8.1 基本立体图形 课时1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征 课件（共42张PPT）

(共42张PPT)
第八章 立体几何初步
8.1 基本立体图形
课时1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
学习目标
1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征.（数学建模）
2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系.（逻辑推理）
3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算.（数学运算）
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
随堂检测·精评价
1.构成空间几何体的基本元素是什么？
[答案] 构成空间几何体的基本元素是点、线、面.
2.面数最少的多面体是什么？
[答案] 四面体.围成一个多面体至少要四个面，所以面数最少的多面体是四面体.
3.观察下列多面体，有什么共同特点？
[答案] （1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；
（3）每相邻的两个四边形的公共边都互相平行.
预学忆思
自主预习·悟新知
LONGCHENG NO.1 MIDDLE SCHOOL
4.观察下列多面体，有什么共同特点？
[答案] （1）有一个面是多边形；（2）其余各面都是有一个公共顶点的三角形.
5.棱台的各侧棱延长线一定相交于一点吗？
[答案] 一定相交于一点.
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫作棱锥.( )
×
（2）棱柱的两个底面是全等的多边形.( )
√
（3）棱柱最多有两个面不是四边形.( )
√
（4）棱锥的所有面都可以是三角形.( )
√
自学检测
2.一个几何体，由五个面围成，只有一个面不是三角形，则这个几何体为( ).
A.四棱柱 B.四棱锥 C.三棱柱 D.三棱锥
B
[解析] 根据棱锥的定义可知该几何体是四棱锥.
3.下列说法中正确的是( ).
A.棱柱的面中，至少有两个面互相平行
B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
C.棱柱中一条侧棱就是棱柱的高
D.棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
A
[解析] 棱柱的两个底面互相平行，故A正确；棱柱的侧面也可能有平行的面（如正方体），故B错误；对齐后立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱，当把这摞书推至倾斜时，它的侧棱就不是棱柱的高，故C错误；由棱柱的定义知，棱柱的侧面一定是平行四边形.但它的底面可以是平行四边形，也可以是其他多边形，故D错误.
4.下列几何体中，________是棱柱，____是棱锥，____是棱台（仅
填相应的序号）.
①③④
⑥
⑤
探究1 空间几何体
观察下面两组物体：
（1）
（2）
情境设置
合作探究·提素养
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问题1：你能说出各组物体的共同点吗？
[答案] 第（1）组中每个物体都是由多个平面多边形围成，第（2）组中每个物体都是由平面图形旋转得到.
问题2：构成多面体的面最少是多少个？
[答案] 三棱锥是面最少的多面体，共有3个侧面和1个底面，故构成多面体的面最少是4个.
新知生成
空间几何体
1.概念：如果只考虑物体的______和______，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出
来的__________叫作空间几何体.
2.多面体：由若干个____________围成的几何体叫作多面体（如图），围成多面体的各个
多边形叫作多面体的面；相邻两个面的________叫作多面体的棱；棱与棱的________叫作
多面体的顶点.
形状
大小
空间图形
平面多边形
公共边
公共点
3.由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫作旋转体,其中这条定直线叫作旋转体的轴.
新知运用
例1 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.
印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信
的印信形状是“半正多面体”（图①）.“半正多面体”是由两种或两种以上
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方法指导 第一空可从图②直接得到，第二空需在正方体中简单还原出物体的位置，利用对称性，根据平面几何的性质解决.
的正多边形围成的多面体，“半正多面体”体现了数学的对称美.图②是一个棱数为48的“半
正多面体”，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该“半正
多面体”共有____个面，其棱长为_______.
[解析] 由“半正多面体”的结构特征及棱数为48可知，其上部分有9个面，中间部
分有8个面，下部分有9个面，共有 （个）面.
作中间部分的横截面，由题意知，该截面为各顶点都在边长为1的正方形上的正八边形
，如图，设其边长为 ，则正八边形的边长为半正多面体的棱长.连接 ，过
点 ， 分别作 ， ，垂足分别为 ， ，则
.
又 ，所以 ，
解得 ，所以半正多面体的棱长为 .
六子联方起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合得十分巧妙.六子联方类玩具比较多，一般都是易拆难装.如图①，这是一种常见的六子联方玩具，图②是该六子联方玩具的直观图.它有多少条棱？它有多少个顶点和面？
[解析] 由图知六子联方上部分有16条棱，中间有4条棱，下部分有16条棱，共有36条棱.
上、下两面各有8个顶点，中间部分也有8个顶点，共有24个顶点；
八边形有6个，三角形有8个，共有14个面.
巩固训练
探究2 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
小明用包装盒做了几个几何体，如图所示：
问题1：你能说出这些几何体的名称吗？
[答案] 能，它们分别是四棱柱、三棱柱、五棱柱、六棱柱.
问题2：棱柱的侧面一定是平行四边形吗？
[答案] 根据棱柱的概念可知，棱柱的侧面一定是平行四边形.
情境设置
问题3：有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体一定是棱锥吗？
[答案] 不一定.因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”.
问题4：棱台的上、下底面互相平行，各侧棱延长线一定相交于一点吗？
[答案] 根据棱台的定义可知其侧棱延长线一定交于一点.
新知生成
棱柱、棱锥、棱台的结构特征
1.棱柱的结构特征
定义 有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边互相平行,由这些面所围成的多面体叫作棱柱
图示及相关概念 底面：两个互相平行的面.
侧面：底面以外的其余各面.
侧棱：相邻侧面的公共边.
顶点：侧面与底面的公共顶点
分类 按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱
2.棱锥的结构特征
定义 有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫作棱锥
图示及相关概念 底面：多边形面.
侧面：有公共顶点的各个三角形面.
侧棱：相邻侧面的公共边.
顶点：各侧面的公共顶点
分类 按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥
3.棱台的结构特征
定义 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,把底面和截面之间那部分多面体叫作棱台
图示及相关概念 上底面：原棱锥的截面.
下底面：原棱锥的底面.
侧面：除上下底面以外的面.
侧棱：相邻侧面的公共边.
顶点：侧面与上（下）底面的公共顶点
分类 按底面多边形的边数分:三棱台、四棱台
新知运用
一、棱柱的结构特征
例2 （1）下列关于棱柱的说法：①所有的面都是平行四边形；②每一个面都
不会是三角形；③两底面平行，并且各侧棱也平行；④被平面截成的两部分可
以都是棱柱.其中正确的说法的序号是______.
（2）如图所示，在长方体 中， ， 分别为棱 ， 的中点.
③④
①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱，为什么？如果不是，请说明理由.
②用平面 把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是
几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由.
[解析] （1）①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形.
②错误，棱柱的底面可以是三角形.
③正确，由棱柱的定义易知.
④正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱.
所以说法正确的序号是③④.
（2）①长方体是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行
的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义.
②截面 右上方部分是三棱柱 ，左下方部分是四棱柱
.
&1& 棱柱结构的辨析方法
（1）扣定义：判定一个几何体是不是棱柱的关键是棱柱的定义.
①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行.
（2）举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，排除不正确的说法.
方法总结
（多选题）下列关于棱柱的说法正确的是( ).
A.所有的棱柱的两个底面都平行
B.所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面都是四边形，每相邻两个四边形的公共边互相平行
C.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱
D.棱柱至少有五个面
ABD
巩固训练
[解析] 对于A，B，D，显然是正确的；对于C，根据棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫作棱柱，显然C中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱,所以C错误.故选ABD.
二、棱锥、棱台的结构特征
例3 （1）有下列三种说法：
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.
其中正确的说法有( ).
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
A
（2）下列说法中，正确说法的序号是( ).
①棱锥的各个侧面都是三角形；
②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；
③棱锥的侧棱平行.
A.①
B.①②
C.②
D.③
B
[解析] （1）①中的平面不一定平行于底面，所以不一定是棱台，故①错误；②③可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点的几何体不是棱台，故②③错误.
（2）由棱锥的定义，知棱锥的各个侧面都是三角形，故①正确；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面，故②正确；棱锥的侧棱交于一点，不平行，故③错误.
&2& 判断棱锥、棱台的方法
（1）举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接排除关于棱锥、棱台的结构特征的某些不正确说法.
（2）直接法
棱锥 棱台
定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面
看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点
方法总结
下列关于棱锥、棱台的说法：
①棱台的侧面一定不会是平行四边形；
②由四个平面围成的多面体只能是三棱锥；
③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
其中正确说法的序号是______.
①②
[解析] ①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；
②正确，由四个平面围成的多面体是四面体，即三棱锥；
③错误，如图，四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.
巩固训练
三、多面体的表面展开图
例4 如图，在三棱锥 中， ，
，过点 作截面 ，求 的周长的最小
值.
[解析] 将三棱锥沿侧棱 剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，
如图，线段 的长为 周长的最小值.
，
.
又 ， ，
周长的最小值为 .
&3& 多面体展开图问题的解题策略
（1）绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图.
（2）由展开图复原几何体：若是给出多面体的表面展开图，判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推.同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可能有多个表面展开图.
提醒:解决多面体表面上两点间的最短距离的问题，常常要转化为求平面上两点间的最短距离问题.解决此类问题的方法就是先把多面体侧面展开，再用平面几何的知识来求解.
方法总结
如图，这是三个几何体的表面展开图，请问各是什么几何体？
[解析] 如图，①为五棱柱；②为五棱锥；③为三棱台.
巩固训练
1.下列叙述正确的是( ).
A.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥
D.棱台各侧棱的延长线交于一点
D
随堂检测·精评价
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[解析] A项，没有满足棱柱各侧棱平行的条件，故A项错误；B项，一个长方体上面叠加一个各侧面与长方体各侧面都不在一个面，且底面相同的斜棱柱，则满足题目条件，但该几何体不是棱柱，故B项错误；C项，不满足各侧面三角形有公共顶点，故C项错误；D项，由棱台的定义知棱台各侧棱的延长线交于一点，故D项正确.故选D.
2.有一个多面体，共有四个面，每一个面都是三角形，则这个几何体为( ).
A.四棱柱 B.四棱锥 C.三棱柱 D.三棱锥
D
[解析] 根据棱锥的定义可知该几何体是三棱锥.
3.如图所示，在三棱台 中，截去三棱锥 ，则剩余部分是( ).
B
A.三棱锥 B.四棱锥 C.三棱柱 D.组合体
[解析] 余下部分是四棱锥 .
4.正方体 的棱长为2，则在正方体表面上，从顶点 到顶点 的最短距
离为_____.

[解析] 如图,将侧面 与底面 展开在同一平面上，连接 ，则线
段 的长即为所求, .