四川省内江市威远中学校2022-2023学年高二下学期期中考试数学（理）试题（含答案）

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威远中学校2022-2023学年高二下学期期中考试
数学（理）
数学试题共4页.满分150分.考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题.（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1．命题“ x∈[0，+∞），x2﹣2020cosx＞0”的否定为（　　）
A. B.
C. D.
2. 双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
3．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为(　　)
A.－ B． C．8 D．－8
4．已知向量a＝(－1,1,0)，b＝(1,0,2)，且ka＋b与a－2b互相垂直，则k＝(　　)
A．－ B． C. D.
5. 若椭圆的焦距为2 ，则离心率是（　　）
A. B. 或 C. 或 D.
6. 已知l，m是两条不同的直线，m⊥平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．若双曲线C1：与C2：的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b＝(　　)
A．2　　　　　　B．8 C．6 D．4
已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
设为抛物线的焦点，点在上，点，若，则的中点到轴的距离是（ ）
A．2 B． C．3 D．
10．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，O为底面ABCD的中心，M，N分别为棱A1D1，CC1的中点，则异面直线B1M与ON所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
11．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F1且斜率为的直线l与双曲线的右支交于点P，与其中一条渐近线交于点M，且有，则双曲线的渐近线方程为（　　）
A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝x
12. 中国结是一种传统的民间手工艺术，带有浓厚的中华民族文化特色，它有着复杂奇妙的曲线．用数学的眼光思考可以还原成单纯的二维线条，其中的“”形对应着数学曲线中的双纽线．在平面上，把到两个定点，距离之积等于的动点轨迹称为双纽线C，P是曲线C上的一个动点．则下列结论正确的个数是（ ）
①曲线C关于原点对称
②曲线C上满足的P有且只有一个
③动点P到定点，距离之和的最小值为2a
④若直线与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二．填空题：本大共4小题 ，每小题5分,满分20分
13. 已知直线与椭圆交于两点，是椭圆的左焦点，则 的周长是 .
14.已知抛物线的焦点为F，定点，点P是抛物线上一个动点，则的最小值为
15．已知双曲线的右焦点为F，若过F且倾斜角为45°的直线l与双曲线的右支有两个不同交点，则双曲线的离心率e的取值范围是
16．已知函数，，，，使得成立，则实数的取值范围为_____________.
三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
17．（本小题满分10分）已知命题p：方程表示焦点在x轴上的椭圆；
命题q：方程表示焦点在x轴上的双曲线。
若命题“”为真命题，“”为假命题，求实数m的取值范围。
18．（本小题满分12分已知一动圆与圆：外切，且与圆：内切.
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）过点能否作一条直线与交于，两点，且点是线段的中点，若存在，求出直线方程；若不存在，说明理由.
19.（本小题满分12分已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点M为中点，．
(1)求证：平面平面；
(2)求直线PB与平面所成角大小；
20.（本小题满分12分已知曲线C上的每一个点到的距离减去它到y轴的距离的差都是2。
（1）求曲线C的方程；
（2）过F作直线交曲线C于A、B两点，点，求△ABD面积的最小值。
21.（本小题满分12分如图，四棱锥中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD。
是PD的中点。
（1）证明：直线CE∥平面PAB；
（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，
求二面角的余弦值。
22．(本小题满分12分)以椭圆C：＋＝1(a>b>0)的中心O为圆心，为半径的圆称为该椭圆的“准圆”．设椭圆C的左顶点为P，左焦点为F，上顶点为Q，且满足|PQ|＝2，S△OPQ＝S△OFQ.
(1)求椭圆C及其“准圆”的方程；
(2)若椭圆C的“准圆”的一条弦ED(不与坐标轴垂直)与椭圆C交于M，N两点，当·＝0时，判断弦ED的长是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
威远中学校2022-2023学年高二下学期期中考试
数学（理） 答案
选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A C A D C B D C C A A D
二．填空题
13.20 14.5 15. 16.
三、解答题
17.若为真，则，解得：..............................................2分
若为真命题，则可得:，........................................................4分
因为为真命题，为假命题，所以一真一假，............................5分
若真假，则：解得：，...............................................7分
若假真，则：，解得：，...........................................9分
综上所述，实数的取值范围为：............................................10分
18.（1）设动圆圆心，半径为，根据题意得：，所以，
则动点轨迹为双曲线（右支），所以，，，.....................4分
所以轨迹方程为....................................................................6分
（2）设，代入双曲线的方程得
两式相减得，
因为是线段的中点，所以
所以，满足直线与曲线有两个交点，
所以的方程为..................................................................................12分
19.（1）因为平面，平面，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以，因为点M为中点，，
所以，又平面，
所以平面，因为平面，所以平面平面；................6分
（2）以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知可得，
因为平面，
所以即为平面PCD的一条法向量，
，设直线与平面所成角为，
则，.............11分
又，所以，即直线与平面所成角的大小为..............................12分
20.（1）设点是曲线上任意一点,
则............................................................................2分
当时曲线的方程为，..........................................3分
当时，曲线方程为........................................................4分
故曲线方程是.................................................6分
(2)由题意得,直线的方程为,要与曲线有两个焦点，则曲线方程为
设.由得.
,...............................................8分
所以.，....................................10分
故当时，。所以三角形ABC面积的最小值是16........................12分
21.（1）证明：取的中点，连结是的中点，，
四边形是平行四边形，
平面平面，
直线//平面..................................................................6分
（2）法一：四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，是的中点.取的中点在底面上的射影在上，设，则，
直线与底面所成角为，可得：，
可得：，，作于，连接，所以就是二面角的平面角，，二面角的余弦值为：.................................................12分
法二：
由已知得,以为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，则
则，，，，,则
因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而是底面ABCD的法向量，所以
，即
又在棱上,设
由①，②得（舍去）或 所以，
设是平面ABM的法向量，则
所以可取........................9分
于是，因此二面角M-AB-D的余弦值为......................12分
22.解：（1）设椭圆的左焦点，，由得，
又，即且，所以，
则椭圆的方程为；椭圆的“准圆”方程为．..........4分
（2）设直线的方程为，且与椭圆的交点，
联列方程组代入消元得：，
由．...................6分
可得，由得，即，所以.............9分
此时成立，
则原点到弦的距离，.............................10分
得原点到弦的距离为，则，故弦为定值．........12分