7.4二项分布与超几何分布（课时1）二项分布 课件（共34张PPT）

(共34张PPT)
第七章 随机变量及其分布
7.4 二项分布与超几何分布
课时1 二项分布
学习目标
1.通过具体实例了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征.（数学抽象）
2.能用二项分布解决简单的实际问题.（数学运算、数据分析）
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1.我们前面学过两点分布，你能写出它的分布列吗？你还记得二项展开式的通项公式吗？
[答案] （1）两点分布的分布列如下：
0 1

（2）二项展开式的通项公式为 ．
2. 重伯努利试验具有哪些共同特征？
[答案] （1）同一个伯努利试验重复做 次；（2）各次试验的结果相互独立．
预学忆思
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3.二项分布与两点分布有什么关系？
[答案] ①两点分布的试验次数只有一次，试验结果只有两种：事件 发生 或不发生 ；二项分布是指在 次独立重复试验中事件 发生的次数 的分布列，试验次数为 次（每次试验的结果也只有两种：事件 发生或不发生），试验结果有 种：事件 恰好发生0次，1次，2次， ， 次．
②二项分布是两点分布的一般形式，两点分布是一种特殊的二项分布，即 的二项分布．
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 重伯努利试验每次试验之间是相互独立的.( )
√
（2） 重伯努利试验每次试验中的每个基本事件只有发生与不发生两种结果.( )
√
（3） 重伯努利试验各次试验发生的事件是互斥的.( )
×
（4）在 重伯努利试验中，各次试验中某事件发生的概率可以不同.( )
×
自学检测
2.连续任意抛掷3枚相同的硬币，恰有2枚正面朝上的概率为( ).
A. B. C. D.
B
[解析] 抛1枚硬币，正面朝上的概率为 ，则抛3枚硬币，恰有2枚正面朝上的概率 ．
3.某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过三次射击，此人至少有两次击中目标的概率为______．
0.648
[解析] 设击中目标的次数为 ，则 ，
故 ．
探究1 重伯努利试验
“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大.假设李某智商较高，他独自一人解决项目 的概率 ；同时，有 个水平相同的人组成智囊团也在研究项目 ，他们各自独立解决项目 的概率都是0.1．
情境设置
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问题1：现在李某单独研究项目 ，且智囊团由2个人组成，也同时研究项目 ，试比较李某和智囊团解决项目 的概率．
[答案] 李某独自一人解决项目 的概率 ，智囊团研究项目 ，他们各自独立解决项目 的概率都是0.1，
设这个2人智囊团解决项目 的概率为 ，则 ，所以 ，故智囊团解决项目 的概率小于李某解决项目 的概率．
问题2：现在李某单独研究项目 ，且智囊团由5个人组成，也同时研究项目 ，试比较李某和智囊团解决项目 的概率．
[答案] 李某独自一人解决项目 的概率 ，智囊团研究项目 ，他们各自独立解决项目 的概率都是0.1，
设这个5人智囊团解决项目 的概率为 ，则 ，所以 ，故智囊团解决项目 的概率大于李某解决项目 的概率.
问题3：智囊团至少有几人才能使他们解决项目 的概率大于李某独自解决项目 的概率？
[答案] 李某独自一人解决项目 的概率 ，
设智囊团解决项目 的概率为 ，智囊团有 人，
则 ，因为 ，所以 ，即 ，又 为整数，
所以 ，即至少有4人．
问题4：上述试验有什么特征？
[答案] 在相同条件下进行，且每次试验的结果都不受其他试验结果的影响．
新知生成
1. 重伯努利试验的概念
一般地，在相同条件下重复做 次伯努利试验，且每次试验的结果都不受其他试验结果的影响，则称这样的 次独立重复试验为 重伯努利试验．
2. 重伯努利试验中，试验成功的概率分布
一般地，在 重伯努利试验中，用 表示这 次试验中成功的次数，且每次成功的概率均为 ，则 的分布列可以表示为 _______________ ．
微点评： 重伯努利试验具有如下共同特征：
（1）同一个伯努利试验重复做 次；
（2）各次试验的结果相互独立．

新知运用
例1 判断下列试验是不是 重伯努利试验：
（1）依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上；
（2）某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次；
（3）口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球．
[解析] （1）因为试验的条件不同（质地不同），所以不是 重伯努利试验．
（2）某人射击且击中的概率是稳定的且结果只有两种，因此是 重伯努利试验．
（3）每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，因此不是 重伯努利试验．
方法总结 重伯努利试验的判断依据
（1）要看该试验是不是在相同的条件下重复进行．
（2）每次试验相互独立，互不影响．
（3）每次试验都只有两种结果（每种结果发生的概率稳定），即事件发生或不发生．
例2 某气象站天气预报的准确率为 ，计算：（结果保留到小数点后面第2位）
（1）5次预报中恰有2次准确的概率；
（2）5次预报中至少有2次准确的概率；
（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率.
方法指导 由于5次预报是相互独立的，且结果只有两种（准确或不准确），符合独立重复试验模型.
[解析] （1）记“预报1次准确”为事件 ，则 ， 预报相当于5次独立重复试验，
恰有2次准确的概率 ，因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.
（2）“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，故所求概率 .
（3）由题意知第1, , , 次预报中恰有1次预报准确，
所以所求概率为 .
即恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02.
方法总结 运用 重伯努利试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉及的试验是否为 重伯努利试验，判断时注意各次试验之间是相互独立的，并且每次试验的结果只有两种（即要么发生，要么不发生），在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等，然后用相关公式求概率．
1.（多选题）下列事件不是 重伯努利试验的是( ).
A.运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”
B.甲、乙两名运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”
C.甲、乙两名运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”
D.在相同的条件下，甲射击10次
ABC
[解析] A，C是互斥事件；B是相互独立事件；D是 重伯努利试验．
巩固训练
2.甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是 ， .假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响.
（1）求甲射击4次,至少有1次未击中目标的概率；
（2）求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率.
[解析] （1）记“甲射击4次，至少有1次未击中目标”为事件 ,由题意,射击4次,相当于做4次独立重复试验.
故 ,
所以甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率为 .
（2）记“甲射击4次,恰有2次击中目标”为事件 ,“乙射击4次,恰有3次击中目标”为事件 ,则
；
.
由于甲、乙射击相互独立,故 .
所以两人各射击4次,甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为 .
探究2 二项分布
问题1：王明在做一道单选题时，从 ， ， ， 四个选项中随机选一个答案，他做对的结果数服从二项分布吗？
[答案] 做一道题就是做一次试验，做对的次数可以为0次、1次，它服从二项分布.
问题2：如果王明做5道单选题，每道题都随机选1个答案，那么他做对的题数服从二项分布吗？为什么？
[答案] 服从二项分布.因为每道题都是随机选1个答案，结果只有2个（对与错），并且每道题做对的概率均相等，所以做5道题可以看成1道题重复做了5次，做对的题数就是5次试验中“做对”这一事件发生的次数，故他做对的题数服从二项分布．
情境设置
问题3：如果王明做5道单选题，其中2道题会做，其余3道题均随机选1个答案，那么他做对的题数服从二项分布吗？如何判断一随机变量是否服从二项分布？
[答案] 不服从二项分布.因为会做的2道题做对的概率与随机选取1个答案做对的概率不同，不符合二项分布的特点.
判断一个随机变量是否服从二项分布的关键是看它是否是 次独立重复试验，每次事件发生与不发生的概率是否相同，随机变量是否为在这 次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这三点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．
新知生成
1.二项分布
若随机变量 的分布列为 _______________ ，则称 服从参数 ， 的二项分布，简记为___________.显然，两点分布是二项分布在参数 时的特殊情况．
2.二项分布的期望、方差
一般地，若随机变量 ，则 ____， __________．
特殊地，若随机变量 服从参数为 的两点分布，则 ___， _________.






新知运用
例3 “石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则为：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布，两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”.双方出示的手势相同时，不分胜负.假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的．
（1）求在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率．
（2）若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量 ，假设每次游戏的结果互不影响，求 的分布列和方差．
[解析] （1）玩家甲、乙在1次游戏中出示手势的所有可能结果有 （种），
其中玩家甲胜玩家乙的可能结果有（石头，剪刀），（剪刀，布），（布，石头），共3种，
所以在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率为 ．
（2） 的可能取值为0， ， ， ，
则 ， ， ， ，
所以 的分布列为
0 1 2 3

因为 ，所以 的方差 ．
方法总结 解决此类问题的第一步是判断随机变量 服从什么分布，第二步代入相应的公式求解．
某中学生心理咨询中心服务电话的接通率为 ，某班3名同学商定明天分别就同一问题咨询该服务中心，且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数 的分布列，并求 ．
巩固训练
[解析] 由题意可知 ，
， ， ， ， ，
即 ，
，
，
．
的分布列为
0 1 2 3

（法一） ．
（法二） ， ．
1.已知 ，则 等于( ).
A. B. C. D.
D
[解析] .
随堂检测·精评价
LONGCHENG NO.1 MIDDLE SCHOOL
2.设随机变量 服从二项分布，即 ，且 ， ，则
( )．
A. B. C. D.
B
[解析] 由题意得，
， ①
， ②
①与②相除可得 ， ．
3.某学生通过某种英语听力测试的概率是 ，他连续测试 次，要保证他至少有一次通过的概率大于 ，那么 的最小值为( ).
A. B. C. D.
C
[解析] 由 ，得 ， ，即 的最小值为4.
4.若一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为_______.（用数字作答）
0.9477
[解析] 至少3人被治愈的概率为 ．