8.1 基本立体图形 课时2 圆柱、圆锥、圆台、球与简单组合体的结构特征 课件（共37张PPT）

(共37张PPT)
第八章 立体几何初步
8.1 基本立体图形
课时2 圆柱、圆锥、圆台、球与简单组合体的结构特征
学习目标
1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义.（数学抽象）
2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.（直观想象）
3.了解简单组合体的概念及结构特征.（直观想象）
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
随堂检测·精评价
1.圆柱的轴截面有________个，它们______（填“全等”或“相似”），圆柱的母线有_______
_条，它们与圆柱的高______.
无穷多
全等
无穷多
相等
2.圆锥的轴截面有多少个？母线有多少条？圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线都是母线吗？
[答案] 圆锥的轴截面有无穷多个;母线有无穷多条;圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线都是母线.
预学忆思
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3.圆台的轴截面有多少个？母线有多少条？圆台上底面任一点和下底面圆周上任意一点的连线都是母线吗？
[答案] 圆台的轴截面有无穷多个;母线有无穷多条;不一定是母线.
4.球能否由圆面旋转而成？
[答案] 能.圆台以直径所在的直线为旋转轴，旋转半周形成的旋转体即为球.
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）直角三角形绕一边所在的直线旋转得到的旋转体是圆锥.( )
×
（2）圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台.( )
√
（3）夹在一圆柱的两个平行截面间的几何体是圆柱.( )
×
（4）半圆绕其直径所在的直线旋转一周形成球.( )
×
自学检测
2.下列说法中，正确的是( ).
A.以直角三角形的一直角边所在的直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
B.以直角梯形的一腰所在的直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台
C.圆柱、圆锥、圆台都有两个底面
D.圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径
A
[解析] 以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为轴，旋转一周所得的旋转体才是圆台，故B不正确；圆锥仅有一个底面，故C不正确；圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，故D不正确.故选A.
3.（多选题）下列说法正确的是( ).
A.球的半径是球面上任意一点与球心的连线段
B.球面上任意两点的连线是球的直径
C.用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面
D.以半圆的直径所在的直线为旋转轴旋转形成的曲面叫作球
AC
[解析] A正确；B错误，只有两点的连线经过球心时才为直径；C正确；球面和球是两个不同的概念，以半圆的直径所在的直线为旋转轴旋转一周形成的曲面叫作球面，球面围成的几何体叫作球，故D错误.
4.观察下列四个几何体，其中可看作是由两个棱柱拼接而成的
有______.（填序号）
①④
[解析] ①可看作由一个四棱柱和一个三棱柱组合而成，④可看作由两个四棱柱组合而成.
探究1 圆柱、圆锥、圆台的结构特征
小明说，他利用右图旋转一周就能得到圆锥、圆柱、圆台.
问题1：小明说的正确吗？
[答案] 不正确，他得到的是一个组合体，这个组合体是由圆锥、圆柱、圆台组成.
情境设置
合作探究·提素养
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问题2：圆柱是由几个平面围成的吗？若不是，它又是怎么构成的呢？
[答案] 圆柱的面不都是平面，如侧面就是曲面.它是以矩形的一条边所在直线为旋转轴，其余三条边旋转一周形成的面所围成的旋转体.
问题3：圆锥是以直角三角形的任意一条边所在直线为轴旋转而成的吗？
[答案] 不是，它是以直角三角形的一条直角边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体.
问题4：用一个平面去截圆锥一定会得到一个圆锥和一个圆台吗？
[答案] 不一定，只有当平面与圆锥的底面平行时，才能截得一个圆锥和一个圆台.
新知生成
1.圆柱的结构特征
定义 以____________所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周所围成的旋转体叫作圆 柱
图示及相关概念 轴：________叫作圆柱的轴.
底面：__________的边旋转而成的圆面.
侧面：__________的边旋转而成的曲面.
圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，______________.
柱体：______________________
矩形的一边
旋转轴
垂直于轴
平行于轴
平行于轴的边
圆柱和棱柱统称为柱体
2.圆锥的结构特征
定义 以________________________所在的直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面 所围成的旋转体叫作圆锥
图示及相关概念 轴：________叫作圆锥的轴.
底面：__________的边旋转而成的圆面.
侧面：__________________旋转而成的曲面.
母线：无论旋转到什么位置，________________.
锥体：______________________
直角三角形的一条直角边
旋转轴
垂直于轴
直角三角形的斜边
不垂直于轴的边
棱锥和圆锥统称为锥体
3.圆台的结构特征
定义 用________________的平面去截圆锥，____________之间的部分叫作圆台
图示及相关概念 轴：圆锥的____.
底面：圆锥的底面和______.
侧面：圆锥的侧面在____________之间的部分.
母线：圆锥的母线在____________之间的部分.
台体：______________________
平行于圆锥底面
底面与截面
轴
截面
底面与截面
底面与截面
棱台和圆台统称为台体
新知运用
一、旋转体的结构特征
例1 判断下列结论是否正确：
（1）圆柱上底面圆上任意一点与下底面圆上任意一点的连线都是圆柱的母线；
（2）一直角梯形绕下底所在的直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；
（3）圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；
（4）到定点的距离等于定长的点的集合是球.
[解析] （1）错误，由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴.
（2）错误，直角梯形绕下底所在的直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示.
（3）正确.
（4）错误，应为球面.
&1& 简单旋转体的结构特征问题的解题策略
（1）准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的形成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键；
（2）解题时要注意明确两点：①明确是由哪个平面图形旋转而成；②明确旋转轴是哪条直线.
方法总结
下列结论正确的是( ).
①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆；
②以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫作球体，半圆的直
径叫作球的直径；
③用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面；
④球面上任意三点可能在一条直线上；
⑤球的半径是连接球面上任意一点和球心的线段.
A.①②③ B.②③④ C.②③⑤ D.①④⑤
C
巩固训练
[解析] 当球面上任意两点与球心在一条直线上时，可作无数个圆，故①错误;②正确;③正确；球面上任意三点一定不共线，故④错误；根据球的半径的定义可知⑤正确.故选C.
二、旋转体中的有关计算
例2 一个圆台的母线长为 ，两底面面积分别为 和 ，求：
（1）圆台的高；
（2）将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长.
[解析] （1）圆台的轴截面是等腰梯形 （如图所示）.
由已知可得 ， , ，
所以高
（2）如图所示，延长 ， ， ，交于点 .
设截得此圆台的圆锥的母线长为 ，
则由 ，可得 ,即 ，解得 .
即截得此圆台的圆锥的母线长为 .
&2& 用平行于底面的平面去截圆柱、圆锥、圆台等几何体时，注意抓住截面的性质（与底面全等或相似），同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面（轴截面）的性质，利用相似三角形中的相似比，构建相关几何变量的方程（组）从而得解.
方法总结
如图所示，用一个平行于圆锥 底面的平面截这个圆锥，截得的圆台上、下底
面的面积之比为 ，截去的圆锥的母线长是 ,求圆台 的母线长.
[解析] 设圆台的母线长为 ，由截得的圆台上、下底面面积之比为 ，可
设截得的圆台的上、下底面的半径分别为 , .过轴 作截面，如图所示.
则 ， ，
所以 ，
即 ，解得 .即圆台的母线长为 .
巩固训练
探究2 球体与组合体的结构特征
如图，这是蒙古族牧民居住的一种房子，又称蒙古包.
问题1：你能说出上图是由哪些几何体构成的吗？
[答案] 能，它是由圆柱、圆台、圆锥构成的.
情境设置
问题2：我们知道球与圆柱、圆锥、圆台又不一样，它没有一个面是平面，它又是由什么几何图形绕着什么轴旋转而成的呢？
[答案] 球是由半圆绕直径所在直线旋转一周形成的几何体.
新知生成
1.球的结构特征
定义 以____________所在的直线为旋转轴，旋转一周形成的旋转体叫作球体，简称 球
图示及相关概念 球心：半圆的______叫作球的球心.
半径：连接球心和球面上任意一点的线段叫作球的半径.
直径：连接球面上两点并且经过球心的线段叫作球的直
径
半圆的直径
圆心
2.简单组合体的结构特征
（1）简单组合体的定义：______________________________.
（2）简单组合体的两种基本形式：①由简单几何体拼接而成;②由简单几何体截去或挖去一部分而成.
由简单几何体组合而成的几何体
新知运用
例3 （1）请描述如图所示的几何体是如何形成的.
（2）如图所示，在梯形 中， ，且 .当梯形 绕 所在的直
线旋转一周时，其他各边旋转形成的面围成一个几何体，试描述该几何体的结构特征.
[解析] （1）①是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体；②是由一个长方体截去一个三棱锥后得到的几何体；③是由一个圆柱挖去一个三棱锥后得到的几何体.
（2）如图所示，旋转所得的几何体可看成由一个圆柱挖去两个圆锥后得到的组合体.
&3& （1）解决简单组合体的结构特征相关问题，首先要熟练掌握各类几何体的特征，其次要有一定的空间想象能力.
（2）判断旋转体形状的关键是旋转轴的确定，看旋转体是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的.
方法总结
将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括( ).
D
A.一个圆台、两个圆锥 B.两个圆柱、一个圆锥
C.两个圆台、一个圆柱 D.一个圆柱、两个圆锥
[解析] 图①是一个等腰梯形， 为较长的底边，以 边所在的直
线为旋转轴旋转一周所得的几何体为一个组合体，如图②，是由一个
圆柱、两个圆锥组成的.
巩固训练
1.圆锥的母线有( ).
A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条
D
[解析] 由圆锥的结构特征知圆锥的母线有无数条.
随堂检测·精评价
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2.下列几何体中不是旋转体的是( ).
A.&4& B.&5&
C.&6& D.&7&
D
[解析] 很明显D不可能是旋转体.
3.下列几何体中是台体的是( ).
A.&8& B.&9&
C.&10& D.&11&
D
[解析] 台体包括棱台和圆台两种.A不符合是因为四条侧棱没有交于一点，B不符合是因为截面与圆锥底面不平行.C是棱锥，结合棱台和圆台的定义可知D正确.
4.在社会主义新农村建设中，某村统一进行旧村改造，其每户的住宅房的效果
图如图所示，其主要的结构特征是_______________________________________
_.
一个三棱柱和一个长方体拼接而成的组合体
[解析] 将该住宅房抽象成如图所示的组合体，
则该住宅房的上部分是一个三棱柱，下部分是一个长方体.