2022-2023--2学期3月月考试题
高一数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，
考试时间120分钟.请将答案填在答题卡上.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设两个非零向量不共线，且，，，则（ ）
A. 三点共线 B. 三点共线
C. 三点共线 D. 三点共线
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面向量共线定理依次判断各个选项即可.
详解】对于A，，，
不存在实数，使得成立，三点不共线，A错误；
对于B，，，
不存在实数，使得成立，三点不共线，B错误；
对于C，，，
不存在实数，使得成立，三点不共线，C错误；
对于D，，，
，三点共线，D正确.
故选：D.
2. 已知，则向量在方向上的投影为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量夹角公式求得夹角的余弦值；根据所求投影为求得结果.
【详解】由题意得：
向量在方向上的投影为：
本题正确选项：
【点睛】本题考查向量在方向上的投影的求解问题，关键是能够利用向量数量积求得向量夹角的余弦值.
3. 已知向量，，，若，则（ ）
A. 1 B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量的坐标运算列方程求解，即可.
【详解】解：由，所以，，解得，，所以，
故选：A．
4. 八卦是中国文化中的哲学概念，图是八卦模型图，其平面图形记为图中的正八边形，其中，给出下列结论：
①； ②；
③； ④.
其中正确的结论为（ ）
A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③
【答案】C
【解析】
【分析】根据图形关系，根据向量线性运算的运算法则依次判断各个选项即可.
【详解】对于①，，①错误；
对于②，由正八边形性质知：，，设，
，为中点，，
，，，
又，，②正确；
对于③，，
由正八边形性质知：且，即，
，又，
，③正确；
对于④，，④正确.
故选：C.
5. 如图，在中，点为线段上靠近点的三等分点，点为线段上靠近点的三等分点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
，将,代入化简即可.
【详解】
.
故选：B.
【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算、数乘运算，考查学生的运算能力，是一道中档题.
6. 已知非零向量与满足，且，则为（ ）
A. 等腰非直角三角形 B. 直角非等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
【答案】C
【解析】
【分析】由推出，由推出，则可得答案.
【详解】由，得，得，得，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，即，
所以为等腰直角三角形.
故选：C
7. 设向量，满足，，与的夹角为，则（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
将和分别平方，联立两式，可求得和的值，再结合，可求出答案.
【详解】∵，∴，
又，∴.
∴，整理得，，
∴.
故选：B.
【点睛】本题考查平面向量的数量积公式的应用，考查平面向量的运算性质，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
8. 已知为坐标原点，点，点，点，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由向量模长、数量积的坐标运算，结合同角三角函数关系和两角和差公式依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，，，
，，A错误；
对于B，，，
，，
，B错误；
对于C，，，，
又，
，C正确；
对于D，，，
，D错误.
故选：C.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 如果是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中正确的是（ ）
A. 可以表示平面内的所有向量
B. 对于平面内任一向量，使的实数对有无穷个
C. 若向量与共线，则有且只有一个实数，使得
D. 若存在实数使得，则
【答案】AD
【解析】
【分析】由平面向量基本定理可确定AD正确，B错误；通过反例可说明C错误.
【详解】是平面内两个不共线的向量，可以作为平面的一组基底；
对于A，由平面向量基本定理可知：可以表示平面内的所有向量，A正确；
对于B，对于平面内任意向量，有且仅有一个实数对，使得，B错误；
对于C，当时，与均为零向量，满足两向量共线，此时使得成立的有无数个，C错误；
对于D，由得：，又不共线，，即，D正确.
故选：AD.
10. (多选题)已知，，是三个非零向量，则下列命题中真命题为（ ）
A.
B. ，反向
C.
D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】需对以上四个命题逐一判断，依据有两条:一是向量数量积的定义;二是向量加法与减法的平行四边形法则.
【详解】A. (为与的夹角)，
由及，为非零向量可得，或，且以上各步均可逆.故命题A是真命题；
B.若，反向，则，的夹角为，且以上各步均可逆.故命题B是真命题；
C.当时，将向量，的起点移至同一点，则以向量，为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有.反过来，若，则以，为邻边的四边形为矩形，所以有.故命题C是真命题.
D.当但与的夹角和与的夹角不等时，就有
，反过来由也推不出.故命题D是假命题.
故选：ABC
11. 中，，，则下列叙述正确的是
A. 的外接圆的直径为4.
B. 若，则满足条件的有且只有1个
C. 若满足条件的有且只有1个，则
D. 若满足条件的有两个，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据正弦定理，可直接判断的对错，然后，，三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可．
【详解】解：由正弦定理得，故正确；
对于，，选项：如图：以为圆心，为半径画圆弧，该圆弧与射线的交点个数，即为解得个数．
易知当，或即时，三角形为直角三角形，有唯一解；
当时，三角形等腰三角形，也是唯一解；
当，即，时，满足条件的三角形有两个．
故，正确，错误．
故选：．
【点睛】本题考查已知两边及一边的对角的前提下，三角形解得个数的判断问题．属于中档题．
12. 已知为第一象限角，为第三象限角，且，，则可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】利用题中所给的角所属的象限，结合题中所给的三角函数值，利用平方关系求得角对应的正余弦值，将角进行配凑，利用余弦和角公式求得其结果.
【详解】因为为第一象限角，
所以，，
因为，所以，
所以是第二象限角，所以，
为第三象限角，
所以，，
因为，所以是第二象限角或第三象限角，
当是第二象限角时，，
此时
，
当是第三象限角时，，
此时
，
故选：CD.
【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关三角恒等变换的问题，正确解题的关键是在利用平方关系求角的正余弦值时，注意分析角终边的位置，注意符号的选取.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知向量 在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则=___________.
【答案】
【解析】
【分析】建立直角坐标系，将向量平移至相同的起点位置，求出向量坐标，再根据向量数量积的公式即可求解．
【详解】建立直角坐标系如图所示，将平移至与相同起点的位置，
由于每一小方格的边长为1，则，，
所以，
故，
故答案为：．
14. 如图，正方形中，为的中点，若，则的值为________
【答案】-3
【解析】
【详解】在中，为的中点，所以，所以，又，故，所以．答案：．
15. 已知，若与的夹角为钝角，求的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】与的夹角为钝角，所以且与不共线，计算即可.
【详解】解：与的夹角为钝角，所以且与不共线，
由得，由与不共线，得，，
所以的取值范围为：.
故答案为：
16. 已知，，且，则_________； _______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由，利用两角和差正切公式可求得，，结合的范围可确定的值.
【详解】，，；
，
，，，，，
，.
故答案为：；.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算下列各式：
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用诱导公式将变形为，然后利用两角差余弦公式计算即可；
（2）利用展开计算即可.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
18. 已知，为平面向量，且.
（1）若，且，求向量的坐标；
（2）若，且向量与平行，求实数k的值.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）设，根据平面向量垂直和平面向量的模长公式可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出向量的坐标；
（2）计算出向量与的坐标，由已知向量平行，可求得的值.
【小问1详解】
设，因，所以①
又因为，所，即②
由①②联立得，解之得或，
则所求向量的坐标为或
【小问2详解】
因为，，
所以，，
又因为向量与平行，所以，
解之得
19. 在中，角的对边分别是，，且的面积为．
（1）若，求的值；
（2）求取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由向量的数量积公式和面积公式可求得，再由余弦定理即可求得结果.
（2）由（1）中, 将式子统一化为关于C的三角函数，再结合三角函数的图像性质即可得到结果.
【小问1详解】
由，得①
由，得②
联立①②可解得，，
又， 则，
【小问2详解】
由（1）知，则
因为，所以，
所以的取值范围是
20. 一艘从南京驶往重庆的客船“东方之星”在长江中游湖北监利水域遭遇龙卷风翻沉.如图所示，是江面上位于东西方向相距千米的两个观测点.现位于点北偏东，点北偏西的客船东方之星（点）发出求救信号，位于点南偏西且与点相距千米的点的救援船立即前往营救，其航行速度为千米每小时，该救援船到达点需要多长时间？
【答案】小时
【解析】
【分析】在中，利用正弦定理可求得；在中，利用余弦定理可求得，由此可求得所需时间.
【详解】由题意知：，，，
，，
，
在中，由正弦定理得：，
在中，由余弦定理得：
，
解得：，
救援船到达点需要的时间，即需要小时.
21. 已知在中，所对边分别为，且.
（1）若，求的面积；
（2）若，求的周长.
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理及三角形面积公式即得；
（2）利用正弦定理及条件可求，再利用正弦定理即可求解.
【小问1详解】
，
【小问2详解】
依题意，正弦定理：，
所以代入计算：，则.
当为锐角时，
，
所以，
当为钝角时，
，
所以，
综上：或.
22. 在如图所示的平面图形中，已知，，，，求：
（1）设，求的值；
（2）若，且，求的最小值及此时的夹角.
【答案】（1）
（2）的最小值为，为.
【解析】
【分析】（1）由向量的减法公式，结合题意和平面向量共线定理，即可求得，进而求出结果；
（2）记，因为，所以，设，根据平面向量加法理和平面向量共线定可得，进而求得，化简整理可得，再根据二次函数和余弦函数的性质，即可求出结果.
【小问1详解】
解：因为，，
所以，所以，
即.
【小问2详解】
解：记，
因为，所以，
设，则，
所以
当时，取最小值，即最小值为，
又，所以，所以，
即，
所以的最小值为，此时为.兰州一中2022-2023--2学期3月月考试题
高一数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，
考试时间120分钟.请将答案填在答题卡上.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设两个非零向量不共线，且，，，则（ ）
A. 三点共线 B. 三点共线
C. 三点共线 D. 三点共线
2. 已知，则向量在方向上的投影为
A B. C. D.
3. 已知向量，，，若，则（ ）
A. 1 B. C. D. 3
4. 八卦是中国文化中的哲学概念，图是八卦模型图，其平面图形记为图中的正八边形，其中，给出下列结论：
①； ②；
③； ④.
其中正确的结论为（ ）
A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③
5. 如图，在中，点为线段上靠近点的三等分点，点为线段上靠近点的三等分点，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知非零向量与满足，且，则为（ ）
A. 等腰非直角三角形 B. 直角非等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
7. 设向量，满足，，与的夹角为，则（ ）
A. B. C. D. 3
8. 已知为坐标原点，点，点，点，，则（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 如果是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中正确的是（ ）
A. 可以表示平面内的所有向量
B. 对于平面内任一向量，使的实数对有无穷个
C. 若向量与共线，则有且只有一个实数，使得
D. 若存在实数使得，则
10. (多选题)已知，，三个非零向量，则下列命题中真命题为（ ）
A
B. ，反向
C.
D.
11. 中，，，则下列叙述正确的是
A. 的外接圆的直径为4.
B. 若，则满足条件的有且只有1个
C. 若满足条件的有且只有1个，则
D. 若满足条件的有两个，则
12. 已知为第一象限角，为第三象限角，且，，则可以为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知向量 在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则=___________.
14. 如图，正方形中，为的中点，若，则的值为________
15. 已知，若与的夹角为钝角，求的取值范围为___________.
16. 已知，，且，则_________； _______.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算下列各式：
（1）；
（2）.
18. 已知，平面向量，且.
（1）若，且，求向量的坐标；
（2）若，且向量与平行，求实数k的值.
19. 在中，角的对边分别是，，且的面积为．
（1）若，求的值；
（2）求的取值范围．
20. 一艘从南京驶往重庆的客船“东方之星”在长江中游湖北监利水域遭遇龙卷风翻沉.如图所示，是江面上位于东西方向相距千米的两个观测点.现位于点北偏东，点北偏西的客船东方之星（点）发出求救信号，位于点南偏西且与点相距千米的点的救援船立即前往营救，其航行速度为千米每小时，该救援船到达点需要多长时间？
21. 已知在中，所对边分别为，且.
（1）若，求的面积；
（2）若，求的周长.
22. 在如图所示平面图形中，已知，，，，求：
（1）设，求的值；
（2）若，且，求的最小值及此时的夹角.
