§9.6 双曲线
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
1． 双曲线的概念
平面内与两个定点F1，F ( http: / / www.21cnjy.com )2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0：
(1)当a
(2)当a＝c时，P点的轨迹是两条射线；
(3)当a>c时，P点不存在．
2． 双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A ( http: / / www.21cnjy.com )2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a、b、c的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．
( × )
(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线． ( × )
(3)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.
( √ )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于. ( √ )
(5)若双曲线－＝1(a>0 ( http: / / www.21cnjy.com )，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)． ( √ )
2． 若双曲线－＝1 (a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为 ( )
A. B．5 C. D．2
答案 A
解析 焦点(c,0)到渐近线y＝x的距离为＝2a，解得b＝2a，又a2＋b2＝c2，
∴5a2＝c2，
∴离心率e＝＝.
3． (2013·福建)双曲线－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于 ( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 双曲线的顶点(2,0)到渐近线y＝±x的距离d＝＝.
4． (2012·天津)已知双曲线C1 ( http: / / www.21cnjy.com )：－＝1(a>0，b>0)与双曲线C2：－＝1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(，0)，则a＝________，b＝________.
答案 1 2
解析 与双曲线－＝1有共同渐近线的双曲线的方程可设为－＝λ，即－＝1.
由题意知c＝，则4λ＋16λ＝5 λ＝，则a2＝1，b2＝4.又a>0，b>0，故a＝1，b＝2.
5． (2012·辽宁)已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若
PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．
答案 2
解析 设P在双曲线的右支上，|PF2|＝x(x>0)，|PF1|＝2＋x，因为PF1⊥PF2，所以(x＋2)2＋x2＝(2c)2＝8，
所以x＝－1，x＋2＝＋1，
所以|PF2|＋|PF1|＝2.
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
题型一 双曲线的定义及标准方程
例1 (1)已知双曲线－＝1 (a>0，b>0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．
(2)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程为__________．
(3)已知圆C1：(x＋3)2＋ ( http: / / www.21cnjy.com )y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．
思维启迪 设双曲线方程为－＝1，求双曲线方程，即求a、b，为此需要关于a、b的两个方程，由题意易得关于a、b的两个方程；也可根据双曲线的定义直接确定a、b、c；根据双曲线的定义求轨迹方程．(注意条件)
答案 (1)－＝1 (2)－＝1
(3)x2－＝1(x≤－1)
解析 (1)椭圆＋＝1的焦点坐标为 ( http: / / www.21cnjy.com )F1(－，0)，F2(，0)，离心率为e＝.由于双曲线－＝1与椭圆＋＝1有相同的焦点，因此a2＋b2＝7.
又双曲线的离心率e＝＝，所以＝，
所以a＝2，b2＝c2－a2＝3，故双曲线的方程为－＝1.
(2)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝k，将点(2，－2)代入得k＝－(－2)2＝－2.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(3)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件，
得|MC1|－|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|，
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，
所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于|C1C2|.
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，
其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
思维升华 求双曲线的标准方程的基本方 ( http: / / www.21cnjy.com )法是定义法和待定系数法．待定系数法具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为－＝λ (λ≠0)，再由条件求出λ的值即可．利用定义时，要特别注意条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支．
(1)(2012·湖南)已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为 ( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
(2)设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为 ( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案 (1)A (2)A
解析 (1)根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解．
∵－＝1的焦距为10，∴c＝5＝.①
又双曲线渐近线方程为y＝±x，且P(2,1)在渐近线上，
∴＝1，即a＝2b.②
由①②解得a＝2，b＝，则C的方程为－＝1，故应选A.
(2)由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(－5,0)，F2(5,0)，设曲线C2上的一点P，则||PF1|－|PF2||＝8.
由双曲线的定义知：a＝4，b＝3.
故曲线C2的标准方程为－＝1.
题型二 双曲线的几何性质
例2 (1)(2013·浙江)如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的
公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边
形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是 )
A. B. C. D.
(2)若点O和点F(－2,0 ( http: / / www.21cnjy.com ))分别为双曲线－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为 ( )
A．[3－2，＋∞) B．[3＋2，＋∞)
C．[－，＋∞) D．[，＋∞)
思维启迪 (1)求圆锥曲线的离心率e，可以求出a，c的关系式，进而求出e.
(2)在圆锥曲线中求某一量的值或范围，一定要注意圆锥曲线本身的x，y的取值范围．
答案 (1)D (2)B
解析 (1)|F1F2|＝2.设双曲线的方程为－＝1.
∵|AF2|＋|AF1|＝4，|AF2|－|AF1|＝2a，
∴|AF2|＝2＋a，|AF1|＝2－a.
在Rt△F1AF2中，∠F1AF2＝90°，
∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，
即(2－a)2＋(2＋a)2＝(2)2，
∴a＝，∴e＝＝＝.故选D.
(2)由条件知a2＋1＝22＝4，∴a2＝3，
∴双曲线方程为－y2＝1，
设P点坐标为(x，y)，则＝(x，y)，＝(x＋2，y)，
∵y2＝－1，
∴·＝x2＋2x＋y2＝x2＋2x＋－1
＝x2＋2x－1＝(x＋)2－.
又∵x≥(P为右支上任意一点)，
∴·≥3＋2.故选B.
思维升华 在研究双曲线的性质时，实半轴、虚 ( http: / / www.21cnjy.com )半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多．由于e＝是一个比值，故只需根据条件得到关于a、b、c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形求e，并且需注意e>1.同时注意双曲线方程中x，y的范围问题．
(1)(2013·课标全国Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为 ( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
(2)过双曲线－＝1(a>0，b>0) ( http: / / www.21cnjy.com )的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点A，与另一条渐近线交于点B，若＝2，则此双曲线的离心率为 ( )
A. B. C．2 D.
答案 (1)C (2)C
解析 (1)由e＝＝知，a＝2k，c＝k(k∈R＋)，
由b2＝c2－a2＝k2知b＝k.
所以＝.
即渐近线方程为y＝±x.故选C.
(2)如图，∵＝2，
∴A为线段BF的中点，
∴∠2＝∠3.
又∠1＝∠2，∴∠2＝60°，
∴＝tan 60°＝，
∴e2＝1＋()2＝4，∴e＝2.
题型三 直线与双曲线的位置关系
例3 已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.
(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．
思维启迪 本题主要考查直线与双曲线的位置关系，解题关键是联立方程用根与系数的关系求解．
解 (1)双曲线C与直线l有两个不同的交点，
则方程组有两个不同的实数根，
整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.
∴
解得－双曲线C与直线l有两个不同的交点时，k的取值范围是(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)．
(2)设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直线l与y轴交于点D(0，－1)，
由(1)知，C与l联立的方程为(1－k2)x2＋2kx－2＝0.
∴
当A，B在双曲线的一支上且|x1|>|x2|时，
S△OAB＝S△OAD－S△OBD＝(|x1|－|x2|)＝|x1－x2|；
当A，B在双曲线的两支上且x1>x2时，
S△OAB＝S△ODA＋S△OBD＝(|x1|＋|x2|)＝|x1－x2|.
∴S△OAB＝|x1－x2|＝，∴(x1－x2)2＝(2)2，
即()2＋＝8，解得k＝0或k＝±.
又∵－∴当k＝0或k＝±时，△AOB的面积为.
思维升华 (1)研究直线与双曲线位置关系 ( http: / / www.21cnjy.com )问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．
(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验．
已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围；
(3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值范围．
解 (1)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)．
由已知得：a＝，c＝2，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，
∴双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)设A(xA，yA)、B(xB，yB)，
将y＝kx＋代入－y2＝1，
得，(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由题意知解得∴当(3)由(2)得：xA＋xB＝，
∴yA＋yB＝(kxA＋)＋(kxB＋)
＝k(xA＋xB)＋2＝.
∴AB的中点P的坐标为(，)．
设直线l0的方程为y＝－x＋m，
将P点坐标代入直线l0的方程，得m＝.
∵∴m<－2.∴m的取值范围为(－∞，－2)．
忽视“判别式”致误
典例：(12分)已知双曲线x2－＝1，过点P(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于A、B两点，且点P是线段AB的中点？
易错分析 由于“判别式”是判 ( http: / / www.21cnjy.com )断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑判别式，致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑判别式，导致解题错误．
规范解答
解 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，且线段AB的中点为(x0，y0)，
若直线l的斜率不存在，显然不符合题意．[2分]
设经过点P的直线l的方程为y－1＝k(x－1)，
即y＝kx＋1－k.[3分]
由得(2－k2)x2－2k(1－k)x－(1－k)2－2＝0 (2－k2≠0)．① [6分]
∴x0＝＝.
由题意，得＝1，解得k＝2.[8分]
当k＝2时，方程①成为2x2－4x＋3＝0.
Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．[11分]
∴不能作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P(1,1)是线段AB的中点．[12分]
温馨提醒 (1)本题是以 ( http: / / www.21cnjy.com )双曲线为背景，探究是否存在符合条件的直线，题目难度不大，思路也很清晰，但结论却不一定正确．错误原因是忽视对直线与双曲线是否相交的判断，从而导致错误，因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的．
(2)本题属探索性问题．若存在，可用点差法求出AB的斜率，进而求方程；也可以设斜率k，利用待定系数法求方程．
(3)求得的方程是否符合要求，一定要注意检验.
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
方法与技巧
1． 与双曲线－＝1 (a>0，b>0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为－＝t (t≠0)．
2． 已知双曲线的标准方 ( http: / / www.21cnjy.com )程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程－＝0就是双曲线－＝1 (a>0，b>0)的两条渐近线方程．
失误与防范
1． 区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c大小关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.
2． 双曲线的离心率e∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e∈(0,1)．
3． 双曲线－＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±x，－＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±x.
4． 若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况．
5． 直线与双曲线交于一点时，不一定相切， ( http: / / www.21cnjy.com )例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
A组 专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1． (2013·北京)若双曲线－＝1的离心率为，则其渐近线方程为 ( )
A．y＝±2x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
答案 B
解析 由e＝，知c＝a，得b＝a.
∴渐近线方程为y＝±x，y＝±x.
2． (2013·湖北)已知0＜θ< ，则双曲线C1：－＝1与C2：－＝1的
( )
A．实轴长相等 B．虚轴长相等
C．焦距相等 D．离心率相等
答案 D
解析 双曲线C1：e＝＝，
双曲线C2：e＝＝1＋tan2θ＝，
∴C1，C2离心率相等．
3． 设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C ( http: / / www.21cnjy.com )的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为 ( )
A. B. C．2 D．3
答案 B
解析 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l的方程为x＝c或x＝－c，代入－＝1得y2＝b2(－1)＝，∴y＝±，故|AB|＝，依题意＝4a，∴＝2，∴＝e2－1＝2，∴e＝.
4． 以椭圆＋＝1的右焦点为圆心，且与双曲线－＝1的渐近线相切的圆的方程是
( )
A．x2＋y2－10x＋9＝0 B．x2＋y2－10x－9＝0
C．x2＋y2＋10x＋9＝0 D．x2＋y2＋10x－9＝0
答案 A
解析 由于右焦点(5,0)到渐近线4x－3y＝0的距离d＝＝4，
所以所求的圆是圆心坐标为(5,0)，半径为4的圆．即圆的方程为x2＋y2－10x＋9＝0.
5． 已知点F是双曲线－＝1(a>0， ( http: / / www.21cnjy.com )b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是 ( )
A．(1，＋∞) B．(1,2)
C．(1,1＋) D．(2,1＋)
答案 B
解析 由题意易知点F的坐标为(－c,0)，A(－c，)，B(－c，－)，E(a,0)，
因为△ABE是锐角三角形，所以·>0，
即·＝(－c－a，)·(－c－a，－)>0，
整理得3e2＋2e>e4，∴e(e3－3e－3＋1)<0，
∴e(e＋1)2(e－2)<0，解得e∈(0,2)，又e>1，
∴e∈(1,2)，故选B.
二、填空题
6． 已知双曲线的渐近线方程为x±2y＝0，且双曲线过点M(4，)，则双曲线的方程为________．
答案 －y2＝1
解析 ∵双曲线过点M(4，)，M在y＝下方，
∴双曲线焦点在x轴上，
设双曲线方程为－＝1，又＝，
因此设a＝2k，b＝k(k>0)，∴－＝1，
代入M(4，)解得k＝1，a＝2，b＝1，
∴方程为－y2＝1.
7． 已知双曲线－＝1的离心率是，则n＝________.
答案 4
解析 根据双曲线方程得n(12－n)>0，∴0∴a2＝n，b2＝12－n，c2＝a2＋b2＝12，
则双曲线的离心率e＝＝＝，∴n＝4.
8． (2013·湖南)设F1，F2是双 ( http: / / www.21cnjy.com )曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a且△PF1F2的最小内角为30°，则双曲线C的离心率为________．
答案
解析 不妨设|PF1|>|PF2|，
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
则|PF1|－|PF2|＝2a，
又∵|PF1|＋|PF2|＝6a，
∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.
又在△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，
由正弦定理得，∠PF2F1＝90°，∴|F1F2|＝2a，
∴双曲线C的离心率e＝＝.
三、解答题
9． 已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．
(1)求双曲线方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；
(3)在(2)的条件下求△F1MF2的面积．
(1)解 ∵离心率e＝，∴双曲线为等轴双曲线，
可设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，
则由点(4，－)在双曲线上，
可得λ＝42－(－)2＝6，
∴双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)证明 ∵点M(3，m)在双曲线上，
∴32－m2＝6，∴m2＝3，
又双曲线x2－y2＝6的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)，
∴·＝(－2－3，－m)·(2－3，－m)
＝(－3)2－(2)2＋m2＝9－12＋3＝0，
∴MF1⊥MF2，∴点M在以F1F2为直径的圆上．
(3)解 ＝×4×|m|＝6.
10．直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A、B.
(1)求实数k的取值范围；
(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
解 (1)将直线l的方程y＝kx＋1代入双曲线C的方程
2x2－y2＝1后，整理得(k2－2)x2＋2kx＋2＝0.①
依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，
故
解得k的取值范围是－2(2)设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，
则由①式得②
假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0)．
则由FA⊥FB得：(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0.
即(x1－c)(x2－c)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0.
整理得(k2＋1)x1x2＋(k－c)(x1＋x2)＋c2＋1＝0.③
把②式及c＝代入③式化简得5k2＋2k－6＝0.
解得k＝－或k＝ (－2，－)(舍去)，
可知存在k＝－使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点．
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
1． 设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 ( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y＝x，而kBF＝－，
∴·(－)＝－1，
整理得b2＝ac.
∴c2－a2－ac＝0，两边同除以a2，得e2－e－1＝0，
解得e＝或e＝(舍去)，故选D.
2． (2013·重庆)设双曲线C的中 ( http: / / www.21cnjy.com )心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1，B1和A2，B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 由双曲线的对称性知，满足题意的这一对 ( http: / / www.21cnjy.com )直线也关于x轴(或y轴)对称．又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30°且小于等于60°，即tan 30°<≤tan 60°，∴<≤3.又e2＝()2＝＝1＋，∴3． 已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点P在双曲线上，则双曲线的离心率是 ( )
A．4＋2 B.－1 C. D.＋1
答案 D
解析 因为MF1的中点P在双曲线上，|PF2|－|PF1|＝2a，
△MF1F2为正三角形，边长都是2c，所以c－c＝2a，
所以e＝＝＝＋1，故选D.
4． (2013·辽宁)已知F为 ( http: / / www.21cnjy.com )双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．
答案 44
解析 由双曲线C的方程，知a＝3，b＝4，c＝5，
∴点A(5,0)是双曲线C的右焦点，
且|PQ|＝|QA|＋|PA|＝4b＝16，
由双曲线定义，得|PF|－|PA|＝6，|QF|－|QA|＝6.
∴|PF|＋|QF|＝12＋|PA|＋|QA|＝28，
因此△PQF的周长为
|PF|＋|QF|＋|PQ|＝28＋16＝44.
5． 已知双曲线－＝1 (a>0，b>0 ( http: / / www.21cnjy.com ))的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为________．
答案
解析 由定义，知|PF1|－|PF2|＝2a.
又|PF1|＝4|PF2|，∴|PF1|＝a，|PF2|＝a.
在△PF1F2中，由余弦定理，
得cos∠F1PF2＝＝－e2.
要求e的最大值，即求cos∠F1PF2的最小值，
∴当cos∠F1PF2＝－1时，得e＝，
即e的最大值为.
6． 已知离心率为的椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为2.
(1)求椭圆及双曲线的方程；
(2)设椭圆的左、右顶点分别为A、 ( http: / / www.21cnjy.com )B，在第二象限内取双曲线上一点P，连接BP交椭圆于点M，连接PA并延长交椭圆于点N，若＝，求四边形ANBM的面积．
解 (1)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
则根据题意知双曲线的方程为－＝1
且满足
解方程组得
∴椭圆的方程为＋＝1，双曲线的方程为－＝1.
(2)由(1)得A(－5,0)，B(5,0)，|AB|＝10，
设M(x0，y0)，则由＝得M为BP的中点，
所以P点坐标为(2x0－5,2y0)．
将M、P坐标代入椭圆和双曲线方程，
得
消去y0，得2x－5x0－25＝0.
解之，得x0＝－或x0＝5(舍去)．∴y0＝.
由此可得M(－，)，
∴P(－10,3)．
当P为(－10,3)时，
直线PA的方程是y＝(x＋5)，
即y＝－(x＋5)，代入＋＝1，
得2x2＋15x＋25＝0.
所以x＝－或－5(舍去)，
∴xN＝－，xN＝xM，MN⊥x轴．
∴S四边形ANBM＝2S△AMB＝2××10×＝15.HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
§9.1 直线的方程
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
1． 平面直角坐标系中的基本公式
(1)两点间的距离公式：
已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则d(A，B)＝.
(2)中点公式：
已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，点M(x，y)是线段AB的中点，则x＝，y＝.
2． 直线的倾斜角
(1)定义：x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．
(2)倾斜角的范围：[0°，180°)．
3． 直线的斜率
(1)定义：直线y＝kx＋b中的系数k叫做这条直线的斜率，垂直于x轴的直线斜率不存在；
(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B ( http: / / www.21cnjy.com )(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝ (x1≠x2)．若直线的倾斜角为θ (θ≠)，则k＝tan_θ.
4． 直线方程的形式及适用条件
名称 几何条件 方程 局限性
点斜式 过点(x0，y0)，斜率为k y－y0＝k(x－x0) 不含垂直于x轴的直线
斜截式 斜率为k，纵截距为b y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 过两点(x1，y1)，(x2，y2)，(x1≠x2，y1≠y2) ＝ (x2≠x1，y2≠y1) 不包括垂直于坐标轴的直线
截距式 在x轴、y轴上的截距分别为a，b (a，b≠0) ＋＝1 不包括垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0 平面直角坐标系内的直线都适用
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置． ( √ )
(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率． ( × )
(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大． ( × )
(4)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α. ( × )
(5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等． ( × )
(6)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示． ( × )
(7)不经过原点的直线都可以用＋＝1表示． ( × )
(8)经过任意两个不同的点P1(x1，y1 ( http: / / www.21cnjy.com ))，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示． ( √ )
2． 如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过 ( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 C
解析 由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－>0，在y轴上的截距－>0，故直线经过一、二、四象限，不经过第三象限．
3． 若直线斜率的绝对值等于1，则直线的倾斜角为_____________．
答案 45°或135°
解析 由|k|＝|tan α|＝1，知：k＝tan α＝1或k＝tan α＝－1.又倾斜角α∈[0°，180°)，∴α＝45°或135°.
4． 直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角的取值范围为_________．
答案 ∪
解析 直线l的斜率k＝＝1－m2≤1.
若l的倾斜角为α，则tan α≤1.
又∵α∈[0，π)，∴α∈∪.
5． 过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________．
答案 x＋y＋1＝0或4x＋3y＝0
解析 ①若直线过原点，则k＝－，
∴y＝－x，即4x＋3y＝0.
②若直线不过原点．设＋＝1，即x＋y＝a.
∴a＝3＋(－4)＝－1，∴x＋y＋1＝0.
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
题型一 直线的倾斜角与斜率
例1 经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角α的取值范围分别为________，________.
思维启迪 本题考查斜率求解公式以及k与α的函数关系，解题关键是在求倾斜角时要对其分锐角、钝角的讨论．
答案 [－1,1] [0，]∪[，π)
解析 如图所示，结合图形：为使l与线段AB ( http: / / www.21cnjy.com )总有公共点，则kPA≤k≤kPB，而kPB>0，kPA<0，故k<0时，倾斜角α为钝角，k＝0时，α＝0，k>0时，α为锐角．
又kPA＝＝－1，
kPB＝＝1，∴－1≤k≤1.
又当0≤k≤1时，0≤α≤；
当－1≤k<0时，≤α<π.
故倾斜角α的取值范围为α∈[0，]∪[，π)．
思维升华 直线倾斜角的范围 ( http: / / www.21cnjy.com )是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．由正切函数图象可以看出当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0)．
(1)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为 ( )
A. B．－ C．－ D.
(2)直线xcos α＋y＋2＝0的倾斜角的范围是 ( )
A.∪ B.∪
C. D.
答案 (1)B (2)B
解析 (1)依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，
则有，解得a＝－5，b＝－3，
从而可知直线l的斜率为＝－.
(2)由xcos α＋y＋2＝0得直线斜率k＝－cos α.
∵－1≤cos α≤1，∴－≤k≤.
设直线的倾斜角为θ，则－≤tan θ≤.
结合正切函数在∪上的图象可知，
0≤θ≤或≤θ<π.
题型二 求直线的方程
例2 根据所给条件求直线的方程：
(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为；
(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；
(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.
思维启迪 本题考查直线方程的三种形式，解题关键在于设出正确的方程形式．
解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．
设倾斜角为α，则sin α＝(0<α<π)，
从而cos α＝±，则k＝tan α＝±.
故所求直线方程为y＝±(x＋4)．
即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.
(2)由题设知截距不为0，设直线方程为＋＝1，
又直线过点(－3,4)，
从而＋＝1，解得a＝－4或a＝9.
故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.
(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0；
当斜率存在时，设其为k，
则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，
即kx－y＋(10－5k)＝0.
由点线距离公式，得＝5，解得k＝.
故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.
综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.
思维升华 在求直线方程时，应先选择适当 ( http: / / www.21cnjy.com )的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．
求适合下列条件的直线方程：
(1)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；
(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍．
解 (1)设直线l在x、y轴上的截距均为a，
若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，
∴l的方程为y＝x，即2x－3y＝0.
若a≠0，则设l的方程为＋＝1，
∵l过点(3,2)，∴＋＝1，
∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0.
综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
(2)由已知：设直线y＝3x的倾斜角为α ，则所求直线的倾斜角为2α.
∵tan α＝3，∴tan 2α＝＝－.
又直线经过点A(－1，－3)，
因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，
即3x＋4y＋15＝0.
题型三 直线方程的综合应用
例3 已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B
两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．
思维启迪 先求出AB所在的直线方程，再求出A，B两点的坐标，
表示出△ABO的面积，然后利用相关的数学知识求最值．
解 方法一 设直线方程为＋＝1 (a>0，b>0)，
点P(3,2)代入得＋＝1≥2 ，得ab≥24，
从而S△AOB＝ab≥12，当且仅当＝时等号成立，这时k＝－＝－，从而所求直线方程为2x＋3y－12＝0.
方法二 依题意知，直线l的斜率k存在且k<0.
则直线l的方程为y－2＝k(x－3) (k<0)，
且有A，B(0,2－3k)，
∴S△ABO＝(2－3k)
＝
≥
＝×(12＋12)＝12.
当且仅当－9k＝，即k＝－时，等号成立．
即△ABO的面积的最小值为12.
故所求直线的方程为2x＋3y－12＝0.
思维升华 直线方程综合问题的两大类型及解法
(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中的x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决．
(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、均值不等式等)来解决．
已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
(1)证明 直线l的方程是k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令，解得，
∴无论k取何值，直线总经过定点(－2,1)．
(2)解 由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有，解之得k>0；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k≥0.
(3)解 由l的方程，得A，B(0,1＋2k)．
依题意得解得k>0.
∵S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|
＝·＝
≥×(2×2＋4)＝4，
“＝”成立的条件是k>0且4k＝，即k＝，
∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
分类讨论思想在求直线方程中的应用
典例：(5分)与点M(4,3)的距离为5，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________．
思维启迪 解答本题应抓住直线在两坐标轴上的截距相等，分类设出直线的方程求解．
解析 当截距不为0时，设所求直线方程为＋＝1，
即x＋y－a＝0，
∵点M(4,3)与所求直线的距离为5，∴＝5，
∴a＝7±5.
∴所求直线方程为x＋y－7－5＝0或x＋y－7＋5＝0.
当截距为0时，设所求直线方程为y＝kx，
即kx－y＝0.
同理可得＝5，∴k＝－.
∴所求直线方程为y＝－x，即4x＋3y＝0.
综上所述，所求直线方程为
x＋y－7－5＝0或x＋y－7＋5＝0或4x＋3y＝0.
答案 x＋y－7－5＝0或x＋y－7＋5＝0或4x＋3y＝0
温馨提醒 在选用直线方程时常易忽视的情况有
(1)选用点斜式与斜截式时忽视斜率不存在的情况；
(2)选用截距式时，忽视截距为零的情况；
(3)选用两点式时忽视与坐标轴垂直的情况.
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
方法与技巧
1． 要正确理解倾斜角的定义，明确 ( http: / / www.21cnjy.com )倾斜角的取值范围，熟记斜率公式：k＝，该公式与两点顺序无关，已知两点坐标(x1≠x2)时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率．当x1＝x2，y1≠y2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.
2． 求斜率可用k＝tan α(α ( http: / / www.21cnjy.com )≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”．
3． 求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法．
失误与防范
1． 求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．
2． 根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性．
3． 利用一般式方程Ax＋By＋C＝0求它的方向向量为(－B，A)不可记错，但同时注意方向向量是不唯一的．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
A组 专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1． 如图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则( )
A．k1C．k3答案 D
解析 直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1<0 ( http: / / www.21cnjy.com )，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，所以02． 已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是 ( )
A．1 B．－1 C．－2或－1 D．－2或1
答案 D
解析 由题意得a＋2＝，∴a＝－2或a＝1.
3． 已知直线PQ的斜率为－，将直线绕点P顺时针旋转60°所得的直线的斜率为( )
A. B．－ C．0 D．1＋
答案 A
解析 直线PQ的斜率为－，则直线PQ的倾斜角为120°，所求直线的倾斜角为60°，tan 60°＝.
4． 两条直线l1：－＝1和l2：－＝1在同一直角坐标系中的图象可以是 ( )
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
答案 A
解析 化为截距式＋＝1，＋＝1.
假定l1，判断a，b，确定l2的位置，知A项符合．
5． 设直线l的方程为x＋ycos θ＋3＝0 (θ∈R)，则直线l的倾斜角α的范围是 ( )
A．[0，π) B.
C. D.∪
答案 C
解析 当cos θ＝0时，方程变为x＋3＝0，其倾斜角为；
当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k＝－.
∵cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0，∴k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，
即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又α∈[0，π)，
∴α∈∪.
综上知，倾斜角的范围是，故选C.
二、填空题
6． 直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于P、Q两点，线段PQ中点是(1，－1)，则l的斜率是________．
答案 －
解析 设P(m,1)，则Q(2－m，－3)，
∴(2－m)＋3－7＝0，∴m＝－2，∴P(－2,1)，
∴k＝＝－.
7． 直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是________________．
答案 (－∞，－)∪(0，＋∞)
解析 当a＝－1时，直线l的倾斜角为90°，符合要求；
当a≠－1时，直线l的斜率为－，只要－>1或者－<0即可，
解得－10.
综上可知，实数a的取值范围是(－∞，－)∪(0，＋∞)．
8． 若ab>0，且A(a,0)、B(0，b)、C(－2，－2)三点共线，则ab的最小值为________．
答案 16
解析 根据A(a,0)、B ( http: / / www.21cnjy.com )(0，b)确定直线的方程为＋＝1，又C(－2，－2)在该直线上，故＋＝1，所以－2(a＋b)＝ab.又ab>0，故a<0，b<0.
根据均值不等式ab＝－2(a＋b)≥4，从而≤0(舍去)或≥4，故ab≥16，当且仅当a＝b＝－4时取等号．即ab的最小值为16.
三、解答题
9． 已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：
(1)过定点A(－3,4)；(2)斜率为.
解 (1)设直线l的方程是y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－－3,3k＋4，
由已知，得(3k＋4)＝±6，
解得k1＝－或k2＝－.
故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.
(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是
y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b，
由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1.
∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.
10．如图，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)
作直线AB分别交OA、OB于A、B两点，当AB的中点C恰好落在
直线y＝x上时，求直线AB的方程．
解 由题意可得kOA＝tan 45°＝1，kOB＝tan(180°－30°)＝－，
所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x.
设A(m，m)，B(－n，n)，
所以AB的中点C，
由点C在y＝x上，且A、P、B三点共线得
解得m＝，所以A(，)．
又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝＝，
所以lAB：y＝(x－1)，
即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
1． 直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么l的斜率为 ( )
A．－ B．－3 C. D．3
答案 A
解析 结合图形可知选A.
2． 直线2x－my＋1－3m＝0，当m变动时，所有直线都通过定点 ( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 ∵(2x＋1)－m(y＋3)＝0恒成立，
∴2x＋1＝0，y＋3＝0，
∴x＝－，y＝－3，定点为(－，－3)．
3． 经过点P(1,4)的直线的两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为
( )
A．x＋2y－6＝0 B．2x＋y－6＝0
C．x－2y＋7＝0 D．x－2y－7＝0
答案 B
解析 方法一 直线过点P(1,4)，代入选项，排除A、D，
又在两坐标轴上的截距均为正，排除C.
方法二 设所求直线方程为＋＝1(a>0，b>0)，
将(1,4)代入得＋＝1，
a＋b＝(a＋b)(＋)＝5＋(＋)≥9，
当且仅当b＝2a，即a＝3，b＝6时，截距之和最小，
∴直线方程为＋＝1，即2x＋y－6＝0.
4． 已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________．
答案 3
解析 直线AB的方程为＋＝1，
设P(x，y)，则x＝3－y，
∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y)
＝[－(y－2)2＋4]≤3.
即当P点坐标为时，xy取最大值3.
5． 设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________．
答案 [－2,2]
解析 b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，
如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1,0)和点B(1,0)时b分别取得最小值和最大值．
∴b的取值范围是[－2,2]．
6． 直线l过点P(1,4)，分别交x轴的正方向和y轴的正方向于A、B两点．
(1)当|PA|·|PB|最小时，求l的方程；
(2)当|OA|＋|OB|最小时，求l的方程．
解 依题意，l的斜率存在，且斜率为负．
设l：y－4＝k(x－1)(k<0)．
令y＝0，可得A(1－，0)；
令x＝0，可得B(0,4－k)．
(1)|PA|·|PB|＝ ·
＝－(1＋k2)＝－4(＋k)≥8.(注意k<0)
∴当且仅当＝k且k<0即k＝－1时，
|PA|·|PB|取最小值．
这时l的方程为x＋y－5＝0.
(2)|OA|＋|OB|＝(1－)＋(4－k)＝5－(k＋)≥9.
∴当且仅当k＝且k<0，即k＝－2时，|OA|＋|OB|取最小值．
这时l的方程为2x＋y－6＝0.§9.8 曲线与方程
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
1． 曲线与方程
在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系：
(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解．
(2)以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．
2． 求动点的轨迹方程的一般步骤
(1)建系——建立适当的坐标系．
(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)．
(3)列式——列出动点P所满足的关系式．
(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简．
(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．
3． 两曲线的交点
(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的 ( http: / / www.21cnjy.com )坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．
(2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题．
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件． ( √ )
(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线． ( × )
(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2. ( × )
(4)方程y＝与x＝y2表示同一曲线． ( × )
2． 方程(x2＋y2－4)＝0的曲线形状是 ( )
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
答案 C
解析 由题意可得x＋y＋1＝0或
它表示直线x＋y＋1＝0和圆x2＋y2－4＝0在直线x＋y＋1＝0右上方的部分．
3． 已知点P是直线2x－y＋3 ( http: / / www.21cnjy.com )＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是 ( )
A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0
C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0
答案 D
解析 由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0.
4． 已知点A(－2,0)、B(3,0)，动点P(x，y)满足·＝x2－6，则点P的轨迹方程是
__________．
答案 y2＝x
解析 ＝(3－x，－y)，＝(－2－x，－y)，
∴·＝(3－x)(－2－x)＋y2＝x2－x－6＋y2＝x2－6，∴y2＝x.
5． 已知两定点A(－2,0)、B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积为________．
答案 4π
解析 设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，
得＝2，
∴3x2＋3y2－12x＝0，即x2＋y2－4x＝0.
∴P的轨迹为以(2,0)为圆心，半径为2的圆．
即轨迹所包围的面积等于4π.
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
题型一 定义法求轨迹方程
例1 已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且|O1O2|＝4.动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．
思维启迪 利用两圆内、外切的充要条件找出点M满足的几何条件，结合双曲线的定义求解．
解 如图所示，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
由|O1O2|＝4，得O1(－2,0)、O2(2,0)．设动圆M的半径为r，则由动圆M与圆O1内切，有|MO1|＝r－1；
由动圆M与圆O2外切，有|MO2|＝r＋2.
∴|MO2|－|MO1|＝3.
∴点M的轨迹是以O1、O2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支．
∴a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝.
∴点M的轨迹方程为－＝1 (x≤－)．
思维升华 求曲线的轨迹方程时，应尽量地利 ( http: / / www.21cnjy.com )用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量．
已知点F，直线l：x＝－，点B是l上的动点．若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是 ( )
A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．抛物线
答案 D
解析 由已知得，|MF|＝|MB|.由抛物线定义知，点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线．
题型二 相关点法求轨迹方程
例2 设直线x－y＝4a与抛物线y2＝4ax交于两点A，B(a为定值)，C为抛物线上任意一点，求△ABC的重心的轨迹方程．
思维启迪 设△ABC的重心坐标为G ( http: / / www.21cnjy.com )(x，y)，利用重心坐标公式建立x，y与△ABC的顶点C的关系，再将点C的坐标(用x，y表示)代入抛物线方程即得所求．
解 设△ABC的重心为G(x，y)，
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
点C的坐标为C(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由方程组：
消去y并整理得：x2－12ax＋16a2＝0.
∴x1＋x2＝12a，
y1＋y2＝(x1－4a)＋(x2－4a)＝(x1＋x2)－8a＝4a.
由于G(x，y)为△ABC的重心，
∴∴
又点C(x0，y0)在抛物线上，
∴将点C的坐标代入抛物线的方程得：
(3y－4a)2＝4a(3x－12a)，
即(y－)2＝(x－4a)．
又点C与A，B不重合，∴x≠(6±2)a，
∴△ABC的重心的轨迹方程为(y－)2＝(x－4a)(x≠(6±2)a)．
思维升华 “相关点法”的基本步骤：
(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)；
(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式
(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．
设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且＝2，⊥，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程．
解 设M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，
∵⊥，＝(x0，－y0)，＝(1，－y0)，
∴(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，∴x0＋y＝0.
由＝2得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，
∴，即.
∴－x＋＝0，即y2＝4x.
故所求的点N的轨迹方程是y2＝4x.
题型三 直接法求轨迹方程
例3 (2013·陕西)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；
(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明：直线l过定点．
思维启迪 (1)利用曲线的求法求解轨迹方程，但要注意结合图形寻求等量关系；
(2)设出直线方程，结合直线与圆锥曲线的位置关系转化为方程的根与系数的关系求解，要特别注意判别式与位置关系的联系．
(1)解 如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，得|O1A|＝|O1M|，
当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点，
∴|O1M|＝，
又|O1A|＝，
∴＝，
化简得y2＝8x(x≠0)．
又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标为(0,0)也满足方程y2＝8x，
∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.
(2)证明 由题意，设直线l的方程为
y＝kx＋b(k≠0)，
P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
将y＝kx＋b代入y2＝8x中，
得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0.
其中Δ＝－32kb＋64>0.
由根与系数的关系得，x1＋x2＝， ①
x1x2＝， ②
因为x轴是∠PBQ的角平分线，
所以＝－，
即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，
(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，
2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0③
将①，②代入③得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，
∴k＝－b，此时Δ>0，
∴直线l的方程为y＝k(x－1)，即直线l过定点(1,0)．
思维升华 直接法求曲线方程时最关键 ( http: / / www.21cnjy.com )的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略．如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步．求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．
如图所示，过点P(2,4)作互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A，l2交y轴于B，求线段AB中点M的轨迹方程．
解 设点M的坐标为(x，y)，
∵M是线段AB的中点，
∴A点的坐标为(2x,0)，B点的坐标为(0,2y)．
∴＝(2x－2，－4)，＝(－2,2y－4)．
由已知·＝0，∴－2(2x－2)－4(2y－4)＝0，
即x＋2y－5＝0.
∴线段AB中点M的轨迹方程为x＋2y－5＝0.
分类讨论思想在曲线与方程中的应用
典例：(12分)已知抛物线y2＝2px经过点M(2，－2)，椭圆＋＝1的右焦点恰为抛物线的焦点，且椭圆的离心率为.
(1)求抛物线与椭圆的方程；
(2)若P为椭圆上一个动点，Q为过点P且垂直于x轴的直线上的一点，＝λ(λ≠0)，试求Q的轨迹．
思维启迪 由含参数的方程讨论曲线类型时，关键 ( http: / / www.21cnjy.com )是确定分类标准，一般情况下，分类标准的确立有两点：一是二次项系数分别为0时的参数值，二是二次项系数相等时的参数值，然后确定分类标准进行讨论，讨论时注意表述准确．
规范解答
解 (1)因为抛物线y2＝2px经过点M(2，－2)，
所以(－2)2＝4p，解得p＝2. [2分]
所以抛物线的方程为y2＝4x，其焦点为F(1,0)，
即椭圆的右焦点为F(1,0)，得c＝1.
又椭圆的离心率为，所以a＝2，可得b2＝4－1＝3，
故椭圆的方程为＋＝1. [6分]
(2)设Q(x，y)，其中x∈[－2,2]，设P(x，y0)，
因为P为椭圆上一点，所以＋＝1，
解得y＝3－x2.由＝λ可得＝λ2，
故＝λ2.
得(λ2－)x2＋λ2y2＝3，x∈[－2,2]． [9分]
当λ2＝，即λ＝时，
得y2＝12，点Q的轨迹方程为y＝±2，x∈[－2,2]，
此轨迹是两条平行于x轴的线段；
当λ2<，即0<λ<时，得到＋＝1，
此轨迹表示实轴在y轴上的双曲线满足x∈[－2,2]的部分； [11分]
当λ2>，即λ>时，得到＋＝1，
此轨迹表示长轴在x轴上的椭圆满足x∈[－2,2]的部分． [12分]
温馨提醒 此题求轨迹既有直接法，又有相关点法．求出轨迹方程后，容易忽略x的范围，导致轨迹图形出错．
备考建议：(1)区分求轨迹方程与求轨迹的问题．
(2)对常见的曲线特征要熟悉掌握．
(3)除此之外，正确进行化简与计算是必须具备的基本能力.
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
方法与技巧
求轨迹的常用方法
(1)直接法：
如果动点满足的几何条件本身就是一些 ( http: / / www.21cnjy.com )几何量(如距离与角)的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系转化为x、y的等式就得到曲线的轨迹方程．
(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数．
(3)定义法：
其动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直线或圆锥曲线)的定义，则可根据定义采用设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程．
(4)代入法(相关点法)：
当所求动点M是随着另一动点P(称之为 ( http: / / www.21cnjy.com )相关点)而运动．如果相关点P所满足某一曲线方程，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法．
失误与防范
1．求轨迹方程时，要注意曲线 ( http: / / www.21cnjy.com )上的点与方程的解是一一对应关系．检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合题目的实际意义．
2．求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
A组 专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1． 已知命题“曲线C上的点的坐标是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，则下列命题中正确的是 ( )
A．满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上
B．方程f(x，y)＝0是曲线C的方程
C．方程f(x，y)＝0所表示的曲线不一定是C
D．以上说法都正确
答案 C
解析 曲线C可能只是方程f(x，y)＝0所表示的曲线上的某一小段，因此只有C正确．
2． 设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为 ( )
A．抛物线 B．双曲线
C．椭圆 D．圆
答案 A
解析 设圆C的半径为r， ( http: / / www.21cnjy.com )则圆心C到直线y＝0的距离为r.由两圆外切可得，圆心C到点(0,3)的距离为r＋1，也就是说，圆心C到点(0,3)的距离比到直线y＝0的距离大1，故点C到点(0,3)的距离和它到直线y＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C的轨迹为抛物线．
3． 设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为
( )
A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4
C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2
答案 D
解析 由题意知P到圆心(1,0)的距离为，
∴P的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝2.
4． △ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是 ( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 (x>3) D.－＝1 (x>4)
答案 C
解析 如图，|AD|＝|AE|＝8，
|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，
所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.
根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1 (x>3)．
5． 有一动圆P恒过定点F(a,0)(a>0)且与y轴相交于点A、B，若△ABP为正三角形，则点P的轨迹为 ( )
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
答案 D
解析 设P(x，y)，动圆P的半径为R，
由于△ABP为正三角形，
∴P到y轴的距离d＝R，即|x|＝R.
而R＝|PF|＝，
∴|x|＝·.
整理得(x＋3a)2－3y2＝12a2，
即－＝1.
∴点P的轨迹为双曲线．
二、填空题
6． 设P是圆x2＋y2＝100上的动点，点A(8,0)，线段AP的垂直平分线交半径OP于M点，则点M的轨迹为__________．
答案 椭圆
解析 如图，设M(x，y)，由于l是AP ( http: / / www.21cnjy.com )的垂直平分线，于是|AM|＝|PM|，又由于10＝|OP|＝|OM|＋|MP|＝|OM|＋|MA|，即|OM|＋|MA|＝10，也就是说，动点M到O(0,0)及A(8,0 )的距离之和是10，故动点M的轨迹是以O(0,0)、A(8,0)为焦点，中心在(4,0)，长半轴长是5的椭圆．
7． 已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为________________．
答案 (x－10)2＋y2＝36(y≠0)
解析 设A(x，y)，则D(，)，
∴|CD|＝ ＝3，
化简得(x－10)2＋y2＝36，
由于A、B、C三点构成三角形，
∴A不能落在x轴上，即y≠0.
8． P是椭圆＋＝1上的任意一点 ( http: / / www.21cnjy.com )，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，＝＋，则动点Q的轨迹方程是________________．
答案 ＋＝1
解析 由于＝＋，
又＋＝＝2＝－2，
设Q(x，y)，则＝－
＝(－，－)，
即P点坐标为(－，－)，
又P在椭圆上，则有＋＝1上，
即＋＝1.
三、解答题
9． 已知曲线E：ax2＋b ( http: / / www.21cnjy.com )y2＝1(a>0，b>0)，经过点M(，0)的直线l与曲线E交于点A，B，且＝－2.若点B的坐标为(0,2)，求曲线E的方程．
解 设A(x0，y0)，∵B(0,2)，M(，0)，
故＝(－，2)，＝(x0－，y0)．
由于＝－2，∴(－，2)＝－2(x0－，y0)．
∴x0＝，y0＝－1，即A(，－1)．
∵A，B都在曲线E上，∴，
解得.∴曲线E的方程为x2＋＝1.
10．已知点P是圆O：x2＋y2＝9上的任意一点，过P作PD垂直x轴于D，动点Q满足＝.
(1)求动点Q的轨迹方程；
(2)已知点E(1,1)，在动点Q的轨迹上是 ( http: / / www.21cnjy.com )否存在两个不重合的点M、N，使＝(＋)(O是坐标原点)．若存在，求出直线MN的方程；若不存在，请说明理由．
解 (1)设P(x0，y0)，Q(x，y)，依题意，
则点D的坐标为D(x0,0)，
∴＝(x－x0，y)，＝(0，y0)，
又＝，∴，即.
∵P在圆O上，故x＋y＝9，∴＋＝1.
∴点Q的轨迹方程为＋＝1.
(2)存在．假设椭圆＋＝1上存在两个不重合的点M(x1，y1)，N(x2，y2)满足＝(＋)，
则E(1,1)是线段MN的中点，
且有，即.
又M(x1，y1)，N(x2，y2)在椭圆＋＝1上，
∴，两式相减，
得＋＝0.
∴kMN＝＝－，
∴直线MN的方程为4x＋9y－13＝0.
∴椭圆上存在点M、N满足＝(＋)，
此时直线MN的方程为4x＋9y－13＝0.
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
1． 已知定点P(x0，y0)不在直线l：f(x，y)＝0上，则方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示一条
( )
A．过点P且平行于l的直线
B．过点P且垂直于l的直线
C．不过点P但平行于l的直线
D．不过点P但垂直于l的直线
答案 A
解析 由题意知f(x0，y0)≠0，又f(x0，y0)－f(x0，y0)＝0，
∴直线f(x，y)＝0与直线f(x，y)－f(x0，y0)＝0平行，
且点P在直线f(x，y)－f(x0，y0)＝0上．
2． 平面直角坐标系中，已知两点A(3,1 ( http: / / www.21cnjy.com ))，B(－1,3)，若点C满足＝λ1＋λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是 ( )
A．直线 B．椭圆 C．圆 D．双曲线
答案 A
解析 设C(x，y)，则＝(x，y)，＝(3,1)，＝(－1,3)，
∵＝λ1＋λ2，∴，
又λ1＋λ2＝1，∴x＋2y－5＝0，表示一条直线．
3． 点P是以F1、F2为焦点的椭圆上一点，过焦点作∠F1PF2外角平分线的垂线，垂足为M，则点M的轨迹是 ( )
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
答案 A
解析 如图，延长F2M交F1P延长线于N.
∵|PF2|＝|PN|，
∴|F1N|＝2a.
连接OM，则在△NF1F2中，OM为中位线，
则|OM|＝|F1N|＝a.∴M的轨迹是圆．
4． 已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是______________．
答案 x2＋y2＝4 (x≠±2)
解析 设P(x，y)，因为△MPN为直角三角形，
∴|MP|2＋|NP|2＝|MN|2，
∴(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，整理得，x2＋y2＝4.
∵M，N，P不共线，∴x≠±2，
∴轨迹方程为x2＋y2＝4 (x≠±2)．
5. 如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且
AM＝AB，点P在平面ABCD上，且动点P到直线A1D1的距离的
平方与P到点M的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy中，
动点P的轨迹方程是____________．
答案 y2＝x－
解析 过P作PQ⊥AD于Q，再过Q作QH⊥A1D1于H，连接PH、PM，可证PH⊥A1D1，设P(x，y)，由|PH|2－|PM|2＝1，
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
得x2＋1－＝1，
化简得y2＝x－.
6. 如图，DP⊥x轴，点M在DP的延长线上，且|DM|＝2|DP|.当点P在
圆x2＋y2＝1上运动时．
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)过点T(0，t)作圆x2＋y2＝1的切线l交曲线C于A、B两点，求△AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标．
解 (1)设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，
则x＝x0，y＝2y0，所以x0＝x，y0＝，①
因为P(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，所以x＋y＝1.②
将①代入②，得点M的轨迹C的方程为x2＋＝1.
(2)由题意知，|t|≥1.
当t＝1时，切线l的方程为y＝1，
点A、B的坐标分别为(－，1)、(，1)，
此时|AB|＝，当t＝－1时，同理可得|AB|＝；
当|t|>1时，设切线l的方程为y＝kx＋t，k∈R，
由得(4＋k2)x2＋2ktx＋t2－4＝0.③
设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则由③得
x1＋x2＝－，x1x2＝.
又由l与圆x2＋y2＝1相切，得＝1，即t2＝k2＋1，
所以|AB|＝
＝ ＝.
因为|AB|＝＝，
且当t＝±时，|AB|＝2，所以|AB|的最大值为2.
依题意，圆心O到直线AB的距离为圆x2＋y2＝1的半径，
所以△AOB面积S的最大值为×2×1＝1，
此时t＝±，相应的点T的坐标为(0，－)或(0，)．§9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
1． 直线与圆的位置关系
设直线l：Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)，
圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0)，
d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
几何法 代数法
相交 d0
相切 d＝r Δ＝0
相离 d>r Δ<0
2. 圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r (r2>0).
方法位置关系 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
相离 d>r1＋r2 无解
外切 d＝r1＋r2 一组实数解
相交 |r1－r2|内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解
内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．( × )
(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切． ( × )
(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交． ( × )
(4)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程． ( × )
(5)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2. ( √ )
(6)过圆O：x2＋y2＝r2外一 ( http: / / www.21cnjy.com )点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2. ( √ )
2． (2013·安徽)直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为( )
A．1 B．2 C．4 D．4
答案 C
解析 圆的方程可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心(1,2)到直线x＋2y－5＋＝0的距离d＝1，截得弦长l＝2＝4.
3． 圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
答案 B
解析 ⊙C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，
圆心C1(－1，－1)，半径r1＝2.
⊙C2：(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心C2(2,1)，半径r2＝2.
∴|C1C2|＝，∴|r1－r2|＝0<|C1C2|∴两圆相交，有两条公切线．
4． 两圆交于点A(1,3)和B(m,1)，两圆的圆心都在直线x－y＋＝0上，则m＋c的值等于________．
答案 3
解析 由题意，知线段AB的中点在直线x－y＋＝0上，
∴－2＋＝0，∴m＋c＝3.
5． 若圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实数k的取值范围为__________．
答案 (－，)
解析 由圆与直线没有公共点，可知圆的圆心到直线的距离大于半径，也就是>1，解得－题型一 直线与圆的位置关系
例1 已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.
(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；
(2)求直线l被圆C截得的最短弦长．
思维启迪 直线与圆的交点个数即为直线方程与圆方程联立而成的方程组解的个数；最短弦长可用代数法或几何法判定．
方法一 (1)证明 由
消去y得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0，
因为Δ＝(2－4k)2＋28(k2＋1)>0，
所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．
(2)解 设直线与圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，
则直线l被圆C截得的弦长
|AB|＝|x1－x2|
＝2＝2 ，
令t＝，则tk2－4k＋(t－3)＝0，
当t＝0时，k＝－，当t≠0时，因为k∈R，
所以Δ＝16－4t(t－3)≥0，解得－1≤t≤4，且t≠0，
故t＝的最大值为4，此时|AB|最小为2.
方法二 (1)证明 圆心C(1，－1)到直线l的距离d＝，圆C的半径R＝2，R2－d2＝12－＝，而在S＝11k2－4k＋8中，
Δ＝(－4)2－4×11×8<0，
故11k2－4k＋8>0对k∈R恒成立，
所以R2－d2>0，即d(2)解 由平面几何知识，
知|AB|＝2＝2 ，下同方法一．
方法三 (1)证明 因为 ( http: / / www.21cnjy.com )不论k为何实数，直线l总过点P(0，1)，而|PC|＝<2＝R，所以点P(0,1)在圆C的内部，即不论k为何实数，直线l总经过圆C内部的定点P.
所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．
(2)解 由平面几何知识知 ( http: / / www.21cnjy.com )过圆内定点P(0,1)的弦，只有和AC (C为圆心)垂直时才最短，而此时点P(0,1)为弦AB的中点，由勾股定理，知|AB|＝2＝2，
即直线l被圆C截得的最短弦长为2.
思维升华 (1)利用圆心到直线的 ( http: / / www.21cnjy.com )距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系；
(2)勾股定理是解决有关弦问题的常用方法．
(1)若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则P(a，b) ( )
A．在圆上 B．在圆外
C．在圆内 D．以上都有可能
(2)直线l：y－1＝k(x－1)和圆x2＋y2－2y＝0的位置关系是 ( )
A．相离 B．相切或相交
C．相交 D．相切
(3)在平面直角坐标系xOy中，已 ( http: / / www.21cnjy.com )知圆x2＋y2＝4上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．
答案 (1)B (2)C (3)(－13,13)
解析 (1)由<1，得>1，∴点P在圆外．
(2)圆x2＋y2－2y＝0的圆心是(0,1)，半径r＝1，则圆心到直线l的距离d＝<1.故直线与圆相交．
(3)根据题意知，圆心O到直线12x－5y＋c＝0的距离小于1，
∴<1，∴|c|<13，
∴c∈(－13,13)．
题型二 圆的切线与弦长问题
例2 已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过M点的圆的切线方程；
(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值．
(3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值．
思维启迪 在求过某点的圆的切线方程时 ( http: / / www.21cnjy.com )，应首先确定点与圆的位置关系，再求直线方程．若点在圆上，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线．在处理直线和圆相交所得的弦的弦长问题时，常考虑几何法．
解 (1)圆心C(1,2)，半径r＝2，
当直线的斜率不存在时，方程为x＝3.
由圆心C(1,2)到直线x＝3的距离d＝3－1＝2＝r知，
此时，直线与圆相切．
当直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－3)，
即kx－y＋1－3k＝0.
由题意知＝2，解得k＝.
∴圆的切线方程为y－1＝(x－3)，
即3x－4y－5＝0.
故过M点的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.
(2)由题意得＝2，解得a＝0或a＝.
(3)∵圆心到直线ax－y＋4＝0的距离为，
∴()2＋()2＝4，解得a＝－.
思维升华 (1)求过某点的圆的切线 ( http: / / www.21cnjy.com )问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求直线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线．
(2)求直线被圆所截得的弦长时，通常考虑由弦心距垂线段作为直角边的直角三角形，利用勾股定理来解决问题．
已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.
(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；
(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．
解 (1) 如图所示，|AB|＝4，将圆C方程化为标准方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝16，
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
∴圆C的圆心坐标为(－2,6)，半径r＝4，设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，
∴|AD|＝2，|AC|＝4.C点坐标为(－2,6)．
在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.
设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.
由点C到直线AB的距离公式：＝2，
得k＝.
故直线l的方程为3x－4y＋20＝0.
又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0.
∴所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.
(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)，
则CD⊥PD，即·＝0，
∴(x＋2，y－6)·(x，y－5)＝0，
化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.
题型三 圆与圆的位置关系
例3 (1)已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是________．
(2)两圆x2＋y2－6x＋6y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0公切线的条数是________．
(3)已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝ ( http: / / www.21cnjy.com )0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是________．
思维启迪 求动点的轨迹方程关键是寻找与动点有关的等量关系，然后将等量关系用坐标表示出来．
答案 (1)x－2y＋4＝0 (2)2 (3)x＝
解析 (1)两圆的方程相减得：x－2y＋4＝0.
(2)两圆圆心距d＝<＋，
∴两圆相交，故有2条切线．
(3)⊙O的圆心为(0,0)，半 ( http: / / www.21cnjy.com )径为，⊙O′的圆心为(4,0)，半径为，设点P为(x，y)，由已知条件和圆切线性质得x2＋y2－2＝(x－4)2＋y2－6，化简得x＝.
思维升华 判断两圆的位置 ( http: / / www.21cnjy.com )关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．
已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，则以两圆公共弦为直径的圆的方程是________________．
答案 (x＋2)2＋(y－1)2＝5
解析 圆C1的圆心为(1，－5)，半径为 ( http: / / www.21cnjy.com )，圆C2的圆心为(－1，－1)，半径为，则两圆心连线的直线方程为2x＋y＋3＝0，由两圆方程作差得公共弦方程为x－2y＋4＝0，两直线的交点(－2,1)即为所求圆的圆心，由垂径定理可以求得半径为，即所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5.
高考中与圆交汇问题的求解
一、圆与集合的交汇问题
典例：(5分)设M＝{(x，y) ( http: / / www.21cnjy.com )|y＝，a>0}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－)2＝a2，a>0}，则M∩N≠ 时，a的最大值与最小值分别为________、________.
思维启迪 本题条件M∩N≠ 反映了两个集合所表示的曲线之间的关系，即半圆与圆之间的关系，因此可以直接利用数形结合的思想求解．
解析 因为集合M＝{(x，y)|y＝，a>0}，
所以集合M表示以O(0,0)为圆心，半径为r1＝a的上半圆．
同理，集合N表示以O′(1，)为圆心，半径为r2＝a的圆上的点．
这两个圆的半径随着a的变化而变化，但|OO′|＝2.如图所示，
当两圆外切时，由a＋a＝2，得a＝2－2；
当两圆内切时，由a－a＝2，得a＝2＋2.
所以a的最大值为2＋2，最小值为2－2.
答案 2＋2 2－2
温馨提醒 本题主要考查集合的运算 ( http: / / www.21cnjy.com )及圆与圆相切的相关知识，考查考生综合运用知识解决问题的能力．借助数形结合的思想方法求解本题较为简捷，在求解时要注意对M∩N≠ 的意义的理解，若题中未指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，例如A B，则A＝ 或A≠ 两种可能，应分类讨论．本题的设计亮点就是将集合的关系与圆的位置关系较好地结合起来．
二、圆与线性规划的交汇问题
典例：(5分)如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2＋(y＋2)2＝1上，那么|PQ|的最小值为________．
思维启迪 求解本题应先画 ( http: / / www.21cnjy.com )出点P所在的平面区域，再画出点Q所在的圆，最后利用几何意义将问题转化为圆上的点到定直线的距离的最值问题，即可求出|PQ|的最小值．
解析 由点P在平面区域上，画出点P所在的平面区域．由点Q在圆x2＋(y＋2)2＝1上，画出点Q所在的圆，如图所示．
由题意，得|PQ|的最小值为圆心(0，－2)到直线x－2y＋1＝0的距离减去半径1.
又圆心(0，－2)到直线x－2y＋1＝0的距离为＝，此时垂足(－1,0)在满足条件的平面区域内，故|PQ|的最小值为－1.
答案 －1
温馨提醒 本题考查线性规划及圆 ( http: / / www.21cnjy.com )、点到直线的距离等知识，并考查考生综合应用知识解决问题的能力．本题的突出特点就是将圆与线性规划问题有机地结合起来，为我们展现了数学知识相互交汇的新天地，求解时既要注意使用线性规划的基本思想，又要利用圆上各点的特殊性．实际上是对数形结合思想的提升，即利用线性或非线性函数的几何意义，通过作图来解决最值问题．
三、圆与不等式的交汇问题
典例：(5分)(2012·天津 ( http: / / www.21cnjy.com ))设m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是 ( )
A．[1－，1＋]
B．(－∞，1－]∪[1＋，＋∞)
C．[2－2，2＋2]
D．(－∞，2－2]∪[2＋2，＋∞)
思维启迪 圆与不等式的交汇实质上反 ( http: / / www.21cnjy.com )映了圆的独特性质，即圆内点、圆外点的性质，直线与圆相交、相离的性质，圆与圆的相交、相离的性质等，这些问题反映在代数上就是不等式的形式．
解析 圆心(1,1)到直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0的距离为＝1，
所以m＋n＋1＝mn≤(m＋n)2，
所以m＋n≥2＋2或m＋n≤2－2.
答案 D
温馨提醒 直线与圆位置关系的考查，一般是 ( http: / / www.21cnjy.com )已知位置关系求参数值，均值不等式的考查一般是给出参数关系，利用均值不等式求最值或范围．而本题却以直线与圆的位置关系给出参数之间的数量关系，利用均值不等式转化，结合换元法把关系转化为一元二次不等式，从而求得m＋n的取值范围，这一交汇命题新颖独特，考查知识全面，难度中等，需要熟练掌握各知识才能逐一化解．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
方法与技巧
1． 过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法
先求切点与圆心连线的斜率k，由垂直关系知切线斜率为－，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程x＝x0.
2． 过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法
(1)几何方法
当斜率存在时，设为k，切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．
(2)代数方法
设切线方程为y－y0＝k(x－x ( http: / / www.21cnjy.com )0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆方程，得一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出．
3． 两圆公共弦所在直线方程的求法
若两圆相交时，把两圆的方程作差消去x2和y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程．
4． 圆的弦长的求法
(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则2＝r2－d2.
(2)代数法：设直线与圆相交于A(x1 ( http: / / www.21cnjy.com )，y1)，B(x2，y2)两点，解方程组消y后得关于x的一元二次方程，从而求得x1＋x2，x1x2，则弦长为|AB|＝(k为直线斜率)．
失误与防范
1． 求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．
2． 过圆上一点作圆的切线有且只有一条； ( http: / / www.21cnjy.com )过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
A组 专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1． 圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有 ( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
答案 B
解析 圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，内公切线条数为2.
2． (2012·重庆)对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是( )
A．相离 B．相切
C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心
答案 C
解析 ∵x2＋y2＝2的圆心(0,0)到直线y＝kx＋1的距离
d＝＝≤1，
又∵r＝，∴0∴直线与圆相交但直线不过圆心．
3． 直线l过点A(2,4)且与圆x2＋y2＝4相切，则l的方程为 ( )
A．3x－4y＋10＝0 B．x＝2
C．x－y＋2＝0 D．x＝2或3x－4y＋10＝0
答案 D
解析 显然x＝2为所求切线之一；
另设y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，
而＝2，k＝，即切线为3x－4y＋10＝0，
∴x＝2或3x－4y＋10＝0为所求．
4． (2013·山东)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为 ( )
A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0
C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0
答案 A
解析 如图所示：由题意知：AB⊥PC，kPC＝，∴kAB＝－2，∴直线AB的方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0.
5． 已知直线y＝kx＋b与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，当b＝
时，·等于 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将y＝kx＋b代入x2＋y2＝1得(1＋k2)x2＋2kbx＋b2－1＝0，
故x1＋x2＝－，x1x2＝，
从而·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2
＝b2－1－＋b2＝－1＝1.
二、填空题
6． 若直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，则b的取值范围是________．
答案 1－2≤b≤3
解析 由y＝3－，得(x－2)2＋(y－3)2＝4(1≤y≤3)．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
∴曲线y＝3－是半圆，如图中实线所示．
当直线y＝x＋b与圆相切时，
＝2.
∴b＝1±2.
由图可知b＝1－2.
∴b的取值范围是.
7． 若过点A(a，a)可作圆x2＋y2－2ax＋a2＋2a－3＝0的两条切线，则实数a的取值范围为______________．
答案 (－∞，－3)∪
解析 圆方程可化为(x－a)2＋y2＝3－2a，
由已知可得，解得a<－3或18． 若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0 (a>0)的公共弦长为2，则a＝________.
答案 1
解析 方程x2＋y2＋2ay－6＝0与x2＋y2＝4.
相减得2ay＝2，则y＝.由已知条件 ＝，
即a＝1.
三、解答题
9． 已知以点C(t，)(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点．
(1)求证：△OAB的面积为定值；
(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若OM＝ON，求圆C的方程．
(1)证明 ∵圆C过原点O，∴OC2＝t2＋.
设圆C的方程是(x－t)2＋(y－)2＝t2＋，
令x＝0，得y1＝0，y2＝；
令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，
∴S△OAB＝OA·OB＝×||×|2t|＝4，
即△OAB的面积为定值．
(2)解 ∵OM＝ON，CM＝CN，∴OC垂直平分线段MN.
∵kMN＝－2，∴kOC＝.
∴＝t，解得t＝2或t＝－2.
当t＝2时，圆心C的坐标为(2,1)，OC＝，
此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝<，
圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．
当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，OC＝，
此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝>.
圆C与直线y＝－2x＋4不相交，
∴t＝－2不符合题意，舍去．
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
10．已知矩形ABCD的对角线交于点P(2,0)，边AB所在直线的方程为x－3y－6＝0，点(－1,1)在边AD所在的直线上．
(1)求矩形ABCD的外接圆的方程；
(2)已知直线l：(1－2k ( http: / / www.21cnjy.com ))x＋(1＋k)y－5＋4k＝0(k∈R)，求证：直线l与矩形ABCD的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l的方程．
解 (1)∵lAB：x－3y－6＝0且AD⊥AB，
点(－1,1)在边AD所在的直线上，
∴AD所在直线的方程是y－1＝－3(x＋1)，
即3x＋y＋2＝0.
由得A(0，－2)．
∴|AP|＝＝2，
∴矩形ABCD的外接圆的方程是(x－2)2＋y2＝8.
(2)直线l的方程可化为
k(－2x＋y＋4)＋x＋y－5＝0，
l可看作是过直线－2x＋y＋4＝0和x＋y－5＝0的交点(3,2)的直线系，
即l恒过定点Q(3,2)，
由(3－2)2＋22＝5<8知点Q在圆P内，
所以l与圆P恒相交．
设l与圆P的交点为M，N，
则|MN|＝2(d为P到l的距离)，
设PQ与l的夹角为θ，则d＝|PQ|·sin θ＝sin θ，
当θ＝90°时，d最大，|MN|最短．
此时l的斜率为PQ的斜率的负倒数，即－，
故l的方程为y－2＝－(x－3)，x＋2y－7＝0.
B组 专项能力提升
(时间：35分钟)
1． 已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为 ( )
A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2＋2x－3＝0 D．x2＋y2－4x＝0
答案 D
解析 设圆心为(a,0)，且a>0，
则(a,0)到直线3x＋4y＋4＝0的距离为2，
即＝2 3a＋4＝±10 a＝2或a＝－(舍去)，
则圆C的方程为(x－2)2＋(y－0)2＝22，
即x2＋y2－4x＝0.
2． 圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案 C
解析 因为圆心到直线的距离为＝2，
又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，
圆上到直线的距离为1的点有3个．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
3． (2013·江西) ( http: / / www.21cnjy.com )过点(，0)引直线l与曲线y＝相交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于 ( )
A. B．－ C．± D．－
答案 B
解析 ∵S△AOB＝|OA||OB|sin∠AOB
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
＝sin∠AOB≤.
当∠AOB＝时，
S△AOB面积最大．
此时O到AB的距离d＝.
设AB方程为y＝k(x－)(k<0)，
即kx－y－k＝0.
由d＝＝得k＝－.
(也可k＝－tan∠OPH＝－)．
4． (2012·江苏)在平面直角坐标系 ( http: / / www.21cnjy.com )xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
答案
解析 圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆心为(4,0)．
由题意知(4,0)到kx－y－2＝0的距离应不大于2，
即≤2.整理，得3k2－4k≤0.解得0≤k≤.
故k的最大值是.
5． 已知集合A＝{(x，y)|x－y ( http: / / www.21cnjy.com )＋m≥0}，集合B＝{(x，y)|x2＋y2≤1}．若A∩B＝ ，则实数m的取值范围是________．
答案 m<－
解析 如图，A＝{(x，y)|x－y＋ ( http: / / www.21cnjy.com )m≥0}表示直线x－y＋m＝0及其右下方区域，B＝{(x，y)|x2＋y2≤1}表示圆x2＋y2＝1及其内部，要使A∩B＝ ，则直线x－y＋m＝0在圆x2＋y2＝1的下方，即>1，故m<－.
6． 已知圆O：x2＋y2＝4和点M(1，a)．
(1)若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程．
(2)若a＝，过点M的圆的两条弦AC，BD互相垂直，求|AC|＋|BD|的最大值．
解 (1)由条件知点M在圆O上，
所以1＋a2＝4，则a＝±.
当a＝时，点M为(1，)，kOM＝，k切＝－，
此时切线方程为y－＝－(x－1)．
即x＋y－4＝0，
当a＝－时，点M为(1，－)，kOM＝－，k切＝.
此时切线方程为y＋＝(x－1)．
即x－y－4＝0.
所以所求的切线方程为x＋y－4＝0或x－y－4＝0.
(2)设O到直线AC，BD的距离分别为d1，d2(d1，d2≥0)，
则d＋d＝OM2＝3.
又有|AC|＝2，|BD|＝2，
所以|AC|＋|BD|＝2＋2.
则(|AC|＋|BD|)2＝4×(4－d＋4－d＋2·)
＝4×[5＋2]
＝4×(5＋2)．
因为2d1d2≤d＋d＝3，所以dd≤，
当且仅当d1＝d2＝时取等号，
所以≤，
所以(|AC|＋|BD|)2≤4×(5＋2×)＝40.
所以|AC|＋|BD|≤2，
即|AC|＋|BD|的最大值为2.
7． 在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且·＝0，求a的值．
解 (1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)．
故可设圆C的圆心为(3，t)，
则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1.
则圆C的半径为＝3.
所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组：
消去y，得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.
由已知可得，判别式Δ＝56－16a－4a2>0.
因此x1＝，
x2＝，
从而x1＋x2＝4－a，x1x2＝. ①
∵·＝0，∴OA⊥OB，
可得x1x2＋y1y2＝0，
又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，
所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0. ②
由①②得a＝－1，满足Δ>0，故a＝－1.§9.3 圆的方程
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
1． 圆的定义
在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆．
2． 确定一个圆最基本的要素是圆心和半径．
3． 圆的标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中(a，b)为圆心，r为半径．
4． 圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，其中圆心为，半径r＝.
5． 确定圆的方程的方法和步骤
确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；
(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；
(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．
6． 点与圆的位置关系
点和圆的位置关系有三种．
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)
(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；
(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；
(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)21． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径． ( √ )
(2)已知点A(x1，y1)，B(x2 ( http: / / www.21cnjy.com )，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. ( √ )
(3)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆心为(－，－a)，半径为的圆． ( × )
(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey ( http: / / www.21cnjy.com )＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0. ( √ )
2． 若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是 ( )
A．－1C．a>1或a<－1 D．a＝±1
答案 A
解析 因为点(1,1)在圆的内部，
∴(1－a)2＋(1＋a)2<4，∴－13． (2012·辽宁)将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是 ( )
A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0
C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0
答案 C
解析 因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C.
4． 圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是 ( )
A．(2,3) B．(－2,3) C．(－2，－3) D．(2，－3)
答案 D
解析 圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标为，即(2，－3)．
5． 已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为______________．
答案 (x－2)2＋y2＝10
解析 设圆心坐标为(a,0)，易知＝，解得a＝2，∴圆心为(2,0)，半径为，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
题型一 求圆的方程
例1 根据下列条件，求圆的方程：
(1)经过P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6；
(2)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)．
思维启迪 (1)设圆的一般方程，利用待定系数法求解．
(2)求圆心和半径，确定圆的标准方程．
解 (1)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将P、Q两点的坐标分别代入得
又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③
设x1，x2是方程③的两根，
由|x1－x2|＝6有D2－4F＝36，④
由①、②、④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8，或D＝－6，E＝－8，F＝0.
故所求圆的方程为
x2＋y2－2x－4y－8＝0，或x2＋y2－6x－8y＝0.
(2)方法一
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
如图，设圆心(x0，－4x0)，依题意得＝1，
∴x0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r＝2，
故圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
方法二 设所求方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，
根据已知条件得
解得
因此所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
思维升华 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：
(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：
①圆心在过切点且垂直切线的直线上；
②圆心在任一弦的中垂线上；
③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．
与x轴相切，圆心在直线3x－y＝0上，且被直线x－y＝0截得的弦长为2的圆的方程为__________________________________________．
答案 (x－1)2＋(y－3)2＝9或(x＋1)2＋(y＋3)2＝9
解析 设所求的圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离为，
∴r2＝()2＋()2，即2r2＝(a－b)2＋14.①
∵所求的圆与x轴相切，∴r2＝b2.②
又∵所求圆心在直线3x－y＝0上，∴3a－b＝0.③
联立①②③，解得a＝1，b＝3，r2＝9或a＝－1，b＝－3，r2＝9.
故所求的圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝9或(x＋1)2＋(y＋3)2＝9.
题型二 与圆有关的最值问题
例2 已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：
(1)的最大值和最小值；
(2)y－x的最小值；
(3)x2＋y2的最大值和最小值．
思维启迪 显然实数x，y所确定的点在圆x2＋y2－4x＋1＝0上运动，而则可看成是圆上的点与原点连线的斜率，
y－x可以转化为截距，x2＋y2可以看成是圆上点与原点距离的平方．
解 (1)如图，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以为半径的圆．
设＝k，即y＝kx，
则圆心(2,0)到直线y＝kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．
由＝，解得k2＝3，
∴kmax＝，kmin＝－.
(也可由平面几何知识，得OC＝2，CP＝，∠POC＝60°，直线OP的倾斜角为60°，直线OP′的倾斜角为120°)
(2)设y－x＝b，则y＝x＋b，仅当直线y＝x＋b与圆切于第四象限时，截距b取最小值，由点到直线的距离公式，
得＝，即b＝－2±，
故(y－x)min＝－2－.
(3)x2＋y2是圆上点与原点的距离的平方，故连接OC，
与圆交于B点，并延长交圆于C′，则
(x2＋y2)max＝|OC′|2＝(2＋)2＝7＋4，
(x2＋y2)min＝|OB|2＝(2－)2＝7－4.
思维升华 把有关式子进行转化或 ( http: / / www.21cnjy.com )利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化极为常见，要注意熟记：(1)形如m＝的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题．
已知两点A(－1,0)，B(0,2)，点P是圆(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值分别是 ( )
A．2，(4－) B.(4＋)，(4－)
C.，4－ D.(＋2)，(－2)
答案 B
解析 如图，圆心(1,0)到直线AB：
2x－y＋2＝0的距离为d＝，
故圆上的点P到直线AB的距离的最大值是＋1，最小值是－1，
又|AB|＝，
故△PAB面积的最大值和最小值分别是2＋，2－.
题型三 与圆有关的轨迹问题
例3 设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形
MONP，求点P的轨迹．
思维启迪 结合图形寻求点P和点M坐标的关系，用相关点法(代入法)解决．
解 如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分，
故＝，＝.从而.
N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
因此所求轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，
但应除去两点和(点P在直线OM上的情况)．
思维升华 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
②定义法：根据圆、直线等定义列方程．
③几何法：利用圆的几何性质列方程．
④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
如图所示，已知P(4,0)是圆x2＋y2＝36内的一点，A，B是圆上两动点，且满足∠APB＝90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程．
解 设AB的中点为R，坐标为(x，y)，连接OR，PR，
则在Rt△ABP中，|AR|＝|PR|.
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
又R是弦AB的中点，所以在Rt△OAR中，|AR|2＝|AO|2－|OR|2＝36－(x2＋y2)．
又|AR|＝|PR|＝，
所以有(x－4)2＋y2＝36－(x2＋y2)，
即x2＋y2－4x－10＝0.
因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，点Q即在所求的轨迹上运动．
设Q(x，y)，R(x1，y1)，因为R是PQ的中点，
所以x1＝，y1＝，代入方程x2＋y2－4x－10＝0，
得()2＋()2－4×－10＝0，
整理得x2＋y2＝56，此即为所求顶点Q的轨迹方程．
利用方程思想求解圆的问题
典例：(12分)已知圆x2＋y2＋ ( http: / / www.21cnjy.com )x－6y＋m＝0和直线x＋2y－3＝0交于P，Q两点，且OP⊥OQ(O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．
思维启迪 (1)求圆心及半径，关键是求m.
(2)利用OP⊥OQ，建立关于m的方程求解．
(3)利用x1x2＋y1y2＝0和根与系数的关系或利用圆的几何性质．
规范解答
解 方法一 将x＝3－2y，
代入方程x2＋y2＋x－6y＋m＝0，
得5y2－20y＋12＋m＝0. [2分]
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1、y2满足条件：
y1＋y2＝4，y1y2＝. [4分]
∵OP⊥OQ，∴x1x2＋y1y2＝0.
而x1＝3－2y1，x2＝3－2y2.
∴x1x2＝9－6(y1＋y2)＋4y1y2＝. [6分]
故＋＝0，解得m＝3， [9分]
此时Δ>0，圆心坐标为，半径r＝. [12分]
方法二 如图所示，设弦PQ中点为M，
∵O1M⊥PQ，∴＝2. [2分]
∴O1M的方程为y－3＝2，
即y＝2x＋4. [4分]
由方程组.
解得M的坐标为(－1,2)． [6分]
则以PQ为直径的圆可设为(x＋1)2＋(y－2)2＝r2.
∵OP⊥OQ，∴点O在以PQ为直径的圆上．
∴(0＋1)2＋(0－2)2＝r2，即r2＝5，|MQ|2＝r2.
在Rt△O1MQ中，|O1Q|2＝|O1M|2＋|MQ|2.
∴＝2＋(3－2)2＋5.
∴m＝3. [9分]
∴半径为，圆心坐标为. [12分]
方法三 设过P、Q的圆系方程为
x2＋y2＋x－6y＋m＋λ(x＋2y－3)＝0. [2分]
由OP⊥OQ知，点O(0,0)在圆上．
∴m－3λ＝0，即m＝3λ. [4分]
∴圆系方程可化为
x2＋y2＋x－6y＋3λ＋λx＋2λy－3λ＝0.
即x2＋(1＋λ)x＋y2＋2(λ－3)y＝0. [6分]
∴圆心M，又圆心在PQ上．
∴－＋2(3－λ)－3＝0，
∴λ＝1，∴m＝3. [9分]
∴圆心坐标为，半径为. [12分]
温馨提醒 (1)在解决与圆有关的问题中，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简捷明了，简化思路，简便运算．
(2)本题中三种解法都是用方程思想求m值，即三种解法围绕“列出m的方程”求m值．
(3)本题的易错点：不能正确构建关于m的方程，找不到解决问题的突破口，或计算错误.
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
方法与技巧
1．确定一个圆的方程，需要三 ( http: / / www.21cnjy.com )个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法，是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数．
2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．
失误与防范
1．求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程．
2．过圆外一定点，求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
A组 专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1． 设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0A．原点在圆上 B．原点在圆外
C．原点在圆内 D．不确定
答案 B
解析 将圆的一般方程化成标准方程为(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，
因为00，
即>，所以原点在圆外．
2． 若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
答案 D
解析 圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心为，
则a<0，b>0.直线y＝－x－，k＝－>0，－>0，
直线不经过第四象限．
3．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
答案 A
解析 设圆心坐标为(0，b)，则由题意知
＝1，解得b＝2，
故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
4．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
答案 A
解析 设圆上任一点坐标为(x0，y0)，
x＋y＝4，连线中点坐标为(x，y)，
则 ，
代入x＋y＝4中得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
5． 若直线ax＋2by－2＝0(a>0，b ( http: / / www.21cnjy.com )>0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则＋的最小值为 ( )
A．1 B．5 C．4 D．3＋2
答案 D
解析 由题意知圆心C(2,1)在直线ax＋2by－2＝0上，
∴2a＋2b－2＝0，整理得a＋b＝1，
∴＋＝(＋)(a＋b)＝3＋＋
≥3＋2 ＝3＋2，
当且仅当＝，即b＝2－，a＝－1时，等号成立．
∴＋的最小值为3＋2.
二、填空题
6． 如果直线l将圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝13平分，那么坐标原点O到直线l的最大距离为________．
答案
解析 由题意，知直线l过圆心C(2，－3)，
当直线OC⊥l时，坐标原点到直线l的距离最大，
|OC|＝＝.
7． 若方程x2＋y2－2x＋2my＋2m ( http: / / www.21cnjy.com )2－6m＋9＝0表示圆，则m的取值范围是________；当半径最大时，圆的方程为________．
答案 2解析 ∵原方程可化为(x－1)2＋(y＋m)2＝－m2＋6m－8，
∴r2＝－m2＋6m－8＝－(m－2)(m－4)>0，
∴2当m＝3时，r最大为1，
圆的方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝1.
8． 已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－b的取值范围是____．
答案 (－∞，1)
解析 ∵圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，
∴其圆心为(－1,2)，且5－a>0，即a<5.
又圆关于直线y＝2x＋b成轴对称，
∴2＝－2＋b，∴b＝4.∴a－b＝a－4<1.
三、解答题
9． 一圆经过A(4,2)，B(－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程．
解 设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，所以x1＋x2＝－D.
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，所以y1＋y2＝－E.
由题意知－D－E＝2，即D＋E＋2＝0.①
又因为圆过点A、B，所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0.②
1＋9－D＋3E＋F＝0.③
解①②③组成的方程组得D＝－2，E＝0，F＝－12.
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.
10．已知圆C和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9,6)，求圆C的方程．
解 因为圆C和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，
所以过点(4，－1)的直径所在直线的斜率为－＝－6，
其方程为y＋1＝－6(x－4)，即y＝－6x＋23.
又因为圆心在以(4，－1)，(9,6)两点为端点的线段的中垂线y－＝－(x－)，
即5x＋7y－50＝0上，
由解得圆心坐标为(3,5)，
所以半径为＝，
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－5)2＝37.
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
1． 过点P(1,1)的直线，将圆形区域{( ( http: / / www.21cnjy.com )x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为 ( )
A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0
C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0
答案 A
解析 当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时，符合条件．
圆心O与P点连线的斜率k＝1，
∴过点P垂直于OP的直线方程为x＋y－2＝0.
2． 光线从A(1,1)出发，经y轴反射到圆C：x2＋y2－10x－14y＋70＝0的最短路程为________．
答案 6－2
解析 圆心坐标为C(5,7)，半径为2，A(1,1)关于y轴的对称点为A1(－1,1)，
∴最短路程为|A1C|－2＝6－2.
3． 设P为直线3x＋4y＋3 ( http: / / www.21cnjy.com )＝0上的动点，过点P作圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为________．
答案
解析 依题意，圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心是点C(1,1)，半径是1，
易知|PC|的最小值等于圆心C(1,1)到直线3x＋4y＋3＝0的距离，即＝2，
而四边形PACB的面积等于
2S△PAC＝2×(|PA|·|AC|)
＝|PA|·|AC|＝|PA|＝，
因此四边形PACB的面积的最小值是＝.
4． 已知D是由不等式组所确定的平面区域，则圆x2＋y2＝4在区域D内的弧长为________．
答案
解析 作出可行域D及圆x2＋y2＝4，如图所示，
图中阴影部分所在圆心角θ＝α－β所对的弧长即为所求．
易知图中两直线的斜率分别为、－，得tan α＝，tan β＝－，
tan θ＝tan(α－β)＝＝1，
得θ＝，得弧长l＝θ·R＝×2＝(R为圆的半径)．
5． (2013·课标全国Ⅱ)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.
(1)求圆心P的轨迹方程；
(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．
解 (1)设P(x，y)，圆P的半径为r.
则y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.
∴y2＋2＝x2＋3，即y2－x2＝1.
∴P点的轨迹方程为y2－x2＝1.
(2)设P的坐标为(x0，y0)，
则＝，即|x0－y0|＝1.
∴y0－x0＝±1，即y0＝x0±1.
①当y0＝x0＋1时，由y－x＝1得(x0＋1)2－x＝1.
∴∴r2＝3.
∴圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3.
②当y0＝x0－1时，由y－x＝1得(x0－1)2－x＝1.
∴∴r2＝3.
∴圆P的方程为x2＋(y＋1)2＝3.
综上所述，圆P的方程为x2＋(y±1)2＝3.
6． 在以O为原点的直角坐标系中，点A(4，－3)为△OAB的直角顶点，已知|AB|＝2|OA|，且点B的纵坐标大于0.
(1)求的坐标；
(2)求圆x2－6x＋y2＋2y＝0关于直线OB对称的圆的方程．
解 (1)设＝(x，y)，
由|AB|＝2|OA|，·＝0，
得解得或
若＝(－6，－8)，则yB＝－11与yB>0矛盾．
所以舍去．即＝(6,8)．
(2)圆x2－6x＋y2＋2y＝0，
即(x－3)2＋(y＋1)2＝()2，
其圆心为C(3，－1)，半径r＝，
∵＝＋＝(4，－3)＋(6,8)＝(10,5)，
∴直线OB的方程为y＝x.
设圆心C(3，－1)关于直线y＝x的对称点的坐标为(a，b)，
则解得
∴所求的圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10.§9.2 两直线的位置关系
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
1．两条直线的位置关系
斜截式 一般式
方程 y＝k1x＋b1 y＝k2x＋b2 A1x＋B1y＋C1＝0 (A＋B≠0) A2x＋B2y＋C2＝0 (A＋B≠0)
相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0(当A2B2≠0时，记为≠)
垂直 k1k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0(当B1B2≠0时，记为·＝－1)
平行 k1＝k2且b1≠b2 或(当A2B2C2≠0时，记为＝≠)
重合 k1＝k2且b1＝b2 A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0) (当A2B2C2≠0时，记为＝＝)
2. 两个距离公式
(1)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离：
d＝ .
(2)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0 (C1≠C2)间的距离为d＝.
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2 l1∥l2. ( × )
(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1. ( × )
(3)已知直线l1：A1x＋B1y＋C ( http: / / www.21cnjy.com )1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1、B1、C1、A2、B2、C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0. ( √ )
(4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为. ( × )
(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离． ( √ )
(6)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b ( http: / / www.21cnjy.com )(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－，且线段AB的中点在直线l上． ( √ )
2． 若经过点(3，a)、(－2,0)的直线与经过点(3，－4)且斜率为的直线垂直，则a的值为
( )
A. B. C．10 D．－10
答案 D
解析 ∵＝－2，∴a＝－10.
3． 直线Ax＋3y＋C＝0与直线2x－3y＋4＝0的交点在y轴上，则C的值为________．
答案 －4
解析 因为两直线的交点在y轴上，所以点在第一条直线上，所以C＝－4.
4． 已知直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离是，则直线l1的方程为______．
答案 x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0
解析 设l1的方程为x＋y＋c＝0，则＝.
∴|c＋1|＝2，即c＝1或c＝－3.
5． 直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是________．
答案
解析 先将2x＋2y＋1＝0化为x＋y＋＝0，
则两平行线间的距离为d＝＝.
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
题型一 两条直线的平行与垂直
例1 已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．
(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
思维启迪 本题考查两直线平行或垂直成立的充分必要条件，解题易错点在于忽略斜率不存在的情况．
解 (1)由已知可得l2的斜率存在，∴k2＝1－a.
若k2＝0，则1－a＝0，a＝1.
∵l1⊥l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b＝0.
又∵l1过点(－3，－1)，∴－3a＋4＝0，即a＝(矛盾)．
∴此种情况不存在，∴k2≠0.
即k1，k2都存在，∵k2＝1－a，k1＝，l1⊥l2，
∴k1k2＝－1，即(1－a)＝－1.①
又∵l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.②
由①②联立，解得a＝2，b＝2.
(2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，∴直线l1的斜率存在，
k1＝k2，即＝1－a.③
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1∥l2，
∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b，④
联立③④，解得或
∴a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.
思维升华 当直线的方程中存在字母参 ( http: / / www.21cnjy.com )数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x、y的系数不能同时为零这一隐含条件．
已知两直线l1：x＋ysin α－1＝0和l2：2x·sin α＋y＋1＝0，求α的值，使得：
(1)l1∥l2；
(2)l1⊥l2.
解 (1)方法一 当sin α＝0时，直线l1的斜率不存在，l2的斜率为0，显然l1不平行于l2.
当sin α≠0时，k1＝－，k2＝－2sin α.
要使l1∥l2，需－＝－2sin α，
即sin α＝±.
所以α＝kπ±，k∈Z，此时两直线的斜率相等．
故当α＝kπ±，k∈Z时，l1∥l2.
方法二 由A1B2－A2B1＝0，得2sin2α－1＝0，
所以sin α＝±.
又B1C2－B2C1≠0，所以1＋sin α≠0，即sin α≠－1.
所以α＝kπ±，k∈Z.
故当α＝kπ±，k∈Z时，l1∥l2.
(2)因为A1A2＋B1B2＝0是l1⊥l2的充要条件，
所以2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0，所以α＝kπ，k∈Z.
故当α＝kπ，k∈Z时，l1⊥l2.
题型二 两直线的交点
例2 过点P(3,0)作一直线l，使它被两直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0所截的线段AB以P为中点，求此直线l的方程．
思维启迪 求直线的方程一般需要两个已 ( http: / / www.21cnjy.com )知条件，本例已知直线l过一定点P(3,0)，还需要寻求另一个条件．这一条件可以是斜率k或另一个定点，因此，有两种解法．
解 方法一 设直线l的方程为y＝k(x－3)，
将此方程分别与l1，l2的方程联立，
得和
解之，得xA＝和xB＝，
∵P(3,0)是线段AB的中点，由xA＋xB＝6得
＋＝6，解得k＝8.
故直线l的方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0.
方法二 设l1上的点A的坐标为(x1，y1)，
∵P(3,0)是线段AB的中点，
则l2上的点B的坐标为(6－x1，－y1)，
∴解这个方程组，得
∴点A的坐标为(，)，由两点式可得l的方程为8x－y－24＝0.
思维升华 (1)两直线交点的求法
求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点．
(2)常见的三大直线系方程
①与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是
Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
②与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是
Bx－Ay＋m＝0(m∈R)．
③过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0 ( http: / / www.21cnjy.com )与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l1：
x＋2y－1＝0，l2：x＋2y－3＝0所截的线段的中点在直线l3：
x－y－1＝0上，求其方程．
解 与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x＋2y－2＝0.
设所求直线方程为(x＋2y－2)＋λ(x－y－1)＝0，
即(1＋λ)x＋(2－λ)y－2－λ＝0.又直线过(－1,1)，
∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－2－λ＝0.
解得λ＝－.∴所求直线方程为2x＋7y－5＝0.
题型三 距离公式的应用
例3 正方形的中心在C(－1,0)，一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程．
思维启迪 借助平行直线系和垂直直线系设出其他三边所在直线的方程，利用正方形的中心到各边距离相等列出方程求直线系中的参数．
解 点C到直线x＋3y－5＝0的距离d＝＝.
设与x＋3y－5＝0平行的一边所在直线的方程是x＋3y＋m＝0(m≠－5)，
则点C到直线x＋3y＋m＝0的距离d＝＝，
解得m＝－5(舍去)或m＝7，
所以与x＋3y－5＝0平行的边所在直线的方程是x＋3y＋7＝0.
设与x＋3y－5＝0垂直的边所在直线的方程是3x－y＋n＝0，
则点C到直线3x－y＋n＝0的距离d＝＝，
解得n＝－3或n＝9，
所以与x＋3y－5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x－y－3＝0和3x－y＋9＝0.
思维升华 正方形的四条边两两 ( http: / / www.21cnjy.com )平行和垂直，设平行直线系和垂直直线系可以较方便地解决，解题时要结合图形进行有效取舍．本题的解法可以推广到求平行四边形和矩形各边所在直线的方程．
运用点到直线的距离公式时，需把直线方程化为一般式；运用两平行线的距离公式时，需先把两平行线方程中x，y的系数化为相同的形式．
已知点P(2，－1)．
(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；
(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，并求出最大距离．
(3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
解 (1)过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为(2，－1)，可见，过P(2，－1)垂直于x轴的直线满足条件．
此时l的斜率不存在，其方程为x＝2.
若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，
即kx－y－2k－1＝0.
由已知，得＝2，解之得k＝.
此时l的方程为3x－4y－10＝0.
综上，可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.
(2)作图可证过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，
由l⊥OP，得klkOP＝－1.所以kl＝－＝2.
由直线方程的点斜式得y＋1＝2(x－2)，
即2x－y－5＝0，
即直线2x－y－5＝0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为＝.
(3)由(2)可知，过P点不存在到原点距离超过的直线，因此不存在过P点且与原点距离为6的直线．
题型四 对称问题
例4 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．
思维启迪 解决对称问题，不管是轴对称还是中心对称，一般都要转化为点之间的对称问题．
解 (1)设A′(x，y)，再由已知.
解得∴A′(－，)．
(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，
则M(2,0)关于直线l的对称点必在m′上．
设对称点为M′(a，b)，则
解得M′(，)．
设m与l的交点为N，则由
得N(4,3)．
又∵m′经过点N(4,3)，
∴由两点式得直线方程为9x－46y＋102＝0.
(3)设P(x，y)为l′上任意一点，
则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，
∵P′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，
即2x－3y－9＝0.
思维升华 解决成中心对称问 ( http: / / www.21cnjy.com )题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由垂直列一方程，由平分列一方程，联立求解．
光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
解 方法一 由
得
∴反射点M的坐标为(－1,2)．
又取直线x－2y＋5＝0上一点P(－5，0)，设P关于直线l的对称点P′(x0，y0)，由PP′⊥l可知，kPP′＝－＝.
而PP′的中点Q的坐标为，
Q点在l上，∴3·－2·＋7＝0.
由得
根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x－2y＋33＝0.
方法二 设直线x－2y＋5＝0上任意一点P(x0，y0)关于直线l的对称点为P′(x，y)，则＝－，
又PP′的中点Q在l上，
∴3×－2×＋7＝0，
由
可得P点的横、纵坐标分别为
x0＝，y0＝，
代入方程x－2y＋5＝0中，化简得29x－2y＋33＝0，
∴所求反射光线所在的直线方程为29x－2y＋33＝0.
转化与化归思想在对称问题中的应用
典例：(12分)已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)．
(1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小；
(2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大．
思维启迪 处理此类解析几何最值问题时，一般转化为一条线段的长度来计算．
规范解答
解 (1)设A关于直线l的对称点为A′(m，n)，
则，解得，故A′(－2,8)．[3分]
P为直线l上的一点，
则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，
当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，
为|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点，[5分]
解得，
故所求的点P的坐标为(－2,3)．[7分]
(2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，
则||PB|－|PA||≤|AB|，当且仅当A，B，P三点共线时，
||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，[9分]
又直线AB的方程为y＝x－2，
解得，
故所求的点P的坐标为(12,10)．[12分]
温馨提醒 在直线l上找一点P到两定点A，B ( http: / / www.21cnjy.com )的距离之和最小，则点P必在线段AB′上，故将l同侧的点利用对称转化为异侧的点；若点P到两定点A，B的距离之差最大，则点P必在AB′的延长线、或BA′的延长线上，故将l异侧的点利用对称性转化为同侧的点(A′，B′为点A，B关于l的对称点)．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
方法与技巧
1． 两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合 ( http: / / www.21cnjy.com )．对于斜率都存在且不重合的两条直线l1、l2，l1∥l2 k1＝k2；l1⊥l2 k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意．
2． 对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称．利用坐标转移法．
失误与防范
1．在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑．
2．在运用两平行直线间的距离公式d＝时，一定要注意将两方程中x，y的系数化为相同的形式．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
A组 专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1． (2012·浙江)设a∈R，则“a＝1 ( http: / / www.21cnjy.com )”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若直线l1与l2平行，则a(a＋1)－2×1＝0，
即a＝－2或a＝1，
所以“a＝1”是“直线l1与直线l2平行”的充分不必要条件．
2． 从点(2,3)射出的光线沿与向量a＝(8,4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为 ( )
A．x＋2y－4＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x＋6y－16＝0 D．6x＋y－8＝0
答案 A
解析 由直线与向量a＝(8, ( http: / / www.21cnjy.com )4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k＝，所以直线的方程为y－3＝(x－2)，其与y轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A正确．
3． 已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2，2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为( )
A．2x＋3y－18＝0
B．2x－y－2＝0
C．3x－2y＋18＝0或x＋2y＋2＝0
D．2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0
答案 D
解析 设所求直线方程为y－4＝k(x－3)，
即kx－y＋4－3k＝0，
由已知，得＝，
∴k＝2或k＝－.
∴所求直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.
4． 设a、b、c分别是△ABC ( http: / / www.21cnjy.com )中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线xsin A＋ay＋c＝0与bx－ysin B＋sin C＝0的位置关系是 ( )
A．平行 B．重合
C．垂直 D．相交但不垂直
答案 C
解析 由＝，得bsin A－asin B＝0.
∴两直线垂直．
5. 如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反
射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光
线所经过的路程是 ( )
A．2 B．6
C．3 D．2
答案 A
解析 由题意知点P关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对
称点为C(－2,0)，则光线所经过的路程PMN的长为|CD|＝2.
二、填空题
6． 已知直线l1：ax＋3y－1＝0与直线l2：2x＋(a－1)y＋1＝0垂直，
则实数a＝________.
答案
解析 由两直线垂直的条件得2a＋3(a－1)＝0，
解得a＝.
7． 若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是
①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°
其中正确答案的序号是________．
答案 ①⑤
解析 两直线x－y＋1＝0与x－y＋3＝0 ( http: / / www.21cnjy.com )之间的距离为＝，又动直线l1与l2所截得的线段长为2，故动直线与两直线的夹角应为30°，因此只有①⑤适合．
8． 将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________.
答案
解析 由题意可知纸的折痕应是点(0,2 ( http: / / www.21cnjy.com ))与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是，
解得，故m＋n＝.
三、解答题
9． 若直线l过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点，且|AB|＝5，求直线l的方程．
解 过点A(1，－1)与y轴平行的直线为x＝1.
解方程组，
求得B点坐标为(1,4)，此时|AB|＝5，即x＝1为所求．
设过A(1，－1)且与y轴不平行的直线为y＋1＝k(x－1)，
解方程组，
得两直线交点为.
(k≠－2，否则与已知直线平行)．
则B点坐标为(，)．
由已知(－1)2＋(＋1)2＝52，
解得k＝－，∴y＋1＝－(x－1)，
即3x＋4y＋1＝0.
综上可知，所求直线的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.
10．已知△ABC的顶点A(5,1 ( http: / / www.21cnjy.com ))，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．
解 依题意知：kAC＝－2，A(5,1)，
∴lAC为2x＋y－11＝0，
联立lAC、lCM得∴C(4,3)．
设B(x0，y0)，AB的中点M为(，)，
代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，
∴∴B(－1，－3)，
∴kBC＝，∴直线BC的方程为y－3＝(x－4)，
即6x－5y－9＝0.
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
1． (2013·天津)已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂
直，则a等于 ( )
A．－ B．1 C．2 D.
答案 C
解析 圆心为O(1,0)，
由于P(2,2)在圆(x－1)2＋y2＝5上，
∴P为切点，OP与P点处的切线垂直．
∴kOP＝＝2，
又点P处的切线与直线ax－y＋1＝0垂直．
∴a＝kOP＝2，选C.
2． 已知直线l1：y＝xsin α和直线l2：y＝2x＋c，则直线l1与l2 ( )
A．通过平移可以重合
B．可能垂直
C．可能与x轴围成等腰直角三角形
D．通过绕l1上某一点旋转可以重合
答案 D
解析 l1的斜率sin α∈[－ ( http: / / www.21cnjy.com )1,1]，l2的斜率为2，积可能为－1，即两直线可能垂直，斜率不可能相等，所以必相交，l1绕交点旋转可与l2重合．
3． 设m，n∈R，若直线l：mx＋n ( http: / / www.21cnjy.com )y－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且坐标原点O到直线l的距离为，则△AOB的面积S的最小值为 ( )
A. B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 原点O到直线l的距离d＝＝＝，∴m2＋n2＝，
在直线l的方程中，令y＝0可得x＝，
即直线l与x轴交于点A(，0)，令x＝0可得y＝，
即直线l与y轴交于点B(0，)，
∴S△AOB＝|OA|·|OB|＝··＝≥＝3，
当且仅当|m|＝|n|时上式取等号，由于m2＋n2＝，
故当m2＝n2＝时，△AOB面积取最小值3.
4． 点P(2,1)到直线l：mx－y－3＝0(m∈R)的最大距离是________．
答案 2
解析 直线l经过定点Q(0，－3)，如图所示．
由图知，当PQ⊥l时，点P(2,1)到直线l的距离取得最大值
|PQ|＝＝2，
所以点P(2,1)到直线l的最大距离为2.
5． (2013·四川)在平面直角 ( http: / / www.21cnjy.com )坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．
答案 (2,4)
解析 设平面上任一点M，因为|MA| ( http: / / www.21cnjy.com )＋|MC|≥|AC|，当且仅当A，M，C共线时取等号，同理|MB|＋|MD|≥|BD|，当且仅当B，M，D共线时取等号，连接AC，BD交于一点M，若|MA|＋|MC|＋|MB|＋|MD|最小，则点M为所求．
又kAC＝＝2，
∴直线AC的方程为y－2＝2(x－1)，
即2x－y＝0.①
又kBD＝＝－1，
∴直线BD的方程为y－5＝－(x－1)，
即x＋y－6＝0.②
由①②得∴∴M(2,4)．
6． 如图，函数f(x)＝x＋的定义域为(0，＋∞)．设点P是函数
图象上任一点，过点P分别作直线y＝x和y轴的垂线，垂足分
别为M，N.
(1)证明：|PM|·|PN|为定值；
(2)O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．
(1)证明 设P (x0>0)．
则|PN|＝x0，|PM|＝＝，因此|PM|·|PN|＝1.
(2)解 直线PM的方程为y－x0－＝－(x－x0)，
即y＝－x＋2x0＋.
解方程组得x＝y＝x0＋，
S四边形OMPN＝S△NPO＋S△OPM
＝|PN||ON|＋|PM||OM|
＝x0＋
＝＋≥1＋，
当且仅当x0＝，即x0＝1时等号成立，
因此四边形OMPN面积的最小值为1＋.§9.7 抛物线
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
1． 抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(F l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．
2． 抛物线的标准方程与几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
顶点 O(0,0)
对称轴 y＝0 x＝0
焦点 F F F F
离心率 e＝1
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × )
(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线 ( http: / / www.21cnjy.com )是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是(，0)，准线方程是x＝－. ( × )
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形． ( × )
(4)AB为抛物线y2＝2px(p>0) ( http: / / www.21cnjy.com )的过焦点F(，0)的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p. ( √ )
2． 设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是 ( )
A. B．[－2,2]
C．[－1,1] D．[－4,4]
答案 C
解析 Q(－2,0)，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，
由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，
解得－1≤k≤1.
3． (2012·四川)已知抛物线关 ( http: / / www.21cnjy.com )于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|等于 ( )
A．2 B．2
C．4 D．2
答案 B
解析 由题意设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，
则M到焦点的距离为xM＋＝2＋＝3，
∴p＝2，∴y2＝4x.∴y＝4×2＝8，
∴|OM|＝＝＝2.
4． 动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________．
答案 y2＝4x
解析 设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心 ( http: / / www.21cnjy.com )到点(1,0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.
5． 若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为________．
答案 4
解析 因为椭圆＋＝1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y2＝2px的焦点为(2,0)，则p＝4.
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
题型一 抛物线的定义及应用
例1 已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时点P的坐标．
思维启迪 由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，求|PA|＋|PF|的问题可转化为求|PA|＋d的问题．
解 将x＝3代入抛物线方程
y2＝2x，得y＝±.
∵>2，∴A在抛物线内部，如图．
设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为，即|PA|＋|PF|的最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，∴点P的坐标为(2,2)．
思维升华 与抛物线有关的最值问题，一般情 ( http: / / www.21cnjy.com )况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．
已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ( )
A. B．3 C. D.
答案 A
解析 抛物线y2＝2x的焦点为 ( http: / / www.21cnjy.com )F(，0)，准线是l，由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值，结合图形不难得出相应的最小值就等于焦点F到点(0,2)的距离．因此所求的最小值等于 ＝，选A.
题型二 抛物线的标准方程和几何性质
例2 抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2＋y2＝9相交，公共弦MN的长为2，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．
思维启迪 首先确定方程的形式，根据条件列方程确定方程中的系数．
解 由题意，得抛物线方程为x2＝2ay (a≠0)．
设公共弦MN交y轴于A，N在y轴右侧，
则|MA|＝|AN|，而|AN|＝.
∵|ON|＝3，∴|OA|＝＝2，∴N(，±2)．
∵N点在抛物线上，∴5＝2a·(±2)，即2a＝±，
故抛物线的方程为x2＝y或x2＝－y.
抛物线x2＝y的焦点坐标为，准线方程为y＝－.
抛物线x2＝－y的焦点坐标为，准线方程为y＝.
思维升华 (1)由抛物线的标准方程，可以首先确定抛物线的开口方向、焦点的位置及p的值，再进一步确定抛物线的焦点坐标和准线方程．
(2)求抛物线标准方程的常用方法是 ( http: / / www.21cnjy.com )待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．
(1)设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为 ( )
A．y2＝±4x B．y2＝±8x
C．y2＝4x D．y2＝8x
(2)(2013·江西)已知点A(2, ( http: / / www.21cnjy.com )0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|等于 ( )
A．2∶ B．1∶2 C．1∶ D．1∶3
答案 (1)B (2)C
解析 (1)直线方程为y＝2(x－)，令x＝0，得y＝－，
故有4＝·||·|－|＝，
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
∴a＝±8，∴y2＝±8x.
(2)由抛物线定义知M到F的距离等于M到准线l的距离MH.
即|FM|∶|MN|＝|MH|∶|MN|
＝|FO|∶|AF|＝1∶.
题型三 抛物线焦点弦的性质
例3 设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明：直线AC经过原点O.
思维启迪 证直线AC经过原点O，即证O、A、 ( http: / / www.21cnjy.com )C三点共线，为此只需证kOC＝kOA.本题也可结合图形特点，由抛物线的几何性质和平面几何知识去解决．
证明 方法一 设AB：x＝my＋，代入y2＝2px，
得y2－2pmy－p2＝0.
由根与系数的关系，得yAyB＝－p2，即yB＝－.
∵BC∥x轴，且C在准线x＝－上，∴C(－，yB)．
则kOC＝＝＝＝kOA.
∴直线AC经过原点O.
方法二 如图，记准线l与x轴的交点为E，过A作AD⊥l，垂足为D.
则AD∥EF∥BC.连接AC交EF于点N，
则＝＝，
＝.
∵|AF|＝|AD|，|BF|＝|BC|，
∴|EN|＝＝＝|NF|，
即N是EF的中点，从而点N与点O重合，故直线AC经过原点O.
思维升华 本题的“几何味”特别浓， ( http: / / www.21cnjy.com )这就为本题注入了活力．在涉及解析思想较多的证法中，关键是得到yAyB＝－p2这个重要结论．还有些证法充分利用了平面几何知识，这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视，也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析几何题目．
已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)、B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；
(2)＋为定值；
(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为(，0)．
由题意可设直线方程为x＝my＋，代入y2＝2px，
得y2＝2p(my＋)，即y2－2pmy－p2＝0.(*)
则y1、y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2＝－p2.
因为y＝2px1，y＝2px2，所以yy＝4p2x1x2，
所以x1x2＝＝＝.
(2)＋＝＋
＝.
因为x1x2＝，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式，
得＋＝＝(定值)．
(3)设AB的中点为M(x0， ( http: / / www.21cnjy.com )y0)，分别过A、B作准线的垂线，垂足为C、D，过M作准线的垂线，垂足为N，则|MN|＝(|AC|＋|BD|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|.
所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
题型四 直线与抛物线的位置关系
例4 已知抛物线C：y＝mx2(m>0)，焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.
(1)求抛物线C的焦点坐标．
(2)若抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3，求此时m的值．
(3)是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
思维启迪 抛物线上的点到抛物线的焦点距离，往往转化为该点到准线的距离．
解 (1)∵抛物线C：x2＝y，∴它的焦点F(0，)．
(2)∵|RF|＝yR＋，∴2＋＝3，得m＝.
(3)存在，联立方程
消去y得mx2－2x－2＝0，
依题意，有Δ＝(－2)2－4×m×(－2)>0 m>－.
设A(x1，mx)，B(x2，mx)，
则(*)
∵P是线段AB的中点，∴P(，)，
即P(，yP)，∴Q(，)．
得＝(x1－，mx－)，＝(x2－，mx－)，
若存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，
则·＝0，
即(x1－)·(x2－)＋(mx－)(mx－)＝0，
结合(*)化简得－－＋4＝0，
即2m2－3m－2＝0，∴m＝2或m＝－，
而2∈(－，＋∞)，－ (－，＋∞)．
∴存在实数m＝2，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形．
思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长 ( http: / / www.21cnjy.com )问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．
提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．
已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.
(1)求曲线C的方程；
(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且 ( http: / / www.21cnjy.com )与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有·＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
解 (1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足：－x＝1(x＞0)．
化简得y2＝4x(x＞0)．
(2)设过点M(m,0)(m＞0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
设l的方程为x＝ty＋m，由得y2－4ty－4m＝0，
Δ＝16(t2＋m)＞0，
于是①
又＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，
·＜0
(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＜0.②
又x＝，于是不等式②等价于·＋y1y2－＋1＜0 ＋y1y2－＋1＜0.③
由①式，不等式③等价于m2－6m＋1＜4t2.④
对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2－6m＋1＜0，即3－2＜m＜3＋2.
由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有·＜0，且m的取值范围是(3－2，3＋2)．
直线与圆锥曲线问题的求解策略
典例：(15分)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l过F且与抛
物线C交于M，N两点，已知当直线l与x轴垂直时，△OMN的
面积为2(O为坐标原点)．
(1)求抛物线C的方程；
(2)是否存在直线l，使得以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰好在y轴上，若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．
思维启迪 (1)求MN的长，由面积得p的值；
(2)问题的几何条件是：线段MN的中垂线与 ( http: / / www.21cnjy.com )y轴的交点和M，N构成等腰直角三角形，因此依次待定直线，表示中点，得中垂线与y轴交点，利用直角边垂直关系列式求解．
规范解答
解 (1)当直线l与x轴垂直时，则|MN|＝2p，
∴S△OMN＝·2p·＝＝2，即p＝2.
∴抛物线C的方程为y2＝4x.[5分]
(2)∵直线l与x轴垂直时，不满足．设正方形的第三个顶点为P.
故可设直线l：y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(0，y0)，
联立可化简得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
则代入直线l可得MN的中点为(，)，
则线段MN的垂直平分线为y－＝－(x－1－)，
故P(0，＋)．[10分]
又·＝0，则x1x2＋(y1－y0)(y2－y0)＝0.
即x1x2＋y1y2－y0(y1＋y2)＋y＝0.
1－4－y0·＋y＝0，
化解得ky－4y0－3k＝0，
由y0＝＋代入上式，化简得(3k4－4)(k2＋1)＝0.
解得k＝± .
∴存在直线l：y＝± (x－1)．[15分]
解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤：
第一步：联立方程，得关于x或y的一元二次方程；
第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范
围(或指出直线过曲线内一点)
第三步：根据题目要求列出关于x1x2，x1＋x2的关系
式，求得结果；
第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况．
温馨提醒 本题主要考查抛物线的 ( http: / / www.21cnjy.com )几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力；(1)题比较基础，易于掌握；(2)题的基本点是设而不求，难点是如何把几何条件转化为代数方程，重点考查解题思想与方法，其中我们要习惯于把垂直关系转化为向量的数量积为零.
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
方法与技巧
1． 认真区分四种形式的标准方程
(1)区分y＝ax2与y2＝2px (p>0)，前者不是抛物线的标准方程．
(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx或x2＝my(m≠0)．
2． 抛物线的焦点弦：设过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；
(2)若直线AB的倾斜角为θ，则|AB|＝；
(3)若F为抛物线焦点，则有＋＝.
失误与防范
1．求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程．
2．注意应用抛物线的定义解决问题．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
A组 专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1． 抛物线y＝－x2的焦点坐标是 ( )
A．(0，) B．(－，0)
C．(0，－) D．(－，0)
答案 C
解析 把原方程先化为标准方程x2＝－2y，则2p＝2，
∴＝，即焦点坐标为(0，－)，故选C.
2． (2013·四川)抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是 ( )
A. B. C．1 D.
答案 B
解析 抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，
双曲线x2－＝1的渐近线是y＝±x，即x±y＝0，
∴所求距离为＝.选B.
3． 已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其 ( http: / / www.21cnjy.com )焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 ( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
答案 B
解析 ∵y2＝2px的焦点坐标为(，0)，
∴过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，
即x＝y＋，将其代入y2＝2px，得y2＝2py＋p2，
即y2－2py－p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝2p，∴＝p＝2，
∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.
4． 已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点 ( http: / / www.21cnjy.com )弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于 ( )
A．－4 B．4 C．p2 D．－p2
答案 A
解析 ①若焦点弦AB⊥x轴，
则x1＝x2＝，则x1x2＝；
②若焦点弦AB不垂直于x轴，可设AB：y＝k(x－)，
联立y2＝2px得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0，
则x1x2＝.
即x1x2＝，则y1y2＝－p2.故＝－4.
5． 如图，抛物线C1：y2＝2px和圆C2：(x－)2＋y2＝，其中p>0，直线l
经过C1的焦点，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则·的值为
( )
A．p2 B. C. D.
答案 B
解析 设抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，D(x2，y2)，
则|AB|＝|AF|－|BF|＝x1＋－＝x1，
同理|CD|＝x2.
又·＝|AB||CD|＝x1·x2＝.
二、填空题
6． 若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0，3)的距离小2，则点P的轨迹方程是________．
答案 x2＝12y
解析 由题意可知点P到直线 ( http: / / www.21cnjy.com )y＝－3的距离等于它到点(0，3)的距离，故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y＝－3为准线的抛物线，且p＝6，所以其标准方程为x2＝12y.
7． 已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________.
答案 2
解析 设A(x0，y0)，由抛物线定义知x0＋1＝2，
∴x0＝1，则直线AB⊥x轴，
∴|BF|＝|AF|＝2.
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
8． 已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的 ( http: / / www.21cnjy.com )准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若＝，则p＝________.
答案 2
解析
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
如图，由AB的斜率为，
知∠α＝60°，又＝，
∴M为AB的中点．
过点B作BP垂直准线l于点P，
则∠ABP＝60°，∴∠BAP＝30°.
∴＝＝.
∴M为焦点，即＝1，∴p＝2.
三、解答题
9. 如图，已知抛物线y2＝2px (p>0)有一个内接直角三角形，直角顶
点在原点，两直角边OA与OB的长分别为1和8，求抛物线的方程．
解 设直线OA的方程为y＝kx，k≠0，
则直线OB的方程为y＝－x，
由得x＝0或x＝.
∴A点坐标为，
同理得B点坐标为(2pk2，－2pk)，
由|OA|＝1，|OB|＝8，
可得
②÷①解方程组得k6＝64，即k2＝4.
则p2＝＝.
又p>0，则p＝，故所求抛物线方程为y2＝x.
10．(2013·福建)如图，抛物 ( http: / / www.21cnjy.com )线E：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N.
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
(1)若点C的纵坐标为2，求|MN|；
(2)若|AF|2＝|AM|·|AN|，求圆C的半径．
解 (1)抛物线y2＝4x的准线l的方程为x＝－1.
由点C的纵坐标为2，得点C的坐标为(1,2)，
所以点C到准线l的距离d＝2，又|CO|＝，
所以|MN|＝2＝2＝2.
(2)设C(，y0)，则圆C的方程为
(x－)2＋(y－y0)2＝＋y，
即x2－x＋y2－2y0y＝0.
由x＝－1，得y2－2y0y＋1＋＝0，
设M(－1，y1)，N(－1，y2)，则
由|AF|2＝|AM|·|AN|，得|y1y2|＝4，
所以＋1＝4，解得y0＝±，此时Δ>0.
所以圆心C的坐标为(，)或(，－)，
从而|CO|2＝，|CO|＝，即圆C的半径为.
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
1． 设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||等于 ( )
A．9 B．6 C．4 D．3
答案 B
解析 设A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，又F(1,0)．
由＋＋＝0知(x1－1)＋(x2－1)＋(x3－1)＝0，
即x1＋x2＋x3＝3，
||＋||＋||＝x1＋x2＋x3＋p＝6.
2． 已知抛物线C：y2＝4x的焦点为 ( http: / / www.21cnjy.com )F，准线为l，过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A的坐标为( )
A．(2,2) B．(2，－2)
C．(2，±) D．(2，±2)
答案 D
解析 如图所示，由题意，
可得|OF|＝1，由抛物线的定义，
得|AF|＝|AM|，
∵△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3∶1，
∴＝＝3，
∴|AF|＝|AM|＝3，设A，
∴＋1＝3，解得y0＝±2.
∴＝2，∴点A的坐标是(2，±2)．
3． (2012·安徽)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若
|AF|＝3，则△AOB的面积为 ( )
A. B. C. D．2
答案 C
解析 如图所示，
由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，
又|AF|＝3，
由抛物线定义知：点A到准线x＝－1的距离为3，
∴点A的横坐标为2.
将x＝2代入y2＝4x得y2＝8，
由图知点A的纵坐标y＝2，
∴A(2,2)，∴直线AF的方程为y＝2(x－1)．
联立直线与抛物线的方程
解之得或
由图知B，
∴S△AOB＝|OF|·|yA－yB|＝×1×|2＋|
＝.故选C.
4． 已知直线l1：4x－3y＋11＝0和直 ( http: / / www.21cnjy.com )线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________．
答案 3
解析 因为x＝－1恰为抛物线y2＝4x的准线，
所以可画图观察．如图，连接PF
d2＝PF，∴d1＋d2＝d1＋PF≥FQ
＝＝＝3.
5． 如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，
交其准线l于点C，若BC＝2BF，且AF＝3，则此抛物线的方程为
________．
答案 y2＝3x
解析 如图，分别过A，B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
由抛物线的定义知AF＝AA1，BF＝BB1，
∵BC＝2BF，∴BC＝2BB1，
∴∠BCB1＝30°，∴∠AFx＝60°.
则△AA1F为等边三角形，过F作FF1⊥AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于K，
则KF＝A1F1＝AA1＝AF，即p＝，
∴抛物线方程为y2＝3x.
6． 抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．
(1)若＝2，求直线AB的斜率；
(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．
解 (1)依题意知F(1,0)，设直线AB的方程为x＝my＋1.
将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得
y2－4my－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.①
因为＝2，所以y1＝－2y2.②
联立①和②，消去y1，y2，得m＝±.
所以直线AB的斜率是±2.
(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，
从而点O与点C到直线AB的距离相等，
所以四边形OACB的面积等于2S△AOB.
因为2S△AOB＝2×·|OF|·|y1－y2|
＝＝4，
所以当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.专题五 高考中的圆锥曲线问题
1． 已知F1、F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.
答案 8
解析 由题意知(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)
＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋2a，
又由a＝5，可得|AB|＋(|BF2|＋|AF2|)＝20，即|AB|＝8.
2． 设AB为过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为 ( )
A. B．p C．2p D．无法确定
答案 C
解析 当弦AB垂直于对称轴时|AB|最短，
这时x＝，∴y＝±p，|AB|min＝2p.
3． 若双曲线－＝1的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．6
答案 B
解析 双曲线－＝1的渐近线方 ( http: / / www.21cnjy.com )程为y＝±x，即x±ay＝0，圆(x－2)2＋y2＝4的圆心为C(2,0)，半径为r＝2，如图，由圆的弦长公式得弦心距|CD|＝＝，另一方面，圆心C(2,0)到双曲线－＝1的渐近线x－ay＝0的距离为d＝＝，所以＝，解得a2＝1，即a＝1，该双曲线的实轴长为2a＝2.
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
4． 在抛物线y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是 ( )
A．(－2,1) B．(1,2)
C．(2,1) D．(－1,2)
答案 B
解析 如图所示，直线l为抛物线y＝2x2的准线，F为其焦点，PN⊥l，AN1⊥l，由抛物线的定义知，|PF|＝|PN|，
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
∴|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|，
当且仅当A、P、N三点共线时取等号．
∴P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1，
则可排除A、C、D，故选B.
5． 设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A、B两点，则·等于( )
A. B．－
C．3 D．－3
答案 B
解析 方法一 (特殊值法)
抛物线的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线交抛物线于A(，1)，B(，－1)，
∴·＝·
＝－1＝－.
方法二 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则·＝x1x2＋y1y2.
由抛物线的过焦点的弦的性质知：
x1x2＝＝，y1y2＝－p2＝－1.
∴·＝－1＝－.
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
题型一 圆锥曲线中的范围、最值问题
例1 (2012·浙江改编)如图所示，在直角坐标系xOy中，点P(1，)
到抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的
定点，A，B是C上的两动点，且线段AB的中点Q(m，n)在直线
OM上．
(1)求曲线C的方程及t的值；
(2)记d＝，求d的最大值．
思维启迪 (1)依条件，构建关于p，t的方程；
(2)建立直线AB的斜率k与线段AB中点坐标间的关系，并表示弦AB的长度，运用函数的性质或均值不等式求d的最大值．
解 (1)y2＝2px(p>0)的准线x＝－，
∴1－(－)＝，p＝，
∴抛物线C的方程为y2＝x.
又点M(t,1)在曲线C上，∴t＝1.
(2)由(1)知，点M(1,1)，从而n＝m，即点Q(m，m)，
依题意，直线AB的斜率存在，且不为0，
设直线AB的斜率为k(k≠0)．
且A(x1，y1)，B(x2.y2)，
由得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2，故k·2m＝1，
所以直线AB的方程为y－m＝(x－m)，
即x－2my＋2m2－m＝0.
由消去x，
整理得y2－2my＋2m2－m＝0，
所以Δ＝4m－4m2>0，y1＋y2＝2m，y1y2＝2m2－m.
从而|AB|＝ ·|y1－y2|
＝·
＝2
∴d＝＝2≤m＋(1－m)＝1，
当且仅当m＝1－m，
即m＝时，上式等号成立，
又m＝满足Δ＝4m－4m2>0.
∴d的最大值为1.
思维升华 圆锥曲线中的最值问题解决方法 ( http: / / www.21cnjy.com )一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用均值不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
已知点A(－1,0)，B(1,0)，动点M的轨迹曲线C满足∠AMB＝2θ，||·|
|cos2θ＝3，过点B的直线交曲线C于P，Q两点．
(1)求||＋||的值，并写出曲线C的方程；
(2)求△APQ面积的最大值．
解 (1)设M(x，y)，在△MAB中，
|AB|＝2，∠AMB＝2θ，
根据余弦定理得
||2＋||2－2||·||cos 2θ＝4.
即(||＋||)2－2||·||(1＋cos 2θ)＝4.
(||＋||)2－4||·||cos2θ＝4.
而||·||cos2θ＝3，
所以(||＋||)2－4×3＝4.
所以||＋||＝4.
又||＋||＝4>2＝|AB|，
因此点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(点M在x轴上也符合题意)，a＝2，c＝1.
所以曲线C的方程为＋＝1.
(2)设直线PQ的方程为x＝my＋1.
由
消去x并整理得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0.①
显然方程①的Δ>0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则S△APQ＝×2×|y1－y2|＝|y1－y2|.
由根与系数的关系得
y1＋y2＝－，y1y2＝－.
所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝48×.
令t＝3m2＋3，则t≥3，(y1－y2)2＝.
由于函数φ(t)＝t＋在[3，＋∞)上是增函数，
所以t＋≥，当t＝3m2＋3＝3，即m＝0时取等号．
所以(y1－y2)2≤＝9，即|y1－y2|的最大值为3.
所以△APQ面积的最大值为3，
此时直线PQ的方程为x＝1.
题型二 圆锥曲线中的定点、定值问题
例2 (2012·福建)如图，等边三角形OAB的边长为8，且其三个
顶点均在抛物线E：x2＝2py(p>0)上．
(1)求抛物线E的方程；
(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q，证明：以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．
思维启迪 既然圆过y轴上的点，即满足·＝0，对任意P、Q恒成立可待定M(0，y1)，也可给定特殊的P点，猜想M点坐标，再证明．
(1)解 依题意，得|OB|＝8，∠BOy＝30°.
设B(x，y)，则x＝|OB|sin 30°＝4，y＝|OB|cos 30°＝12.
因为点B(4，12)在x2＝2py上，
所以(4)2＝2p×12，解得p＝2.
故抛物线E的方程为x2＝4y.
(2)证明 方法一 由(1)知y＝x2，y′＝x.
设P(x0，y0)，则x0≠0，且l的方程为
y－y0＝x0(x－x0)，即y＝x0x－x.
由得
所以Q为.
设M(0，y1)，令·＝0对满足y0＝x(x0≠0)的x0，y0恒成立．
由于＝(x0，y0－y1)，＝，
由·＝0，得－y0－y0y1＋y1＋y＝0，
即(y＋y1－2)＋(1－y1)y0＝0.(*)
由于(*)式对满足y0＝x(x0≠0)的y0恒成立，
所以解得y1＝1.
故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1)．
方法二 由(1)知y＝x2，y′＝x.
设P(x0，y0)，则x0≠0，
且l的方程为y－y0＝x0(x－x0)，
即y＝x0x－x.
由得
所以Q为.
取x0＝2，此时P(2,1)，Q(0，－1)，
以PQ为直径的圆为(x－1)2＋y2＝2，
交y轴于点M1(0,1)或M2(0，－1)；
取x0＝1，此时P，Q，
以PQ为直径的圆为2＋2＝，
交y轴于点M3(0,1)、M4.
故若满足条件的点M存在，只能是M(0,1)．
以下证明点M(0,1)就是所要求的点．
因为＝(x0，y0－1)，＝，
所以·＝－2y0＋2＝2y0－2－2y0＋2＝0.
故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1)．
思维升华 求定点及定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
(2013·江西)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝ ，a＋b＝3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图所示，A、B、D是椭圆C的顶点 ( http: / / www.21cnjy.com )，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m.证明：2m－k为定值．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
(1)解 因为e＝＝，
所以a＝c，b＝c.
代入a＋b＝3得，c＝，a＝2，b＝1.
故椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明 方法一 因为B(2,0)，点P不为椭圆顶点，则直线BP的方程为y＝k(x－2)(k≠0，k≠±)，①
①代入＋y2＝1，解得P.
直线AD的方程为y＝x＋1.②
①与②联立解得M.
由D(0,1)，P，N(x,0)三点共线知
＝，解得N.
所以MN的斜率为m＝
＝＝.
则2m－k＝－k＝(定值)．
方法二 设P(x0，y0)(x0≠0，±2)，则k＝，
直线AD的方程为y＝(x＋2)，
直线BP的方程为y＝(x－2)，
直线DP的方程为y－1＝x，令y＝0，
由于y0≠1可得N，
联立，
解得M，
因此MN的斜率为
m＝＝
＝
＝，
所以2m－k＝－
＝
＝
＝
＝(定值)．
题型三 圆锥曲线中的探索性问题
例3 (2012·广东)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝ ，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.
(1)求椭圆C的方程．
(2)在椭圆C上，是否存在点M ( http: / / www.21cnjy.com )(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．
思维启迪 圆锥曲线中，这类问题 ( http: / / www.21cnjy.com )的解题思想是假设其结论成立、存在等，在这个假设下进行推理论证，如果得到了一个合情合理的推理结果，就肯定假设，对问题作出正面回答；如果得到一个矛盾的结果，就否定假设，对问题作出反面回答．
解 (1)∵e2＝＝＝，
∴a2＝3b2，
∴椭圆方程为＋＝1，即x2＋3y2＝3b2.
设椭圆上的点到点Q(0,2)的距离为d，则
d＝＝
＝＝，
∴当y＝－1时，d取得最大值，dmax＝＝3，
解得b2＝1，∴a2＝3.
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)假设存在点M(m，n)满足题意，则＋n2＝1，
即m2＝3－3n2.
设圆心到直线l的距离为d′，则d′<1，
d′＝＝.
∴|AB|＝2＝2 .
∴S△OAB＝|AB|d′＝·2 ·
＝ .
∵d′<1，∴m2＋n2>1，
∴0<<1，
∴1－>0.
∴S△OAB＝
≤ ＝，
当且仅当＝1－，
即m2＋n2＝2>1时，S△OAB取得最大值.
由得
∴存在点M满足题意，M点坐标为，，或，
此时△OAB的面积为.
思维升华 (1)存在性问题通常采用“肯定顺推 ( http: / / www.21cnjy.com )法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．
(2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法．
已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于下表中：
x 3 －2 4
y －2 0 －4
(1)求C1，C2的标准方程；
(2)是否存在直线l满足条件：①过C2的焦点F；②与C1交于不同的两点M，N，且满足⊥？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
解 (1)设抛物线C2：y2＝2px(p≠0)，则有＝2p(x≠0)，
据此验证四个点知(3，－2)，(4，－4)在C2上，
易求得C2的标准方程为y2＝4x.
设椭圆C1：＋＝1(a>b>0)，
把点(－2,0)，(，)代入得，
解得，所以C1的标准方程为＋y2＝1.
(2)容易验证当直线l的斜率不存在时，不满足题意．
当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－1)，
与C1的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由
消去y并整理得(1＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－1)＝0，
于是x1＋x2＝，①
x1x2＝.②
所以y1y2＝k2(x1－1)(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]
＝k2[－＋1]＝－.③
由⊥，即·＝0，得x1x2＋y1y2＝0.(*)
将②③代入(*)式，得－＝＝0，
解得k＝±2，所以存在直线l满足条件，
且直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋y－2＝0.
题型四 直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
例4 (2013·浙江)如图，点P(0，－1)是椭圆C1：＋＝1(a>b>0) 的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
(1)求椭圆C1的方程；
(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．
思维启迪 (1)根据椭圆的几何性质易求出a，b的值，从而写出椭圆的方程；
(2)要求△ABD的面积，需要求出AB，P ( http: / / www.21cnjy.com )D的长，AB是圆的弦，考虑用圆的知识来求，PD应当考虑用椭圆的相关知识来求．求出AB，PD的长后，表示出△ABD的面积，再根据式子的形式选择适当的方法求最值．
解 (1)由题意得
所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．
由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，
则直线l1的方程为y＝kx－1.
又圆C2：x2＋y2＝4，
故点O到直线l1的距离d＝，
所以|AB|＝2＝2.
又l2⊥l1，故直线l2的方程为x＋ky＋k＝0.
由消去y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0，
故x0＝－.所以|PD|＝.
设△ABD的面积为S，则S＝·|AB|·|PD|
＝，
所以S＝≤
＝，
当且仅当k＝±时取等号．
所以所求直线l1的方程为y＝±x－1.
思维升华 对直线、圆及圆 ( http: / / www.21cnjy.com )锥曲线的交汇问题，要认真审题，学会将问题拆分成基本问题，然后综合利用数形结合思想、化归与转化思想、方程的思想等来解决问题，这样可以渐渐增强自己解决综合问题的能力．
(2013·重庆) 如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e＝，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A′两点，|AA′|＝4.
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同 ( http: / / www.21cnjy.com )的两点P，P′，过P，P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥P′Q，求圆Q的标准方程．
解 (1)由题意知点A(－c,2)在椭圆上，
则＋＝1.从而e2＋＝1.
由e＝得b2＝＝8，从而a2＝＝16.
故该椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由椭圆的对称性，可设Q(x0,0)．
又设M(x，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2＝(x－x0)2＋y2＝x2－2x0x＋x＋8＝(x－2x0)2－x＋8
(x∈[－4,4])．
设P(x1，y1)，由题意知，点P是椭圆上到点Q的距离最小的点．
因此，上式当x＝x1时取最小值，又因为x1∈(－4,4)，所以上式当x＝2x0时取最小值，
从而x1＝2x0，且|QP|2＝8－x.
因为PQ⊥P′Q，且P′(x1，－y1)，
所以·＝(x1－x0，y1)·(x1－x0，－y1)＝0，
即(x1－x0)2－y＝0.
由椭圆方程及x1＝2x0得x－8＝0，
解得x1＝±，x0＝＝±.
从而|QP|2＝8－x＝.
故这样的圆有两个，其标准方程分别为
2＋y2＝，2＋y2＝.
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
(时间：80分钟)
1． 已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
解 方法一 (1)依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，且可知其左焦点为F′(－2,0)．
从而有解得
又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)假设存在符合题意的直线l，设其方程为y＝x＋t.
由得3x2＋3tx＋t2－12＝0.
因为直线l与椭圆C有公共点，
所以Δ＝(3t)2－4×3×(t2－12)≥0，
解得－4≤t≤4.
另一方面，由直线OA与l的距离d＝4，得＝4，解得t＝±2.
由于±2 [－4，4]，
所以符合题意的直线l不存在．
方法二 (1)依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，
且有解得b2＝12，b2＝－3(舍去)．
从而a2＝16.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)同方法一．
2. 如图，椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的离心率为，x轴被曲
线C2：y＝x2－b截得的线段长等于C1的长半轴长．
(1)求C1，C2的方程；
(2)设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，两直线MA，MB分别与C1相交于点D，E.
①证明：MD⊥ME；
②记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2.问：是否存在直线l，使得＝？请说明理由．
(1)解 由题意知，e＝＝，从而a＝2b，
又2＝a，所以a＝2，b＝1.
故C1，C2的方程分别为＋y2＝1，y＝x2－1.
(2)①证明 由题意知，直线l的斜率存在，设为k，
则直线l的方程为y＝kx，由
得x2－kx－1＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1，x2是上述方程的两个实根，
于是x1＋x2＝k，x1x2＝－1.
又点M的坐标为(0，－1)，
所以kMA·kMB＝·＝
＝＝＝－1.
故MA⊥MB，即MD⊥ME.
②解 设直线MA的斜率为k1，
则直线MA的方程为y＝k1x－1.
由解得或
故点A的坐标为(k1，k－1)．
又直线MB的斜率为－，
同理可得点B的坐标为(－，－1)．
于是S1＝|MA|·|MB|
＝·|k1|··|－|
＝.
由得(1＋4k)x2－8k1x＝0，
解得或
故点D的坐标为(，)．
又直线ME的斜率为－，
同理可得点E的坐标为(，)．
于是S2＝|MD|·|ME|＝.
因此＝(4k＋＋17)．
由题意知，(4k＋＋17)＝，
解得k＝4或k＝.
又由点A，B的坐标可知，k＝＝k1－，
所以k＝±.
故满足条件的直线l存在，且有两条，
其方程分别为y＝x，y＝－x.
3． 如图，已知直线l：y＝kx－2与抛物线C：x2＝－2py(p>0)交于
A、B两点，O为坐标原点，＋＝(－4，－12)．
(1)求直线l的方程和抛物线C的方程；
(2)若抛物线上一动点P从A到B运动时，求△ABP面积的最大值．
解 (1)由，得x2＋2pkx－4p＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2pk，
y1＋y2＝k(x1＋x2)－4＝－2pk2－4.
∵＋＝(x1＋x2，y1＋y2)
＝(－2pk，－2pk2－4)
＝(－4，－12)，
∴，
解得，故直线l的方程为y＝2x－2，
抛物线C的方程为x2＝－2y.
(2)方法一 由，得x2＋4x－4＝0，
∴|AB|＝·
＝·＝4.
设P(t，－t2)(－2－2∵|AB|为定值，
∴当点P到直线l的距离d最大时，△ABP的面积最大．
而d＝＝，
又－2－2∴当P点坐标为(－2，－2)时，
△ABP面积的最大值为＝8.
方法二 设P(x0，y0)，依题意，知当抛物线在点P处的切线与l平行时，△ABP的面积最大．
∵y′＝－x，
∴x0＝－2，y0＝－x＝－2，P(－2，－2)．
此时点P到直线l的距离为＝
＝.
由，得x2＋4x－4＝0，
∴|AB|＝·
＝·＝4，
故△ABP面积的最大值为＝8.
4. 如图，椭圆长轴的端点为A，B，O为椭圆的中心，F为椭圆
的右焦点，且·＝1，||＝1.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)记椭圆的上顶点为M，直线 ( http: / / www.21cnjy.com )l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
解 (1)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则c＝1，
又∵·＝(a＋c)·(a－c)＝a2－c2＝1.
∴a2＝2，b2＝1，
故椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，
且F恰为△PQM的垂心，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
∵M(0,1)，F(1,0)，∴直线l的斜率k＝1.
于是设直线l为y＝x＋m，由
得3x2＋4mx＋2m2－2＝0，
x1＋x2＝－m，①
x1x2＝.②
∵·＝x1(x2－1)＋y2(y1－1)＝0.
又yi＝xi＋m(i＝1,2)，
∴x1(x2－1)＋(x2＋m)(x1＋m－1)＝0，
即2x1x2＋(x1＋x2)(m－1)＋m2－m＝0.
将①②代入得2·－(m－1)＋m2－m＝0，
解得m＝－或m＝1，经检验m＝－符合条件．
故存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心，
直线l的方程为y＝x－.
5． 在平面直角坐标系xOy中， ( http: / / www.21cnjy.com )已知椭圆＋＝1的左，右顶点分别为A，B，右焦点为F.设过点T(t，m)的直线TA，TB与此椭圆分别交于点M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中m>0，y1>0，y2<0.
(1)设动点P满足：|PF|2－|PB|2＝4，求点P的轨迹；
(2)设x1＝2，x2＝，求点T的坐标；
(3)设t＝9，求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)．
(1)解 设P(x，y)，由题知F(2,0)，B(3,0)，A(－3,0)，
则|PF|2＝(x－2)2＋y2，|PB|2＝(x－3)2＋y2，
由|PF|2－|PB|2＝4，得(x－2)2＋y2－[(x－3)2＋y2]＝4，
化简，得x＝.故点P的轨迹方程是x＝.
(2)解 将x1＝2，x2＝分别代入椭圆方程，
并考虑到y1>0，y2<0，得M，N.
则直线MA的方程为＝，即x－3y＋3＝0
直线NB的方程为＝，即5x－6y－15＝0.
联立方程解得x＝7，y＝，
所以点T的坐标为.
(3)证明 如图所示，
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
点T的坐标为(9，m)．
直线TA的方程为＝，
直线TB的方程为＝，
分别与椭圆＋＝1联立方程，
解得M，
N.
直线MN的方程为
＝.
令y＝0，解得x＝1，所以直线MN必过x轴上的一定点(1,0)．
6． (2012·上海)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2－y2＝1.
(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积．
(2)设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点．若l与圆x2＋y2＝1相切，求证：OP⊥OQ.
(3)设椭圆C2：4x2＋y2＝1.若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．
(1)解 双曲线C1：－y2＝1，左顶点A，渐近线方程：y＝±x.
不妨取过点A与渐近线y＝x平行的直线方程为
y＝，即y＝x＋1.
解方程组得
所以所求三角形的面积为S＝|OA||y|＝.
(2)证明 设直线PQ的方程是y＝x＋b.
因为直线PQ与已知圆相切，故＝1，即b2＝2.
由得x2－2bx－b2－1＝0.
设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则
又y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)，所以
·＝x1x2＋y1y2＝2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2
＝2(－1－b2)＋2b2＋b2＝b2－2＝0.
故OP⊥OQ.
(3)证明 当直线ON垂直于x轴时，
|ON|＝1，|OM|＝，则O到直线MN的距离为.
当直线ON不垂直于x轴时，设直线ON的方程为y＝kx，
则直线OM的方程为y＝－x.
由得
所以|ON|2＝.同理|OM|2＝.
设O到直线MN的距离为d，
因为(|OM|2＋|ON|2)d2＝|OM|2|ON|2，
所以＝＋＝＝3，即d＝.
综上，O到直线MN的距离是定值．压轴题目突破练——平面解析几何
A组 专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1． 已知两条直线l1：y＝x，l2 ( http: / / www.21cnjy.com )：ax－y＝0，其中a为实数，当这两条直线的夹角在内变动时，a的取值范围是 ( )
A．(0,1) B.
C.∪(1，) D．(1，)
答案 C
解析 直线l1的倾斜角为，依题意l2的倾斜角的取值范围为∪，即∪，从而l2的斜率a的取值范围为∪(1，)．
2． 若圆(x－3)2＋(y ( http: / / www.21cnjy.com )＋5)2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则半径r的取值范围是 ( )
A．(4,6) B．[4,6) C．(4,6] D．[4,6]
答案 A
解析 因为圆心(3，－5)到直线4x－3y－2＝0的距离为＝5，
所以当半径r＝4时，圆上有1个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，当半径r＝6时，圆上有3个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，
所以圆上有且只有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1时，43． 已知双曲线－＝1 (a> ( http: / / www.21cnjy.com )0，b>0)与抛物线y2＝8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|＝5，则双曲线的渐近线方程为 ( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
答案 A
解析 设点P(x0，y0)．依题意得，焦点F(2,0)，
于是有x0＝3，y＝24；
由此解得a2＝1，b2＝3，
因此该双曲线的渐近线方程是y＝±x＝±x.
4． 已知抛物线y2＝8x的焦点F ( http: / / www.21cnjy.com )到双曲线C：－＝1(a>0，b>0)渐近线的距离为，点P是抛物线y2＝8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1(0，c)的距离与到直线x＝－2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为 ( )
A.－＝1 B．y2－＝1
C.－x2＝1 D.－＝1
答案 C
解析 由题意得，抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)，
双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的方程为ax－by＝0，
∵抛物线y2＝8x的焦点F到双曲线C：－＝1(a>0，b>0)渐近线的距离为，
∴＝，∴a＝2b.
∵P到双曲线C的上焦点F1(0，c)的距离与到直线x＝－2的距离之和的最小值为3，
∴|FF1|＝3，∴c2＋4＝9，∴c＝，
∵c2＝a2＋b2，a＝2b，∴a＝2，b＝1.
∴双曲线的方程为－x2＝1，故选C.
5． 已知椭圆E的左、右焦点分别为F1、 ( http: / / www.21cnjy.com )F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P、Q两点，若△PF1F2为直角三角形，则椭圆E的离心率为 ( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
由题意可知，∠F1PF2是直角，且tan∠PF1F2＝2，∴＝2，又|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF1|＝，|PF2|＝.
根据勾股定理得2＋2＝(2c)2，
所以离心率e＝＝.
二、填空题
6． 如果＋＝－1表示焦点在y轴上的双曲线，那么它的半焦距c的取值范围是________．
答案 (1，＋∞)
解析 将原方程化成标准方程为－＝1.
由题意知k－1>0且k－2>0，解得k>2.
又a2＝k－1，b2＝k－2，所以c2＝a2＋b2＝2k－3>1，
所以c>1，故半焦距c的取值范围是(1，＋∞)．
7． 若点(3,1)是抛物线y2＝2px一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p＝________.
答案 2
解析 设弦两端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
则，两式相减得，＝＝2.
又∵y1＋y2＝2，∴p＝2.
8． 已知抛物线x2＝4y的焦点为 ( http: / / www.21cnjy.com )F，经过F的直线与抛物线相交于A，B两点，则以AB为直径的圆在x轴上所截得的弦长的最小值是________．
答案 2
解析 由抛物线定义得以AB为直径的圆与抛物 ( http: / / www.21cnjy.com )线的准线相切，利用直角三角形中勾股定理得到弦长的解析式，再求弦长的最小值．设以AB为直径的圆的半径为r，则|AB|＝2r≥4，r≥2，且圆心到x轴的距离是r－1，所以在x轴上所截得的弦长为2＝2≥2，即弦长的最小值是2.
三、解答题
9． 已知椭圆C的中心为坐标原点 ( http: / / www.21cnjy.com )O，一个长轴顶点为(0,2)，它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于异于椭圆顶点的两点A，B，且＝2.
(1)求椭圆的方程；
(2)求m的取值范围．
解 (1)由题意，知椭圆的焦点在y轴上，
设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意，知a＝2，b＝c，又a2＝b2＋c2，则b＝，
所以椭圆方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，知直线l的斜率存在，
设其方程为y＝kx＋m，与椭圆方程联立，
即消去y，得
(2＋k2)x2＋2mkx＋m2－4＝0，
Δ＝(2mk)2－4(2＋k2)(m2－4)>0，
由根与系数的关系，知
又＝2，即有(－x1，m－y1)＝2(x2，y2－m)，
所以－x1＝2x2.
则所以＝－22.
整理，得(9m2－4)k2＝8－2m2，
又9m2－4＝0时等式不成立，
所以k2＝>0，得0.
所以m的取值范围为∪.
10．已知中心在原点的椭圆C：＋＝1的一个焦点为F1(0,3)，M(x,4)(x>0)为椭圆C上一点，△MOF1的面积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在平行于OM的直 ( http: / / www.21cnjy.com )线l，使得直线l与椭圆C相交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
解 (1)因为椭圆C的一个焦点为F1(0,3)，
所以c＝3，b2＝a2＋9，则椭圆C的方程为＋＝1，
因为x>0，所以＝×3×x＝，解得x＝1.
故点M的坐标为(1,4)．
因为点M(1,4)在椭圆上，所以＋＝1，
得a4－8a2－9＝0，
解得a2＝9或a2＝－1(不合题意，舍去)，
则b2＝9＋9＝18，所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)假设存在符合题意的直线l与椭圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，其方程为y＝4x＋m(因为直线OM的斜率k＝4)，
由消去y化简，得18x2＋8mx＋m2－18＝0.
进而得到x1＋x2＝－，x1·x2＝.
因为直线l与椭圆C相交于A，B两点，
所以Δ＝(8m)2－4×18×(m2－18)>0，
化简得m2<162，解得－9因为以线段AB为直径的圆恰好经过原点，
所以·＝0，所以x1x2＋y1y2＝0.
又y1y2＝(4x1＋m)(4x2＋m)＝16x1x2＋4m(x1＋x2)＋m2，
x1x2＋y1y2＝17x1x2＋4m(x1＋x2)＋m2
＝－＋m2＝0.
解得m＝±.由于±∈(－9，9)，
所以符合题意的直线l存在，且所求的直线l的方程为
y＝4x＋或y＝4x－.
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
1． 由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为( )
A．1 B．2 C. D．3
答案 C
解析 如图所示，设直线上一点P，
切点为Q，圆心为M，则|PQ|即为切线长，
MQ为圆M的半径，长度为1，
|PQ|＝
＝，
要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，
此题转化为求直线y＝x＋1上的点到圆心M的最小距离，
设圆心到直线y＝x＋1的距离为d，
则d＝＝2.所以|PM|的最小值为2.
所以|PQ|＝≥＝.
2． 在抛物线y＝x2＋ax ( http: / / www.21cnjy.com )－5(a≠0)上取横坐标为x1＝－4，x2＝2的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2＋5y2＝36相切，则抛物线顶点的坐标为 ( )
A．(－2，－9) B．(0，－5)
C．(2，－9) D．(1，－6)
答案 A
解析 当x1＝－4时，y1＝11 ( http: / / www.21cnjy.com )－4a；当x2＝2时，y2＝2a－1，所以割线的斜率k＝＝a－2.设直线与抛物线的切点横坐标为x0，由y′＝2x＋a得切线斜率为2x0＋a，∴2x0＋a＝a－2，∴x0＝－1.
∴直线与抛物线的切点坐标为(－1，－a－4)，切线方程为y＋a＋4＝(a－2)(x＋1)，即(a－2)x－y－6＝0.
圆5x2＋5y2＝36的圆心到切线的距离d＝.由题意得＝，即(a－2)2＋1＝5.又a≠0，
∴a＝4，此时，y＝x2＋4x－5＝(x＋2)2－9，
顶点坐标为(－2，－9)．
3． 过椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点 ( http: / / www.21cnjy.com )A且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M，与y轴的交点为B，若|AM|＝|MB|，则该椭圆的离心率为________．
答案
解析 由题意知A点的坐标为(－a,0)，
设直线的方程为y＝x＋a，
∴B点的坐标为(0，a)，故M点的坐标为，
代入椭圆方程得a2＝3b2，∴2a2＝3c2，∴e＝.
4． 设抛物线y2＝2x的焦点为F，过F的直线交该抛物线于A，B两点，则|AF|＋4|BF|的最小值为________．
答案
解析 设A(x1，y1)，B( ( http: / / www.21cnjy.com )x2，y2)，则由抛物线定义可得|AF|＋4|BF|＝x1＋＋4＝x1＋＋4＝x1＋4x2＋，设直线AB的方程为ky＝x－，联立抛物线方程得方程组消元整理得y2－2ky－1＝0，由根与系数的关系可得y1y2＝－1，又A，B在抛物线上，代入方程得yy＝2x1·2x2＝4x1x2＝1，即x1x2＝，因此根据均值不等式|AF|＋4|BF|＝x1＋4x2＋≥2＋＝2＋＝，当且仅当x1＝4x2时取得最小值.
5． 已知抛物线Ω的顶点是坐标原点O，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线l与抛物线交于M，N两点，且满足·＝－3.
(1)求抛物线Ω的方程；
(2)若直线y＝x与抛物 ( http: / / www.21cnjy.com )线Ω交于A，B两点，在抛物线Ω上是否存在异于A，B的点C，使得经过A，B，C三点的圆和抛物线Ω在点C处有相同的切线？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
解 (1)依题意，设抛物线Ω的方程为x2＝2py(p>0)，
则F(0，)，
由直线l的斜率存在，设为k，
得l的方程为y＝kx＋，
联立方程消去y并整理，
得x2－2pkx－p2＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－p2，
又y1y2＝(kx1＋)(kx2＋)
＝k2x1x2＋kp(x1＋x2)＋
＝k2·(－p2)＋kp·2kp＋＝.
所以·＝x1x2＋y1y2＝－p2＋＝－3，
因为p>0，解得p＝2，
故所求抛物线Ω的方程为x2＝4y.
(2)联立方程可求得A(0,0)，B(4,4)，
假设抛物线Ω上存在异于A，B的点C，且设C的坐标为(t，)(t≠0，t≠4)，使得经过A，B，C三点的圆和抛物线Ω在点C处有相同的切线，
令圆心为E(a，b)，则由
得
即解得①
因为抛物线Ω在点C处的切线斜率k′＝y′|x＝t＝(t≠0，t≠4)，
又该切线与EC垂直，所以·＝－1，
即2a＋bt－2t－＝0.②
将①代入②得，2(－)＋t·－2t－＝0，
即t3－2t2－8t＝0，因为t≠0，t≠4，解得t＝－2.
故存在点C且坐标为(－2,1)．§9.5 椭 圆
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
1． 椭圆的概念
在平面内与两定点F1、F2的距 ( http: / / www.21cnjy.com )离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若a>c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a2． 椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
图形 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
性质 范围 －a≤x≤a－b≤y≤b －b≤x≤b－a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0)
轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距 |F1F2|＝2c
离心率 e＝∈(0,1) a，b，c的关系 c2＝a2－b2
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆． ( × )
(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2 ( http: / / www.21cnjy.com )构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)． ( √ )
(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆． ( × )
(4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆． ( √ )
2． 已知椭圆的焦点在y轴上，若椭圆＋＝1的离心率为，则m的值是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 由题意知a2＝m，b2＝2，∴c2＝m－2.
∵e＝，∴＝，∴＝，∴m＝.
3． (2013·广东)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是
( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 D
解析 由题意知c＝1，e＝＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝3.故所求椭圆方程为＋＝1.
4． 如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是__________．
答案 (0,1)
解析 将椭圆方程化为＋＝1，
∵焦点在y轴上，∴>2，即k<1，又k>0，∴05． 已知椭圆＋＝1(a>b> ( http: / / www.21cnjy.com )0)的两焦点为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．
答案 －1
解析 设过左焦点F1的正三角形的边交椭圆于A，则|AF1|＝c，|AF2|＝c，有2a＝(1＋)c，
∴e＝＝＝－1.
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
题型一 椭圆的定义及标准方程
例1 (1)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，且点N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是 ( )
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
(2)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P(3,0)，则椭圆的方程为________．
(3)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)、P2(－，－)，则椭圆的方程为________．
思维启迪 (1)题主要考虑椭圆的定义；
(2)题要分焦点在x轴和y轴上两种情况；
(3)可以用待定系数法求解．
答案 (1)B (2)＋y2＝1或＋＝1
(3)＋＝1
解析 (1)点P在线段AN的垂直平分线上，
故|PA|＝|PN|，
又AM是圆的半径，
∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|，
由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆．
(2)若焦点在x轴上，设方程为＋＝1(a>b>0)，
∵椭圆过P(3,0)，∴＋＝1，即a＝3，
又2a＝3×2b，∴b＝1，方程为＋y2＝1.
若焦点在y轴上，设方程为＋＝1(a>b>0)．
∵椭圆过点P(3,0)．∴＋＝1，即b＝3.
又2a＝3×2b，∴a＝9，∴方程为＋＝1.
∴所求椭圆的方程为＋y2＝1或＋＝1.
(3)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)．
∵椭圆经过P1、P2点，∴P1、P2点坐标适合椭圆方程．
则
①、②两式联立，解得
∴所求椭圆方程为＋＝1.
思维升华 (1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件．
(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法 ( http: / / www.21cnjy.com )，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1 (m>0，n>0，m≠n)的形式．
(1)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．
(2)已知P是椭圆＋＝1上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________．
答案 (1)＋＝1 (2)12
解析 (1)方法一 椭圆＋＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.
由椭圆的定义知，2a＝＋，解得a＝2.
由c2＝a2－b2可得b2＝4.
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
方法二 因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.
设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①
又点(，－)在所求椭圆上，所以＋＝1，
即＋＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)根据椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝20，①
在△PF1F2中，由余弦定理，
得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°＝256.②
①2－②得|PF1|·|PF2|＝48.
∴＝|PF1|·|PF2|sin 60°＝12.
题型二 椭圆的几何性质
例2 (1)在Rt△ABC中，AB＝AC＝1，如果一个椭圆通过A，B两点，它的一个焦点为点C，另一个焦点在AB上，求这个椭圆的离心率．
(2)如图，焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率e＝，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，求·的最大值和最小值．
思维启迪 本题主要考查椭圆的几何性 ( http: / / www.21cnjy.com )质及其应用，解题(1)的关键是根据题意求出a，c的值；解题(2)的关键是表示出·，根据椭圆的性质确定变量的取值范围．
解 (1)设椭圆的焦半径为c，设另一个焦点为F，如图所示，
∵AB＝AC＝1，△ABC为直角三角形，
∴1＋1＋＝4a，则a＝.
设FA＝x，∴
∴x＝，∴1＋()2＝4c2，
∴c＝，e＝＝－.
(2)设P点坐标为(x0，y0)．由题意知a＝2，
∵e＝＝，∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.
所求椭圆方程为＋＝1.
∴－2≤x0≤2，－≤y0≤.
又F(－1,0)，A(2,0)，＝(－1－x0，－y0)，
＝(2－x0，－y0)，
∴·＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝(x0－2)2.
当x0＝2时，·取得最小值0，
当x0＝－2时，·取得最大值4.
思维升华 (1)求椭圆的离心率的方法
①直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．
②构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．
③通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些 ( http: / / www.21cnjy.com )不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0 (1)已知点F1，F2是椭圆x2＋2y2＝2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|＋|的最小值是 ( )
A．0 B．1 C．2 D．2
(2)(2013·辽宁)已知椭圆 ( http: / / www.21cnjy.com )C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，椭圆C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，则C的离心率e＝________.
答案 (1)C (2)
解析 (1)设P(x0，y0)，则＝(－1－x0，－y0)，
＝(1－x0，－y0)，∴＋＝(－2x0，－2y0)，
∴|＋|＝＝2＝2.
∵点P在椭圆上，∴0≤y≤1，
∴当y＝1时，|＋|取最小值2.故选C.
(2)如图，在△ABF中，|AB|＝10，|AF|＝6，且cos∠ABF＝，
设|BF|＝m，
由余弦定理，得
62＝102＋m2－20m·，
∴m2－16m＋64＝0，∴m＝8.
因此|BF|＝8，AF⊥BF，c＝|OF|＝|AB|＝5.
设椭圆右焦点为F′，连接BF′，AF′，
由对称性，|BF′|＝|AF|＝6，∴2a＝|BF|＋|BF′|＝14.
∴a＝7，因此离心率e＝＝.
题型三 直线与椭圆的位置关系
例3 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点为B(0,4)，离心率e＝，直线l交椭圆于M，N两点．
(1)若直线l的方程为y＝x－4，求弦MN的长．
(2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．
思维启迪 直线与圆锥曲线的关系问题， ( http: / / www.21cnjy.com )一般可以直接联立方程，“设而不求”，把方程组转化成关于x或y的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式求解．
解 (1)由已知得b＝4，且＝，即＝，
∴＝，解得a2＝20，
∴椭圆方程为＋＝1.
则4x2＋5y2＝80与y＝x－4联立，
消去y得9x2－40x＝0，∴x1＝0，x2＝，
∴所求弦长|MN|＝|x2－x1|＝.
(2)
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
椭圆右焦点F的坐标为(2,0)，
设线段MN的中点为Q(x0，y0)，
由三角形重心的性质知＝2，
又B(0,4)，∴(2，－4)＝2(x0－2，y0)，故得x0＝3，y0＝－2，
即得Q的坐标为(3，－2)．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝6，y1＋y2＝－4，
且＋＝1，＋＝1，
以上两式相减得＋＝0，
∴kMN＝＝－·
＝－×＝，
故直线MN的方程为y＋2＝(x－3)，即6x－5y－28＝0.
思维升华 (1)解决直线与 ( http: / / www.21cnjy.com )椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．
(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝
＝ (k为直线斜率)．
提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．
已知椭圆G：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为(2，0)．斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．
(1)求椭圆G的方程；
(2)求△PAB的面积．
解 (1)由已知得c＝2，＝，解得a＝2.
又b2＝a2－c2＝4，
所以椭圆G的方程为＋＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，
由消去y得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①
设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1则x0＝＝－，y0＝x0＋m＝.
因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB，
所以PE的斜率k＝＝－1，解得m＝2.
此时方程①为4x2＋12x＝0，解得x1＝－3，x2＝0，
所以y1＝－1，y2＝2.所以|AB|＝3，
又点P(－3,2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离
d＝＝.
所以△PAB的面积S＝|AB|·d＝.
高考中圆锥曲线的离心率问题
典例：(10分)(1)如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1，
上顶点为B2，右顶点为A2，过点A2作x轴的垂线交直线F1B2于点
P，若|PA2|＝3b，则椭圆C的离心率为________．
(2)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、 ( http: / / www.21cnjy.com )右焦点分别为F1(－c,0)、F2(c,0)，若椭圆上存在点P使＝，则该椭圆的离心率的取值范围为________．
思维启迪 椭圆的离心率利用方程思想，只 ( http: / / www.21cnjy.com )需利用题目条件得到a，b，c的一个关系式即可．若得到的关系式含b，可利用a2＝b2＋c2转化为只含a，c的关系式．
解析 (1)由题设知＝
＝＝，e＝.
(2)依题意及正弦定理，得＝(注意到P不与F1F2共线)，
即＝，
∴－1＝，∴＝＋1>，
即e＋1>，∴(e＋1)2>2.
又0答案 (1) (2)(－1,1)
温馨提醒 离心率是椭圆的重要几何性质，是高 ( http: / / www.21cnjy.com )考重点考查的一个知识点．这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围．无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表达，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法.
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
方法与技巧
1． 求椭圆的标准方程时，应从“定形”“定式 ( http: / / www.21cnjy.com )”“定量”三个方面去思考．“定形”就是指椭圆的对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，能否确定椭圆的焦点在哪个坐标轴上．“定式”就是根据“形”设出椭圆方程的具体形式，“定量”就是指利用定义和已知条件确定方程中的系数a，b或m，n.
2． 讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，求离心率的常用方法有以下两种：
(1)求得a，c的值，直接代入公式e＝求得；
(2)列出关于a，b，c的齐次方程(或不等式)，然后根据b2＝a2－c2，消去b，转化成关于e的方程(或不等式)求解．
失误与防范
1．判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x2与y2的分母大小．
2．注意椭圆的范围，在设椭圆＋＝1 (a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
A组 专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1． 已知椭圆C的短轴长为6，离心率为，则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为
( )
A．9 B．1
C．1或9 D．以上都不对
答案 C
解析 ，解得a＝5，b＝3，c＝4.
∴椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为a＋c＝9或a－c＝1.
2． 设F1、F2分别是 ( http: / / www.21cnjy.com )椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为 ( )
A．4 B．3 C．2 D．5
答案 A
解析 由题意知|OM|＝|PF2|＝3，
∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2×5－6＝4.
3． 已知椭圆＋＝1的焦距为4，则m等于 ( )
A．4 B．8 C．4或8 D．以上均不对
答案 C
解析 由，得2由题意知(10－m)－(m－2)＝4或(m－2)－(10－m)＝4，
解得m＝4或m＝8.
4． (2012·江西)椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是F1、F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为 ( )
A. B.
C. D.－2
答案 B
解析 由题意知|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|F1B|＝a＋c，
且三者成等比数列，则|F1F2|2＝|AF1|·|F1B|，
即4c2＝a2－c2，a2＝5c2，
所以e2＝，所以e＝.
5． 已知圆M：x2＋y2＋2mx－3＝0(m<0)的半径为2，椭圆C：＋＝1的左焦点为
F(－c,0)，若垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切，则a的值为 ( )
A. B．1 C．2 D．4
答案 C
解析 圆M的方程可化为(x＋m)2＋y2＝3＋m2，
则由题意得m2＋3＝4，即m2＝1(m<0)，
∴m＝－1，则圆心M的坐标为(1,0)．
由题意知直线l的方程为x＝－c，
又∵直线l与圆M相切，∴c＝1，∴a2－3＝1，∴a＝2.
二、填空题
6． (2013·福建)椭圆 ( http: / / www.21cnjy.com )Г：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Г的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于
________．
答案 －1
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
解析 由直线方程为y＝(x＋c)，
知∠MF1F2＝60°，又∠MF1F2＝2∠MF2F1，
所以∠MF2F1＝30°，
MF1⊥MF2，
所以|MF1|＝c，|MF2|＝c
所以|MF1|＋|MF2|＝c＋c＝2a.
即e＝＝－1.
7． 已知椭圆＋＝1 (a>b>0)的离心率等于，其焦点分别为A、B，C为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC中，的值等于________．
答案 3
解析 在△ABC中，由正弦定理得＝，因为点C在椭圆上，所以由椭圆定义知|CA|＋|CB|＝2a，而|AB|＝2c，所以＝＝＝3.
8． 椭圆＋y2＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，若∠F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是________．
答案 (－，)
解析 设椭圆上一点P的坐标为(x，y)，
则＝(x＋，y)，＝(x－，y)．
∵∠F1PF2为钝角，∴·<0，
即x2－3＋y2<0，①
∵y2＝1－，代入①得x2－3＋1－<0，
x2<2，∴x2<.
解得－三、解答题
9． 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，其中左焦点F(－2,0)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2＋y2＝1上，求m的值．
解 (1)由题意，得解得
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
线段AB的中点为M(x0，y0)，
由消去y得，3x2＋4mx＋2m2－8＝0，
Δ＝96－8m2>0，∴－2∵x0＝＝－，∴y0＝x0＋m＝，
∵点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，
∴(－)2＋()2＝1，∴m＝±.
10．设椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2.点P(a，b)满足|PF2|＝|F1F2|.
(1)求椭圆的离心率e.
(2)设直线PF2与椭圆 ( http: / / www.21cnjy.com )相交于A，B两点．若直线PF2与圆(x＋1)2＋(y－)2＝16相交于M，N两点，且|MN|＝|AB|，求椭圆的方程．
解 (1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)，
因为|PF2|＝|F1F2|，所以＝2c.
整理得2()2＋－1＝0，解得＝－1(舍)，或＝.
所以e＝.
(2)由(1)知a＝2c，b＝c，
可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，
直线PF2的方程为y＝(x－c)．
A，B两点的坐标满足方程组
消去y并整理，得5x2－8cx＝0.
解得x1＝0，x2＝c.
得方程组的解
不妨设A(c，c)，B(0，－c)，
所以|AB|＝ ＝c.
于是|MN|＝|AB|＝2c.
圆心(－1，)到直线PF2的距离
d＝＝.
因为d2＋()2＝42，
所以(2＋c)2＋c2＝16.
整理得7c2＋12c－52＝0，得c＝－(舍)，或c＝2.
所以椭圆方程为＋＝1.
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
1． (2013·四川)从椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是 ( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由题意可设P(－c，y0)(c为半焦距)，
kOP＝－，kAB＝－，由于OP∥AB，
∴－＝－，y0＝，
把P代入椭圆方程得＋＝1，
而2＝，∴e＝＝.选C.
2． 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 ( )
A．(0,1) B．(0，] C．(0，) D．[，1)
答案 C
解析 ∵满足·＝0的点M在圆x2＋y2＝c2上，
∴圆x2＋y2＝c2在椭圆内部，即c∴c23． 在椭圆＋＝1内，通过点M(1,1)，且被这点平分的弦所在的直线方程为( )
A．x＋4y－5＝0 B．x－4y－5＝0
C．4x＋y－5＝0 D．4x－y－5＝0
答案 A
解析 设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
由①－②，得
＋＝0，
因所以＝－＝－，
所以所求直线方程为y－1＝－(x－1)，
即x＋4y－5＝0.
4． 点P是椭圆＋＝1上一点，F1 ( http: / / www.21cnjy.com )，F2是椭圆的两个焦点，且△PF1F2的内切圆半径为1，当P在第一象限时，P点的纵坐标为________．
答案
解析 |PF1|＋|PF2|＝10，|F1F2|＝6，
S△PF1F2＝(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)·1＝8
＝|F1F2|·yP＝3yP.所以yP＝.
5． 设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为________．
答案 15
解析 |PF1|＋|PF2|＝10，|PF1|＝10－|PF2|，
|PM|＋|PF1|＝10＋|PM|－|PF2|，
易知M点在椭圆外，连接MF2并延长交椭圆于P点，
此时|PM|－|PF2|取最大值|MF2|，
故|PM|＋|PF1|的最大值为
10＋|MF2|＝10＋＝15.
6． 已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点M(1，)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在过点P(2, ( http: / / www.21cnjy.com )1)的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足·＝2？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由．
解 (1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意得解得a2＝4，b2＝3.
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)假设存在直线l1且由题意得斜率存在，
设满足条件的方程为y＝k1(x－2)＋1，代入椭圆C的方程得，
(3＋4k)x2－8k1(2k1－1)x＋16k－16k1－8＝0.
因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，
设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
所以Δ＝[－8k1(2k1－1)]2－4(3＋4k)·(16k－16k1－8)
＝32(6k1＋3)>0，
所以k1>－.
又x1＋x2＝，x1x2＝，
因为·＝2，
即(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝，
所以(x1－2)(x2－2)(1＋k)＝2＝.
即[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋k)＝.
所以[－2·＋4]·(1＋k)
＝＝，解得k1＝±.
因为k1>－，所以k1＝.
于是存在直线l1满足条件，其方程为y＝x.