广州市第八十九中学2022学年高一下学期试卷8(4.08)
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一、单选题
1.若0为实数，且2+a=3+1,则8=()
1+i
A.-4
B.-3
C.3
D.4
2.若向量a与向量6的夹角为60°，同=4，〔日+26（日-36，=-72，则同=（）
A.12
B.6
C.4
D.2
3,如图，在△ABC中，D为AB的中点，E为CD的中点，设AB=a,AC=6,以向
量a,b为基底，则向量AE=（)
TT
B
D
A.
a+26
+6
C.日+
B.
2
4
61
D.
-8+-b
4.计算sin48°cos18°-cos48°cos72°的结果等于()
A.
B.3
c.
D.
3
2
2
5.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到4处时测得公路北侧远处
一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达8处，测得此山顶在西偏北75°的
方向上，仰角为60°，求此山的高度cD=（)
A.300V6
B.100√6
C.100
D.300
6.在△ABC中，b=2 acosC,
则△ABC为()
A.直角三角形
B.等边三角形
C,等腰三角形
D.等腰直角三角形
7.将函数f(x)=V5sinx-cosx的图象上的所有点向右平移”个单位长度，
得到的图
3
象对应的函数可以是()
A.y=2sin x
B.y=2cosx
C.y=-2sin x
D.y=-2cosx
8.若复数z满足(i+z)i=1+2i,则2-的值为（).
A.2
B.22
C.4
D.4N2
试卷第1页，共4页
二、多选题
9.设a,b,c,d∈R,下列说法正确的是（)
A.若a>c,b>d,则a+bi>c+di
B.若a+bi>c+di,则a>c
C.设2=a+6i,2,=c+i,若乙=2，则l2=同
D.设名=a+6i,名=c+i,若2=同，则云=2
10.在△ABC中，下列命题正确的是（)
A.若A>B,则sinA>sinB
B.若sin2A=sin2B,则△ABC一定为等腰三角形
C.若△ABC为钝角三角形，则a2+b2>c2D.若A=30°，b=4,a=3,则△ABC
有两解
11.已知函数f(x)=sin
（g-2-sn(x-水o(x+.
则下列关于函数f(x)的
描述，正确的是（)
A.f(x)在区间0，”
上单调递增
B.f(为图象的一条对称轴是x=-
6
C.f(y图象的一个对称中心是号0】
D.将f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得的函数图象关于y轴对称
12.设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是()
A.若AM=3AC-4AB,则点M,B,C三点共线
AB
AC
B.在△ABC中，
若
BC=0,则△ABC为等腰三角形
AB
AC
C.若点M是△ABC的重心，则MA+MB+MC=0
D.若A=xAB+yAC且x+y行，则McE的面积是oA8C面职的号
三、填空题
13.已知平面向量百=(1,2)，b=(-1,1),若k后+b与a-36垂直，则实数k=一
14.已知sn0+nB=,cos0+cosB=5则eo(0-=
15.如图，某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点B和C,在B点处观测到C
的方位角为155°，B点和C点相距25千米.某日两个观测站都观测到了A处出现火情，
在B点处观测到A的方位角为125°，在C点处，观测到A的方位角为80°，则观测站
试卷第4页，共4页参考答案：
1．D
【分析】根据复数的四则运算法则计算即可得答案.
2
【详解】由题意可得， 2 ai (1 i ) ( 3 i ) 3 4i i 2 4i ，
解得 a 4 .
故选：D.
2．B
【分析】将等式展开，将夹角和模代入求解即可.
2 2
【详解】解：因为 a 2b a 3b a a b 6 b
2
a 4 a cos 60 6 16 72 ，
解得 a 4 （舍），或 a 6，所以 a 6 .
故选：B
3．D
【分析】利用向量的加减法运算法则，化简求解即可.
1 1
【详解】因为 E为 CD的中点，则 A E A D A C .因为 D为 AB的中点，则 AD AB .
2 2
1 1 1 1
所以 A E A B A C a b .
4 2 4 2
故选：D.
4．A
【分析】由诱导公式结合差角公式求解即可.
【详解】 sin48 cos18 cos48 cos 90 18
1
sin48 cos18 cos48 sin18 sin 48 18 sin30
2
故选：A
5．A
析 【分 】求出 ACB 75 30 45 ，由正弦定理求出 BC 300 2 ，进而利用三角函数求
出高度CD .
答案第 11页，共 11页
【详解】如图由题意得： BAC 30 , H BC 75 ， AB 600，
在♀ BCD 中， CBD 60 ，
在 ABC 中， ACB 75 30 45 ，
AB BC 600 BC
由正弦定理得： ，即 ，
sin ACB sin BAC sin 45 sin 30
解得： BC 300 2 ，
由于 CD⊥平面 ABC， BC 平面 ABC，所以 CD⊥BC，
则CD BC tan 60 300 2 3 300 6 （m）.
故选：A
6．C
【分析】利用正弦定理及三角恒等变换计算即可.
【详解】由正弦定理可得： sin B 2 sin AcosC ，而 A B C π，
所以 sin B sin A C sin AcosC cos A sin C ，
则 2 sin AcosC sin AcosC cos A sin C ，即 sin AcosC cos A sin C
易知 cos A 0, cos C 0，所以 tan A tan C
在三角形中 A、C ( 0, π) ，所以 A C .
故选：C.
7．D
【分析】现利用辅助角公式将 f(x)化简，再根据函数图象左右平移即可求出新的函数解析式．
π
【详解】 f x 3 sin x cos x 2 sin x ，
6
π
将函数 f x 的图象上的所有点向右平移 个单位长度，
3
π π π
得到函数 y 2 sin x 2 sin x 2 cos x．
3 6 2
故选：D．
答案第 11页，共 11页
8．C
【分析】利用复数除法与减法法则可求得 z，后由共轭复数及复数模定义可得答案.
1 2i
【详解】 i z i 1 2i i+z 2 i z 2 2i ，所以 z 2 2i ，所以 z z 4i 4．
i
故选：C
9．BC
【分析】根据复数的性质及共轭复数的概念、模长的定义判断各项的正误.
【详解】A：当 a 2， c 1，b 3， d 2时， a bi 2 3i与 c di 1 2i不能比较大小，
故错误；
B：因为 a bi c di ，所以 a c 且 b d 0，故正确；
C：因为 z z a bi c di a c1 2，即 ，所以 ， b d ，所以
2 2 2 2 2 2z a b c d c d z1 2 ，故正确；
D 因为 z z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2： a c1 2 ，所以 a b c d c d ，即 a b c d ，但是不能推 ，
b d ，故错误．
故选：BC
10．AD
【分析】对于 A：利用大角对大边以及正弦定理边化角来判断；
对于 B：将条件转化为角的直接关系来判断；
对于 C：利用余弦定理来计算判断；
对于 D：利用正弦定理来计算判断.
【详解】对于 A：若A B，则 a b，由正弦定理可得 sin A sin B ，A正确；
π
对于 B：若 sin 2 A sin 2B ，则 2 A 2B 或 2 A 2B π，即 A B 或 A B ，故△ABC为
2
等腰三角形或直角三角形，B错误；
2 2 2a b c
对于C：若△ABC为钝角三角形，如果C 为钝角， ， 2 2 2则 cosC 0 a b c 0，
2ab
即 2a 2b 2c ，C错误；
1
a b 4
对于 D：若 A 30 ，b 4 ，a 3，由正弦定理得 ， b sin A 2 2 ，
sin A sin B sin B
a 3 3
sin B sin A, b a，故 B 即可能是锐角也可能是钝角，故△ABC有两解，D正确.
故选：AD.
答案第 11页，共 11页
11．AB
π
【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式为 f x sin 2 x
，利用正弦型函数的单调
6
性可判断 A选项；利用正弦型函数的对称性可判断 BC选项；利用三角函数图象变换以及正
弦型函数的奇偶性可判断 D选项.
5π π 3π
【详解】因为 f x sin 2 x 2 sin x cos x
6 4 4
5π 5π π π
sin cos 2 x cos sin 2 x 2 sin x cos x π
6 6 4
4
1 3
π π
cos 2 x sin 2 x 2 sin x cos x
2 2 4 4
3 1 π 3 1 3 1 sin 2 x cos 2 x sin 2 x sin 2 x cos 2 x cos 2 x sin 2 x cos 2 x
2 2 2 2 2 2 2
π
sin 2 x ，
6
π π π π
对于 A选项，当 0 x 时， 2 x ，
3 6 6 2
π
所以，函数 f x 在区间 0, 上单调递增，A对； 3
π
π
对于 B选项， f
π
sin 1，故 f x 图象的一条对称轴是 x ，B对；
6 2 6
π π π
对于 C选项， f sin 2 1 0，C错；
3 3 6
π
对于 D选项，将 f x 的图象向右平移 个单位长度后，
3
π π 5π
可得到函数 y sin 2 x sin 2 x ，
3
6 6
5π
且函数 y sin 2 x 为非奇非偶函数，D错.
6
故选：AB.
12．BCD
【分析】根据共线向量基本定理的推论可判断 A；根据向量数量积的定义结合条件可判断 B；
画出图形，结合向量加法法则及重心的概念及性质可判断 C；根据向量的线性运算的几何表
示结合图形可得到 MBC 的面积与 ABC 面积底相同，高线之比为 2:3，从而得到可判断 D.
【详解】A选项，因为 AM 3AC 4 AB ， 3 4 1 1，所以点M，B，C三点不共线，A
答案第 11页，共 11页
错误；
B选项，因为
AB AC
AB AC
BC BC BC BC cos π ABC BC cos ACB 0
AB AC
，
AB AC
所以 cos ACB cos ABC ，又 0 < ACB < π, 0 < ABC < π ，
故 ACB = ABC ，即 ABC 为等腰三角形，B正确；
C选项，如图，取 BC中点 H，连接 AH，若点M是 ABC 的重心，则点M在 AH上，且
MA 2M H ，
uuur uuur uuur r
又 MC MB 2M H ，则 MA MB MC 0，C正确；
1
D选项，由于 AM x AB y AC ，而 x y ，所以 3AM 3x AB 3 y AC ，其中 3x 3 y 1，
3
不妨设 AQ 3AM ，则 Q点在直线 BC上，
由于 MBC 与 ABC 同底，而高线之比等于 MQ 与 AQ 的比，即比值为 2:3，
2
所以 MBC 的面积是 ABC 面积的 ，D正确.
3
故选：BCD.
5
13． ##2.5
2
【分析】根据向量垂直的坐标运算列方程即可得实数 k 的值.
【详解】已知平面向量 a 1, 2 ， b 1,1 ，则
ka b k 1, 2 1,1 k 1, 2k 1 , a 3b 1, 2 3 1,1 4, 1
答案第 11页，共 11页
又 ka b 与 a 3b 垂直，则 ka b a 3b k 1, 2k 1 4, 1 4 k 1 2k 1 0，解
5
得 k .
2
5
故答案为： .
2
17
14．
24
【分析】将已知两式平方相加,结合两角差的余弦公式,即可求得答案.
【详解】因为 sin
1
3sin , cos cos ,
2 3
2 2 2 1故 ( sin sin ) sin sin 2sin sin ,
4
(cos cos 2 2 2 1) cos cos 2cos cos ,
3
7
以上两式相加可得 2 2sin sin 2 cos cos 2 2 cos ,
12
17
即 2 cos ,
12
17
故 cos .
24
17
故答案为: .
24
25 2
15． 千米
2
【分析】由正弦定理求解即可
【详解】在 ABC 中， ABC 155 125 30 ， BCA 180 155 80 105 ，
BAC 180 30 105 45 ， BC 25，
AC BC AC 25
由正弦定理可得 ，即
，
sin ABC sin BAC sin 30 sin 45
25 sin 30 25 2
所以 AC （千米），
sin 45 2
25 2
所以观测站C 与火情 A 之间的距离为 千米
2
25 2
故答案为： 千米
2
16． 21
【分析】根据余弦定理计算即可求得结果.
解 依 ， 2 2 2【详 】 题意 由余弦定理知 b a c 2ac cos B 及 B ， a 5, b 7 ，所以
3
2 2 27 5 c 5c，
答案第 11页，共 11页
即 2c 5c 24 0，解得 c 8或 c 3（舍去），
在△D BC 中，由余弦定 得 2 2 2理 CD BC BD 2BC BD cos B ，
2 2
1
所以CD 5 4 2 5 4 21 .
2
故答案为： 21
17．(1) 4 3
(2) k 7
2
【分析】（1）根据向量数量积定义和运算律可求得 a b ，进而得到 a b ；
（2）由向量垂直可得 a 2b ka b 0，根据向量数量积定义和运算律可构造方程求得
结果.
2π
【详解】（1） a b a b cos a , b 32 cos 16 ，
3
2 2
2a b a 2a b b 16 32 64 48， a b 4 3 .
（2）由 a 2b ka b 得：
2 2
a 2b ka b k a 2k 1 a b 2 b 16k 16 2k 1 128 0，
解得： k 7 .
1 3
18．(1) z i
1
2 2
(2) 2
1
1 2 2
3
【分析】（ ）根据题意，得到 b 0且 ( ) b 1，求得 b ，即可求解；
2 2
（2）因为复数 z2为纯虚数，列出方程组，即可求得实数m的值.
1
【详解】（1）解：由复数名 z bi (b R )1 在复平面内对应的点在第四象限，可得 b 0，
2
1 3z 1 2 2 2 3又由 1 ，可得 ( ) b 1，解得 b ，所以 b ，
2 4 2
答案第 11页，共 11页
1 3
所以复数 z i .
1
2 2
（2）解：因为复数 z
2
m m 26 2m 5m 3 i2 为纯虚数，
2m m 6 0
则 ，解得m 22 ，即求实数m的值为 2 .
2m 5m 3 0
19．(1)
4
(2) 17
【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，可得 B ；
（2）根据面积公式可得 c，再用余弦定理可求得 b .
(1)
a 3， b sin A a cos B ，
由正弦定理可得 sin B sin A sin A cos B ，
又 A 0, ，所以 sin A 0 ，
所以 sin B cos B ，即 tan B 1， B 0, ，
所以 B ；
4
(2)
1 3 2
由 S ac sin B c 6，解得 c 4 2 ，
2 4
2 2 2
又由余弦定理得 b a c 2ac cos B 9 32 24 17，
所以 b 17 .
3π π
20．(1) kπ, kπ ， k Z 8 8
(2)最大值是 2 ，最小值是－1
【分析】（1）根据余弦的二倍角及正弦的两角和公式展开，利用辅助角公式化简可得
π
f x 2 sin 2 x ，根据复合函数整体法即可求单调递增区间；
4
π
（2）根据复合函数整体法求出 2 x 的范围，即可求出最大值和最小值.
4
答案第 11页，共 11页
π
π
【详解】（1） f x sin 2 x sin 2 x
2
2 cos x 1
3 3
π π π π
sin 2 x cos cos 2 x sin sin 2 x cos cos 2 x sin cos 2 x
3 3 3 3
π sin 2 x cos 2 x 2 sin 2 x ，
4
π π π
令 2kπ 2 x 2kπ， k Z
2 4 2
3π π
解得 kπ x kπ ， k Z ，
8 8
3π π
所以函数 f x 的单调递增区间为 kπ, kπ ， k Z ． 8 8
π π π π 3π
（2）由已知 x ，可得 2 x ．
4 4 4 4 4
根据正弦函数的图象可得，
π π π π π
当 2 x ，即 x 时， f x 单调递增；
4 4 2 4 8
π π 3π π π
当 2 x ，即 x ， f x 单调递减．
2 4 4 8 4
π π π 3π π π
又 f 2 sin
1， f 2 sin 1， f 2 sin 2 ，
4 4 4 4 8 2
π π
所以 f x f 1， f x f 2min ， max4 8
π π 所以函数 f x 在区间 , 上的最大值是 2 ，最小值是－1． 4 4
21．(1)证明见解析
1
(2)
4
【分析】（1）在♀ ABD 中根据题意结合正弦定理分析运算；
（2）不妨设 BD 1，在△ADC 、 ABC 、♀ ABD 中利用余弦定理运算求解.
AB BD
【详解】（1）在♀ ABD 中，由正弦定理知： ，即
sin BD A sin BAD
BD sin BD A AB sin BAD
又 BD sin CAD AB sin BAD ，
可得 sin CAD sin BD A sin ADC ，
在 ACD 中，所以 CAD ADC ，所以 AC CD .
（2）不妨设 BD 1，则 AC CD 2BD 2
在△ADC 中，由余弦定 2 2 2理知； AD AC CD 2 AC CD cosC 8 8 cosC
答案第 11页，共 11页
在 ABC 中同 2理可知： AB 13 12 cosC
2 2 2
15 AD AB BD
在♀ ABD 中， 2cos BAD 1 sin BAD
4 2 AD AB
15 10 1 cosC
即有
4 8 8cosC 13 12cosC
1
解得 cosC .
4
22．(1) cos 2
1
2
(2) 0, 2 3
2 3 ,
【分析】（1）计算 z z1 2，然后令虚部为 0，解方程即可
（2）通过向量等式建立 与 的关系，然后结合 的范围，转化为求函数值域问题，再得
不等式得出 的范围
【详解】（1） z z 2 sin 2 3 cos ( 4 sin cos 3 ) i1 2 ，
3因为 z z1 2为实数，所以 4 sin cos 3 0， sin 2 ，
2
2 1
结合θ范围，解得 2 ，所以 cos 2 .
3 2
（2）复数 z 2 sin 3i ， z 1 ( 2 cos ) i1 2
复数 z 、 z1 2对应的向量分别是 a , b ， a ( 2 sin , 3 )， b (1, 2 cos )，
( a b ) ( a b ) 0，
2 2 2 2 2又 a b ( 2 sin ) ( 3 ) 1 ( 2 cos ) 8，
a b ( 2 sin , 3 ) (1, 2 cos ) 2 sin 2 3 cos ，
2 所以 ( a b ) ( a b ) ( a 2b ) 2(1 ) a b
2
28 (1 ) ( 2 sin 2 3 cos ) 0，得 sin( ) 2 ，
3 1
1因为 [ , ]，所以 [ 0, ]，所以 sin( ) [ 0, ]．
3 2 3 6 3 2
2 1
所以 0 2 ，解得 2 3 或 0 2 3．1 2
所以实数 的取值范围是 0, 2 3 2 3 , ．
答案第 11页，共 11页
答案第 11页，共 11页
