7.4二项分布与超几何分布（课时2）超几何分布 课件（共31张PPT）

(共31张PPT)
第七章 随机变量及其分布
7.4 二项分布与超几何分布
课时2 超几何分布
学习目标
1.通过具体实例，了解超几何分布及其均值.（数学抽象、数学运算）
2.能用超几何分布解决简单的实际问题.（数学运算、数据分析）
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
随堂检测·精评价
1.超几何分布模型是一种放回抽样？
[答案] 不是，超几何分布模型是一种不放回抽样．
2.超几何分布模型在形式上有怎样的特点？
[答案] 超几何分布模型在形式上常由较明显的两部分组成，如“男生、女生”，“正品、次品”等．
预学忆思
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3.你能写出超几何分布的概率表示吗？
[答案] 假设一批产品共有 件，其中有 件次品，从 件产品中随机抽取 件（不放回），用 表示抽取的 件产品中的次品数，则 ， ,其中 ， ， ， ， .
4.超几何分布的期望公式是什么？
[答案] 超几何分布的期望 （ 为 件产品的次品率）.
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）在产品检验中，超几何分布描述的是放回抽样.( )
×
（2）从4名男演员和3名女演员中随机选出4名演员，其中所选女演员的人数 服从超几何分布.( )
√
（3）在超几何分布中，只要知道 ， 和 ，就可以根据公式，求出 取不同值 时的概率 .( )
√
自学检测
2.从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是
( ).
A. B. C. D.
A
[解析] 由题意得，所求概率为 ．
3.老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格.某同学只能背诵其中的6篇，试求：
（1）抽到他能背诵的课文的数量 的分布列；
（2）他能及格的概率．
[解析] （1） 的所有可能取值为0， ， ， ，
则 ， ，
， .
所以 的分布列为
0 1 2 3

（2）他能及格的概率 ．
探究1 超几何分布
已知一箱节能灯共100个，其中有8个次品．
问题1：有放回地随机抽取4个，设抽取的4个产品中次品数为 ，求随机变量 的分布列．
[答案] 如果采用有放回抽样，那么每次抽到次品的概率均为0.08，且各次抽样的结果相互独立，此时 服从二项分布，即 ．
情境设置
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问题2：如果采用不放回抽样，那么抽取的4个产品中次品数 是否也服从二项分布？
[答案] 采用不放回抽样，每次抽取不是同一个试验，而且各次抽取的结果也不独立，不符合 重伯努利试验的特征，因此 不服从二项分布．
问题3：采用不放回抽样，如果不服从二项分布，那么 的分布列是什么？
[答案] 可以根据古典概型求 的分布列.由题意可知， 可能的取值为0， ， ， ， .从100个产品中任取4个，样本空间包含 个样本点，且每个样本点都是等可能发生的.其中4个产品中恰有 个次品的结果数为 .由古典概型的知识得， 的分布列为 ， ， ， ， ， ．
计算的具体结果（精确到0.00001）如表所示.
0 1 2 3 4
0.71257 0.25621 0.02989 0.00131 0.00002
新知生成
超几何分布
一般地，设有 件产品，其中有 件次品，从中任取 件产品，用 表示取出的 件产品中的次品数，那么 ， .
其中 ， ， ， ， ．
公式中的 可以取的最小值为 ，而不一定是0.
若一个随机变量 的分布列由上式确定，则称随机变量 服从参数为 ， ， 的超几何分布．
新知运用
例1 一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1， ， ；黑球有2个，编号为1， ；白球有1个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球．
（1）求取出的3个球的颜色都不相同的概率；
（2）记取得1号球的个数为随机变量 ，求随机变量 的分布列．
[解析] （1）从袋中一次随机抽取3个球，基本事件总数 ，取出的3个球的颜色都不相同包含的基本事件的个数为 ，所以取出的3个球的颜色都不相同的概率 ．
（2）由题意知 ， ， ， ，则 ， ， ， ，所以 的分布列为
0 1 2 3

方法总结 解决超几何分布问题的两个关键点：
超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆.（2）超几何分布中，只要知道 ， ， ，就可以利用公式求出 取不同 值时的概率 ，从而求出 的分布列．
现有10张奖券，其中8张1元的，2张5元的，从中同时任取3张，求所得金额的分布列．
[解析] 设所得金额为 元，则 的可能取值为3, , .
， ， .
故 的分布列为
3 7 11

巩固训练
探究2 超几何分布的期望
根据国家工信部关于全面推行中国特色企业新型学徒制，加强技能人才培养的通知，我区明确面向各类企业全面推行企业新型学徒制培训，深化产教融合，校企合作，学徒培养以符合企业岗位需要的中、高级技术工人.2022年度某企业共需要学徒制培训200人，培训结束后进行考核，现对考核取得相应岗位证书进行统计，统计情况如下表：
岗位证书 初级工 中级工 高级工 技师 高级技师
人数 20 60 60 40 20
情境设置
问题1：现从这200人中采用分层随机抽样的方式选出10人组成学习技能经验交流团，则交流团中取得技师类（包括技师和高级技师）岗位证书的人数是多少？
[答案] 从200人中采用分层随机抽样的方式选出10人，故抽样比是 ，
故技师和高级技师一共应该抽取的人数是 ．
问题2：再从问题1选出的10人交流团中任意抽出3人作为代表发言，记这3人中技师类的人数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望．
[答案] 根据问题1中所求可知，10人中有3人是技师，7人是非技师，
则从10人中抽取3人，技师人数 可能的取值为0， ， ， ，
则 ， ， ， ，
故 的分布列为
0 1 2 3

所以 ，
故随机变量 的数学期望是 ．
问题3：问题2中计算 的期望比较复杂，我们知道服从二项分布的期望可以用简洁的公式求解，服从超几何分布是否有相关的公式呢？
[答案] 有， ．
新知生成
超几何分布的期望
（ 为 件产品的次品率）．
新知运用
例2 某厂家生产了两批同种规格的芯片，第一批占 ，次品率为 ；第二批占 ，次品率为 .为确保质量，现在将两批芯片混合，工作人员从中抽样检查．
（1）从混合的芯片中任取1个，求这个芯片是合格品的概率；
（2）若在两批产品中采取分层随机抽样的方法抽取一个样本容量为15的样本，再从样本中抽取3片芯片，求这3片芯片含第二批芯片数 的分布列和数学期望．
[解析] （1）设事件 为“任取一个芯片是合格品”，事件 为“产品取自第一批”，事件 为“产品取自第二批”，则 且 ， 互斥.
由全概率公式可知 ．
（2）由题意可知，用分层随机抽样法抽取第一批芯片数是 ，第二批芯片数是 ，
可能的取值为0， ， ， ．
则 ，
，
，
．
所以 的分布列为
0 1 2 3

所以 ．
方法总结 超几何分布中，只要知道 ， ， 就可以利用公式求出 取不同 值时的概率 ，从而求出 的分布列、期望，利用公式时注意期望公式各量的意义．
某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．
（1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
（2）设 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量 的分布列及期望．
巩固训练
[解析] （1）设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件 ，则 .所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为 ．
（2）依据条件，随机变量 服从超几何分布，其中 ， ， ，且随机变量 的可能取值为0， ， ， ．
．
所以随机变量 的分布列是
0 1 2 3

所以随机变量 的期望 ．
1.在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率等于 的是( ).
A. B. C. D.
C
[解析] 15个村庄中，7个村庄交通不方便，8个村庄交通方便， 表示选出的10个村庄中恰有4个交通不方便，6个交通方便的村庄，故 .
随堂检测·精评价
LONGCHENG NO.1 MIDDLE SCHOOL
2.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量 表示所选3人中女生的人数，则 ( ).
A. B. C. D.
D
[解析] ．
3.某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用 表示所选的4人中的团员人数，则 _ __.

[解析] .
4.一个口袋内有 个大小相同的球，其中有3个红球和 个白球.已知从口袋中随机取出一个球是红球的概率是 .若不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球的个数 的期望 ．
[解析] ∵从口袋中随机取出一个球是红球的概率是 ，
，得 ， 个球中有2个白球，
， ， ， ．