADC = 80°(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和).又∵ ∠B =∠BAD(已知)， ∴∠B =80°× = 40°(等量代换).(2)∵∠B +∠BAC+∠C = 180°(三角形的内角和等于180°),∴∠C = 180° -∠B -∠BAC(等式的性质)= 180° -40° -70°= 70°. 掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，三角形的外角和等于360°。 总结三角形内角和和外角和，引入新课，鼓励学生探索新知。
课堂练习 四、巩固训练 1．将一副三角板按如图方式重叠，则∠1的度数为( )A.45° B.60° C.75° D.105°C2.判断∠1与∠3的大小，并说明理由。解：∠3 > ∠1∵∠3 >∠2 ,∠2 >∠1∴∠3 >∠13.如图所示：求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数？解：∵∠1＝ ∠A+ ∠D（三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和）又∵∠2＝ ∠B+ ∠E（三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和）∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=(∠A+ ∠D)+(∠B+ ∠E)+∠C=∠1+∠2+∠C=180°4．如图，D是△ABC中的BC边上的一点，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝66°，求∠DAC的度数．解：设∠1＝∠2＝x°，∵∠4是△ABD的外角，∴∠4＝∠3＝∠1＋∠2＝2x°，又∵∠BAC＋∠3＋∠2＝180°，∴66°＋2x°＋x°＝180°，∴x°＝38°，∴∠DAC＝∠BAC－∠1＝66°－38°＝28°
课堂小结 课堂小结
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9.1.2三角形的内角和与外角和 教学设计
课题 9.1.2三角形的内角和与外角和 单元 第9 单元 学科 数学 年级 七年级（下）
教材分析 小学阶段已经了解了“三角形的内角和等于180°”，但是，教材又将学生熟悉的知识点安排在此处，不仅仅是为了让学生做简单的回顾，更主要的是要让学生学习用演绎推理的方法证明这个结论.并在这个结论的基础上推出：直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，最后再给出“三角形的外角和等于360°”的结论，作为对后面探索多边形的外角和定理的铺垫.这部分内容是让学生进行演绎推理很好的素材，并且让学生体会到数学证明的必要性.
核心素养分析 通过剪拼的实验与操作，提高动手能力.经历三角形内角和外角关系的探究过程，在探究中发展合情推理的能力.使学生学会探索数学问题的归纳法和实验法等研究方法.
学习目标 1.理解三角形的外角的两条性质以及三角形的内角和与外角和.2.会利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”进行有关计算.
重点 理解并掌握三角形外角的性质以及其外角的和.
难点 三角形内角和外角的计算.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题在小学里，学生知道三角形内角和等于1800 ，通过运用几何画版制作的课件，使学生直观地感受三角形的三个内角之间的关系。情境1：感受△ABC的形状在不断变化过程中三角形三内角的和为1800。情境2：感受△ABC用拼图的方法得出三角形内角和等于1800 。方法一，在△ABC中，把∠A撕下，然后把点A与点C重合在同一点，摆成如图所示的位置。方法二，其它拼图验证方法（如集中在A点）得出如下的结论:三角形的内角和等于180°.如果我们不用剪拼办法，可不可以用说理的办法说明该结论正确呢？探究一：如图,已知△ABC,分别用∠1、∠2、∠3表示ABC的三个内角,证明∠1+∠2+∠3=180°.解 延长BC至点E,以点C为顶点,在BE的上侧作∠DCE =∠2 ,则CD// BA(同位角相等,两直线平行).∵CD// BA，∴∠1 = ∠ACD(两直线平行,内错角相等)∵∠3 + ∠ACD+ ∠DCE =180°,∴∠1 +∠2 +∠3 =180°(等量代换).由三角形的内角和等于180°,容易得出下面的结论:直角三角形的两个锐角互余.由于∠A+∠B+∠C=180°.∠C=90°，所以∠A+∠B=180°-90°=90°故直角三角形的两个锐角互余。【归纳结论】三角形的内角和等于 ；直角三角形的两个锐角 .探究二：如图,一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角.三角形的外角与内角有什么关系呢 在图中,显然有∠CBD(外角)＋∠ABC(相邻的内角)= 180°.图9.1.10那么外角∠CBD与其他两个不相邻的内角又有么关系呢 依据三角形的内角和等于180°,我们有∠ACB +∠BAC + ∠ABC = 180°.由上面两个式子,可以推出∠CBD = 180° - ∠ABC，∠ACB +∠BAC =180° -∠ABC.因而可以得到你与你的同伴所发现的结论:∠CBD =∠ACB +∠BAC.由此可知,三角形的外角有两条性质:1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.2.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个,这两个外角是对顶角.从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加,得到的和称为三角形的外角和.如图9.1.11所示，∠1 +∠2 +∠3就是△ABC的外角和.做一做在图9.1.11中，∠1＋_______= 180°,∠2 +_______=180°,∠3 +_______=180°.三式相加可以得到∠1 +∠2 +∠3＋_______+_______+_______=_______①而∠ACB +∠BAC +∠ABC =180°，②将①与②相比较,你能得出什么结论 可以得到∠1 +∠2 +∠3 = 360°.由此可知:三角形的外角和等于360°.你能由下图说明这一结论吗？ ∠2+∠EAD+∠BAD=360°∵∠EAD=∠1， ∠BAD=∠3∴∠2+∠1+∠3=360° 思考自议引入新课，激发学生继续探究三角形内角和和外角和的兴趣。
培养学生的数学语言表达能力，培养逻辑推理能力。
讲授新课 提炼概念三角形的内角和定理文字语言：三角形的内角和等于180°符号语言：∵ ∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角∴ ∠A＋∠B＋∠C＝180°（三角形的内角和等180°）三角形外角的性质∠ACD=∠ABC+ ∠BAC 即：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.因为：∠ACD+∠ACB=180° ∠ABC+ ∠BAC+ ∠ACB=180 °可知：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.典例精讲例1 如图9.1.12，D是ABC的BC边上一点，∠B =∠BAD，∠ADC = 80°，∠BAC = 70°．求:(1) ∠B的度数;(2)∠C的度数.解(1)∵∠ADC是△ABD的外角(已知)，∴∠B ＋∠BAD = ∠ADC = 80°(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和).又∵ ∠B =∠BAD(已知)， ∴∠B =80°× = 40°(等量代换).(2)∵∠B +∠BAC+∠C = 180°(三角形的内角和等于180°),∴∠C = 180° -∠B -∠BAC(等式的性质)= 180° -40° -70°= 70°. 掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，三角形的外角和等于360°。 总结三角形内角和和外角和，引入新课，鼓励学生探索新知。
课堂练习 四、巩固训练 1．将一副三角板按如图方式重叠，则∠1的度数为( )A.45° B.60° C.75° D.105°C2.判断∠1与∠3的大小，并说明理由。解：∠3 > ∠1∵∠3 >∠2 ,∠2 >∠1∴∠3 >∠13.如图所示：求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数？解：∵∠1＝ ∠A+ ∠D（三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和）又∵∠2＝ ∠B+ ∠E（三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和）∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=(∠A+ ∠D)+(∠B+ ∠E)+∠C=∠1+∠2+∠C=180°4．如图，D是△ABC中的BC边上的一点，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝66°，求∠DAC的度数．解：设∠1＝∠2＝x°，∵∠4是△ABD的外角，∴∠4＝∠3＝∠1＋∠2＝2x°，又∵∠BAC＋∠3＋∠2＝180°，∴66°＋2x°＋x°＝180°，∴x°＝38°，∴∠DAC＝∠BAC－∠1＝66°－38°＝28°
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