§6.3 等比数列及其前n项和
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1． 等比数列的定义
如果一个数列从第2项起， ( http: / / www.21cnjy.com )每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q(q≠0)表示．
2． 等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1.
3． 等比中项
如果三个数x，G，y组成等比数列，那么G叫做x与y的等比中项．
4． 等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N＋)．
(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n (k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an.
(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．
5． 等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝na1；
当q≠1时，Sn＝＝.
6． 等比数列前n项和的性质
公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__qn__.
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)满足an＋1＝qan(n∈N＋，q为常数)的数列{an}为等比数列． ( × )
(2)G为a，b的等比中项 G2＝ab. ( × )
(3)如果{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列． ( × )
(4)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列． ( × )
(5)若{an}是等比数列，则S1·S2·…·Sk＝0(k≥2，k∈N)的充要条件是an＋an＋1＝0.( √ )
(6)设{an}是任意等比数列，它 ( http: / / www.21cnjy.com )的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则Y(Y－X)＝X(Z－X)恒成立． ( √ )
2． (2013·江西)等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于 ( )
A．－24 B．0 C．12 D．24
答案 A
解析 由x,3x＋3,6x＋6成等比数列得，(3x＋3)2＝x(6x＋6)．
解得x1＝－3或x2＝－1(不合题意，舍去)．
故数列的第四项为－24.
3． (2012·课标全国)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10等于( )
A．7 B．5 C．－5 D．－7
答案 D
解析 方法一 由题意得
∴或∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.
方法二 由解得或
∴或
∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.
4． (2013·北京) ( http: / / www.21cnjy.com )若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________.
答案 2 2n＋1－2
解析 设等比数列的公比为q，由a2＋a4＝20，a3＋a5＝40.
得20q＝40，且a1q＋a1q3＝20，解之得q＝2，且a1＝2.
因此Sn＝＝2n＋1－2.
5． (2012·辽宁)已知等比数 ( http: / / www.21cnjy.com )列{an}为递增数列，且a＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.
答案 2n
解析 先判断数列的项是正数，再求出公比和首项．
a＝a10>0，根据已知条件得2＝5，解得q＝2.
所以aq8＝a1q9，所以a1＝2，所以an＝2n.
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题型一 等比数列的基本运算
例1 (1)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于 ( )
A. B. C. D.
(2)在等比数列{an}中，若a4－a2＝6，a5－a1＝15，则a3＝________.
思维启迪 利用等比数列的通项公式与前n项和公式列方程(组)计算．
答案 (1)B (2)4或－4
解析 (1)显然公比q≠1，由题意得，
解得或(舍去)，
∴S5＝＝＝.
(2)设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，则，两式相除，得＝，即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝.
所以或.故a3＝4或a3＝－4.
思维升华 等比数列基本量的运算是 ( http: / / www.21cnjy.com )等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．
(1)在等比数列{an}中，a1＝1，公比为q，且|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则m等于 ( )
A．9 B．10 C．11 D．12
(2)设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，则公比q等于( )
A．3 B．4 C．5 D．6
(3)已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{}的前5项和为 ( )
A.或5 B.或5 C. D.
答案 (1)C (2)B (3)C
解析 (1)∵a1＝1，∴am＝a1a2a3a4a5＝q·q2·q3·q4＝q10，
即am＝a1·q10，∴m＝11.故选C.
(2)因为
①－②得3a3＝a4－a3，即4a3＝a4，则q＝＝4.
(3)若q＝1，则由9S3＝S6得9×3a1＝6a1，
则a1＝0，不满足题意，故q≠1.
由9S3＝S6得9×＝，解得q＝2.
故an＝a1qn－1＝2n－1，＝()n－1.
所以数列{}是以1为首项，以为公比的等比数列，
其前5项和为S5＝＝.
题型二 等比数列的性质及应用
例2 (1)在等比数列{an}中，各项均为正值，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则a4＋a8＝________.
(2)等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若＝，则公比q＝________.
思维启迪 利用等比数列的项的性质和前n项和的性质求解．
答案 (1) (2)－
解析 (1)由a6a10＋a3a5＝41及a6a10＝a，a3a5＝a，
得a＋a＝41.因为a4a8＝5，
所以(a4＋a8)2＝a＋2a4a8＋a＝41＋2×5＝51.
又an>0，所以a4＋a8＝.
(2)由＝，a1＝－1知公比q≠1，＝－.
由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，
故q5＝－，q＝－.
思维升华 (1)在解决等比数列的有 ( http: / / www.21cnjy.com )关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．
(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．
(1)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于 ( )
A．5 B．7 C．6 D．4
(2)记等比数列{an}的 ( http: / / www.21cnjy.com )前n项积为Tn(n∈N＋)，已知am－1·am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，则m的值为 ( )
A．4 B．7 C．10 D．12
(3)已知Sn为等比数列{an}的前n项和，且S3＝8，S6＝7，则a4＋a5＋…＋a9＝________.
答案 (1)A (2)A (3)－
解析 (1)把a1a2a3，a ( http: / / www.21cnjy.com )4a5a6，a7a8a9看成一个整体，则由题意，知它们分别是一个等比数列的第1项，第4项和第7项，这里的第4项刚好是第1项与第7项的等比中项．因为数列{an}的各项均为正数，所以a4a5a6＝＝＝5.
(2)因为{an}是等比数列，所以am－1am＋1＝a，
又由题中am－1am＋1－2am＝0，可知am＝2.
由等比数列的性质可知前(2m－1)项积为T2m－1＝a，
即22m－1＝128，故m＝4.
(3)根据等比数列的性质，知S3，S6－S3 ( http: / / www.21cnjy.com )，S9－S6成等比数列，即8,7－8，S9－7成等比数列，所以(－1)2＝8(S9－7)．解得S9＝7.所以a4＋a5＋…＋a9＝S9－S3＝7－8＝－.
题型三 等比数列的判定
例3 已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1 (n≥2)，且an＋Sn＝n.
(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；
(2)求数列{bn}的通项公式．
思维启迪 (1)由an＋Sn＝n及an＋1＋Sn＋1＝n＋1转化成an与an＋1的递推关系，再构造数列{an－1}．
(2)由cn求an再求bn.
(1)证明 ∵an＋Sn＝n， ①
∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1. ②
②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，
∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，
∴＝，∴{an－1}是等比数列．
又a1＋a1＝1，∴a1＝，
∵首项c1＝a1－1，∴c1＝－，公比q＝.
又cn＝an－1，
∴{cn}是以－为首项，以为公比的等比数列．
(2)解 由(1)可知cn＝·n－1＝－n，
∴an＝cn＋1＝1－n.
∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－n－
＝n－1－n＝n.
又b1＝a1＝代入上式也符合，∴bn＝n.
思维升华 注意判断一个数列是等比数列的方法，另外第(2)问中要注意验证n＝1时是否符合n≥2时的通项公式，能合并的必须合并．
设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.
(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明 由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，有a1＋a2＝S2＝4a1＋2.
∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.
又
①－②，得an＋1＝4an－4an－1，
所以an＋1－2an＝2(an－2an－1)．
∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1，
故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列．
(2)解 由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，
所以－＝，
故{}是首项为，公差为的等差数列．
所以＝＋(n－1)·＝，得an＝(3n－1)·2n－2.
等比数列求和忽视公比q的范围致误
典例：(5分)设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn>0(n＝1,2,3，…)．则q的取值范围为________．
易错分析 本题易忽视q的范围，由于等 ( http: / / www.21cnjy.com )比数列求和公式中分两种情况q＝1和q≠1，而本题未说明q的范围，求解时应分类讨论，而不能直接利用公式Sn＝.
解析 因为{an}为等比数列，Sn>0，
可以得到a1＝S1>0，q≠0，
当q＝1时，Sn＝na1>0；
当q≠1时，Sn＝>0，
即>0(n＝1,2,3，…)，上式等价于不等式组(n＝1,2,3，…)，①
或(n＝1,2,3，…)．②
解①式得q>1，解②式，由于n可为奇数，可为偶数，
得－1
综上，q的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．
答案 (－1,0)∪(0，＋∞)
温馨提醒 在应用公式Sn ( http: / / www.21cnjy.com )＝或Sn＝求和时，应注意公式的使用条件为q≠1，而当q＝1时，应按常数列求和，即Sn＝na1.因此，对含有字母参数的等比数列求和时，应分q＝1和q≠1两种情况进行讨论，体现了分类讨论思想.
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方法与技巧
1． 已知等比数列{an}
(1)数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a}，{}也是等比数列．
(2)a1an＝a2an－1＝…＝aman－m＋1.
2． 判断数列为等比数列的方法
(1)定义法：＝q(q是不等于0的常数，n∈N＋) 数列{an}是等比数列；也可用＝q(q是不等于0的常数，n∈N＋，n≥2) 数列{an}是等比数列．二者的本质是相同的，其区别只是n的初始值不同．
(2)等比中项法：a＝anan＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N＋) 数列{an}是等比数列．
失误与防范
1． 特别注意q＝1时，Sn＝na1这一特殊情况．
2． 由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.
3． 在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．
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A组 专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1． (2012·安徽)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10等于
( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 B
解析 利用等比数列的性质和通项公式求解．
∵a3·a11＝16，∴a＝16.
又∵等比数列{an}的各项都是正数，
∴a7＝4.
又∵a10＝a7q3＝4×23＝25，
∴log2a10＝5.故选B.
2． 等比数列中，|a1|＝1，a5＝－8a2.a5＞a2，则an等于 ( )
A．(－2)n－1 B．－(－2)n－1
C．(－2)n D．－(－2)n
答案 A
解析 ∵|a1|＝1，∴a1＝1或a1＝－1.
∵a5＝－8a2＝a2·q3，∴q3＝－8，∴q＝－2.
又a5＞a2，即a2q3＞a2，∴a2＜0.
而a2＝a1q＝a1·(－2)＜0，∴a1＝1.
故an＝a1·(－2)n－1＝(－2)n－1.
3． (2013·课标全国Ⅱ)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1等于
( )
A. B．－
C. D．－
答案 C
解析 设等比数列{an}的公比为q，
由S3＝a2＋10a1得a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，
即a3＝9a1，q2＝9，
又a5＝a1q4＝9，所以a1＝.
4． 一个等比数列的前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为729，则该数列的项数是 ( )
A．13 B．12 C．11 D．10
答案 B
解析 设该等比数列为{an}，其前n项积为Tn，
则由已知得a1·a2·a3＝3，an－2·an－1·an＝9，
(a1·an)3＝3×9＝33，
∴a1·an＝3，又Tn＝a1·a2·…·an－1·an，
Tn＝an·an－1·…·a2·a1，
∴T＝(a1·an)n，即7292＝3n，∴n＝12.
5． 数列{an}中，已知对任意n∈ ( http: / / www.21cnjy.com )N＋，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则a＋a＋a＋…＋a等于 ( )
A．(3n－1)2 B.(9n－1)
C．9n－1 D.(3n－1)
答案 B
解析 ∵a1＋a2＋…＋an＝3n－1，n∈N＋，
n≥2时，a1＋a2＋…＋an－1＝3n－1－1，
∴当n≥2时，an＝3n－3n－1＝2·3n－1，
又n＝1时，a1＝2适合上式，∴an＝2·3n－1，
故数列{a}是首项为4，公比为9的等比数列．
因此a＋a＋…＋a＝＝(9n－1)．
二、填空题
6． 等比数列{an}中，Sn表示前n项和，a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q为________．
答案 3
解析 由a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1得
a4－a3＝2(S3－S2)＝2a3，
∴a4＝3a3，∴q＝＝3.
7． (2012·江西)等比数列{an ( http: / / www.21cnjy.com )}的前n项和为Sn，公比不为1.若a1＝1，则对任意的n∈N＋，都有an＋2＋an＋1－2an＝0，则S5＝________.
答案 11
解析 利用“特殊值”法，确定公比．
由题意知a3＋a2－2a1＝0，设公比为q，则a1(q2＋q－2)＝0.
由q2＋q－2＝0解得q＝－2或q＝1(舍去)，
则S5＝＝＝11.
8． 设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，则q的值为________．
答案 －2
解析 由已知条件得2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2，
即2Sn＝2Sn＋2an＋1＋an＋2，即＝－2.
三、解答题
9． 已知等差数列{an}满足a2＝2，a5＝8.
(1)求{an}的通项公式；
(2)各项均为正数的等比数列{bn}中，b1＝1，b2＋b3＝a4，求{bn}的前n项和Tn.
解 (1)设等差数列{an}的公差为d，
则由已知得.∴a1＝0，d＝2.
∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－2.
(2)设等比数列{bn}的公比为q，则由已知得q＋q2＝a4，
∵a4＝6，∴q＝2或q＝－3.
∵等比数列{bn}的各项均为正数，∴q＝2.
∴{bn}的前n项和Tn＝＝＝2n－1.
10．数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝t，点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上，n∈N＋.
(1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列；
(2)在(1)的结论下，设bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn.
解 (1)∵点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上，
∴an＋1＝3Sn＋1，an＝3Sn－1＋1(n>1，且n∈N＋)，
an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an，∴an＋1＝4an，n>1，
a2＝3S1＋1＝3a1＋1＝3t＋1，
∴当t＝1时，a2＝4a1，数列{an}是等比数列．
(2)在(1)的结论下，an＋1＝4an，an＋1＝4n，
bn＝log4an＋1＝n，cn＝an＋bn＝4n－1＋n，
Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n)
＝(1＋4＋42＋…＋4n－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)
＝＋.
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
1． 已知{an}是首项为1的等比数列，若Sn是{an}的前n项和，且28S3＝S6，则数列的前4项和为 ( )
A.或4 B.或4
C. D.
答案 C
解析 设数列{an}的公比为q.
当q＝1时，由a1＝1，得28S3＝28×3＝84.
而S6＝6，两者不相等，因此不合题意．
当q≠1时，由28S3＝S6及首项为1，得＝.解得q＝3.所以数列{an}的通项公式为an＝3n－1.
所以数列的前4项和为1＋＋＋＝.
2． (2013·福建)已知等比数列{a ( http: / / www.21cnjy.com )n}的公比为q，记bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n－1)＋m，cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m，n∈N＋)，则以下结论一定正确的是 ( )
A．数列{bn}为等差数列，公差为qm
B．数列{bn}为等比数列，公比为q2m
C．数列{cn}为等比数列，公比为qm2
D．数列{cn}为等比数列，公比为qmm
答案 C
解析 ∵bn＝am(n－1)(q＋q2＋…＋qm)
∴＝＝＝qm(常数)．
bn＋1－bn不是常数．
又∵cn＝(am(n－1))mq1＋2＋…＋m＝(am(n－1))m，
∴＝()m＝(qm)m＝qm2(常数)．
cn＋1－cn不是常数．
∴选C.
3． 在数列{an}中，已知a1＝1， ( http: / / www.21cnjy.com )an＝2(an－1＋an－2＋…＋a2＋a1) (n≥2，n∈N＋)，这个数列的通项公式是_______________________________________________．
答案 an＝
解析 由已知n≥2时，an＝2Sn－1①
当n≥3时，an－1＝2Sn－2②
①－②整理得＝3 (n≥3)，
∴an＝
4． 已知在正项数列{an}中，a1＝2，点 ( http: / / www.21cnjy.com )An(，)在双曲线y2－x2＝1上，数列{bn}中，点(bn，Tn)在直线y＝－x＋1上，其中Tn是数列{bn}的前n项和．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：数列{bn}是等比数列．
(1)解 由已知点An在y2－x2＝1上知，an＋1－an＝1，
∴数列{an}是一个以2为首项，以1为公差的等差数列，
∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋n－1＝n＋1.
(2)证明 ∵点(bn，Tn)在直线y＝－x＋1上，
∴Tn＝－bn＋1， ①
∴Tn－1＝－bn－1＋1(n≥2)， ②
①②两式相减得bn＝－bn＋bn－1(n≥2)，
∴bn＝bn－1，∴bn＝bn－1(n≥2)．
令n＝1，得b1＝－b1＋1，∴b1＝，
∴{bn}是一个以为首项，以为公比的等比数列．
5． (2013·天津)已知首 ( http: / / www.21cnjy.com )项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N＋)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn＝Sn－(n∈N＋)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值．
解 (1)设等比数列{an}的公比为q，
因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，
所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，
于是q2＝＝.
又{an}不是递减数列且a1＝，所以q＝－.
故等比数列{an}的通项公式为
an＝×n－1＝(－1)n－1·.
(2)由(1)得Sn＝1－n＝
当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，
所以1故0当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，
所以＝S2≤Sn<1，
故0>Sn－≥S2－＝－＝－.
综上，对于n∈N＋，总有－≤Sn－≤.
所以数列{Tn}最大项的值为，最小项的值为－.§6.2 等差数列及其前n项和
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1． 等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的 ( http: / / www.21cnjy.com )差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母__d__表示．
2． 等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.
3． 等差中项
如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x与y的等差中项．
4． 等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N＋)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.
(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是公差为md的等差数列．
5． 等差数列的前n项和公式
设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝或Sn＝na1＋d.
6． 等差数列的前n项和公式与函数的关系
Sn＝n2＋n.
数列{an}是等差数列 Sn＝An2＋Bn，(A、B为常数)．
7． 等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列． ( × )
(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N＋，都有2an＋1＝an＋an＋2.( √ )
(3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的． ( √ )
(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数． ( × )
(5)数列{an}满足an＋1－an＝n，则数列{an}是等差数列． ( × )
(6)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列． ( √ )
2． 设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和，若S10＝S11，则a1等于( )
A．18 B．20 C．22 D．24
答案 B
解析 因为S10＝S11，所以a11＝0.
又因为a11＝a1＋10d，所以a1＝20.
3． (2012·辽宁)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11等于( )
A．58 B．88 C．143 D．176
答案 B
解析 S11＝＝＝88.
4． (2013·课标全国Ⅰ)设等差 ( http: / / www.21cnjy.com )数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于 ( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 C
解析 am＝2，am＋1＝3，故d＝1，
因为Sm＝0，故ma1＋d＝0，
故a1＝－，
因为am＋am＋1＝5，
故am＋am＋1＝2a1＋(2m－1)d
＝－(m－1)＋2m－1＝5，
即m＝5.
5． (2013·课标全国Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为________．
答案 －49
解析 由题意知a1＋a10＝0，a1＋a15＝.
两式相减得a15－a10＝＝5d，
∴d＝，a1＝－3.
∴nSn＝n·＝＝f(n)，
令f(x)＝，x>0，
f′(x)＝x(3x－20)．
令f′(x)＝0得x＝0(舍)或x＝.
当x>时，f(x)是单调递增的；
当0故当n＝7时，f(n)取最小值，f(n)min＝－49.
∴nSn的最小值为－49.
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题型一 等差数列的基本运算
例1 在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．
思维启迪 等差数列基本量的计算，基本思想就是根据条件列方程，求等差数列的首项与公差．
解 (1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.
由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3，解得d＝－2.
从而an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.
(2)由(1)可知an＝3－2n，
所以Sn＝＝2n－n2.
由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35，
即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.
又k∈N＋，故k＝7.
思维升华 (1)等差数列的通项公式及前 ( http: / / www.21cnjy.com )n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．
(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．
(1)若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7等于 ( )
A．12 B．13 C．14 D．15
(2)记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝，S4＝20，则S6等于 ( )
A．16 B．24 C．36 D．48
(3)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足－＝1，则数列{an}的公差是( )
A. B．1 C．2 D．3
答案 (1)B (2)D (3)C
解析 (1)由题意得S5＝＝5a3＝25，故a3＝5，公差d＝a3－a2＝2，a7＝a2＋5d＝3＋5×2＝13.
(2)∵S4＝2＋6d＝20，∴d＝3，故S6＝3＋15d＝48.
(3)∵Sn＝，∴＝，又－＝1，
得－＝1，即a3－a2＝2，
∴数列{an}的公差为2.
题型二 等差数列的性质及应用
例2 (1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于( )
A．63 B．45 C．36 D．27
(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为 ( )
A．13 B．12 C．11 D．10
(3)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 014，－＝6，则S2 013等于
( )
A．2 013 B．－2 013 C．－4 026 D．4 026
思维启迪 (1)根据S3，S6－S3，S9－S6为等差数列解此题；
(2)利用a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2求n；
(3)数列{}为等差数列．
答案 (1)B (2)A (3)C
解析 (1)由{an}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列．
即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，
得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，故选B.
(2)因为a1＋a2＋a3＝34，an－2＋an－1＋an＝146，
a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝34＋146＝180，
又因为a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2，
所以3(a1＋an)＝180，从而a1＋an＝60，
所以Sn＝＝＝390，即n＝13.
(3)由等差数列的性质可得{}也为等差数列．
又∵－＝6d＝6，∴d＝1.
故＝＋2 012d＝－2 014＋2 012＝－2，
∴S2 013＝－2×2 013＝－4 026，故选C.
思维升华 在等差数列{an}中，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列；{}也是等差数列．等差数列的性质是解题的重要工具．
(1)设数列{an}是等差数列，若a3＋a4＋a5＝12，则a1＋a2＋…＋a7等于( )
A．14 B．21 C．28 D．35
(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________.
答案 (1)C (2)60
解析 (1)∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4，
∴a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.
(2)∵S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，
∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20，
∴40＝10＋S30－30，∴S30＝60.
题型三 等差数列的前n项和及其最值
例3 (1)在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值；
(2)已知数列{an}的通项公式是an＝4n－25，求数列{|an|}的前n项和．
思维启迪 (1)由a1＝20及S10＝S ( http: / / www.21cnjy.com )15可求得d，进而求得通项，由通项得到此数列前多少项为正，或利用Sn是关于n的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解．(2)利用等差数列的性质，判断出数列从第几项开始变号．
解 (1)方法一 ∵a1＝20，S10＝S15，
∴10×20＋d＝15×20＋d，∴d＝－.
∴an＝20＋(n－1)×＝－n＋.
∴a13＝0，即当n≤12时，an>0，n≥14时，an<0，
∴当n＝12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S13＝S12＝12×20＋×＝130.
方法二 同方法一求得d＝－.
∴Sn＝20n＋·＝－n2＋n
＝－2＋.
∵n∈N＋，∴当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.
方法三 同方法一求得d＝－.
又由S10＝S15得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0.
∴5a13＝0，即a13＝0.
∴当n＝12或13时，Sn有最大值．
且最大值为S12＝S13＝130.
(2)∵an＝4n－25，an＋1＝4(n＋1)－25，
∴an＋1－an＝4＝d，又a1＝4×1－25＝－21.
所以数列{an}是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列．
令
由①得n<6；由②得n≥5，所以n＝6.
即数列{|an|}的前6项是以21为首项，公差为－4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列，
而|a7|＝a7＝4×7－25＝3.
设{|an|}的前n项和为Tn，则
Tn＝
＝
思维升华 求等差数列前n项和的最值 ( http: / / www.21cnjy.com )，常用的方法：①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；②利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；③将等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn (A、B为常数)看做二次函数，根据二次函数的性质求最值．
(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于 ( )
A．6 B．7 C．8 D．9
(2)等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若ak＋a4＝0，则k＝________.
答案 (1)A (2)10
解析 (1)设该数列的公差为d，则a4＋a6＝2a1＋8d＝2×(－11)＋8d＝－6，解得d＝2，
所以Sn＝－11n＋×2＝n2－12n＝(n－6)2－36，
所以当Sn取最小值时，n＝6.
(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S9－S4＝0，
即a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0,5a7＝0，故a7＝0.
而ak＋a4＝0，故k＝10.
等差数列的最值问题
典例：(15分)(1)等差数列{an ( http: / / www.21cnjy.com )}的前n项和为Sn，已知a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，则当Sn取最大值时，n的值是 ( )
A．5 B．6 C．7 D．8
(2)已知等差数列{an}的首项a1＝20，公差d＝－2，则前n项和Sn的最大值为________．
(3)设数列{an}是公差d<0的等差 ( http: / / www.21cnjy.com )数列，Sn为前n项和，若S6＝5a1＋10d，则Sn取最大值时，n的值为 ( )
A．5 B．6 C．5或6 D．11
思维启迪 (1)由已知分析等差数列项的变化规律、符号．
(2)等差数列前n项的和Sn是关于n的二次函数，可将Sn的最大值转化为求二次函数的最值问题．
(3)根据条件确定数列最后的非负项．
解析 (1)依题意得2a6＝4,2a7＝－2，a6＝2>0，a7＝－1<0；
又数列{an}是等差数列，因此在该数列中，前6项均为正数，
自第7项起以后各项均为负数，于是当Sn取最大值时，n＝6，选B.
(2)因为等差数列{an}的首项a1＝20，公差d＝－2，代入求和公式得，
Sn＝na1＋d＝20n－×2
＝－n2＋21n＝－(n－)2＋()2，
又因为n∈N＋，所以n＝10或n＝11时，Sn取得最大值，最大值为110.
(3)由题意得S6＝6a1＋15d＝5a1＋10d，所以a6＝0，故当n＝5或6时，Sn最大，选C.
答案 (1)B (2)110 (3)C
温馨提醒 (1)求等差数列前n项和的最值常用的方法：
①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；
②利用等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值．
(2)注意区别等差数列前n项和Sn的最值和Sn的符号.
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方法与技巧
1． 等差数列的判断方法
(1)定义法：an＋1－an＝d (d是常数) {an}是等差数列．
(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2 (n∈N＋) {an}是等差数列．
(3)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数) {an}是等差数列．
(4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn (A、B为常数) {an}是等差数列．
2． 方程思想和化归思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程(组)获得解．
3． 在遇到三个数成等差数列 ( http: / / www.21cnjy.com )问题时，可设三个数为(1)a，a＋d，a＋2d；(2)a－d，a，a＋d；(3)a－d，a＋d，a＋3d等，可视具体情况而定．
失误与防范
1．当公差d≠0时，等差数列的通项公式是n的一次函数，当公差d＝0时，an为常数．
2．公差不为0的等差数列的 ( http: / / www.21cnjy.com )前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列．
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A组 专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1． (2012·福建)等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 方法一 设等差数列{an}的公差为d，
由题意得
解得∴d＝2.
方法二 ∵在等差数列{an}中，a1＋a5＝2a3＝10，∴a3＝5.
又a4＝7，∴公差d＝7－5＝2.
2． 已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有 ( )
A．a1＋a101>0 B．a2＋a100<0
C．a3＋a99＝0 D．a51＝51
答案 C
解析 由题意，得a1＋a2＋a3＋…＋a101
＝×101＝0.
所以a1＋a101＝a2＋a100＝a3＋a99＝0.
3． 已知等差数列{an}中，a2＝6，a5＝15，若bn＝a2n，则数列{bn}的前5项和等于( )
A．30 B．45 C．90 D．186
答案 C
解析 因为，
所以a1＝3，d＝3，
bn＝a2n＝a1＋(2n－1)d＝6n，
S5＝＝＝90，
因此选C项．
4． (2013·辽宁)下面是关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题：
p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；
p3：数列是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．
其中的真命题为 ( )
A．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p4
答案 D
解析 由于p1：an＝a1＋(n－1)d，d＞0，
∴an－an－1＝d＞0，命题p1正确．
对于p2：nan＝na1＋n(n－1)d，
∴nan－(n－1)an－1＝a1＋2(n－1)d与0的大小和a1的取值情况有关．
故数列{nan}不一定递增，命题p2不正确．
对于p3：＝＋d，∴－＝，
当d－a1＞0，即d＞a1时，数列{}递增，
但d＞a1不一定成立，则p3不正确．
对于p4：设bn＝an＋3nd，
则bn＋1－bn＝an＋1－an＋3d＝4d＞0.
∴数列{an＋3nd}是递增数列，p4正确．
综上，正确的命题为p1，p4.
5． 在等差数列{an}中，a1>0，a1 ( http: / / www.21cnjy.com )0·a11<0，若此数列的前10项和S10＝36，前18项和S18＝12，则数列{|an|}的前18项和T18的值是 ( )
A．24 B．48 C．60 D．84
答案 C
解析 由a1>0，a10·a11<0可知d<0，a10>0，a11<0，
∴T18＝a1＋…＋a10－a11－…－a18
＝S10－(S18－S10)＝60，故选C.
二、填空题
6． (2013·广东)在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.
答案 20
解析 设公差为d，则a3＋a8＝2a1＋9d＝10，
∴3a5＋a7＝4a1＋18d＝2(2a1＋9d)＝20.
7． Sn为等差数列{an}的前n项和，S2＝S6，a4＝1，则a5＝________.
答案 －1
解析 由题意知
解得
∴a5＝a4＋d＝1＋(－2)＝－1.
8． 已知数列{an}中，a1＝1且＝＋(n∈N＋)，则a10＝________.
答案
解析 由已知＝＋(10－1)×＝1＋3＝4，
∴a10＝.
三、解答题
9． 已知等差数列{an}中，a2＝8，前10项和S10＝185.求数列{an}的通项公式an.
解 设数列{an}的公差为d，
因为a2＝8，S10＝185，
所以，解得，
所以an＝5＋(n－1)×3＝3n＋2，
即an＝3n＋2.
10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1<0，S2 015＝0.
(1)求Sn的最小值及此时n的值；
(2)求n的取值集合，使an≥Sn.
解 (1)设公差为d，则由S2 015＝0
2 015a1＋d＝0 a1＋1 007d＝0，
d＝－a1，a1＋an＝a1，
∴Sn＝(a1＋an)＝·a1
＝(2 015n－n2)．
∵a1<0，n∈N＋，
∴当n＝1 007或1 008时，Sn取最小值504a1.
(2)an＝a1，
Sn≤an (2 015n－n2)≤a1.
∵a1<0，∴n2－2 017n＋2 016≤0，
即(n－1)(n－2 016)≤0，
解得1≤n≤2 016.
故所求n的取值集合为{n|1≤n≤2 016，n∈N＋}．
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
1． 已知数列{an}为等差数列，若<－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使Sn>0的n的最大值为 ( )
A．11 B．19 C．20 D．21
答案 B
解析 ∵<－1，且Sn有最大值，
∴a10>0，a11<0，且a10＋a11<0，
∴S19＝＝19·a10>0，
S20＝＝10(a10＋a11)<0，
故使得Sn>0的n的最大值为19.
2． 设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有＝，则＋的值为________．
答案
解析 ∵{an}，{bn}为等差数列，
∴＋＝＋＝＝.
∵＝＝＝＝，
∴＝.
3． 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9 ( http: / / www.21cnjy.com )节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．
答案
解析 设所构成数列{an}的首项为a1，公差为d，
依题意即
解得
∴a5＝a1＋4d＝＋4×＝.
4． 已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.
(1)求a及k的值；
(2)设数列{bn}的通项bn＝，证明数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.
解 (1)设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a，
由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，
所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k.
由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，
解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10.
(2)由(1)得Sn＝＝n(n＋1)，则bn＝＝n＋1，
故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，
即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，
所以Tn＝＝.
5． (2012·湖北)已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的积为8.
(1)求等差数列{an}的通项公式；
(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和．
解 (1)设等差数列{an}的公差为d，
则a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d.
由题意得
解得或
所以由等差数列通项公式可得
an＝2－3(n－1)＝－3n＋5或an＝－4＋3(n－1)＝3n－7.
故an＝－3n＋5或an＝3n－7.
(2)当an＝－3n＋5时，a2，a3，a1分别为－1，－4,2，不成等比数列；
当an＝3n－7时，a2，a3，a1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．
故|an|＝|3n－7|＝
记数列{|an|}的前n项和为Sn.
当n＝1时，S1＝|a1|＝4；
当n＝2时，S2＝|a1|＋|a2|＝5；
当n≥3时，Sn＝S2＋|a3|＋|a4|＋…＋|an|
＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n－7)
＝5＋＝n2－n＋10.
当n＝2时，满足此式．
综上，Sn＝HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
§6.1 数列的概念及简单表示法
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1． 数列的定义
按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
2． 数列的分类
分类原则 类型 满足条件
按项数分类 有穷数列 项数有限
无穷数列 项数无限
按项与项间的大小关系分类 递增数列 an＋1__>__an 其中n∈N＋
递减数列 an＋1__<__an
常数列 an＋1＝an
按其他标准分类 有界数列 存在正数M，使|an|≤M
摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
3． 数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．
4． 数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个函数式an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
5．已知Sn，则an＝.
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)所有数列的第n项都能使用公式表达． ( × )
(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个． ( √ )
(3)数列：1,0,1,0,1,0，…，通项公式只能是an＝. ( × )
(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对 n∈N＋，都有an＋1＝Sn＋1－Sn. ( √ )
(5)在数列{an}中，对于任意正整数m，n，am＋n＝amn＋1，若a1＝1，则a2＝2.( √ )
(6)若已知数列{an}的递推公式为an＋1＝，且a2＝1，则可以写出数列{an}的任何一项． ( √ )
2． 设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为 ( )
A．15 B．16 C．49 D．64
答案 A
解析 ∵Sn＝n2，∴a1＝S1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.
∴an＝2n－1，∴a8＝2×8－1＝15.
3． 已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，那么a10等于 ( )
A．1 B．9 C．10 D．55
答案 A
解析 ∵Sn＋Sm＝Sn＋m，a1＝1，∴S1＝1.
可令m＝1，得Sn＋1＝Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝1.
即当n≥1时，an＋1＝1，∴a10＝1.
4． (2013·课标全国Ⅰ)若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝_____.
答案 (－2)n－1
解析 当n＝1时，a1＝1；当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，
故＝－2，故an＝(－2)n－1.
当n＝1时，也符合an＝(－2)n－1.
综上，an＝(－2)n－1.
5． (2013·安徽)如图，互不相同的点A1，A2，…，An，…和B1，
B2，…，Bn…分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，
且所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面积均相等．设OAn＝an，若a1＝1，
a2＝2，则数列{an}的通项公式是________．
答案 an＝
( http: / / www.21cnjy.com )
由相似三角形面积比是相似比的平方知OA＋OA＝2OA，即a＋a＝2a，
因此{a}为等差数列且a＝a＋3(n－1)＝3n－2，
故an＝.
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题型一 由数列的前几项求数列的通项
例1 写出下面各数列的一个通项公式：
(1)3,5,7,9，…；
(2)，，，，，…；
(3)－1，，－，，－，，…；
(4)3,33,333,3 333，….
思维启迪 先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项数之间的关系，项与前后项之间的关系．
解 (1)各项减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1.
(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以an＝.
(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式 ( http: / / www.21cnjy.com )中含因子(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以an＝(－1)n·.
也可写为an＝
(4)将数列各项改写为，，，，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，
所以an＝(10n－1)．
思维升华 根据所给数列的前几项求其通项时， ( http: / / www.21cnjy.com )需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征，应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．
(1)数列－1,7，－13,19，…的一个通项公式是an＝________.
(2)数列{an}的前4项是，1，，，则这个数列的一个通项公式是an＝________.
答案 (1)(－1)n·(6n－5) (2)
解析 (1)符号问题可通过(－1)n或(－ ( http: / / www.21cnjy.com )1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．
(2)数列{an}的前4项可变形为，，，，故an＝.
题型二 由数列的前n项和Sn求数列的通项
例2 已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式：
(1)Sn＝2n2－3n；
(2)Sn＝3n＋b.
思维启迪 当n＝1时，由a1＝S1，求a1；
当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1消去Sn，得an＋1与an的关系．转化成由递推关系求通项．
解 (1)a1＝S1＝2－3＝－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，
由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.
(2)a1＝S1＝3＋b，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.
当b＝－1时，a1适合此等式．
当b≠－1时，a1不适合此等式．
∴当b＝－1时，an＝2·3n－1；
当b≠－1时，an＝
思维升华 数列的通项an与 ( http: / / www.21cnjy.com )前n项和Sn的关系是an＝当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示．
已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为________________．
答案 an＝
解析 当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]
＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式．
故数列的通项公式为an＝
题型三 由数列的递推关系求数列的通项公式
例3 (1)设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项an＝________.
(2)数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋2，则它的一个通项公式为an＝________.
(3)在数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.则{an}的通项公式为________．
思维启迪 观察递推式的特点，可以利用累加(乘)或迭代法求通项公式．
答案 (1)＋1 (2)2×3n－1－1 (3)an＝
解析 (1)由题意得，当n≥2时，
an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝2＋(2＋3＋…＋n)＝2＋＝＋1.
又a1＝2＝＋1，符合上式，
因此an＝＋1.
(2)方法一 (累乘法)
an＋1＝3an＋2，即an＋1＋1＝3(an＋1)，
即＝3，
所以＝3，＝3，＝3，…，＝3.
将这些等式两边分别相乘得＝3n.
因为a1＝1，所以＝3n，
即an＋1＝2×3n－1(n≥1)，
所以an＝2×3n－1－1(n≥2)，
又a1＝1也满足上式，
故数列{an}的一个通项公式为an＝2×3n－1－1.
方法二 (迭代法)
an＋1＝3an＋2，
即an＋1＋1＝3(an＋1)＝32(an－1＋1)＝33(an－2＋1)
＝…＝3n(a1＋1)＝2×3n(n≥1)，
所以an＝2×3n－1－1(n≥2)，
又a1＝1也满足上式，
故数列{an}的一个通项公式为an＝2×3n－1－1.
(3)由题设知，a1＝1.
当n>1时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1.
∴＝.
∴＝，…，＝，
＝，＝3.
以上n－1个式子的等号两端分别相乘，得到＝，
又∵a1＝1，∴an＝.
思维升华 已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解．
当出现an＝an－1＋m时，构造等差数 ( http: / / www.21cnjy.com )列；当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列；当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；当出现＝f(n)时，用累乘法求解．
(1)已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1(n≥2)，则an＝________.
(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1(n∈N＋)，则a5等于 ( )
A．－16 B．16 C．31 D．32
答案 (1) (2)B
解析 (1)∵an＝an－1 (n≥2)，
∴an－1＝an－2，…，a2＝a1.
以上(n－1)个式子相乘得
an＝a1···…·＝＝.
(2)当n＝1时，S1＝2a1－1，∴a1＝1.
当n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，
∴an＝2an－2an－1，
∴an＝2an－1.
∴{an}是等比数列且a1＝1，q＝2，
故a5＝a1×q4＝24＝16.
数列问题中的函数思想
典例：(12分)已知数列{an}．
(1)若an＝n2－5n＋4，
①数列中有多少项是负数？
②n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
(2)若an＝n2＋kn＋4且对于n∈N＋，都有an＋1>an.求实数k的取值范围．
思维启迪 (1)求使an<0的n值 ( http: / / www.21cnjy.com )；从二次函数看an的最小值．(2)数列是一类特殊函数，通项公式可以看作相应的解析式f(n)＝n2＋kn＋4.f(n)在N＋上单调递增，但自变量不连续．从二次函数的对称轴研究单调性．
规范解答
解 (1)①由n2－5n＋4<0，解得1∵n∈N＋，∴n＝2,3.
∴数列中有两项是负数，即为a2，a3. [4分]
②∵an＝n2－5n＋4＝2－的对称轴方程为n＝.又n∈N＋，∴当n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2. [8分]
(2)由an＋1>an知该数列是一个递增数列 ( http: / / www.21cnjy.com )，又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N＋，所以－<，即得k>－3. [12分]
温馨提醒 (1)本题给出的 ( http: / / www.21cnjy.com )数列通项公式可以看做是一个定义在正整数集N＋上的二次函数，因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数k的取值范围，使问题得到解决．
(2)在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取．
(3)易错分析：本题易错答案为k>－2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数.
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方法与技巧
1． 求数列通项或指定项 ( http: / / www.21cnjy.com )．通常用观察法(对于交错数列一般用(－1)n或(－1)n＋1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法．
2． 强调an与Sn的关系：an＝.
3． 已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握．一般有二种常见思路：
(1)算出前几项，再归纳、猜想；
(2)利用累加或累乘法可求数列的通项公式．
失误与防范
1． 数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列an＝f(n)和函数y＝f(x)的单调性是不同的．
2． 数列的通项公式不一定唯一．
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A组 专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1． 数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是an等于 ( )
A. B．cos
C．cos π D．cos π
答案 D
解析 令n＝1,2,3，…逐一验证四个选项，易得D正确．
2． 数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6等于 ( )
A．3×44 B．3×44＋1
C．45 D．45＋1
答案 A
解析 当n≥1时，an＋1＝3Sn，则an＋2＝3Sn＋1，
∴an＋2－an＋1＝3Sn＋1－3Sn＝3an＋1，即an＋2＝4an＋1，
∴该数列从第二项开始是以4为公比的等比数列．
又a2＝3S1＝3a1＝3，∴an＝
∴当n＝6时，a6＝3×46－2＝3×44.
3． 若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10等于( )
A．15 B．12 C．－12 D．－15
答案 A
解析 由题意知，a1＋a2＋…＋a10
＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10×(3×10－2)
＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9×(3×9－2)＋(－1)10×(3×10－2)]
＝3×5＝15.
4． 已知数列{an}的通项公式为an＝()n－1－()n－1，则数列{an} ( )
A．有最大项，没有最小项
B．有最小项，没有最大项
C．既有最大项又有最小项
D．既没有最大项也没有最小项
答案 C
解析 ∵数列{an}的通项公式为an＝()n－1－()n－1，
令t＝()n－1，t∈(0,1]，t是减函数，
则an＝t2－t＝(t－)2－，
由复合函数单调性知an先递增后递减．
故有最大项和最小项，选C.
5． 若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝，则等于 ( )
A. B.
C. D．30
答案 D
解析 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，
所以＝5×6＝30.
二、填空题
6． 已知数列{}，则0.98是它的第________项．
答案 7
解析 ＝0.98＝，∴n＝7.
7． 数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n∈N＋，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5＝_____.
答案
解析 由题意知：a1·a2·a3·…·an－1＝(n－1)2，
∴an＝()2(n≥2)，
∴a3＋a5＝()2＋()2＝.
8． 已知{an}是递增数列，且对于任意的n∈N＋，an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是________．
答案 (－3，＋∞)
解析 方法一 (定义法)
因为{an}是递增数列，所以对任意的n∈N＋，都有an＋1>an，
即(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn，整理，得
2n＋1＋λ>0，即λ>－(2n＋1)．(*)
因为n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3.
方法二 (函数法)
设f(n)＝an＝n2＋λn，其图象的对称轴为直线n＝－，
要使数列{an}为递增数列，只需使定义在正整数上的函数f(n)为增函数，
故只需满足f(1)－3.
三、解答题
9． 数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.
(1)这个数列的第4项是多少？
(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
(3)该数列从第几项开始各项都是正数？
解 (1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.
(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，
解得n＝16或n＝－9(舍去)，
即150是这个数列的第16项．
(3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍)．
故数列从第7项起各项都是正数．
10．已知数列{an}的通项公式为an＝，试判断此数列是否有最大项？若有，第几项最大，最大项是多少？若没有，说明理由．
解 an＋1－an＝－＝·，
当n<8时，an＋1－an>0，即an＋1>an；
当n＝8时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n>8时，an＋1－an<0，即an＋1则a1a10>a11>…，
故数列{an}有最大项，为第8项和第9项，
且a8＝a9＝＝.
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
1． 跳格游戏：如图，人从格子外只能进 ( http: / / www.21cnjy.com )入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人从格子外跳到第8个格子的方法种数为 ( )
A．8种 B．13种 C．21种 D．34种
答案 C
解析 设跳到第n个格子的方法种数有an，则到达第n个格子的方法有两类：
①向前跳1格到达第n个格子，方法种数为an－1；
②向前跳2格到达第n个格子，方法种数为an－2，则an＝an－1＋an－2，
由数列的递推关系得到数列的前8项分别是1,1,2,3,5,8,13,21.
∴跳到第8个格子的方法种数是21.故选C.
2． 数列{an}满足an＋an＋1＝ (n∈N＋)，a2＝2，Sn是数列{an}的前n项和，则S21为( )
A．5 B. C. D.
答案 B
解析 ∵an＋an＋1＝(n∈N＋)，
∴a1＝－a2＝－2，a2＝2，a3＝－2，a4＝2，…，
故a2n＝2，a2n－1＝－2.
∴S21＝10×＋a1＝5＋－2＝.
3． 若数列{n(n＋4)()n}中的最大项是第k项，则k＝________.
答案 4
解析 由题意得，
所以，由k∈N＋可得k＝4.
4． 已知数列{an}满足前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}满足bn＝，且前n项和为Tn，设cn＝T2n＋1－Tn.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)判断数列{cn}的增减性．
解 (1)a1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)．
∴bn＝.
(2)∵cn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1
＝＋＋…＋，
∴cn＋1－cn＝＋－
＝－＝<0，
∴{cn}是递减数列．
5． 设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a，an＋1＝Sn＋3n，n∈N＋.
(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；
(2)若an＋1≥an，n∈N＋，求a的取值范围．
解 (1)依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，
即Sn＋1＝2Sn＋3n，由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)．
即bn＋1＝2bn，又b1＝S1－3＝a－3，
因此，所求通项公式为bn＝Sn－3n＝(a－3)2n－1，n∈N＋.
(2)由(1)知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N＋，
于是，当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2
＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，
an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2＝2n－2[12()n－2＋a－3]，
当n≥2时，an＋1≥an 12()n－2＋a－3≥0 a≥－9.
又a2＝a1＋3>a1.综上，所求的a的取值范围是[－9，＋∞)．§6.4 数列求和
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1． 等差数列前n项和Sn＝＝na1＋d，推导方法：倒序相加法；
等比数列前n项和Sn＝
推导方法：乘公比，错位相减法．
2． 数列求和的常用方法
(1)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．
(2)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．
(3)倒序相加法
把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．
(4)错位相减法
主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．
(5)并项求和法
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
3． 常见的裂项公式
(1)＝－；
(2)＝；
(3)＝－.
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝.( √ )
(2)当n≥2时，＝(－)． ( √ )
(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋… ( http: / / www.21cnjy.com )＋nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得． ( × )
(4)数列{＋2n－1}的前n项和为n2＋. ( × )
(5)若数列a1，a2－a1，…， ( http: / / www.21cnjy.com )an－an－1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列{an}的通项公式是an＝. ( √ )
(6)推导等差数列求和公式的方法叫做 ( http: / / www.21cnjy.com )倒序求和法，利用此法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5. ( √ )
2． (2012·大纲全国)已知等 ( http: / / www.21cnjy.com )差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为 ( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 利用裂项相消法求和．
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
∵a5＝5，S5＝15，
∴∴
∴an＝a1＋(n－1)d＝n.
∴＝＝－，
∴数列的前100项和为1－＋－＋…＋－＝1－＝.
3． 若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和Sn为( )
A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1
C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n2－2
答案 C
解析 Sn＝(2＋22＋23＋…＋2n)＋(1＋3＋5＋…＋(2n－1))
＝＋＝2n＋1－2＋n2.
4． 数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于( )
A．200 B．－200 C．400 D．－400
答案 B
解析 S100＝(4×1 ( http: / / www.21cnjy.com )－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.
5． 3·2－1＋4·2－2＋5·2－3＋…＋(n＋2)·2－n＝________.
答案 4－
解析 设S＝3×＋4×＋5×＋…＋(n＋2)×，
则S＝3×＋4×＋5×＋…＋(n＋2)×.
两式相减得S＝3×＋(＋＋…＋)－.
∴S＝3＋(＋＋…＋)－
＝3＋－＝4－.
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题型一 分组转化求和
例1 已知数列{an}是3＋2－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，…，写出数列{an}的通项公式并求其前n项和Sn.
思维启迪 先写出通项，然后对通项变形，分组后利用等差数列、等比数列的求和公式求解．
解 由已知得，数列{an}的通项公式为
an＝3n＋2n－1＝3n－1＋2n，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝(2＋5＋…＋3n－1)＋(2＋22＋…＋2n)
＝＋＝n(3n＋1)＋2n＋1－2.
思维升华 某些数列的求和是 ( http: / / www.21cnjy.com )将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论．
求和Sn＝1＋＋＋…＋.
解 和式中第k项为
ak＝1＋＋＋…＋＝＝2.
∴Sn＝2
＝2[(1＋1＋…＋1)－(＋＋…＋)]
n个
＝2＝＋2n－2.
题型二 错位相减法求和
例2 已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N＋)，求数列{bn}的前n项和Sn.
思维启迪 (1)列方程组求{an}的首项、公差，然后写出通项an.
(2)q＝1时，bn为等差数列，直接求和；q≠1时，用错位相减法求和．
解 (1)设等差数列{an}的公差为d.
由已知得，解得.
故an＝3＋(n－1)·(－1)＝4－n.
(2)由(1)得，bn＝n·qn－1，于是
Sn＝1·q0＋2·q1＋3·q2＋…＋n·qn－1.
若q≠1，将上式两边同乘以q有
qSn＝1·q1＋2·q2＋…＋(n－1)·qn－1＋n·qn.
两式相减得到(q－1)Sn＝nqn－1－q1－q2－…－qn－1
＝nqn－＝.
于是，Sn＝.
若q＝1，则Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝.
所以Sn＝.
思维升华 (1)错位相减法是求解 ( http: / / www.21cnjy.com )由等差数列{bn}和等比数列{cn}对应项之积组成的数列{an}，即an＝bn×cn的前n项和的方法．这种方法运算量较大，要重视解题过程的训练．
(2)注意错位相减法中等比数列求和公式的应用范围．
已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
解 (1)设等差数列{an}的公差为d，
由已知条件可得解得.
故数列{an}的通项公式为an＝2－n.
(2)设数列的前n项和为Sn，
即Sn＝a1＋＋…＋， ①
故S1＝1，＝＋＋…＋. ②
所以，当n＞1时，①－②得
＝a1＋＋…＋－
＝1－(＋＋…＋)－
＝1－(1－)－＝.
所以Sn＝.当n＝1时也成立．
综上，数列的前n项和Sn＝.
题型三 裂项相消法求和
例3 在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S＝an.
(1)求Sn的表达式；
(2)设bn＝，求{bn}的前n项和Tn.
思维启迪 第(1)问利用an＝Sn－Sn－1 (n≥2)后，再同除Sn－1·Sn转化为的等差数列即可求Sn.
第(2)问求出{bn}的通项公式，用裂项相消法求和．
解 (1)∵S＝an，an＝Sn－Sn－1 (n≥2)，
∴S＝(Sn－Sn－1)，
即2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn，①
由题意得Sn－1·Sn≠0，
①式两边同除以Sn－1·Sn，得－＝2，
∴数列是首项为＝＝1，公差为2的等差数列．
∴＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴Sn＝.
(2)∵bn＝＝
＝，
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]
＝＝.
思维升华 利用裂项相消法求和时，应 ( http: / / www.21cnjy.com )注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．
已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且Sn＝，n∈N＋.
(1)求证：数列{an}是等差数列；
(2)设bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn.
(1)证明 ∵Sn＝，n∈N＋，
∴当n＝1时，a1＝S1＝ (an>0)，∴a1＝1.
当n≥2时，由
得2an＝a＋an－a－an－1.
即(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，
∵an＋an－1>0，∴an－an－1＝1(n≥2)．
所以数列{an}是以1为首项，以1为公差的等差数列．
(2)解 由(1)可得an＝n，Sn＝，
bn＝＝＝－.
∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn
＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.
四审结构定方案
典例：(12分)(2012·江西)已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋kn(其中k∈N＋)，且Sn的最大值为8.
(1)确定常数k，并求an；
(2)求数列的前n项和Tn.
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规范解答
解 (1)当n＝k∈N＋时，Sn＝－n2＋kn取得最大值，
即8＝Sk＝－k2＋k2＝k2，故k2＝16，k＝4.
当n＝1时，a1＝S1＝－＋4＝，[3分]
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n.[6分]
当n＝1时，上式也成立，综上，an＝－n.
(2)因为＝，
所以Tn＝1＋＋＋…＋＋，① [7分]
所以2Tn＝2＋2＋＋…＋＋ ②
②－①：2Tn－Tn＝2＋1＋＋…＋－
＝4－－＝4－[11分]
故Tn＝4－.[12分]
温馨提醒 (1)根据数列前n项和的结 ( http: / / www.21cnjy.com )构特征和最值确定k和Sn，求出an后再根据{}的结构特征确定利用错位相减法求Tn.在审题时，要审题目中数式的结构特征判定解题方案；
(2)利用Sn求an时不要忽视n＝1的情况；错位相减时不要漏项或算错项数．
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方法与技巧
非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想：
(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；
(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．
失误与防范
1．直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．
2．在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号．
3．在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项.
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A组 专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1． 已知数列{an}：，＋，＋＋，…，＋＋＋…＋，…，若bn＝，那么数列{bn}的前n项和Sn为 ( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 an＝＝，
∴bn＝＝＝4(－)，
∴Sn＝4[(1－)＋(－)＋…＋(－)]
＝4(1－)＝.
2． 已知数列{an}是等差数列，若a ( http: / / www.21cnjy.com )9＋3a11<0，a10·a11<0，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n等于 ( )
A．20 B．17 C．19 D．21
答案 C
解析 由a9＋3a11<0，得2a10＋2a11<0，
即a10＋a11<0，又a10·a11<0，则a10与a11异号，
因为数列{an}的前n项和Sn有最大值，
所以数列{an}是一个递减数列，则a10>0，a11<0，
所以S19＝＝19a10>0，
S20＝＝10(a10＋a11)<0.
故使Sn取值最小正值的n为19.
3． 已知函数f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于 ( )
A．0 B．100 C．－100 D．10 200
答案 B
解析 由题意，得a1＋a2＋a3＋…＋a100
＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012
＝－(1＋2)＋(3＋2)＋…－(99＋100)＋(101＋100)
＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)
＝－1＋101＝100.故选B.
4． 数列a1＋2，…，ak＋2 ( http: / / www.21cnjy.com )k，…，a10＋20共有十项，且其和为240，则a1＋…＋ak＋…＋a10的值为 ( )
A．31 B．120 C．130 D．185
答案 C
解析 a1＋…＋ak＋…＋a10＝240－(2＋…＋2k＋…＋20)
＝240－
＝240－110＝130.
5． 数列an＝，其前n项之和为，则在平面直角坐标系中，直线(n＋1)x＋y＋n＝0在y轴上的截距为 ( )
A．－10 B．－9 C．10 D．9
答案 B
解析 数列的前n项和为
＋＋…＋＝1－＝＝，
∴n＝9，∴直线方程为10x＋y＋9＝0.
令x＝0，得y＝－9，∴在y轴上的截距为－9.
二、填空题
6． 数列，，，，…的前n项和Sn为________．
答案 ＋1－
解析 ∵＝1＋，＝2＋，＝3＋，
＝4＋，…
∴Sn＝＋＋＋＋…＋(n＋)
＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(＋＋＋…＋)
＝＋＝＋1－.
7． 设f(x)＝，若S＝f()＋f()＋…＋f()，则S＝________.
答案 1 007
解析 ∵f(x)＝，∴f(1－x)＝＝，
∴f(x)＋f(1－x)＝＋＝1.
S＝f()＋f()＋…＋f()， ①
S＝f()＋f()＋…＋f()， ②
①＋②得，2S＝[f()＋f()]＋[f()＋f()]＋…＋[f()＋f()]＝2 014，
∴S＝＝1 007.
8． (2012·课标全国)数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为________．
答案 1 830
解析 利用数列的递推式的意义结合等差数列求和公式求解．
∵an＋1＋(－1)nan＝2n－1，
∴a2＝1＋a1，a3＝ ( http: / / www.21cnjy.com )2－a1，a4＝7－a1，a5＝a1，a6＝9＋a1，a7＝2－a1，a8＝15－a1，a9＝a1，a10＝17＋a1，a11＝2－a1，a12＝23－a1，…，a57＝a1，a58＝113＋a1，a59＝2－a1，a60＝119－a1，
∴a1＋a2＋…＋a60＝(a1＋a2＋ ( http: / / www.21cnjy.com )a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＋…＋(a57＋a58＋a59＋a60)＝10＋26＋42＋…＋234
＝＝1 830.
三、解答题
9． 已知数列{an}是首项为a1＝，公比为q＝的等比数列，设bn＋2＝3logan(n∈N＋)，数列{cn}满足cn＝an·bn.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)求数列{cn}的前n项和Sn.
解 (1)由题意，知an＝()n(n∈N＋)，
又bn＝3logan－2，故bn＝3n－2(n∈N＋)．
(2)由(1)，知an＝()n，bn＝3n－2(n∈N＋)，
所以cn＝(3n－2)×()n(n∈N＋)．
所以Sn＝1×＋4×()2＋7×()3＋…＋(3n－5)×()n－1＋(3n－2)×()n，
于是Sn＝1×()2＋4×()3＋7×()4＋…＋(3n－5)×()n＋(3n－2)×()n＋1.
两式相减，得
Sn＝＋3[()2＋()3＋…＋()n]－(3n－2)×()n＋1＝－(3n＋2)×()n＋1.
所以Sn＝－×()n(n∈N＋)．
10．若Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列．
(1)求等比数列S1，S2，S4的公比；
(2)若S2＝4，求数列{an}的通项公式；
(3)在(2)的条件下，设bn＝，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn<对所有
n∈N＋都成立的最小正整数m.
解 (1)因为{an}为等差数列，设{an}的公差为d(d≠0)，
所以S1＝a1，S2＝2a1＋d，S4＝4a1＋6d.
因为S1，S2，S4成等比数列且设其公比为q，
所以S1·S4＝S.
所以a1(4a1＋6d)＝(2a1＋d)2.所以2a1d＝d2.
因为公差d≠0.所以d＝2a1.
所以q＝＝＝4.
(2)因为S2＝4，所以2a1＋d＝4.
又d＝2a1，所以a1＝1，d＝2.所以an＝2n－1.
(3)因为bn＝＝(－)，
所以Tn＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1－)<.
要使Tn<对所有n∈N＋都成立，
则有≥，即m≥30.
因为m∈N＋，所以m的最小值为30.
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
1． 已知数列2 008,2 0 ( http: / / www.21cnjy.com )09,1，－2 008，－2 009，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 014项之和S2 014等于 ( )
A．2 008 B．2 010 C．1 D．0
答案 B
解析 由已知得an＝an－1＋an＋1(n≥2)，
∴an＋1＝an－an－1.
故数列的前8项依次为2 008,2 009,1，－2 008，
－2 009，－1,2 008,2 009.
由此可知数列为周期数列，周期为6，且S6＝0.
∵2 014＝6×335＋4，∴S2 014＝S4
＝2 008＋2 009＋1＋(－2 008)＝2 010.
2． (2013·课标全国Ⅰ)设 ( http: / / www.21cnjy.com )△AnBnCn的三边长分别为an、bn、cn，△AnBnCn的面积为Sn，n＝1,2,3，…，若b1>c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝，cn＋1＝，则 ( )
A．{Sn}为递减数列
B．{Sn}为递增数列
C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列
D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列
答案 B
解析 因为b1>c1，不妨设b1＝，c1＝；
故S1＝ ＝a；
a2＝a1，b2＝＝a1，c2＝＝a1，
S2＝ ＝a.
显然S2>S1；a3＝a1，b3＝＝a1，
c3＝＝a1，
S3＝ ＝a，显然S3>S2.
3． (2013·湖南)设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝(－1)nan－，n∈N＋，则：
(1)a3＝________；
(2)S1＋S2＋…＋S100＝________.
答案 (1)－ (2)
解析 ∵an＝Sn－Sn－1＝(－1)nan－－(－1)n－1an－1＋，
∴an＝(－1)nan－(－1)n－1an－1＋.
当n为偶数时，an－1＝－，
当n为奇数时，2an＋an－1＝，
∴当n＝4时，a3＝－＝－.
根据以上{an}的关系式及递推式可求．
a1＝－，a3＝－，a5＝－，a7＝－，
a2＝，a4＝，a6＝，a8＝.
∴a2－a1＝，a4－a3＝，a6－a5＝，…，
∴S1＋S2＋…＋S100＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a100－a99)－
＝－
＝.
4． 已知数列{an}的前n项和Sn，满足：Sn＝2an－2n(n∈N＋)．
(1)求数列{an}的通项an；
(2)若数列{bn}满足bn＝log2(an＋2)，Tn为数列{}的前n项和，求证：Tn≥.
(1)解 当n∈N＋时，Sn＝2an－2n，
则当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2(n－1)，
两式相减得an＝2an－2an－1－2，即an＝2an－1＋2，
∴an＋2＝2(an－1＋2)，∴＝2，
当n＝1时，S1＝2a1－2，则a1＝2，
∴{an＋2}是以a1＋2＝4为首项，2为公比的等比数列，
∴an＋2＝4·2n－1，∴an＝2n＋1－2；
(2)证明 bn＝log2(an＋2)＝log22n＋1＝n＋1，
∴＝，则Tn＝＋＋…＋，
Tn＝＋＋…＋＋，
两式相减得Tn＝＋＋＋…＋－
＝＋－
＝＋－－＝－，
∴Tn＝－，
当n≥2时，Tn－Tn－1＝－＋＝>0，
∴{Tn}为递增数列，∴Tn≥T1＝.
5． 直线ln：y＝x－ ( http: / / www.21cnjy.com )与圆Cn：x2＋y2＝2an＋n交于不同的两点An，Bn，n∈N＋.数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝|AnBn|2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝求数列{bn}的前n项和Tn.
解 (1)由题意，知圆Cn的圆心到直线ln的距离dn＝，
半径rn＝，
所以an＋1＝(|AnBn|)2＝r－d＝(2an＋n)－n＝2an.
又a1＝1，所以an＝2n－1.
(2)当n为偶数时，Tn＝(b1＋b3＋…＋bn－1)＋(b2＋b4＋…＋bn)
＝[1＋5＋…＋(2n－3)]＋(2＋23＋…＋2n－1)
＝＋＝＋(2n－1)．
当n为奇数时，n＋1为偶数，
Tn＋1＝＋(2n＋1－1)
＝＋(2n＋1－1)．
而Tn＋1＝Tn＋bn＋1＝Tn＋2n，所以Tn＝＋(2n－2)．
所以Tn＝专题三 高考中的数列问题
1． 公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn，且－3a1，－a2，a3成等差数列，若a1＝1，则S4等于 ( )
A．－20 B．0 C．7 D．40
答案 A
解析 记等比数列{an}的公比为q，其中q≠1，
依题意有－2a2＝－3a1＋a3，－2a1q＝－3a1＋a1q2≠0.
即q2＋2q－3＝0，(q＋3)(q－1)＝0，
又q≠1，因此有q＝－3，S4＝＝－20，选A.
2． 等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10等于
( )
A．12 B．10 C．8 D．2＋log35
答案 B
解析 等比数列{an}中，a5a6＝a4a7，
又因为a5a6＋a4a7＝18，∴a5a6＝9，
log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)
＝log3(a5a6)5＝5log3(a5a6)＝5log39＝10.
3． 若正项数列{an}满足lg ( http: / / www.21cnjy.com )an＋1＝1＋lg an，且a2 001＋a2 002＋a2 003＋…＋a2 010＝2 013，则a2 011＋a2 012＋a2 013＋…＋a2 020的值为 ( )
A．2 013·1010 B．2 013·1011
C．2 014·1010 D．2 014·1011
答案 A
解析 由条件知lg an＋1 ( http: / / www.21cnjy.com )－lg an＝lg ＝1，即＝10，所以{an}为公比是10的等比数列．因为(a2 001＋…＋a2 010)·q10＝a2 011＋…＋a2 020，所以a2 011＋…＋a2 020＝2 013·1010，选A.
4． 已知数列{an}满足an＝1＋2＋22＋…＋2n－1，则{an}的前n项和Sn＝________.
答案 2n＋1－2－n
解析 ∵an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，
∴Sn＝(21＋22＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－2－n.
5． 把一数列依次按第一个括号内一个数 ( http: / / www.21cnjy.com )，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，…循环分为(1)，(3,5)，(7,9,11)，(13)，(15,17)，(19,21,23)，(25)，…，则第50个括号内各数之和为________．
答案 392
解析 将三个括号作为一组，则由50＝16× ( http: / / www.21cnjy.com )3＋2，知第50个括号应为第17组的第二个括号，即第50个括号中应是两个数．又因为每组中含有6个数，所以第48个括号的最末一个数为数列{2n－1}的第16×6＝96项，第50个括号的第一个数应为数列{2n－1}的第98项，即为2×98－1＝195，第二个数为2×99－1＝197，故第50个括号内各数之和为195＋197＝392.故填392.
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题型一 等差、等比数列的综合问题
例1 在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝2an－10，证明：数列{bn}为等比数列；
(3)求数列{nbn}的前n项和Tn.
思维启迪 (1)设出数列{an}的通项公式，结合已知条件列方程组即可求解；
(2)由(1)写出bn的表达式，利用定义法证明；
(3)写出Tn的表达式，考虑用错位相减法求解．
(1)解 由an＝a1＋(n－1)d，a10＝30，a20＝50，
得方程组，解得.
所以an＝12＋(n－1)·2＝2n＋10.
(2)证明 由(1)，得bn＝2an－10＝22n＋10－10＝22n＝4n，
所以＝＝4.
所以{bn}是首项为4，公比为4的等比数列．
(3)解 由nbn＝n×4n，得
Tn＝1×4＋2×42＋…＋n×4n， ①
4Tn＝1×42＋…＋(n－1)×4n＋n×4n＋1， ②
①－②，得－3Tn＝4＋42＋…＋4n－n×4n＋1
＝－n×4n＋1.
所以Tn＝.
思维升华 (1)正确区分等差数列和等比数列，其中公比等于1的等比数列也是等差数列．
(2)等差数列和等比数列 ( http: / / www.21cnjy.com )可以相互转化，若数列{bn}是一个公差为d的等差数列，则{abn}(a>0，a≠1)就是一个等比数列，其公比q＝ad；反之，若数列{bn}是一个公比为q(q>0)的正项等比数列，则{logabn}(a>0，a≠1)就是一个等差数列，其公差d＝logaq.
数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2且Sn＝Sn－1＋2n(n≥2，n∈N＋)．
(1)求Sn；
(2)是否存在等比数列{bn}满足b1＝a1，b2＝a3，b3＝a9？若存在，求出数列{bn}的通项公式；若不存在，说明理由．
解 (1)因为Sn＝Sn－1＋2n，
所以有Sn－Sn－1＝2n对n≥2，n∈N＋成立．
即an＝2n对n≥2，n∈N＋成立，
又a1＝S1＝2×1，所以an＝2n对n∈N＋成立．
所以an＋1－an＝2对n∈N＋成立，
所以{an}是等差数列，
所以有Sn＝·n＝n2＋n，n∈N＋.
(2)存在．
由(1)知，an＝2n对n∈N＋成立，
所以有a3＝6，a9＝18，又a1＝2，
所以有b1＝2，b2＝6，b3＝18，则＝＝3，
所以存在以b1＝2为首项，以3为公比的等比数列{bn}，
其通项公式为bn＝2·3n－1.
题型二 数列与函数的综合问题
例2 已知二次函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f′(x)＝6x－2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N＋)均在函数y＝f(x)的图象上．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn<对所有n∈N＋都成立的最小正整数m.
思维启迪 (1)先求出函数f(x)，再利用n，Sn的关系求an.(2)可以利用裂项相消法求出Tn.通过Tn的取值范围确定最小正整数m.
解 (1)设二次函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b.
由于f′(x)＝6x－2，得a＝3，b＝－2，
所以f(x)＝3x2－2x.
又因为点(n，Sn)(n∈N＋)均在函数y＝f(x)的图象上，
所以Sn＝3n2－2n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5；
当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，
所以an＝6n－5(n∈N＋)．
(2)由(1)得bn＝＝
＝·，
故Tn＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1－)．
因此，要使(1－)<对n∈N＋恒成立，则m必须且仅需满足≤，即m≥10.
所以满足要求的最小正整数为10.
思维升华 数列与函数的综合一般体现在两个方面：
(1)以数列的特征量n，an，Sn等为坐标的点在函数图象上，可以得到数列的递推关系；
(2)数列的项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列问题．
已知数列{an}的前n项和为Sn，对一切正整数n，点Pn(n，Sn)都在函数f(x)＝x2＋2x的图象上，且过点Pn(n，Sn)的切线的斜率为kn.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Q＝{x|x＝kn，n∈N＋}，R＝ ( http: / / www.21cnjy.com ){x|x＝2an，n∈N＋}，等差数列{cn}的任一项cn∈Q∩R，其中c1是Q∩R中的最小数，110解 (1)∵点Pn(n，Sn)都在函数f(x)＝x2＋2x的图象上，
∴Sn＝n2＋2n(n∈N＋)．
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，
当n＝1时，a1＝S1＝3满足上式，
所以数列{an}的通项公式为an＝2n＋1.
(2)对f(x)＝x2＋2x求导可得f′(x)＝2x＋2.
∵过点Pn(n，Sn)的切线的斜率为kn，∴kn＝2n＋2，
∴Q＝{x|x＝2n＋2，n∈N＋}，R＝{x|x＝4n＋2，n∈N＋}．
∴Q∩R＝R.
又∵cn∈Q∩R，其中c1是Q∩R中的最小数，∴c1＝6，
∵{cn}的公差是4的倍数，∴c10＝4m＋6(m∈N＋)．
又∵110解得m＝27，所以c10＝114，
设等差数列的公差为d，
则d＝＝＝12，
∴cn＝6＋(n－1)×12＝12n－6，
所以{cn}的通项公式为cn＝12n－6.
题型三 数列与不等式的综合问题
例3 已知数列{an}中，a1＝2，a2＝3，其前n项和Sn满足Sn＋2＋Sn＝2Sn＋1＋1(n∈N＋)；数列{bn}中，b1＝a1，bn＋1＝4bn＋6(n∈N＋)．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设cn＝bn＋2＋(－1)n－1λ·2an(λ为非零整数，n∈N＋)，试确定λ的值，使得对任意
n∈N＋，都有cn＋1>cn成立．
思维启迪 (1)先求an，再构造等比数列求bn；(2)不等式cn＋1>cn恒成立，可以转化为求函数的最值问题．
解 (1)由已知，得Sn＋2－Sn＋1－(Sn＋1－Sn)＝1，
所以an＋2－an＋1＝1(n≥1)．
又a2－a1＝1，
所以数列{an}是以a1＝2为首项，1为公差的等差数列．
所以an＝n＋1.
又bn＋1＋2＝4(bn＋2)，
所以{bn＋2}是以4为首项，4为公比的等比数列．
所以bn＝4n－2.
(2)因为an＝n＋1，bn＝4n－2，
所以cn＝4n＋(－1)n－1λ·2n＋1.要使cn＋1>cn恒成立，
需cn＋1－cn＝4n＋1－4n＋(－1)nλ·2n＋2－(－1)n－1λ·2n＋1>0恒成立，
即3·4n－3λ(－1)n－12n＋1>0恒成立．
所以(－1)n－1λ<2n－1恒成立．
①当n为奇数时，即λ<2n－1恒成立，
当且仅当n＝1时，2n－1有最小值1，所以λ<1；
②当n为偶数时，即λ>－2n－1恒成立，
当且仅当n＝2时，－2n－1有最大值－2.
所以λ>－2，结合①②可知－2<λ<1.
又λ为非零整数，则λ＝－1.
故存在λ＝－1，使得对任意n∈N＋，都有cn＋1>cn成立．
思维升华 数列中有关项或前n项和的恒成立问题，往往转化为函数的最值问题；求项或前n项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解．
(2013·天津)已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N＋)，且－2S2，S3,4S4成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：Sn＋≤(n∈N＋)．
(1)解 设等比数列{an}的公比为q，
因为－2S2，S3,4S4成等差数列，
所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，
可得2a4＝－a3，于是q＝＝－.
又a1＝，所以等比数列{an}的通项公式为
an＝×n－1＝(－1)n－1·.
(2)证明 由(1)知，Sn＝1－n，
Sn＋＝1－n＋
＝
当n为奇数时，Sn＋随n的增大而减小，
所以Sn＋≤S1＋＝.
当n为偶数时，Sn＋随n的增大而减小，
所以Sn＋≤S2＋＝.
故对于n∈N＋，有Sn＋≤.
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(时间：80分钟)
1． 已知数列{an}的前n项 ( http: / / www.21cnjy.com )和为Sn，且满足：an＋2SnSn－1＝0(n≥2，n∈N)，a1＝，判断与{an}是否为等差数列，并说明你的理由．
解 因为an＝Sn－Sn－1(n≥2)，
又因为an＋2SnSn－1＝0，
所以Sn－Sn－1＋2SnSn－1＝0(n≥2)，
所以－＝2(n≥2)，
又因为S1＝a1＝，
所以是以2为首项，2为公差的等差数列．
所以＝2＋(n－1)×2＝2n，故Sn＝.
所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，
所以an＋1＝，
而an＋1－an＝－
＝＝.
所以当n≥2时，an＋1－an的值不是一个与n无关的常数，故数列{an}不是一个等差数列．
综上，可知是等差数列，{an}不是等差数列．
2． 设数列{an}满足a1＝0且－＝1.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，记Sn＝k，证明：Sn<1.
(1)解 由题设－＝1，
即是公差为1的等差数列，又＝1，
故＝n.所以an＝1－.
(2)证明 由(1)得bn＝＝
＝－，Sn＝k＝
＝1－<1.
3． 如图，从点P1(0,0)作x轴的垂 ( http: / / www.21cnjy.com )线交曲线y＝ex于点Q1(0,1)，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2，再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；…；Pn，Qn.记Pk点的坐标为(xk,0)(k＝1,2，…，n)．
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(1)试求xk与xk－1的关系(2≤k≤n)；
(2)求|P1Q1|＋|P2Q2|＋…＋|PnQn|.
解 (1)设Pk－1(xk－1,0)，由y′＝ex得Qk－1(xk－1，)点处切线方程为y－＝(x－xk－1)，由y＝0得xk＝xk－1－1(2≤k≤n)．
(2)由x1＝0，xk－xk－1＝－1，得xk＝－(k－1)，
所以|PkQk|＝＝e－(k－1)，
于是Sn＝|P1Q1|＋|P2Q2|＋…＋|PnQn|＝1＋e－1＋e－2＋…＋e－(n－1)＝＝.
4． 设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝10，an＋1＝9Sn＋10.
(1)求证：{lg an}是等差数列；
(2)设Tn是数列{}的前n项和，求Tn；
(3)求使Tn>(m2－5m)对所有的n∈N＋恒成立的整数m的取值集合．
(1)证明 依题意，得a2＝9a1＋10＝100，故＝10.
当n≥2时，an＋1＝9Sn＋10，an＝9Sn－1＋10，
两式相减得an＋1－an＝9an，
即an＋1＝10an，＝10，
故{an}为等比数列，且an＝a1qn－1＝10n(n∈N＋)，
∴lg an＝n.∴lg an＋1－lg an＝(n＋1)－n＝1，
即{lg an}是等差数列．
(2)解 由(1)知，Tn＝3[＋＋…＋]
＝3(1－＋－＋…＋－)＝.
(3)解 ∵Tn＝3－，∴当n＝1时，Tn取最小值.
依题意有>(m2－5m)，解得－1故所求整数m的取值集合为{0,1,2,3,4,5}．
5． 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝55，S20＝210.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，是否存在m、k ( http: / / www.21cnjy.com )(k>m≥2，m，k∈N*)，使得b1、bm、bk成等比数列？若存在，求出所有符合条件的m、k的值；若不存在，请说明理由．
解 (1)设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d.
由已知，得
即，
解得
所以an＝a1＋(n－1)d＝n(n∈N*)．
(2)假设存在m、k(k>m≥2，m，k∈N*)，
使得b1、bm、bk成等比数列，则b＝b1bk，
因为bn＝＝，
所以b1＝，bm＝，bk＝，
所以()2＝×.
整理，得k＝.
以下给出求m、k的方法：
因为k>0，所以－m2＋2m＋1>0，
解得1－因为m≥2，m∈N*，所以m＝2，此时k＝8.
故存在m＝2，k＝8，使得b1、bm、bk成等比数列．
6． 已知数列{an}的前n项和Sn＝2an－2n＋1.
(1)证明：数列{}是等差数列；
(2)若不等式2n2－n－3<(5－λ)an对 n∈N＋恒成立，求λ的取值范围．
(1)证明 当n＝1时，S1＝2a1－22得a1＝4.
Sn＝2an－2n＋1，
当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2n，两式相减得
an＝2an－2an－1－2n，即an＝2an－1＋2n，
所以－＝－
＝＋1－＝1.
又＝2，
所以数列{}是以2为首项，1为公差的等差数列．
(2)解 由(1)知＝n＋1，即an＝(n＋1)·2n.
因为an>0，所以不等式2n2－n－3<(5－λ)an等价于5－λ>，
记bn＝，n≥2时，＝＝，
所以n≥3时<1，(bn)max＝b3＝，
所以λ<.常考题型强化练——数列
A组 专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1． 设等差数列{an}前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于
( )
A．6 B．7
C．8 D．9
答案 A
解析 设该数列的公差为d，
则a4＋a6＝2a1＋8d＝2×(－11)＋8d＝－6，解得d＝2，
∴Sn＝－11n＋×2
＝n2－12n＝(n－6)2－36，
∴当n＝6时，取最小值．
2． 已知{an}为等比数列，S ( http: / / www.21cnjy.com )n是它的前n项和．若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5等于 ( )
A．35 B．33
C．31 D．29
答案 C
解析 设数列{an}的公比为q，则由等比数列的性质知，
a2·a3＝a1·a4＝2a1，即a4＝2.
由a4与2a7的等差中项为知，
a4＋2a7＝2×，
∴a7＝＝.
∴q3＝＝，即q＝，
∴a4＝a1q3＝a1×＝2，
∴a1＝16，∴S5＝＝31.
3． 已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足2an－a1＝S1·Sn(a1≠0，n∈N＋)，则a7等于( )
A．16 B．32
C．64 D．128
答案 C
解析 令n＝1，则a1＝1，当n＝2时，2a2－1＝S2＝1＋a2，
解得a2＝2，当n≥2时，由2an－1＝Sn，
得2an－1－1＝Sn－1，两式相减，
解得2an－2an－1＝an，即an＝2an－1，
于是数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
因此an＝2n－1.故a7＝26＝64.
4． 已知等差数列{an}的公差d＝ ( http: / / www.21cnjy.com )－2，a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋…＋a99的值是 ( )
A．－78 B．－82
C．－148 D．－182
答案 B
解析 ∵a3＋a6＋a9＋…＋a99
＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a7＋2d)＋…＋(a97＋2d)
＝a1＋a4＋a7＋…＋a97＋2d×33
＝50＋66×(－2)
＝－82.
5． 设等差数列{an}的前n项和是Sn，若－am( )
A．Sm>0，且Sm＋1<0
B．Sm<0，且Sm＋1>0
C．Sm>0，且Sm＋1>0
D．Sm<0，且Sm＋1<0
答案 A
解析 －am易得Sm＝·m>0，
Sm＋1＝·(m＋1)<0.
二、填空题
6． 若数列{an}满足－＝d(n∈N＋，d为常数)，则称数列{an}为调和数列，已知数列为调和数列且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x5＋x16＝________.
答案 20
解析 由题意知，若{an}为调和数列，则为等差数列，
∴由为调和数列，可得数列{xn}为等差数列，
由等差数列的性质知，
x5＋x16＝x1＋x20＝x2＋x19＝…＝x10＋x11＝＝20.
7． 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n－an，则数列{an}的通项公式an＝_________.
答案 2－n－1
解析 由于Sn＝2n－an，
所以Sn＋1＝2(n＋1)－an＋1，后式减去前式，
得Sn＋1－Sn＝2－an＋1＋an，
即an＋1＝an＋1，变形为an＋1－2＝(an－2)，
则数列{an－2}是以a1－2为首项，为公比的等比数列．
又a1＝2－a1，即a1＝1.
则an－2＝(－1)n－1，
所以an＝2－n－1.
8． 已知等比数列中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则的值为______．
答案 3＋2
解析 设等比数列{an}的公比为q，
∵a1，a3,2a2成等差数列，
∴a3＝a1＋2a2.
∴a1q2＝a1＋2a1q.
∴q2－2q－1＝0.∴q＝1±.
∵各项都是正数，
∴q＞0.∴q＝1＋.
∴＝q2＝(1＋)2＝3＋2.
三、解答题
9． 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N＋，a3＝5，S10＝100.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an＋2n，求数列{bn}的前n项和Tn.
解 (1)设等差数列{an}的公差为d，
由题意，得解得
所以an＝2n－1.
(2)因为bn＝＋2n＝×4n＋2n，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝(4＋42＋…＋4n)＋2(1＋2＋…＋n)
＝＋n2＋n＝×4n＋n2＋n－.
10．已知等差数列{an}的前三项为a－1,4,2a，记前n项和为Sn.
(1)设Sk＝2 550，求a和k的值；
(2)设bn＝，求b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1的值．
解 (1)由已知得a1＝a－1，a2＝4，a3＝2a，
又a1＋a3＝2a2，
∴(a－1)＋2a＝8，即a＝3.
∴a1＝2，公差d＝a2－a1＝2.
由Sk＝ka1＋d，
得2k＋×2＝2 550，
即k2＋k－2 550＝0，解得k＝50或k＝－51(舍去)．
∴a＝3，k＝50.
(2)由Sn＝na1＋d，
得Sn＝2n＋×2＝n2＋n.
∴bn＝＝n＋1.
∴{bn}是等差数列．
则b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1＝(3＋1)＋(7＋1)＋(11＋1)＋…＋(4n－1＋1)＝.
∴b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1＝2n2＋2n.
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
1． 已知数列{an}是首项为a1＝4的等比数列，且4a1，a5，－2a3成等差数列，则其公比q等于 ( )
A．1 B．－1
C．1或－1 D.
答案 C
解析 依题意，有2a5＝4a1－2a3，
即2a1q4＝4a1－2a1q2，
整理得q4＋q2－2＝0，解得q2＝1(q2＝－2舍去)，
所以q＝1或q＝－1.
2． 在直角坐标系中，O是坐标原点，P1(x ( http: / / www.21cnjy.com )1，y1)，P2(x2，y2)是第一象限的两个点，若1，x1，x2,4依次成等差数列，而1，y1，y2,8依次成等比数列，则△OP1P2的面积是 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 A
解析 由等差、等比数列的性质，
可求得x1＝2，x2＝3，y1＝2，y2＝4，
∴P1(2,2)，P2(3,4)．∴＝1.
3． 已知数列{an}满足：a1＝1，an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1＋2a ， n为偶数，,\f(1,2)＋2a ， n为奇数，))n＝2,3,4，…，设bn＝a2n－1＋1，n＝1,2,3，…，则数列{bn}的通项公式是________．
答案 bn＝2n
解析 由题意，得对于任意的正整数n，bn＝＋1，
∴bn＋1＝＋1，
又＋1＝(2＋1)＋1＝2(＋1)＝2bn，
∴bn＋1＝2bn，
又b1＝a1＋1＝2，
∴{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴bn＝2n.
4． 某音乐酒吧的霓虹灯是用，，三个不同音符组成的一个含n＋1(n∈N＋)个音符的音符串，要求由音符开始，相邻两个音符不能相同．例如n＝1时，排出的音符串是，；n＝2时，排出的音符串是，，，；…….记这种含n＋1个音符的所有音符串中，排在最后一个的音符仍是的音符串的个数为an.故a1＝0，a2＝2.则
(1)a4＝________；
(2)an＝________.
答案 (1)6 (2)
解析 由题意知，a1＝0，a2＝2＝21－a1，a3＝2＝22－a2，a4＝6＝23－a3，a5＝10＝24－a4，
所以an＝2n－1－an－1，
所以an－1＝2n－2－an－2，两式相减得an－an－2＝2n－2.
当n为奇数时，利用累加法得an－a1＝21＋23＋…＋2n－2＝，
所以an＝.
当n为偶数时，利用累加法得an－a2＝22＋24＋…＋2n－2＝，
所以an＝.综上所述，an＝.
5． 已知数列{an}的前n项和Sn与通项an满足Sn＝－an.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设f(x)＝log3x，bn＝f(a1)＋f(a2)＋…＋f(an)，Tn＝＋＋…＋，求T2 012；
(3)若cn＝an·f(an)，求{cn}的前n项和Un.
解 (1)当n＝1时，a1＝，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，
又Sn＝－an，
所以an＝an－1，
即数列{an}是首项为，公比为的等比数列，
故an＝n.
(2)由已知可得f(an)＝log3n＝－n，
则bn＝－1－2－3－…－n＝－，
故＝－2，
又Tn＝－2
＝－2，
所以T2 012＝－.
(3)由题意得cn＝(－n)·n，
故Un＝c1＋c2＋…＋cn
＝－，
则Un＝－，
两式相减可得
Un＝－
＝－＋n·n＋1
＝－＋·n＋n·n＋1，
则Un＝－＋·n＋n·n＋1.