7.5正态分布 课件（共31张PPT）

(共31张PPT)
第七章 随机变量及其分布
7.5 正态分布
学习目标
1.利用实际问题的直方图，了解正态曲线的特征和正态曲线所表示的意义.（数学抽象）
2.能借助正态曲线理解正态曲线的性质及意义.（数学抽象、直观想象）
3.会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率.（数学运算、数据分析）
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1.正态曲线的函数表达式是什么？
[答案] ， .
2. 服从正态分布如何表示？
[答案] .其中 ， .
3.什么是 原则？
[答案] 通常认为服从正态分布 的随机变量 只取 中的值，这在统计学中称为 原则.
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1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）正态密度函数中参数 ， 的意义分别是样本的均值与方差.( )
×
（2）正态曲线是单峰的，其与 轴围成的图形的面积是随参数 ， 的变化而变化的.
( )
×
（3）正态曲线可以关于 轴对称.( )
√
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2.已知正态分布总体落在区间 内的概率为 ，那么相应的正态曲线 在 __时达到最高点.

[解析] 由题意可知 ，所以正态曲线关于直线 对称，由正态曲线的性质得, 时正态曲线达到最高点.
3.已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，求 .
[解析] 如图所示，因为 ，所以 ，所以 ，所以 .
探究1 正态曲线
设 表示某产品的寿命（单位： ）.人们对该产品有如下的了解：寿命小于 的概率为0.71，寿命在 的概率为0.22，寿命在 的概率为0.07，由此我们可以画出下图.
问题1：这个图形能告诉我们产品寿命在 的概率是多少吗？
[答案] 不能.
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问题2：若将组距缩小，改为如图所示，这样可以了解到更多信息，若将组距无限细分，会是什么形状？
[答案] 若组距无限细分，一般是形状像“钟”的光滑曲线，即正态曲线.
问题3：正态分布描述的随机变量 是离散型的吗？
[答案] 不是.它是连续的.
问题4：你能写出正态密度函数的表达式吗？能从函数的角度分析它的图象特征吗？
[答案] 正态密度函数的解析式为 ， ，其中实数 ， 为参数，
由函数表达式可知 ，且函数 的图象关于直线 对称.
新知生成
1.正态曲线
（1）定义：由误差引起的连续型随机变量其分布密度函数图象如图所示，
对应的分布密度函数解析式为 ， ，其中 ， 为参数，这一类随机变量 的分布密度（函数）称为正态分布密度（函数），简称正态分布，对应的图象为正态密度曲线，简称为正态曲线.
（2）误差模型
正态分布是最常见、最重要的连续型随机变量的分布，是刻画误差分布的重要模型，因此也称为误差模型.
2.正态分布的期望与方差
若 ，则 ___， ____.
3.正态曲线的性质
（1）曲线在 轴的上方，与 轴不相交.
（2）曲线是单峰的，关于直线______对称.
（3）曲线在 处达到峰值 .
（4）当 时，曲线上升；当 时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以 轴为渐近线.
（5）当 一定时，曲线的位置由 确定，曲线随着 的变化而沿 轴平移.
（6）当 一定时，曲线的形状由 确定. 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； 越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越集中.



新知运用
一、正态密度函数及正态曲线
例1 如图,这是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态密度函数的解析式，并求出总体随机变量的期望和方差.
方法指导 给出了一个正态曲线，就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的期望、标准差及解析式.
[解析] 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线 对称，最大值是 ，所以 .由 ，得 .
于是正态密度函数的解析式为 ， ，
总体随机变量的期望 ，方差 .
方法总结 利用图象求正态密度函数的解析式，应抓住图象的两个实质性特点：一是对称轴为 ，二是最大值为 .这两点确定以后，相应参数 ， 便确定了，代入 中便可求出相应的解析式.
二、正态曲线的性质
例2 某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示（由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布），则由曲线可得下列说法中正确的一项是( ).
A
A.甲科总体的标准差最小 B.丙科总体的平均数最小
C.乙科总体的标准差及平均数都居中 D.甲、乙、丙三科总体的平均数不相同
[解析] 由题中图象可知三科总体的平均数（均值）相等，由正态曲线的性质可知, 越大，正态曲线越“矮胖”； 越小，正态曲线越“高瘦”，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙.故选A.
方法总结 用正态曲线的性质可以求参数 ， （1）正态曲线是单峰的，它关于直线 对称，由此性质结合图象求 ；（2）正态曲线在 处达到峰值 ，由此性质结合图象可求 ；（3）由 的大小区分曲线的“胖瘦”.
1.（多选题）下面给出的关于正态曲线的四个叙述中，正确的有( ).
A.曲线在 轴上方，且与 轴不相交
B.当 时，曲线下降;当 时，曲线上升
C.当 一定时， 越小，总体分布越分散; 越大，总体分布越集中
D.曲线关于直线 对称，且当 时，位于最高点
ABD
[解析] 只有C错误，因为当 一定时，曲线的形状由 确定， 越小，曲线越“高瘦”，总体分布越集中； 越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散.
巩固训练
2.若随机变量 的概率分布密度曲线是函数 的图象，且 ，求这个随机变量 的均值与标准差.
[解析] 由正态密度函数 知， 即
故该随机变量 的均值为10，标准差为2.
探究2 原则
问题1：若某工厂生产的圆柱形零件的外直径 ，则该圆柱形零件外直径的均值，标准差分别是多少？
[答案] 零件外直径的均值为4，标准差为0.5.
问题2：某工厂生产的圆柱形零件的外直径 ，若零件的外直径在 内的为一等品.试问1000件这种零件中约有多少件一等品？
[答案] ，所以1000件产品中大约有 件一等品.
情境设置
新知生成
1.正态变量在三个特殊区间内取值的概率
如图，正态分布随机变量 在区间 上取值的概率为阴影部分的面积.
特别地， ；
（2） ；
（3） .
原则
随机变量 在区间 ， ， 上取值的概率分别约为 ， ， .而随机变量 在区间 以外取值的概率大概只有 ，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，是小概率事件.因此，在实际应用中，通常认为服从正态分布 的随机变量 只取 中的值，并称之为 原则.
新知运用
例3 设 ，试求：
（1） ；（2） ；（3） .
方法指导 根据正态总体在三个特殊区间内取值的概率值求解.
[解析] 因为 ，所以 ， .
（1）
.
（2）因为 ，
所以


.
（3）


.
方法总结 求在某个区间内取值的概率的方法
（1）利用 落在区间 ， ， 内的概率分别是0.6827， ， 求解.
（2）充分利用正态曲线的对称性及面积为1的性质求解：①熟记正态曲线关于直线 对称，从而关于 对称的两区间概率相等；② ， .
例4 有一批精密零件，其尺寸 （单位： ）服从正态分布 .若这批零件共有5000个，试求：
（1）这批零件中尺寸在 间的零件所占的百分比.
（2）若规定尺寸在 间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？
[解析] （1） ， ， ， ， ，
∴尺寸在 间的零件所占的百分比大约是 .
（2） ， ， ， ，
∴尺寸在 间的零件所占的百分比大约是 ，而尺寸在 间的零件所占的百分比大约是 .
∴尺寸在 间的零件所占的百分比大约是 .
∴尺寸在 间的零件大约有 （个）.
∴这批零件中不合格的零件大约有107个.
方法总结 解决此类问题一定要灵活把握 原则，将所求问题向 ， ， 进行转化，然后利用特定值求出相应的概率.同时要充分利用曲线的对称性和曲线与 轴之间的面积为1这一特殊性质.
1.在某项测量中，测量结果服从正态分布 ，则随机变量 在 内取值的概率为_______.（结果保留四位小数）
0.3414
[解析] 由题意得 ， ，
.
又正态曲线关于直线 对称，
.
巩固训练
2.某年级的一次数学测验成绩近似服从正态分布 ，如果规定低于60分为不及格，那么
（1）成绩不及格的人数占总人数的多少？
（2）成绩在80～90分的学生占总人数的多少？
[解析] （1）设学生的得分为随机变量 ，则 ，其中 ， .
.
成绩不及格的学生人数约占总人数的百分比为 .
（2） ，
,即成绩在80～90分的学生约占总人数的 .
1.以下关于正态密度曲线的说法中，正确的个数是( ).
①曲线都在 轴的上方，左右两侧与 轴无限接近，最终可与 轴相交；
②曲线关于直线 对称；
③曲线呈现“中间高，两边低”的钟形形状；
④曲线与 轴之间的面积为1.
A. B. C. D.
C
[解析] 由正态密度曲线的特点，易知②③④说法正确.对于①，曲线与 轴不相交，故①错误.
随堂检测·精评价
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2.已知正态密度函数 ，则( ).
A. ， B. ， C. ， D. ，
C
[解析] 由 ，得 ， .
3.设随机变量 ，且 ，则 等于( ).
A. B. C. D.
D
[解析] 由 ，知直线 为对称轴，又由 知对称轴为直线 ，故 .
4.在某市组织的一次数学考试中，全体考生的成绩近似服从正态分布 ，已知数学成绩在90分以上的学生有27人.则此次参加数学考试的学生约有多少人？
[解析] 设学生的数学成绩为 ，共有 人参加数学考试，
，
， .
.
又 ， ，解得 ，
即此次参加数学考试的学生约有20000人.