§7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
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1． 二元一次不等式表示的平面区域
(1)一般地，二元一次不等式Ax＋ ( http: / / www.21cnjy.com )By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．
(2)由于对直线Ax＋By＋ ( http: / / www.21cnjy.com )C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C>0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．
2． 线性规划相关概念
名称 意义
约束条件 目标函数中的变量所要满足的不等式组
线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数 欲求最大值或最小值的函数
线性目标函数 关于x，y的一次解析式
可行解 满足线性约束条件的解
可行域 所有可行解组成的集合
最优解 使目标函数取得最大值或最小值的点的坐标
线性规划问题 在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题
3. 应用
利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是
(1)在平面直角坐标系内作出可行域．
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．
(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．
(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．( × )
(2)不等式x2－y2<0表示的平面区域是一 ( http: / / www.21cnjy.com )、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y轴的两块区域． ( √ )
(3)不等式组表示的平面区域是下图中的阴影部分． ( × )
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(4)线性目标函数的最优解可能是不唯一的． ( √ )
(5)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上． ( √ )
(6)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．
( × )
2． 下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是 ( )
A．(0,0) B．(－1,1)
C．(－1,3) D．(2，－3)
答案 C
解析 把各点的坐标代入可得(－1,3)不适合，故选C.
3． 若实数x，y满足不等式组则该约束条件所围成的平面区域的面积是
( )
A．3 B. C．2 D．2
答案 C
解析
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因为直线x－y＝－1与x＋y＝1互相垂直，
所以如图所示的可行域为直角三角形，
易得A(0,1)，B(1,0)，C(2,3)，
故|AB|＝，|AC|＝2，其面积为×|AB|×|AC|＝2.
4． (2013·湖南)若变量x，y满足约束条件则x＋2y的最大值是 ( )
A．－ B．0 C. D.
答案 C
解析 画出可行域如图．
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设z＝x＋2y，平行移动直线y＝－x＋z，当直线y＝－x＋过点M时，z取最大值，
所以(x＋2y)max＝.
5． (2013·浙江)设z＝kx＋y，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k＝________.
答案 2
解析 作出可行域如图阴影部分所示：
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由图可知当0≤－k<时，直线y＝－kx＋ ( http: / / www.21cnjy.com )z经过点M(4,4)时z最大，所以4k＋4＝12，解得k＝2(舍去)；当－k≥时，直线y＝－kx＋z经过点(0,2)时z最大，此时z的最大值为2，不合题意；当－k<0时，直线y＝－kx＋z经过点M(4,4)时z最大，所以4k＋4＝12，解得k＝2，符合题意．综上可知，k＝2.
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题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
例1 若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是 ( )
A. B. C. D.
思维启迪 画出平面区域，显然点在已知的平面区域内，直线系过定点，结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可．
答案 A
解析 不等式组表示的平面区域如图所示．
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由于直线y＝kx＋过定点.因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx＋能平分平面区域．
因为A(1,1)，B(0,4)，所以AB中点D.
当y＝kx＋过点时，＝＋，
所以k＝.
思维升华 二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：
直线定界，测试点定域．
注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成 ( http: / / www.21cnjy.com )虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．
如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(－2,2)，C(2,6)，试写出△ABC及其内部区域所对应的二元一次不等式组．
解 由已知得直线AB、BC、CA的方程分别为直线AB：x＋2y－2＝0，直线BC：x－y＋4＝0，直线CA：5x－2y＋2＝0，
∴原点(0,0)不在各直线上，将原点坐标代入到各直线方程左端，结合式子的符号可得不等式组为.
题型二 求线性目标函数的最值
例2 设x，y满足约束条件：，求z＝x＋y的最大值与最小值．
思维启迪 作可行域后，通过平移直线l0：x＋y＝0来寻找最优解，求出目标函数的最值．
解 先作可行域，如图所示中△A ( http: / / www.21cnjy.com )BC的区域，且求得A(5,2)、B(1,1)、C(1，)，作出直线l0：x＋y＝0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过点B时，可使z＝x＋y达到最小值；当l0的平行线l2过点A时，可使z＝x＋y达到最大值．
故zmin＝2，zmax＝7.
思维升华 (1)线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．
(2)求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系．
(1)已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z＝·的最大值为( )
A．3 B．4
C．3 D．4
(2)(2013·课标全国Ⅱ)已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a等于 ( )
A. B.
C．1 D．2
答案 (1)B (2)B
解析 (1)由线性约束条件
画出可行域如图阴影部分所示，目标函数z＝·eq \o(OA,\s\up6(→))＝x＋y，将其化为y＝－x＋z，结合图形可知，目标函数的图象过点(，2)时，z最大，将点(，2)的坐标代入z＝x＋y得z的最大值为4.
(2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．
易知直线z＝2x＋y过交点A时，z取最小值，
由
得
∴zmin＝2－2a＝1，
解得a＝，故选B.
题型三 实际生活中的线性规划问题
例3 (2012·江西)某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表
年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价
黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元
韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元
为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为 ( )
A．50,0 B．30,20
C．20,30 D．0,50
思维启迪 根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题．
答案 B
解析 设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知求目标函数z＝x＋0.9y的最大值，根据题意画可行域如图阴影所示．
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当目标函数线l向右平移，移至点A(30,20)处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大．
思维升华 线性规划的实际应 ( http: / / www.21cnjy.com )用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：
(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l；
(2)平移——将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；
(3)求值——解方程组求出A点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值．
某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只能送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z为 ( )
A．4 650元 B．4 700元
C．4 900元 D．5 000元
答案 C
解析 设该公司合理计划当天派用甲、乙型卡车的车辆数分别为x，y，则根据条件得x，y满足的约束条件为
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目标函数z＝450x＋35 ( http: / / www.21cnjy.com )0y.作出约束条件所表示的平面区域如图，然后平移目标函数对应的直线450x＋350y＝0(即9x＋7y＝0)知，当直线经过直线x＋y＝12与2x＋y＝19的交点(7,5)时，目标函数取得最大值，即z＝450×7＋350×5＝4 900.
题型四 求非线性目标函数的最值
例4 (1)设实数x，y满足则的最大值为________．
(2)已知O是坐标原点，点A(1,0)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则|＋|的最小值是________．
思维启迪 与二元一次不等式(组)表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成．
答案 (1) (2)
解析 (1)表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，在点(1，)处取到最大值．
(2)
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依题意得，＋＝(x＋1，y)，| ( http: / / www.21cnjy.com )＋|＝可视为点(x，y)与点(－1,0)间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点(－1,0)向直线x＋y＝2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点(－1,0)的距离最小，因此|＋|的最小值是＝.
思维升华 常见代数式的几何意义有
(1)表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；
(2)表示点(x，y)与点(a，b)之间的距离；
(3)表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；
(4)表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．
设不等式组所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2是与Ω1关于直线3x－4y－9＝0对称的区域，对于Ω1中的任意一点A与Ω2中的任意一点B，|AB|的最小值等于 ( )
A. B．4
C. D．2
答案 B
解析 由题意知，所求的|AB|的最小值， ( http: / / www.21cnjy.com )即为区域Ω1中的点到直线3x－4y－9＝0的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，
可看出点(1,1)到直线3x－4y－9＝0的距离最小，故|AB|的最小
值为2×＝4，选B.
线性规划问题中忽视参数范围致误
典例：(5分)已知x，y满足约束条件|x|＋2|y|≤2，且z＝y－mx(m≠0)的最小值等于－2，则实数m的值等于________．
易错分析 本题容易出现的错误主要有两个方面：
(1)没有将绝对值不等式转化为不等式组，画不出正确的可行域；
(2)没有对参数m的取值情况进行分类讨论，造成漏解，只得到m＝1.
解析 原不等式等价于以下四个不等式组：
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因此可画出可行域(如图)：
由z＝y－mx得y＝mx＋z.
(1)当m>时，由图形可知，目标函数在点A(2,0)处取得最小值，
因此－2＝0－2m，解得m＝1.
(2)当0
因此－2＝－1－m×0，m无解．
(3)当m<－时，由图形可知，目标函数在点C(－2,0)处取得最小值，
因此－2＝0＋2m，解得m＝－1.
(4)当－≤m<0时，由图形可知，目标函数在点D(0，－1)处取得最小值，
因此－2＝－1－m×0，m无解．
综上，实数m的值等于1或－1.
答案 1或－1
温馨提醒 (1)含绝对值不等式表示区域的画法
含有绝对值的不等式所表示的平面区域 ( http: / / www.21cnjy.com )，应该根据变量的取值情况，将不等式中的绝对值符号去掉，化为几个不等式组，把每一个不等式表示的平面区域画出后合并起来就是相应的含绝对值不等式所表示的平面区域．
(2)正确运用分类讨论的方法
本题是线性规划的逆问题，这类问题的 ( http: / / www.21cnjy.com )特点是在目标函数或约束条件中含有参数，当在目标函数中含有参数时，参数的不同取值将要影响到最优解的位置，因此要根据可行域边界直线的斜率与目标函数对应直线斜率的大小关系，对参数的取值情况进行分类讨论，在运动变化中寻找问题成立的条件，从而得到参数的取值．如果在约束条件中含有参数，那么随着参数的变化，可行域的形状可能就要发生变化，因此在求解时也要根据参数的取值对可行域的各种情况进行分类讨论，以免出现漏解.
方法与技巧
1．平面区域的画法：线定界、点定域(注意实虚线)．
2．求最值：求二元一次函数z ( http: / / www.21cnjy.com )＝ax＋by (ab≠0)的最值，将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．最优解在顶点或边界取得．
3．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题．
失误与防范
1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．
2．在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b>0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b<0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．
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A组 专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1． 在直角坐标平面内，不等式组所表示的平面区域的面积为，则t的值为
( )
A．－或 B．－3或1
C．1 D.
答案 C
解析
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不等式组所表示的平面区域如图中阴影 ( http: / / www.21cnjy.com )部分所示．由解得交点B(t，t＋1)，在y＝x＋1中，令x＝0得y＝1，即直线y＝x＋1与y轴的交点为C(0,1)，由平面区域的面积S＝＝，得t2＋2t－3＝0，解得t＝1或t＝－3(不合题意，舍去)，故选C.
2． 直线2x＋y－10＝0与不等式组表示的平面区域的公共点有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
答案 B
解析 在坐标平面内画出直线2x＋y－10＝0与不等式组表示的平面区域，易知直线与此区域的公共点有1个．
3． (2013·天津)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝y－2x的最小值为 ( )
A．－7 B．－4 C．1 D．2
答案 A
解析
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可行域如图阴影部分(含边界)
令z＝0，得直线l0：y－2x＝0，平移直线l0知，当直线l过A点时，z取得最小值．
由得A(5,3)．
∴zmin＝3－2×5＝－7，选A.
4． O为坐标原点，点M的坐标为(1,1)，若点N(x，y)的坐标满足则·的最大值为 ( )
A. B．2
C. D．2
答案 B
解析
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如图，点N在图中阴影区域内，当O、M、N共线时，·最大，此时N(，)，·＝(1,1)·(，)＝2，故选B.
5． (2013·山东)在平面直角坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为 ( )
A．2 B．1
C．－ D．－
答案 C
解析
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画出图形，数形结合得出答案．
如图所示，
所表示的平面区域为图中的阴影部分．
由得A(3，－1)．
当M点与A重合时，OM的斜率最小，kOM＝－.
二、填空题
6． 已知z＝2x－y，式中变量x，y满足约束条件则z的最大值为________．
答案 5
解析
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在坐标平面内画出题中的不等式表示的 ( http: / / www.21cnjy.com )平面区域及直线2x－y＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(2，－1)时，相应直线在x轴上的截距最大，此时z＝2x－y取得最大值，最大值是z＝2×2－(－1)＝5.
7． 设z＝2x＋y，其中x，y满足，若z的最大值为6，则k的值为________，z的最小值为________．
答案 2 －2
解析
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在坐标平面内画出题中的不等式组表示的 ( http: / / www.21cnjy.com )平面区域及直线2x＋y＝6，结合图形分析可知，要使z＝2x＋y的最大值是6，直线y＝k必过直线2x＋y＝6与x－y＝0的交点，即必过点(2,2)，于是有k＝2；平移直线2x＋y＝6，当平移到经过该平面区域内的点(－2,2)时，相应直线在y轴上的截距达到最小，此时z＝2x＋y取得最小值，最小值是z＝2×(－2)＋2＝－2.
8． 铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如表：
a b(万吨) c(百万元)
A 50% 1 3
B 70% 0.5 6
某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．
答案 15
解析
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设购买铁矿石A、B分别为x万吨，y万吨，购买铁矿石的费用为z(百万元)，则
，
目标函数z＝3x＋6y，
由得记P(1,2)，
画出可行域可知，当目标函数z＝3x＋6y过点P(1,2)时，z取到最小值15.
三、解答题
9． 若直线x＋my＋m＝0与以P(－1，－1)、Q(2,3)为端点的线段不相交，求m的取值范围．
解 直线x＋my＋m＝0将坐标平面 ( http: / / www.21cnjy.com )划分成两块区域，线段PQ与直线x＋my＋m＝0不相交，则点P、Q在同一区域内，于是，，或所以，m的取值范围是m<－.
10．已知x，y满足条件，求4x－3y的最大值和最小值．
解 不等式组表示的区域如图所示．
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可观察出4x－3y在A点取到最大值，在B点取到最小值．
解方程组
，
得，
则A(－1，－6)．解方程组，得.
则B(－3,2)，因此4x－3y的最大值和最小值分别为14，－18.
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
1． (2012·课标全 ( http: / / www.21cnjy.com )国)已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点(x，y)在△ABC内部，则z＝－x＋y的取值范围是 ( )
A．(1－，2) B．(0,2)
C．(－1,2) D．(0,1＋)
答案 A
解析 如图，
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根据题意得C(1＋，2)．
作直线－x＋y＝0，并向左 ( http: / / www.21cnjy.com )上或右下平移，过点B(1,3)和C(1＋，2)时，z＝－x＋y取范围的边界值，即－(1＋)＋2∴z＝－x＋y的取值范围是(1－，2)．
2． (2013·广东)给定区域D：.
令点集T＝{(x0，y0)∈D| ( http: / / www.21cnjy.com )x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定______条不同的直线．
答案 6
解析 线性区域为图中阴影部分，取得 ( http: / / www.21cnjy.com )最小值时点为(0,1)，最大值时点为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，故共可确定6条．
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3． 已知变量x，y满足条件若目标函数z＝ax＋y(其中a>0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a的取值范围是__________．
答案
解析
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画出x、y满足条件的可行域如图所示， ( http: / / www.21cnjy.com )要使目标函数z＝ax＋y仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y＝－ax＋z的斜率应小于直线x＋2y－3＝0的斜率，即－a<－，∴a>.
4． 当x，y满足约束条件(k为负常数)时，能使z＝x＋3y的最大值为12，试求k的值．
解
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在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图所示)．
当直线y＝－x＋z经过区域中的点A时，截距最大．
由得x＝y＝－.
∴点A的坐标为(－，－)．
则z的最大值为－＋3(－)＝－k，
令－＝12，得k＝－9.
∴所求实数k的值为－9.
5． (2013·湖北)某客运公司 ( http: / / www.21cnjy.com )用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？
解 设A型、B型车辆的数量分别为x，y辆，相应营运成本为z元，则z＝1 600x＋2 400y.由题意，得x，y满足约束条件
作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5,12)，Q(7,14)，R(15,6)．
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由图可知，当直线z＝1 600x＋2 400y经过可行域的点P时，直线z＝1 600x＋2 400y在y轴上的截距最小，即z取得最小值．
故应配备A型车5辆、B型车12辆．§7.4 合情推理与演绎推理
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1． 合情推理
归纳推理 类比推理
定义 根据一类事件的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理(简单归纳) 根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做类比推理(简称类比)
特点 由特殊到一般的过程 由特殊到特殊的推理
一般步骤 (1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命命题(猜想) (1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)
共性 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理
2. 演绎推理：由概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程，通常叫做演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．
3．“三段论”可以表示为
①大前提：M是P；
②小前提：S是M；
③结论：S是P.
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( × )
(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( √ )
(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( × )
(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的． ( √ )
(5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是an＝n(n∈N＋)．( × )
(6) ＝2， ＝3， ＝4，…， ＝6(a，b均为实数)，则可以推测a＝35，b＝6. ( √ )
2． 数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于 ( )
A．28 B．32
C．33 D．27
答案 B
解析 5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，
推出x－20＝12，所以x＝32.
3． 观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 013的后四位数字为( )
A．3125 B．5625
C．0625 D．8125
答案 A
解析 55＝3 125,56＝15 62 ( http: / / www.21cnjy.com )5,57＝78 125,58＝390 625,59＝1 953 125，可得59与55的后四位数字相同，…，由此可归纳出5m＋4k与5m(k∈N＋，m＝5,6,7,8)的后四位数字相同，又2 013＝4×501＋9，所以52 013与59后四位数字相同为3125.
4． (2013·陕西)观察下列等式
12＝1
12－22＝－3
12－22＋32＝6
12－22＋32－42＝－10
……
照此规律，第n个等式可为________．
答案 12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·
解析 观察等式左边的式子，每次增加一项 ( http: / / www.21cnjy.com )，故第n个等式左边有n项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(－1)n＋1n2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1,3,6,10,15,21，….设此数列为{an}，则a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，an－an－1＝n，各式相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n，即an＝1＋2＋3＋…＋n＝.所以第n个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1.
5． 设等差数列{an}的前n项和为S ( http: / / www.21cnjy.com )n，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，成等比数列．
答案
解析 对于等比数列，通过类比，有等比数列{bn}的前n项积为Tn，
则T4＝a1a2a3a4，T8＝a1a2…a8，T12＝a1a2…a12，
T16＝a1a2…a16，
因此＝a5a6a7a8，＝a9a10a11a12，＝a13a14a15a16，
而T4，，，的公比为q16，
因此T4，，，成等比数列.
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题型一 归纳推理
例1 设f(x)＝，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．
思维启迪 解题的关键是由f(x)计算各式，利用归纳推理得出结论并证明．
解 f(0)＋f(1)＝＋
＝＋＝＋＝，
同理可得：f(－1)＋f(2)＝，
f(－2)＋f(3)＝，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1.
归纳猜想得：当x1＋x2＝1时，均为f(x1)＋f(x2)＝.
证明：设x1＋x2＝1，
∵f(x1)＋f(x2)＝eq \f(1,3＋\r(3))＋eq \f(1,3＋\r(3))
＝eq \f( 3＋\r(3) ＋ 3＋\r(3) , 3＋\r(3) 3＋\r(3) )＝eq \f(3＋3＋2\r(3),3＋\r(3) 3＋3 ＋3)
＝eq \f(3＋3＋2\r(3),\r(3) 3＋3 ＋2×3)＝eq \f(3＋3＋2\r(3),\r(3) 3＋3＋2\r(3) )＝.
思维升华 (1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围．
(2)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的．
(3)归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用．
(1)观察下列等式
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
…
照此规律，第五个等式应为______________________．
(2)已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，经计算得f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，则有________．
答案 (1)5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81
(2)f(2n)>(n≥2，n∈N＋)
解析 (1)由于1＝12, ( http: / / www.21cnjy.com )2＋3＋4＝9＝32,3＋4＋5＋6＋7＝25＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，所以第五个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92＝81.
(2)由题意得f(22)>，f(23)>，f(24)>，f(25)>，
所以当n≥2时，有f(2n)>.
故填f(2n)>(n≥2，n∈N＋)．
题型二 类比推理
例2 已知数列{an}为等差数列，若am＝a，an＝b(n－m≥1，m，n∈N＋)，则am＋n＝.类比等差数列{an}的上述结论，对于等比数列{bn}(bn>0，n∈N＋)，若bm＝c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N＋)，则可以得到bm＋n＝________.
思维启迪 等差数列{an}和等比数 ( http: / / www.21cnjy.com )列{bn}类比时，等差数列的公差对应等比数列的公比，等差数列的加减法运算对应等比数列的乘除法运算，等差数列的乘除法运算对应等比数列中的乘方开方运算．
答案
解析 设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q.
因为an＝a1＋(n－1)d，bn＝b1qn－1，am＋n＝，
所以类比得bm＋n＝
思维升华 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．
(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等．
(3)在进行类比推理时，不仅 ( http: / / www.21cnjy.com )要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．
(1)给出下列三个类比结论：
①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；
②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；
③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
其中结论正确的个数是 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)把一个直角三角形以两直角边为邻边 ( http: / / www.21cnjy.com )补成一个矩形，则矩形的对角线长即为直角三角形外接圆直径，以此可求得外接圆半径r＝(其中a，b为直角三角形两直角边长)．类比此方法可得三条侧棱长分别为a，b，c且两两垂直的三棱锥的外接球半径R＝________.
答案 (1)B (2)
解析 (1)①②错误，③正确．
(2)由平面类比到空间，把矩形类比为长方体，从而得出外接球半径．
题型三 演绎推理
例3 已知函数f(x)＝－(a>0，且a≠1)．
(1)证明：函数y＝f(x)的图象关于点(，－)对称；
(2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值．
思维启迪 证明本题依据的大前提是中心对称的 ( http: / / www.21cnjy.com )定义，函数y＝f(x)的图象上的任一点关于对称中心的对称点仍在图象上．小前提是f(x)＝－(a>0且a≠1)的图象关于点(，－)对称．
(1)证明 函数f(x)的定义域为全体实数，任取一点(x，y)，
它关于点(，－)对称的点的坐标为(1－x，－1－y)．
由已知得y＝－，
则－1－y＝－1＋＝－，
f(1－x)＝－＝－＝－
＝－，
∴－1－y＝f(1－x)，
即函数y＝f(x)的图象关于点(，－)对称．
(2)解 由(1)知－1－f(x)＝f(1－x)，即f(x)＋f(1－x)＝－1.
∴f(－2)＋f(3)＝－1，f(－1)＋f(2)＝－1，f(0)＋f(1)＝－1.
则f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3.
思维升华 演绎推理是由一 ( http: / / www.21cnjy.com )般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．
已知函数y＝f(x)，满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数．
证明 设x1，x2∈R，取x1则由题意得x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，
∴x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，
[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0，
∵x10，f(x2)>f(x1)．
所以y＝f(x)为R上的单调增函数．
高考中的合情推理问题
典例：(1)(5分)(2013·湖北)古希腊 ( http: / / www.21cnjy.com )毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为＝n2＋n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
三角形数 N(n,3)＝n2＋n，
正方形数 N(n,4)＝n2，
五边形数 N(n,5)＝n2－n，
六边形数 N(n,6)＝2n2－n
………………………………………
可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝____________.
思维启迪 从已知的部分k边形数观察一般规律写出N(n，k)，然后求N(10,24)．
解析 由N(n,4)＝n2，N(n,6)＝2n2－n，可以推测：当k为偶数时，N(n，k)＝n2＋n，
∴N(10,24)＝×100＋×10
＝1 100－100＝1 000.
答案 1 000
(2)(5分)若P0(x0，y ( http: / / www.21cnjy.com )0)在椭圆＋＝1(a>b>0)外，过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是＋＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P0(x0，y0)在双曲线－＝1(a>0，b>0)外，过P0作双曲线的两条切线，切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程是________．
思维启迪 直接类比可得．
解析 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
则P1，P2的切线方程分别是－＝1，
－＝1.
因为P0(x0，y0)在这两条切线上，
故有－＝1，－＝1，
这说明P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线－＝1上，
故切点弦P1P2所在的直线方程是－＝1.
答案 －＝1
(3)(5分)在计算“1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项：
k(k＋1)＝[k(k＋1)(k＋2)－(k－1)k(k＋1)]，由此得
1×2＝(1×2×3－0×1×2)，
2×3＝(2×3×4－1×2×3)，
…，
n(n＋1)＝[n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)]．
相加，得1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)＝n(n＋1)·(n＋2)．
类比上述方法，请你计算“1×2×3＋2×3×4＋…＋n(n＋1)·(n＋2)”，其结果为_________________．
思维启迪 根据两个数积的和规律猜想，可以利用前几个式子验证．
解析 类比已知条件得k(k＋1)(k＋2)＝[k(k＋1)(k＋2)(k＋3)－(k－1)k(k＋1)(k＋2)]，
由此得1×2×3＝(1×2×3×4－0×1×2×3)，
2×3×4＝(2×3×4×5－1×2×3×4)，
3×4×5＝(3×4×5×6－2×3×4×5)，
…，
n(n＋1)(n＋2)＝[n(n＋1)(n＋2)(n＋3)－(n－1)n(n＋1)(n＋2)]．
以上几个式子相加得：
1×2×3＋2×3×4＋…＋n(n＋1)(n＋2)
＝n(n＋1)(n＋2)(n＋3)．
答案 n(n＋1)(n＋2)(n＋3)
温馨提醒 (1)合情推理可以考查学生的抽象思维能力和创新能力，在每年的高考中经常会考到；
(2)合情推理的结论要通过演绎推理来判断是否正确．
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方法与技巧
1． 合情推理的过程概括为
―→―→―→
2． 演绎推理是从一般的原理出发，推出某 ( http: / / www.21cnjy.com )个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．
失误与防范
1．合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．
2．演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密
性，书写格式的规范性．
3．合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据．
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A组 专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1． (2012·江西)观察下列 ( http: / / www.21cnjy.com )各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于 ( )
A．28 B．76 C．123 D．199
答案 C
解析 观察规律，归纳推理．
从给出的式子特点观察可推知 ( http: / / www.21cnjy.com )，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.
2． 定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：
(1)1*1=1，（2）（n+1）*1=n*1+1，则n*1等于 ( )
A．n B．n＋1 C．n－1 D．n2
答案 A
解析 由(n＋1)*1＝n*1＋1，
得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝…＝1*1+（n-1）.
又∵1*1=1,∴n*1=n.
3． 下列推理是归纳推理的是 ( )
A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，则P点的轨迹为椭圆
B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式
C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆＋＝1的面积S＝πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
答案 B
解析 从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理，故应选B.
4． 已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：a证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A<∠B.
∴aA．大前提 B．小前提 C．结论 D．三段论
答案 B
解析 由三段论的组成可得画线部分为三段论的小前提．
5． 若数列{an}是等差数列，则数 ( http: / / www.21cnjy.com )列{bn}(bn＝)也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为( )
A．dn＝ B．dn＝
C．dn＝ D．dn＝
答案 D
解析 若{an}是等差数列，则a1＋a2＋…＋an＝na1＋d，
∴bn＝a1＋d＝n＋a1－，即{bn}为等差数列；
若{cn}是等比数列，则c1·c2·…·cn＝c·q1＋2＋…＋(n－1)＝c·，
∴dn＝＝c1·，即{dn}为等比数列，故选D.
二、填空题
6． 仔细观察下面○和●的排 ( http: / / www.21cnjy.com )列规律：○ ● ○○ ● ○○○ ● ○○○○ ● ○○○○○ ● ○○○○○○ ●……若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________．
答案 14
解析 进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……，
则前n组两种圈的总数是f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝，
易知f(14)＝119，f(15)＝135，故n＝14.
7． 若函数f(x)＝(x>0)，且f1 ( http: / / www.21cnjy.com )(x)＝f(x)＝，当n∈N＋且n≥2时，fn(x)＝f[fn－1(x)]，则f3(x)＝________，猜想fn(x)(n∈N＋)的表达式为________．
答案
解析 ∵f1(x)＝，fn(x)＝f[fn－1(x)](n≥2)，
∴f2(x)＝f()＝＝.
f3(x)＝f[f2(x)]＝f()＝＝.
由所求等式知，分子都是x，分母中常数项为2n，x的系数比常数项少1，为2n－1，
故fn(x)＝.
8． 在平面几何中，△ABC ( http: / / www.21cnjy.com )的内角平分线CE分AB所成线段的比为＝，把这个结论类比到空间：在三棱锥A－BCD中(如图所示)，平面DEC平分二面角A－CD－B且与AB相交于点E，则类比得到的结论是________．
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答案 ＝
解析 易知点E到平面BCD与平面ACD的距离相等，
故＝＝.
三、解答题
9． 已知等差数列{an}的公差d＝2，首项a1＝5.
(1)求数列{an}的前n项和Sn；
(2)设Tn＝n(2an－5)，求S1，S2，S3，S4，S5；T1，T2，T3，T4，T5，并归纳出Sn与Tn的大小规律．
解 (1)由于a1＝5，d＝2，
∴Sn＝5n＋×2＝n(n＋4)．
(2)∵Tn＝n(2an－5)＝n[2(2n＋3)－5]＝4n2＋n.
∴T1＝5，T2＝4×22＋2＝18，T3＝4×32＋3＝39，
T4＝4×42＋4＝68，T5＝4×52＋5＝105.
S1＝5，S2＝2×(2＋4)＝12，S3＝3×(3＋4)＝21，
S4＝4×(4＋4)＝32，S5＝5×(5＋4)＝45.
由此可知S1＝T1，当n≥2时，Sn归纳猜想：当n＝1时，Sn＝Tn；当n≥2，n∈N时，Sn10．在Rt△ABC中，AB⊥ ( http: / / www.21cnjy.com )AC，AD⊥BC于D，求证：＝＋，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．
解
如图所示，由射影定理
AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，
AC2＝BC·DC，
∴＝
＝
＝.
又BC2＝AB2＋AC2，∴＝＝＋.
猜想，四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE⊥平面BCD，
则＝＋＋.
证明：如图，连接BE并延长交CD于F，连接AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD，
∴AB⊥平面ACD.
∴AB⊥AF.
在Rt△ABF中，AE⊥BF，
∴＝＋.
在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴＝＋，
∴＝＋＋.
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
1． 给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：
①“若a，b∈R，则a－b＝0 a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0 a＝b”；
②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋ ( http: / / www.21cnjy.com )bi＝c＋di a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d a＝c，b＝d”；
③若“a，b∈R，则a－b>0 a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0 a>b”．其中类比结论正确的个数是 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 ①②正确，③错误．因为两个复数如果不全是实数，不能比较大小．
2． 设?是R的一个运算，A是R的 ( http: / / www.21cnjy.com )非空子集．若对于任意a，b∈A，有a?b∈A，则称A对运算?封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是 ( )
A．自然数集 B．整数集
C．有理数集 D．无理数集
答案 C
解析 A错：因为自然数集对减法、除法不封闭 ( http: / / www.21cnjy.com )；B错：因为整数集对除法不封闭；C对：因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；D错：因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭．
3． 平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为________．
答案
解析 1条直线将平面分成1＋1个区 ( http: / / www.21cnjy.com )域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……，n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域．
4． 数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N＋)．证明：
(1)数列{}是等比数列；
(2)Sn＋1＝4an.
证明 (1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，
∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，
即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.
故＝2·， (小前提)
故{}是以2为公比，1为首项的等比数列． (结论)
(大前提是等比数列的定义，这里省略了)
(2)由(1)可知＝4·(n≥2)，
∴Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1＝4an(n≥2)． (小前提)
又∵a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1， (小前提)
∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论)
5． 对于三次函数f(x)＝ax3＋b ( http: / / www.21cnjy.com )x2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f(x)＝x3－x2＋3x－，请你根据这一发现，
(1)求函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心；
(2)计算f()＋f()＋f()＋f()＋…＋f()．
解 (1)f′(x)＝x2－x＋3，f″(x)＝2x－1，
由f″(x)＝0，即2x－1＝0，解得x＝.
f()＝×()3－×()2＋3×－＝1.
由题中给出的结论，可知函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心为(，1)．
(2)由(1)，知函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心为(，1)，
所以f(＋x)＋f(－x)＝2，即f(x)＋f(1－x)＝2.
故f()＋f()＝2，
f()＋f()＝2，
f()＋f()＝2，
…
f()＋f()＝2.
所以f()＋f()＋f()＋f()＋…＋f()
＝×2×2 012＝2 012.HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
§7.1 不等关系与一元二次不等式
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1． 不等式的定义
在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍 ( http: / / www.21cnjy.com )存在的，我们用数学符号≠、>、<、≥、≤连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式．
2． 两个实数比较大小的方法
(1)作差法 (a，b∈R)；
(2)作商法 (a∈R，b>0)．
3． 不等式的性质
(1)对称性：a>b b(2)传递性：a>b，b>c a>c；
(3)可加性：a>b a＋c>b＋c，
a>b，c>d a＋c>b＋d；
(4)可乘性：a>b，c>0 ac>bc，
a>b>0，c>d>0 ac>bd；
(5)可乘方：a>b>0 an>bn(n∈N＋，n>1)；
(6)可开方：a>b>0 > (n∈N＋，n>1)．
4．“三个二次”的关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|xx2} {x|x≠x1} {x|x∈R}
ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)a>b ac2>bc2. ( × )
(2)a>b>0，c>d>0 >. ( √ )
(3)若ab>0，则a>b <. ( √ )
(4)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是 ( http: / / www.21cnjy.com )(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2. ( √ )
(5)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( × )
(6)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.( × )
2． 设aA.> B.>
C．|a|>－b D.>
答案 B
解析 由题设得a即>不成立．
3． 已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a<0的解集是( )
A．(2,3) B．(－∞，2)∪(3，＋∞)
C. D.∪
答案 A
解析 由题意知－，－是方程ax2－bx ( http: / / www.21cnjy.com )－1＝0的根，所以由根与系数的关系得－＋＝，－×＝－.解得a＝－6，b＝5，不等式x2－bx－a<0即为x2－5x＋6<0，解集为(2,3)．
4． 若不存在整数x满足不等式(kx－k2－4)(x－4)<0，则实数k的取值范围是________．
答案 [1,4]
解析 可判断k＝0或k<0均不符合题意，故k>0.
于是原不等式即为k(x－)(x－4)<0 (x－)(x－4)<0，
依题意应有3≤≤5且k>0，∴1≤k≤4.
5． (2013·江苏)已 ( http: / / www.21cnjy.com )知f(x)是定义在R上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________．
答案 (－5,0)∪(5，＋∞)
解析 由已知得f(0)＝0，当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－x2－4x，因此f(x)＝
不等式f(x)>x等价于或
解得：x>5，或－5HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
题型一 不等式的性质及应用
例1 (1)设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：
①>；②acloga(b－c)．
其中所有正确结论的序号是 ( )
A．① B．①② C．②③ D．①②③
(2)(2012·四川)设a，b为正实数．现有下列命题：
①若a2－b2＝1，则a－b<1；②若 ( http: / / www.21cnjy.com )－＝1，则a－b<1；③若|－|＝1，则|a－b|<1；④若|a3－b3|＝1，则|a－b|<1.
其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)
思维启迪 利用不等式的性质进行变形，比较大小时要注意题设条件．
答案 (1)D (2)①④
解析 (1)∵a>b>1，∴<.
又c<0，∴>，故结论①正确；
函数y＝xc(c<0)为减函数，又a>b，∴ac根据对数函数的单调性，logb(a－c)>logb(b－c)>loga(b－c)，故③正确．
∴正确结论的序号是①②③.
(2)①中，a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝1，a，b为正实数，
若a－b≥1，
则必有a＋b>1，不合题意，故①正确．
②中，－＝＝1，只需a－b＝ab即可．
如取a＝2，b＝满足上式，但a－b＝>1，故②错．
③中，a，b为正实数，所以＋>|－|＝1，
且|a－b|＝|(＋)(－)|＝|＋|>1，故③错．
④中，|a3－b3|＝|(a－b)(a2＋ab＋b2)|
＝|a－b|(a2＋ab＋b2)＝1.
若|a－b|≥1，不妨取a>b>1，则必有a2＋ab＋b2>1，不合题意，故④正确．
思维升华 判断多个不等式是否成立， ( http: / / www.21cnjy.com )需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质，常见的反例构成方式可从以下几个方面思考：①不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0；②不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变；③不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等．
(1)若a＝，b＝，c＝，则 ( )
A．aC．c(2)若<<0，则下列不等式： ( http: / / www.21cnjy.com )①<；②|a|＋b>0；③a－>b－；④ln a2>ln b2中，正确的不等式是 ( )
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
答案 (1)C (2)C
解析 (1)易知a，b，c都是正数，＝＝log89>1，
所以b>a；＝＝log2532>1，所以a>c.
即c(2)由<<0，可知b①中，因为a＋b<0，ab>0，所以<0，>0.
故有<，即①正确；
②中，因为b－a>0.
故－b>|a|，即|a|＋b<0，故②错误；
③中，因为bb－，故③正确；
④中，因为ba2>0，
而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上为增函数，
所以ln b2>ln a2，故④错误．
由以上分析，知①③正确．
题型二 一元二次不等式的解集
例2 求下列不等式的解集：
(1)－x2＋8x－3>0；
(2)ax2－(a＋1)x＋1<0.
思维启迪 (1)可利用求根公式得到方程－x2＋8x－3＝0的解，再求不等式的解集；
(2)含参数a，要进行分类讨论．
解 (1)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，
所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不相等的实根x1＝4－，x2＝4＋.
又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下，
所以原不等式的解集为{x|4－(2)若a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1.
若a<0，原不等式等价于(x－)(x－1)>0，解得x<或x>1.
若a>0，原不等式等价于(x－)(x－1)<0.
①当a＝1时，＝1，(x－)(x－1)<0无解；
②当a>1时，<1，解(x－)(x－1)<0得③当01，解(x－)(x－1)<0得1综上所述：当a<0时，解集为{x|x<或x>1}；
当a＝0时，解集为{x|x>1}；当01时，解集为{x|思维升华 含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．
(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数 ( http: / / www.21cnjy.com )是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；
(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是否是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；
(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．
(1)若不等式ax2＋bx＋2>0的解为－(2)不等式≤0的解集为________．
答案 (1)(－2,3) (2)(－，1]
解析 (1)由题意，知－和是一元二次方程ax2＋bx＋2＝0的两根且a<0，
所以，解得.
则不等式2x2＋bx＋a<0即2x2－2x－12<0，其解集为{x|－2(2)原不等式等价于(*)
由(*)解得－题型三 不等式恒成立问题
例3 设函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；
(2)若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．
思维启迪 (1)分m＝0和m≠0讨论，m≠0可结合图象看Δ的条件；
(2)可分离参数m，利用函数最值求m的范围．
解 (1)要使mx2－mx－1<0恒成立，
若m＝0，显然－1<0；
若m≠0，则 －4所以－4(2)要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，即
m2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．
有以下两种方法：
方法一 令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]．
当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数，
所以g(x)max＝g(3) 7m－6<0，
所以m<，则0当m＝0时，－6<0恒成立；
当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数，
所以g(x)max＝g(1) m－6<0，所以m<6，所以m<0.
综上所述：m的取值范围是{m|m<}．
方法二 因为x2－x＋1＝2＋>0，
又因为m(x2－x＋1)－6<0，所以m<.
因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可．
所以，m的取值范围是.
思维升华 (1)对于一元二 ( http: / / www.21cnjy.com )次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．
(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．
已知函数f(x)＝，若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．
解 因为x∈[1，＋∞)时，f(x)＝>0恒成立，即x2＋2x＋a>0恒成立．
即当x≥1时，a>－(x2＋2x)＝g(x)恒成立．
而g(x)＝－(x2＋2x)
＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，
所以g(x)max＝g(1)＝－3，故a>－3.
所以，实数a的取值范围是{a|a>－3}．
转化与化归思想在不等式中的应用
典例：(10分)(1)( ( http: / / www.21cnjy.com )2012·江苏)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)(2)已知a∈[－1,1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围为________．
思维启迪 (1)考虑函数f(x)、方程f(x)＝0和不等式的关系；
(2)可把不等式看作关于a的一次不等式．
解析 (1)由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝2＋b－.
∵f(x)的值域为[0，＋∞)，∴b－＝0，即b＝.
∴f(x)＝2.
又∵f(x)即－－∴
②－①，得2＝6，∴c＝9.
(2)把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，
则由f(a)>0对于任意的a∈[－1, ( http: / / www.21cnjy.com )1]恒成立，易知只需f(－1)＝x2－5x＋6>0，且f(1)＝x2－3x＋2>0即可，联立方程解得x<1或x>3.
答案 (1)9 (2){x|x<1或x>3}
温馨提醒 本题解法中利用了转化与化归思想．
(1)中利用“三个二次”之间的联系，将不等式、函数、方程之间相互转化；
(2)中将已知不等式看作关于a的一次不 ( http: / / www.21cnjy.com )等式，体现了主元与次元的转化．利用转化与化归思想的原则是熟悉化原则、简单化原则、直观化原则、正难则反原则.
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方法与技巧
1． 判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单．
2． 比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法的主要步骤为作差——变形——判断正负．
3．“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a<0的情况转化为a>0时的情形．
4． 简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式的解法进行求解．
失误与防范
1．不等式的性质应用要准确，尤其在不等式两边同乘以或同除以一个数时，一定要搞清符号．
2．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形．
3．当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0 (a≠0)的解集是R还是 ，要注意区别．
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A组 专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1． 下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是 ( )
A．a>b＋1 B．a>b－1
C．a2>b2 D．a3>b3
答案 A
解析 由a>b＋1，得a>b＋1>b，即a>b，而由a>b不能得出a>b＋1，因此，使a>b成立的充分而不必要的条件是a>b＋1.
2． (2013·陕西)设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y有 ( )
A．[－x]＝－[x] B．[2x]＝2[x]
C．[x＋y]≤[x]＋[y] D．[x－y]≤[x]－[y]
答案 D
解析 特殊值法．令x＝1.5，∵[ ( http: / / www.21cnjy.com )－1.5]＝－2，－[1.5]＝－1，故A错；[2×1.5]＝3,2[1.5]＝2，故B错；令x＝1.5，y＝0.5，[x＋y]＝2，[x]＋[y]＝1＋0＝1，故C错．
3． 已知p＝a＋，q＝x2－2，其中a>2，x∈R，则p，q的大小关系是( )
A．p≥q B．p>q C．p答案 A
解析 p＝a＋＝a－2＋＋2≥2＋2 ( http: / / www.21cnjy.com )＝4，当且仅当a＝3时取等号．因为x2－2≥－2，所以q＝x2－2≤－2＝4，当且仅当x＝0时取等号．所以p≥q.
4． (2013·安徽)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为，则f(10x)>0的解集为
( )
A．{x|x<－1或x>－lg 2}
B．{x|－1C．{x|x>－lg 2}
D．{x|x<－lg 2}
答案 D
解析 由已知条件0<10x<，解得x5． 若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝ ，则实数a的取值范围是 ( )
A．{a|0C．{a|0答案 D
解析 由题意知a＝0时，满足条件．
a≠0时，由得0二、填空题
6． 已知a<0，－1”连接)
答案 ab>ab2>a
解析 由－1又a<0，∴ab>ab2>a.
7． 函数y＝的定义域是____________．
答案 (－∞，－4]∪[3，＋∞)
解析 由x2＋x－12≥0得(x－3)(x＋4)≥0，
∴x≤－4或x≥3.
8． 已知不等式x2－2x＋k2－1>0对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围为__________．
答案 (－∞，－)∪(，＋∞)
解析 由题意，知Δ＝4－4×1×(k2－1)<0，
即k2>2，∴k>或k<－.
三、解答题
9． 若不等式ax2＋5x－2>0的解集是{x|(1)求实数a的值；
(2)求不等式ax2－5x＋a2－1>0的解集．
解 (1)由题意知a<0，且方程ax2＋5x－2＝0的两个根为，2，代入解得a＝－2.
(2)由(1)知不等式为－2x2－5x＋3>0，
即2x2＋5x－3<0，解得－3即不等式ax2－5x＋a2－1>0的解集为(－3，)．
10．(1)设x(2)已知a，b，x，y∈(0，＋∞)且>，x>y，求证：>.
(1)解 方法一 (x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)
＝(x－y)[x2＋y2－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)，
∵x0，x－y<0，∴－2xy(x－y)>0，
∴(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)．
方法二 ∵xy2，x＋y<0.
∴(x2＋y2)(x－y)<0，(x2－y2)(x＋y)<0，
∴0<＝<1，
∴(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)．
(2)证明 －＝.
∵>且a，b∈(0，＋∞)，∴b>a>0，
又∵x>y>0，∴bx>ay>0，
∴>0，∴>.
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
1． 若a<0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2>0的解集是 ( )
A．(－∞，－a)∪(5a，＋∞)
B．(－∞，5a)∪(－a，＋∞)
C．(5a，－a)
D．(a，－5a)
答案 B
解析 由x2－4ax－5a2>0得(x－5a)(x＋a)>0，
∵a<0，∴x<5a或x>－a.
2． 设函数f(x)＝x2－1，对任 ( http: / / www.21cnjy.com )意x∈[，＋∞)，f()－4m2·f(x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立，则实数m的取值范围是________．
答案 {m|m≤－或m≥}
解析 依据题意得－1－4m2(x2－1)≤(x－1)2－1＋4(m2－1)．
在x∈[，＋∞)上恒成立，
即－4m2≤－－＋1在x∈[，＋∞)上恒成立．
当x＝时函数y＝－－＋1取得最小值－，
所以－4m2≤－，即(3m2＋1)(4m2－3)≥0，
解得m≤－或m≥.
3． 设f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)>1，f(2)＝，则实数a的取值范围是________．
答案 (－1，)
解析 ∵f(x＋3)＝f(x)，
∴f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)<－1.
∴<－1 <0 (3a－2)(a＋1)<0，
∴－14． 求使不等式x2＋(a－6)x＋9－3a>0，|a|≤1恒成立的x的取值范围．
解 将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x－3)a＋x2－6x＋9>0.
令f(a)＝(x－3)a＋x2－6x＋9.
因为f(a)>0在|a|≤1时恒成立，所以
(1)若x＝3，则f(a)＝0，不符合题意，应舍去．
(2)若x≠3，则由一次函数的单调性，可得，即，解得x<2或x>4.
5． 已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且不等式f(x)<2x的解集为(－1,2)．
(1)方程f(x)＋3a＝0有两个相等的实根，求f(x)的解析式．
(2)f(x)的最小值不大于－3a，求实数a的取值范围．
解 ∵f(x)<2x的解集为(－1,2)，
∴ax2＋(b－2)x＋c<0的解集为(－1,2)，
∴a>0，且方程ax2＋(b－2)x＋c＝0的两根为－1和2.
即
∴f(x)＝ax2＋(2－a)x－2a(a>0)．
(1)∵方程f(x)＋3a＝0有两个相等的实根，
即ax2＋(2－a)x＋a＝0有两个相等的实根．
∴Δ＝(2－a)2－4a2＝0 3a2＋4a－4＝0，
∴a＝－2或a＝.
∵a>0，∴a＝，∴f(x)＝x2＋x－.
(2)f(x)＝ax2＋(2－a)x－2a
＝a(x＋)2＋，
∵a>0，∴f(x)的最小值为，
则≤－3a,3a2＋4a－4≤0，
解得－2≤a≤，
∵a>0，∴06． 某产品生产厂家根据以往的生产销售 ( http: / / www.21cnjy.com )经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x(百台)，其总成本为G(x)万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，销售收入R(x)满足R(x)＝，
假定该产品销售平衡，那么根据上述统计规律：
(1)要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？
(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？求此时每台产品的售价为多少？
解 依题意得G(x)＝x＋2，设利润函数为f(x)，
则f(x)＝R(x)－G(x)，
所以f(x)＝.
(1)要使工厂有盈利，则有f(x)>0，因为
f(x)>0 或
或5或5所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于100台小于820台的范围内．
(2)当0≤x≤5时，f(x)＝－0.4(x－4)2＋3.6，
故当x＝4时，f(x)有最大值3.6.
而当x>5时，f(x)<8.2－5＝3.2.
所以当工厂生产400台产品时，盈利最大，
此时只需求x＝4时，＝2.4(万元/百台)
＝240(元/台)．
所以工厂生产400台产品时盈利最大，此时每台产品的售价为240元．§7.5 直接证明与间接证明
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1．直接证明
内容 综合法 分析法
定义 从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论的方法，是一种从原因推导到结果的思维方法 从待证结论出发，一步一步寻 ( http: / / www.21cnjy.com )求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实的方法，是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法
特点 从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的必要条件 从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件
步骤的符号表示 P0(已知) P1 P2 P3 P4(结论) B(结论) B1 B2… Bn A(已知)
2. 间接证明
(1)反证法的定义：
一般地，由证明p q转向证明：
綈q r … t
t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定綈q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．
(2)应用反证法证明数学命题的一般步骤：
①分清命题的条件和结论；
②做出与命题结论相矛盾的假设；
③由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果；
④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真．
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明． ( × )
(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件． ( × )
(3)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾． ( × )
(5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程． ( √ )
(6)证明不等式＋<＋最合适的方法是分析法． ( √ )
2． 若a，b，c为实数，且aA．ac2ab>b2
C.< D.>
答案 B
解析 a2－ab＝a(a－b)，
∵a0，
∴a2>ab. ①
又ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2， ②
由①②得a2>ab>b2.
3． 设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x<0)，则a与b的大小关系为 ( )
A．a>b B．a答案 A
解析 a＝lg 2＋lg 5＝1，
b＝ex，当x<0时，0∴a>b.
4． 用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为
( )
A．a，b，c中至少有两个偶数
B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
C．a，b，c都是奇数
D．a，b，c都是偶数
答案 B
解析 自然数a，b，c中为 ( http: / / www.21cnjy.com )偶数的情况为a，b，c全为偶数；a，b，c中有两个数为偶数；a，b，c全为奇数；a，b，c中恰有一个数为偶数，所以反设为a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数．
5． 如果a＋b>a＋b，则a、b应满足的条件是________．
答案 a≥0，b≥0且a≠b
解析 ∵a＋b－(a＋b)
＝(a－b)＋(b－a)
＝(－)(a－b)
＝(－)2(＋)．
∴当a≥0，b≥0且a≠b时，(－)2(＋)>0.
故a＋b>a＋b成立的条件是a≥0，b≥0且a≠b.
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题型一 综合法的应用
例1 对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足：
①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；
②f(1)＝1；
③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数．
(1)若函数f(x)为理想函数，证明：f(0)＝0；
(2)试判断函数f(x)＝2x(x∈[0,1])，f(x)＝x2(x∈[0,1])，f(x)＝(x∈[0,1])是否是理想函数．
思维启迪 (1)取特殊值代入计算即可证明；
(2)对照新定义中的3个条件，逐一代入验证，只有满足所有条件，才能得出“是理想函数”的结论，否则得出“不是理想函数”的结论．
(1)证明 取x1＝x2＝0，则x1＋x2＝0≤1，
∴f(0＋0)≥f(0)＋f(0)，∴f(0)≤0.
又对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0，
∴f(0)≥0.于是f(0)＝0.
(2)解 对于f(x)＝2x，x∈[0,1]，f(1)＝2不满足新定义中的条件②，
∴f(x)＝2x，(x∈[0,1])不是理想函数．
对于f(x)＝x2，x∈[0,1]，显然f(x)≥0，且f(1)＝1.
任意的x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1，
f(x1＋x2)－f(x1)－f(x2)＝(x1＋x2)2－x－x＝2x1x2≥0，
即f(x1)＋f(x2)≤f(x1＋x2)．
∴f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函数．
对于f(x)＝，x∈[0,1]，显然满足条件①②.
对任意的x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1，
有f2(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]2＝(x1＋x2)－(x1＋2＋x2)＝－2≤0，
即f2(x1＋x2)≤[f(x1)＋f(x2)]2.
∴f(x1＋x2)≤f(x1)＋f(x2)，不满足条件③.
∴f(x)＝(x∈[0,1])不是理想函数．
综上，f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函数，
f(x)＝2x(x∈[0,1])与f(x)＝(x∈[0,1])不是理想函数．
思维升华 用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围：
(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式．
(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型．在使用综合法证明时，易出现的错误是因果关系不明确，逻辑表达混乱．
定义：若数列{An}满足An＋1＝A，则称数列{An}为“平方递推数列”．已知数列{an}中，a1＝2，点(an，an＋1)在函数f(x)＝2x2＋2x的图象上，其中n为正整数，证明：数列{2an＋1}是“平方递推数列”．
证明 ∵点(an，an＋1)在函数f(x)＝2x2＋2x的图象上，
∴an＋1＝2a＋2an，
∴2an＋1＋1＝4a＋4an＋1＝(2an＋1)2，
∴{2an＋1}是“平方递推数列”．
题型二 分析法的应用
例2 已知m>0，a，b∈R，求证：()2≤.
思维启迪 将要证分式化成整式，再合并同类项．
证明 ∵m>0，∴1＋m>0.所以要证原不等式成立，
只需证(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)，
即证m(a2－2ab＋b2)≥0，即证(a－b)2≥0，
而(a－b)2≥0显然成立，故原不等式得证．
思维升华 分析法的特点和思路是“执果索因”， ( http: / / www.21cnjy.com )即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等，运用分析法必须考虑条件的必要性是否成立．通常采用“欲证—只需证—已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范．
已知a，b∈(0，＋∞)，求证：(a3＋b3)<(a2＋b2).
证明 因为a，b∈(0，＋∞)，所以要证原不等式成立，
只需证[(a3＋b3)]6<[(a2＋b2)]6，
即证(a3＋b3)2<(a2＋b2)3，
即证a6＋2a3b3＋b6只需证2a3b3<3a4b2＋3a2b4.
因为a，b∈(0，＋∞)，所以即证2ab<3(a2＋b2)．
而a2＋b2≥2ab,3(a2＋b2)≥6ab>2ab成立，
以上步骤步步可逆，所以(a3＋b3)<(a2＋b2).
题型三 反证法的应用
例3 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．
思维启迪 (1)先利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)两式相减得an和an＋1的关系，再求an；
(2)用反证法证明．
(1)解 当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.
又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，
两式相减得an＋1＝an，
所以{an}是首项为1，公比为的等比数列，所以an＝.
(2)证明 反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(p则2·＝＋，所以2·2r－q＝2r－p＋1.①
又因为p所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立．
所以假设不成立，原命题得证．
思维升华 (1)当一个命题的结论是以“至多 ( http: / / www.21cnjy.com )”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，可用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等．
(2)用反证法证明不等式要把握三点：①必须否定结论；②必须从否定结论进行推理；③推导出的矛盾必须是明显的．
在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a、b、c三边的倒数成等差数列，求证：∠B<90°.
证明 假设∠B<90°不成立，即∠B≥90°，
从而∠B是△ABC的最大角，∴b是△ABC的最大边，
即b>a，b>c.∴>，>，相加得
＋>＋＝，这与＋＝矛盾．
故∠B≥90°不成立，即∠B<90°.
混淆特殊值检验和一般性证明致误
典例：(12分)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函数f(x＋1)与f(x)的图象关于y轴对称，求证：
f(x＋)为偶函数．
易错分析 在证明f(x＋)是偶函数时，用特殊值f(＋)＝f(－＋)成立来判断f(x＋)是偶函数．
规范解答
证明 由函数f(x＋1)与f(x)的图象关于y轴对称，
可知f(x＋1)＝f(－x)．[4分]
将x换成x－代入上式可得f(x－＋1)
＝f[－(x－)]，
即f(x＋)＝f(－x＋)，[10分]
由偶函数的定义可知f(x＋)为偶函数．[12分]
温馨提醒 在证明数学命题时，必须通过严格的推理来证明对任意满足题意的条件，命题的结论都成立，特殊值的检验不能代替一般性的证明．
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方法与技巧
1．分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知．
2．综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知．
3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起 ( http: / / www.21cnjy.com )来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．
失误与防范
1．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论．
2．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．
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A组 专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1． 若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是 ( )
A．lg(1＋a2)>0 B．a2＋b2≥2(a－b－1)
C．a2＋3ab>2b2 D.<
答案 B
解析 在B中，∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，
∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立．
2． 在△ABC中，sin Asin CA．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
答案 C
解析 由sin Asin Ccos Acos C－sin Asin C>0，
即cos(A＋C)>0，∴A＋C是锐角，
从而B>，故△ABC必是钝角三角形．
3． 已知m>1，a＝－，b＝－，则以下结论正确的是 ( )
A．a>b B．aC．a＝b D．a，b大小不定
答案 B
解析 ∵a＝－＝，
b＝－＝.
而＋>＋，
∴<，即a4． 已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是 ( )
A．2 B．2
C．4 D．5
答案 C
解析 因为＋＋2≥2 ＋2
＝2( ＋)≥4.
当且仅当＝且 ＝，即a＝b＝1时，取“＝”．
5． 用反证法证明命题“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为 ( )
A．a，b都能被3整除 B．a，b都不能被3整除
C．b不能被3整除 D．a不能被3整除
答案 B
解析 由反证法的定义可知，否定结论，即“a，b中至少有一个能被3整除”的否定是“a，b都不能被3整除”，故选B.
二、填空题
6. ＋与2＋的大小关系为________．
答案 ＋>2＋
解析 要比较＋与2＋的大小，
只需比较(＋)2与(2＋)2的大小，
只需比较6＋7＋2与8＋5＋4的大小，
只需比较与2的大小，
只需比较42与40的大小，
∵42>40，∴＋>2＋.
7． 已知“整数对”按如下规律排成一列：( ( http: / / www.21cnjy.com )1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是________．
答案 (5,7)
解析 依题意，把“整数对”的和相同的 ( http: / / www.21cnjy.com )分为一组，不难得知每组中每个“整数对”的和为n＋1，且每组共有n个“整数对”，这样的前n组一共有个“整数对”，注意到<60<，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7)．
8． 凸函数的性质定理：如果函数f( ( http: / / www.21cnjy.com )x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，有≤f()，已知函数y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值为________．
答案
解析 ∵f(x)＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，且A、B、C∈(0，π)．
∴≤f()＝f()，
即sin A＋sin B＋sin C≤3sin ＝，
所以sin A＋sin B＋sin C的最大值为.
三、解答题
9． 已知非零向量a⊥b，求证：≤.
证明 ∵a⊥b，∴a·b＝0.
要证≤，只需证：|a|＋|b|≤|a－b|，
平方得：|a|2＋|b|2＋2|a||b|≤2(|a|2＋|b|2－2a·b)，
只需证：|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，
即(|a|－|b|)2≥0，显然成立．
故原不等式得证．
10．已知四棱锥S－ABCD中，底面是边长为1的正方形，又SB＝SD＝，SA＝1.
(1)求证：SA⊥平面ABCD；
(2)在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD？若存在，确定F点的位置；若不存在，请说明理由．
(1)证明 由已知得SA2＋AD2＝SD2，
∴SA⊥AD.同理SA⊥AB.
又AB∩AD＝A，∴SA⊥平面ABCD.
(2)解 假设在棱SC上存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD.
∵BC∥AD，BC 平面SAD.
∴BC∥平面SAD.而BC∩BF＝B，
∴平面SBC∥平面SAD.
这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，
∴假设不成立．故不存在这样的点F，使得BF∥平面SAD.
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
1． 已知函数f(x)＝( ( http: / / www.21cnjy.com ))x，a，b是正实数，A＝f()，B＝f()，C＝f()，则A、B、C的大小关系为 ( )
A．A≤B≤C B．A≤C≤B
C．B≤C≤A D．C≤B≤A
答案 A
解析 ∵≥≥，
又f(x)＝()x在R上是减函数．
∴f()≤f()≤f()，即A≤B≤C.
2． 若a、b、c是不全相等的正数，给出下列判断
①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；
②a>b与a③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．
其中判断正确的个数是 ( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 C
解析 ①②正确，③中，a≠c，b≠c，a≠b可能同时成立，
如a＝1，b＝2，c＝3.
3． a2＋2＋与2的大小关系是________．
答案 a2＋2＋>2
解析 利用均值不等式，但不能取等号．
4． 已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且00.
(1)证明：是函数f(x)的一个零点；
(2)试用反证法证明>c.
证明 (1)∵f(x)图象与x轴有两个不同的交点，
∴f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，
∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根，
又x1x2＝，∴x2＝(≠c)，
∴是f(x)＝0的一个根．即是函数f(x)的一个零点．
(2)假设0，由00，
知f()>0与f()＝0矛盾，∴≥c，
又∵≠c，∴>c.
5． 已知数列{an}满足：a1＝，＝，anan＋1<0(n≥1)，数列{bn}满足：bn＝a－a(n≥1)．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)证明：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列．
(1)解 由题意可知，1－a＝(1－a)．
令cn＝1－a，则cn＋1＝cn.
又c1＝1－a＝，则数列{cn}是首项为c1＝，
公比为的等比数列，即cn＝·()n－1，
故1－a＝·()n－1 a＝1－·()n－1.
又a1＝>0.anan＋1<0，
故an＝(－1)n－1.
bn＝a－a
＝[1－·()n]－[1－·()n－1]
＝·()n－1.
(2)证明 用反证法证明．
假设数列{bn}存在三项br，bs，bt(r由于数列{bn}是首项为，公比为的等比数列，
于是有br>bs>bt，则只能有2bs＝br＋bt成立．
∴2·()s－1＝()r－1＋()t－1，
两边同乘以3t－121－r，化简得3t－r＋2t－r＝2·2s－r3t－s.
由于r故上式不可能成立，导致矛盾．
故数列{bn}中任意三项不可能成等差数列．§7.6 数学归纳法
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数学归纳法
证明一个与自然数有关的命题，可按以下步骤：
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N＋)时命题成立；
(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立． ( × )
(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明． ( × )
(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用． ( × )
(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项． ( × )
(5)用数学归纳法证明等式“1 ( http: / / www.21cnjy.com )＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23. ( √ )
(6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n0＝3. ( √ )
2． 在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于( )
A．1 B．2 C．3 D．0
答案 C
解析 凸n边形的边最少有三条，故第一个值n0取3.
3． 若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，则f(1)为 ( )
A．1 B.
C．1＋＋＋＋ D．非以上答案
答案 C
解析 等式右边的分母是从1开始的连续的自然数，且最大分母为6n－1，则当n＝1时，最大分母为5，故选C.
4． 设f(n)＝＋＋…＋，n∈N＋，那么f(n＋1)－f(n)＝________.
答案 －
解析 f(n＋1)－f(n)＝＋＋…＋＋＋－(＋＋…＋)＝＋－＝－.
5． 用数学归纳法证明：“1 ( http: / / www.21cnjy.com )＋＋＋…＋1)”时，由n＝k(k>1)不等式成立，推理n＝k＋1时，左边应增加的项数是________．
答案 2k
解析 当n＝k时，要证的式子为1＋＋＋…＋当n＝k＋1时，要证的式子为1＋＋＋…＋＋＋＋…＋HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
题型一 用数学归纳法证明等式
例1 求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N＋)．
思维启迪 证明时注意等式两边从n＝k到n＝k＋1时的变化．
证明 ①当n＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立；
②假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，
即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)，
那么当n＝k＋1时，
左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k＋1)
＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)
＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2
＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)，
这就是说当n＝k＋1时等式也成立．
由①②可知，对所有n∈N＋等式成立．
思维升华 用数学归纳法证明恒等式应注意
(1)明确初始值n0的取值并验证n＝n0时等式成立．
(2)由n＝k证明n＝k＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标．
(3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法．
用数学归纳法证明：对任意的n∈N＋，＋＋…＋＝.
证明 (1)当n＝1时，左边＝＝，
右边＝＝，左边＝右边，所以等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即有
＋＋…＋＝，
则当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋
＝＋＝
＝＝＝，
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)(2)可知，对一切n∈N＋等式都成立．
题型二 用数学归纳法证明不等式
例2 已知函数f(x)＝ax－x2的最大值不大于，又当x∈[，]时，f(x)≥.
(1)求a的值；
(2)设0思维启迪 (1)利用题中条件分别确定a的范围，进而求a；
(2)利用数学归纳法证明．
(1)解 由题意，知f(x)＝ax－x2＝－(x－)2＋.
又f(x)max≤，所以f()＝≤.
所以a2≤1.
又x∈[，]时，f(x)≥，
所以即
解得a≥1.
又因为a2≤1，所以a＝1.
(2)证明 用数学归纳法证明：
①当n＝1时，0因为当x∈(0，)时，0所以0故n＝2时，原不等式也成立．
②假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，不等式0因为f(x)＝ax－x2的对称轴为直线x＝，
所以当x∈(0，]时，f(x)为增函数．
所以由0于是，0所以当n＝k＋1时，原不等式也成立．
根据①②，知对任何n∈N＋，不等式an<成立．
思维升华 用数学归纳法证明不等式的关键是由 ( http: / / www.21cnjy.com )n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用均值不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化．
用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式(1＋)(1＋)·…·(1＋)>均成立．
证明 (1)当n＝2时，左边＝1＋＝；右边＝.
∵左边>右边，∴不等式成立．
(2)假设n＝k(k≥2，且k∈N＋)时不等式成立，即
(1＋)(1＋)·…·(1＋)>.
则当n＝k＋1时，
(1＋)(1＋)·…·(1＋)[1＋]>·＝
＝>
＝＝.
∴当n＝k＋1时，不等式也成立．
由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立．
题型三 归纳—猜想—证明
例3 已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝＋－1，且an>0，n∈N＋.
(1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式；
(2)证明通项公式的正确性．
思维启迪 通过计算a1，a2，a3寻求规律猜想{an}的通项公式，然后用数学归纳法证明．
(1)解 当n＝1时，
由已知得a1＝＋－1，a＋2a1－2＝0.
∴a1＝－1(a1>0)．
当n＝2时，由已知得a1＋a2＝＋－1，
将a1＝－1代入并整理得a＋2a2－2＝0.
∴a2＝－(a2>0)．
同理可得a3＝－.
猜想an＝－(n∈N＋)．
(2)证明 ①由(1)知，当n＝1,2,3时，通项公式成立．
②假设当n＝k(k≥3，k∈N＋)时，通项公式成立，
即ak＝－.
由ak＋1＝Sk＋1－Sk＝＋－－，
将ak＝－代入上式并整理得
a＋2ak＋1－2＝0，
解得：ak＋1＝－(an>0)．
即当n＝k＋1时，通项公式也成立．
由①和②，可知对所有n∈N＋，an＝－都成立．
思维升华 (1)猜想{an}的通项公式是一 ( http: / / www.21cnjy.com )个由特殊到一般的过程，注意两点：①准确计算a1，a2，a3发现规律(必要时可多计算几项)；②证明ak＋1时，ak＋1的求解过程与a2、a3的求解过程相似，注意体会特殊性与一般性的辩证关系．
(2)“归纳—猜想—证明”的模式，是不完 ( http: / / www.21cnjy.com )全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，这种方法在解决探索性问题、存在性问题时起着重要作用，它的模式是先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理证明结论的正确性，这种思维方式是推动数学研究和发展的重要方式．
已知函数f(x)＝x3－x，数列{an}满足条件：a1≥1，an＋1≥f′(an＋1)，试比较＋＋＋…＋与1的大小，并说明理由．
解 ∵f′(x)＝x2－1，且an＋1≥f′(an＋1)，
∴an＋1≥(an＋1)2－1，
∵函数g(x)＝(x＋1)2－1在[1，＋∞)上单调递增．
于是由a1≥1得a2≥(a1＋1)2－1≥22－1，
进而a3≥(a2＋1)2－1≥24－1>23－1，
由此猜想：an≥2n－1.
下面用数学归纳法证明这个猜想：
①当n＝1时，a1≥21－1＝1，结论成立；
②假设n＝k(k≥1且k∈N＋)时结论成立，即ak≥2k－1.
当n＝k＋1时，由g(x)＝(x＋1)2－1在区间[1，＋∞)上单调递增知ak＋1≥(ak＋1)2－1≥22k－1≥2k＋1－1，
即n＝k＋1时，结论也成立．
由①②知，对任意n∈N＋，都有an≥2n－1，
即1＋an≥2n，∴≤，
∴＋＋＋…＋
≤＋＋＋…＋＝1－()n<1.
归纳—猜想—证明问题
典例：(12分)设a>0，f(x)＝，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N＋.
(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式；
(2)用数学归纳法证明你的结论．
思维启迪 通过计算a2，a3，a4观察规律猜想an，然后用数学归纳法证明．
规范解答
(1)解 ∵a1＝1，∴a2＝f(a1)＝f(1)＝；
a3＝f(a2)＝；a4＝f(a3)＝.[2分]
猜想an＝(n∈N＋)．[4分]
(2)证明 ①易知，n＝1时，猜想正确．[6分]
②假设n＝k时猜想正确，
即ak＝，[8分]
则ak＋1＝f(ak)＝＝
＝＝.
这说明，n＝k＋1时猜想正确．[11分]
由①②知，对于任何n∈N＋，
都有an＝.[12分]
归纳—猜想—证明问题的一般步骤：
第一步：计算数列前几项或特殊情况，观察规律猜测数列的通项或一般结论；
第二步：验证一般结论对第一个值n0(n0∈N＋)成立．
第三步：假设n＝k(k≥n0)时结论成立，证明当n＝k＋1时结论也成立．
第四步：下结论，由上可知结论对任意n≥n0，n∈N＋成立．
温馨提醒 解决数学归纳法中“归纳—猜想—证明”问题及不等式证明时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：
(1)归纳整理不到位得不出正确结果，从而给猜想造成困难．
(2)证明n＝k到n＝k＋1这一步时，忽略了假设条件去证明，造成使用的不是纯正的数学归纳法．
(3)不等式证明过程中，不能正确合理地运用分析法、综合法来求证．
另外需要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推证技巧，只有这样，才能快速正确地解决问题.
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方法与技巧
1． 数学归纳法的两个步骤相互依存，缺一不可
有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础．
2． 归纳假设的作用
在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点：
(1)归纳假设就是已知条件；
(2)在推证n＝k＋1时，必须用上归纳假设．
3． 利用归纳假设的技巧
在推证n＝k＋1时，可以通过 ( http: / / www.21cnjy.com )凑、拆、配项等方法用上归纳假设．此时既要看准目标，又要掌握n＝k与n＝k＋1之间的关系．在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用．
失误与防范
1．数学归纳法证题时初始值n0不一定是1；
2．推证n＝k＋1时一定要用上n＝k时的假设，否则不是数学归纳法．
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A组 专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1． 用数学归纳法证明2n>2n＋1，n的第一个取值应是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 ∵n＝1时，21＝1,2×1＋1＝3,2n>2n＋1不成立；
n＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n>2n＋1不成立；
n＝3时，23＝8,2×3＋1＝7,2n>2n＋1成立．
∴n的第一个取值应是3.
2． 用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1)”，在验证n＝1时，左端计算所得的项为 ( )
A．1 B．1＋a
C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3
答案 C
3． 用数学归纳法证明“ ( http: / / www.21cnjy.com )(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·2·…·(2n－1)(n∈N＋)”时，从“n＝k到n＝k＋1”时，左边应增添的式子是 ( )
A．2k＋1 B．2k＋3
C．2(2k＋1) D．2(2k＋3)
答案 C
解析 左边应增添的式子等于
＝
＝2(2k＋1)．
4． 对于不等式(1)当n＝1时，<1＋1，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法 ( )
A．过程全部正确
B．n＝1验得不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
答案 D
解析 在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法．
5． 在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为
( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 当n＝2时，＋a2＝(2×3)a2，∴a2＝.
当n＝3时，＋＋a3＝(3×5)a3，∴a3＝.
故猜想an＝.
二、填空题
6． 设Sn＝1＋＋＋＋…＋，则Sn＋1－Sn＝________.
答案 ＋＋＋…＋
解析 ∵Sn＋1＝1＋＋…＋＋＋…＋，
Sn＝1＋＋＋＋…＋，
∴Sn＋1－Sn＝＋＋＋…＋.
7． 用数学归纳法证明“ ( http: / / www.21cnjy.com )当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N＋)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．
答案 2k＋1
解析 因为n为正奇数，所以与2k－1相邻的下一个奇数是2k＋1.
8． 设平面内有n条直线(n≥3)，其中有 ( http: / / www.21cnjy.com )且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝________；当n>4时，f(n)＝________(用n表示)．
答案 5 (n＋1)(n－2)
解析 f(3)＝2，f(4)＝f(3)＋3＝2＋3＝5，
f(n)＝f(3)＋3＋4＋…＋(n－1)＝2＋3＋4＋…＋(n－1)
＝(n＋1)(n－2)．
三、解答题
9． 用数学归纳法证明下面的等式
12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1.
证明 (1)当n＝1时，左边＝12＝1，
右边＝(－1)0·＝1，∴原等式成立．
(2)假设n＝k(k∈N＋，k≥1)时，等式成立，
即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2
＝(－1)k－1.
那么，当n＝k＋1时，则有
12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＋(－1)k(k＋1)2
＝(－1)k－1＋(－1)k·(k＋1)2
＝(－1)k·[－k＋2(k＋1)]
＝(－1)k.
∴n＝k＋1时，等式也成立，
由(1)(2)知对任意n∈N＋有
12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1.
10．已知数列{an}，an≥0，a1＝0，a＋an＋1－1＝a.
求证：当n∈N＋时，an证明 (1)当n＝1时，因为a2是方程a＋a2－1＝0的正根，所以a1(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时，0≤ak则由a－a
＝(a＋ak＋2－1)－(a＋ak＋1－1)
＝(ak＋2－ak＋1)(ak＋2＋ak＋1＋1)>0，
得ak＋1即当n＝k＋1时，an根据(1)和(2)，可知anB组 专项能力提升
(时间：30分钟)
1． 用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上 ( )
A．k2＋1 B．(k＋1)2
C. D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
答案 D
解析 等式左边是从1开始的连续自然数的和，直到n2.
故n＝k＋1时，最后一项是(k＋1)2，而n＝k时，最后一项是k2，应加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2.
2． 下列代数式(其中k∈N＋)能被9整除的是 ( )
A．6＋6·7k B．2＋7k－1
C．2(2＋7k＋1) D．3(2＋7k)
答案 D
解析 (1)当k＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除．
(2)假设当k＝n(n∈N＋)时，命题成立，
即3(2＋7n)能被9整除，
那么当k＝n＋1时有3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36.
这就是说，k＝n＋1时命题也成立．
由(1)(2)知，命题对k∈N＋成立．
3． 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋1(n∈N＋)，通过计算a1，a2，a3，a4，可猜想an＝________.
答案
解析 ∵a1＝1，∴a2＝a1＋1＝，
a3＝a2＋1＝，a4＝a3＋1＝.
猜想an＝.
4． 已知f(n)＝1＋＋＋＋…＋，g(n)＝－，n∈N＋.
(1)当n＝1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小；
(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．
解 (1)当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝1，所以f(1)＝g(1)；
当n＝2时，f(2)＝，g(2)＝，所以f(2)当n＝3时，f(3)＝，g(3)＝，所以f(3)(2)由(1)，猜想f(n)≤g(n)，下面用数学归纳法给出证明．
①当n＝1,2,3时，不等式显然成立，
②假设当n＝k(k≥3)时不等式成立，即
1＋＋＋＋…＋<－.
那么，当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋<－＋.
因为－[－]
＝－＝<0，
所以f(k＋1)<－＝g(k＋1)．
由①②可知，对一切n∈N＋，都有f(n)≤g(n)成立．
5． 若不等式＋＋…＋>对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明结论．
解 当n＝1时，＋＋>，
即>，所以a<26.
而a是正整数，所以取a＝25，下面用数学归纳法证明
＋＋…＋>.
(1)当n＝1时，已证得不等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，
即＋＋…＋>.
则当n＝k＋1时，
有＋＋…＋
＝＋＋…＋＋＋＋－>＋[＋－]．
因为＋－＝－
＝＝>0，
所以当n＝k＋1时不等式也成立．
由(1)(2)知，对一切正整数n，都有＋＋…＋>，
所以a的最大值等于25.§7.2 均值不等式
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1． 均值不等式≤
(1)均值不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
2． 几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤2 (a，b∈R)．
(4)≥2 (a，b∈R)．
3． 算术平均值与几何平均值
设a>0，b>0，则a，b的算术平均值为，几何平均值为，均值不等式可叙述为两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值．
4． 利用均值不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2.(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝x＋的最小值是2. ( × )
(2)ab≤()2成立的条件是ab>0. ( × )
(3)函数f(x)＝cos x＋，x∈(0，)的最小值等于4. ( × )
(4)x>0且y>0是＋≥2的充要条件． ( × )
(5)若a>0，则a3＋的最小值为2. ( × )
(6)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)． ( √ )
2． 当x>1时，关于函数f(x)＝x＋，下列叙述正确的是 ( )
A．函数f(x)有最小值2 B．函数f(x)有最大值2
C．函数f(x)有最小值3 D．函数f(x)有最大值3
答案 C
3． 若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是 ( )
A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2
C.＋> D.＋≥2
答案 D
解析 ∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误．
对于B、C，当a<0，b<0时，明显错误．
对于D，∵ab>0，∴＋≥2 ＝2.
4． 设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝2，则＋的最大值为( )
A．2 B. C．1 D.
答案 C
解析 由ax＝by＝3，得 ( http: / / www.21cnjy.com )：x＝loga3，y＝logb3，由a>1，b>1知x>0，y>0，＋＝log3a＋log3b＝log3ab≤log32＝1，当且仅当a＝b＝时“＝”成立，则＋的最大值为1.
5． (2013·天津)设a＋b＝2，b>0，则当a＝________时，＋取得最小值．
答案 －2
解析 由于a＋b＝2，所以＋＝＋＝eq \f(a,4|a|)＋＋，由于b>0，|a|>0，所以＋≥2 ＝1，因此当a>0时，＋的最小值是＋1＝；当a<0时，＋的最小值是－＋1＝.故＋的最小值为，此时即a＝－2.
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题型一 利用均值不等式求最值
例1 (1)已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，则＋的最小值为________；
(2)当x>0时，则f(x)＝的最大值为________．
思维启迪 利用均值不等式求最值可以先对式子进 ( http: / / www.21cnjy.com )行必要的变换．如第(1)问把＋中的“1”代换为“2x＋y”，展开后利用均值不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“x”，再利用均值不等式．
答案 (1)3＋2 (2)1
解析 (1)∵x>0，y>0，且2x＋y＝1，
∴＋＝＋
＝3＋＋≥3＋2.当且仅当＝时，取等号．
(2)∵x>0，∴f(x)＝＝≤＝1，
当且仅当x＝，即x＝1时取等号．
思维升华 (1)利用均值不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．
(2)在求最值过程中若不能直接使用均值不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用均值不等式．
(1)已知正实数x，y满足xy＝1，则(＋y)·(＋x)的最小值为________．
(2)已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．
答案 (1)4 (2)3
解析 (1)依题意知，(＋y)(＋x)＝1＋＋＋1≥2＋2 ＝4，当且仅当x＝y＝1时取等号，故(＋y)·(＋x)的最小值为4.
(2)∵x>0，y>0且1＝＋≥2，∴xy≤3.当且仅当＝时取等号．
题型二 不等式与函数的综合问题
例2 (1)已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－∞，2－1)
C．(－1,2－1) D．(－2－1,2－1)
(2)已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意x∈N＋，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________．
思维启迪 对不等式恒成立问题可首先考虑分离题中的常数，然后通过求最值得参数范围．
答案 (1)B (2)[－，＋∞)
解析 (1)由f(x)>0得32x－(k＋1)·3x＋2>0，
解得k＋1<3x＋，而3x＋≥2(当且仅当3x＝，
即x＝log3时，等号成立)，
∴k＋1<2，即k<2－1.
(2)对任意x∈N＋，f(x)≥3恒成立，即≥3恒成立，即知a≥－(x＋)＋3.
设g(x)＝x＋，x∈N＋，则g(2)＝6，g(3)＝.
∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝.∴－(x＋)＋3≤－，
∴a≥－，故a的取值范围是[－，＋∞)．
思维升华 (1)a>f(x)恒成立 a>(f(x))max，
a(2)求最值时要注意其中变量的条件，有些不能用均值不等式的问题可考虑利用函数的单调性．
若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈(0，)成立，则a的最小值是( )
A．0 B．－2 C．－ D．－3
答案 C
解析 方法一 设f(x)＝x2＋ax＋1，
则对称轴为x＝－.
当－≥，即a≤－1时，
f(x)在(0，)上是减函数，应有f()≥0 a≥－，
∴－≤a≤－1.
当－≤0，即a≥0时，f(x)在(0，)上是增函数，
应有f(0)＝1>0恒成立，故a≥0.
当0<－<，即－1应有f(－)＝－＋1＝1－≥0恒成立，
故－1综上，a≥－，故选C.
方法二 当x∈(0，)时，不等式x2＋ax＋1≥0恒成立转化为a≥－(x＋)恒成立．
又φ(x)＝x＋在(0，)上是减函数，
∴φ(x)min＝φ()＝，
∴[－(x＋)]max＝－，
∴a≥－.
题型三 均值不等式的实际应用
例3 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S的最大允许值是多少？为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
思维启迪 把铁栅长、砖墙长设为未知数，由投资3 200元列等式，利用均值不等式即可求解．
解 设铁栅长为x米，一侧砖墙 ( http: / / www.21cnjy.com )长为y米，则顶部面积S＝xy，依题设，得40x＋2×45y＋20xy＝3 200，由均值不等式得3 200≥2＋20xy＝120＋20xy＝120＋20S，则S＋6－160≤0，即(－10)(＋16)≤0，故0<≤10，从而0思维升华 对实际问题，在审题和建 ( http: / / www.21cnjy.com )模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确挖掘，一般地，每个表示实际意义的代数式必须为正，由此可得自变量的范围，然后再利用均值不等式求最值．
(1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 ( )
A．60件 B．80件 C．100件 D．120件
(2)某种饮料分两次提价，提价方案有两种， ( http: / / www.21cnjy.com )方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙：每次都提价%，若p>q>0，则提价多的方案是________．
答案 (1)B (2)乙
解析 (1)设每件产品的平均费用为y元，由题意得
y＝＋≥2 ＝20.
当且仅当＝(x>0)，即x＝80时“＝”成立，故选B.
(2)设原价为1，则提价后的价格为
方案甲：(1＋p%)(1＋q%)，
方案乙：(1＋%)2，
因为≤＋＝1＋%，
且p>q>0，所以<1＋%，
即(1＋p%)(1＋q%)<(1＋%)2，
所以提价多的方案是乙．
忽视均值不等式等号成立的条件致误
典例：(10分)(1)(2012·浙江)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是( )
A. B.
C．5 D．6
(2)函数y＝1－2x－(x<0)的最小值为________．
易错分析 (1)对x＋3y运用均值不等式得的范围，再对3x＋4y运用均值不等式，利用不等式的传递性得最值；
(2)没有注意到x<0这个条件误用均值不等式得2x＋≥2.
解析 (1)由x＋3y＝5xy可得＋＝1，
所以3x＋4y＝(3x＋4y)(＋)
＝＋＋＋≥＋2 ＝＋＝5，
当且仅当x＝1，y＝时取等号，故3x＋4y的最小值是5.
(2)∵x<0，∴y＝1－2x－＝1＋(－2x)＋(－)≥1＋2 ＝1＋2，当且仅当x＝－时取等号，故y有最小值1＋2.
答案 (1)C (2)1＋2
温馨提醒 (1)利用均值不等式求最值，一定要注意应用条件；
(2)尽量避免多次使用均值不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致.
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方法与技巧
1．均值不等式具有将“和式”转化为“积 ( http: / / www.21cnjy.com )式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用均值不等式的切入点．
2．对于均值不等式，不仅要记住原始 ( http: / / www.21cnjy.com )形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab≤()2≤，≤≤ (a>0，b>0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件．
失误与防范
1．使用均值不等式求最值，“一正、二定、三相等”三个条件缺一不可．
2．连续使用均值不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．
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A组 专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1． 已知0A. B.
C. D.
答案 B
解析 ∵00.
∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤32＝.
当且仅当x＝1－x，即x＝时取等号．
2． 若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于 ( )
A．1＋ B．1＋
C．3 D．4
答案 C
解析 f(x)＝x＋＝x－2＋＋2.
∵x>2，∴x－2>0.
∴f(x)＝x－2＋＋2≥2 ＋2＝4，
当且仅当x－2＝，
即x＝3时，“＝”成立．
又f(x)在x＝a处取最小值．∴a＝3.
3． 小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(aA．aC.答案 A
解析 设甲、乙两地相距s，则小王往返两地用时为＋，
从而v＝＝.
∵0＝a，
∴<，即<，
∴a4． 若a>0，b>0，且ln(a＋b)＝0，则＋的最小值是 ( )
A. B．1 C．4 D．8
答案 C
解析 由a>0，b>0，ln(a＋b)＝0得.
故＋＝＝≥＝＝4.
当且仅当a＝b＝时上式取“＝”．
5． (2012·福建)下列不等式一定成立的是 ( )
A．lg>lg x(x>0)
B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D.>1(x∈R)
答案 C
解析 应用均值不等式：x，y∈R＋，≥(当且仅当x＝y时取等号)逐个分析，注意均值不等式的应用条件及取等号的条件．
当x>0时，x2＋≥2·x·＝x，
所以lg≥lg x(x>0)，故选项A不正确；
运用均值不等式时需保证一正二定三相等，
而当x≠kπ，k∈Z时，sin x的正负不定，故选项B不正确；
由均值不等式可知，选项C正确；
当x＝0时，有＝1，故选项D不正确．
二、填空题
6． 设x，y∈R，且xy≠0，则(x2＋)(＋4y2)的最小值为________．
答案 9
解析 (x2＋)(＋4y2)＝5＋＋4x2y2≥5＋2＝9，
当且仅当x2y2＝时“＝”成立．
7． 已知函数f(x)＝x＋(p为常数，且p>0)，若f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p的值为________．
答案
解析 由题意得x－1>0，f(x ( http: / / www.21cnjy.com ))＝x－1＋＋1≥2＋1，当且仅当x＝＋1时取等号，因为f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，所以2＋1＝4，解得p＝.
8． 某公司一年需购买某种货物200吨 ( http: / / www.21cnjy.com )，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是________．
答案 20
解析 设每次购买该种货物x吨，则需 ( http: / / www.21cnjy.com )要购买次，则一年的总运费为×2＝，一年的总存储费用为x，所以一年的总运费与总存储费用为＋x≥2＝40，当且仅当＝x，即x＝20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20吨．
三、解答题
9． (1)已知0(2)已知x>0，y>0，且x＋y＝1，求＋的最小值．
解 (1)y＝2x－5x2＝x(2－5x)＝·5x·(2－5x)．
∵00，
∴5x(2－5x)≤()2＝1，
∴y≤，当且仅当5x＝2－5x，
即x＝时，ymax＝.
(2)∵x>0，y>0，且x＋y＝1，
∴＋＝(＋)(x＋y)＝10＋＋≥10＋2 ＝18，
当且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立，
∴＋的最小值是18.
10．某造纸厂拟建一座底面图形为矩形 ( http: / / www.21cnjy.com )且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计．
(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；
(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．
解 (1)设污水处理池的宽为x米，则长为米．
总造价f(x)＝400×(2x＋)＋248×2x＋80×162
＝1 296x＋＋12 960
＝1 296(x＋)＋12 960
≥1 296×2 ＋12 960
＝38 880(元)，
当且仅当x＝(x>0)，即x＝10时取等号．
∴当污水处理池的长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元．
(2)由限制条件知∴≤x≤16.
设g(x)＝x＋(≤x≤16)，
g(x)在[，16]上是增函数，
∴当x＝时(此时＝16)，
g(x)有最小值，即f(x)有最小值，即为
1 296×(＋)＋12 960＝38 882(元)．
∴当污水处理池的长为16米，宽为米时总造价最低，总造价最低为38 882元．
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
1． 已知a>0，b>0，若不等式－－≤0恒成立，则m的最大值为( )
A．4 B．16 C．9 D．3
答案 B
解析 因为a>0，b>0，所以由－－≤0恒成立得m≤(＋)(3a＋b)＝10＋＋恒成立．
因为＋≥2 ＝6，
当且仅当a＝b时等号成立，所以10＋＋≥16，
所以m≤16，即m的最大值为16，故选B.
2． (2013·山东)设正实数x，y ( http: / / www.21cnjy.com )，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为 ( )
A．0 B．1 C. D．3
答案 B
解析 由已知得z＝x2－3xy＋4y2(*)
则＝＝≤1，
当且仅当x＝2y时取等号，把x＝2y代入(*)式，
得z＝2y2，
所以＋－＝＋－
＝－2＋1≤1.
3． 定义“*”是一种运 ( http: / / www.21cnjy.com )算，对于任意的x，y，都满足x*y＝axy＋b(x＋y)，其中a，b为正实数，已知1*2=4，则ab取最大值时a的值为 .
答案 1
解析 ∵1*2=4，∴2a+3b=4，
∵2a+3b≥2, ∴ab≤.
当且仅当2a＝3b，即a＝1时等号成立，
所以当a＝1时，ab取最大值.
4． (1)若正实数x、y满足2x＋y＋6＝xy，求xy的最小值．
(2)求函数y＝(x>－1)的最小值．
解 (1)xy＝2x＋y＋6≥2＋6，令xy＝t2，
可得t2－2t－6≥0，注意到t>0，解得t≥3，
故xy的最小值为18.
(2)设x＋1＝t，则x＝t－1(t>0)，
∴y＝
＝t＋＋5≥2 ＋5＝9.
当且仅当t＝，即t＝2，且此时x＝1时，取等号，
∴ymin＝9.
5． 经市场调查，某旅游城市在过去 ( http: / / www.21cnjy.com )的一个月内(以30天计)，第t天(1≤t≤30，t∈N＋)的旅游人数f(t)(万人)近似地满足f(t)＝4＋，而人均消费g(t)(元)近似地满足g(t)＝120－|t－20|.
(1)求该城市的旅游日收益W(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N＋)的函数关系式；
(2)求该城市旅游日收益的最小值．
解 (1)W(t)＝f(t)g(t)＝(4＋)(120－|t－20|)
＝
(2)当t∈[1,20]时，401＋4t＋≥401＋2＝441(t＝5时取最小值)．
当t∈(20,30]时，因为W(t)＝559＋－4t递减，
所以t＝30时，W(t)有最小值W(30)＝443 ，
所以t∈[1,30]时，W(t)的最小值为441万元．常考题型强化练——不等式、推理与证明
A组 专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1．“|x|<2”是“x2－x－6<0”的什么条件 ( )
A．充分而不必要 B．必要而不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
答案 A
解析 不等式|x|<2的解集是(－2,2)，而不等式x2－x－6<0的解集是(－2,3)，于是当x∈
(－2,2)时，可得x∈(－2，3)，反之则不成立，故选A.
2． 某种生产设备购买时费用为10万元，每 ( http: / / www.21cnjy.com )年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，则这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少) ( )
A．8 B．9 C．10 D．11
答案 C
解析 设使用x年的年平均费用为y万元．
由已知，得y＝，
即y＝1＋＋(x∈N＋)．
由均值不等式知y≥1＋2 ＝3，当且仅当＝，即x＝10时取等号．因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元．
3． (2013·四川)若变量x，y满足约束条件且z＝5y－x的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是 ( )
A．48 B．30 C．24 D．16
答案 C
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解析 画出可行域如图阴影部 ( http: / / www.21cnjy.com )分(包括边界)易解得A(4,4)，B(8,0)，C(0,2)．对目标函数令z＝0作出直线l0，上下平移易知过点A(4,4)，z最大＝16，过点B(8,0)，z最小＝－8，即a＝16，b＝－8，
∴a－b＝24.选C.
4． 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(α，β)(α>0)，则不等式cx2＋bx＋a>0的解集为
( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 ∵不等式ax2＋bx＋c>0的解集为( ( http: / / www.21cnjy.com )α，β)，则a<0，α＋β＝－，αβ＝，而不等式cx2＋bx＋a>0可化为x2＋x＋1<0，即αβx2－(α＋β)x＋1<0，可得(αx－1)(βx－1)<0，即<0，所以其解集是，故选C.
5． 设等差数列{an}的前n项和为 ( http: / / www.21cnjy.com )Sn.若存在正整数m，n(mA．0 B．1 C．m＋n D．mn
答案 B
解析 因为Tm＝Tn，所以bm＋1bm＋2…bn＝1，
从而bm＋1bn＝1，Tm＋n＝b1b2…bmbm＋1…bnbn＋1…bn＋m－1bn＋m＝(b1bn＋m)·(b2bn＋m－1)…
(bmbn＋1)·(bm＋1bn)＝1.
二、填空题
6． 已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是____________．
答案 (－4,2)
解析 ∵x>0，y>0，且＋＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋
≥4＋2＝8，当且仅当＝，
即4y2＝x2，x＝2y时取等号，又＋＝1，此时x＝4，y＝2，
∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立，
只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立，
即8>m2＋2m，解得－47． 已知点P(x，y)在曲线y＝上运动，作PM垂直于x轴于M，则△OPM(O为坐标原点)的周长的最小值为________．
答案 2＋
解析 三角形OPM的周长为
|x|＋＋≥
2·＋
＝2＋
(当且仅当|x|＝时，即|x|＝1时取等号)．
8． 已知对于任意实数α，我们有正弦恒等式s ( http: / / www.21cnjy.com )in αsin(－α)·sin(＋α)＝sin 3α，也有余弦恒等式cos αcos(－α)·cos(＋α)＝cos 3α，类比以上结论对于使正切有意义的α，可以推理得正切恒等式为________________．
答案 tan αtan(－α)tan(＋α)＝tan 3α
三、解答题
9． 在一条直线型的工艺流水线上有3个工作台 ( http: / / www.21cnjy.com )，将工艺流水线用如下图所示的数轴表示，各工作台的坐标分别为x1，x2，x3，每个工作台上有若干名工人．现要在x1与x3之间修建一个零件供应站，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短．
(1)若每个工作台上只有一名工人，试确定供应站的位置；
(2)设工作台从左到右的人数依次为2,1,3，试确定供应站的位置，并求所有工人到供应站的距离之和的最小值．
解 设供应站坐标为x，各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为d(x)．
(1)由题设，知x1≤x≤x3，
所以d(x)＝x－x1＋|x－x2|＋x3－x＝|x－x2|－x1＋x3，
故当x＝x2时，d(x)取最小值，此时供应站的位置为x＝x2.
(2)由题设，知x1≤x≤x3，
所以d(x)＝2(x－x1)＋|x－x2|＋3(x3－x)
＝
因此，函数d(x)在区间[x1，x2]上是减函数，
在区间[x2，x3]上是常数．
故供应站位置位于区间[x2，x3]上任意一点时，均能使函数d(x)取得最小值，且最小值为3x3－x2－2x1.
10．某市政府为了打造宜居城市，计划在公园 ( http: / / www.21cnjy.com )内新建一个如下图所示的矩形ABCD的休闲区，内部是矩形景观区A1B1C1D1，景观区四周是人行道，已知景观区的面积为8 000平方米，人行道的宽为5米(如下图所示)．
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(1)设景观区的宽B1C1的长度为x(米)，求休闲区ABCD所占面积S关于x的函数；
(2)规划要求景观区的宽B1C1的长度不能超过50米，如何设计景观区的长和宽，才能使休闲区ABCD所占面积最小？
解 (1)因为AB＝10＋，BC＝10＋x，
所以S＝(10＋x)
＝8 100＋＋10x(x>0)．
所以休闲区ABCD所占面积S关于x的函数是
S＝8 100＋＋10x(x>0)．
(2)S＝8 100＋＋10x(0令S′＝10－＝0，得x＝40或x＝－40(舍去)．
所以当0故S＝8 100＋＋10x在(0,50]上单调递减．
所以函数S＝8 100＋＋10x(0所以当景观区的长为160米，宽为50米时，休闲区ABCD所占面积S最小．
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
1． 某商场中秋前30天月饼销售 ( http: / / www.21cnjy.com )总量f(t)与时间t(0A．18 B．27 C．20 D．16
答案 A
解析 平均销售量y＝＝
＝t＋＋10≥18.
当且仅当t＝，即t＝4∈(0,30]时等号成立，
即平均销售量的最小值为18.
2． 某蔬菜收购点租用车辆，将1 ( http: / / www.21cnjy.com )00吨新鲜黄瓜运往某市销售，可供租用的卡车和农用车分别为10辆和20辆．若每辆卡车载重8吨，运费960元，每辆农用车载重2.5吨，运费360元，则蔬菜收购点运完全部黄瓜支出的最低运费为 ( )
A．11 280元 B．12 480元
C．10 280元 D．11 480元
答案 B
解析 设租用的卡车和农用车分别为x辆和y辆，
运完全部黄瓜支出的运费为z元，则，
目标函数z＝960x＋360y，此 ( http: / / www.21cnjy.com )不等式组表示的可行域是△ABC(其中A(10,8)，B(10,20)，C(6.25,20))内横坐标和纵坐标均为整数的点．
当直线l：z＝960x＋360y经过点A(10,8)时，运费最低，
且其最低运费zmin＝960×10＋360×8＝12 480(元)，选B.
3. 如图所示，要挖一个面积为800平方米的矩形鱼池，并在鱼池的
四周留出左右宽2米，上下宽1米的小路，则占地总面积的最小
值是________平方米．
答案 968
解析 设鱼池的长EH＝x，则EF＝，
占地总面积是(x＋4)·
＝808＋2
≥808＋2·2＝968.
当且仅当x＝，即x＝40时，取等号．
4． 我们把在平面内与直线垂直的非零向量 ( http: / / www.21cnjy.com )称为直线的法向量，在平面直角坐标系xOy中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－3,4)，且其法向量为n＝(1，－2)的直线方程为1×(x＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化简得x－2y＋11＝0.类比上述方法，在空间直角坐标系Oxyz中，经过点A(1,2,3)，且其法向量为n＝(－1，－2,1)的平面方程为________．
答案 x＋2y－z－2＝0
解析 设P(x，y，z)为空 ( http: / / www.21cnjy.com )间内任意一点，则类比上述结论可得·n＝(x－1，y－2，z－3)·(－1，－2,1)＝0，整理得x＋2y－z－2＝0.
5． 某工厂每天生产某种产品最多不超过4 ( http: / / www.21cnjy.com )0件，产品的正品率P与日产量x(x∈N＋)件之间的关系为P＝，每生产一件正品盈利4 000元，每出现一件次品亏损2 000元．(注：正品率＝产品中的正品件数÷产品总件数×100%)
(1)将日利润y(元)表示成日产量x(件)的函数；
(2)该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值．
解 (1)∵y＝4 000··x－2 000·x＝3 600x－x3，
∴所求的函数关系式是y＝－x3＋3 600x(x∈N＋，1≤x≤40)．
(2)由(1)知y′＝3 600－4x2.
令y′＝0，解得x＝30.
∴当1≤x<30时，y′>0；
当30∴函数y＝－x3＋3 600x(x∈N＋，1≤x≤40)在(1,30)上是单调递增函数，在(30,40)上是单调递减函数．
∴当x＝30时，
函数y＝－x3＋3 600x(x∈N＋，1≤x≤40)取得最大值，
最大值为－×303＋3 600×30＝72 000(元)．
∴该厂的日产量为30件时，日利润最大，
最大值为72 000元．
