8.2立体图形的直观图同步 课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
第八章 立体几何初步
8.2 立体图形的直观图
学习目标
1.掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.（逻辑推理）
2.会用斜二测画法画常见的柱体、锥体、台体、球体以及简单组合体的直观图.（直观想象）
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
随堂检测·精评价
1.直观图与立体图形一定相同吗？
[答案] 不一定相同.空间几何体的直观图是在平行投影下画出的平面图形.
2.空间几何体的直观图中实线和虚线分别表示什么意思？
[答案] 在用斜二测画法画立体图形时，实线表示看得见的部分，虚线表示看不见（被遮挡）的部分.
预学忆思
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3.边长 的正方形 水平放置的直观图如图所示，在直观图
中， 与 有何关系？ 与 呢？在原图与直观图中，
与 相等吗？ 与 呢？
[答案] ， ， ， .
4.正方体 的直观图如图所示，在此图形中各个面都画成正方
形了吗？
[答案] 没有都画成正方形.
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图中的线段，原来垂直的仍垂直.( )
×
（2）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图中的线段，原来平行的仍平行.( )
√
（3）正方形的直观图为平行四边形.( )
√
（4）梯形的直观图不是梯形.( )
×
自学检测
2.某一平面图形的直观图如图所示，则此平面图形可能是图中的( ).
A
A.&1& B.&2&
C.&3& D.&4&
[解析] 由直观图知，原四边形一组对边平行且不相等，为梯形，且梯形两腰不与底垂直.故选A.
3.用斜二测画法画水平放置的 时，若 的两边分别平行于 轴， 轴，且
，则在直观图中 ( ).
A. B. C. 或 D.
C
[解析] 在画直观图时， 的两边依然分别平行于 轴， 轴，而 或 .故选C.
4.利用斜二测画法得到下列结论：
①三角形的直观图是三角形；
②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形；
④菱形的直观图是菱形.
以上结论中，正确的是______.（填序号）
①②
[解析] 斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、线线平行关系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形.
探究1 斜二测画法、平面图形直观图的画法
小明画出了正六边形的直观图，如图所示.
问题1：上图中，水平放置的正六边形，你看过去视觉如何？每条边还相等吗？
[答案] 很直观，每条边不一定相等.
情境设置
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问题2：这种作图方法与在直角坐标系中画平面图的方法相同吗？
[答案] 不相同.
问题3：用斜二测画法画直观图时，平行的直线还平行吗？
[答案] 在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小.
新知生成
1.斜二测画法
我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图.斜二测画法是一种特殊的
__________画法.
2.平面图形直观图的画法及要求
平行投影
特别提醒:斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形.两者之间关系为 .
新知运用
一、平面图形的直观图的画法
例1 画水平放置的正五边形的直观图.
[解析] （1）建立如图①所示的平面直角坐标系 ，再建
立如图②所示的坐标系 ，使 .
（2）在图①中作 轴于 ， 轴于 ，在坐标
系 中作 ， ， ， .过 作 轴,
且 ， .在平面 中，过 作 轴，且 ，过
作 轴，且 .连接 ， ， ， ， ，如图②所示.
（3）擦去辅助线,得五边形 为正五边形 的直观图,如图③所示.
&5& 画平面图形的直观图的技巧：（1）在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点;（2）画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段（平行性不变），与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段.
方法总结
画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示.
[解析] （1）在已知的直角梯形 中，以底边 所在直线为 轴，垂直于
的腰 所在直线为 轴建立平面直角坐标系.画相应的 轴和 轴，使
，如图①②所示.
（2）在 轴上截取 ，在 轴上截取 ，过点 作 轴的平行线 ，
在 上沿 轴正方向取点 使得 ,连接 ，如图②所示.
（3）擦去辅助线，所得四边形 就是直角梯形 的直观图,如图③所示.
巩固训练
二、直观图的还原与计算
例2 如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形 ，若
，则原三角形 的面积是( ).
C
A. B. C. D.
[解析] 直观图中等腰直角三角形直角边长为1，因此面积为 ，又直观图与原平面图形面
积之比为 ，所以原图形的面积为 .故选C.
&6& 平面多边形与其直观图的面积之间的关系：若一个平面多边形的面积为 ，斜二测画法得到的直观图的面积为 ，则有 .
方法总结
如图，矩形 是水平放置的一个平面图形的直观图，其中
， ， ,则原图形是( ).
C
A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.一般的平行四边形
[解析] 如图，在原图形 中，
有 ，
所以 ，
所以 ，故四边形 是菱形.
巩固训练
探究2 空间几何体直观图的画法
已知正六棱锥 .
问题1：如何画正六棱锥的直观图呢？
[答案] 先画正六棱锥 的底面,再画正六棱锥的高，然后连接得图形.
问题2：空间几何体的直观图唯一吗？
[答案] 不唯一.作直观图时，由于选轴的不同，画出的直观图也不同.
情境设置
新知生成
空间几何体直观图的画法
（1）与平面图形的直观图相比，只是多画一个与 轴、 轴都垂直的___轴，直观图
中与之对应的是___轴；
（2）平面_______表示水平平面，平面_______和______表示竖直平面；
（3）已知图形中平行于 轴（或在 轴上）的线段，在其直观图中________和______
都不变;
（4）去掉辅助线，将被遮挡的部分改为______,成图.





平行性
长度
虚线
新知运用
例3 画正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的直观图.（底面边长尺寸不作要求，
侧棱长为 ）
方法指导 先画轴，再利用斜二测画法，画出两个底面，连线成图，擦去多余的线.
[解析] （1）画轴.画 轴、 轴、 轴，使 ，
.
（2）画底面.根据 轴， 轴，画正六边形的直观图
（3）画侧棱.过 ， ， ， ， ， 各点分别作 轴的平行线，在这
些平行线上分别截取 、 、 、 、 、 都等于 .
（4）成图.顺次连接 ， ， ， ， ， ，去掉辅助线，将被遮
挡的部分改为虚线，就得到正六棱柱的直观图.
&7& 画空间几何体的直观图的基本原则：（1）用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于 轴、 轴、 轴的线段在直观图中应分别画成平行于 轴、 轴、 轴的线段；（2）平行于 轴、 轴（或在 轴、 轴上）的线段在直观图中长度保持不变，平行于 轴的线段长度变为原来的 .
方法总结
某简单组合体由上、下两部分组成，下部分是一个圆台（上底面面积大于下底面面积），上部分是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆台的上底面重合，用斜二测画法画出这个组合体的直观图.
[解析] 画直观图时，我们可以先画出下部分的圆台，再画出上部分的圆锥.
（1）画轴.如图①，画 轴、 轴、 轴，使 .
（2）画圆台的两底面.利用斜二测画法，画出底面圆 ，在 轴上截取 ，
使 等于圆台的高度，过 作 的平行线 ， 的平行线 ，利
用 与 画出上底面圆 （与画圆 一样）.
（3）画圆锥的顶点.在 上截取点 ，使 等于圆锥的高度.
（4）成图.连接 , , , ，并擦去辅助线，整理得到几何体的直观图，如图②.
巩固训练
1.关于斜二测画法所得的直观图，以下说法正确的是( ).
A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形 B.正方形的直观图为平行四边形
C.梯形的直观图不是梯形 D.正三角形的直观图一定为等腰三角形
B
[解析] 由于直角在直观图中有的成为 ，有的成为 ，当线段与 轴平行时，在直观图中长度不变且仍与 轴平行，因此只有B正确.
随堂检测·精评价
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2.下面每个选项的2个边长为1的正 的直观图不是全等三角形的一组是( ).
A.&8& B.&9&
C.&10& D.&11&
C
[解析] 可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论.
3.若把一个高为 的圆柱的底面画在 平面上，则圆柱的高应画成( ).
A.平行于 轴且长度为 B.平行于 轴且长度为
C.与 轴成 且长度为 D.与 轴成 且长度为
A
[解析] 平行于 轴（或在 轴上）的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致.故
选A.
4.水平放置的 的斜二测直观图如图所示，已知 ， ，则
边上的中线的实际长度为____.
2.5
[解析] 由直观图知，原平面图形为 ，且 ，
，计算得 ，故所求的中线长为2.5.