§12.3 几何概型
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1． 几何概型的定义
事件A理解为区域Ω的某一子区域A， ( http: / / www.21cnjy.com )A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关，满足以上条件的试验称为几何概型．
2． 几何概型的概率公式
P(A)＝，其中μΩ表示区域Ω的几何度量，μA表示子区域A的几何度量．
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零． ( √ )
(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等． ( √ )
(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形． ( √ )
(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率． ( √ )
2． 一个路口的红绿灯，红灯 ( http: / / www.21cnjy.com )的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，则某人到达路口时看见的是红灯的概率是 ( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 以时间的长短进行度量，故P＝＝.
3． 点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为________．
答案
解析 如图可设＝1，则由几何概型可知其整体事件是其周长3，则其概率是.
4． 在区间[－1,2]上随机取一个数x，则x∈[0，1]的概率为________．
答案
解析 如图，这是一个长度型的几何概型题，所求概率P＝＝.
5． 已知直线y＝x＋b，b∈[－2,3]，则直线在y轴上的截距大于1的概率是________．
答案
解析 区域D为区间[－2,3]，d为区间(1,3]，而两个区间的长度分别为5,2.故所求概率P＝.
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题型一 与长度、角度有关的几何概型
例1 (1)在区间[－1,1]上随机取一个数x，求cos x的值介于0到之间的概率．
(2)如图所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，求BM<1的概率．
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思维启迪 (1)cos x介于0到之间转化为－1
(2)在∠BAC内作射线，可将BM<1转化为∠BAM的条件．
解 (1)由函数y＝cos x的图象知，
当－10由概率的几何概型知：
cos x的值介于0到之间的概率为＝.
(2)因为∠B＝60°，∠C＝45°，所以∠BAC＝75°，
在Rt△ABD中，AD＝，∠B＝60°，
所以BD＝＝1，∠BAD＝30°.
记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM<1”，则可得∠BAM<∠BAD时事件N发生．
由几何概型的概率公式，得P(N)＝＝.
思维升华 解答几何概型问题的关键在于弄 ( http: / / www.21cnjy.com )清题中的考查对象和对象的活动范围．当考查对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考查对象为线时，一般用角度比计算．事实上，当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．
(1)若在例1(2)中“在∠BAC内作射线AM交BC于点M”改为“在线段BC上找一点M”则结果为________．
(2)在半径为1的圆内一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________．
答案 (1) (2)
解析 (1)由∠B＝60°，∠C＝45°，AD＝得，
BD＝＝1，DC＝AD＝，
则BM<1的概率为P＝＝.
(2)记事件A为“弦长超过圆内接等边三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的边长”，如图，不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦，当弦为CD时，就是等边三角形的边长(此时F为OE中点)，弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF，由几何概型公式得：
P(A)＝＝.
题型二 与面积、体积有关的几何概型
例2 (1)(2012·北京)设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 ( )
A. B.
C. D.
(2)有一个底面圆的半径 ( http: / / www.21cnjy.com )为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．
思维启迪 平面区域内的几何概型，一般用面积求概率，空间区域内的几何概型，一般用体积求概率．
答案 (1)D (2)
解析 (1)根据题意作出满足条件的几何图形求解．
如图所示，正方形OABC及其内部为不等式组表 ( http: / / www.21cnjy.com )示的区域D，且区域D的面积为4，而阴影部分表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是，所以选D.
(2)先求点P到点O的距离小于 ( http: / / www.21cnjy.com )或等于1的概率，圆柱的体积V圆柱＝π×12×2＝2π，以O为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝×π×13＝π.则点P到点O的距离小于或等于1的概率为＝，故点P到点O的距离大于1的概率为1－＝.
思维升华 求解几何概型的概率问题，一定要正确确定试验的全部结果构成的区域，从而正确选择合理的测度，进而利用概率公式求解．
(1)在区间[－π，π]内随机取出两个数分别记为a，b，则函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零点的概率为 ( )
A．1－ B．1－
C．1－ D．1－
(2)在棱长为2的正方体ABCD－A1B ( http: / / www.21cnjy.com )1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1 内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．
答案 (1)B (2)1－
解析 (1)由函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零点，
可得Δ＝(2a)2－4(－b2＋π2)≥0，整理得a2＋b2≥π2，
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如图所示，(a，b)可看成坐标平面上的点，
试验的全部结果构成的区域为
Ω＝{(a，b)|－π≤a≤π，－π≤b≤π}，
其面积SΩ＝(2π)2＝4π2.
事件A表示函数f(x)有零点，
所构成的区域为M＝{(a，b)|a2＋b2≥π2}，
即图中阴影部分，其面积为SM＝4π2－π3，
故P(A)＝＝＝1－，所以选B.
(2)V正＝23＝8，V半球＝×π×13＝π，
＝＝，∴P＝1－.
题型三 生活中的几何概型问题
例3 甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h，乙船停泊时间为2 h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．
思维启迪 当基本事件受两个连续变 ( http: / / www.21cnjy.com )量控制时，一般是把两个连续变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决．
解 这是一个几何概型问题． ( http: / / www.21cnjy.com )设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y，A为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x≤24,0≤y≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h以上或乙比甲早到达2 h以上，即y－x≥1或x－y≥2.故所求事件构成集合A＝{(x，y)|y－x≥1或x－y≥2，x∈[0,24]，y∈[0,24]}．
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A为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部．
所求概率为P(A)＝＝
＝＝.
思维升华 生活中的几何概型度量区域的构造方法：
(1)审题：通过阅读题目，提炼相关信息．
(2)建模：利用相关信息的特征，建立概率模型．
(3)解模：求解建立的数学模型．
(4)结论：将解出的数学模型的解转化为题目要求的结论．
张先生订了一份报纸，送报人在早上6：30－7：30之间把报纸送到他家，张先生离开家去上班的时间在早上7：00－8：00之间，则张先生在离开家之前能得到报纸的概率是________．
答案
解析 以横坐标x表示报纸送到时间，以 ( http: / / www.21cnjy.com )纵坐标y表示张先生离家时间，建立平面直角坐标系，因为随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意只要点落到阴影部分，就表示张先生在离开家前能得到报纸，即所求事件A发生，所以P(A)＝＝.
混淆长度型与面积型几何概型致误
典例：(12分)在长度为1的线段上任取两点，将线段分成三段，试求这三条线段能构成三角形的概率．
易错分析 不能正确理解题意，无法找出准确的几何度量来计算概率．
规范解答
解 设x、y表示三段长度中的任意两个．
因为是长度，所以应有0即(x，y)对应着坐标系中以(0,1)、(1,0)和(0,0)为顶点的三角形内的点，如图所示． [4分]
要形成三角形，由构成三角形的条件知
所以x<，y<，且x＋y>，故图中阴影部分符合构成三角形的条件． [8分]
因为阴影部分的三角形的面积占大三角形面积的，
故这三条线段能构成三角形的概率为. [12分]
温馨提醒 解决几何概型问题时，还有以下两点容易造成失分，在备考时要高度关注：
(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；
(2)利用几何概型的概率公式时，忽视验证事件是否等可能性导致错误.
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方法与技巧
1． 区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限多个．
2． 转化思想的应用
对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．
(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；
(2)若一个随机事件需要用两 ( http: / / www.21cnjy.com )个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；
(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型．
失误与防范
1．准确把握几何概型的“测度”是解题关键；
2．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．
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A组 专项基础训练
(时间：35分钟)
一、选择题
1． “抖空竹”是中国的传统杂技，表演者在 ( http: / / www.21cnjy.com )两根直径约8～12毫米的杆上系一根长度为1 m的绳子，并在绳子上放一空竹，则空竹与两端距离都大于0.2 m的概率为 ( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 与两端都大于0.2 m ( http: / / www.21cnjy.com )即空竹的运行范围为(1－0.2－0.2)m＝0.6 m，记“空竹与两端距离都大于0.2 m”为事件A，则所求概率满足几何概型，即P(A)＝＝.
2． (2012·辽宁)在长为 ( http: / / www.21cnjy.com )12 cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20 cm2的概率为 ( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 根据题意求出矩形面积为20 cm2时的各边长，再求概率．
设AC＝x，则BC＝12－x，所以x(12－x)＝20，
解得x＝2或x＝10.
故P＝＝.
3． 如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P
恰好取自阴影部分的概率为 ( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 ∵S阴影＝ (－x)dx＝eq \b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－\f(1,2)x2))))eq \o\al(1,0)
＝－＝，又S正方形OABC＝1，
∴由几何概型知，P恰好取自阴影部分的概率为＝.
4． 已知△ABC中，∠ABC＝60 ( http: / / www.21cnjy.com )°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为 ( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 如图，当BE＝1时，∠AEB ( http: / / www.21cnjy.com )为直角，则点D在线段BE(不包含B、E点)上时，△ABD为钝角三角形；当BF＝4时，∠BAF为直角，则点D在线段CF(不包含C、F点)上时，△ABD为钝角三角形．所以△ABD为钝角三角形的概率为＝.
5． (2012·湖北)如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB
为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部
分的概率是 ( )
A．1－ B.－
C. D.
答案 A
解析 设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，OA的中点
为D，如图，连接OC，DC.
不妨令OA＝OB＝2，
则OD＝DA＝DC＝1.
在以OA为直径的半圆中，空白部分面积S1＝＋×1×1－＝1，
所以整体图形中空白部分面积S2＝2.
又因为S扇形OAB＝×π×22＝π，
所以阴影部分面积为S3＝π－2.
所以P＝＝1－.
二、填空题
6． 在长为10 cm的线段AB上任取一点G，以AG为半径作圆，则圆的面积介于36π cm2到64π cm2的概率是________．
答案
解析 如图，以AG为半径作圆，圆面积介于36π～64π cm2，则AG的长度应介于6～8 cm之间．
∴所求概率P(A)＝＝.
7． (2013·湖北)在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝________.
答案 3
解析 由|x|≤m，得－m≤x≤m.
当m≤2时，由题意得＝，解得m＝2.5，矛盾，舍去．
当2即m的值为3.
8． 在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m和n，则方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆的概率是________．
答案
解析 ∵方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，∴m>n.
如图，由题意知，在矩形ABCD内任取一点Q(m，n)，点Q落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m＝n恰好将矩形平分，
∴所求的概率为P＝.
9． 小波通过做游戏的方式来确定周末活动， ( http: / / www.21cnjy.com )他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．
答案
解析 ∵去看电影的概率P1＝＝，
去打篮球的概率P2＝＝，
∴不在家看书的概率为P＝＋＝.
三、解答题
10．已知向量a＝(－2,1)，b＝(x，y)．
(1)若x，y分别表示将一枚质地均 ( http: / / www.21cnjy.com )匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b＝－1的概率；
(2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b<0的概率．
解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36(个)；
由a·b＝－1有－2x＋y＝－1，
所以满足a·b＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个；
故满足a·b＝－1的概率为＝.
(2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为
Ω＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6}；
满足a·b<0的基本事件的结果为
A＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6且－2x＋y<0}；
画出图形如图，
矩形的面积为S矩形＝25，
阴影部分的面积为S阴影＝25－×2×4＝21，
故满足a·b<0的概率为.
B组 专项能力提升
(时间：25分钟)
1． 在区间[－1,1]上随机取一个数x，则sin 的值介于－与之间的概率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 ∵－1≤x≤1，∴－≤≤.
由－≤sin ≤，得－≤≤，
即－≤x≤1.故所求事件的概率为＝.
2. 如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在
椭圆外的黄豆数为96，则以此实验数据为依据可以估算出椭圆的面积
约为 ( )
A．7.68 B．16.32 C．17.32 D．8.68
答案 B
解析 根据几何概型的概率公式得黄豆落在椭圆内的概率P＝，
而P＝＝0.68，S矩形＝24，
故S椭圆＝P·S矩形＝0.68×24＝16.32.
3. 已知点A在坐标原点，点B在直线y＝1上，点C(3,4)，若AB≤
，则△ABC的面积大于5的概率是 ( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 设B(x,1)，根据题意知点D(，1)，
若△ABC的面积小于或等于5，则×DB×4≤5，即DB≤，
所以点B的横坐标x∈[－，]，而AB≤，
所以点B的横坐标x∈[－3,3]，所以△ABC的面积小于或等于5的概率为
P＝＝，
所以△ABC的面积大于5的概率是1－P＝.
4． 在面积为S的△ABC内部任取一点P，△PBC的面积大于的概率为________．
答案
解析 如图，假设当点P落在EF上时(EF∥BC)，恰好满足△PBC的面积等于，
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作PG⊥BC，AH⊥BC，则易知＝.符合要求的点P可以落在△AEF内的任一部分，其概率为P＝＝.
5． 平面内有一组平行线，且相邻平行线 ( http: / / www.21cnjy.com )间的距离为3 cm，把一枚半径为1 cm的硬币任意投掷在这个平面内，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是________．
答案
解析 如图所示，当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰，故所求概率为.
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6． 在区间[0,2]上任取两个实数a，b，求函数f(x)＝x3＋ax－b在区间[－1,1]上有且仅有一个零点的概率．
解 因为f′(x)＝3x2＋a，由于a≥0，故f′(x)≥0恒成立，
故函数f(x)在[－1,1]上单调递增，故函数f(x)在区间[－1,1]上有且只有一个零点的充要条件是即
设点(a，b)，则基本事件所在的区域是画出平面
区域，如图所示，根据几何概型的意义，所求的概率等于以图中阴影部分的面积与以2为边长的正方形的面积的比值，这个比值是.
7． 身处广州的姐姐和身处沈阳的 ( http: / / www.21cnjy.com )弟弟在春节前约定分别乘A、B两列火车在郑州火车站会面，并约定先到者等待时间不超过10分钟．当天A、B两列火车正点到站的时间是上午9点，每列火车到站的时间误差为±15分钟，不考虑其他因素，求姐弟俩在郑州火车站会面的概率．
解 设姐姐到的时间为x，弟弟到的时间 ( http: / / www.21cnjy.com )为y，建立坐标系如图，由题意可知，当y≤x±时，姐弟俩会面，又正方形的面积为，阴影部分的面积为，所求概率P＝＝.§12.6 随机变量的数字特征、正态分布
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1． 离散型随机变量的数学期望与方差
设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn.
(1)数学期望：
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望)，它刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平．
(2)方差：
称D(X)＝(x1－E(X) ( http: / / www.21cnjy.com ))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn叫做这个离散型随机变量X的方差，即反映了离散型随机变量取值相对于期望的平均波动大小(或说离散程度)，D(X)的算术平方根叫做离散型随机变量X的标准差．
2． 二点分布与二项分布、超几何分布的期望、方差
期望 方差
变量X服从二点分布 E(X)＝p D(X)＝p(1－p)
X～B(n，p) E(X)＝np D(X)＝np(1－p)
X服从参数为N，M，n的超几何分布 E(X)＝
3． 正态曲线
正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线，其函数表达式为f(x)＝，x∈R(其中μ，σ为参数，且σ>0，－∞<μ<＋∞)．
4． 正态曲线的性质
(1)曲线在x轴的上方，并且关于直线x＝μ对称．
(2)曲线在x＝μ时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状．
(3)曲线的形状由参数σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“高瘦”．
5． 正态变量在三个特定区间内取值的概率值
(1)P(μ－σ(2)P(μ－2σ(3)P(μ－3σ1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定． ( √ )
(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变 ( http: / / www.21cnjy.com )量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小． ( √ )
(3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差． ( √ )
(4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布． ( √ )
2． 设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝2,4,6,8,10)，则D(ξ)等于 ( )
A．5 B．8 C．10 D．16
答案 B
解析 ∵E(ξ)＝(2＋4＋6＋8＋10)＝6，
∴D(ξ)＝[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.
3． 设随机变量X服从正态分布N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(XA．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 ∵μ＝2，由正态分布的定义知其图象关于直线x＝2对称，于是＝2，∴c＝2.
4． 有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的件数，则D(X)＝________.
答案
解析 由题意知取到次品的概率为，∴X～B(3，)，
∴D(X)＝3××(1－)＝.
5． 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是________．
答案 0.7
解析 E(X)＝1×0.7＋0×0.3＝0.7.
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题型一 离散型随机变量的均值、方差
例1 (2013·浙江)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．
(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋 ( http: / / www.21cnjy.com )子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；
(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E(η)＝，D(η)＝，求a∶b∶c.
思维启迪 首先列出随机变量ξ的所有可能的取值，然后计算ξ的每个取值的概率．
解 (1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6.
故P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝，
P(ξ＝5)＝＝，
P(ξ＝6)＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ 2 3 4 5 6
P
(2)由题意知η的分布列为
η 1 2 3
P
所以E(η)＝＋＋＝，
D(η)＝2·＋2·＋2·＝.
化简得
解得a＝3c，b＝2c，
故a∶b∶c＝3∶2∶1.
思维升华 (1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算．
(2)注意性质的应用：
若随机变量X的期望为E(X)，则对应随机变量aX＋b的期望是aE(X)＋b，方差为a2D(X)．
袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．
(1)求ξ的分布列、期望和方差；
(2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值．
解 (1)ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4
P
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5.
D(ξ)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.
(2)由D(η)＝a2D(ξ)，得a2×2.75＝11，即a＝±2.
又E(η)＝aE(ξ)＋b，
所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2.
当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.
∴或
题型二 二项分布的均值、方差
例2 (2012·四川)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.
(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；
(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．
思维启迪 利用对立事件的概率公式表示(1)中概率可求p.
解 (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么
1－P()＝1－·p＝，解得p＝.
(2)由题意，得P(ξ＝0)＝C3＝，
P(ξ＝1)＝C2×＝，
P(ξ＝2)＝C××2＝，
P(ξ＝3)＝C3＝.
所以，随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
故随机变量ξ的数学期望
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(或∵ξ～B(3，)，∴E(ξ)＝3×＝.)
思维升华 求随机变量ξ的期望与 ( http: / / www.21cnjy.com )方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np；D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．
假设某班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被关闭，且概率均为0.5.记此时教室里敞开的窗户个数为X.
(1)求X的分布列；
(2)若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被 ( http: / / www.21cnjy.com )关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变．记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为Y，求Y的数学期望．
解 (1)∵X的所有可能取值为0,1,2,3,4，X～B(4,0.5)，
∴P(X＝0)＝C()4＝，
P(X＝1)＝C()4＝，P(X＝2)＝C()4＝，
P(X＝3)＝C()4＝，P(X＝4)＝C()4＝，
∴X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
(2)Y的所有可能取值为3,4，则
P(Y＝3)＝P(X＝3)＝，
P(Y＝4)＝1－P(Y＝3)＝，
∴Y的期望值E(Y)＝3×＋4×＝.
题型三 正态分布的应用
例3 在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现已知该班同学中成绩在80～85分的有17人．试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人．
思维启迪 本题主要考查正态 ( http: / / www.21cnjy.com )分布及其应用，解题关键是要记住正态总体取值在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率值，将所给问题转化到上述区间内解决，同时要注意对称性的运用和数形结合思想的应用．
解 依题意，由80～85分的同学的人数和所占百分比求出该班同学的总数，再求90分以上同学的人数．
∵成绩服从正态分布N(80,52)，
∴μ＝80，σ＝5，μ－σ＝75，μ＋σ＝85.
于是成绩在(75,85)内的同学占全班同学的68.3%.
由正态曲线的对称性知，成绩在(80,85)内的同学占全班同学的×68.3%＝34.2%.
设该班有x名同学，则x×34.2%＝17，
解得x≈50.
又μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，
∴成绩在(70,90)内的同学占全班同学的95.4%.
∴成绩在(80,90)内的同学占全班同学的47.7%.
∴成绩在90分以上的同学占全班同学的50%－47.7%＝2.3%.
即有50×2.3%≈1(人)，即成绩在90分以上的同学仅有1人．
思维升华 解答此类题目关键是利用正 ( http: / / www.21cnjy.com )态曲线的对称性表示出所给区间的概率．利用对称性转化区间时，要注意正态曲线的对称轴是x＝μ，只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.
在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N(100,100)，已知满分为150分．
(1)试求考试成绩ξ位于区间(80,120)内的概率；
(2)若这次考试共有2 000名考生参加，试估计这次考试及格(不小于90分)的人数．
解 (1)由ξ～N(100,100)知μ＝100，σ＝10.
∴P(80<ξ<120)＝P(100－20<ξ<100＋20)＝0.954，
即考试成绩位于区间(80,120]内的概率为0.954.
(2)P(90<ξ<110)＝P(100－10<ξ<100＋10)＝0.683，
∴P(ξ>110)＝(1－0.683)＝0.159，
∴P(ξ≥90)＝0.683＋0.159＝0.842.
∴及格人数为2 000×0.842≈1 684(人)．
离散型随机变量的均值与方差问题
典例：(12分)甲袋和乙袋中都 ( http: / / www.21cnjy.com )装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有m个球，乙袋中共有2m个球，从甲袋中摸出1个球为红球的概率为，从乙袋中摸出1个球为红球的概率为P2.
(1)若m＝10，求甲袋中红球的个数；
(2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是，求P2的值；
(3)设P2＝，若从甲、乙两袋中 ( http: / / www.21cnjy.com )各自有放回地摸球，每次摸出1个球，并且从甲袋中摸1次，从乙袋中摸2次．设ξ表示摸出红球的总次数，求ξ的分布列和均值．
思维启迪 (1)概率的应用，知甲袋中总球数为 ( http: / / www.21cnjy.com )10和摸1个为红球的概率，求红球．(2)利用方程的思想，列方程求解．(3)求分布列和均值，关键是求ξ的所有可能值及每个值所对应的概率．
规范解答
解 (1)设甲袋中红球的个数为x，
依题意得x＝10×＝4. [3分]
(2)由已知，得＝，解得P2＝. [6分]
(3)ξ的所有可能值为0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝××＝，
P(ξ＝1)＝××＋×C××＝，
P(ξ＝2)＝×C××＋×2＝，
P(ξ＝3)＝×2＝. [8分]
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
[10分]
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.[12分]
求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤：
第一步：确定随机变量的所有可能值．
第二步：求每一个可能值所对应的概率．
第三步：列出离散型随机变量的分布列．
第四步：求均值和方差．
第五步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．
温馨提醒 (1)本题重点考 ( http: / / www.21cnjy.com )查了概率、离散型随机变量的分布列、均值．(2)本题解答中的典型错误是计算不准确以及解答不规范．如第(3)问中，不明确写出ξ的所有可能值，不逐个求概率，这都属于解答不规范．
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方法与技巧
1． 均值与方差的常用性质．掌握下述有关性质，会给解题带来方便：
(1)E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b；
E(ξ＋η)＝E(ξ)＋E(η)；
D(aξ＋b)＝a2D(ξ)；
(2)若ξ～B(n，p)，则E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)．
2． 基本方法
(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；
(2)已知随机变量ξ的均值 、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b的均值、方差和标准差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解；
(3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如二项分布)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．
3． 关于正态总体在某个区域内取值的概率求法
(1)熟记P(μ－σ(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.
①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．
②P(X(3)3σ原则
在实际应用中，通常认为服从正态分布N( ( http: / / www.21cnjy.com )μ，σ2)的随机变量只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，取该区间外的值的概率很小，通常认为一次试验几乎不可能发生．
失误与防范
1．在没有准确判断分布列模型之前不能乱套公式．
2．对于应用问题，必须对实 ( http: / / www.21cnjy.com )际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差．
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A组 专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1． 正态总体N(1,9)在区间(2,3)和(－1,0)上取值的概率分别为m，n，则 ( )
A．m>n B．mC．m＝n D．不确定
答案 C
解析 正态总体N(1,9)的曲线关于x＝1对称，区间(2,3)与(－1,0)到对称轴距离相等，故m＝n.
2． 已知某一随机变量X的分布列如下，且E(X)＝6.3，则a的值为 ( )
X 4 a 9
P 0.5 0.1 b
A.5 B．6 C．7 D．8
答案 C
解析 由分布列性质知：0.5＋0.1＋b＝1，∴b＝0.4.
∴E(X)＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3，∴a＝7.
3． (2013·湖北)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个
同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，
记它的油漆面数为X，则X的均值E(X)等于 ( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 125个小正方体中8个三面涂漆，36个两面涂漆，
54个一面涂漆，27个没有涂漆，
∴从中随机取一个正方体，涂漆面数X的均值E(X)＝×1＋×2＋×3＝＝.
4． 某种种子每粒发芽的概率都为0 ( http: / / www.21cnjy.com ).9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为 ( )
A．100 B．200 C．300 D．400
答案 B
解析 记“不发芽的种子数为ξ”，
则ξ～B(1 000,0.1)，所以E(ξ)＝1 000×0.1＝100，
而X＝2ξ，故E(X)＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝200.
5． 一射手对靶射击，直到第一次命中为止， ( http: / / www.21cnjy.com )每次命中的概率都为0.6，现有4颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目X的期望值为 ( )
A．2.44 B．3.376 C．2.376 D．2.4
答案 C
解析 X的所有可能取值为3,2,1,0，其分布列为
X 3 2 1 0
P 0.6 0.24 0.096 0.064
∴E(X)＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064
＝2.376.
二、填空题
6． 从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
答案 0.1 0.6 0.3
解析 P(X＝0)＝＝0.1，
P(X＝1)＝＝＝0.6，P(X＝2)＝＝0.3.
7． 已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝，k＝1,2,3，…，n，则P(2<ξ≤5)＝________.
答案
解析 P(2<ξ≤5)＝P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝＋＋＝.
8． 已知某次英语考试的成绩X服从正态分布N(116,64)，则10 000名考生中成绩在140分以上的人数为________．
答案 15
解析 由已知得μ＝116，σ＝8.
∴P(92∴P(X>140)＝(1－0.997)＝0.001 5，
∴成绩在140分以上的人数为15.
三、解答题
9． 某超市为了响应环保要求，鼓 ( http: / / www.21cnjy.com )励顾客自带购物袋到超市购物，采取了如下措施：对不使用超市塑料购物袋的顾客，超市给予9.6折优惠；对需要超市塑料购物袋的顾客，既要付购买费，也不享受折扣优惠．假设该超市在某个时段内购物的人数为36人，其中有12位顾客自己带了购物袋，现从这36人中随机抽取两人．
(1)求这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率；
(2)设这两人中享受折扣优惠的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
解 (1)设“两人都享受折扣优惠”为事件A，
“两人都不享受折扣优惠”为事件B，
则P(A)＝＝，P(B)＝＝.
因为事件A，B互斥，
则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝＝.
故这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率是.
(2)据题意，得ξ的可能取值为0,1,2.
其中P(ξ＝0)＝P(B)＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝P(A)＝.
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝＝.
10．为了某项大型活动能够安全进行，警方 ( http: / / www.21cnjy.com )从武警训练基地挑选防爆警察，从体能、射击、反应三项指标进行检测，如果这三项中至少有两项通过即可入选．假定某基地有4名武警战士(分别记为A、B、C、D)拟参加挑选，且每人能通过体能、射击、反应的概率分别为，，.这三项测试能否通过相互之间没有影响．
(1)求A能够入选的概率；
(2)规定：按入选人数得训练经费(每入选1人，则相应的训练基地得到3 000元的训练经费)，求该基地得到训练经费的分布列与数学期望．
解 (1)设A通过体能、射击、反应分别记为事件M、N、P，则A能够入选包含以下几个互斥事件：MN，MP，NP，MNP.
∴P(A)＝P(MN)＋P(MP)＋P(NP)＋P(MNP)
＝××＋××＋××＋××＝＝.
所以，A能够入选的概率为.
(2)记ξ表示该训练基地得到的训练经费，则ξ的所有可能值为0,3 000,6 000,9 000,12 000.
P(ξ＝0)＝4＝，
P(ξ＝3 000)＝C3＝，
P(ξ＝6 000)＝C22＝，
P(ξ＝9 000)＝C3＝，
P(ξ＝12 000)＝C4＝，
ξ的分布列为
ξ 0 3 000 6 000 9 000 12 000
P
E(ξ)＝3 000×＋6 000×＋9 000×＋12 000×
＝8 000(元)．
所以，该基地得到训练经费的数学期望为8 000元．
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
1． 一个篮球运动员投篮一次得3分 ( http: / / www.21cnjy.com )的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2，则＋的最小值为 ( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 由已知得，3a＋2b＋0×c＝2，
即3a＋2b＝2，其中0又＋＝
＝3＋＋＋≥＋2＝，当且仅当＝，即a＝2b时取“等号”，又3a＋2b＝2，即当a＝，b＝时，＋的最小值为，故选D.
2． 若p为非负实数，随机变量ξ的分布列如下表，则E(ξ)的最大值为________，D(ξ)的最大值为________.
ξ 0 1 2
P －p p
答案 1
解析 E(ξ)＝p＋1≤(0≤p≤)；D(ξ)＝－p2－p＋1≤1.
3． 某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、 ( http: / / www.21cnjy.com )丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的，记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.
答案
解析 由题意知P(X＝0)＝(1－p)2＝，∴p＝.
随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
4． 马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的分布列如下表：
x 1 2 3
P(ξ＝x) ？ ！ ？
请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“ ( http: / / www.21cnjy.com )！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________.
答案 2
解析 设“？”处的数值为x，则“！”处的数值为1－2x，则
E(ξ)＝1·x＋2×(1－2x)＋3x＝x＋2－4x＋3x＝2.
5． 某保险公司新开设一项保险业务， ( http: / / www.21cnjy.com )规定该份保单，在一年内如果事件E发生，则该公司要赔偿a元，在一年内如果事件E发生的概率为p，为使该公司收益期望值等于，公司应要求该保单的顾客缴纳的保险金为________元．
答案
解析 设随机变量X表示公司此 ( http: / / www.21cnjy.com )项业务的收益额，x表示顾客交纳的保险金，则X的所有可能值为x，x－a，且P(X＝x)＝1－p，P(X＝x－a)＝p，
所以E(X)＝x(1－p)＋(x－a)p＝，得x＝.
6． (2013·福建) ( http: / / www.21cnjy.com )某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；
(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？
解 方法一 (1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．
记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，
则事件A的对立事件为“X＝5”，
因为P(X＝5)＝×＝，
所以P(A)＝1－P(X＝5)＝，
即这2人的累计得分X≤3的概率为.
(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次 ( http: / / www.21cnjy.com )数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)．
由已知可得，X1～B(2，)，X2～B(2，)，
所以E(X1)＝2×＝，E(X2)＝2×＝，
从而E(2X1)＝2E(X1)＝，E(3X2)＝3E(X2)＝，
因为E(2X1)>E(3X2)，
所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．
方法二 (1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．
记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，
则事件A包含有“X＝0”，“X＝2”，“X＝3”三个两两互斥的事件，
因为P(X＝0)＝(1－)×(1－)＝，P(X＝2)＝×(1－)＝，P(X＝3)＝(1－)×＝，
所以P(A)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝，
即这2人的累计得分X≤3的概率为.
(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的分布列如下：
X1 0 2 4
P
X2 0 3 6
P
所以E(X1)＝0×＋2×＋4×＝，E(X2)＝0×＋3×＋6×＝.
因为E(X1)>E(X2)，
所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．§12.2 古典概型
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1． 古典概型的两个特点
(1)有限性：在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；
(2)等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的．
2． 古典概型的概率公式
P(A)＝.
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”． ( × )
(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件． ( × )
(3)从市场上出售的标准为500±5 g的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型．
( × )
2． (2013·江西)集 ( http: / / www.21cnjy.com )合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A、B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是 ( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 从A、B中任意取一个数，共有6种情形，
两数和等于4的情形只有(2,2)，(3,1)两种，
∴P＝＝.
3． 一个口袋内装有2个白球和3个黑球，则先摸出1个白球后放回的条件下，再摸出1个白球的概率是 ( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率，实质上就是第二次摸到白球的概率，因为袋内装有2个白球和3个黑球，因此概率为.
4． (2013·重庆)若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为________．
答案
解析 甲、乙、丙三人随机地站成 ( http: / / www.21cnjy.com )一排，共有甲、乙、丙，甲、丙、乙，乙、甲、丙，乙、丙、甲，丙、甲、乙，丙、乙、甲共6种排法，其中甲、乙两人相邻而站共甲、乙、丙，乙、甲、丙，丙、甲、乙，丙、乙、甲4种排法，故P＝＝.
5． 从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取2个数字相加，其和为偶数的概率是________．
答案
解析 从6个数中任取2个数的可能情况有(1, ( http: / / www.21cnjy.com )2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种，其中和为偶数的情况有(1,3)，(1,5)，(2,4)，(2,6)，(3,5)，(4,6)，共6种，所以所求的概率是.
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题型一 基本事件与古典概型的判断
例1 袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．
(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？
(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？
思维启迪 判断一个概率模型是否为古典概型的依据是古典概型的“有限性”和“等可能性”．
解 (1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法．
又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，
故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型．
(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”，
又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为，而白球有5个，
故一次摸球摸到白球的可能性为，
同理可知摸到黑球、红球的可能性均为，
显然这三个基本事件出现的可能性不相等，
所以以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型．
思维升华 古典概型需满足两个条件：① ( http: / / www.21cnjy.com )对于每次随机试验来说，只可能出现有限个不同的试验结果；②对于所有不同的试验结果而言，它们出现的可能性是相等的．
(1)下列问题中是古典概型的是 ( )
A．种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率
B．掷一颗质地不均匀的骰子，求出现1点的概率
C．在区间[1,4]上任取一数，求这个数大于1.5的概率
D．同时掷两颗骰子，求向上的点数之和是5的概率
(2)将一枚硬币抛掷三次共有________种结果．
答案 (1)D (2)8
解析 (1)A、B两项中的基本事件的发生不是等可能的；
C项中基本事件的个数是无限多个；
D项中基本事件的发生是等可能的，且是有限个．
(2)设出现正面为1，反 ( http: / / www.21cnjy.com )面为0，则共有(1,1,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，(1,0,0)，(0,1,1)，(0,1,0)，(0,0,1)，(0,0,0)8种结果．
题型二 古典概型的概率
例2 (2013·山东)某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：
A B C D E
身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82
体重指标 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9
(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；
(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．
思维启迪 计算基本事件总数或计算某一事件包含的基本事件数时，可以用列举的方法，列举时要不重不漏．
解 (1)从身高低于1. ( http: / / www.21cnjy.com )80的4名同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)共6个．设“选到的2人身高都在1.78以下”为事件M，其包括事件有3个，故P(M)＝＝.
(2)从小组5名同学中任选2人，其一 ( http: / / www.21cnjy.com )切可能的结果组成的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)共10个．
设“选到的2人的身高都在1.70以上且 ( http: / / www.21cnjy.com )体重指标都在[18.5,23.9)”为事件N，且事件N包括事件有(C，D)，(C，E)，(D，E)共3个．
则P(N)＝.
思维升华 求古典概型的概率的关键是求试验 ( http: / / www.21cnjy.com )的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择．
(1)(2012·上海)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________(结果用最简分数表示)．
(2)有5本不同的书，其中语文书2本， ( http: / / www.21cnjy.com )数学书2本，物理书1本，若将其随机地抽取并排摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是________．
答案 (1) (2)
解析 (1)三位同学每人选择三项中的两项有CCC＝3×3×3＝27(种)选法，
其中有且仅有两人所选项目完全相同的有CCC＝3×3×2＝18(种)选法．
∴所求概率为P＝＝.
(2)第一步先排语文书有A＝2(种)排法． ( http: / / www.21cnjy.com )第二步排物理书，分成两类．一类是物理书放在语文书之间，有1种排法，这时数学书可从4个空中选两个进行排列，有A＝12(种)排法；一类是物理书不放在语文书之间有2种排法，再选一本数学书放在语文书之间有2种排法，另一本有3种排法．因此同一科目的书都不相邻共有2×(12＋2×2×3)＝48(种)排法，而5本书全排列共有A＝120(种)，所以同一科目的书都不相邻的概率是＝.
题型三 古典概型与统计的综合应用
例3 (2013·陕西)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：
组别 A B C D E
人数 50 100 150 150 50
(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表.
组别 A B C D E
人数 50 100 150 150 50
抽取人数 6
(2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．
思维启迪 各组抽取人数的比率是相等的，因此，由B组抽取的比率可求得其它各组抽取的人数．
解 (1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：
组别 A B C D E
人数 50 100 150 150 50
抽取人数 3 6 9 9 3
(2)记从A组抽到的3个评委为 ( http: / / www.21cnjy.com )a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手．从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有结果为
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由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4种，
故所求概率P＝＝.
思维升华 有关古典概型与统计结合的 ( http: / / www.21cnjy.com )题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，只需要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决．
为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：
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(1)估计该校男生的人数；
(2)估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率；
(3)从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～
190 cm之间的概率．
解 (1)样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.
(2)由统计图知，样本中身高 ( http: / / www.21cnjy.com )在170～185 cm之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35(人)，样本容量为70，所以样本中学生身高在170～185 cm之间的频率f＝＝0.5.故由f估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率P＝0.5.
(3)样本中身高在180～185 cm之间的 ( http: / / www.21cnjy.com )男生有4人，设其编号为①②③④，样本中身高在185～190 cm之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥.
从上述6人中任选2人的树状图为
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故从样本中身高在180～190 cm之间的 ( http: / / www.21cnjy.com )男生中任选2人的所有可能结果数为15，至少有1人身高在185～190 cm之间的可能结果数为9，因此，所求概率P＝＝0.6.
六审细节更完善
典例：(12分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n(1)基本事件为取两个球
↓(两球一次取出，不分先后，可用集合的形式表示)
把取两个球的所有结果列举出来
↓
{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}
↓两球编号之和不大于4
(注意：和不大于4，应为小于4或等于4)
↓{1,2}，{1,3}
↓利用古典概型概率公式P＝＝
(2)两球分两次取，且有放回
↓(两球的编号记录是有次序的，用坐标的形式表示)
基本事件的总数可用列举法表示
↓(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)
(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)
(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)
(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)
↓(注意细节，m是第一个球的编号，n是第2个球的编号)
n(将复杂问题转化为简单问题)
↓计算n≥m＋2的概率
↓n≥m＋2的所有情况为(1,3)，(1,4)，(2,4)
↓P1＝
↓注意细节，P1＝是n≥m＋2的概率，需转化为其对立事件的概率
n规范解答
解 (1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结 ( http: / / www.21cnjy.com )果组成的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个．
从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有{1,2}，{1,3}两个．因此所求事件的概率P＝＝. [4分]
(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有
(1,1)，(1,2)，(1, ( http: / / www.21cnjy.com )3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个． [6分]
又满足条件n≥m＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个，
所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝. [10分]
故满足条件n1－P1＝1－＝. [12分]
温馨提醒 (1)本题在审题时，要特别注意细节 ( http: / / www.21cnjy.com )，使解题过程更加完善．如第(1)问，注意两球一起取，实质上是不分先后，再如两球编号之和不大于4等；第(2)问，有次序．
(2)在列举基本事件空间时 ( http: / / www.21cnjy.com )，可以利用列举、画树状图等方法，以防遗漏．同时要注意细节，如用列举法，第(1)问应写成{1,2}的形式，表示无序，第(2)问应写成(1,2)的形式，表示有序．(3)本题解答时，存在格式不规范，思维不流畅的严重问题．如在解答时，缺少必要的文字说明，没有按要求列出基本事件．在第(2)问中，由于不能将事件nHYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
方法与技巧
1． 古典概型计算三步曲
第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个．
2． 确定基本事件的方法
列举法、列表法、树状图法．
失误与防范
1． 古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，它们是否是等可能的．
2． 概率的一般加法公式：
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
公式使用中要注意：(1)公 ( http: / / www.21cnjy.com )式的作用是求A∪B的概率，当A∩B＝ 时，A、B互斥，此时P(A∩B)＝0，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；(2)要计算P(A∪B)，需要求P(A)、P(B)，更重要的是把握事件A∩B，并求其概率；(3)该公式可以看作一个方程，知三可求一．
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A组 专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1． (2013·课标全国Ⅰ)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是 ( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 基本事件的总数为6，
构成“取出的2个数之差的绝对值为2”这个事件的基本事件的个数为2，
所以所求概率P＝＝，故选B.
2． 甲乙两人一起去游“2011西安 ( http: / / www.21cnjy.com )世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 最后一个景点甲有6种选法，乙有6种选法，共有36种，他们选择相同的景点有6种，所以P＝＝，所以选D.
3． (2013·安徽)若某公司从五位大 ( http: / / www.21cnjy.com )学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为 ( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 由题意知，从五位大学毕业生中 ( http: / / www.21cnjy.com )录用三人，所有不同的可能结果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的可能结果只有(丙，丁，戊)这1种，故其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果有9种，所求概率P＝.
4． 第16届亚运会于2010年1 ( http: / / www.21cnjy.com )1月12日在中国广州举行，运动会期间来自A大学2名和B大学4名共计6名大学生志愿者，现从这6名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A大学志愿者的概率是 ( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 记2名来自A大学的志愿 ( http: / / www.21cnjy.com )者为A1，A2,4名来自B大学的志愿者为B1，B2，B3，B4.从这6名志愿者中选出2名的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)，共15种．其中至少有一名A大学志愿者的事件有9种．故所求概率P＝＝.故选C.
5． 连掷两次骰子分别得到点数m、n，则向量(m，n)与向量(－1,1)的夹角θ>90°的概率是
( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 ∵(m，n)·(－1,1)＝－m＋n<0，∴m>n.
基本事件总共有6×6＝36(个) ( http: / / www.21cnjy.com )，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(个)．
∴P＝＝，故选A.
二、填空题
6． 将一颗骰子投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax－by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2相交的概率为________．
答案
解析 圆心(2,0)到直线ax－by＝0的距离d＝，
当d<时，直线与圆相交，则有d＝<，
得b>a，满足b>a的，共有15种情况，
因此直线ax－by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2相交的概率为＝.
7． (2013·江苏)现有某类病毒 ( http: / / www.21cnjy.com )记作XmYn，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为________．
答案
解析 P＝＝.
8． 用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则相邻两个矩形涂不同颜色的概率是________．
答案
解析 由于只有两种颜色，不妨将其设为1和2，若只用一种颜色有111；222.
若用两种颜色有122；212；221；211；121；112.
所以基本事件共有8种．
又相邻颜色各不相同的有2种，故所求概率为.
三、解答题
9． 设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量a＝(m，n)，b＝(1，－3)．
(1)求使得事件“a⊥b”发生的概率；
(2)求使得事件“|a|≤|b|”发生的概率．
解 (1)由题意知，m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}，
故(m，n)所有可能的取法共36种．
a⊥b，即m－3n＝0，即m＝3n，共有2种：(3,1)、(6,2)，
所以事件a⊥b的概率为＝.
(2)|a|≤|b|，即m2＋n2≤10，
共有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(3,1)6种，其概率为＝.
10．(2013·天津)某产品的三个 ( http: / / www.21cnjy.com )质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号 A1 A2 A3 A4 A5
质量指标(x，y，z) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1)
产品编号 A6 A7 A8 A9 A10
质量指标(x，y，z) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2)
(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品．
①用产品编号列出所有可能的结果；
②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．
解 (1)计算10件产品的综合指标S，如下表：
产品编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10
S 4 4 6 3 4 5 4 5 3 5
其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品率为＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.
(2)①在该样本的一等品中，随机抽 ( http: / / www.21cnjy.com )取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15种．
②在该样本的一等品中，综合指标S等于 ( http: / / www.21cnjy.com )4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件B发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种．
所以P(B)＝＝.
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
1． 从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于 ( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 如图所示，从正六边形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )EF的6个顶点中随机选4个顶点，可以看作随机选2个顶点，剩下的4个顶点构成四边形，有A、B，A、C，A、D，A、E，A、F，B、C，B、D，B、E，B、F，C、D，C、E，C、F，D、E，D、F，E、F，共15种．若要构成矩形，只要选相对顶点即可，有A、D，B、E，C、F，共3种，故其概率为＝.
2． 将一骰子向上抛掷两 ( http: / / www.21cnjy.com )次，所得点数分别为m和n，则函数y＝mx3－nx＋1在[1，＋∞)上为增函数的概率是 ( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 所有事件有6×6＝36(种)，若满足条件，
则y′＝2mx2－n≥0对x≥1恒成立，
又m>0，即(2mx2－n)min＝2m－n，即2m≥n，
而2m∴P＝＝.
3． 一个袋子中有5个大小 ( http: / / www.21cnjy.com )相同的球，其中3个白球2个黑球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任意取出一个球，则第一次为白球、第二次为黑球的概率为 ( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 设3个白球分别为a1，a2，a3,2个黑球分别为b1，b2，
则先后从中取出2个球的所有可能结 ( http: / / www.21cnjy.com )果为(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，(a2，a1)，(a3，a1)，(b1，a1)，(b2，a1)，(a3，a2)，(b1，a2)，(b2，a2)，(b1，a3)，(b2，a3)，(b2，b1)，共20种．
其中满足第一次为白球、第二次为黑球 ( http: / / www.21cnjy.com )的有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，共6种，故所求概率为＝.
4． 袋中装有大小相同的总数为5的黑 ( http: / / www.21cnjy.com )球、白球，若从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，则从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为________．
答案
解析 因为袋中装有大小相同的总数为 ( http: / / www.21cnjy.com )5的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，共有10种情况，没有得到白球的概率为，设白球个数为x，则黑球个数为5－x，那么可知白球有3个，黑球有2个，因此从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为.
5． (2013·课标全国Ⅱ)从n个正整数1,2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n＝________.
答案 8
解析 由题意，知取出的两个数只可能是1 ( http: / / www.21cnjy.com )与4,2与3这两种情况，∴在n个数中任意取出两个不同的数的总情况应该是C＝＝2÷＝28，∴n＝8.
6． 一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：
轿车A 轿车B 轿车C
舒适型 100 150 z
标准型 300 450 600
按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．
(1)求z的值；
(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；
(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：
9．4,8.6,9.2,9.6, ( http: / / www.21cnjy.com )8.7,9.3,9.0,8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．
解 (1)设该厂这个月共生产轿车n辆，
由题意得＝，所以n＝2 000，
则z＝2 000－100－300－150－450－600＝400.
(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车，
由题意得＝，则a＝2.
因此抽取的容量为5的样本 ( http: / / www.21cnjy.com )中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有
(A1，A2)，(A1，B1)，(A1， ( http: / / www.21cnjy.com )B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10个．
事件E包含的基本事件有
(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7个．
故P(E)＝，即所求概率为.
(3)样本平均数＝(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.
设D表示事件“从样本中任取一个数 ( http: / / www.21cnjy.com )，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D包含的基本事件有9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0，共6个，所以P(D)＝＝，即所求概率为.§12.4 离散型随机变量及其分布列
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1． 离散型随机变量
如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．
2． 离散型随机变量的分布列及性质
(1)离散型随机变量的分布列：
若离散型随机变量X所有可能取的值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率为p1，p2，…，pn，则表
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
称为离散型随机变量X的概率分布或称为离散型随机变量X的分布列．
(2)离散型随机变量分布列的性质：
①pi≥0_(i＝1,2,3，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1；
③P(xi≤x≤xj)＝pi＋pi＋1＋…＋pj.
3． 常见离散型随机变量的分布列
(1)二点分布：
如果随机变量X的分布列为
X 1 0
P p q
其中0(2)超几何分布：
设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从 ( http: / / www.21cnjy.com )所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，当X＝m时的概率为P(X＝m)＝(0≤m≤l，l为n和M中较小的一个)，称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布．
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量． ( √ )
(2)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象． ( √ )
(3)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布．( × )
(4)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布．( √ )
2． 袋中有3个白球，5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是 ( )
A．至少取到1个白球 B．至多取到1个白球
C．取到白球的个数 D．取到的球的个数
答案 C
解析 选项A，B表述的都是随机事件，选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0,1,2.
3． 随机变量X的分布列如下：
X －1 0 1
P a b c
其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)等于 ( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 ∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.
又a＋b＋c＝1，∴b＝，∴P(|X|＝1)＝a＋c＝.
4． 设某运动员投篮投中的概率为0.3，则一次投篮时投中次数X的分布列是________．
答案
X 0 1
P 0.7 0.3
5. 已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2，…，则P(2答案
解析 P(2HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
题型一 离散型随机变量的分布列的性质
例1 设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X －1 0 1
P 1－2q q2
则q等于 ( )
A．1 B．1± C．1－ D．1＋
思维启迪 利用分布列的两个性质求解．
答案 C
解析 由分布列的性质知
∴q＝1－.
思维升华 (1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．
(2)求随机变量在某个范围内的取值概率时，根据分布列，将所求范围内随机变量对应的取值概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．
设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
求：(1)2X＋1的分布列；
(2)|X－1|的分布列．
解 由分布列的性质知：
0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.
首先列表为
X 0 1 2 3 4
2X＋1 1 3 5 7 9
|X－1| 1 0 1 2 3
从而由上表得两个分布列为
(1)2X＋1的分布列
2X＋1 1 3 5 7 9
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
(2)|X－1|的分布列为
|X－1| 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
题型二 求离散型随机变量的分布列
例2 某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量(件) 0 1 2 3
频数 1 5 9 5
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律 ( http: / / www.21cnjy.com )不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．
(1)求当天商店不进货的概率；
(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列．
思维启迪 解决随机变量分布列问题的关键是正 ( http: / / www.21cnjy.com )确求出随机变量可以取哪些值以及取各个值对应的概率，只有正确地理解随机变量取值的意义才能解决这个关键问题．
解 (1)P(当天商店不进货)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为1件)＝＋＝.
(2)由题意知，X的可能取值为2,3.
P(X＝2)＝P(当天商品销售量为1件)＝＝；
P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)＝＋＋＝.
所以X的分布列为
X 2 3
P
思维升华 求解离散型随机变量X的分布列的步骤：①理解X的意义，写出X可能取的全部值；②求X取每个值的概率；③写出X的分布列．
求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．
4支圆珠笔标价分别为10元、20元、30元、40元．
(1)从中任取一支，求其标价X的分布列；
(2)从中任取两支，若以Y表示取到的圆珠笔的最高标价，求Y的分布列．
解 (1)X的可能取值分别为10,20,30,40，且取得任一支的概率相等，故X的分布列为
X 10 20 30 40
P
(2)根据题意，Y的可能取值为20,30,40，且P(Y＝20)＝＝，
P(Y＝30)＝＝，
P(Y＝40)＝＝.
∴Y的分布列为
Y 20 30 40
P
题型三 超几何分布
例3 一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.
(1)求白球的个数；
(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的分布列．
思维启迪 (1)列出符合题意的关于袋中白球个数x的方程；
(2)随机变量X服从超几何分布．
解 (1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，则P(A)＝1－＝，
得到x＝5.故白球有5个．
(2)X服从超几何分布，
P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3.
于是可得其分布列为
X 0 1 2 3
P
思维升华 对于服从某些特殊分布的随机变量， ( http: / / www.21cnjy.com )其分布列可以直接应用公式给出．超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型．
盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球．
(1)求取出的3个球中至少有一个红球的概率；
(2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；
(3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列．
解 (1)P＝1－＝.
(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，则P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝＋＝.
(3)ξ可能的取值为0,1,2,3，ξ服从超几何分布，
P(ξ＝k)＝，k＝0,1,2,3.
故P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝；
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝.
ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
分类讨论思想在概率中的应用
典例：(12分)在一个盒子中，放有标 ( http: / / www.21cnjy.com )号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x、y，记ξ＝|x－2|＋|y－x|.
(1)求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；
(2)求随机变量ξ的分布列．
思维启迪 (1)根据x，y的取值，随 ( http: / / www.21cnjy.com )机变量ξ的最大值为3，当ξ＝3时，只能x＝1，y＝3或x＝3，y＝1；(2)根据x，y的取值，ξ的所有取值为0,1,2,3，列举计数计算其相应的概率值即可．
规范解答
解 (1)∵x，y可能的取值为1,2,3，
∴|x－2|≤1，|y－x|≤2，
∴ξ≤3，且当x＝1，y＝3或x＝3，y＝1时，ξ＝3.
因此，随机变量ξ的最大值为3.[3分]
∵有放回地抽两张卡片的所有情况有3×3＝9(种)，
∴P(ξ＝3)＝.
故随机变量ξ的最大值为3，事件“ξ取得最大值”的概率为. [6分]
(2)ξ的所有取值为0,1,2,3.
∵ξ＝0时，只有x＝2，y＝2这一种情况，
ξ＝1时，有x＝1，y＝1或x＝2，y＝1或x＝2，y＝3或x＝3，y＝3四种情况，
ξ＝2时，有x＝1，y＝2或x＝3，y＝2两种情况，
ξ＝3时，有x＝1，y＝3或x＝3，y＝1两种情况． [8分]
∴P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，
P(ξ＝3)＝. [10分]
则随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
[12分]
温馨提醒 (1)解决本题的关键是正确求出随机变量的所有可能值及对应的概率．
(2)随机变量ξ的值是x，y的函数，所以要对x，y的取值进行分类讨论．
(3)分类不全面或计算错误是本题的易错点.
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方法与技巧
1．对于随机变量X的研究， ( http: / / www.21cnjy.com )需要了解随机变量将取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率．
2．求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定ξ的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出ξ取各个值的概率．
失误与防范
掌握离散型随机变量的分布列，须注意：
(1)分布列的结构为两行，第一行为随机 ( http: / / www.21cnjy.com )变量X所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率．看每一列，实际上是上为“事件”，下为“事件发生的概率”，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的．每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率．
(2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误．
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A组 专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1． 随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P(A. B. C. D.
答案 D
解析 ∵P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，
∴＋＋＋＝1，∴a＝，
∵P(2． 袋中装有10个红球、5个黑球．每次随 ( http: / / www.21cnjy.com )机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是
( )
A．ξ＝4 B．ξ＝5
C．ξ＝6 D．ξ≤5
答案 C
解析 “放回五个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6.
3． 一盒中有12个乒乓球，其中9个新的， ( http: / / www.21cnjy.com )3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为
( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由题意取出的3个球必为2个旧球、1个新球，
故P(X＝4)＝＝.
4． 设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于 ( )
A．0 B. C. D.
答案 C
解析 设X的分布列为
X 0 1
P p 2p
即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功，设失败率为p，则成功率为2p.由p＋2p＝1得p＝，故应选C.
5． 在15个村庄中有7个村庄交通不方 ( http: / / www.21cnjy.com )便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于的是 ( )
A．P(X＝2) B．P(X≤2)
C．P(X＝4) D．P(X≤4)
答案 C
解析 X服从超几何分布P(X＝k)＝，故k＝4.
二、填空题
6． 设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么n＝______.
答案 10
解析 由于随机变量X等可能取1,2,3，…，n.所以取到每个数的概率均为.
∴P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝0.3，
∴n＝10.
7． 已知随机变量ξ只能取三个值：x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围是________．
答案
解析 设ξ取x1，x2，x3时的概率分别为a－d，a，a＋d，
则(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，∴a＝，
由得－≤d≤.
8． 抛掷2颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)＝________.
答案
解析 相应的基本事件空间有36个基本事件，
其中X＝2对应(1,1)；X＝3对应(1,2)，(2,1)；X＝4对应(1,3)，(2,2)，(3,1)．
所以P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)
＝＋＋＝.
三、解答题
9． 从一批含有13件正品与2件次品的产品中，不放回地任取3件，求取得次品数的分布列．
解 设随机变量ξ表示取出次品的个数，则ξ服从超几何分布，它的可能取值为0,1,2，其相应的概率为
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
10. (2013·重庆)某商场举 ( http: / / www.21cnjy.com )行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：
奖级 摸出红、蓝球个数 获奖金额
一等奖 3红1蓝 200元
二等奖 3红0蓝 50元
三等奖 2红1蓝 10元
其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．
(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；
(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与均值E(X)．
解 设Ai(i＝0,1,2,3)表示摸到i个红球，Bj(j＝0,1)表示摸到j个蓝球，则Ai与Bj独立．
(1)恰好摸到1个红球的概率为P(A1)＝＝.
(2)X的所有可能值为0,10,50,200，且
P(X＝200)＝P(A3B1)＝P(A3)P(B1)＝·＝，
P(X＝50)＝P(A3B0)＝P(A3)P(B0)＝·＝，
P(X＝10)＝P(A2B1)＝P(A2)P(B1)＝·＝＝，
P(X＝0)＝1－－－＝.
综上可知，获奖金额X的分布列为
X 0 10 50 200
P
从而有E(X)＝0×＋10×＋50×＋200×＝4(元)．
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
1． 将一颗骰子均匀掷两次，随机变量为 ( )
A．第一次出现的点数 B．第二次出现的点数
C．两次出现点数之和 D．两次出现相同点的种数
答案 C
解析 A、B中出现的点数虽然是随机的，但 ( http: / / www.21cnjy.com )它们取值所反映的结果，都不是本题涉及试验的结果．D中出现相同点数的种数就是6种，又不是变量．C整体反映两次投掷的结果，可以预见两次出现数字的和是2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，这十一种结果，但每掷一次前，无法预见是十一种中的哪一个，故是随机变量，选C.
2． 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是________．
答案
解析 设所选女生人数为x，则x服从超几何分布，其中N＝6，M＝2，n＝3，则
P(x≤1)＝P(x＝0)＋P(x＝1)＝＋＝.
3． 由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失(以“x，y”代替)，其表如下：
X 1 2 3 4 5 6
P 0.20 0.10 0.x5 0.10 0.1y 0.20
则丢失的两个数据依次为________．
答案 2,5
解析 由于0.20＋0.10＋0.x5＋0.10＋0.1y＋0.20＝1，
得0.x5＋0.1y＝0.40，于是两个数据分别为2,5.
4. 如图所示，A、B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最
大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都
通过的最大信息总量为ξ，则P(ξ≥8)＝_______.
答案
解析 P(ξ≥8)＝1－P(ξ＝7)
＝1－＝.
5． 某电视台的一个智力游 ( http: / / www.21cnjy.com )戏节目中，有一道将中国四大名著《三国演义》、《水浒传》、《西游记》、《红楼梦》与它们的作者连线的题目，每本名著只能与一名作者连线，每名作者也只能与一本名著连线，每连对一个得2分，连错得－1分，某观众只知道《三国演义》的作者是罗贯中，其他不知道随意连线，将他的得分记为ξ：
(1)求该观众得分ξ为负数的概率；
(2)求ξ的分布列．
解 (1)当该观众只连对《三国演义》，其他全部连错时，得分为负数，此时ξ＝－1，
故得分为负数的概率为
P(ξ＝－1)＝＝.
(2)ξ的可能取值为－1,2,8.
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝8)＝＝.
ξ的分布列为
ξ －1 2 8
P
6. 袋中装有黑球和白球共7 ( http: / / www.21cnjy.com )个，从中任取2个球都是白球的概率为.现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用X表示取球终止时所需要的取球次数．
(1)求袋中原有白球的个数；
(2)求随机变量X的分布列；
(3)求甲取到白球的概率．
解 (1)设袋中白球共有x个，根据已知条件＝，
即x2－x－6＝0，解得x＝3，或x＝－2(舍去)．
即袋中原有白球的个数为3.
(2)X表示取球终止时所需要的次数，则X的取值分别为1,2,3,4,5.
因此，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝.
则随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4 5
P
(3)甲取到白球的概率为
P＝P(X＝1)＋P(X＝3)＋P(X＝5)＝＋＋＝.中档题目强化练——概率与统计
A组 专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1． 从5张100元，3张200元 ( http: / / www.21cnjy.com )，2张300元的奥运会门票中任选3张，则选取的3张中至少有2张价格相同的概率为 ( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 基本事件的总数是C，在三种门票中各自选取一张的方法是CCC，故随机事件“选取的3张中价格互不相同”的概率是＝＝，故其对立事件“选取的3张中至少有2张价格相同”的概率是1－＝.
2． 已知ξ的分布列如下表，若η＝2ξ＋2，则D(η)的值为 ( )
ξ －1 0 1
P
A.－ B. C. D.
答案 D
解析 E(ξ)＝－1×＋0×＋1×＝－，
D(ξ)＝2×＋2×＋2×＝，
∴D(η)＝D(2ξ＋2)＝4D(ξ)＝，故选D.
3． 甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则 ( http: / / www.21cnjy.com )为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是 ( )
A．0.216 B．0.36
C．0.432 D．0.648
答案 D
解析 由题意知，甲获胜有两种情况，
一是甲以2∶0获胜，此时P1＝0.62＝0.36；
二是甲以2∶1获胜，
此时P2＝C×0.6×0.4×0.6＝0.288，
故甲获胜的概率P＝P1＋P2＝0.648.
4． 已知x∈[－1,1]，y∈[0,2]，则点P(x，y)落在区域内的概率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 不等式组表示的区域如图所示，阴影部分的面积为×3×2－×3×1＝，则所求概率为.
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5． 有n位同学参加某项选拔测试， ( http: / / www.21cnjy.com )每位同学能通过测试的概率都是p(0A．(1－p)n B．1－pn
C．pn D．1－(1－p)n
答案 D
解析 显然n位同学参加某项选拔测试可看做n ( http: / / www.21cnjy.com )次独立重复试验，其中没有一位同学能通过测试的概率为(1－p)n，故至少有一位同学能通过测试的概率为1－(1－p)n.
二、填空题
6． 在体积为V的三棱锥S－ABC的棱AB上任取一点P，则三棱锥S－APC的体积大于的概率是________．
答案
解析 由题意可知>，如图所示，
三棱锥S－ABC与三棱锥S－APC的高相同，
因此＝＝
＝>(PM，BN为其高线)，故所求概率为.
7． 两封信随机投入A，B，C三个空邮箱，则A邮箱的信件数ξ的数学期望E(ξ)＝_____.
答案
解析 两封信投入A，B，C三个空邮箱，投法种数是32＝9，
A中没有信的投法种数是2×2＝4，概率为，
A中仅有一封信的投法种数是C×2＝4，概率为，
A中有两封信的投法种数是1，概率为，
故A邮箱的信件数ξ的数学期望是
×0＋×1＋×2＝.
8． 随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，如果P(ξ<1)＝0.841 3，则P(－1<ξ<0)＝________.
答案 0.341 3
解析 ∵ξ～N(0,1)，
∴P(－1<ξ<0)＝P(0<ξ<1)＝
＝0.341 3.
三、解答题
9． 已知集合A＝{x|x2＋3x－4<0}，B＝.
(1)在区间(－4,5)上任取一个实数x，求“x∈A∩B”的概率；
(2)设(a，b)为有序实数对，其中a，b分别是集合A，B中任取的一个整数，求“a－b∈A∪B”的概率．
解 (1)由已知得A＝{x|x2＋3x－4<0}
＝{x|－4B＝＝{x|－2显然A∩B＝{x|－2设事件“x∈A∩B”的概率为P1，
由几何概型的概率公式得P1＝＝.
(2)依题意，(a，b)的所有可能的结果一共有以下20种：
(－3，－1)，(－3,0)，( ( http: / / www.21cnjy.com )－3,1)，(－3,2)，(－3,3)，(－2，－1)，(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(－2,3)，(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(－1,3)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，
又A∪B＝{x|－4因此“a－b∈A∪B”的所有可能的结果一共有以下14种：
(－3，－1)，(－3,0) ( http: / / www.21cnjy.com )，(－2，－1)，(－2,0)，(－2,1)，(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)．
所以“a－b∈A∪B”的概率P2＝＝.
10．随着人们对环境关注度的 ( http: / / www.21cnjy.com )提高，绿色低碳出行越来越受到市民重视，为此某市建立了公共自行车服务系统，市民凭本人二代身份证到公共自行车服务中心办理诚信借车卡借车，初次办卡时卡内预先赠送20分，当诚信积分为0时，借车卡将自动锁定，限制借车，用户应持卡到公共自行车服务中心以1元购1个积分的形式再次激活该卡，为了鼓励市民租用公共自行车出行，同时督促市民尽快还车，方便更多的市民使用，公共自行车按每车每次的租用时间进行扣分收费，具体扣分标准如下：
①租用时间不超过1小时，免费；
②租用时间为1小时以上且不超过2小时，扣1分；
③租用时间为2小时以上且不超过3小时，扣2分；
④租用时间超过3小时，按每小时扣2分收费(不足1小时的部分按1小时计算)．
甲、乙两人独立出行，各租用公共自 ( http: / / www.21cnjy.com )行车一次，两人租车时间都不会超过3小时，设甲、乙租用时间不超过一小时的概率分别是0.5和0.6；租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.4和0.2.
(1)求甲、乙两人所扣积分相同的概率；
(2)设甲、乙两人所扣积分之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．
解 (1)设甲、乙所扣积分分别为x1，x2，由题意可知，
P(x1＝0)＝0.5，P(x1＝1)＝0.4，P(x1＝2)＝1－0.5－0.4＝0.1，
P(x2＝0)＝0.6，P(x2＝1)＝0.2，P(x2＝2)＝1－0.6－0.2＝0.2，
所以P(x1＝x2)＝P(x1＝x2＝0)＋ ( http: / / www.21cnjy.com )P(x1＝x2＝1)＋P(x1＝x2＝2)＝0.5×0.6＋0.4×0.2＋0.1×0.2＝0.4.
(2)由题意得，变量ξ的所有取值为0,1,2,3,4.
P(ξ＝0)＝0.5×0.6＝0.3，
P(ξ＝1)＝0.5×0.2＋0.6×0.4＝0.34，
P(ξ＝2)＝0.5×0.2＋0.6×0.1＋0.4×0.2＝0.24，
P(ξ＝3)＝0.4×0.2＋0.2×0.1＝0.1，
P(ξ＝4)＝0.1×0.2＝0.02，
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4
P 0.3 0.34 0.24 0.1 0.02
E(ξ)＝0×0.3＋1×0.34＋2×0.24＋3×0.1＋4×0.02＝1.2.
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
1． 三人独立破译同一个密码． ( http: / / www.21cnjy.com )已知三人各自破译出密码的概率分别为、、，且他们是否破译出密码互不影响，设“密码被破译”的概率为P1，“密码未被破译”的概率为P2，则P1，P2的大小关系为 ( )
A．P1>P2 B．P1＝P2
C．P1答案 A
解析 记“第i个人破译出密码”为事件Ai(i＝1,2,3)，
依题意有P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，
且A1，A2，A3相互独立．
设“密码未被破译”为事件B，
则B＝123，且1，2，3互相独立，
故P2＝P(B)＝P(1)P(2)P(3)＝××＝，
而P1＝1－P(B)＝，故P1>P2.
2． 一名学生通过某种外语听力测试的概率为，他连续测试3次，那么，其中恰有一次通过的概率是 ( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 该名学生测试一次有 ( http: / / www.21cnjy.com )两种结果：要么通过，要么不通过，他连续测试三次，相当于做了3次独立重复试验，那么，根据n次独立重复试验事件A发生k次的概率公式知，连续测试3次恰有一次获得通过的概率为P＝C1·2＝.
3． 某人随机地将编号为 ( http: / / www.21cnjy.com )1,2,3,4的四个小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，每个盒子中放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则就叫放错了．设放对的个数为ξ，则ξ的期望E(ξ)＝________.
答案 1
解析 因为P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝4)＝，
所以E(ξ)＝1×＋2×＋4×＝1.
4． 某班有50名学生，一次考试的数学成绩ξ ( http: / / www.21cnjy.com )服从正态分布N(100,102)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为________．
答案 10
解析 由题意知，P(ξ>110)＝＝0.2，
∴该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50＝10.
5． 在某校教师趣味投篮比赛 ( http: / / www.21cnjy.com )中，比赛规则是每场投6个球，至少投进4个球，且最后2个球都投进者获奖，否则不获奖．已知教师甲投进每个球的概率都是.
(1)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，求X的分布列及数学期望；
(2)求教师甲在一场比赛中获奖的概率；
(3)已知教师乙在一场比 ( http: / / www.21cnjy.com )赛中，6个球中恰好投进了4个球，求教师乙在一场比赛中获奖的概率；教师乙在一场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？
解 (1)由题意，知X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6.依条件可知X～B.
P(X＝k)＝Ck·6－k(k＝0,1,2,3,4,5,6)．
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5 6
P
所以X的数学期望E(X)＝×(0×1＋1×12＋2×60＋3×160＋4×240＋5×192＋6×64)＝＝4.
(2)设教师甲在一场比赛中获奖为事件A，
则P(A)＝C×2×4＋C××5＋6＝.
故教师甲在一场比赛中获奖的概率为.
(3)设教师乙在一场比赛中获 ( http: / / www.21cnjy.com )奖为事件B，则P(B)＝＝，即教师乙在一场比赛中获奖的概率为.显然≠，所以教师乙在一场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率不相等．§12.5 条件概率与事件的独立性
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1．条件概率及其性质
条件概率的定义 条件概率公式
对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号“P(B|A)”表示 P(B|A)＝，其中P(A)>0，A∩B称为事件A与B的交(或积).
2. 事件的独立性
(1)相互独立的定义：
事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即P(B|A)＝P(B)．这时，称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．
(2)概率公式：
条件 公式
A，B相互独立 P(A∩B)＝P(A)×P(B)
A1，A2，…，An相互独立 P(A1∩A2∩…∩An)
＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)
3． 独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验：
①定义：在相同的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n次独立重复试验．
②概率公式：在一次试验中事件A发生的概率为 ( http: / / www.21cnjy.com )p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．
(2)二项分布：
在n次独立重复试验中，事件A发生的次数设为 ( http: / / www.21cnjy.com )X，事件A不发生的概率为q＝1－p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝Cpkqn－k，其中k＝0,1,2，…，n.于是得到X的分布列：
X 0 1 … k … n
P Cp0qn Cpqn－1 … Cpkqn－k … Cpnq0
此时称离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)．
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)条件概率一定不等于它的非条件概率． ( × )
(2)相互独立事件就是互斥事件． ( × )
(3)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立． ( × )
(4)二项分布是一个概率分布，其 ( http: / / www.21cnjy.com )公式相当于(a＋b)n二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝1－p. ( × )
2． 把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则P(B|A)等于 ( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 P(B|A)＝＝＝.
3． 某一批花生种子，如果每粒发芽的概率都为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是
( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 独立重复试验B(4，)，
P(k＝2)＝C()2()2＝.
4． 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的 ( http: / / www.21cnjy.com )5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________．
答案 0.128
解析 依题意可知，该选手的第二个问题必答 ( http: / / www.21cnjy.com )错，第三、四个问题必答对，故该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率P＝1×0.2×0.8×0.8＝0.128.
5. 如图所示的电路，有a，b，c三个开关，每个开关开或关的概率
都是，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为__________．
答案
解析 理解事件之间的关系，设“a闭合” ( http: / / www.21cnjy.com )为事件A，“b闭合”为事件B，“c闭合”为事件C，则灯亮应为事件AC，且A，C，之间彼此独立，且P(A)＝P()＝P(C)＝.
所以P(AC)＝P(A)P()P(C)＝.
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题型一 条件概率
例1 在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再取到不合格品的概率为________．
思维启迪 直接利用条件概率公式进行计算或利用古典概型．
答案
解析 方法一 设A＝{第一次取到不合格品}，
B＝{第二次取到不合格品}，则P(AB)＝，
所以P(B|A)＝＝＝.
方法二 第一次取到不合格品后还剩余99件产品，其中有4件不合格品，故第二次取到不合格品的概率为.
思维升华 条件概率的求法：
(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝.这是通用的求条件概率的方法．
(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含 ( http: / / www.21cnjy.com )的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝.
从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于 ( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
P(B|A)＝＝.
题型二 相互独立事件的概率
例2 (2012·重庆)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．
(1)求乙获胜的概率；
(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率．
思维启迪 将所求事件分解为几个彼此互斥的事件之和，再利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件同时发生的概率公式求解．
解 设Ak、Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中，
则P(Ak)＝，P(Bk)＝(k＝1,2,3)．
(1)记“乙获胜”为事件C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知
P(C)＝P(B1)＋P( B2)＋P( B3)
＝P()P(B1)＋P()P()P()P(B2)＋P()·P()P()P()P()P(B3)
＝×＋22＋33＝.
(2)记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D，则由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知
P(D)＝P( B2)＋P( A3)
＝P()P()P()P(B2)＋P()P()P()P()·P(A3)
＝22＋22×＝.
思维升华 相互独立事件的概率通 ( http: / / www.21cnjy.com )常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解．
甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.8，计算：
(1)两人都击中目标的概率；
(2)其中恰有一人击中目标的概率；
(3)至少有一人击中目标的概率．
解 记“甲射击一次，击中目标”为 ( http: / / www.21cnjy.com )事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B.“两人都击中目标”是事件AB；“恰有1人击中目标”是A∪B；“至少有1人击中目标”是AB∪A∪B.
(1)显然，“两人各射击一次，都击中目标”就 ( http: / / www.21cnjy.com )是事件AB，又由于事件A与B相互独立，∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.8＝0.64.
(2)“两人各射击一次，恰好有一次 ( http: / / www.21cnjy.com )击中目标”包括两种情况：一种是甲击中乙未击中(即A)，另一种是甲未击中乙击中(即B)．根据题意，这两种情况在各射击一次时不可能同时发生，即事件A与B是互斥的，所以所求概率为P＝P(A)＋P(B)＝P(A)·P()＋P()·P(B)＝0.8×(1－0.8)＋(1－0.8)×0.8＝0.16＋0.16＝0.32.
(3)“两人各射击一次，至少有一人击中目标”的概率为P＝P(AB)＋[P(A)＋P(B)]＝0.64＋0.32＝0.96.
题型三 独立重复试验与二项分布
例3 乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜，比赛结束)，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同．
(1)求甲以4比1获胜的概率；
(2)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率；
(3)求比赛局数的分布列．
思维启迪 本题主要考查独立重复试验及二项分布，解题关键是正确判断是不是独立重复试验及正确应用概率计算公式．
解 (1)由已知，得甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是.
记“甲以4比1获胜”为事件A，
则P(A)＝C()3()4－3·＝.
(2)记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B.乙以4比2获胜的概率为
P1＝C()3()5－3·＝，
乙以4比3获胜的概率为
P2＝C()3()6－3·＝，
所以P(B)＝P1＋P2＝.
(3)设比赛的局数为X，则X的可能取值为4,5,6,7.
P(X＝4)＝2C()4＝，
P(X＝5)＝2C()3()4－3·＝，
P(X＝6)＝2C()3()5－3·＝，
P(X＝7)＝2C()3()6－3·＝.
比赛局数的分布列为
X 4 5 6 7
P
思维升华 利用独立重复试验概率公式可以简化求 ( http: / / www.21cnjy.com )概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k的三个条件：①在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；②n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；③该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率．
(2013·山东)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立．
(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；
(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得 ( http: / / www.21cnjy.com )3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X的分布列及数学期望．
解 (1)设“甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利”分别为事件A，B，C，
则P(A)＝××＝，
P(B)＝C2××＝，
P(C)＝C2×2×＝.
(2)X的可能的取值为0,1,2,3.
则P(X＝0)＝P(A)＋P(B)＝，
P(X＝1)＝P(C)＝，
P(X＝2)＝C×2×2×＝，
P(X＝3)＝3＋C2××＝.
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
对二项分布理解不准致误
典例：(12分)一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.
(1)设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列；
(2)设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y的分布列．
易错分析 由于这名学生在各个交通岗遇到红 ( http: / / www.21cnjy.com )灯的事件相互独立，可以利用二项分布解决，二项分布模型的建立是易错点；另外，对“首次停车前经过的路口数Y”理解不当，将“没有遇上红灯的概率也当成”．
规范解答
解 (1)将通过每个交通岗看做一次试验，则遇到红灯的概率为，且每次试验结果是相互独立的，
故X～B. [2分]
所以X的分布列为P(X＝k)＝Ck·6－k，k＝0,1,2,3,4,5,6. [5分]
(2)由于Y表示这名学生在首次停车时经过的路 ( http: / / www.21cnjy.com )口数，显然Y是随机变量，其取值为0,1,2,3,4,5,6.其中：{Y＝k}(k＝0,1,2,3,4,5)表示前k个路口没有遇上红灯，但在第k＋1个路口遇上红灯，故各概率应按独立事件同时发生计算． [7分]
P(Y＝k)＝()k·(k＝0,1,2 ( http: / / www.21cnjy.com ),3,4,5)，而{Y＝6}表示一路没有遇上红灯．故其概率为P(Y＝6)＝()6， [9分]
因此Y的分布列为
Y 0 1 2 3 4 5 6
P · ·()2 ·()3 ·()4 ·()5 ()6
[12分]
温馨提醒 (1)二项分布是 ( http: / / www.21cnjy.com )高中概率部分最重要的概率分布模型，是近几年高考非常注重的一个考点．二项分布概率模型的特点是“独立性”和“重复性”，事件的发生都是独立的、相互之间没有影响，事件又在相同的条件之下重复发生．
(2)独立重复试验中的概率公式Pn(k)＝C ( http: / / www.21cnjy.com )pk(1－p)n－k表示的是n次独立重复试验中事件A发生k次的概率，p与(1－p)的位置不能互换，否则该式子表示的意义就发生了改变，变为事件A有k次不发生的概率了.
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方法与技巧
1． 古典概型中，A发生的条件下B发 ( http: / / www.21cnjy.com )生的条件概率公式为P(B|A)＝＝，其中，在实际应用中P(B|A)＝是一种重要的求条件概率的方法．
2． 相互独立事件与互斥事件的区别
相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响， ( http: / / www.21cnjy.com )计算式为P(AB)＝P(A)P(B)．互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
3． n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次 ( http: / / www.21cnjy.com )可看做是C个互斥事件的和，其中每一个事件都可看做是k个A事件与n－k个事件同时发生，只是发生的次序不同，其发生的概率都是pk(1－p)n－k.因此n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为Cpk(1－p)n－k.
失误与防范
1． 运用公式P(AB)＝P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A、B相互独立时，公式才成立．
2． 独立重复试验中，每一次试验只有两种结 ( http: / / www.21cnjy.com )果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中某事件发生的概率相等．注意恰好与至多(少)的关系，灵活运用对立事件．
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A组 专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1． 已知A，B是两个相互独立事 ( http: / / www.21cnjy.com )件，P(A)，P(B)分别表示它们发生的概率，则1－P(A)P(B)是下列哪个事件的概率 ( )
A．事件A，B同时发生
B．事件A，B至少有一个发生
C．事件A，B至多有一个发生
D．事件A，B都不发生
答案 C
解析 P(A)P(B)是指A，B同时发生的概率，1－P(A)·P(B)是A，B不同时发生的概率，即至多有一个发生的概率．
2． 设随机变量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y≥2)的值为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝Cp(1－p)＋Cp2＝，解得p＝.(0≤p≤1，故p＝舍去)．
故P(Y≥2)＝1－P(Y＝0)－P(Y＝1)＝1－C×()4－C××()3＝.
3． 甲、乙两队进行排球决赛，现 ( http: / / www.21cnjy.com )在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能获得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 甲队若要获得冠军，有两种情况 ( http: / / www.21cnjy.com )，可以直接胜一局，获得冠军，概率为，也可以乙队先胜一局，甲队再胜一局，概率为×＝，故甲队获得冠军的概率为＋＝.
4． 位于坐标原点的一个质点P按下述规则 ( http: / / www.21cnjy.com )移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是
( )
A.5 B．C5
C．C3 D．CC5
答案 B
5． 两个实习生每人加工一个 ( http: / / www.21cnjy.com )零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 ( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 设事件A：甲实习生加工的零件为一等品；
事件B：乙实习生加工的零件为一等品，
则P(A)＝，P(B)＝，
所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为
P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)
＝×(1－)＋(1－)×＝.
二、填空题
6． 明天上午李明要参加校运动会，为了准 ( http: / / www.21cnjy.com )时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己．假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．
答案 0.98
解析 1－0.20×0.10＝1－0.02＝0.98.
7． 某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为________．
答案
解析 设该队员每次罚球的命中率为p(其中08． 一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，服用这种新药的有甲、乙、丙3位病人，且各人之间互不影响，有下列结论：
①3位病人都被治愈的概率为0.93；
②3人中的甲被治愈的概率为0.9；
③3人中恰有2人被治愈的概率是2×0.92×0.1；
④3人中恰好有2人未被治愈的概率是3×0.9×0.12；
⑤3人中恰好有2人被治愈，且甲被治愈的概率是0.92×0.1.
其中正确结论的序号是________．(把正确的序号都填上)
答案 ①②④
三、解答题
9. 如图，一圆形靶分成A，B，C三部分，其面积之比为1∶1∶2.某同
学向该靶投掷3枚飞镖，每次1枚．假设他每次投掷必定会中靶，
且投中靶内各点是随机的．
(1)求该同学在一次投掷中投中A区域的概率；
(2)设X表示该同学在3次投掷中投中A区域的次数，求X的分布列；
(3)若该同学投中A，B，C三个区域分别可得3分，2分，1分，求他投掷3次恰好得4分的概率．
解 (1)设该同学在一次投掷中投中A区域的概率为P(A)，依题意，P(A)＝.
(2)依题意知，X～B(3，)，从而X的分布列为
X 0 1 2 3
P
(3)设Bi表示事件“第i次击中目标时，击中B区域”，Ci表示事件“第i次击中目标时，击中C区域”，i＝1,2,3.
依题意知P＝P(B1C2C3)＋P(C1B2C3)＋P(C1C2B3)＝3×××＝.
10．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为.
(1)求乙投球的命中率p；
(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率；
(3)若甲、乙两人各投球2次，求共命中2次的概率．
解 (1)方法一 设“甲投一次球命中”为事件A，“乙投一次球命中”为事件B.
由题意得(1－P(B))2＝(1－p)2＝，
解得p＝或p＝(舍去)，
所以乙投球的命中率为.
方法二 设“甲投一次球命中”为事件A，“乙投一次球命中”为事件B.
由题意得：P()P()＝，
于是P()＝或P()＝－(舍去)．
故p＝1－P()＝.
所以乙投球的命中率为.
(2)方法一 由题设知，P(A)＝，P()＝.
故甲投球2次，至少命中1次的概率为
1－P(·)＝.
方法二 由题设知，P(A)＝，P()＝.
故甲投球2次，至少命中1次的概率为
CP(A)P()＋P(A)P(A)＝.
(3)由题设和(1)知，
P(A)＝，P()＝，P(B)＝，P()＝.
甲、乙两人各投球2次，共命中2次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中2次，乙2次均不中；甲2次均不中，乙中2次．
概率分别为CP(A)P()CP(B)P()＝，
P(A)P(A)P()P()＝，
P()P()P(B)P(B)＝.
所以甲、乙两人各投球2次，共命中2次的概率为
＋＋＝.
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
1． 某种元件的使用寿命超过1年的概率为 ( http: / / www.21cnjy.com )0.6，使用寿命超过2年的概率为0.3，则使用寿命超过1年的元件还能继续使用的概率为 ( )
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．1
答案 B
解析 设事件A为“该元件的使用寿命超过1年”，B为“该元件的使用寿命超过2年”，则P(A)＝0.6，P(B)＝0.3.
因为B A，所以P(AB)＝P(B)＝0.3，于是P(B|A)＝＝＝0.5.
2. 如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正
常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知
K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为 ( )
A．0.960 B．0.864
C．0.720 D．0.576
答案 B
解析 方法一 由题意知K，A1，A2正常工作的概率分别为P(K)＝0.9，P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.8，
∵K，A1，A2相互独立，
∴A1，A2至少有一个正常工作的概率 ( http: / / www.21cnjy.com )为P(A2)＋P(A12)＋P(A1A2)＝(1－0.8)×0.8＋0.8×(1－0.8)＋0.8×0.8＝0.96.
∴系统正常工作的概率为P(K)[P(A2)＋P(A12)＋P(A1A2)]＝0.9×0.96＝0.864.
方法二 A1，A2至少有一个正常工作的概率 ( http: / / www.21cnjy.com )为1－P(1 2)＝1－(1－0.8)(1－0.8)＝0.96，∴系统正常工作的概率为P(K)[1－P(1 2)]＝0.9×0.96＝0.864.
3． 市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70% ( http: / / www.21cnjy.com )，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是________．
答案 0.665
解析 记A＝“甲厂产品”，B＝“合格产品”，则P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95.
∴P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665.
4. 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自
由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋
或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率
都是，则小球落入A袋中的概率为________．
答案
解析 记“小球落入A袋中”为事件A，“小 ( http: / / www.21cnjy.com )球落入B袋中”为事件B，则事件A的对立事件为B，若小球落入B袋中，则小球必须一直向左落下或一直向右落下，
故P(B)＝3＋3＝，
从而P(A)＝1－P(B)＝1－＝.
5． 甲罐中有5个红球，2个白 ( http: / / www.21cnjy.com )球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)
①P(B)＝；②P(B|A1)＝ ( http: / / www.21cnjy.com )；③事件B与事件A1相互独立；④A1，A2，A3是两两互斥的事件；⑤P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关．
答案 ②④
解析 P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＋P(BA3)
＝＋＋＝，故①⑤错误；
②P(B|A1)＝＝，正确；
③事件B与A1的发生有关系，故错误；
④A1，A2，A3不可能同时发生，是互斥事件，正确．
6． (2013·辽宁)现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．
(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；
(2)已知所取的3道题中有2道甲类题， ( http: / / www.21cnjy.com )1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．
解 (1)设事件A＝“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有＝“张同学所取的3道题都是甲类题”．
因为P()＝＝，所以P(A)＝1－P()＝.
(2)X所有的可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝C·0·2·＝；
P(X＝1)＝C·1·1·＋C0·2·＝；
P(X＝2)＝C·2·0·＋C1·1·＝；
P(X＝3)＝C·2·0·＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
§12.1 随机事件的概率
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1． 事件
(1)不可能事件、必然事件、随机事件：
在同样的条件下重复进行试验时，有的结果始 ( http: / / www.21cnjy.com )终不会发生，它称为不可能事件；有的结果在每次试验中一定会发生，它称为必然事件；有的结果可能发生，也可能不发生，它称为随机事件．
(2)基本事件、基本事件空间：
试验连同它出现的每一个结果称为一个基本事件 ( http: / / www.21cnjy.com )，它是试验中不能再分的最简单的随机事件；所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，基本事件空间常用大写希腊字母Ω表示．
2． 概率与频率：
(1)概率定义：在n次重复进行的试验中，事 ( http: / / www.21cnjy.com )件A发生的频率，当n很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A)．
(2)概率与频率的关系：概率可以通过频率来“测量”，频率是概率的一个近似．
3． 事件的关系与运算
名称 定义
并事件(和事件) 由事件A和B至少有一个发生所构成的事件C
互斥事件 不可能同时发生的两个事件A、B
互为对立事件 不能同时发生且必有一个发生的两个事件A、B
4． 概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率：P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率：P(F)＝0.
(4)互斥事件的概率加法公式：
①P(A∪B)＝P(A)＋P(B)(A，B互斥)．
②P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)(A1，A2，…，An彼此互斥)．
(5)对立事件的概率：P()＝1－P(A)．
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)事件发生频率与概率是相同的． ( × )
(2)随机事件和随机试验是一回事． ( × )
(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值． ( √ )
(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生． ( × )
2． 一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是 ( )
A．至多有一次中靶 B．两次都中靶
C．只有一次中靶 D．两次都不中靶
答案 D
3． 某射手的一次射击中， ( http: / / www.21cnjy.com )射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为 ( )
A．0.5 B．0.3
C．0.6 D．0.9
答案 A
解析 依题意知，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－(0.2＋0.3)＝0.5.
4． 下列事件中，随机事件为________，必然事件为________．(填序号)
①冬去春来 ②某班一次数学测试，及格率低于75% ③体育彩票某期的特等奖号码 ④三角形内角和为360° ⑤骑车到十字路口遇到交警
答案 ②③⑤ ①
5． 给出下列三个命题，其中正确的命题有________个．
①有一大批产品，已知次品率为10%，从 ( http: / / www.21cnjy.com )中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．
答案 0
解析 ①错，不一定是10件次品；②错，是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．
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题型一 随机事件的关系
例1 某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)A与C；(2)B与E；(3)B与C；(4)C与E.
思维启迪 判断事件之间的关系可以紧扣事件的分类，结合互斥事件，对立事件的定义进行分析．
解 (1)由于事件C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．
(2)事件B“至少订一种报纸”与事 ( http: / / www.21cnjy.com )件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件．由于事件B不发生可导致事件E一定发生，且事件E不发生会导致事件B一定发生，故B与E还是对立事件．
(3)事件B“至少订一种报纸”中有 ( http: / / www.21cnjy.com )这些可能：“只订甲报纸”、“只订乙报纸”、“订甲、乙两种报纸”，事件C“至多订一种报纸”中有这些可能：“一种报纸也不订”、“只订甲报纸”、“只订乙报纸”，由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件．
(4)由(3)的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C的一种可能，即事件C与事件E有可能同时发生，故C与E不是互斥事件．
思维升华 对互斥事件要把握住不能同时发生，而 ( http: / / www.21cnjy.com )对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件的关系．
对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹．设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________．
答案 A与B，A与C，B与C，B与D B与D
解析 设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为A∩B＝ ，A∩C＝ ，B∩C＝ ，B∩D＝ .
故A与B，A与C，B与C，B与D为彼此互斥事件，而B∩D＝ ，B∪D＝I，故B与D互为对立事件．
题型二 随机事件的频率与概率
例2 某企业生产的乒乓球被2012年伦敦奥运会指定为乒乓球比赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示：
抽取球数n 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品数m 45 92 194 470 954 1 902
优等品频率
(1)计算表中乒乓球优等品的频率；
(2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)
思维启迪 可以利用公式计算频率，在试验次数很大时，用频率来估计概率．
解 (1)依据公式f＝，计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0.900,0.920,0.970,
0.940,0.954,0.951.
(2)由(1)知，抽取的球 ( http: / / www.21cnjy.com )数n不同，计算得到的频率值不同，但随着抽取球数的增多，频率在常数0.950的附近摆动，所以质量检查为优等品的概率约为0.950.
思维升华 频率是个不确定 ( http: / / www.21cnjy.com )的数，在一定程度上频率可以反映事件发生的可能性大小，但无法从根本上刻画事件发生的可能性大小．但从大量重复试验中发现，随着试验次数的增多，事件发生的频率就会稳定于某一固定的值，该值就是概率．
某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,
160,160,200,140,110,160,220,140,160.
(1)完成如下的频率分布表：
近20年六月份降雨量频率分布表
降雨量 70 110 140 160 200 220
频率
(2)假定今年六月份的降雨量与近20年 ( http: / / www.21cnjy.com )六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．
解 (1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为
降雨量 70 110 140 160 200 220
频率
(2)由已知可得Y＝＋425，
故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)
＝P(Y<490或Y>530)＝P(X<130或X>210)
＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)
＝＋＋＝.
故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为.
题型三 互斥事件、对立事件的概率
例3 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
思维启迪 明确事件的特征、分析事件间的关系，根据互斥事件或对立事件的概率公式求解．
解 (1)P(A)＝，P(B)＝＝，
P(C)＝＝.
故事件A，B，C的概率分别为，，.
(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.
∵A、B、C两两互斥，
∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＝.
故1张奖券的中奖概率为.
(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，
∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－＝.
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.
思维升华 (1)解决此类问题，首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件，再选择概率公式进行计算．
(2)求复杂的互斥事件的概率一般有两种 ( http: / / www.21cnjy.com )方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()计算．
袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，黑球或黄球的概率是，绿球或黄球的概率也是.求从中任取一球，得到黑球、黄球和绿球的概率分别是多少？
解 从袋中任取一球，记事件“得到红 ( http: / / www.21cnjy.com )球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A，B，C，D，则事件A，B，C，D彼此互斥，所以有P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝，P(D＋C)＝P(D)＋P(C)＝，P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－＝，
解得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.
故从中任取一球，得到黑球、黄球和绿球的概率分别是，，.
用正难则反思想求互斥事件的概率
典例：(12分)(2012·湖南)某超市 ( http: / / www.21cnjy.com )为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.
一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上
顾客数(人) x 30 25 y 10
结算时间(分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)
思维启迪 若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用“正难则反”思想求解．
规范解答
解 (1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，
所以x＝15，y＝20.[2分]
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成 ( http: / / www.21cnjy.com )一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为
＝1.9(分钟)．[6分]
(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结 ( http: / / www.21cnjy.com )算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P(A1)＝＝，P(A2)＝＝.[9分]
P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－－＝.[11分]
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.[12分]
温馨提醒 (1)要准确理解题意，善于从图表信息中提炼数据关系，明确数字特征的含义．
(2)正确判定事件间的关系，善于将A转化为互斥事件的和或对立事件，切忌盲目代入概率加法公式．
易错提示：
(1)对统计表的信息不理解，错求x，y难以用样本平均数估计总体．
(2)不能正确地把事件A转化为几个互斥事件的和或转化为B＋C的对立事件，导致计算错误.
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方法与技巧
1． 对于给定的随机事件A，由 ( http: / / www.21cnjy.com )于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．
2． 从集合角度理解互斥和对立事件
从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指 ( http: / / www.21cnjy.com )由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
失误与防范
1． 正确认识互斥事件与对立事件的关系：对 ( http: / / www.21cnjy.com )立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
2． 需准确理解题意，特别留心“至多……”，“至少……”，“不少于……”等语句的含义．
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A组 专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1． 从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( )
A．至少有一个红球与都是红球
B．至少有一个红球与都是白球
C．至少有一个红球与至少有一个白球
D．恰有一个红球与恰有二个红球
答案 D
2． 从一箱产品中随机地抽取 ( http: / / www.21cnjy.com )一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为 ( )
A．0.7 B．0.65 C．0.35 D．0.3
答案 C
解析 事件“抽到的不是一等品”与事件A是对立事件，由于P(A)＝0.65，
所以由对立事件的概率公式得“抽到的不是一等品”的概率为P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.
3． 某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、 ( http: / / www.21cnjy.com )丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽验一只是正品(甲级)的概率为 ( )
A．0.95 B．0.97 C．0.92 D．0.08
答案 C
解析 记抽验的产品是甲级品为事件A，是 ( http: / / www.21cnjy.com )乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因而抽验的产品是正品(甲级)的概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92，故选C.
4． 在5张电话卡中，有3张移动卡和2张 ( http: / / www.21cnjy.com )联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是 ( )
A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡
C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡
答案 A
解析 至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A.
5． 甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 乙不输包含两种情况：一是两人和棋，二是乙获胜，故所求概率为＋＝.
二、填空题
6． 在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：
①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；
②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；
③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品．
其中________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件．
答案 ③ ② ①
7． 口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑 ( http: / / www.21cnjy.com )球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出白球的概率为0.28，若红球有21个，则黑球有________个．
答案 15
解析 1－0.42－0.28＝0.30,21÷0.42＝50，
50×0.30＝15.
8． 已知某运动员每次投篮命中的概率 ( http: / / www.21cnjy.com )都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________．
答案 0.25
解析 20组随机数中表示三次投篮恰好有 ( http: / / www.21cnjy.com )两次命中的是191,271,932,812,393，其频率为＝0.25，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.25.
三、解答题
9． 黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：
血型 A B AB O
该血型的人所占比/% 28 29 8 35
已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给 ( http: / / www.21cnjy.com )任一种血型的人，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，问：
(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？
(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？
解 (1)对任一人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的．
由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.
因为B，O型血可以输给B型血的人，故“可以输给B型血的人”为事件B′＋D′.
根据互斥事件的加法公式，有P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.
(2)方法一 由于A，AB型血不能 ( http: / / www.21cnjy.com )输给B型血的人，故“不能输给B型血的人”为事件A′＋C′，且P(A′＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.
方法二 因为事件“其血可以输给B型血的人”与事件“其血不能输给B型血的人”是对立事件，故由对立事件的概率公式，有P(A′＋C′)＝P()＝1－P(B′＋D′)＝1－0.64＝0.36.
10．对一批衬衣进行抽样检查，结果如表：
抽取件数n 50 100 200 500 600 700 800
次品件数m 0 2 12 27 27 35 40
次品率
(1)求次品出现的频率(次品率)；
(2)记“任取一件衬衣是次品”为事件A，求P(A)；
(3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换，销售1 000件衬衣，至少需进货多少件？
解 (1)次品率依次为0,0.02,0.06,0.054,0.045,0.05,0.05.
(2)由(1)知，出现次品的频率在0.05附近摆动，
故P(A)＝0.05.
(3)设进衬衣x件，
则x(1－0.05)≥1 000，
解得x≥1 053，
故至少需进货1 053件．
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
1． 甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件．那么 ( )
A．甲是乙的充分但不必要条件
B．甲是乙的必要但不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
答案 B
解析 根据互斥事件和对立事件的概念可知互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件．
2． 在一次随机试验中，彼此互斥的事 ( http: / / www.21cnjy.com )件A、B、C、D的概率分别是0.2、0.2、0.3、0.3，则下列说法正确的是 ( )
A．A＋B与C是互斥事件，也是对立事件
B．B＋C与D是互斥事件，也是对立事件
C．A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件
D．A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件
答案 D
解析 由于A，B，C，D彼此互斥，且A ( http: / / www.21cnjy.com )＋B＋C＋D是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的Venn图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．故选D.
3． 一只袋子中装有7个红玻 ( http: / / www.21cnjy.com )璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为，取得两个绿球的概率为，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．
答案
解析 (1)由于“取得两个 ( http: / / www.21cnjy.com )红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P＝＋＝.
(2)由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P(A)＝1－P(B)＝1－＝.
4. 某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分
别有39、32、33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体
情况如图所示．
现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是________，他属于不超过2个小组的概率是________．
答案
解析 “至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况，故他属于至少2个小组的概率为
P＝＝.
“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，其对立事件是“3个小组”．
故他属于不超过2个小组的概率是
P＝1－＝.
5. 如图所示茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，
其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概
率为________．
答案
解析 记其中被污损的数字为x，依题意得甲的 ( http: / / www.21cnjy.com )五次综合测评的平均成绩是(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，乙的五次综合测评的平均成绩是(80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x＋9)＝(442＋x)，令90>(442＋x)，解得x<8，所以x的可能取值是0～7，因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为＝.
6． 如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100
位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：
所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60
选择L1的人数 6 12 18 12 12
选择L2的人数 0 4 16 16 4
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时 ( http: / / www.21cnjy.com )间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
解 (1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，
∴用频率估计相应的概率为0.44.
(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，
故由调查结果得频率为
所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60
L1的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
L2的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1
(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时 ( http: / / www.21cnjy.com )，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，
P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，
∵P(A1)＞P(A2)，∴甲应选择L1.
同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，
P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，
∵P(B1)＜P(B2)，∴乙应选择L2.专题六 高考中的概率与统计问题
1． (2013·安徽)某班级有50名 ( http: / / www.21cnjy.com )学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是 ( )
A．这种抽样方法是一种分层抽样
B．这种抽样方法是一种系统抽样
C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数
答案 C
解析 男＝(86＋94＋88＋92＋90)＝90，
女＝(88＋93＋93＋88＋93)＝91，
s＝[(86－90)2＋(94－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2＋(90－90)2]＝8，
s＝[(88－91)2＋(93－91)2＋(93－91)2＋(88－91)2＋(93－91)2]＝6.
2． 已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于( )
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
答案 C
解析 ∵P(ξ<4)＝0.8，
∴P(ξ>4)＝0.2，
由题意知图象的对称轴为直线x＝2，
P(ξ<0)＝P(ξ>4)＝0.2，
∴P(0<ξ<4)＝1－P(ξ<0)－P(ξ>4)＝0.6.
∴P(0<ξ<2)＝P(0<ξ<4)＝0.3.
3． (2012·上海)设1 ( http: / / www.21cnjy.com )0≤x1A．D(ξ1)>D(ξ2)
B．D(ξ1)＝D(ξ2)
C．D(ξ1)D．D(ξ1)与D(ξ2)的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关
答案 A
解析 E(ξ1)＝0.2x1＋0.2x2＋0.2x3＋0.2x4＋0.2x5
＝0.2(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)．
E(ξ2)＝0.2×＋0.2×＋…＋0.2×
＝0.2(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)．
∴E(ξ1)＝E(ξ2)，记作，
∴D(ξ1)＝0.2[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x5－)2]
＝0.2[x＋x＋…＋x＋52－2(x1＋x2＋…＋x5)]
＝0.2(x＋x＋…＋x－52)．
同理D(ξ2)＝
0．2.
∵2<，…，2<.
∴2＋2＋…＋2∴D(ξ1)>D( ξ2)．
4． (2013·四川)节日前夕 ( http: / / www.21cnjy.com )，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串 ( http: / / www.21cnjy.com )彩灯第一次亮的时刻为x、y，x、y相互独立，由题意可知，如图所示．∴两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P(|x－y|≤2)＝＝＝＝.
5． (2012·重庆)某艺校在 ( http: / / www.21cnjy.com )一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)．
答案
解析 6节课随机安排，共有A＝720(种)方法．
课表上相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课，分三类：
第1类：文化课之间没有艺术课，有A·A＝6×24＝144(种)．
第2类：文化课之间有1节艺术课，有A·C·A·A＝6×3×2×6＝216(种)．
第3类：文化课之间有2节艺术课，有A·A·A＝6×6×2＝72(种)．
共有144＋216＋72＝432(种)．
由古典概型概率公式得P＝＝.
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题型一 求事件的概率
例1 某项专业技术认证考试按科目A和科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书，现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为，科目B每次考试成绩合格的概率均为，假设各次考试成绩合格与否互不影响．
(1)求他不需要补考就可获得证书的概率．
(2)在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，求他分别参加2次、3次、4次考试的概率．
思维启迪 准确地分析事件类型，正确地运用概率公式，是解决这类问题的关键．
解 设“科目A第一次考试合格 ( http: / / www.21cnjy.com )”为事件A1，“科目A补考合格”为事件A2，“科目B第一次考试合格”为事件B1，“科目B补考合格”为事件B2，则A1，A2，B1，B2相互独立．
(1)设“不需要补考就可获得证书”为事件M，
则P(M)＝P(A1B1)＝P(A1)P(B1)＝×＝.
(2)设“参加考试次数为2次、3次、4次”
分别为事件E，C，D.则P(E)＝P(A1B1＋ )
＝P(A1)P(B1)＋P()P()＝×＋×＝，
P(C)＝P(A1B2＋A1 ＋A2B1)
＝P(A1)P()P(B2)＋P(A1)P()P()＋P()P(A2)·P(B1)
＝××＋××＋××＝，
P(D)＝P(A2B2＋A2 )
＝P()P(A2)P()P(B2)＋P()P(A2)P()P()
＝×××＋×××＝.
(另解：P(D)＝1－P(E∪C)＝1－P(E)－P(C)＝1－－＝)．
思维升华 (1)一个复杂事件若正 ( http: / / www.21cnjy.com )面情况较多，反面情况较少，则一般利用对立事件进行求解．尤其是涉及到“至多”、“至少”等问题时常常用这种方法求解．
(2)求复杂事件的概率，要正确分析复杂 ( http: / / www.21cnjy.com )事件的构成，看复杂事件是能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解．
某校举行环保知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答题连续两次答错的概率为(已知甲回答每个问题的正确率相同，并且相互之间没有影响)．
(1)求选手甲回答一个问题的正确率；
(2)求选手甲可进入决赛的概率．
解 (1)设选手甲答对一个问题的正确率为P1，
则(1－P1)2＝，
故选手甲答对一个问题的正确率P1＝.
(2)选手甲答了3道题目进入决赛的概率为()3＝；
选手甲答了4道题目进入决赛的概率为C()2··＝；
选手甲答了5道题目进入决赛的概率为C()2·()2·＝.
∴选手甲可以进入决赛的概率P＝＋＋＝.
题型二 求离散型随机变量的均值与方差
例2 李先生家在H小区，他在C科技园区工作，从家开车到公司上班有L1，L2两条路线(如图)，路线L1上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；路线L2上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，.
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(1)若走路线L1，求最多遇到1次红灯的概率；
(2)若走路线L2，求遇到红灯次数X的数学期望；
(3)按照“平均遇到红灯的次数最少”的要求，请你帮助李先生分析上述两条路线中，选择哪条路线上班更好些，并说明理由．
思维启迪 走L1或L2遇到红灯的次数都是独立重复试验问题，可结合二项分布求其概率，选何条路线是要利用均值的大小判定．注意三个转化：
(1)转化为P3(1)＋P3(0)的值；
(2)X可取0,1,2转化为独立事件的积事件的概率；
(3)转化为比较E(X)、E(Y)的大小．
解 (1)设“走路线L1最多遇到1次红灯”为事件A，
则P(A)＝C×3＋C××2＝.
所以走路线L1最多遇到1次红灯的概率为.
(2)依题意，知X的可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝×＝，
P(X＝1)＝×＋×＝，
P(X＝2)＝×＝.
随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
所以E(X)＝×0＋×1＋×2＝.
(3)设选择路线L1遇到红灯的次数为Y，随机变量Y服从二项分布，即Y～B，所以E(Y)＝3×＝.
因为E(X)思维升华 注意此题中独立重复试验与独立事件的区别，如走L1是独立重复试验，而走L2是一般地独立事件问题，不可按二项分布求均值．
解决此类题目的关键是将实际问题转化为数学问题，正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，求得该事件发生的概率．
(2012·福建)受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：
品牌 甲 乙
首次出现故障时间x(年) 02 02
轿车数量(辆) 2 3 45 5 45
每辆利润(万元) 1 2 3 1.8 2.9
将频率视为概率，解答下列问题：
(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率．
(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列．
(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当 ( http: / / www.21cnjy.com )，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．
解 (1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A)＝＝.
(2)依题意得，X1的分布列为
X1 1 2 3
P
X2的分布列为
X2 1.8 2.9
P
(3)由(2)得E(X1)＝1×＋2×＋3×
＝＝2.86(万元)，
E(X2)＝1.8×＋2.9×＝2.79(万元)．
因为E(X1)>E(X2)，所以应生产甲品牌轿车．
题型三 概率与统计的综合应用
例3 (2013·课标全国Ⅱ)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位： t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
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(1)将T表示为X的函数；
(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；
(3)在直方图的需求量分组中， ( http: / / www.21cnjy.com )以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)．求T的数学期望．
思维启迪 利润T是由两部分构成的，一个是获得利润，另一个是亏损，是否亏损与x的取值范围有关，因此，T关于x的函数要用分段函数表示．
解 (1)当X∈[100,130)时，
T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000.
当X∈[130,150]时，T＝500×130＝65 000.
所以T＝
(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.
由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.
(3)依题意可得T的分布列为
T 45 000 53 000 61 000 65 000
P 0.1 0.2 0.3 0.4
所以E(T)＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400.
思维升华 概率与统计作为考查考 ( http: / / www.21cnjy.com )生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．统计以考查抽样方法、样本的频率分布、样本特征数的计算为主，概率以考查概率计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来，只有这样才能有效地解决问题．
以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)如果X＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；
(2)如果X＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望．
(注：方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中为x1，x2，…，xn的平均数)
解 (1)当X＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是8,8,9,10，所以平均数
＝＝；
方差
s2＝[(8－)2＋(8－)2＋(9－)2＋(10－)2]＝.
(2)当X＝9时，由茎叶图可知，甲组同学的植 ( http: / / www.21cnjy.com )树棵数是9,9,11,11；乙组同学的植树棵数是9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4＝16(种)可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P(Y＝17)＝＝.
同理可得P(Y＝18)＝，P(Y＝19)＝，P(Y＝20)＝，P(Y＝21)＝.
所以随机变量Y的分布列为
Y 17 18 19 20 21
P
E(Y)＝17×＋18×＋19×＋20×＋21×＝19.
(时间：80分钟)
1． (2013·广东)某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)根据茎叶图计算样本均值；
(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？
(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．
解 (1)样本平均值为
＝＝22.
(2)由(1)知样本中优秀工人占的比例为＝，
故推断该车间12名工人中有12×＝4名优秀工人．
(3)设事件A：“从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”，则P(A)＝＝.
2． 在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件，求：
(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；
(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．
解 (1)由于从10件产品中任取3件的结果 ( http: / / www.21cnjy.com )数为C，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为CC(k＝0,1,2,3)，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3.
所以随机变量X的分布列是
X 0 1 2 3
P
X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(2)设“取出的3件产品 ( http: / / www.21cnjy.com )中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A3，由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1∪A2∪A3，而P(A1)＝＝.P(A2)＝P(X＝2)＝.P(A3)＝P(X＝3)＝，所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.
3． 甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯 ( http: / / www.21cnjy.com )关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功．已知在6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是.
(1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；
(2)设甲答对题目的个数为ξ，求ξ的分布列．
解 (1)设甲、乙闯关成功分别为事件A，B，则P()＝＝＝，
P()＝(1－)3＋C(1－)2()1
＝＋＝，
则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是
1－P( )＝1－P()P()＝1－×＝.
(2)由题意知ξ的可能取值是1,2.
P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，
则ξ的分布列为
ξ 1 2
P
4. 如图，是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．
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(1)求直方图中x的值；
(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看做有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望．
解 (1)依题意及频率分布直方图知1×(0.02＋0.1＋x＋0.37＋0.39)＝1，解得x＝0.12.
(2)由题意知，X～B(3,0.1)．
因此P(X＝0)＝C×0.93＝0.729，P(X＝1)＝C×0.1×0.92＝0.243，P(X＝2)＝C×0.12×0.9＝0.027，
P(X＝3)＝C×0.13＝0.001.
故随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.729 0.243 0.027 0.001
X的数学期望为E(X)＝3×0.1＝0.3.
5． 某市公租房的房源位于A、B ( http: / / www.21cnjy.com )、C三个片区．设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：
(1)恰有2人申请A片区房源的概率；
(2)申请的房源所在片区的个数ξ的分布列与期望．
解 (1)方法一 所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A片区房源的申请方式有C·22种，从而恰有2人申请A片区房源的概率为＝.
方法二 设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验．
记“申请A片区房源”为事件A，则P(A)＝.
从而，由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，恰有2人申请A片区房源的概率为
P4(2)＝C22＝.
(2)ξ的所有可能值为1,2,3.又P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝
，
P(ξ＝3)＝＝.
综上知，ξ的分布列为
ξ 1 2 3
P
从而有E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.
6． 一次考试共有12道 ( http: / / www.21cnjy.com )选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的．评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”．某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中：有两道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜．请求出该考生：
(1)得60分的概率；
(2)所得分数ξ的分布列和数学期望．
解 (1)设“可判断两个选项是错误的 ( http: / / www.21cnjy.com )”两道题之一选对为事件A，“有一道题可以判断一个选项是错误的”选对为事件B，“有一道题不理解题意”选对为事件C，
∴P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，
∴得60分的概率为P＝×××＝.
(2)ξ可能的取值为40,45,50,55,60.
P(ξ＝40)＝×××＝；
P(ξ＝45)＝C××××＋×××＋×××＝；
P(ξ＝50)＝×××＋C××××＋C××××＋×××＝；
P(ξ＝55)＝C××××＋×××＋×××＝；
P(ξ＝60)＝×××＝.
ξ的分布列为
ξ 40 45 50 55 60
P(ξ)
E(ξ)＝40×＋45×＋50×＋55×＋60×＝.