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§13.1 算法与程序框图
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1． 程序框图
(1)通常用一些通用图形符号构成一张图来表示算法．这种图称做程序框图(简称框图)．
(2)基本的程序框图有起、止框、输入、输出框、处理框、判断框、流程线等图形符号和连接线构成．
2． 三种基本逻辑结构
名称内容 顺序结构 条件分支结构 循环结构
定义 最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间按从上到下的顺序进行 依据指定条件选择执行不同指令的控制结构 根据指定条件决定是否重复执行一条或多条指令的控制结构
程序框图 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
3．基本算法语句
(1)赋值语句
①概念：用来表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句．
②一般格式：变量名＝表达式．
③作用：计算出赋值号右边表达式的值，把该值赋给赋值号左边的变量，使该变量的值等于表达式的值．
(2)输入语句
①概念：用来控制输入结构的语句．
②一般格式：变量名＝input.
③作用：把程序和初始数据分开．
(3)输出语句
①概念：用来控制把求解结果在屏幕上显示(或打印)的语句．
②一般格式：print(%io(2)，表达式)．
③作用：将结果在屏幕上输出．
(4)条件语句
①处理条件分支逻辑结构的算法语句．
②条件语句的格式及框图．
a．if语句最简单的格式及对应的框图
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b．if语句的一般格式及对应的框图
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(5)循环语句
①算法中的循环结构是由循环语句来实现的．
②循环语句的格式及框图．
a．for语句
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b．while语句
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1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)算法只能解决一个问题，不能重复使用． ( × )
(2)程序框图中的图形符号可以由个人来确定． ( × )
(3)输入框只能紧接开始框，输出框只能紧接结束框． ( × )
(4)条件分支结构的出口有两个，但在执行时，只有一个出口是有效的． ( √ )
2． 下列关于“赋值语句”叙述正确的是 ( )
A．3.6＝x是赋值语句
B．利用赋值语句可以进行代数式的化简
C．赋值语句中的等号与数学中的等号意义相同
D．赋值语句的作用是先计算出赋值号右边表达式的值，然后把该值赋给赋值号左边的变量，使该变量的值等于表达式的值
答案 D
3． 下面程序的作用是________________________．
S＝0；
for i＝3：4：199
S＝S＋i；
end
M＝－S；
print(%io(2)，M)；
答案 求－(3＋7＋11＋…＋199)的值
解析 这是for语句、循环变量为i，初值 ( http: / / www.21cnjy.com )为3，步长为4，终值为199，先求S＝3＋7＋11＋…＋199，然后M＝－S＝－(3＋7＋11＋…＋199)．
4． 如图，是求实数x的绝对值的算法程序框图，则判断框①中可填________．
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答案 x>0(或x≥0)
解析 由于|x|＝或|x|＝故根据所给的程序框图，易知可填“x>0”或“x≥0”．
5． (2012·福建)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s值等于________．
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答案 －3
解析 第一次循环：s＝1，k＝1<4，s＝2×1－1＝1，k＝1＋1＝2；
第二次循环：k＝2<4，s＝2×1－2＝0，k＝2＋1＝3；
第三次循环：k＝3<4，s＝2×0－3＝－3，k＝3＋1＝4；
当k＝4时，k<4不成立，循环结束，此时s＝－3.
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题型一 算法的顺序结构
例1 f(x)＝x2－2x－3.求f(3)、f(－5)、f(5)，并计算f(3)＋f(－5)＋f(5)的值．设计出解决该问题的一个算法，并画出程序框图．
思维启迪 算法的设计方案并不唯一，同一问题，可以有不同的算法．设计算法时要注意算法的“明确性”、“有限性”．
解 算法如下：
第一步，令x＝3.
第二步，把x＝3代入y1＝x2－2x－3.
第三步，令x＝－5.
第四步，把x＝－5代入y2＝x2－2x－3.
第五步，令x＝5.
第六步，把x＝5代入y3＝x2－2x－3.
第七步，把y1，y2，y3的值代入y＝y1＋y2＋y3.
第八步，输出y1，y2，y3，y的值．
该算法对应的程序框图如图所示：
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思维升华 给出一个问题，设计算法应注意：
(1)认真分析问题，联系解决此问题的一般数学方法；
(2)综合考虑此类问题中可能涉及的各种情况；
(3)将解决问题的过程划分为若干个步骤；
(4)用简练的语言将各个步骤表示出来．
阅读如图所示的程序框图，若输入的a，b，c分别是21,32,
75，则输出的a，b，c分别是 ( )
A．75,21,32
B．21,32,75
C．32,21,75
D．75,32,21
答案 A
解析 由程序框图中的各个赋值语句可得x＝21，a＝75，c＝32，
b＝21，故a，b，c分别是75,21,32.
题型二 算法的条件分支结构
例2 下图中x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p为该题的最终得分．当x1＝6，x2＝9，p＝8.5时，x3等于 ( )
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A．11 B．10
C．8 D．7
思维启迪 依据第二个判断框的条件关系，判断是利用x2＝x3还是利用x1＝x3从而验证p是否为8.5.
答案 C
解析 x1＝6，x2＝9，|x1－x2|＝ ( http: / / www.21cnjy.com )3<2不成立，即为“否”，所以再输入x3；由绝对值的意义(一个点到另一个点的距离)和不等式|x3－x1|<|x3－x2|知，点x3到点x1的距离小于点x3到x2的距离，所以当x3<7.5时，|x3－x1|<|x3－x2|成立，即为“是”，此时x2＝x3，所以p＝，即＝8.5，解得x3＝11>7.5，不合题意；当x3>7.5时，|x3－x1|<|x3－x2|不成立，即为“否”，此时x1＝x3，所以p＝，即＝8.5，解得x3＝8>7.5，符合题意，故选C.
思维升华 (1)条件分支结构中条件的判断关键是明确条件结构的功能，然后根据“是”的分支成立的条件进行判断；
(2)对条件结构，无论判断框中的条件是否成立，都只能执行两个分支中的一个，不能同时执行两个分支．
如图，若依次输入的x分别为、，相应输出的y分别为y1、y2，则y1、y2的大小关系是 ( )
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A．y1＝y2 B．y1>y2
C．y1
答案 C
解析 由程序框图可知，当输入的x为时，
sin >cos 成立，
所以输出的y1＝sin ＝；
当输入的x为时，sin >cos 不成立，
所以输出的y2＝cos ＝，所以y1题型三 算法的循环结构
例3 (2013·天津)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为( )
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A．7 B．6 C．5 D．4
思维启迪 观察程序框图，明确是何种循环结构，明确循环体与循环变量是解决问题的关键．
答案 D
解析 第一次：S＝0＋(－1)1×1＝－1<2，n＝1＋1＝2，
第二次：S＝－1＋(－1)2×2＝1<2，n＝2＋1＝3，
第三次：S＝1＋(－1)3×3＝－2<2，n＝3＋1＝4，
第四次：S＝－2＋(－1)4×4＝2，满足S≥2，
故输出的n值为4，故选D.
思维升华 利用循环结构表示算法应注意的问题
第一：注意是利用当型循环结构，还是直到型循环结构．
直到型循环结构：在执行了一次循环体后，对条件进行判断，如果条件不满足，就继续执行循环体，直到条件满足时终止循环．
当型循环结构：在每次执行循环体前，对条件进行判断，当条件满足时，执行循环体，否则终止循环．
第二：注意选择准确的表示累计的变量．
第三：注意在哪一步开始循环，满足什么条件不再执行循环体．
(2013·辽宁)执行如图所示的程序框图，若输入n＝8，则输出S等于( )
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A. B. C. D.
答案 A
解析 执行第一次循环后，S＝，i＝4；
执行第二次循环后，S＝，i＝6；
执行第三次循环后，S＝，i＝8；
执行第四次循环后，S＝，i＝10；
此时i＝10＞8，输出S＝.
题型四 基本算法语句
例4 (1)下面程序输出的结果是________．
( http: / / www.21cnjy.com )
(2)根据如图所示的程序，当输入a，b分别为2,3时，最后输出的m的值为________．
( http: / / www.21cnjy.com )
思维启迪 理解基本算法语句的结构和作用是解题关键，通过流程分析，模拟运行确定输出结果．
答案 (1)0 (2)3
解析 (1)当s＝5＋4＋3＋2＋1≥15时，停止循环，而此时，n＝1－1＝0.
(2)本程序的功能是求两个数中较大的一个数．
思维升华 解决算法语句有三个步骤：首先通读全部语句，把它翻译成数学问题；其次领悟该语句的功能；最后根据语句的功能运行程序，解决问题．
程序：
( http: / / www.21cnjy.com )
若输入a＝10，则输出的结果是 ( )
A．20 B．10
C．100 D．200
答案 C
解析 程序所表示的函数表达式为y＝，
∴当a＝10时，y＝102＝100.
循环规律与程序中的逻辑顺序不明确致误
典例：(5分)为了求满足1＋2＋3＋…＋n<2 013的最大的自然数n，程序框图如图所示，则输出框中应填输出 ( )
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A．i－2 B．i－1 C．i D．i＋1
易错分析 本题易出现的错误主要有两个方面：
(1)循环规律不明确，导致S与i的关系错误．
(2)程序框图中S＝S＋i与i＝i＋1的逻辑顺序不明确，导致错误．
解析 依次执行程序框图：
S＝0＋1，i＝2；
S＝0＋1＋2，i＝3；
S＝0＋1＋2＋3，i＝4；
……
由此可得
S＝1＋2＋3＋…＋n时，i＝n＋1；
经检验知当S＝1＋2＋3＋…＋62＝1 953时，i＝63，满足条件进入循环；
S＝1＋2＋3＋…＋62＋63＝2 016时，i＝64，不满足条件，退出循环．
所以应该输出62，即i－2.故选A.
答案 A
温馨提醒 (1)解决程序框图问题要注意的三个常用变量：
①计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如i＝i＋1.
②累加变量：用来计算数据之和，如S＝S＋i.
③累乘变量：用来计算数据之积，如p＝p×i.
(2)循环体规律的探求
通常由开始一步一步运行，根据判断条件，那么几步后就会输出结果或会呈现出规律，再根据规律计算出结果．
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方法与技巧
1．在设计一个算法的过程中要牢记它的五个特征：概括性、逻辑性、有穷性、不唯一性、普遍性．
2．在画程序框图时首先要进行结构的选择．若 ( http: / / www.21cnjy.com )所要解决的问题不需要分情况讨论，只用顺序结构就能解决；若所要解决的问题要分若干种情况讨论时，就必须引入条件分支结构；若所要解决的问题要进行许多重复的步骤，且这些步骤之间又有相同的规律时，就必须引入变量，应用循环结构．
3．程序框图的条件分支结构和循环结构分别对应算法语句的条件语句和循环语句，两种语句的阅读理解是复习重点．
失误与防范
1．注意起止框与处理框、判断框与循环框的不同．
2．注意条件分支结构与循环 ( http: / / www.21cnjy.com )结构的联系：对于循环结构有重复性，条件分支结构具有选择性没有重复性，并且循环结构中必定包含一个条件分支结构，用于确定何时终止循环体．
3．循环语句有“直到型”与“当型”两种，要区别两者的异同，主要解决遇到需要反复执行的任务时，用循环语句来编写程序．
4．关于赋值语句，有以下几点需要注意：
(1)赋值号左边只能是变量名字，而不是表达式，例如3＝m是错误的．
(2)赋值号左右不能对换，赋值语句是将 ( http: / / www.21cnjy.com )赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量，例如Y＝x，表示用x的值替代变量Y的原先的取值，不能改写为x＝Y.因为后者表示用Y的值替代变量x的值．
(3)在一个赋值语句中只能给一个变量赋值，不能出现多个“＝”．
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A组 专项基础训练
(时间：20分钟)
一、选择题
1． 已知一个算法：
(1)m＝a.
(2)如果b(3)如果c如果a＝3，b＝6，c＝2，那么执行这个算法的结果是 ( )
A．3 B．6
C．2 D．m
答案 C
解析 当a＝3，b＝6，c＝2时，依据算法设计，执行后，m＝a＝3∴c＝2＝m，
即输出m的值为2，故选C.
2． 下列是求一个函数的函数值的程序，在键盘上输入一个自变量x的值，输出它的函数值．
x＝input (“x＝”)；
if x<＝0
y＝－x；
y
else
if x<＝1
y＝0；
y
else
y＝x－1；
y
end
end
若执行的结果为3，则输入的x值为 ( )
A．－3或4 B．3
C．4 D．－3
答案 A
3． (2013·安徽)如图所示，程序框图的输出结果为 ( )
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A. B.
C. D.
答案 C
解析 赋值S＝0，n＝2，
进入循环体：检验n＝2<8，
S＝0＋＝，
n＝2＋2＝4；
检验n<8，
S＝＋＝，
n＝4＋2＝6；
检验n<8，
S＝＋＝，
n＝6＋2＝8，
检验n＝8，脱离循环体，
输出S＝.
4． (2013·重庆)执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是 ( )
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A．3 B．4 C．5 D．6
答案 C
解析 由题意，得k＝1时，s＝1； ( http: / / www.21cnjy.com )k＝2时，s＝1＋1＝2；k＝3时，s＝2＋4＝6；k＝4时，s＝6＋9＝15；k＝5时，s＝15＋16＝31>15，此时输出的k值为5.
5． (2012·天津)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，当输入x的
值为－25时，输出x的值为 ( )
A．－1 B．1
C．3 D．9
答案 C
解析 当x＝－25时，|x|>1，
所以x＝－1＝4>1，
x＝－1＝1>1不成立，
所以输出x＝2×1＋1＝3.
二、填空题
6． 已知函数y＝图中表示的是给定x的值，求其对应的函数值y的程序框图．①处应填写________；②处应填写________．
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答案 x<2 y＝log2x
解析 框图中的①就是分段函数解析式两种形式的判断条件，故填写x<2，②就是函数的另一段表达式y＝log2x.
7． 对该程序判断正确的是________．(填序号)
i＝0；
S＝0；
while i<＝1 000
S＝S＋i；
i＝i＋1；
end
print %io 2 ，S ；
①求从1 000到1这1 000个自然数的和；
②求从1到1 000这1 000个自然数的和；
③求从1到1 000这1 000个自然数的积；
④求从1 000到1这1 000个自然数的积.
答案 ②
解析 本程序用的是循环语句，循环次数为1 000，
运算为：S＝1＋2＋3＋…＋1 000.
8． (2013·浙江)若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于________．
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答案
解析 当k＝5时，输出S.
此时，S＝1＋＋＋＋
＝1＋1－＋－＋－＋－
＝2－＝.
9． 给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值是________．
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答案 0,1,3
解析 根据题意，本程序框图表示分段函数：
y＝
由于输入的x值与输出的y值相等，
由x2＝x解得x＝0或x＝1，都满足x≤2；
由x＝2x－3解得x＝3，也满足2由＝x解得x＝±1，不在x>5内，舍去．
可见满足条件的x共三个：0,1,3.
10．执行下边的程序框图，若p＝0.8，则输出的n＝________.
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答案 4
解析 第一次，S＝，n＝2；
第二次，S＝＋，n＝3；
第三次，S＝＋＋，n＝4.
因为S＝＋＋>0.8，所以输出的n＝4.
B组 专项能力提升
(时间：20分钟)
1．(2013·课标全国Ⅱ) 执行下面的程序框图，如果输入的N＝4，那么输出的S等于( )
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A．1＋＋＋ B．1＋＋＋
C．1＋＋＋＋ D．1＋＋＋＋
答案 B
解析 第一次循环，T＝1，S＝1， ( http: / / www.21cnjy.com )k＝2；第二次循环，T＝，S＝1＋，k＝3；第三次循环，T＝，S＝1＋＋，k＝4，第四次循环，T＝，S＝1＋＋＋，k＝5，此时满足条件输出S＝1＋＋＋，选B.
2． 如图所示的程序框图中，令a＝tan θ ( http: / / www.21cnjy.com )，b＝sin θ，c＝cos θ，若在集合{θ|－<θ<，θ≠0，，}中，给θ取一个值，输出的结果是sin θ，则θ的值所在的范围是 ( )
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A．(－，0) B．(0，)
C．(，) D．(，)
答案 D
解析 依题意该程序为求解a＝tan θ，b＝sin θ，c＝cos θ的最大值，
所以θ的值所在范围是(，)．
3． 如图是求12＋22＋32＋…＋1002的值的程序框图，则正整数n＝________.
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答案 100
解析 第一次判断执行后，i＝2，s＝12；第二次判断执行后，i＝3，s＝12＋22，而题目要求计算12＋22＋…＋1002，故n＝100.
4． 对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，第i次观测得到的数据为ai，具体如下表所示：
i 1 2 3 4 5 6 7 8
ai 40 41 43 43 44 46 47 48
在对上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的程序框图(其中是这8个数据的平均数)，则输出的S的值是________．
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答案 7
解析 本题计算的是这8个数的方差，因为
＝＝44，
所以S＝＝7.
5． 经过市场调查分析，2 ( http: / / www.21cnjy.com )014年第一季度内，某地区对某件商品的需求量为12 000件，为保证商品不脱销，商家在月初时将商品按相同的量投放市场，已知年初商品的库存量为50 000件，用S表示商品的库存量，设计一个程序，求出第一季度结束时商品的库存量，画出程序框图．
解 列出下表表示每月库存量的变化情况：
月份
库存 一月 二月 三月
S 46 000 42 000 38 000
程序框图如图所示．
程序如下：
S＝50 000；
S＝S－4 000；
S＝S－4 000；
S＝S－4 000；
print %io 2 ，S ；§13.2 复 数
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1． 复数的有关概念
(1)复数的概念：
设a，b都是实数，形如a＋bi的数叫做 ( http: / / www.21cnjy.com )复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若b≠0且a＝0，则a＋bi为纯虚数．
(2)复数相等：
a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d；a＋bi＝0 a＝0且b＝0.
(3)共轭复数：
如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数，复数z＝a＋bi的共轭复数＝a－bi.
2． 复数的几何意义
复数z＝a＋bi←有序实数对(a，b)←点Z(a，b)．
3． 复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di (a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝
＝＋i(c＋di≠0)．
(2)复数加法的运算定律：
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)方程x2＋x＋1＝0没有解． ( × )
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi. ( × )
(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小． ( × )
(4)原点是实轴与虚轴的交点． ( √ )
(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模． ( √ )
2． (2012·北京)设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的 ( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 当a＝0，且b＝0时，a＋bi不是纯虚数；若a＋bi是纯虚数，则a＝0.
故“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要而不充分条件．
3． (2013·陕西)设z是复数，则下列命题中的假命题是 ( )
A．若z2≥0，则z是实数
B．若z2<0，则z是虚数
C．若z是虚数，则z2≥0
D．若z是纯虚数，则z2<0
答案 C
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，z2 ( http: / / www.21cnjy.com )＝a2－b2＋2abi，由z2≥0，得即或.所以a＝0时b＝0，b＝0时a∈R.故z是实数，所以A为真命题；由于实数的平方不小于0，所以当z2<0时，z一定是虚数，故B为真命题；由于i2＝－1<0，故C为假命题，D为真命题．
4． (2013·四川)如图，在复平面内，点A表示复数z，由图中表示z的共轭
复数的点是 ( )
A．A B．B
C．C D．D
答案 B
解析 表示复数z的点A与表示z的共轭复数的点关于x轴对称，∴B点表示.选B.
5． (2013·广东)若i(x＋yi)＝3＋4i，x，y∈R，则复数x＋yi的模是 ( )
A．2 B．3
C．4 D．5
答案 D
解析 由题意知x＋yi＝＝4－3i，所以|x＋yi|＝|4－3i|＝＝5.
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题型一 复数的概念
例1 (1)已知a∈R，复数z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若为纯虚数，则复数的虚部为( )
A．1 B．i C. D．0
(2)若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
思维启迪 (1)若z＝a＋bi(a，b∈R)，则b＝0时，z∈R；b≠0时，z是虚数；a＝0且b≠0时，z是纯虚数．
(2)直接根据复数相等的条件求解．
答案 (1)A (2)A
解析 (1)由＝＝＝＋i是纯虚数，得a＝1，此时＝i，其虚部为1.
(2)由，解得m＝－2或m＝1，
所以“m＝1”是“z1＝z2”的充分不必要条件．
思维升华 处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．
(1)(2013·安徽)设i是虚数单位．若复数a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为 ( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
(2)(2012·江西)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2＋2的虚部为
( )
A．0 B．－1 C．1 D．－2
答案 (1)D (2)A
解析 (1)a－＝a－(3＋i)＝(a－3)－i，由a∈R，且a－为纯虚数知a＝3.
(2)利用复数运算法则求解．
∵z＝1＋i，
∴＝1－i，z2＋2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i－2i＝0.
题型二 复数的运算
例2 计算：(1)＝________；
(2)()6＋＝________.
思维启迪 复数的除法运算，实质上是分母实数化的运算．
答案 (1)3－3i (2)－1＋i
解析 (1)＝＝
＝－＝－3i(i＋1)＝3－3i.
(2)原式＝[]6＋
＝i6＋＝－1＋i.
思维升华 (1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式．
(2)记住以下结论，可提高运算速度，
①(1±i)2＝±2i；②＝i；③＝－i；④＝b－ai；⑤i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．
(1)已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝________.
(2)＋()2 014＝________.
答案 (1) (2)0
解析 (1)方法一 |z|＝＝，
z·＝|z|2＝.
方法二 z＝＝－＋，
z·＝＝.
(2)原式＝＋[()2]1 007
＝i＋()1 007＝i＋i1 007
＝i＋i4×251＋3＝i＋i3＝0.
题型三 复数的几何意义
例3 如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i，试求：
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(1)、所表示的复数；
(2)对角线所表示的复数；
(3)求B点对应的复数．
思维启迪 结合图形和已知点对应的复数，根据加减法的几何意义，即可求解．
解 (1)＝－，∴所表示的复数为－3－2i.
∵＝，
∴所表示的复数为－3－2i.
(2)＝－，
∴所表示的复数为
(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)＝＋＝＋，
∴所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，
即B点对应的复数为1＋6i.
思维升华 因为复平面内的点、向量及 ( http: / / www.21cnjy.com )向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．
已知z是复数，z＋2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
解 设z＝x＋yi(x、y∈R)，
∴z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2.
∵＝＝(x－2i)(2＋i)
＝(2x＋2)＋(x－4)i，
由题意得x＝4.∴z＝4－2i.
∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，
根据条件，可知，
解得2∴实数a的取值范围是(2,6)．
解决复数问题的实数化思想
典例：(12分)已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.
思维启迪 (1)x，y为共轭复数，可用复数的基本形式表示出来；(2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问题．
规范解答
解 设x＝a＋bi (a，b∈R)，
则y＝a－bi，x＋y＝2a，xy＝a2＋b2， [3分]
代入原式，得(2a)2－3(a2＋b2)i＝4－6i， [5分]
根据复数相等得， [7分]
解得或或或. [9分]
故所求复数为
或
或或. [12分]
温馨提醒 (1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法．
(2)本题求解的关键是先把x、y用复数的形式表示出来，再用待定系数法求解．这是常用的数学方法．
(3)本题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解．
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方法与技巧
1． 复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．
2． 在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合．
3． 实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
复数集C和复平面内所有的点所成的集合及平面向量是一一对应关系，即
4． 复数运算常用的性质：
(1)①(1±i)2＝±2i；②＝i，＝－i；
(2)设ω＝－＋i，则①|ω|＝1；②1＋ω＋ω2＝0；③＝ω2.
(3)in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N＋)．
失误与防范
1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．
2．对于复系数(系数不全为实数)的一 ( http: / / www.21cnjy.com )元二次方程的求解，判别式不再成立．因此解此类方程的解，一般都是将实根代入方程，用复数相等的条件进行求解．
3．两个虚数不能比较大小．
4．利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．
5．注意不能把实数集中的所有运算法则和 ( http: / / www.21cnjy.com )运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，z＋z＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在复数范围内有可能成立．
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A组 专项基础训练
(时间：30分钟)
一、选择题
1． 若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为 ( )
A．－1 B．0
C．1 D．－1或1
答案 A
解析 由复数z为纯虚数，得，解得x＝－1，故选A.
2． 在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数是 ( )
A．1－2i B．－1＋2i
C．3＋4i D．－3－4i
答案 D
解析 因为＝＋＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i.
3． 若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是( )
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A．E B．F
C．G D．H
答案 D
解析 由题图知复数z＝3＋i，
∴＝＝＝＝2－i.
∴表示复数的点为H.
4． (2013·山东)复数z＝(i为虚数单位)，则|z|等于 ( )
A．25 B.
C．5 D.
答案 C
解析 z＝＝－4－3i，所以|z|＝＝5.
5． 复数的共轭复数是 ( )
A．－i B.i
C．－i D．i
答案 C
解析 方法一 ∵＝＝＝i，
∴的共轭复数为－i.
方法二 ∵＝＝＝i.
∴的共轭复数为－i.
二、填空题
6． (2013·天津)i是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝________.
答案 5－5i
解析 (3＋i)(1－2i)＝3－5i－2i2＝5－5i.
7． (2012·湖北)若＝a＋bi(a，b为实数，i为虚数单位)，则a＋b＝________.
答案 3
解析 利用复数相等的条件求出a，b的值．
＝＝[(3－b)＋(3＋b)i]
＝＋i.
∴解得∴a＋b＝3.
8． 复数(3＋i)m－(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是________．
答案 m<
解析 z＝(3m－2)＋(m－1)i，其对应点(3m－2，m－1)在第三象限内，
故3m－2<0且m－1<0，∴m<.
三、解答题
9． 已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.
解 (z1－2)(1＋i)＝1－i z1＝2－i.
设z2＝a＋2i，a∈R，
则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.
∵z1·z2∈R，∴a＝4.∴z2＝4＋2i.
10．复数z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，若1＋z2是实数，求实数a的值．
解 1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i
＝＋[(a2－10)＋(2a－5)]i
＝＋(a2＋2a－15)i.
∵1＋z2是实数，
∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.
又(a＋5)(a－1)≠0，
∴a≠－5且a≠1，故a＝3.
B组 专项能力提升
(时间：20分钟)
1． (2012·课标全国)下面是关于复数z＝的四个命题：
p1：|z|＝2; p2：z2＝2i；
p3：z的共轭复数为1＋i; p4：z的虚部为－1.
其中的真命题为 ( )
A．p2，p3 B．p1，p2
C．p2，p4 D．p3，p4
答案 C
解析 利用复数的有关概念以及复数的运算求解．
∵z＝＝－1－i，
∴|z|＝＝，
∴p1是假命题；
∵z2＝(－1－i)2＝2i，
∴p2是真命题；
∵＝－1＋i，∴p3是假命题；
∵z的虚部为－1，∴p4是真命题．
其中的真命题共有2个：p2，p4.
2． 设f(n)＝n＋n(n∈N＋)，则集合{f(n)}中元素的个数为 ( )
A．1 B．2
C．3 D．无数个
答案 C
解析 f(n)＝n＋n＝in＋(－i)n，
f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，…
∴集合中共有3个元素．
3． 对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是 ( )
A．|z－|＝2y B．z2＝x2＋y2
C．|z－|≥2x D．|z|≤|x|＋|y|
答案 D
解析 ∵＝x－yi(x，y∈R)，|z－|＝|x＋yi－x＋yi|＝|2yi|＝|2y|，∴A不正确；
对于B，z2＝x2－y2＋2xyi，故B不正确；
∵|z－|＝|2y|≥2x不一定成立，∴C不正确；
对于D，|z|＝≤|x|＋|y|，故D正确．
4． 设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是________．
答案 1
解析 设z＝a＋bi(a、b∈R)，由i(z＋1)＝－3＋2i，
得－b＋(a＋1)i＝－3＋2i，∴a＋1＝2，∴a＝1.
5． 已知集合M＝{1，m,3＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，若M∩N＝{3}，则实数m的值为________．
答案 3或6
解析 ∵M∩N＝{3}，∴3∈M且－1 M，
∴m≠－1,3＋(m2－5m－6)i＝3或m＝3，
∴m2－5m－6＝0且m≠－1或m＝3，解得m＝6或m＝3.
6． (2012·上海改编)若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则b＝________，c＝________.
答案 －2 3
解析 利用实系数方程的根与系数的关系求解．
∵实系数一元二次方程x2＋bx＋c＝0的一个虚根为1＋i，
∴其共轭复数1－i也是方程的根．
由根与系数的关系知，
∴b＝－2，c＝3.