江西省丰城市东煌高级中学校2022-2023学年高一下学期第二次月考数学试卷（含解析）

东煌高级中学校2022-2023学年高一下学期第二次月考 数学
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一个正确答案）
1．设角终边上的点的坐标为，则（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，向量，则向量可以表示为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
4．在平面上有A，B，C三点，设若与的长度恰好相等，则有（ ）
A．A，B，C三点必在一条直线上
B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠B为直角
D．△ABC必为等腰直角三角形
5．已知函数的图象与直线y=m有三个交点的横坐标分别为x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），那么x1+2x2+x3的值是
A． B． C． D．
6．下列命题中，正确的是 （ ）
A．若，，则
B．若 则 或
C．对于任意向量，，有
D．对于任意向量，，有
7．已知函数在区间上存在零点，且函数在区间上的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知图象相邻的两条对称轴的距离为，将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，给出下列命题：
①函数的图象关于直线对称；
②函数在上单调递增；
③函数的图象关于点对称.
其中正确的命题个数为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，每题5分，共20分，每道题有多个选项正确，全选对5分，少选得2分，多选或选错0分）
9．下列关于向量的叙述正确的是（ ）
A．向量的相反向量是
B．模为1的向量是单位向量，其方向是任意的
C．若A，B，C，D四点在同一条直线上，且，则
D．若向量与满足关系，则与共线
10．如果α是第三象限的角，那么可能是下列哪个象限的角（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11．下列四式可以化简为的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是周期函数 B．满足
C． D．在上有解，则k的最大值是
三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13．函数的值域为______．
14．若向量，且，则向量与向量所在直线的夹角是___________（用弧度表示）．
15．若角的终边在直线上，则______；
16．已知函数在上单调，且将函数的图象向右平移个单位长度后与原来的图象重合．当时，使得不等式成立的的最大值为______．
四、解答题
17．（本题满分10分）已知扇形的周长为30．
(1)若该扇形的半径为10，求该扇形的圆心角，弧长及面积;
(2)求该扇形面积的最大值及此时扇形的半径 .
18．（本题满分12分）如图所示，∠AOB＝∠BOC＝120°，||＝||＝||，求＋＋.
19．（本题满分12分）已知是方程的根，求的值.
20．（本题满分12分）证明：当向量，不共线时，
(1)；
(2)．
21．（本题满分12分）已知函数同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③最大值为2；④最小正周期为.
(1)给出函数的解析式，并说明理由；
(2)求函数的单调递减区间.
22．（本题满分12分）定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，．
（1）当时，求的解析式．
（2）画出函数在上的函数简图．
（3）当时，求x的取值范围．
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参考答案：
1．D
【分析】由任意三角函数的定义即可求解
【详解】设角终边所在圆的半径为，由题意得，，
所以，，，所以D选项正确，
故选：D
2．C
【分析】根据向量的线性运算法则结合图形可得的表达式.
【详解】根据向量运算法则可得，
又，
所以，
故选：C.
3．C
【分析】求出的值，结合可求得的值，即可求得的值.
【详解】，
可得，，则，，
因此，.
故选：C.
4．C
【分析】以为邻边作平行四边形，根据m，n的长度相等可知平行四边形一定是矩形,即可判断.
【详解】以为邻边作平行四边形，则由m，n的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形一定是矩形,所以△ABC必为直角三角形且∠B为直角．
故选：C.
5．C
【分析】利用三角函数性质结合图象可得答案.
【详解】由得，
所以函数的图象取得最值的x的值有2个，
分别是，由正弦函数图象的对称性可知，，．
故选：C.
6．D
【分析】A. 由时判断；B.举例判断； C.由非零向量，方向相反判断；D.利用平面向量三角形法则判断.
【详解】A. 当时，满足，，但不一定平行，故错误；
B.当时，满足，但，不成立，故错误；
C.若非零向量，方向相反，则，故错误；
D.当，中有零向量时，，当，为非零向量时，若，共线且方向相同时，则，当，为非零向量时，若，共线且方向相反时，则，当，为非零向量时，且，不共线时，如图所示：，，综上：，故正确.
故选：D
7．B
【分析】利用正弦函数的图象与性质以及整体代换的技巧进行求解.
【详解】当时， ，
因为函数在区间上存在零点，
根据正弦函数图象可知，，解得，
又函数在区间上的值域为，
根据正弦函数图象可知，，解得，
所以的取值范围是，故A，C，D错误.
故选：B.
8．C
【分析】利用正弦型函数的基本性质以及函数图象变换求出函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断①③的正误，利用正弦型函数的单调性可判断②的正误.
【详解】由题意可知，函数的最小正周期为，可得，则，
将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，
由于函数的图象关于轴对称，则，解得，
，，所以，.
对于①，，
所以，函数的图象关于直线对称，①正确；
对于②，当时，，
所以，函数在上不单调，②错误；
对于③，，
所以，函数的图象关于点对称，③正确.
故选：C.
【点睛】思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路：
（1）将函数解析式变形为或的形式；
（2）将看成一个整体；
（3）借助正弦函数或余弦函数的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关问题.
9．ABD
【分析】由相反向量、单位向量、共线向量的定义以及性质判断即可.
【详解】解：A向量的相反向量是，正确：
B.模为1的向量是单位向量，其方向是任意的，正确：
C.若A，B，C，D四点在同一条直线上，且，则，不正确，因为与可能方向相反；
D.若向量与满足关系，∴，则与共线，正确.
故选：ABD
10．ACD
【分析】先写出角的范围，再除以，从而求出角的范围，分析即得解
【详解】是第三象限的角，则，，
所以，；
当，，在第一象限；
当，，在第三象限；
当，，在第四象限；
所以可以是第一、第三、或第四象限角．
故选：ACD
11．ABC
【分析】根据向量的运算法则依次计算即可.
【详解】对选项A：，正确；
对选项B：，正确；
对选项C：，正确；
对选项D：，错误．
故选：ABC
12．BCD
【分析】A选项，分子和分母分别考虑，看是否是周期函数，B选项，化简得到；CD选项，求出的值域进行判断.
【详解】是周期函数，但不是周期函数，所以不是周期函数，A选项错误；
，故B选项正确；
因为，等号成立时，，所以，而，当时，，，此时，故，C选项正确；
当时，，故的最大值为，故在上有解，则k的最大值是，D选项正确
故选：BCD
13．
【分析】由余弦函数的值域结合二次函数的单调性得出值域.
【详解】
令，则，当时，；当时，，即该函数的值域为
故答案为：
14．
【分析】设，以OA， OB为邻边作平行四边形OACB，如图所示，由已知条件可得四边形OACB为菱形，，从而可求得答案
【详解】设，以OA， OB为邻边作平行四边形OACB，如图所示，
则，
∵，
是等边三角形，
．
在菱形OACB中，对角线OC平分，
∴向量与向量所在直线的夹角为30°．
故答案为：
15．或
【分析】根据给定条件，利用三角函数定义及诱导公式求解作答.
【详解】当角的终边在射线上时，在该射线上取点，O为坐标原点，则，
于是得，
当角的终边在射线上时，在该射线上取点，则，
于是得.
故答案为：或
16．
【分析】由函数在上单调，则区间长度不超过,即，从而得出，再根据函数的图象向右平移个单位长度后与原来的图象重合，则可得，从而得出的值，再解三角不等式得出答案.
【详解】∵函数在上单调，
所以，即，则
由于函数的图象向右平移个单位长度后与原来的图象重合.
所以，则，则
所以，则，
由于不等式成立，
故，
解得，
由于，
当时，，则不等式成立的的最大值为.
故答案为：.
17．(1)，，；
(2)，.
【分析】（1）利用弧长公式，扇形面积公式即得；
（2）由题可得，然后利用基本不等式即求.
【详解】（1）由题知扇形的半径，扇形的周长为30，
∴，
∴，，.
（2）设扇形的圆心角，弧长，半径为，则，
∴，
∴
当且仅当，即取等号，
所以该扇形面积的最大值为，此时扇形的半径为.
18．
【分析】根据向量加法法则的几何意义，即可得到答案；
【详解】如图所示，
以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，由向量加法的平行四边形法则知
由，∠AOB＝120°，
知∠BOD＝60°，，
又∠COB＝120°，且，
，.
19．
【分析】先解方程得出根为，即，再求出，结合诱导公式化简可得原式为，即可得解.
【详解】即 ，解得 ， ，
， ，
，
因为，所以 ，那么原式值为.
故答案为：
20．(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）设，，以为邻边作一个平行四边形，则在中利用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得答案；
（2）在中，利用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得答案
【详解】（1）
如图所示，设，，且向量，不共线，
以为邻边作一个平行四边形，则，
在中，因为，所以，
因为，所以，
所以.
（2）由（1）向量，不共线，在中，因为，
所以，
因为，所以，
所以．
21．(1)，理由见解析
(2)
【分析】（1）由可以排除条件②，再利用条件①③④根据特殊值、最值与周期公式即可求解；
（2）运用整体思想直接代入正弦函数的单调递减区间即可求解.
【详解】（1）依题意，
若函数满足条件②，则，
这与矛盾，所以不能满足条件②，
所以应满足条件①③④
由条件④得，且，所以，
由条件③得，
再由条件①得，
且， 所以，
所以；
（2）由，
得，
所以的单调递减区间为.
22．（1）；（2）图见解析；（3）．
【分析】（1）根据是偶函数，求得时，函数的解析式，再由函数的同期性可求得时，函数的解析式，从而可得答案．
（2）由（1）得，根据正弦函数的图像可得出函数在上的函数简图.
（3）先求得时，满足不等式的的范围，再根据函数的周期求得x的取值范围．
【详解】解：（1）若，则．
因为是偶函数，所以．
若，则，
因为是最小正周期为的周期函数，所以，
所以．
（2）由（1）得．
若，则．因为是偶函数，所以．
所以，，
所以函数在上的函数简图，如下图所示：
（3），可得，函数周期为，因此x的取值范围是．