第七章随机变量及其分布 章末小结课件（共32张PPT）

(共32张PPT)
第七章 随机变量及其分布
第七章章末小结
知识导图·明架构
题型探究·悟思路
拓展延伸·育素养
知识导图·明架构
LONGCHENG NO.1 MIDDLE SCHOOL
题型1 条件概率
例1 在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2道题，求：
（1）第1次抽到理科题的概率；
（2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；
（3）在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率.
方法指导 本题是条件概率问题，根据条件概率公式求解即可.
题型探究·悟思路
LONGCHENG NO.1 MIDDLE SCHOOL
[解析] 设“第1次抽到理科题”为事件 ，“第2次抽到理科题”为事件 ，则“第1次和第2次都抽到理科题”为事件 .
（1）从5道题中不放回地依次抽取2道题的事件数为 .
根据分步乘法计数原理， ，
于是 .
（2）因为 ，所以 .
（3）（法一）由（1）（2）可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率 .
（法二）因为 ， ，所以 .
方法总结 求条件概率的主要方法有：（1）利用条件概率公式 ；（2）针对古典概型，可通过缩减基本事件总数求解.
题型2 乘法公式与全概率公式
例2 已知甲袋中有3个白球，2个黑球；乙袋中有4个白球，4个黑球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，然后再从乙袋中任取一球，求此球为白球的概率.
[解析] 记事件 为“从甲袋中取出的2个球有 个白球”，其中 ， ， ，
记事件 为“从乙袋中取到的一球为白球”，
则 ， ， ，
， ， ，
由全概率公式可得 .
方法总结 本题考查利用全概率公式计算事件的概率，解题的关键在于确定从甲袋取出的2个球中白球的个数，结合全概率公式进行计算，本题渗透了数据分析以及数学运算的素养.
题型3 超几何分布
例3 随着互联网金融的发展，很多平台都推出了自己的虚拟信用支付，比较常用的有蚂蚁花呗、京东白条.花呗与信用卡有一个共同点就是可以透支消费，对于很多90后来说，他们更习惯提前消费.某研究机构随机抽取了1000名90后，对他们的信用支付方式进行了调查，得到如下统计表：
信用支付方式 银行信用卡 蚂蚁花呗 京东白条 其他
人数 300 150 50
每个人都仅使用一种信用支付方式，各人支付方式相互独立，以频率估计概率.
（1）估计90后使用蚂蚁花呗的概率；
（2）在所抽取的1000人中用分层随机抽样的方法，先在使用银行信用卡和蚂蚁花呗的人中随机抽取8人，再在这8人中随机抽取4人，记 为这4人中使用蚂蚁花呗的人数，求 的分布列及数学期望和方差.
[解析] （1） ，所以使用蚂蚁花呗的概率为 .
（2）这8人中使用信用卡的人数为 ，则使用蚂蚁花呗的人数为5，
故随机变量 的取值为1， ， ， ，
所以 ， ， ， ，
所以随机变量 的分布列为
1 2 3 4

故 ，
.
方法总结 超几何分布的求解步骤：（1）辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否具有明显的两部分组成，如“男生、女生”“正品、次品”“优、劣”等.（2）算概率：可以直接借助公式 求解，也可以利用排列组合及概率的知识求解，需注意借助公式求解时应理解参数 ， ， ， 的含义.（3）列分布表、求期望.求解过程渗透了数学运算、数据分析的数学素养.
题型4 独立事件
例4 [2021年新高考全国Ⅰ卷] 有6个相同的球，分别标有数字 ， ， ， ， ， ，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( ).
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
B
[解析] 由题意得， ， ， ， ，
则 ， ， ， ，故选B.
方法总结 求相互独立事件，一般与互斥事件、对立事件结合在一起进行考查，解答此类问题时应分清事件间的内部联系，在此基础上用基本事件之间的交、并、补运算表示出有关事件，并运用相应公式求解.解题过程渗透了数学运算、逻辑推理的素养.
题型5 二项分布
例5 [2021年天津卷] 甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局.已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为 和 ，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则1次活动中，甲获胜的概率为_ _，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为___.


[解析] 由题意可得，1次活动中，甲获胜的概率为 ，
则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为 .
方法总结 解决二项分布问题的两个关注点：（1）对于公式 必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式.（2）判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了 次.
题型6 离散型随机变量的均值与方差
例6 [2021年新高考全国Ⅰ卷] 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 ， 两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束. 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分； 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.已知小明能正确回答 类问题的概率为0.8，能正确回答 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答 类问题，记 为小明的累计得分，求 的分布列.
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
[解析] （1）由题意可知， 的所有可能取值为0， ， ，
则 ，
，
，
所以 的分布列为
0 20 100
0.2 0.32 0.48
（2）由（1）知，小明先回答 类问题累计得分的期望 .
若小明先回答 类问题，记 为小明的累计得分，则 的所有可能取值为0， ， ，
则 ， ， ，
所以 .
因为 ，所以小明应选择先回答 类问题.
方法总结 求离散型随机变量的均值、方差的步骤： 明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果； 求出随机变量取各个值的概率； 列出分布列； 用期望、方差公式求解； 标准差代入公式 求解.本题渗透了数据分析、数学运算的素养.
题型7 正态分布
例7 某物理量的测量结果服从正态分布 ，则下列结论中不正确的是( ).
A. 越小，该物理量一次测量结果落在 内的概率越大
B.该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5
C.该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等
D.该物理量一次测量结果落在 内的概率与落在 内的概率相等
D
[解析] 为数据的方差，所以 越小，数据在 附近越集中，所以测量结果落在 内的概率越大，故A正确；
由正态密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；
由正态密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；
因为该物理量一次测量结果落在 的概率与落在 的概率不同，所以一次测量结果落在 的概率与落在 的概率不同，故D错误.故选D.
方法总结 正态曲线的应用及求解策略：解答此类题目的关键在于将待求的问题向 ， ， 这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应的概率.解题过程渗透了直观想象、数学运算以及数据分析的素养.
高尔顿与高尔顿板
一、高尔顿简介
弗朗西斯·高尔顿（ ， —1911）是英国著名的统计学家、心理学家和遗传学家.他是达尔文的表弟，虽然不像达尔文那样声名显赫，但也不是无名之辈.并且，高尔顿幼年是神童，长大是才子，九十年的人生丰富多彩，是个名副其实的博学家.他涉猎范围广泛，研究水平颇深，纵观科学史，在同辈学者中能望其项背之人寥寥可数.他涉足的领域包括天文、地理、气象、机械、物理、统计、生物、遗传、医学、生理、心理等，还有与社会有关的人类学、民族学、教育学、宗教学，以及优生学、指纹学、照相术、登山术等等.
在达尔文发表了《物种起源》之后，高尔顿也将研究方向转向生物及遗传学，他第一个对同卵双胞胎进行研究，论证了指纹的永久性和独特性.他从遗传的观点研究人类智力并提出“优生学”，是第一个强调把统计学方法应用到生物学中去的人.
拓展延伸·育素养
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二、高尔顿板
高尔顿设计了一个钉板实验，希望用统计的观点来解释遗传现象.
如图所示，木板上钉了数排（ 排）等距排列的钉子，下一排的每个钉子恰好在上一排两个相邻钉子之间，从入口处放入若干直径略小于钉子间距的小球，
小球在下落的过程中碰到任何钉子后，都将以 的概率滚向左边， 的概率滚向右边，碰到下一排钉子时又是这样.如此继续下去，直到滚到底板的格子里为止.
让一个个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小钉子碰撞，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内，如果球的数目相当大，它们在底板将组成近似中间高两头低，呈左右对称的图形.上面的钉板试验可绘制成如图所示的曲线，这就是我们学习过的正态曲线.
试验表明，只要小球足够多，它们在底板堆成的形状将近似于正态分布.
三、以高尔顿板为背景的题目
由高尔顿板衍生出的题目很多，下面举一例，供赏析.
案例 高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与
层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图1所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以 的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1， ， ， 的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下.
（1）如图1，进行一次高尔顿板试验，求小球掉入5号球槽的概率.
（2）小红和小明在研究了高尔顿板后，利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动.小红使用图1所示的高尔顿板，付费6元可以玩一次游戏，小球掉入 号球槽得到的奖金为 元，其中 .小明改进了高尔顿板（如图2），首先将小木块减少成5层，然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有 的概率向左， 的概率向右滚下，最后掉入编号为1， ， ， 的球槽内，改进高尔顿板后只需付费4元就可以玩一次游戏，小球掉入 号球槽得到的奖金为 元，其中 .两位同学的高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小红和小明谁的盈利多？请说明理由.
[解析] （1）设“这个小球掉入5号球槽”为事件 ，掉入5号球槽，需要向右4次向左2次，则 ，
所以这个小球掉入5号球槽的概率为 .
（2）小红的收益计算如下：每一次游戏中， 的可能取值为0， ， ， ，
则 ，
，
，
，
所以 的分布列为
0 4 8 12

一次游戏付出的奖金 （元），则小红的收益为 （元）.
小明的收益计算如下：每一次游戏中， 的可能取值为0， ， ， ，
则 ，
， ， ，
所以 的分布列为
0 1 4 9

一次游戏付出的奖金 （元），则小明的收益为 （元）.
显然， ，所以小明的盈利多.
点评 本题以高尔顿板为背景，考查独立重复试验的概率问题以及离散型随机变量的分布列和数学期望，渗透了数学文化，意在考查考生的数据分析、数学运算以及逻辑推理的素养.解题关键是根据具体情况确定 的取值情况，然后利用二项分布的概率知识求出 取各个值时对应的概率，写出分布列，根据期望公式求出相应的期望，并解决问题.