四川省内江市威远中学校2022-2023学年高二下学期期中考试数学（文）试题（含答案）

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威远中学校2022-2023学年高二下学期期中考试
数学（文）
数学试题共4页.满分150分.考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题.（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1．命题“ x∈[0，+∞），x2﹣2020cosx＞0”的否定为（　　）
A. B.
C. D.
2. 双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
3．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为(　　)
A. B．－ C．8 D．－8
4．若f′(x0)＝，则 等于(　　)
A．－1 B．－2 C．1 D.2
5．焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D．x2＋＝1
6. 设k为正实数，则“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．若双曲线C1：－＝1与C2：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b＝(　　)
A．2　　　　　 　B．4 C．6 D．8
8. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，点在双曲线的右支上，且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．“米”是象形字.数学探究课上，某同学用拋物线和构造了一个类似“米”字型的图案，如图所示，若抛物线，的焦点分别为，，点在拋物线上，过点作轴的平行线交抛物线于点，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
10．已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，若存在点P为椭圆上一点，使得∠F1PF2＝60°，则椭圆离心率e的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
11．已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，．则的最小值为（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
12. 法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为，现有椭圆的蒙日圆上一个动点M，过点M作椭圆C的两条切线，与该蒙日圆分别交于P，Q两点，若面积的最大值为41，则椭圆C的长轴长为（ ）
A．5 B．10 C．6 D．12
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二．填空题：本大共4小题 ，每小题5分,满分20分
13. “”是“”的充分不必要条件，若,则取值可以是___________（满足条件即可）.
14. 已知直线与椭圆交于两点，是椭圆的左焦点，则的周长是 .
15． 已知是抛物线的焦点，为坐标原点，点A是抛物线上的点，且，则的面积为_____________.
16．已知椭圆C：＋x2＝1，过点P的直线与椭圆C相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为____________．
三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
17．（本小题满分10分）分别求适合下列条件的方程：
（1）长轴长为10，焦距为4的椭圆标准方程；
（2）经过点的抛物线的标准方程.
18．（本小题满分12分）设集合，命题，命题
(1)若是的充要条件，求正实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围.
19.（本小题满分12分）已知，命题，；命题，
（1）若p是真命题，求a的最大值；
（2）若为真命题，为假命题，求a取值范围.
20．（本小题12分)
已知曲线C上的每一个点到的距离减去它到y轴的距离的差都是2。
（1）求曲线C的方程；
（2）过F作倾斜角为的直线交曲线C于A、B两点，点，求△ABD的面积。
21.（本小题满分12分） 已知对称轴都在坐标轴上的椭圆C过点与点，过点的直线l与椭圆C交于P，Q两点，直线，分别交直线于E，F两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
22．（本小题满分12分）(本小题满分12分)以椭圆C：＋＝1(a>b>0)的中心O为圆心，为半径的圆称为该椭圆的“准圆”．设椭圆C的左顶点为P，左焦点为F，上顶点为Q，且满足|PQ|＝2，S△OPQ＝S△OFQ.
(1)求椭圆C及其“准圆”的方程；
(2)若椭圆C的“准圆”的一条弦ED(不与坐标轴垂直)与椭圆C交于M，N两点，当·＝0时，判断弦ED的长是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
威远中学校2022-2023学年高二下学期期中考试
数学（文） 答案
一．选择题
1-5 CCBDA 6-10 BBDDC 11-12 BB
二．填空题
13. 满足均可。
14. 20
15.
16.
三．解答题
17.【详解】（1）由条件可得.所以.
标准方程为：或
（2）由题意设抛物线的方程为或，
因为抛物线过点，所以可得，，
即抛物线的方程为或.
18．【详解】（1）由条件， 是的充要条件，
得，即，解得，
所以实数的取值范围是.
（2）由是的充分不必要条件，得真包含于，
所以，或，解得，
综上实数的取值范围是.
19.【详解】（1）由题意可得：，所以，故的最大值为1
（2）命题，使得为真命题，则，解得：或.
i.p真q假时，只需，所以；
ii. p假q真时，只需或，所以；
所以或.
综上所述：a的取值范围为.
20.【详解】（Ⅰ）由题设可得，整理可得.
（Ⅱ）设，
由可得，
所以故，
又点D到的距离，
所以
21．【详解】（1）设椭圆C的方程为且，
因为椭圆C过点与点，所以，解得.
所以椭圆C的标准方程为.
（2）设直线，
由，得，
即，则.
直线的方程分别为.
令，则.
则，
，
所以
.
因为，所以.
即的取值范围为.
所以存在最小值，且最小值为.
22.（1）解：设椭圆C的左焦点由,得由,得又，所以，
所以椭圆方程为：，椭圆的“准圆”方程为：。
（2）设直线ED方程为由得
则
所以由 ,
得即，
所以
此时成立，
则原点到弦的距离，
得原点到弦的距离为，则，
故弦的长为定值．