2022—2023学年北师大版七年级数学下册第四章三角形单元自测题（附答案解析）

北师大版七年级数学下册 第四章 三角形 单元自测题
一、单选题
1．如图，的两条角平分线，交于点P，若，则为（　　）
A．112° B．115° C．120° D．125°
2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．6，5，10 B．5，3，2 C．5，8，14 D．6，9，2
3．已知三角形的两边长分别为2cm和3cm，则该三角形第三边的长不可能是（　　）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
4．如图，直线ab，点A在直线a上．在ABC中，∠B＝90°，∠C＝25°，∠1＝75°，则∠2的度数为（　　）
A．30° B．35° C．40° D．65°
5．如图（），BE是△ABC的高．
A． B． C． D．
6．如图，△OAB≌△OCD，若∠A＝80°，OB＝3，则下列说法正确的是（　　）
A．∠COD＝80° B．CD＝3 C．∠D＝20° D．OD＝3
7．适合条件∠A=∠B=∠C的三角形ABC是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．都有可能
8．如图，为了估计一池塘岸边两点A，B之间的距离，小丽同学在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝5m，PB＝4m，那么点A与点B之间的距离不可能是（　　）
A．6.5m B．7.5m C．8.5m D．9.5m
9．下列说法正确的是（　　）
A．两个面积相等的图形一定是全等图形 B．两个全等图形形状一定相同
C．两个周长相等的图形一定是全等图形 D．两个正三角形一定是全等图形
10．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，，若，则BD的长是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题
11．三角形的两边长分别为2cm，5cm，第三边的长xcm也是整数，则当三角形的周长取最大值时，x的值是 　 　．
12．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，若∠B=70°，∠C=40°，则∠DAE的度数为　 　．
13．在中，，，则　 　°，　 　°．
14．已知，则的度数为　 　．
三、作图题
15．如图，已知△ABC，请利用尺规作图法在AC上求作一点P，使得BP平分∠ABC．（保留作图痕迹，不写作法）
16．如图，已知和线段，请用尺规作图法作等腰，使得，． （保留作图痕迹，不写作法）
四、解答题
17．如图，在四边形中，，，平分，平分，则与有何位置关系？试说明理由．
18．如图，在△ABC中，∠A=，∠B=，CD是AB边上的高；CE是∠ACB的平分线，DF⊥CE于F，求∠BCE和∠CDF的度数.
19．完成下面的证明过程.
已知：如图，于于.
求证：.
证明： (两直线平行，内错角相等).
，
，
在和中，
（　　）.
20．在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，小丽总结出很多全等三角形的模型，她设计了以下问题给同桌解决：如图，做一个“U”字形框架PABQ，AP，BQ足够长，PA⊥AB于点A，QB⊥AB于点B，她在框架里放了两根长度相等的木条CM、NM，且CM⊥MN，点C、M、N分别在PA、AB、BQ上，若AM＝4cm，求BN的长．
21．如图，在中，于点，于点，.
（1）请说明DE∥BC；
（2）若∠A=60°，∠ACB=72°，求∠CDE的度数.
22．如图，已知，，点E在线段BC的延长线上，AE平分，连接DE，，．
（1）求证；
（2）求的度数．
23．如图在△ABC和△CDE中，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE，连接AD，BE交于点M．
（1）如图1，当点B，C，D在同一条直线上，且∠ACB=∠DCE=45°时，可以得到图中的一对全等三角形，即　 　　 　；
（2）当点D不在直线BC上时，如图2位置，且∠ACB=∠DCE=α．
①试说明AD=BE；
②直接写出∠EMD的大小（用含α的代数式表示）．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=130°，
又∵BD、CE是△ABC的角平分线，
∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=×130°=65°，
∴∠BPC=180°-65°=115°．
故答案为：B．
【分析】根据角平分线的定义可得∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=×130°=65°，再利用三角形的内角和求出∠BPC=180°-65°=115°即可。
2．【答案】A
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系，得
A、5＋6＞10，能组成三角形；
B、2＋3＝5，不能组成三角形；
C、8＋5＜14，不能组成三角形；
D、6＋2＜9，不能组成三角形．
故答案为：A．
【分析】三角形的三边关系是：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，依此利用较小两边的之和与最大边长作比较，即可作答.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：设第三边为x
∵三角形的两边长分别为2cm和3cm
∴，
∴第三边不可能是1．
故答案为：A．
【分析】设第三边为x，根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出x的范围，即可作出判断.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：如图所示：
∵∠B=90°，∠C=25°，
∴∠BAC=90°25°=65°，
∵∠1=75°，
∴∠GAC=180°65°75°=40°，
∵直线a∥b，
∴∠2=∠GAC=40°，
故答案为：C．
【分析】根据直角三角形量锐角互余求出∠BAC的度数，再根据平角的定义求出∠GAC的度数，最后根据二直线平行，同位角相等，求∠2的度数.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可知：
BE是△ABC的高．
故答案为：C
【分析】根据BE是△ABC的高，对每个选项一一判断即可。
6．【答案】D
【解析】【解答】解：∵△OAB≌△OCD，∠A=80°，OB=3，
∴∠C=∠A=80°，OD=OB=3，
所以选项A，B，C说法错误，选项D说法正确.
故答案为：D.
【分析】由全等三角形的对应边相等得OD=OB=3，由全等三角形的对应角相等得∠C=∠A=80°.
7．【答案】B
【解析】【解答】∵∠A=∠B=∠C，
∴设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，
∵三角形的内角和是180°，
∴x+2x+3x=180°，解得x=30°，
∴∠C=3x=90°，
∴此三角形是直角三角形．
【分析】由题意可设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，根据三角形的内角和是180°，可得关于x的方程，解方程求得x的值，于是可求得∠B、∠C的度数，则三角形的形状可判断求解.
8．【答案】D
【解析】【解答】解：∵PA、PB、AB能构成三角形，
∴PA﹣PB＜AB＜PA+PB，即1m＜AB＜9m，故D正确．
故答案为：D.
【分析】三角形的三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此求出AB的范围，进而判断.
9．【答案】B
【解析】【解答】解：A、能够完全重合的两个图形就是全等形，所以两个面积相等的图形不一定是全等图形，故A错误，不符合题意；
B、两个全等图形形状一定相同，故B正确，符合题意；
C、两个周长相等的图形不一定是全等图形，故C错误，不符合题意；
D、两个正三角形只是形状相同，大小不一定相等，所以不一定是全等图形，故D错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】能够完全重合的两个图形就是全等形，全等图形的大小、形状都一样，故全等图形的面积、周长都相等，但周长相等、面积相等的图形不一定是全等图形，据此一一判断得出答案.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：∵FCAB，
∴∠A=∠FCE，∠ADE=∠F，
在△ADE与△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD=CF=4，
∴BD=AB-AD=7-4=3.
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质可得∠A=∠FCE，∠ADE=∠F，由已知条件可知DE=FE，证明△ADE≌△CFE，得到AD=CF=4，然后根据BD=AB-AD进行计算.
11．【答案】6
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系，得，即，
因为第三边x是整数，
所以第三边的值可能是4，5，6．
又要求周长最大，则第三边x=6，
故答案为：6．
【分析】利用三角形三边的关系可得，求出，再根据第三边x是整数，可得答案。
12．【答案】15°
【解析】【解答】解：∵∠B=70°，∠C=40°，
∴∠BAC=70°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠CAD=50°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠CAE=∠BAC=35°，
∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=15°．
故答案为：15°．
【分析】先求出∠CAD=50°，∠CAE=∠BAC=35°，再利用角的运算可得∠DAE=∠CAD-∠CAE=15°。
13．【答案】52；38
【解析】【解答】解：在中，，
∴∠B+∠C=90°，
∴∠B=90°-∠C，
∵，
∴90°-∠C-∠C=14°，
解得∠C=38°，
∴∠B=52°，
故答案为：52，38．
【分析】先求出∠B=90°-∠C，再求出∠C=38°，最后计算求解即可。
14．【答案】60°
【解析】【解答】解：∵
∴∠C=180° 70° 50°=60°，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠F=∠C=60°.
故答案为：60°.
【分析】根据内角和定理可得∠C的度数，由全等三角形的性质可得∠F=∠C，据此解答.
15．【答案】解：如图，点P即为所求.
【解析】【分析】以B为圆心，以任意长为半径画弧分别交AB与BC点E和点F，再以E、F为圆心，以大于EF的一半长为半径分别画弧，交于一点M，连接BM，交AC于点P，即可解答.
16．【答案】解：如图，△ABC为所作．
【解析】【分析】首先利用作一个角等于已知角的方法作∠NAM=∠α，然后分别在AN、AM上截取AC=m，AB=m，然后连接BC即可.
17．【答案】结论：BE和DF的位置关系时平行
证明：∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，∠A=∠C=90°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠ABC=2∠2，∠ADC=2∠4，
∴2∠2+2∠4=180°，
∴∠2+∠4=90°，
∵∠4+∠DFC=90°，
∴∠2=∠DFC，
∴BE∥DF
【解析】【分析】利用已知可知∠ABC+∠ADC=180°，利用角平分线的性质可推出∠ABC=2∠2，∠ADC=2∠4，由此可证得∠2+∠4=90°，利用三角形的内角和定理可证得∠4+∠DFC=90°，利用余角的性质可得到∠2=∠DFC，利用同位角相等，两直线平行，可证得结论.
18．【答案】解：∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠A=40°，∠B=72°，
∴∠ACB=68°.
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE∠ACB68°=34°.
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°.
∵∠B=72°，
∴∠BCD=90°﹣72°=18°，
∴∠FCD=∠BCE﹣∠BCD=16°.
∵DF⊥CE，
∴∠CFD=90°，
∴∠CDF=90°﹣∠FCD=74°，即∠BCE=34°，∠CDF=74°.
【解析】【分析】由三角形的内角和定理算出∠ACB的度数，由角平分线的定义算出∠BCE的度数；由垂直的定义及直角三角形两锐角互余可求出∠BCD的度数，根据角的和差，由∠FCD=∠BCE﹣∠BCD算出∠FCD的度数， 最后再由垂直的定义及直角三角形两锐角互余可求出∠CDF的度数.
19．【答案】证明： ∠2 (两直线平行，内错角相等)，
，
∠CFB
，
DF
在和中，，
（ ASA ）.
【解析】【分析】根据平行线的性质得出∠1=∠2，根据垂直的定义得出∠AEB=∠CFB，根据线段的和差关系求出BE=DF，然后利用ASA证明即可.
20．【答案】解：∵ CM⊥MN，即∠CMN=90°，
∴∠AMC+∠BMN=90°，
∵ PA⊥AB，QB⊥AB，即∠MAC=∠MBN=90°，
∴∠AMC+∠ACM=90°，
∴∠BMN=∠ACM，
在△MAC和△NBM中，
，
∴△MAC≌△NBM（AAS），
∴BN=AM=4cm.
【解析】【分析】根据余角的性质求出∠BMN=∠ACM，再利用AAS证明△MAC≌△NBM，得出BN=AM，即可解答.
21．【答案】（1）解：∵ CD⊥AB，EF⊥CD ，
∴∠BDC=∠FGC=90° ，
∴AB∥EF ，
∴∠ADE=∠DEF ，又∵∠ADE=∠EFC ，
∴∠DEF=∠EFC ，
∴DE∥BC；
（2）解：∵∠A+∠ACB+∠B=180°且∠A=60°，∠ACB=72°，
∴∠B=48°，
∵∠BDC=90°，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴∠BCD=42°，
∵DE∥BC，
∴∠CDE=∠BCD=42°.
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得∠BDC=∠FGC=90° ，由同位角相等，两直线平行得AB∥EF，由二直线平行，内错角相等，得∠ADE=∠DEF，结合已知推出∠DEF=∠EFC，由内错角相等，两直线平行，得DE∥BC；
（2）根据三角形的内角和定理算出∠B、∠BCD的度数，由二直线平行，内错角相等得∠CDE=∠BCD，据此即可求出答案.
22．【答案】（1）证明：∵，∴．∵，∴．∴．
（2）解：设，则．∵，∴．∴．∵AE平分，∴．∵，∴，．∵∴，解得．即．
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠ABC=∠DCE，∠ADC=∠DCE，利用等量代换即得∠ABC=∠ADC；
（2）设，则，由平行线的性质可得∠BAD=180°-∠ADC=180°-2α，由AE平分∠BAD，可得， 根据平行线的性质可得方程 ，解出α即可.
23．【答案】（1）△BCE；△ACD
（2）解：①证明：∵∠ACB=∠DCE=α，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；
②∠EMD=α．
【解析】【解答】解：（1）∵∠ACB=∠DCE=45°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
故答案为：△BCE，△ACD；
（2）②解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠BAC+∠ABC=180°-α，
∴∠BAM+∠ABM=180°-α，
∴∠AMB=∠EMD=180°-（180°-α）=α．
【分析】（1）利用“SAS”证明△BCE≌△ACD即可；
（2）①利用“SAS”证明△ACD≌△BCE，可得AD=BE；
②利用全等三角形的性质可得∠CAD=∠CBE，再利用∠BAC+∠ABC=180°-α，可得∠AMB=∠EMD=180°-（180°-α）=α。