认识三角形[下学期]
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文档简介
关于三角形的一些概念
一、 三角形
1、 定义：三角形是由三条线段“首尾顺次相接”组成的。这里要强调“首尾顺次相接”
2、 三个顶点，三条边（线段）
3、 三角形分类：按角，按边。
二、三角形的边
定理：三角形两边的和大于第三边
推论：三角形两边的差小于第三边
(1)判断三条已知线段能否组成三角形
采用一种较为简便的判法：若最短边与较长边的和大于最长边，则可构成三角形，否则不能.
(2)确定三角形第三边的取值范围：两边之差＜第三边＜两边之和
例1 判断题
(1)等边三角形是等腰三角形
(2)三角形可分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形
(3)已知三线段 满足 ,那么 为边可构成三角形
(4)等腰三角形的腰比底长
例3 一个等腰三角形的周长为18 .
(1) 已知腰长是底边长的2倍，求各边长.
(2) 其中一边长4 cm，求其他两边长.
例4 草原上有4口油井，位于四边形ABCD的4个顶点，如图1现在要建一个维修站H，试问H建在何处，才能使它到4口油井的距离HA+HB+HC+HD为最小，说明理由.
思考题：1、在四边形ABCD中，AC与BD相交于P，求证：
（AB+BC+CD+AD）/2＜AC+BD＜AB+BC+CD+AD
2、用15根等长的火柴棒摆成的三角形中，最长边最多可以由几根火柴棒组成？
三、三角形的角
1、三角形三个内角的和等于
2、外角：由三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做三角形的外角。
3、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
根据例4 的度数的求法，思考如下问题：
(3)如图5，过D点画AB的平行线MN，与AC、BC交于点M、N，则 的度数多少
(4)当MN绕着点D旋转过程中， 会有怎样的变化？
思考题：
四、三角形的角平分线
定义：三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段。强调：三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线。
角平分线的性质定理：在角平分线上的点到这个角两边距离相等。
强调说明：（1）、定理的条件及结论的符号表示；
（2）、定理的作用：直接证明两线段相等。使用的前提是有角的平分线，关键是图中是
否有“垂直”。
逆定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
例1、已知：如图1，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
例2、已知：如图2，PB、PC分别是△ABC的外角平分线，相交于点P.求证：P在∠A的平分线上
例3、已知：如图3，PB⊥AB，PC⊥AC，PB＝PC，D是AP上一点求证：∠BDP＝∠CDP
思考题：
(1)已知：如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝DC，BD平分∠ABC.
求证：∠A+∠C＝
（2）求证三角形的三条内角平分线交于一点。
如图，公路南有一学校在铁路的东侧，到公路的距离与到铁路的距离相等，并且与两路交叉
处O的距离为400米，在图上标出学校的位置，并说明理由（比例尺1：10000）。
五、三角形的高
定义：三角形的高：从三角形的一个顶点向它对边画垂线，顶点和垂足间的线段。
强调：三角形的高是线段，而垂线是直线。任何三角形都有三条高。
题1 三角形的一条高是（ ）
A.直线 B.射线 C.垂线 .D.垂线段
题2 画钝角三角形 的高AE。
题3
六、三角形的中线
定义：三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段。
强调：三角形中线是一条线段。
如图1：试画出 的平分线、BC边上的中线、BC边上的高
思考题1：
思考题2：
探究活动
1、以3根火柴为边，可以组成一个三角形，用6根火柴为边最多可以组成几个三角形 9根火柴最多能组成几个三角形？
2、从三角形一个顶角引出的三角形角平分线、一条中线能否重合？此时这个三角形的形状如何？
一、 三角形
1、 定义：三角形是由三条线段“首尾顺次相接”组成的。这里要强调“首尾顺次相接”
2、 三个顶点，三条边（线段）
3、 三角形分类：按角，按边。
二、三角形的边
定理：三角形两边的和大于第三边
推论：三角形两边的差小于第三边
(1)判断三条已知线段能否组成三角形
采用一种较为简便的判法：若最短边与较长边的和大于最长边，则可构成三角形，否则不能.
(2)确定三角形第三边的取值范围：两边之差＜第三边＜两边之和
例1 判断题
(1)等边三角形是等腰三角形
(2)三角形可分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形
(3)已知三线段 满足 ,那么 为边可构成三角形
(4)等腰三角形的腰比底长
例3 一个等腰三角形的周长为18 .
(1) 已知腰长是底边长的2倍，求各边长.
(2) 其中一边长4 cm，求其他两边长.
例4 草原上有4口油井，位于四边形ABCD的4个顶点，如图1现在要建一个维修站H，试问H建在何处，才能使它到4口油井的距离HA+HB+HC+HD为最小，说明理由.
思考题：1、在四边形ABCD中，AC与BD相交于P，求证：
（AB+BC+CD+AD）/2＜AC+BD＜AB+BC+CD+AD
2、用15根等长的火柴棒摆成的三角形中，最长边最多可以由几根火柴棒组成？
三、三角形的角
1、三角形三个内角的和等于
2、外角：由三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做三角形的外角。
3、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
根据例4 的度数的求法，思考如下问题：
(3)如图5，过D点画AB的平行线MN，与AC、BC交于点M、N，则 的度数多少
(4)当MN绕着点D旋转过程中， 会有怎样的变化？
思考题：
四、三角形的角平分线
定义：三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段。强调：三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线。
角平分线的性质定理：在角平分线上的点到这个角两边距离相等。
强调说明：（1）、定理的条件及结论的符号表示；
（2）、定理的作用：直接证明两线段相等。使用的前提是有角的平分线，关键是图中是
否有“垂直”。
逆定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
例1、已知：如图1，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
例2、已知：如图2，PB、PC分别是△ABC的外角平分线，相交于点P.求证：P在∠A的平分线上
例3、已知：如图3，PB⊥AB，PC⊥AC，PB＝PC，D是AP上一点求证：∠BDP＝∠CDP
思考题：
(1)已知：如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝DC，BD平分∠ABC.
求证：∠A+∠C＝
（2）求证三角形的三条内角平分线交于一点。
如图，公路南有一学校在铁路的东侧，到公路的距离与到铁路的距离相等，并且与两路交叉
处O的距离为400米，在图上标出学校的位置，并说明理由（比例尺1：10000）。
五、三角形的高
定义：三角形的高：从三角形的一个顶点向它对边画垂线，顶点和垂足间的线段。
强调：三角形的高是线段，而垂线是直线。任何三角形都有三条高。
题1 三角形的一条高是（ ）
A.直线 B.射线 C.垂线 .D.垂线段
题2 画钝角三角形 的高AE。
题3
六、三角形的中线
定义：三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段。
强调：三角形中线是一条线段。
如图1：试画出 的平分线、BC边上的中线、BC边上的高
思考题1：
思考题2：
探究活动
1、以3根火柴为边，可以组成一个三角形，用6根火柴为边最多可以组成几个三角形 9根火柴最多能组成几个三角形？
2、从三角形一个顶角引出的三角形角平分线、一条中线能否重合？此时这个三角形的形状如何？