3.2.1函数的单调性 第1课时 课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
3.2.1 单调性与最大（小）值
第1课时
目标
初步理解函数单调性的概念，学会应用函数的图象理解和研究函数的性质；能用函数的单调性的定义判断和证明一些简单函数的单调性.
重点
函数的单调性
难点
利用定义证明和判断函数单调性的方法
x
y
o
1
2
3
4
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
5
6





思考：当自变量x逐渐增大时，对应的函数值y有什么变化趋势？如何用数学语言来描述？
函数值随自变量的增大而增大(或减小)的性质叫做函数的单调性. 下面进一步用符号语言刻画这种性质。
情境导入
1、函数单调性的定性刻画
2、函数单调性的定量刻画
x
y
O
f(x2)
f(x1)
x1
x2
f(x2)
x1
x2
f(x1)
任取x1，x2∈(-∞,0]，x1有f(x1)____f(x2)，这时我们就说函数f(x)=x2在(-∞,0]上是___________的。
>
单调递减
任取x1，x2∈[0,+∞)，x1有f(x1)____f(x2)，这时我们就说函数f(x)=x2在[0,+∞)上是___________的。
单调递增
<
先研究二次函数
和各有怎样的单调性.
请模仿上述过程，用符号语言刻画的单调性.
5
请模仿上述过程，用符号语言刻画的单调性.
5
符号语言：
(1)任意取,
这时我们就说函数在区间上是单调递减的.
(2)任意取,
这时我们就说函数在区间上是单调递增的.
请模仿上述过程，用符号语言刻画.
学习新知
请模仿上述过程，用符号语言刻画.
学习新知
符号语言：
(1)任意取,
这时我们就说函数在区间上是单调递增的.
(2)任意取
这时我们就说函数在区间上是单调递减的.
任取x1，x2，只要x1＜x2时, 就有f(x1)>f(x2).
任取x1，x2，只要x1＜x2时, 就有f(x1)任取x1，x2，只要x1＜x2时, 就有f(x1)任取x1，x2，只要x1＜x2时, 就有f(x1)>f(x2).
根据上述函数单调性的刻画方法，下面我们给出增函数的概念
概念生成
一般地，设函数的定义域为，区间 D:
如果 ，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增。（如右图）
特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数。
你能仿照增函数的定义说出减函数的定义吗？
O
x
y
x1
f(x1)
f(x2)
x2
概念生成
特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数。
如果 ，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减。（如右图）
x
O
y
x1
x2
f(x1)
f(x2)
概念生成
如果函数 y =f(x)在区间单调递增或单调递减，那么就说函数 y =f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间叫做y =f(x)的单调区间。
思考 1
强调
函数的单调性是对定义域上的某个区间而言的，你能举出在整个定义域内单调递增的函数吗？
你能举出在定义域内的某些区间单调递增但在另一些区间上单调递减的函数吗？
x
y
O
x
y
O
增函数、减函数是针对的函数的整个定义域，是函数的整体性质，
而函数的单调性是对定义域下的某个区间而言的，是函数的局部性质.
一个函数在定义域下的某个区间具有单调性，但在整个定义域上不一定具有单调性.
思考2
常见函数的单调性
判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若函数y＝f(x)在区间I上单调递减，则.
(　　)
(2)定义在(a，b)上的函数f(x)，如果存在 (a，b)，当有 ，那么f(x)在(a，b)上单调递增.(　　)
(3)若函数y＝f(x)是增函数，则函数y＝f(x)在定义域上有f(1)(　　)
×
√
×
牛刀小试
如图所示的是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)的图象，则函数的单调递减区间是________和________，在区间________和________上是单调递增的．
[－2,1]
[3,5]
[－5，－2]
[1,3]
注意：单调区间一般不能取并集，而应该用“,”或“和”连接．
一证明函数的单调性
例1 根据定义，研究函数f(x)=kx+b(k≠0)的单调性.
分析：根据函数单调性的定义，需要考察当x1f(x2).根据实数大小关系的基本事实，只要考察f(x1)-f(x2)与0的大小关系。
例题讲解
例1 根据定义，研究函数f(x)=kx+b(k≠0)的单调性.
解：函数f(x)=kx+b(k≠0)的定义域是R。
x1，x2∈R，且x1则f(x1)-f(x2)=(kx1+b)-(kx2+b)=k(x1-x2).
由x1当k>0时，k(x1-x2)<0，所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)这时f(x)=kx+b是增函数；
当k<0时，k(x1-x2)>0，所以f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2),
这时f(x)=kx+b是减函数
1.取值
定义域优先说明
2.作差
变形
3.判号
4.下结论
函数的单调性
用定义证明函数的单调性的步骤:
1.取值:任取x1，x2∈I，且x12.作差变形:f(x1)－f(x2)；通常是因式分解和配方；
3.判号:判断差f(x1)－f(x2)的正负；
4.下结论：指出函数f(x)在给定的区间I上的单调性.
方法总结
例2 根据定义证明函数 在区间单调递增.
一证明函数的单调性
例题讲解
例2 根据定义证明函数 在区间单调递增.
一证明函数的单调性
+
,
即
所以， 递增。
1.取值
3.判号
4.下结论
2.作差变形
例题讲解
证明：在区间上任取,且
1.函数单调性的定义；
2.函数单调性的判断：（1）定义法；（2）图象法；
3.用定义证明单调性：(1)取值；（2）作差变形；（3）判号；（4）下结论.
一般地，设函数:
如果,当时,都有，称函数在区间上单调递增.
叫做函数的单调递增区间，简称增区间.
如果,当时，都有，称函数在区间上单调递减.
叫做函数的单调递减区间，简称减区间.
课堂小结
练习
选做题：判断并证明函数 在区间的单调性.
必做题： 课本 79页: 第2题 、第3题
课本 86页：第8题
感谢观看
祝学习进步