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专题06 分式方程
【考场演练1】热点必刷
1．（2022·辽宁营口·中考真题）分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先去分母，去括号，移项，合并同类项得出答案，最后检验即可．
【详解】解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，所以．
经检验，是原方程的解．故选：C．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
2．（2022·黑龙江·中考真题）有一个容积为24的圆柱形的空油罐，用一根细油管向油罐内注油，当注油量达到该油罐容积的一半时，改用一根口径为细油管口径2倍的粗油管向油罐注油，直至注满，注满油的全过程共用30分钟，设细油管的注油速度为每分钟x，由题意列方程，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由粗油管口径是细油管的2倍，可知粗油管注水速度是细油管的4倍．可设细油管的注油速度为每分钟，粗油管的注油速度为每分钟，继而可得方程，解方程即可求得答案．
【详解】解：∵细油管的注油速度为每分钟，
∴粗油管的注油速度为每分钟，∴．故选：A．
【点睛】此题考查了分式方程的应用，准确找出数量关系是解题的关键．
3．（2022·湖北恩施·中考真题）一艘轮船在静水中的速度为30km/h，它沿江顺流航行144km与逆流航行96km所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为vkm/h，则符合题意的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先分别根据“顺流速度静水速度江水速度”、“逆流速度静水速度江水速度”求出顺流速度和逆流速度，再根据“沿江顺流航行与逆流航行所用时间相等”建立方程即可得．
【详解】解：由题意得：轮船的顺流速度为，逆流速度为，
则可列方程为，故选：A．
【点睛】本题考查了列分式方程，正确求出顺流速度和逆流速度是解题关键．
4．（2022·山东临沂·中考真题）将5kg浓度为98%的酒精，稀释为75%的酒精．设需要加水，根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用酒精的总质量不变列方程即可．
【详解】设需要加水，由题意得，故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，准确理解题意，找到等量关系是解题的关键．
5．（2023·浙江·模拟预测）已知关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】分式方程去掉分母化为整式方程，整式方程的解就是方程的增根，即x=3，据此即可求解．
【详解】解：去分母得：x-1=m，解得：x=m+1，
根据题意得：m+1=3，解得：m=2，故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．
6．（2022·山东泰安·中考真题）某工程需要在规定时间内完成，如果甲工程队单独做，恰好如期完成； 如果乙工程队单独做，则多用天，现在甲、乙两队合做天，剩下的由乙队单独做，恰好如期完成，求规定时间．如果设规定日期为天，下面所列方程中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设总工程量为，因为甲工程队单独去做，恰好能如期完成，所以甲的工作效率为；因为乙工程队单独去做，要超过规定日期天，所以乙的工作效率为，根据甲、乙两队合做天，剩下的由乙队独做，恰好在规定日期完成，列方程即可．
【详解】解：设规定日期为天，由题意可得，，
整理得，或或．则选项均正确，故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
7．（2020·湖北荆门市·中考真题）已知关于x的分式方程的解满足，且k为整数，则符合条件的所有k值的乘积为（ ）
A．正数 B．负数 C．零 D．无法确定
【答案】A
【分析】先解出关于x的分式方程得到x=，代入求出k的取值，即可得到k的值，故可求解．
【详解】关于x的分式方程得x=，
∵∴解得-7＜k＜14
∴整数k为-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，
又∵分式方程中x≠2且x≠-3∴k≠35且k≠0
∴所有符合条件的k中，含负整数6个，正整数13个，∴k值的乘积为正数,故选A．
【点睛】此题主要考查分式方程与不等式综合，解题的关键是熟知分式方程的求解方法．
8．（2022·四川内江·中考真题）对于非零实数a，b，规定a b＝，若（2x﹣1） 2＝1，则x的值为 _____．
【答案】
【分析】根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：由题意得：＝1，
等式两边同时乘以得，，解得：，
经检验，x＝是原方程的根，∴x＝，故答案为：．
【点睛】本题考查了解分式方程，掌握分式方程的一般解法是解题的关键．
9．（2022·广东广州·华南师大附中校考三模）把代数式分解因式，结果正确的是___________；若分式的值为零，则x的值为___________；若代数式可化为，则的值是___________．
【答案】 无解 5
【分析】（1）先提公因式，然后再利用完全平方公式进行分解因式即可；
（2）根据使分式的值为0的条件进行解答即可；
（3）根据求出a、b的值，再代入求值即可．
【详解】解：（1）
（2）∵，∴的值不可能等于0，∴没有x的值能使分式的值为零；
（3）∵，又∵代数式可化为，
∴，∴，解得：，
∴．故答案为：（1）；（2）无解；（3）5．
【点睛】本题主要考查了因式分解，分式值为零的条件，代数式求值，熟练掌握完全平方公式，使分式的值为零的条件，是解题的关键．
10．（2021·湖北黄石市·中考真题）分式方程的解是______．
【答案】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：去分母得：，去括号化简得：，解得：，
经检验是分式方程的根，故填：．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
11.（2022·浙江金华·中考真题）若分式的值为2，则x的值是_______．
【答案】4
【分析】根据题意建立分式方程，再解方程即可；
【详解】解：由题意得： 去分母：
去括号： 移项，合并同类项：
系数化为1： 经检验，x=4是原方程的解，故答案为：4；
【点睛】本题考查了分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题关键．
12．（2022·湖南常德·中考真题）方程的解为________．
【答案】
【分析】根据方程两边同时乘以，化为整式方程，进而进行计算即可求解，最后注意检验．
【详解】解：方程两边同时乘以，
解得
经检验，是原方程的解故答案为：
【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程一定要注意检验．
13．（2022·江苏宿迁·中考真题）解方程：．
【答案】x＝﹣1
【分析】根据解分式方程的步骤，先去分母化为整式方程，再求出方程的解，最后进行检验即可．
【详解】解：，
2x＝x﹣2+1，
x＝﹣1，
经检验x＝﹣1是原方程的解，
则原方程的解是x＝﹣1．
【点睛】本题考查解分式方程，得出方程的解之后一定要验根．
14．（2022·山东青岛·中考真题）为落实青岛市中小学生“十个一”行动计划，学校举办以“强体质，炼意志”为主题的体育节，小亮报名参加3000米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%，少用3分钟跑完全程．设小亮训练前的平均速度为x米/分，那么x满足的分式方程为__________．
【答案】
【分析】根据比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%，可得比赛时小亮平均速度为(1+25%)x米/分，根据比赛时所用时间比训练前少用3分钟列出方程．
【详解】解：∵比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%，小亮训练前的平均速度为x米/分，
∴比赛时小亮平均速度为(1+25%)x米/分，
根据题意可得，故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
15．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测）中国发展到今天，交通已经成为影响社会发展快慢的重要因素，以我旗为例：从贝子府镇到新惠镇全程50千米，为普通国路标准路面；从四家子镇到新惠镇全程60千米，为一级路标准路面．汽车在一级路上行驶的平均速度是在普通国路上的倍，用时少14分钟．求汽车从贝子府镇到新惠镇需要多长时间．
【答案】小时
【分析】设汽车从贝子府镇到新惠镇需要x小时，则汽车从四家子镇到新惠镇需要小时，利用速度＝路程÷时间，结合汽车在一级路上行驶的平均速度是在普通国路上的倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【详解】解：设汽车从贝子府镇到新惠镇需要x小时，则汽车从四家子镇到新惠镇需要小时，
根据题意得：，解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：汽车从贝子府镇到新惠镇需要小时．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
16．（2022·重庆·重庆八中校考模拟预测）小明的爸爸出差回家后，小明发现爸爸的通信大数据行程卡上显示1天内爸爸去过A、B、C三地．已知A到B的路程为160公里，比B到C的路程少200公里，小明爸爸驾车从A到B的平均车速和B到C的平均车速比为8：9，从A到B的时间比从B到C的时间少2小时．
(1)求A到B的平均车速；
(2)从B到C时，若小明的爸爸至少要提前40分钟到达，则平均车速应满足什么条件？
【答案】(1)A到B的平均车速为；(2)平均车速应不小于．
【分析】（1）设A到B的平均车速为，则B到C的平均车速为，根据题意得，列分式方程，解方程求解即可；
（2）设小明的爸爸从B到C的速度为，根据题意列一元一次不等式，解不等式求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得：B到C的路程为，
设A到B的平均车速为，则B到C的平均车速为，
根据题意得，解得：，
经检验，是原分式方程的解，
则A到B的平均车速为；
（2）解：由（1）可得，B到C的平均车速为，
B到C的时间为：，
设小明的爸爸至少要提前40分钟到达时，平均车速为，
由题意可得：，解得，
即若小明的爸爸至少要提前40分钟到达，则平均车速应不小于．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找到等量关系和不等关系是解题的关键．
17．（2022·新疆乌鲁木齐·乌鲁木齐市第六十八中学校考模拟预测）一水果店主分两批购进同一种水果，第一批所用资金为2400元，因天气原因，水果涨价，第二批所用资金是2700元，但由于第二批单价比第一批单价每箱多10元，以致购买的数量比第一批少25%．
(1)该水果店主购进第一批这种水果的单价是多少元？
(2)该水果店主计划两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降a%销售，结果还是出现了2%的损耗，但这两批水果销售完后仍赚了不低于2346元，求a的最大值．
【答案】(1)20元 (2)a的最大值为25
【分析】（1）设该水果店主购进第一批这种水果每箱的单价是x元，则购进第二批这种水果每箱的单价是（x+10）元，根据数量=总价÷单价，结合第二批购进数量比第一批少25%，即可得出关于x的分式方程，解分式方程并经检验后，即可得出结论；
（2）根据数量=总价÷单价可求出第一批购进这种水果的数量，进而可求出第二批购进这种水果的数量，由利润=销售收入-成本，结合这两批水果销售完后仍赚了不低于2346元，即可得出关于a的一元一次不等式，进而可解得a的取值范围，取其中的最大值即为答案．
【详解】（1）解：设该水果店主购进第一批这种水果每箱的单价是x元，则购进第二批这种水果每箱的单价是（x+10）元，
根据题意得：×（1-25%）=，解得：x=20，
经检验，x=20是原分式方程的解，且符合题意，
故该水果店主购进第一批这种水果每箱的单价是20元；
（2）解：第一批购进这种水果2400÷20=120（箱），
第二批购进这种水果120×（1-25%）=90（箱），
根据题意得：40×120+40×（1-a%）×90×（1-2%）-2400-27002346，
整理得：882-35.28a0，解得：a25，故a的最大值为25．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出关于a的一元一次不等式．
18．（2022·贵州铜仁·中考真题）科学规范戴口罩是阻断遵守病毒传播的有效措施之一，某口罩生产厂家接到一公司的订单，生产一段时间后，还剩280万个口罩未生产，厂家因更换设备，生产效率比更换设备前提高了40%．结果刚好提前2天完成订单任务．求该厂家更换设备前和更换设备后每天各生产多少万个口罩？
【答案】该厂家更换设备前每天生产口罩40万只，更换设备后每天生产口罩56万只．
【分析】设该厂家更换设备前每天生产口罩x万只，则该厂家更换设备后每天生产口罩（1+40%）x万只，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合提前2天完成订单任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】解：设该厂家更换设备前每天生产口罩x万只，则该厂家更换设备后每天生产口罩（1+40%）x万只，依题意得：，解得：x=40，
经检验，x=40是原方程的解，且符合题意．
答：该厂家更换设备前每天生产口罩40万只，更换设备后每天生产口罩56万只．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
19．（2022·广西桂林·中考真题）今年，某市举办了一届主题为“强国复兴有我”的中小学课本剧比赛．某队伍为参赛需租用一批服装，经了解，在甲商店租用服装比在乙商店租用服装每套多10元，用500元在甲商店租用服装的数量与用400元在乙商店租用服装的数量相等．
(1)求在甲，乙两个商店租用的服装每套各多少元？
(2)若租用10套以上服装，甲商店给以每套九折优惠．该参赛队伍准备租用20套服装，请问在哪家商店租用服装的费用较少，并说明理由．
【答案】(1)甲，乙两个商店租用的服装每套各50元，40元
(2)乙商店租用服装的费用较少，理由见解析
【分析】（1）解：设乙商店租用服装每套x元，则甲商店租用服装每套（x+10）元，由题意列，解分式方程并检验即可得出答案．
（2）分别计算甲、乙商店的费用，比较大小即可得出答案．
(1)解：设乙商店租用服装每套x元，则甲商店租用服装每套（x+10）元，
由题意可得：，解得：x＝40，
经检验，x＝40是该分式方程的解，并符合题意，
∴x+10＝50，∴甲，乙两个商店租用的服装每套各50元，40元．
(2)解：乙商店租用服装的费用较少．
理由如下：该参赛队伍准备租用20套服装时，甲商店的费用为：50×20×0.9＝900（元），乙商店的费用为：40×20＝800（元），∵900＞800，∴乙商店租用服装的费用较少．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，能够根据题意找出等量关系建立方程是解决本题的关键，但要注意分式方程的解需要进行检验．
20．（2022·吉林·中考真题）刘芳和李婷进行跳绳比赛．已知刘芳每分钟比李婷多跳20个，刘芳跳135个所用的时间与李婷跳120个所用的时间相等．求李婷每分钟跳绳的个数．
【答案】160个
【分析】设李婷每分钟跳绳的个数为个，则刘芳每分钟跳绳的个数为个，根据“刘芳跳135个所用的时间与李婷跳120个所用的时间相等”建立方程，解方程即可得．
【详解】解：设李婷每分钟跳绳的个数为个，则刘芳每分钟跳绳的个数为个，
由题意得：，解得，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
答：李婷每分钟跳绳的个数为160个．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，正确找出等量关系，并建立方程是解题关键．
21．（2022·黑龙江大庆·中考真题）某工厂生产某种零件，由于技术上的改进，现在平均每天比原计划多生产20个零件，现在生产800个零件所需时间与原计划生产600个零件所需时间相同．求现在平均每天生产多少个零件？
【答案】现在平均每天生产80个零件
【分析】设现在平均每天生产个零件，则原计划生产个零件，由题意得，，计算求出的值，然后进行检验即可．
【详解】解：设现在平均每天生产个零件，则原计划生产个零件，
由题意得，，
去分母得，，
移项合并得，，
系数化为1得，，
检验，将代入得，所以是原分式方程的解，
∴现在平均每天生产个零件．
【点睛】本题考查了分式方程的应用．解题的关键在于根据题意列分式方程．
22．（2022·山东聊城·中考真题）为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长3600米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了20%，按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务．
(1)求实际施工时，每天改造管网的长度；
(2)施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过40天，那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？
【答案】(1)实际施工时，每天改造管网的长度是72米
(2)以后每天改造管网至少还要增加36米
【分析】（1）根据每天的施工效率比原计划提高了20%，设未知数，再根据比原计划提前10天完成任务列出方程即可求解；
（2）根据工期不超过40天列出不等式即可求解．
【详解】解：（1）设原计划每天改造管网米，则实际施工时每天改造管网米，
由题意得：，解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
此时，60×（1+20%）=72（米）．
答：实际施工时，每天改造管网的长度是72米；
（2）设以后每天改造管网还要增加米，
由题意得：，解得：．
答：以后每天改造管网至少还要增加36米．
【点睛】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，是中考常规题型，解题的关键在于找出题目中的等量关系、不等关系，列出方程或不等式．
23．（2022·湖南怀化·中考真题）去年防洪期间，某部门从超市购买了一批数量相等的雨衣（单位：件）和雨鞋（单位：双），其中购买雨衣用了400元，购买雨鞋用了350元，已知每件雨衣比每双雨鞋贵5元．(1)求每件雨衣和每双雨鞋各多少元？(2)为支持今年防洪工作，该超市今年的雨衣和雨鞋单价在去年的基础上均下降了20%，并按套（即一件雨衣和一双雨鞋为一套）优惠销售． 优惠方案为：若一次购买不超过5套，则每套打九折：若一次购买超过5套，则前5套打九折，超过部分每套打八折．设今年该部门购买了a套，购买费用为W元，请写出W关于a的函数关系式．
(3)在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买多少套？
【答案】(1)每件雨衣元，每双雨鞋元
(2)(3)最多可购买套
【分析】（1）根据题意，设每件雨衣元，每双雨鞋元，列分式方程求解即可；
（2）根据题意，按套装降价20%后得到每套元，根据费用=单价×套数即可得出结论；
（3）根据题意，结合（2）中所求，得出不等式，求解后根据实际意义取值即可．
(1)解：设每件雨衣元，每双雨鞋元，则
，解得，经检验，是原分式方程的根，，
答：每件雨衣元，每双雨鞋元；
(2)解：根据题意，一套原价为元，下降20%后的现价为元，则
；
(3)解：，购买的套数在范围内，即，解得，
答：在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买套．
【点睛】本题考查实际应用题，涉及分式方程的实际应用、一次分段函数的实际应用和不等式解实际应用题等知识，熟练掌握实际应用题的求解步骤“设、列、解、答”，根据题意得出相应关系式是解决问题的关键．
24．（2022·重庆·中考真题）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从地沿相同路线骑行去距地30千米的地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．
(1)若乙先骑行2千米，甲才开始从地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；
(2)若乙先骑行20分钟，甲才开始从地出发，则甲、乙恰好同时到达地，求甲骑行的速度．
【答案】(1) (2)千米/时
【分析】（1）设乙的速度为千米/时，则甲的速度为千米/时，根据甲出发半小时恰好追上乙列方程求解即可；（2）设乙的速度为千米/时，则甲的速度为千米/时，根据甲、乙恰好同时到达地列方程求解即可．
(1)解：设乙的速度为千米/时，则甲的速度为千米/时，
由题意得：，解得：，则（千米/时），
答：甲骑行的速度为千米/时；
(2)设乙的速度为千米/时，则甲的速度为千米/时，
由题意得：，解得，
经检验是分式方程的解，则（千米/时），
答：甲骑行的速度为千米/时．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和分式方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．
25．（2022·四川达州·中考真题）某商场进货员预测一种应季T恤衫能畅销市场，就用4000元购进一批这种T恤衫，面市后果然供不应求．商场又用8800元购进了第二批这种T恤衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件的进价贵了4元．
(1)该商场购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是多少元？
(2)如果两批T恤衫按相同的标价销售，最后缺码的40件T恤衫按七折优惠售出，要使两批T恤衫全部售完后利润率不低于80%（不考虑其他因素），那么每件T恤衫的标价至少是多少元？
【答案】(1)该商场购进第一批每件的进价为40元，第二批T恤衫每件的进价为44元
(2)每件T恤衫的标价至少是80元
【分析】（1）设该商场购进第一批每件的进价为元，第二批T恤衫每件的进价为元，根据“所购数量是第一批购进量的2倍”列分式方程求解检验即可；
（2）设每件T恤衫的标价是元，根据“两批T恤衫全部售完后利润率不低于80%”列不等式，求解即可．
(1)设该商场购进第一批每件的进价为元，第二批T恤衫每件的进价为元，
由题意得，，解得，
经检验，是原方程的解且符合题意，，
所以，该商场购进第一批每件的进价为40元，第二批T恤衫每件的进价为44元；
(2)两批T恤衫的数量为（件），
设每件T恤衫的标价是元，由题意得：
，解得
所以，每件T恤衫的标价至少是80元．
【点睛】本题考查了列分式方程解决实际问题，列不等式解决实际问题，准确理解题意，找准数量关系是解题的关键．
【考场演练2】重难点必刷
1．（2022·广西·中考真题）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边村的宽度应是多少米 设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设边衬的宽度为x米，则整幅图画宽为(1.4+2x)米, 整幅图画长为(2.4+2x)米,根据整幅图画宽与长的比是8：13，列出方程即可．
【详解】解：设边衬的宽度为x米，根据题意，得，故选：D．
【点睛】本题考查分式方程的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键．
2．（2022·四川德阳·中考真题）关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是（ ）
A．a＞－1 B．a＞－1且a≠0 C．a＜－1 D．a＜－1且a≠－2
【答案】D
【分析】将分式方程变为整式方程求出解，再根据解为正数且不能为增根，得出答案.
【详解】方程左右两端同乘以最小公分母x-1，得2x+a=x-1.解得：x=-a-1且x为正数．所以-a-1＞0，解得a＜-1，且a≠-2.（因为当a=-2时，方程不成立.）
【点睛】本题难度中等，易错点：容易漏掉了a≠-2这个信息．
3．（2022·山东潍坊·中考真题）观察我国原油进口月度走势图，2022年4月原油进口量比2021年4月增加267万吨，当月增速为6.6%（计算方法：）．2022年3月当月增速为，设2021年3月原油进口量为x万吨，下列算法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意列式即可．
【详解】解：设2021年3月原油进口量为x万吨，
则2022年3月原油进口量比2021年3月增加(4271-x)万吨，
依题意得：，故选：D．
【点睛】本题考查了列分式方程，关键是找出题目蕴含的数量关系．
4．（2022·四川遂宁·中考真题）若关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．0 B．4或6 C．6 D．0或4
【答案】D
【分析】现将分时方程化为整式方程，再根据方程无解的情况分类讨论，当时，当时，或，进行计算即可．
【详解】方程两边同乘，得，整理得，
原方程无解，当时，；
当时，或，此时，，解得或，
当时，无解；
当时，，解得；
综上，m的值为0或4；故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程无解的情况，即分式方程有增根，分两种情况，分别是最简公分母为0和化成的整式方程无解，熟练掌握知识点是解题的关键．
5．（2020·四川绵阳市·中考真题）甲、乙二人同驾一辆车出游，各匀速行驶一半路程，共用3小时，到达目的地后，甲对乙说：“我用你所花的时间，可以行驶180km”，乙对甲说：“我用你所花的时间，只能行驶80km”．从他们的交谈中可以判断，乙驾车的时长为（ ）
A．1.2小时 B．1.6小时 C．1.8小时 D．2小时
【答案】C
【分析】设乙驾车时长为x小时，则甲驾车时长为（3﹣x）小时，根据两人对话可知：甲的速度为km/h，乙的速度为km/h，根据“各匀速行驶一半路程”列出方程求解即可．
【详解】解：设乙驾车时长为x小时，则甲驾车时长为（3﹣x）小时，
根据两人对话可知：甲的速度为km/h，乙的速度为km/h，
根据题意得：，解得：x1＝1.8或x2＝9，
经检验：x1＝1.8或x2＝9是原方程的解，x2＝9不合题意，舍去，故答案为：C．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握速度时间和路程之间的关系，找到题意中的等量关系．
6．（2020·黑龙江鹤岗市·中考真题）已知关于的分式方程的解为非正数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】表示出分式方程的解，由解为非正数得出关于k的不等式，解出k的范围即可．
【详解】解：方程两边同时乘以得：，
∴，∴，∴，
∵解为非正数，∴，∴，故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的解及解一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法和一元一次不等式的解法是解题的关键．
7．（2021·重庆中考真题）关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将分式方程化为整式方程，得到它的解为,由它的解为正数，同时结合该分式方程有解即分母不为0，得到且，再由该一元一次不等式组有解，又可以得到，综合以上结论即可求出a的取值范围，即可得到其整数解，从而解决问题．
【详解】解：,两边同时乘以（)，,,
由于该分式方程的解为正数，∴，其中;∴，且；
∵关于y的元一次不等式组有解，由①得：;由②得：;
∴，∴综上可得：,且;
∴满足条件的所有整数a为：；∴它们的和为；故选B．
【点睛】本题涉及到含字母参数的分式方程和含字母参数的一元一次不等式组等内容，考查了解分式方程和解一元一次不等式组等相关知识，要求学生能根据题干中的条件得到字母参数a的限制不等式，求出a的取值范围进而求解，本题对学生的分析能力有一定要求，属于较难的计算问题．
8．（2022·山东德州·校考二模）若分式方程的解为非负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【分析】将k看作已知数，表示出分式方程的解，根据解为非负数列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的取值范围．
【详解】解：分式方程去分母得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
∵分式方程的解为非负数，∴，且，解得：，且．故选：C．
【点睛】此题考查了分式方程的解，分式方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，本题需注意分式的分母不为0这个隐含的条件是正确解题的关键．
9．（2022·重庆南岸·统考一模）关于x的一元一次不等式组有解，且使关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．8 B．5 C．3 D．2
【答案】D
【分析】解不等式组 ，又因为不等式组有解，得到a＜4，由于， 得到： ，因为a＜4，且y≠3，且整数，得到a=3，-1；
即可求解；
【详解】解： 由①得：x≤-1，由②得：x＞a-5，
因为不等式组有解，∴a-5＜x≤-1;∴a-5＜-1;∴a＜4，
由， 得，得到：，
∵a＜4，且y≠3，为整数，∴a=3，-1；3+（-1）=2．故选：D
【点睛】本题主要考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解集，有理数的混合运算，考虑解分式方程可能产生增根是解题的关键．
10．（2022·山东潍坊·统考二模）（多选题）如果解关于x的分式方程时出现增根，则m的值可能为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】AB
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【详解】解：∵分式方程，
去分母整理，得，∴；
∵原分式方程有增根，则或，∴或；故选：AB．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
11．（2022·河北邯郸·校考三模）定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：max{﹣2，﹣4}＝﹣2．
（1）max{2，5}＝_____；（2）若max{﹣12，（一1）2}＝，则x＝_____．
【答案】 5
【分析】（1）根据题目所给的新定义，比较两个数的大小即可得出答案；
（2）根据题意，将式子化为分式方程，按照解分式方程的步骤进行求解即可．
【详解】（1）∵，，∴，∴max{2，5}＝5，故答案为：5；
（2）∵，，∴max{﹣12，（一1）2}=1，∴，解得：x=，
经检验，x=是分式方程的解，故答案为：
【点睛】本题主要考查了分式方程的解法，理解题意，明白新定义的内容，掌握分式方程的解法是解题的关键．
12．（2022·山东菏泽·校考模拟预测）观察下列方程：①x+=3；②x+=5；③x+=7，可以发现它们的解分别是①x=1或2；②x=2或3；③x=3或4．利用上述材料所反映出来的规律，可知关于x的方程x+=2n+4(n为正整数)的解x= ________________．
【答案】n+3或n+4
【分析】分别对三个方程式变形，并求三个方程式的解，根据方程的解发现规律即可求解.
【详解】分别对三个方程式变形，并求三个方程式的解：
①x+= x+=1+2，在等式两边同时乘以x，
移项得x2- 3x+2=0，即(x- 2)(x- 3)=0，故解得x = 1或x=2；
②x+= x+=2+3，同理解得x = 2或x =3；
③x+= x+=3+4，同理解得x =3或x =4；
以此类推，第n个方程为：x+= x+，且解为：x =n或x =n+1；
将方程x+=2n+4两边同时减3，得（x-3）+=2n+1，
根据规律得：x-3 =n或x -3=n+1，即x =n+3或x =n+4. 故答案为：n+3或n+4.
【点睛】此题考查数字的规律，分别对三个方程式变形，并求三个方程式的解发现规律是解答此题的关键.
13．（2022·四川·一模）若方程的解不大于13，则的取值范围是__________．
【答案】且k≠±1.
【分析】通过去分母去括号，移项，合并同类项，求出，结合条件，列出关于k的不等式组，即可求解.
【详解】
方程两边同乘以(x-6)(x-5)，得：，
去括号，移项，合并同类项，得：，解得：，
∵方程的解不大于13，且x≠6，x≠5，
∴且，
∴且k≠±1.故答案是：且k≠±1.
【点睛】本题主要考查含参数的分式方程的解法，掌握分式方程的解法，是解题的关键.
14．（2021·山东中考真题）若x＜2，且，则x＝_______．
【答案】1
【分析】先去掉绝对值符号，整理后方程两边都乘以x﹣2，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】解：|x﹣2|+x﹣1＝0，
∵x＜2，∴方程为2﹣x+x﹣1＝0，即1，
方程两边都乘以x﹣2，得1＝﹣（x﹣2），解得：x＝1，
经检验x＝1是原方程的解，故答案为：1．
【点睛】本题考查了解分式方程和绝对值，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
15．（2022·山东威海·中考真题）按照如图所示的程序计算，若输出y的值是2，则输入x的值是 _____．
【答案】1
【分析】根据程序分析即可求解．
【详解】解：∵输出y的值是2，
∴上一步计算为或
解得（经检验，是原方程的解），或
当符合程序判断条件，不符合程序判断条件,故答案为：1
【点睛】本题考查了解分式方程，理解题意是解题的关键．
16．（2022·四川泸州·中考真题）若方程的解使关于的不等式成立，则实数的取值范围是________．
【答案】
【分析】先解分式方程得，再把代入不等式计算即可．
【详解】
去分母得：解得： 经检验，是分式方程的解
把代入不等式得：解得故答案为：
【点睛】本题综合考查分式方程的解法和一元一次不等式的解法，解题的关键是熟记相关运算法则．
17．（2021·湖北荆州市·中考真题）若关于的方程的解是正数，则的取值范围为_____．
【答案】m＞-7且m≠-3
【分析】先用含m的代数式表示x，再根据解为正数，列出关于m的不等式，求解即可．
【详解】解：由，得：且x≠2，
∵关于的方程的解是正数，∴且，解得：m＞-7且m≠-3，
故答案是：m＞-7且m≠-3．
【点睛】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式组，求出方程的解是解题的关键．
18．（2022·重庆·中考真题）为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为，需香樟数量之比为，并且甲、乙两山需红枫数量之比为．在实际购买时，香樟的价格比预算低，红枫的价格比预算高，香樟购买数量减少了，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为_________．
【答案】
【分析】适当引进未知数，合理转化条件，构造等式求解即可．
【详解】设三座山各需香樟数量分别为4x、3x、9x．甲、乙两山需红枫数量、．
∴，∴，故丙山的红枫数量为，
设香樟和红枫价格分别为、．
∴，∴，
∴实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为，答案：．
【点睛】本题考查未知数的合理引用，熟练掌握未知数的科学设置，灵活构造等式计算求解是解题的关键．
19．（2022·广东江门·校考一模）某市为了排查新冠肺炎，进行了一次全民核酸检测，某小区的检测有如下三种方案：
①全部由甲医院检测预计需要若干小时；
②全部由乙医院预计需要的时间比甲医院多用6小时；
③第一天由甲医院检测10小时，第二天再由乙医院检测7小时，预计也能全部检测完．
(1)求两间医院单独检测各需多少小时．
(2)该市选择了方案③进行检测，但在检测了第一天后，由于任务紧急，临时决定至少要提前3小时完成任务，因此第二天甲医院义无反顾地参加了支援工作，求甲医院至少检测多长时间才能按时完成检测工作．
【答案】(1)全部由甲医院检测需要15小时，全部由乙医院检测需要21小时
(2)小时
【分析】（1）设全部由甲医院检测需要x小时，则全部由乙医院检测需要小时，根据“第一天由甲医院检测10小时，第二天再由乙医院检测7小时，预计也能全部检测完”，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出全部由甲医院检测所需时间，再将其代入中，即可求出全部由乙医院检测所需时间；
（2）设第二天甲医院检测了y小时，则乙医院检测了小时，根据至少要提前3小时完成任务，可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设全部由甲医院检测需要x小时，则全部由乙医院检测需要小时，根据题意得：
，整理得：，解得，，
经检验，，均为所列方程的解，符合题意，不符合题意，舍去，
∴．
答：全部由甲医院检测需要15小时，全部由乙医院检测需要21小时；
（2）解：设第二天甲医院检测了y小时，则乙医院检测了小时，根据题意得：
解得：，∴y的最小值为．
答：甲医院至少检测小时才能按时完成检测工作．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
20．（2022·吉林长春·校考模拟预测）为了节约用水，石家庄物价局于年月日举行《市民用水阶梯价格分级用量听证会》，并提出超量加价．若民用自来水水费调整为每月用水量不超过包括时，则按规定标准2.8元（含污染费和排污费），若每月用水量超过，则超过的部分按收费（含污染费和排污费）．(1)小敏家为了响应政府节约用水的号召，决定从年月起计划平均每月用水量比年月到年月平均每月用水量减少，这使小敏家在相同的月数内，从计划前的用水量变为计划后的用水量，求小敏家从年月起计划平均每月用水量；
(2)小敏家从年月到年月这一年中，有四个月超出现在计划月平均用水量的，有四个月超出现在计划月平均用水量的，其余的四个月的用水量与年月到年月的平均每月用水量相等．若按新的交费法，求小敏家从年月到年月这一年中应交的总水费．
【答案】(1) (2)元
【分析】（1）设小敏家从年月起计划平均每月用水量为，则从年月到年月平均每月用水量为，依题意可列出关于x的分式方程，解出x，并检验，即可得出结果；
（2）由题意可求出超出现在计划月平均用水量的的四个月平均用水量为，
这四个月的水费为元，超出现在计划月平均用水量的的四个月平均用水量为，这四个月的水费为元．设年月到年月的平均每月用水量为，根据题意可列出关于y的方程，解出y的值，即可求出这四个月的水费，最后将水费相加即得出总水费．
【详解】（1）解：设小敏家从年月起计划平均每月用水量为，则从年月到年月平均每月用水量为，
依题意有：，解得：，经检验，是原方程的解，
∴小敏家从年月起计划平均每月用水量为；
（2）解：超出现在计划月平均用水量的的四个月平均用水量为，
∴这四个月的水费为元；
超出现在计划月平均用水量的的四个月平均用水量为，
∴这四个月的水费为元；
设年月到年月的平均每月用水量为，
根据题意有：，解得：
∴其余四个月的平均用水量为，∴这四个月的水费为元．
∴小敏家从年月到年月这一年中应交的总水费为元．
【点睛】本题考查分式方程和一元一次方程的实际应用．读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键．
21．（2022·贵州遵义·统考二模）阅读下列材料，完成探究与运用．
【材料】工程队为推进修筑公路的进度，特引进新设备，引进后平均每天比原计划多修5米，现在修60米与原计划修45米所需时间相同．问现在平均每天修多少米？
解：设现在平均每天修x米，则可列出分式方程，…．
同学们在解答完成后，张老师介绍了另一种解法：
由，
从而可得：，解得，经检验是原方程的解，…．
【探究】小恒同学对老师的解法很感兴趣，于是再进行探究，由比例式得成立，同时也成立，由此发现规律．
(1)请将他发现的规律补充完整：已知a，b，c，d均不为0，若，则①____，②______；
【运用】
(2)请用上述规律，解分式方程．
【答案】(1)； (2)，
【分析】（1）根据阅读材料和探究材料可直接得出答案；
（2）直接利用（1）中发现的规律解分式方程即可．
【详解】（1）解：小恒同学发现的规律为：已知a，b，c，d均不为0，
若，则①，②；
故答案为：；
（2）解：，
从而可得：，∴，∴，
∴，解得，，
经检验，都是原方程的解，故原方程的解为，．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，读懂材料，发现规律是解题的关键．
22．（2022·广西·中考真题）金鷹酒店有140间客房需安装空调，承包给甲、乙两个工程队合作安装，每间客房都安装同一品牌同样规格的一台空调，已知甲工程队每天比乙工程队多安装5台，甲工程队的安装任务有80台，两队同时安装．问：(1)甲，乙两个工程队每天各安装多少台空调，才能同时完成任务？
(2)金鹰酒店响应“縁色环保”要求，空调的最低温度设定不低于26℃，每台空调每小时耗电1.5度：据预估，每天至少有100间客房有旅客住宿，旅客住宿时平均每天开空调约8小时，若电费0.8元／度，请你估计该酒店毎天所有客房空调所用电费 W（单位：元）的范围？
【答案】(1)甲工程队每天安装20台空调，乙工程队每天安装15台空调，才能同时完成任务
(2)
【分析】（1）设乙工程队每天安装台空调，则甲工程队每天安装台空调，根据甲队的安装任务除以甲队的速度等于乙队的安装任务除以乙队的速度，可列分式方程，求解并检验即可；
（2）设每天有间客房有旅客住宿，先根据题意表示出W，再根据，即可确定W的范围．
(1)解：设乙工程队每天安装台空调，则甲工程队每天安装台空调，
由题意得，解得，经检验，是所列方程的解，且符合题意，
（台），
所以，甲工程队每天安装20台空调，乙工程队每天安装15台空调，才能同时完成任务；
(2)解：设每天有间客房有旅客住宿，由题意得，
，随的增大而增大，
，当时，；当时，；．
【点睛】本题考查了列分式方程解决实际问题，列函数解析式，不等式的应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
23．（2022·贵州遵义·中考真题）遵义市开展信息技术与教学深度融合的精准化教学某实验学校计划购买，两种型号教学设备，已知型设备价格比型设备价格每台高20%，用30000元购买型设备的数量比用15000元购买型设备的数量多4台．(1)求，型设备单价分别是多少元？(2)该校计划购买两种设备共50台，要求型设备数量不少于型设备数量的．设购买台型设备，购买总费用为元，求与的函数关系式，并求出最少购买费用．
【答案】(1)，型设备单价分别是元．
(2)，最少购买费用为元
【分析】（1）设型设备的单价为元，则型设备的单价为元，根据题意建立分式方程，解方程即可求解；（2）设型设备的单价为元，则型设备的单价为元，根据题意建立一元一次不等式，求得的最小整数解，根据单价乘以数量即可求的与的函数关系式，根据一次函数的性质即可求得最少购买费用．
(1)解：设型设备的单价为元，则型设备的单价为元，根据题意得，
，解得，经检验是原方程的解，
型设备的单价为元；
答：，型设备单价分别是元．
(2)设购买台型设备，则购买型设备台，依题意，
，解得，的最小整数解为，
购买总费用为元，，，
，随的增大而增大，时，取得最小值，最小值为．
答：最少购买费用为元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意列出关系式是解题的关键．
24．（2022·重庆·中考真题）为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠．
(1)计划修建灌溉水渠600米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建20米，再施工2天完成任务，求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？
(2)因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800米，为早日完成任务，决定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工．甲施工队按（1）中增加人员后的修建速度进行施工．乙施工队修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建20%，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？
【答案】(1)100米(2)90米
【分析】（1）设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x米，原来每天修建米，根据工效问题公式：工作总量＝工作时间×工作效率，列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出答案；
（2）设乙施工队原来每天修建灌溉水渠y米，技术更新后每天修建米，根据水渠总长1800米，完工时，两施工队修建长度相同，可知每队修建900米，再结合两队同时开工修建，直至同时完工，可得两队工作时间相同，列出关于y的分式方程，解方程即可得出答案．
(1)解：设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x米，原来每天修建米，
则有解得∴甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠100米．
(2)∵水渠总长1800米，完工时，两施工队修建长度相同
∴两队修建的长度都为1800÷2＝900(米)
乙施工队技术更新后，修建长度为900－360＝540(米)
解：设乙施工队原来每天修建灌溉水渠y米，技术更新后每天修建米，即1.2y米
则有解得 经检验，是原方程的解，符合题意
∴乙施工队原来每天修建灌溉水渠90米．
【点睛】本题考查一元一次方程和分式方程的实际应用，应注意分式方程要检验，读懂题意，正确设出未知数，并列出方程，是解题的关键．
25．（2023·浙江·九年级期末）先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程的解为,；方程的解为,；
方程的解为,； …
（1）观察上述方程的解,猜想关于x的方程的解是___；
（2）根据上面的规律,猜想关于x的方程的解是___；
（3）猜想关于x的方程x 的解并验证你的结论；
（4）在解方程：时,可将方程变形转化为(2)的形式求解，按要求写出你的变形求解过程。
【答案】（1）, ；（2） , ；（3）x1=2,x2= ；（4） ；
【分析】（1）观察阅读材料中的方程解过程，归纳总结得到结果；
（2）仿照方程解方程，归纳总结得到结果；（3）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可；
（4）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可．
【详解】（1）猜想方程 的解是 ；
（2）猜想方程 的解是，；
(3)猜想关于x的方程x 的解为x1=2,x2=，理由为：
方程变形得：x ,即x+( )=2+( ),依此类推得到解为x1=2,x2= ；
（4）方程变形得：，可得或 ，解得：.
【点睛】此题考查分式方程的解，解题关键在于找到基本规律掌握解分式方程的基本步骤.
26．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程的解，求实数k的取值范围.
【答案】或k＝-4或k≥-3
【分析】分四种情况讨论：原方程去分母化为①．（1）当时，，得到，方程有两个相同的正实根，原方程只存在一个正实数解；（2）原方程的增根是方程的一个根，代入得到，得到代入方程有另一正实数解，原方程只存在一个正实数解；（3）当方程①有异号二实根时，根据根与系数的关系，求得，原方程只有一个正实数根；（4）当方程①有一个根为0时，推出，原方程只有一正实数根．
【详解】解：原方程可化为①，
（1）当时，， ，符合题意；
（2）当是方程①的根时，，，
此时方程①为，，解得另一个根为，故原方程也只有一根；
（3）当方程①有异号实根时，，且，即，得，此时原方程也只有一个正实数根；
（4）当方程①有一个根为0时，，另一个根为，此时原方程也只有一个正实根．
综上所述，满足条件的k的取值范围是：或或．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解与字母系数的关系，解决问题的关键是熟练掌握解分式方程的方法，增根的定义和特点，根据根的情况确定字母系数的取值，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，分类讨论．
27．（2022·山东济宁·统考二模）【建构模型】
对于两个不等的非零实数，，若分式的值为零，则或．
又因为，
所以关于的方程有两个解，分别为，．
【应用模型】利用上面的结论解答下列问题：
(1)方程的两个解分别为，，则______，______；
(2)关于的方程的两个解分别为，，求的值．
【答案】(1)； (2)
【分析】（1）由题意可得，；（2）将已知方程变形为，则可得或，再求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得，；
（2）解：，，
，
或，或，
又，，，．
【点睛】本题考查分式方程的解，根据题中所给的方法，将方程进行适当的变形，利用整体思想是解题的关键．
28．（2021·山东聊城市·中考真题）为迎接建党一百周年，我市计划用两种花卉对某广场进行美化．已知用600元购买A种花卉与用900元购买B种花卉的数量相等，且B种花卉每盆比A种花卉多0.5元．（1）A，B两种花卉每盆各多少元？（2）计划购买A，B两种花卉共6000盆，其中A种花卉的数量不超过B种花卉数量的，求购买A种花卉多少盆时，购买这批花卉总费用最低，最低费用是多少元？
【答案】（1）A 种花弃每盆1元，B种花卉每盆1.5元；（2）购买A 种花卉1500盆时购买这批花卉总费用最低，最低费用为 8250元
【分析】（1）设A 种花弃每盆x元，B 种花卉每盆（x＋0.5）元，根据题意列分式方程，解出方程并检验；
（2）设购买A种花卉∶t盆，购买这批花卉的总费用为w元，则t≤（6000－t），w＝t＋1.5（6000－t）＝－0.5t＋9000，w随t的增大而减小，所以根据t的范围可以求得w的最小值．
【详解】解：（1）设A 种花弃每盆x元，B 种花卉每盆（x＋0.5）元．
根据题意，得．解这个方程，得x＝1.
经检验知，x＝1是原分式方程的根，并符合题意．此时x＋0.5＝1＋0.5＝1.5（元）．
所以，A种花弃每盆1元，B种花卉每盆1.5元．
（2）设购买A种花卉∶t盆，购买这批花卉的总费用为w元，则t≤（6000－t），解得∶t≤1500.
由题意，得w＝t＋1.5（6000－t）＝－0.5t＋9000.
因为w是t的一次函数，k＝－0.5＜0，w随t的增大而减小，所以当t＝1500 盆时，w最小．
w＝－0.5×1500＋9000＝8250（元）．
所以，购买A种花卉1500盆时购买这批花卉总费用最低，最低费用为8250元．
【点睛】本题主要考查了分式方程解决实际问题和一次函数求最值，根据等量关系列出方程和函数关系式及取值范围是解题关键．
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专题06 分式方程
【考情预测】
本考点内容以考查分式方程解法、分式方程含参问题、分式方程的应用题为主，既有单独考查，也有和一次函数、二次函数结合考察，年年考查，分值为10分左右，预计2023年浙江各地中考还将继续考查分式方程解法、分式方程含参问题（较难）、分式方程的应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握。
【考点梳理】
1．分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，是判定一个方程为分式方程的依据．
2．分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．
（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．
注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
3．增根
在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．
注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．
4．分式方程的应用
（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．
每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝等．
（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．
【重难点突破】
考点1. 解分式方程
【解题技巧】
分式方程的解法：①能化简的应先化简；②方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．
【典例精析】
例1.（2022·浙江嘉兴·中考真题）（1）计算：（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先计算零次幂与算术平方根，再合并即可；
（2）先去分母，化为整式方程，再解整式方程并检验即可．
【详解】解：（1）
（2），去分母：
整理得： 经检验：是原方程的根，
所以原方程的根为：
【点睛】本题考查的是零次幂的含义，求解一个数的算术平方根，分式方程的解法，掌握“以上基础运算”是解本题的关键．
例2.（2022·浙江台州·中考真题）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的的值是____．
先化简，再求值：，其中解：原式
【答案】5
【分析】根据题意得到方程，解方程即可求解．
【详解】解：依题意得：，即，
去分母得：3-x+2(x-4)=0，去括号得：3-x+2x-8=0，解得：x=5，
经检验，x=5是方程的解，故答案为：5．
【点睛】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
【变式训练】
变式1．（2022·湖南永州·中考真题）解分式方程去分母时，方程两边同乘的最简公分母是______．
【答案】
【分析】根据解分式方程的方法中确定公分母的方法求解即可．
【详解】解：分式方程的两个分母分别为x，(x+1)，
∴最简公分母为：x(x+1)，故答案为：x(x+1)．
【点睛】题目主要考查解分式方程中确定公分母的方法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题关键．
变式2．（2022·四川成都·中考真题）分式方程的解是_________．
【答案】
【分析】找出分式方程的最简公分母，方程左右两边同时乘以最简公分母，去分母后再利用去括号法则去括号，移项合并，将x的系数化为1，求出x的值，将求出的x的值代入最简公分母中进行检验，即可得到原分式方程的解．
【详解】解：
解：化为整式方程为：3﹣x﹣1＝x﹣4，
解得：x＝3，经检验x＝3是原方程的解，故答案为：．
【点睛】此题考查了分式方程的解法．注意解分式方程一定要验根，熟练掌握分式方程的解法是关键．
变式3．（2023·浙江·九年级模拟）对于分式方程，牛牛的解法如下：
解：方程两边同乘，得 ①
去括号，得 ②
解得 ③
∴原方程的解为 ④
（1）上述解答过程中错误的是___________（填序号）．（2）请写出正确的解答过程．
【答案】（1）①④；（2）见解析．
【分析】（1）根据分式方程去分母法则即可得；
（2）先通过去分母，将分式方程化成整式方程，再解一元一次方程即可得．
【详解】解：（1）方程两边同乘，得，则步骤①错误，
步骤④未经检验，得出原方程的解，则步骤④错误，故答案为：①④；
（2），方程两边同乘，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得，
经检验，是原分式方程的解，
故方程的解为．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握方程的解法是解题关键．
考点2. 分式方程的增根与无解问题
【解题技巧】
（1）求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根 ( https: / / baike. / item / %E5%A2%9E%E6%A0%B9" \t "_blank ).
（2）验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根；否则这个根就是原分式方程的根，若解出的根都是增根，则原方程无解.
（3）如果分式本身约分了，也要代入进去检验.
（4）一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解.
【典例精析】
例1.（2021·广西贺州市·中考真题）若关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】根据分式方程有增根可求出，方程去分母后将代入求解即可.
【详解】解：∵分式方程有增根，∴，
去分母，得，将代入，得，解得．故选：D．
【点睛】本题考查分式方程的无解问题，掌握分式方程中增根的定义及增根产生的原因是解题的关键．
例2.（2023·浙江·中考模拟）已知关于x的方程无解，则_____．
【答案】-2或0
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出a的值即可．
【详解】解：去分母得：x2+4-x2=ax-2a，
当a=0时，方程无解；
当a≠0时，解得：x=，由分式方程无解，得到x=0或x=2，
∴=0或=2，解得：a=-2，
综上，a=-2或0．故答案为：-2或0．
【点睛】此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．
【变式训练】
变式1．（2021·四川宜宾·中考真题）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【答案】C
【分析】先把分式方程化为整式方程，再把增根x=2代入整式方程，即可求解．
【详解】解：，去分母得：，
∵关于x的分式方程有增根，增根为：x=2，
∴，即：m=2，故选C．
【点睛】本题主要考查解分式方程以及分式方程的增根，把分式方程化为整式方程是解题的关键．
变式2．（2023·浙江·中考模拟）已知关于x的分式方程﹣1＝无解，则m的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．﹣2或﹣3 D．0或3
【答案】C
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【详解】解：两边都乘以x（x﹣3），得：x（x+m）﹣x（x﹣3）＝x﹣3，
整理，得：（m+2）x＝﹣3，解得：，
①当m+2＝0，即m＝﹣2时整数方程无解，即分式方程无解，
②∵关于x的分式方程﹣1＝无解，∴或，即无解或3（m+2）＝﹣3，
解得m＝﹣2或﹣3．∴m的值是﹣2或﹣3．故选C．
【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的解，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法，注意分母不等于0的条件．
变式3．（2021·内蒙古呼伦贝尔市·中考真题）若关于x的分式方程无解，则a的值为（ ）
A．3 B．0 C． D．0或3
【答案】C
【分析】直接解分式方程，再根据分母为0列方程即可．
【详解】解：，去分母得：2﹣x﹣a＝2（x﹣3），解得：x＝，
当时，方程无解， 解得．故选：C．
【点睛】本题考查分式方程无解，解题关键是明确分式方程无解的条件，解方程，再根据分母为0列方程．
考点3. 分式方程的特殊解问题
【解题技巧】
【典例精析】
例1.（2022·黑龙江·中考真题）已知关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，根据分式方程的解为正数得到且，即可求解．
【详解】方程两边同时乘以，得，解得，
关于x的分式方程的解是正数，
，且，即且，且，故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的解，涉及解分式方程和分式方程分母不为0，熟练掌握知识点是解题的关键．
例2.（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若关于x的分式方程的解大于1，则m的取值范围是______________．
【答案】m >0且m≠1
【分析】先解分式方程得到解为，根据解大于1得到关于m的不等式再求出m的取值范围，然后再验算分母不为0即可．
【详解】解：方程两边同时乘以得到：，整理得到：，
∵分式方程的解大于1，∴，解得：，
又分式方程的分母不为0，∴且，解得：且，
∴m的取值范围是m >0且m≠1．
【点睛】本题考查分式方程的解法，属于基础题，要注意分式方程的分母不为0这个隐藏条件．
【变式训练】
变式1．（2021·黑龙江鹤岗·中考真题）已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【分析】根据题意先求出分式方程的解，然后根据方程的解为非负数可进行求解．
【详解】解：由关于的分式方程可得：，且，
∵方程的解为非负数，∴，且，解得：且，故选B．
【点睛】本题主要考查分式方程的解法及一元一次不等式的解法，熟练掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解法是解题的关键．
变式2．（2022·内蒙古通辽·中考真题）若关于的分式方程：的解为正数，则的取值范围为（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【分析】先解方程，含有k的代数式表示x，在根据x的取值范围确定k的取值范围．
【详解】解：∵，∴，解得：，
∵解为正数，∴，∴，
∵分母不能为0，∴，∴，解得，综上所述：且，故选：B．
【点睛】本题考查解分式方程，求不等式的解集，能够熟练地解分式方程式解决本题的关键．
考点4. 分式方程的整数解问题
【典例精析】
例1.（2022秋·浙江九年级课时练习）若关于x的方程(a+1)x2+(2a﹣3)x+a﹣2＝0有两个不相等的实根，且关于x的方程的解为整数，则满足条件的所有整数a的和是_____．
【答案】2
【分析】关于一元二次方程（a+1）x2+（2a-3）x+a-2=0利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到a＜ 且a≠-1，再解分式方程得到，接着利用分式方程的解为整数得到a=0，2，-1，3，5，-3，然后确定满足条件的a的值，从而得到满足条件的所有整数a的和．
【详解】∵关于x的方程(a+1)x2+(2a﹣3)x+a﹣2＝0有两个不相等的实根，
∴a+1≠0且△＝(2a﹣3)2﹣4(a+1)×(a﹣2)＞0，解得a＜且a≠﹣1．
把关于x的方程去分母得ax﹣1﹣x＝3，解得
∵x≠﹣1，∴，解得a≠﹣3，∵ (a≠﹣3)为整数，∴a﹣1＝±1，±2，±4，
∴a＝0，2，﹣1，3，5，﹣3，而a＜且a≠﹣1且a≠﹣3，
∴a的值为0，2，∴满足条件的所有整数a的和是2．故答案是：2．
【点睛】本题考查根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
例2.（2021·重庆中考真题）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．5 B．8 C．12 D．15
【答案】B
【分析】先计算不等式组的解集，根据“同大取大”原则，得到解得，再解分式方程得到，根据分式方程的解是正整数，得到，且是2的倍数，据此解得所有符合条件的整数a的值，最后求和．
【详解】解：解不等式①得，，解不等式②得，
不等式组的解集为：
解分式方程得
整理得，
则 分式方程的解是正整数，
，且是2的倍数，，且是2的倍数，
整数a的值为-1, 1, 3, 5, 故选：．
【点睛】本题考查解含参数的一元一次不等式、解分式方程等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
【变式训练】
变式1．（2021·四川达州市·中考真题）若分式方程的解为整数，则整数___________．
【答案】
【分析】直接移项后通分合并同类项，化简、用来表示，再根据解为整数来确定的值．
【详解】解：，
整理得：
若分式方程的解为整数，
为整数，当时，解得：，经检验：成立；
当时，解得：，经检验：分母为0没有意义，故舍去；
综上:，故答案是：．
【点睛】本题考查了分式方程，解题的关键是：化简分式方程，最终用来表示，再根据解为整数来确定的值，易错点，容易忽略对根的检验．
变式2．（2022·广东江门·一模）已知，关于x的分式方程．
(1)当，时，求分式方程的解；(2)当时，求b为何值时分式方程无解；
(3)若，且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，求b的值．
【答案】(1)(2)(3)3、29、55、185
【分析】（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可；
（2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可；（3）将a=3b代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数确定b的取值．
【详解】（1）解：把a=2，b=1代入原分式方程中，得：，
方程两边同时乘以，得：，解得：，
检验：把代入，∴原分式方程的解为：．
（2）解：把a=1代入原分式方程中，得：，
方程两边同时乘以，得：，
去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
①当时，即，原分式方程无解；
②当时，得，
Ⅰ.时，原分式方程无解，即时，此时b不存在；
Ⅱ.x=5时，原分式方程无解，即时，此时b=5；
综上所述，时，分式方程无解．
（3）解：把a=3b代入分式方程中，
得：，方程两边同时乘以，
得：，，
解得：，
∵b为正整数，x为整数，∴10+ b必为195的因数，10+b≥11，
∵195=3×5×13，∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195，
∵1、3、5都小于11，∴10十b可以取13、15、39、65、195这五个数，
对应地，方程的解x=3、5、13、15、17，
又x=5为分式方程的增根，故应舍去，对应地，b只可以取3、29、55、185，
∴满足条件的b可取3、29、55、185这四个数．
【点睛】本题主要考查分式方程的计算，难度较大，涉及知识点较多．熟练掌握解分式方程的步骤是解决这三道小题的前提条件；其次，分式方程无解的两种情况要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程无解，而是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．总之，解分式方程的步骤要重点掌握．
考点5. 分式方程中的新定义问题
【典例精析】
例1.（2022春·浙江·九年级统考专题练习）对于实数a，b定义一种新运算“”为，这里等式右边是实数运算．例如，则方程的解是__．
【答案】x=10
【分析】根据新定义的运算求出，即得出关于x的分式方程，再解方程即可．
【详解】解：，∴，
等式两边同时乘，得：，解得：．
经检验是原分式方程的解．
∴方程的解是．故答案为：x=10．
【点睛】本题考查新定义下的实数运算，解分式方程．理解题意，掌握新定义的运算法则是解题关键．
例2.（2023·广东中考模拟）定义一种新运算：，例如：，若，则（ ）
A．-2 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据新定义运算得到一个分式方程，求解即可.
【详解】根据题意得，，则，
经检验，是方程的解，故选B.
【点睛】此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．
【变式训练】
变式2．（2023浙江杭州·中考模拟）符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：＝ad﹣bc，请你根据上述规定求出下列等式中x的值．若，那么x＝__．
【答案】4
【分析】首先根据题意由二阶行列式得到一个分式方程，解分式方程即得问题答案 ．
【详解】解：∵=1，∴，
方程两边都乘以x﹣1得：2+1＝x﹣1，解得：x＝4，
检验：当x＝4时，x﹣1≠0，1﹣x≠0，即x＝4是分式方程的解，故答案为：4．
【点睛】本题考查分式方程与新定义实数运算的综合运用，通过观察所给运算式子归纳出运算规律并得到分式方程再求解是解题关键．
变式2．（2023·浙江·中考模拟）对于两个不相等的实数、，我们规定符号表示、中的较小的值，如，按照这个规定，方程的解为（ ）．
A． B．2 C．或2 D．1或
【答案】B
【分析】分结果为与两种情况分别求出方程的解，进行检验然后比较与大小，从而求解．
【详解】解：由题意可得或，
当时，，解得经检验是原方程的解
此时，，，故不符合题意，舍去．
当时，，解得经检验，是原方程的解
此时，，．符合题意，即．故选B．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
变式3．（2022·浙江宁波·中考真题）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，．若，则x的值为___________．
【答案】
【分析】根据新定义可得，由此建立方程解方程即可．
【详解】解：∵，∴，
又∵，∴，
∴，∴，∴，
∵即，∴，解得，
经检验是方程的解，故答案为：．
【点睛】本题考查新定义下的实数运算，解分式方程，正确理解题意得到关于x的方程是解题的关键．
考点6. 分式方程的应用
【解题技巧】
分式方程解实际问题的求解步骤：审题、设未知数、列方程、解方程、检验、写出答案，检验时要注意从方程本身和实际问题两个方面进行．
【典例精析】
例1.（2022·浙江丽水·中考真题）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程，则方程中x表示（ ）
A．足球的单价 B．篮球的单价 C．足球的数量 D．篮球的数量
【答案】D
【分析】由的含义表示的是篮球单价比足球贵30元，从而可以确定x的含义．
【详解】解：由可得：
由表示的是足球的单价，而表示的是篮球的单价，
表示的是购买篮球的数量，故选D
【点睛】本题考查的是分式方程的应用，理解题意，理解方程中代数式的含义是解本题的关键．
例2.（2022·山东烟台·中考真题）扫地机器人具备敏捷的转弯、制动能力和强大的自主感知、规划能力，深受人们喜爱．某商场根据市场需求，采购了A，B两种型号扫地机器人．已知B型每个进价比A型的2倍少400元．采购相同数量的A，B两种型号扫地机器人，分别用了96000元和168000元．请问A，B两种型号扫地机器人每个进价分别为多少元？
【答案】每个A型扫地机器人的进价为1600元，每个B型扫地机器人的进价为2800元
【分析】设每个A型扫地机器人的进价为x元，则每个B型扫地机器人的进价为（2x﹣400）元，利用数量＝总价÷单价，结合用96000元购进A型扫地机器人的数量等于用168000元购进B型扫地机器人的数量，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出每个A型扫地机器人的进价，再将其代入（2x﹣400）中即可求出每个B型扫地机器人的进价．
【详解】设每个A型扫地机器人的进价为x元，则每个B型扫地机器人的进价为（2x﹣400）元，
依题意得： ，解得：x＝1600，
经检验，x＝1600是原方程的解，且符合题意，
∴2x﹣400＝2×1600﹣400＝2800．
答：每个A型扫地机器人的进价为1600元，每个B型扫地机器人的进价为2800元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【变式训练】
变式1．（2022·江西·中考真题）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样x人，则可列分式方程为__________．
【答案】
【分析】先表示乙每小时采样（x-10）人，进而得出甲采样160人和乙采样140人所用的时间，再根据时间相等列出方程即可．
【详解】根据题意可知乙每小时采样（x-10）人，根据题意，得．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了列分式方程，确定等量关系是列方程的关键．
变式2．（2022·辽宁·中考真题）2022年3月23日“天官课堂”第二课在中国空间站开讲了，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某中学为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入A、B两款物理实验套装，其中A款套装单价是B款套装单价的1.2倍，用9900元购买的A款套装数量比用7500元购买的B款套装数量多5套．求A、B两款套装的单价分别是多少元．
【答案】A款套装的单价是180元、B款套装的单价是150元．
【分析】设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是1.2x元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】解：设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是1.2x元，
由题意得：，解得：x=150，
经检验，x=150是原方程的解，且符合题意，∴1.2x=180．
答：A款套装的单价是180元、B款套装的单价是150元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程．
变式3．（2022·广西柳州·中考真题）习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多1万元，用15万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同．(1)求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？(2)若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过46万元，则甲种农机具最多能购买多少件？
【答案】(1)购买1件甲种农机具需要3万元，1件乙种农机具需要2万元；
(2)甲种农机具最多能购买6件．
【分析】（1）设购买1件乙种农机具需要x万元，则购买1件甲种农机具需要（x+1）万元，找出等量关系列方程求解即可；（2）设购买m件甲种农机具，则购买（20﹣m）件乙种农机具，根据购买的总费用不超过46万元列不等式求解即可．
【解析】(1)解：设购买1件乙种农机具需要x万元，则购买1件甲种农机具需要（x+1）万元，
依题意得：解得：x＝2，
经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意，
∴x+1＝2+1＝3．∴购买1件甲种农机具需要3万元，1件乙种农机具需要2万元．
(2)解：设购买m件甲种农机具，则购买（20﹣m）件乙种农机具，
依题意得：3m+2（20﹣m）≤46，解得：m≤6．
∴甲种农机具最多能购买6件．
【点睛】本题考查分式方程的应用，不等式的应用，（1）的关键是理解题意，找出等量关系列出分式方程，（2）的关键是根据购买的总费用不超过46万元列出不等式．
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专题06 分式方程
【考场演练1】热点必刷
1．（2022·辽宁营口·中考真题）分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·黑龙江·中考真题）有一个容积为24的圆柱形的空油罐，用一根细油管向油罐内注油，当注油量达到该油罐容积的一半时，改用一根口径为细油管口径2倍的粗油管向油罐注油，直至注满，注满油的全过程共用30分钟，设细油管的注油速度为每分钟x，由题意列方程，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·湖北恩施·中考真题）一艘轮船在静水中的速度为30km/h，它沿江顺流航行144km与逆流航行96km所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为vkm/h，则符合题意的方程是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·山东临沂·中考真题）将5kg浓度为98%的酒精，稀释为75%的酒精．设需要加水，根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·浙江·模拟预测）已知关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．（2022·山东泰安·中考真题）某工程需要在规定时间内完成，如果甲工程队单独做，恰好如期完成； 如果乙工程队单独做，则多用天，现在甲、乙两队合做天，剩下的由乙队单独做，恰好如期完成，求规定时间．如果设规定日期为天，下面所列方程中错误的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·湖北荆门市·中考真题）已知关于x的分式方程的解满足，且k为整数，则符合条件的所有k值的乘积为（ ）
A．正数 B．负数 C．零 D．无法确定
8．（2022·四川内江·中考真题）对于非零实数a，b，规定a b＝，若（2x﹣1） 2＝1，则x的值为 _____．
9．（2022·广东广州·华南师大附中校考三模）把代数式分解因式，结果正确的是___________；若分式的值为零，则x的值为___________；若代数式可化为，则的值是___________．
10．（2021·湖北黄石市·中考真题）分式方程的解是______．
11.（2022·浙江金华·中考真题）若分式的值为2，则x的值是_______．
12．（2022·湖南常德·中考真题）方程的解为________．
13．（2022·江苏宿迁·中考真题）解方程：．
14．（2022·山东青岛·中考真题）为落实青岛市中小学生“十个一”行动计划，学校举办以“强体质，炼意志”为主题的体育节，小亮报名参加3000米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%，少用3分钟跑完全程．设小亮训练前的平均速度为x米/分，那么x满足的分式方程为__________．
15．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测）中国发展到今天，交通已经成为影响社会发展快慢的重要因素，以我旗为例：从贝子府镇到新惠镇全程50千米，为普通国路标准路面；从四家子镇到新惠镇全程60千米，为一级路标准路面．汽车在一级路上行驶的平均速度是在普通国路上的倍，用时少14分钟．求汽车从贝子府镇到新惠镇需要多长时间．
16．（2022·重庆·重庆八中校考模拟预测）小明的爸爸出差回家后，小明发现爸爸的通信大数据行程卡上显示1天内爸爸去过A、B、C三地．已知A到B的路程为160公里，比B到C的路程少200公里，小明爸爸驾车从A到B的平均车速和B到C的平均车速比为8：9，从A到B的时间比从B到C的时间少2小时．(1)求A到B的平均车速；(2)从B到C时，若小明的爸爸至少要提前40分钟到达，则平均车速应满足什么条件？
17．（2022·新疆乌鲁木齐·乌鲁木齐市第六十八中学校考模拟预测）一水果店主分两批购进同一种水果，第一批所用资金为2400元，因天气原因，水果涨价，第二批所用资金是2700元，但由于第二批单价比第一批单价每箱多10元，以致购买的数量比第一批少25%．(1)该水果店主购进第一批这种水果的单价是多少元？(2)该水果店主计划两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降a%销售，结果还是出现了2%的损耗，但这两批水果销售完后仍赚了不低于2346元，求a的最大值．
18．（2022·贵州铜仁·中考真题）科学规范戴口罩是阻断遵守病毒传播的有效措施之一，某口罩生产厂家接到一公司的订单，生产一段时间后，还剩280万个口罩未生产，厂家因更换设备，生产效率比更换设备前提高了40%．结果刚好提前2天完成订单任务．求该厂家更换设备前和更换设备后每天各生产多少万个口罩？
19．（2022·广西桂林·中考真题）今年，某市举办了一届主题为“强国复兴有我”的中小学课本剧比赛．某队伍为参赛需租用一批服装，经了解，在甲商店租用服装比在乙商店租用服装每套多10元，用500元在甲商店租用服装的数量与用400元在乙商店租用服装的数量相等．
(1)求在甲，乙两个商店租用的服装每套各多少元？(2)若租用10套以上服装，甲商店给以每套九折优惠．该参赛队伍准备租用20套服装，请问在哪家商店租用服装的费用较少，并说明理由．
20．（2022·吉林·中考真题）刘芳和李婷进行跳绳比赛．已知刘芳每分钟比李婷多跳20个，刘芳跳135个所用的时间与李婷跳120个所用的时间相等．求李婷每分钟跳绳的个数．
21．（2022·黑龙江大庆·中考真题）某工厂生产某种零件，由于技术上的改进，现在平均每天比原计划多生产20个零件，现在生产800个零件所需时间与原计划生产600个零件所需时间相同．求现在平均每天生产多少个零件？
22．（2022·山东聊城·中考真题）为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长3600米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了20%，按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务．(1)求实际施工时，每天改造管网的长度；
(2)施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过40天，那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？
23．（2022·湖南怀化·中考真题）去年防洪期间，某部门从超市购买了一批数量相等的雨衣（单位：件）和雨鞋（单位：双），其中购买雨衣用了400元，购买雨鞋用了350元，已知每件雨衣比每双雨鞋贵5元．(1)求每件雨衣和每双雨鞋各多少元？(2)为支持今年防洪工作，该超市今年的雨衣和雨鞋单价在去年的基础上均下降了20%，并按套（即一件雨衣和一双雨鞋为一套）优惠销售． 优惠方案为：若一次购买不超过5套，则每套打九折：若一次购买超过5套，则前5套打九折，超过部分每套打八折．设今年该部门购买了a套，购买费用为W元，请写出W关于a的函数关系式．
(3)在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买多少套？
24．（2022·重庆·中考真题）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从地沿相同路线骑行去距地30千米的地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．
(1)若乙先骑行2千米，甲才开始从地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；
(2)若乙先骑行20分钟，甲才开始从地出发，则甲、乙恰好同时到达地，求甲骑行的速度．
25．（2022·四川达州·中考真题）某商场进货员预测一种应季T恤衫能畅销市场，就用4000元购进一批这种T恤衫，面市后果然供不应求．商场又用8800元购进了第二批这种T恤衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件的进价贵了4元．
(1)该商场购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是多少元？
(2)如果两批T恤衫按相同的标价销售，最后缺码的40件T恤衫按七折优惠售出，要使两批T恤衫全部售完后利润率不低于80%（不考虑其他因素），那么每件T恤衫的标价至少是多少元？
【考场演练2】重难点必刷
1．（2022·广西·中考真题）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边村的宽度应是多少米 设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·四川德阳·中考真题）关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是（ ）
A．a＞－1 B．a＞－1且a≠0 C．a＜－1 D．a＜－1且a≠－2
3．（2022·山东潍坊·中考真题）观察我国原油进口月度走势图，2022年4月原油进口量比2021年4月增加267万吨，当月增速为6.6%（计算方法：）．2022年3月当月增速为，设2021年3月原油进口量为x万吨，下列算法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·四川遂宁·中考真题）若关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．0 B．4或6 C．6 D．0或4
5．（2020·四川绵阳市·中考真题）甲、乙二人同驾一辆车出游，各匀速行驶一半路程，共用3小时，到达目的地后，甲对乙说：“我用你所花的时间，可以行驶180km”，乙对甲说：“我用你所花的时间，只能行驶80km”．从他们的交谈中可以判断，乙驾车的时长为（ ）
A．1.2小时 B．1.6小时 C．1.8小时 D．2小时
6．（2020·黑龙江鹤岗市·中考真题）已知关于的分式方程的解为非正数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·重庆中考真题）关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·山东德州·校考二模）若分式方程的解为非负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
9．（2022·重庆南岸·统考一模）关于x的一元一次不等式组有解，且使关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．8 B．5 C．3 D．2
10．（2022·山东潍坊·统考二模）（多选题）如果解关于x的分式方程时出现增根，则m的值可能为（ ）
A． B． C． D．1
11．（2022·河北邯郸·校考三模）定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：max{﹣2，﹣4}＝﹣2．
（1）max{2，5}＝_____；（2）若max{﹣12，（一1）2}＝，则x＝_____．
12．（2022·山东菏泽·校考模拟预测）观察下列方程：①x+=3；②x+=5；③x+=7，可以发现它们的解分别是①x=1或2；②x=2或3；③x=3或4．利用上述材料所反映出来的规律，可知关于x的方程x+=2n+4(n为正整数)的解x= ________________．
13．（2022·四川·一模）若方程的解不大于13，则的取值范围是__________．
14．（2021·山东中考真题）若x＜2，且，则x＝_______．
15．（2022·山东威海·中考真题）按照如图所示的程序计算，若输出y的值是2，则输入x的值是 _____．
16．（2022·四川泸州·中考真题）若方程的解使关于的不等式成立，则实数的取值范围是________．
17．（2021·湖北荆州市·中考真题）若关于的方程的解是正数，则的取值范围为_____．
18．（2022·重庆·中考真题）为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为，需香樟数量之比为，并且甲、乙两山需红枫数量之比为．在实际购买时，香樟的价格比预算低，红枫的价格比预算高，香樟购买数量减少了，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为_________．
19．（2022·广东江门·校考一模）某市为了排查新冠肺炎，进行了一次全民核酸检测，某小区的检测有如下三种方案：①全部由甲医院检测预计需要若干小时；②全部由乙医院预计需要的时间比甲医院多用6小时；③第一天由甲医院检测10小时，第二天再由乙医院检测7小时，预计也能全部检测完．
(1)求两间医院单独检测各需多少小时．(2)该市选择了方案③进行检测，但在检测了第一天后，由于任务紧急，临时决定至少要提前3小时完成任务，因此第二天甲医院义无反顾地参加了支援工作，求甲医院至少检测多长时间才能按时完成检测工作．
20．（2022·吉林长春·校考模拟预测）为了节约用水，石家庄物价局于年月日举行《市民用水阶梯价格分级用量听证会》，并提出超量加价．若民用自来水水费调整为每月用水量不超过包括时，则按规定标准2.8元（含污染费和排污费），若每月用水量超过，则超过的部分按收费（含污染费和排污费）．(1)小敏家为了响应政府节约用水的号召，决定从年月起计划平均每月用水量比年月到年月平均每月用水量减少，这使小敏家在相同的月数内，从计划前的用水量变为计划后的用水量，求小敏家从年月起计划平均每月用水量；(2)小敏家从年月到年月这一年中，有四个月超出现在计划月平均用水量的，有四个月超出现在计划月平均用水量的，其余的四个月的用水量与年月到年月的平均每月用水量相等．若按新的交费法，求小敏家从年月到年月这一年中应交的总水费．
21．（2022·贵州遵义·统考二模）阅读下列材料，完成探究与运用．
【材料】工程队为推进修筑公路的进度，特引进新设备，引进后平均每天比原计划多修5米，现在修60米与原计划修45米所需时间相同．问现在平均每天修多少米？
解：设现在平均每天修x米，则可列出分式方程，…．
同学们在解答完成后，张老师介绍了另一种解法：
由，
从而可得：，解得，经检验是原方程的解，…．
【探究】小恒同学对老师的解法很感兴趣，于是再进行探究，由比例式得成立，同时也成立，由此发现规律．
(1)请将他发现的规律补充完整：已知a，b，c，d均不为0，若，则①____②______；
【运用】(2)请用上述规律，解分式方程．
22．（2022·广西·中考真题）金鷹酒店有140间客房需安装空调，承包给甲、乙两个工程队合作安装，每间客房都安装同一品牌同样规格的一台空调，已知甲工程队每天比乙工程队多安装5台，甲工程队的安装任务有80台，两队同时安装．问：(1)甲，乙两个工程队每天各安装多少台空调，才能同时完成任务？(2)金鹰酒店响应“縁色环保”要求，空调的最低温度设定不低于26℃，每台空调每小时耗电1.5度：据预估，每天至少有100间客房有旅客住宿，旅客住宿时平均每天开空调约8小时，若电费0.8元／度，请你估计该酒店毎天所有客房空调所用电费 W（单位：元）的范围？
23．（2022·贵州遵义·中考真题）遵义市开展信息技术与教学深度融合的精准化教学某实验学校计划购买，两种型号教学设备，已知型设备价格比型设备价格每台高20%，用30000元购买型设备的数量比用15000元购买型设备的数量多4台．(1)求，型设备单价分别是多少元？(2)该校计划购买两种设备共50台，要求型设备数量不少于型设备数量的．设购买台型设备，购买总费用为元，求与的函数关系式，并求出最少购买费用．
24．（2022·重庆·中考真题）为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠．
(1)计划修建灌溉水渠600米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建20米，再施工2天完成任务，求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？
(2)因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800米，为早日完成任务，决定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工．甲施工队按（1）中增加人员后的修建速度进行施工．乙施工队修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建20%，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？
25．（2023·浙江·九年级期末）先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程的解为,；方程的解为,；
方程的解为,； …
（1）观察上述方程的解,猜想关于x的方程的解是___；
（2）根据上面的规律,猜想关于x的方程的解是___；
（3）猜想关于x的方程x 的解并验证你的结论；
（4）在解方程：时,可将方程变形转化为(2)的形式求解，按要求写出你的变形求解过程。
26．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程的解，求实数k的取值范围.
27．（2022·山东济宁·统考二模）【建构模型】
对于两个不等的非零实数，，若分式的值为零，则或．
又因为，
所以关于的方程有两个解，分别为，．
【应用模型】利用上面的结论解答下列问题：
(1)方程的两个解分别为，，则______，______；
(2)关于的方程的两个解分别为，，求的值．
28．（2021·山东聊城市·中考真题）为迎接建党一百周年，我市计划用两种花卉对某广场进行美化．已知用600元购买A种花卉与用900元购买B种花卉的数量相等，且B种花卉每盆比A种花卉多0.5元．（1）A，B两种花卉每盆各多少元？（2）计划购买A，B两种花卉共6000盆，其中A种花卉的数量不超过B种花卉数量的，求购买A种花卉多少盆时，购买这批花卉总费用最低，最低费用是多少元？
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专题06 分式方程
【考情预测】
本考点内容以考查分式方程解法、分式方程含参问题、分式方程的应用题为主，既有单独考查，也有和一次函数、二次函数结合考察，年年考查，分值为10分左右，预计2023年浙江各地中考还将继续考查分式方程解法、分式方程含参问题（较难）、分式方程的应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握。
【考点梳理】
1．分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，是判定一个方程为分式方程的依据．
2．分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．
（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．
注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
3．增根
在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．
注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．
4．分式方程的应用
（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．
每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝等．
（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．
【重难点突破】
考点1. 解分式方程
【解题技巧】分式方程的解法：①能化简的应先化简；②方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．
【典例精析】
例1.（2022·浙江嘉兴·中考真题）（1）计算：（2）解方程：．
例2.（2022·浙江台州·中考真题）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的的值是____．
先化简，再求值：，其中解：原式
【变式训练】
变式1．（2022·湖南永州·中考真题）解分式方程去分母时，方程两边同乘的最简公分母是______．
变式2．（2022·四川成都·中考真题）分式方程的解是_________．
变式3．（2023·浙江·九年级模拟）对于分式方程，牛牛的解法如下：
解：方程两边同乘，得 ①
去括号，得 ②
解得 ③
∴原方程的解为 ④
（1）上述解答过程中错误的是___________（填序号）．（2）请写出正确的解答过程．
考点2. 分式方程的增根与无解问题
【解题技巧】
（1）求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根 ( https: / / baike. / item / %E5%A2%9E%E6%A0%B9" \t "_blank ).
（2）验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根；否则这个根就是原分式方程的根，若解出的根都是增根，则原方程无解.
（3）如果分式本身约分了，也要代入进去检验.
（4）一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解.
【典例精析】
例1.（2021·广西贺州市·中考真题）若关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
例2.（2023·浙江·中考模拟）已知关于x的方程无解，则_____．
【变式训练】
变式1．（2021·四川宜宾·中考真题）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
变式2．（2023·浙江·中考模拟）已知关于x的分式方程﹣1＝无解，则m的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．﹣2或﹣3 D．0或3
变式3．（2021·内蒙古呼伦贝尔市·中考真题）若关于x的分式方程无解，则a的值为（ ）
A．3 B．0 C． D．0或3
考点3. 分式方程的特殊解问题
【解题技巧】
【典例精析】
例1.（2022·黑龙江·中考真题）已知关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
例2.（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若关于x的分式方程的解大于1，则m的取值范围是______________．
【变式训练】
变式1．（2021·黑龙江鹤岗·中考真题）已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
变式2．（2022·内蒙古通辽·中考真题）若关于的分式方程：的解为正数，则的取值范围为（ ）
A． B．且 C． D．且
考点4. 分式方程的整数解问题
【典例精析】
例1.（2022秋·浙江九年级课时练习）若关于x的方程(a+1)x2+(2a﹣3)x+a﹣2＝0有两个不相等的实根，且关于x的方程的解为整数，则满足条件的所有整数a的和是_____．
例2.（2021·重庆中考真题）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．5 B．8 C．12 D．15
【变式训练】
变式1．（2021·四川达州市·中考真题）若分式方程的解为整数，则整数___________．
变式2．（2022·广东江门·一模）已知，关于x的分式方程．
(1)当，时，求分式方程的解；(2)当时，求b为何值时分式方程无解；
(3)若，且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，求b的值．
考点5. 分式方程中的新定义问题
【典例精析】
例1.（2022春·浙江·九年级统考专题练习）对于实数a，b定义一种新运算“”为，这里等式右边是实数运算．例如，则方程的解是__．
例2.（2023·广东中考模拟）定义一种新运算：，例如：，若，则（ ）
A．-2 B． C．2 D．
【变式训练】
变式2．（2023浙江杭州·中考模拟）符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：＝ad﹣bc，请你根据上述规定求出下列等式中x的值．若，那么x＝__．
变式2．（2023·浙江·中考模拟）对于两个不相等的实数、，我们规定符号表示、中的较小的值，如，按照这个规定，方程的解为（ ）．
A． B．2 C．或2 D．1或
变式3．（2022·浙江宁波·中考真题）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，．若，则x的值为___________．
考点6. 分式方程的应用
【解题技巧】
分式方程解实际问题的求解步骤：审题、设未知数、列方程、解方程、检验、写出答案，检验时要注意从方程本身和实际问题两个方面进行．
【典例精析】
例1.（2022·浙江丽水·中考真题）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程，则方程中x表示（ ）
A．足球的单价 B．篮球的单价 C．足球的数量 D．篮球的数量
例2.（2022·山东烟台·中考真题）扫地机器人具备敏捷的转弯、制动能力和强大的自主感知、规划能力，深受人们喜爱．某商场根据市场需求，采购了A，B两种型号扫地机器人．已知B型每个进价比A型的2倍少400元．采购相同数量的A，B两种型号扫地机器人，分别用了96000元和168000元．请问A，B两种型号扫地机器人每个进价分别为多少元？
【变式训练】
变式1．（2022·江西·中考真题）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样x人，则可列分式方程为__________．
变式2．（2022·辽宁·中考真题）2022年3月23日“天官课堂”第二课在中国空间站开讲了，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某中学为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入A、B两款物理实验套装，其中A款套装单价是B款套装单价的1.2倍，用9900元购买的A款套装数量比用7500元购买的B款套装数量多5套．求A、B两款套装的单价分别是多少元．
变式3．（2022·广西柳州·中考真题）习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多1万元，用15万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同．(1)求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？(2)若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过46万元，则甲种农机具最多能购买多少件？
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