§5.4 平面向量的应用
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1． 向量在平面几何中的应用
平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．
(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b a＝λb(b≠0) x1y2－x2y1＝0.
(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质
a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
(3)求夹角问题，利用夹角公式
cos θ＝＝ (θ为a与b的夹角)．
2． 平面向量在物理中的应用
(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．
(2)物理学中的功是一个标量，这是力F与位移s的数量积．即W＝F·s＝|F||s|cos θ (θ为F与s的夹角)．
3． 平面向量与其他数学知识的交汇
平面向量作为一个运算工具，经常与函数 ( http: / / www.21cnjy.com )、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．
此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若∥，则A，B，C三点共线． ( √ )
(2)解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题都可以用向量解决．( √ )
(3)实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算． ( √ )
(4)在△ABC中，若·<0，则△ABC为钝角三角形． ( × )
(5)作用于同一点的两个力F1和F2 ( http: / / www.21cnjy.com )的夹角为，且|F1|＝3，|F2|＝5，则F1＋F2的大小为. ( √ )
(6)已知平面直角坐标系内有三个定 ( http: / / www.21cnjy.com )点A(－2，－1)，B(0,10)，C(8,0)，若动点P满足：＝＋t(＋)，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0. ( √ )
2． (2013·福建)在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )
A. B．2 C．5 D．10
答案 C
解析 ∵·＝0，
∴AC⊥BD.
∴四边形ABCD的面积S＝||·||
＝××2＝5.
3． 已知a，b，c为△ABC的三个 ( http: / / www.21cnjy.com )内角A，B，C的对边，向量m＝(，－1)，n＝(cos A，sin A)．若m⊥n，且acos B＋bcos A＝csin C，则角A，B的大小分别为 ( )
A.， B.，
C.， D.，
答案 C
解析 由m⊥n得m·n＝0，即cos A－sin A＝0，
即2cos＝0，
∵
∴A＋＝，即A＝.
又acos B＋bcos A＝2Rsin Acos B＋2Rsin Bcos A
＝2Rsin(A＋B)＝2Rsin C＝c＝csin C，
所以sin C＝1，C＝，所以B＝π－－＝.
4． 平面上有三个点A(－2，y)，B，C(x，y)，若⊥，则动点C的轨迹方程为_____．
答案 y2＝8x (x≠0)
解析 由题意得＝，＝，
又⊥，∴·＝0，
即·＝0，化简得y2＝8x (x≠0)．
5． 河水的流速为2 m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶
向对岸，则小船的静水速度大小为________．
答案 2 m/s
解析 如图所示小船在静水中的速度为
＝2 m/s.
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题型一 平面向量在平面几何中的应用
例1 如图所示，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点
(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是
矩形，试用向量法证明：PA＝EF.
思维启迪 正方形中有垂直关系，因此考虑建立平面直角坐标系，求出所求线段对应的向量，根据向量知识证明．
证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，
DP＝λ(0<λ<)，
则A(0,1)，P(λ，λ)，
E(1，λ)，F(λ，0)，
∴＝(－λ，1－λ)，＝(λ－1，－λ)，
∴||＝ ＝，
||＝ ＝，
∴||＝||，即PA＝EF.
思维升华 用向量方法解决平面几何问题可分三步：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
(1)平面上O，A，B三点不共线，设＝a，＝b，则△OAB的面积等于
( )
A. B.
C. D.
(2)在△ABC中，已知向量与满足·＝0且·＝，则△ABC为
( )
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．三边均不相等的三角形
答案 (1)C (2)A
解析 (1)∵cos∠BOA＝，
则sin∠BOA＝ ，
∴S△OAB＝|a||b|
＝.
(2)因为非零向量与满足·＝0，所以∠BAC的平分线垂直于BC，所以AB＝AC.
又cos∠BAC＝·＝，所以∠BAC＝.
所以△ABC为等边三角形．
题型二 平面向量在三角函数中的应用
例2 已知在锐角△ABC中，两向量p＝(2－2sin A，cos A＋sin A)，q＝(sin A－cos A,1＋sin A)，且p与q是共线向量．
(1)求A的大小；
(2)求函数y＝2sin2B＋cos取最大值时，B的大小．
思维启迪 向量与三角函数的结合往往是简单的组合．如本题中的条件通过向量给出，根据向量的平行得到一个等式．因此这种题目较为简单．
解 (1)∵p∥q，
∴(2－2sin A)(1＋sin A)－(cos A＋sin A)(sin A－cos A)＝0，
∴sin2A＝，sin A＝，
∵△ABC为锐角三角形，∴A＝60°.
(2)y＝2sin2B＋cos
＝2sin2B＋cos
＝2sin2B＋cos(2B－60°)
＝1－cos 2B＋cos(2B－60°)
＝1－cos 2B＋cos 2Bcos 60°＋sin 2Bsin 60°
＝1－cos 2B＋sin 2B＝1＋sin(2B－30°)，
当2B－30°＝90°，即B＝60°时，函数取最大值2.
思维升华 解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键，准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决．
△ABC的三个内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，设向量m＝(a＋b，sin C)，n＝(a＋c，sin B－sin A)，若m∥n，则角B的大小为________．
答案
解析 ∵m∥n，∴(a＋b)(sin B－sin A)－sin C(a＋c)＝0，又∵＝＝，
则化简得a2＋c2－b2＝－ac，
∴cos B＝＝－，
∵0题型三 平面向量在解析几何中的应用
例3 已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且(＋)·(－)＝0.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求·的最值．
思维启迪 (1)直接利用数量积的坐标运算代入；
(2)将·转化为关于y的函数，求函数的最值．
解 (1)设P(x，y)，则Q(8，y)．
由(＋)·(－)＝0，
得||2－||2＝0，
即(x－2)2＋y2－(x－8)2＝0，
化简得＋＝1.
所以点P在椭圆上，其方程为＋＝1.
(2)∵＝＋，＝＋，
又＋＝0.
∴·＝2－2
＝x2＋(y－1)2－1
＝16(1－)＋(y－1)2－1
＝－y2－2y＋16
＝－(y＋3)2＋19.
∵－2≤y≤2.
∴当y＝－3时，·的最大值为19，
当y＝2时，·的最小值为12－4.
综上：·的最大值为19；
·的最小值为12－4.
思维升华 平面向量与平面解析几何交 ( http: / / www.21cnjy.com )汇的题目，涉及向量数量积的基本运算，数量积的求解以及轨迹、直线和圆、直线和椭圆中最值等问题，解决此类问题应从向量的坐标运算入手，这也是解决解析几何问题的基本方法——坐标法．
已知点P(0，－3)，点A在x轴上，点Q在y轴的正半轴上，点M满足·＝0，＝－，当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹方程．
解 设M(x，y)为所求轨迹上任一点，
设A(a,0)，Q(0，b)(b>0)，
则＝(a,3)，
＝(x－a，y)，＝(－x，b－y)，
由·＝0，得a(x－a)＋3y＝0.①
由＝－，
得(x－a，y)＝－(－x，b－y)＝(x，(y－b))，
∴∴
把a＝－代入①，得－(x＋)＋3y＝0，
整理得y＝x2(x≠0)．
题型四 平面向量在物理中的应用
例4 在长江南岸渡口处，江水以 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为________．
思维启迪 题中涉及的三个速度(向量)：江水速度、渡船的速度、船实际过江的速度，三个速度的关系是本题的核心．
答案 北偏西30°
解析 如图所示，渡船速度为，水流速度为，
船实际垂直过江的速度为，
依题意知||＝，||＝25.
∵＝＋，∴·＝·＋2，
∵⊥，∴·＝0，
∴25×cos(∠BOD＋90°)＋()2＝0，
∴cos(∠BOD＋90°)＝－，∴sin∠BOD＝，
∴∠BOD＝30°，∴航向为北偏西30°.
思维升华 在使用向量解决物理问题时要注意：
(1)认真分析物理问题，深刻把握物理量之间的相互关系；
(2)通过抽象、概括，把物理问题转化为与之相关的向量问题；
(3)利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量的解；
(4)利用这个结果，对原物理现象作出合理解释，即用向量知识圆满解决物理问题．
质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为________．
答案 2
解析 方法一 由已知条件F1＋F2＋F3＝0，
则F3＝－F1－F2，F＝F＋F＋2|F1||F2|cos 60°＝28.
因此，|F3|＝2.
方法二 如图，||2＝|F1|2＋
|F2|2－2|F1||F2|cos 60°＝12，
则||2＋||2＝||2，
即∠OF1F2为直角，
|F3|＝2 ＝2.
高考中以向量为背景的创新题
典例：(5分)对任意两个 ( http: / / www.21cnjy.com )非零的平面向量α和β，定义α β＝.若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角θ∈(，)，且a b和b a都在集合{|n∈Z}中，则a b等于( )
A. B. C．1 D.
思维启迪 先根据定义表示出 ( http: / / www.21cnjy.com )a b和b a，利用其属于集合{|n∈Z}，将其表示成集合中元素的形式，两式相乘即可表示出cos θ，然后利用θ∈(，)确定cos θ的取值范围，结合集合中n∈Z的限制条件即可确定n的值，从而求出a b的值．
解析 根据新定义，得a b＝＝＝cos θ，b a＝＝＝cos θ.
又因为a b和b a都在集合{|n∈Z}中，设a b＝，b a＝(n1，n2∈Z)，那么(a b)·(b a)＝cos2θ＝，
又θ∈(，)，所以0所以n1，n2的值均为1.故a b＝＝.
答案 D
温馨提醒 解答创新型问题，首先需 ( http: / / www.21cnjy.com )要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，然后应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义信息题难点的关键所在．
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方法与技巧
1．向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题．
2．以向量为载体求相关变量的取值范 ( http: / / www.21cnjy.com )围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法．
3．向量的两个作用：①载体作用：关键 ( http: / / www.21cnjy.com )是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．
失误与防范
1．注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价．
2．注意向量共线和两直线平行的关系；两向量a，b夹角为锐角和a·b>0不等价．
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A组 专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1． 已知P是△ABC所在平面内一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在( )
A．△ABC的内部 B．AC边所在直线上
C．AB边所在直线上 D．BC边所在直线上
答案 B
解析 由题意知：－＝λ，
即＋＝λ，∴＝λ，即与共线，
∴点P在AC边所在直线上．
2． 在△ABC中，(＋)·＝||2，则△ABC的形状一定是 ( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
答案 C
解析 由(＋)·＝||2，
得·(＋－)＝0，
即·(＋＋)＝0,2·＝0，
∴⊥，∴A＝90°.
又根据已知条件不能得到||＝||，
故△ABC一定是直角三角形．
3． 已知|a|＝2|b|，|b|≠0且关于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是 ( )
A．－ B．－ C. D.
答案 D
解析 由已知可得Δ＝|a|2＋4a·b＝0，
即4|b|2＋4·2|b|·|b|cos θ＝0，
∴cos θ＝－，又∵0≤θ≤π，∴θ＝.
4． 已知点A(－2,0)、B(3,0)，动点P(x，y)满足·＝x2，则点P的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
答案 D
解析 ＝(－2－x，－y)，＝(3－x，－y)，
∴·＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2，∴y2＝x＋6.
5． 若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一个周期内的图象如
图所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且·＝0
(O为坐标原点)，则A等于 ( )
A. B.π C.π D.π
答案 B
解析 由题意知M(，A)，N(π，－A)，
又·＝×π－A2＝0，
∴A＝π.
二、填空题
6． (2013·天津)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________．
答案
解析 在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，则＝，
∴＝＝－，又＝＋，
∴·＝(＋)·(－)
＝2－·＋·－2
＝||2＋||||cos 60°－||2
＝1＋×||－||2＝1.
∴||＝0，又||≠0，∴||＝.
7． 已知三个力f1＝(－2，－1 ( http: / / www.21cnjy.com ))，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4＝________.
答案 (1,2)
解析 由物理知识知：f1＋f2＋f3＋f4＝0，
故f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1,2)．
8． 已知在平面直角坐标系中，O(0, ( http: / / www.21cnjy.com )0)，M(1,1)，N(0,1)，Q(2,3)，动点P(x，y)满足不等式0≤·≤1,0≤·≤1，则z＝·的最大值为________．
答案 3
解析 ＝(x，y)，＝(1,1)，＝(0,1)，
∴·＝x＋y，·＝y，
即在条件下，求z＝2x＋3y的最大值，由线性规划知识，当x＝0，y＝1时，zmax＝3.
三、解答题
9． 已知△ABC中，∠C是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上一点，且AE＝
2EB，求证：AD⊥CE.
证明 建立如图所示的直角坐标系，
设A(a,0)，则B(0，a)，E(x，y)．
∵D是BC的中点，∴D(0，)．
又∵＝2，即(x－a，y)＝2(－x，a－y)，
∴解得x＝，y＝a.
∵＝(0，)－(a,0)＝(－a，)，
＝＝(，a)，
∴·＝－a×＋a×
＝－a2＋a2＝0.
∴⊥，即AD⊥CE.
10．已知A，B，C三点的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，其α∈(，)．
(1)若||＝||，求角α的值．
(2)若·＝－1，求tan(α＋)的值．
解 (1)∵＝(cos α－3，sin α)，
＝(cos α，sin α－3)，
∴||＝＝，
||＝.
由||＝||得sin α＝cos α，
又α∈(，)，∴α＝π.
(2)由·＝－1，
得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1，
∴sin α＋cos α＝，∴sin(α＋)＝>0.
由于<α<，
∴<α＋<π，∴cos(α＋)＝－.
故tan(α＋)＝－.
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
1． (2013·浙江)设△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C，P0是边AB上一定点，满足P0B＝AB，且对于边AB上任一点P，恒有·≥·，则 ( )
A．∠ABC＝90° B．∠BAC＝90°
C．AB＝AC D．AC＝BC
答案 D
解析 设BC中点为M，
则·＝2－2
＝2－2，
同理·＝2－2，
∵·≥·恒成立，
∴||≥||恒成立．
即P0M⊥AB，
取AB的中点N，又P0B＝AB，
则CN⊥AB，∴AC＝BC.故选D.
2． 已知在△ABC中，＝a，＝b，a·b<0，S△ABC＝，|a|＝3，|b|＝5，则∠BAC＝________.
答案 150°
解析 ∵·<0，∴∠BAC为钝角，
又S△ABC＝|a||b|sin∠BAC＝.
∴sin∠BAC＝，∴∠BAC＝150°.
3． 已知直角梯形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为________．
答案 5
解析 方法一 以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝x.
∴D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，
＝(2，－x)，＝(1，a－x)，
∴＋3＝(5,3a－4x)，
|＋3|2＝25＋(3a－4x)2≥25，
∴|＋3|的最小值为5.
方法二 设＝x(0∴＝(1－x)，
＝－＝－x，
＝＋＝(1－x)＋.
∴＋3＝＋(3－4x)，
|＋3|2＝2＋2××(3－4x)·＋(3－4x)2·2
＝25＋(3－4x)22≥25，
∴|＋3|的最小值为5.
4． 已知点A(2,0)，B(0,2)，C(cos α，sin α)，且0<α<π.
(1)若|＋|＝，求与的夹角；
(2)若⊥，求tan α的值．
解 (1)因为|＋|＝，
所以(2＋cos α)2＋sin2α＝7，所以cos α＝.
又因为α∈(0，π)，所以α＝∠AOC＝.
又因为∠AOB＝，所以与的夹角为.
(2)＝(cos α－2，sin α)，＝(cos α，sin α－2)．
因为⊥，所以·＝0，
所以cos α＋sin α＝，①
所以(cos α＋sin α)2＝，所以2sin αcos α＝－.
又因为α∈(0，π)，所以α∈(，π)．
因为(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝，cos α－sin α<0，
所以cos α－sin α＝－.②
由①②得cos α＝，sin α＝，
所以tan α＝－.
5. 如图所示，已知点F(1,0)，直线l：x＝－1，P为平面上的一动
点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且·＝·.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M.已知＝λ1，＝λ2，求λ1＋λ2的值．
解 (1)设点P(x，y)，则Q(－1，y)，
由·＝·，得
(x＋1,0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，化简得P的轨迹C的方程为y2＝4x.
(2)设直线AB的方程为x＝my＋1(m≠0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又M(－1，－)，
联立方程消去x，得
y2－4my－4＝0，Δ＝(－4m)2＋16>0，
故
由＝λ1，＝λ2，得
y1＋＝－λ1y1，y2＋＝－λ2y2，整理，得
λ1＝－1－，λ2＝－1－，
所以λ1＋λ2＝－2－(＋)＝－2－·
＝－2－·＝0.§5.3 平面向量的数量积
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1． 两个向量的夹角
(1)定义：
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉．
(2)范围：
向量夹角〈a，b〉的范围是[0，π]，且〈a，b〉＝〈b，a〉．
(3)向量垂直：
如果〈a，b〉＝，则a与b垂直，记作a⊥b.
2． 向量在轴上的正射影
已知向量a和轴l(如图)，作＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量．
＝a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有al＝|a|cos θ.
3． 向量的数量积
(1)平面向量的数量积的定义：
|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)向量数量积的性质：
①如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉；
②a⊥b a·b＝0；
③a·a＝|a|2，|a|＝；
④cos〈a，b〉＝ (|a||b|≠0)；
⑤|a·b|≤|a||b|.
(3)数量积的运算律：
①交换律：a·b＝b·a.
②分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
③对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．
(4)数量积的坐标运算
设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则
①a·b＝a1b1＋a2b2；
②a⊥b a1b1＋a2b2＝0；
③|a|＝；
④cos 〈a，b〉＝.
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量． ( √ )
(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( √ )
(3)△ABC内有一点O，满足＋＋＝0，且·＝·，则△ABC一定是等腰三角形． ( √ )
(4)在四边形ABCD中，＝且·＝0，则四边形ABCD为矩形． ( × )
(5)两个向量的夹角的范围是[0，]． ( × )
(6)已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，如果a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是λ<－
或λ>0. ( × )
2． (2012·陕西)设向量a＝(1，cos θ)与b＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于 ( )
A. B. C．0 D．－1
答案 C
解析 ∵a⊥b，∴a·b＝－1＋2cos2θ＝0，
∴cos2θ＝，∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝1－1＝0.
3． 已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与向量a＋2b的夹角等于( )
A．150° B．90° C．60° D．30°
答案 D
解析 |a＋2b|2＝4＋4＋4a·b＝8＋8cos 60°＝12，
∴|a＋2b|＝2，
a·(a＋2b)＝|a|·|a＋2b|·cos θ
＝2×2cos θ＝4cos θ，
又a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝4＋4cos 60°＝6，
∴4cos θ＝6，cos θ＝，θ∈[0°，180°]，∴θ＝30°，故选D.
4． 在△ABC中，＝1，＝2，则AB边的长度为 ( )
A．1 B．3 C．5 D．9
答案 B
解析 表示在方向上的单位向量．
设△ABC各边分别为a，b，c，则＝b·cos A＝1，
同理，＝a·cos B＝2.
由余弦定理可得
解方程组得c＝3或0(舍)．故选B.
5． 已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为______．
答案
解析 设a和b的夹角为θ，|a|cos θ＝|a|
＝＝＝.
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题型一 平面向量数量积的运算
例1 (1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于 ( )
A．－16 B．－8 C．8 D．16
(2)(2012·北京)已知正方形ABCD的 ( http: / / www.21cnjy.com )边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________．
思维启迪 (1)∠C＝90°，可选取向量，为基底表示向量或者利用数量积的几何意义；
(2)建立坐标系求向量的坐标，也可利用数量积的几何意义．
答案 (1)D (2)1 1
解析 (1)方法一 ·＝(－)·(－)
＝－·＋2＝16.
方法二 ∵在方向上的投影是AC，
∴·＝||2＝16.
(2)方法一 以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系， 则
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A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设
E(t,0)，t∈[0,1]，则＝(t，－1)，＝(0，－1)，所以·＝(t，－1)·(0，－1)＝1.
因为＝(1,0)，所以·＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1，
故·的最大值为1.
方法二
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由图知，无论E点在哪个位置，在方向上的投影都是CB＝1，
∴·＝||·1＝1，
当E运动到B点时，在方向上的投影最大即为DC＝1，∴(·)max＝||·1＝1.
思维升华 求两个向量的数量积有三种方 ( http: / / www.21cnjy.com )法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．本题从不同角度创造性地解题，充分利用了已知条件．
已知点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值是________．
答案 －25
解析 方法一 如右图，根据题意可得△ABC为直角三角形，
且B＝，cos A＝，cos C＝，
∴·＋·＋·
＝·＋·
＝4×5cos(π－C)＋5×3cos(π－A)
＝－20cos C－15cos A
＝－20×－15×
＝－25.
方法二 易知＋＋＝0，
将其两边平方可得
2＋2＋2＋2(·＋·＋·)＝0，
故·＋·＋·
＝－(2＋2＋2)＝－25.
题型二 求向量的夹角与向量的模
例2 (1)(2012·课标全国)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.
(2)(2013·山东) ( http: / / www.21cnjy.com )已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若A＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．
思维启迪 利用数量积的定义a·b＝|a|·|b|cos θ.
答案 (1)3 (2)
解析 (1)利用平面向量的数量积概念、模的概念求解．
∵a，b的夹角为45°，|a|＝1，
∴a·b＝|a|·|b|cos 45°＝|b|，
|2a－b|2＝4－4×|b|＋|b|2＝10，∴|b|＝3.
(2)由⊥知·＝0，
即·＝(λ＋)·(－)
＝(λ－1)·－λA2＋2
＝(λ－1)×3×2×－λ×9＋4＝0，解得λ＝.
思维升华 (1)在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a|＝要引起足够重视，它是求距离常用的公式．
(2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系．在向量的运算中，灵活运用运算律，达到简化运算的目的．
(1)已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为( )
A. B. C. D.
(2)已知向量a＝(1，)，b＝(－1,0)，则|a＋2b|等于 ( )
A．1 B. C．2 D．4
答案 (1)C (2)C
解析 (1)∵cos〈a，b〉＝＝，∴〈a，b〉＝.
(2)|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4－4×1＋4＝4，
∴|a＋2b|＝2.
题型三 数量积的综合应用
例3 已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)．
(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；
(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．
思维启迪 (1)由m∥n可得△ABC的边角关系，再利用正弦定理边角互化即可证得结论；
(2)由m⊥p得a、b关系，再利用余弦定理得ab，代入面积公式．
(1)证明 ∵m∥n，∴asin A＝bsin B，
即a·＝b·，其中R是三角形ABC外接圆半径，
∴a＝b.
∴△ABC为等腰三角形．
(2)解 由题意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.
∴a＋b＝ab.
由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，
即(ab)2－3ab－4＝0，
∴ab＝4(舍去ab＝－1)，
∴S＝absin C＝×4×sin ＝.
思维升华 以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理、面积公式的应用、边与角之间的互化是判断三角形形状的常用方法．
(2013·江苏)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.
(1)若|a－b|＝，求证：a⊥b；
(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．
(1)证明 由|a－b| ( http: / / www.21cnjy.com )＝，即(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2，整理得cos αcos β＋sin αsin β＝0，
即a·b＝0，因此a⊥b.
(2)解 由已知条件，
又0<β<α<π，
cos β＝－cos α＝cos(π－α)，则β＝π－α，
sin α＋sin(π－α)＝1，
sin α＝，α＝或α＝，
当α＝时，β＝(舍去)，
当α＝时，β＝.
三审图形抓特点
典例：(5分)如图所示，把两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，
若＝x＋y，则x＝________，y＝________.
图形由一副三角板构成
↓(注意一副三角板的特点)
令|AB|＝1，|AC|＝1
↓(一副三角板的两斜边等长)
|DE|＝|BC|＝
↓(非等腰三角板的特点)
|BD|＝|DE|sin 60°＝×＝
↓(注意∠ABD＝45°＋90°＝135°)
在上的投影即为x
↓x＝|AB|＋|BD|cos 45°＝1＋×＝1＋
↓在上的投影即为y
↓y＝|BD|·sin 45°＝×＝.
解析 方法一 结合图形特点，设向量，为单位向量，由＝x＋y知，x，y分别为在，上的投影．又|BC|＝|DE|＝，
∴||＝||·sin 60°＝.
∴在上的投影
x＝1＋cos 45°＝1＋×＝1＋，
在上的投影y＝sin 45°＝.
方法二 ∵＝x＋y，又＝＋，
∴＋＝x＋y，∴＝(x－1)＋y.
又⊥，∴·＝(x－1)2.
设||＝1，则由题意||＝||＝.
又∠BED＝60°，∴||＝.显然与的夹角为45°.
∴由·＝(x－1)2，
得×1×cos 45°＝(x－1)×12.∴x＝＋1.
同理，在＝(x－1)＋y两边取数量积可得y＝.
答案 1＋
温馨提醒 突破本题的关键是，要抓住图 ( http: / / www.21cnjy.com )形的特点(图形由一副三角板构成)．根据图形的特点，利用向量分解的几何意义，求解方便快捷．方法二是原试题所给答案，较方法一略显繁杂.
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方法与技巧
1．计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．
2．求向量模的常用方法：利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算．
3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．
失误与防范
1．(1)0与实数0的区别：0a＝0≠ ( http: / / www.21cnjy.com )0，a＋(－a)＝0≠0，a·0＝0≠0；(2)0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系．
2．a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b.
3．a·b＝a·c(a≠0)不能推出b＝c，即消去律不成立．
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A组 专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1． 已知向量a＝(1,2)，b＝(x，－4)，若a∥b，则a·b等于 ( )
A．－10 B．－6 C．0 D．6
答案 A
解析 由a∥b得2x＝－4，x＝－2，故a·b＝(1,2)·(－2，－4)＝－10.
2． (2012·重庆)设x，y∈R，向 ( http: / / www.21cnjy.com )量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|等于 ( )
A. B.
C．2 D．10
答案 B
解析 ∵a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，
由a⊥c得a·c＝0，即2x－4＝0，∴x＝2.
由b∥c，得1×(－4)－2y＝0，∴y＝－2.
∴a＝(2,1)，b＝(1，－2)．
∴a＋b＝(3，－1)，∴|a＋b|＝＝.
3． 已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 设c＝(x，y)，则c＋a＝(x＋1，y＋2)，
又(c＋a)∥b，∴2(y＋2)＋3(x＋1)＝0.①
又c⊥(a＋b)，∴(x，y)·(3，－1)＝3x－y＝0.②
联立①②解得x＝－，y＝－.
4． 向量与向量a＝(－3,4)的夹角为π，||＝10，若点A的坐标是(1,2)，则点B的坐标为
( )
A．(－7,8) B．(9，－4) C．(－5,10) D．(7，－6)
答案 D
解析 ∵与a＝(－3,4)反向，
∴可设＝(3λ，－4λ)，λ>0.
又||＝10，∴λ＝2，∴＝(6，－8)，
又A(1,2)，∴B点坐标为(7，－6)．
5． (2012·天津)在△ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )∠A＝90°，AB＝1，AC＝2.设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R.若·＝－2，则λ等于 ( )
A. B. C. D．2
答案 B
解析 ＝－＝(1－λ)－，
＝－＝λ－，
·＝(λ－1)2－λ2＝4(λ－1)－λ＝3λ－4＝－2，即λ＝.
二、填空题
6． (2012·安徽)设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，则|a|＝________.
答案
解析 a＋c＝(1,2m)＋(2，m)＝(3,3m)．∵(a＋c)⊥b，
∴(a＋c)·b＝(3,3m)·(m＋1,1)＝6m＋3＝0，
∴m＝－.∴a＝(1，－1)，∴|a|＝.
7． (2013·课标全国Ⅱ)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________.
答案 2
解析 由题意知：·＝(＋)·(－)
＝(＋)·(－)
＝2－·－2
＝4－0－2＝2.
8． 已知a＝(2，－1)，b＝(λ，3)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________．
答案 (－∞，－6)∪
解析 由a·b<0，即2λ－3<0，解得λ<，由a∥b得：
6＝－λ，即λ＝－6.因此λ<，且λ≠－6.
三、解答题
9． 已知向量a＝(4,5cos α)，b＝(3，－4tan α)，α∈(0，)，a⊥b，求：
(1)|a＋b|；
(2)cos(α＋)的值．
解 (1)因为a⊥b，所以a·b＝4×3＋5cos α×(－4tan α)＝0，
解得sin α＝.
又因为α∈(0，)，
所以cos α＝，tan α＝＝，
所以a＋b＝(7,1)，
因此|a＋b|＝＝5.
(2)cos(α＋)＝cos αcos －sin αsin
＝×－×＝.
10．已知△ABC的内角为A、B、C，其对边 ( http: / / www.21cnjy.com )分别为a、b、c，B为锐角，向量m＝(2sin B，－)，n＝(cos 2B,2cos2－1)，且m∥n.
(1)求角B的大小；
(2)如果b＝2，求S△ABC的最大值．
解 (1)m∥n 2sin B·(2cos2－1)＋cos 2B＝0
sin 2B＋cos 2B＝0 2sin(2B＋)＝0(B为锐角)
2B＝ B＝.
(2)cos B＝ ac＝a2＋c2－4≥2ac－4 ac≤4.
S△ABC＝a·c·sin B≤×4×＝.
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
1． △ABC的外接圆圆心为O，半径为2，＋＋＝0，且||＝||，则在方向上的投影为 ( )
A．1 B．2 C. D．3
答案 C
解析 如图，设D为BC的中点，由＋＋＝0，
得＝2，
∴A、O、D共线且||＝2||，
又O为△ABC的外心，∴AO为BC的中垂线，
∴||＝||＝||＝2，||＝1，
∴||＝，∴在方向上的投影为.
2． (2013·湖南)已知a ( http: / / www.21cnjy.com )，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是 ( )
A．[－1，＋1] B．[－1，＋2]
C．[1，＋1] D．[1，＋2]
答案 A
解析 ∵a·b＝0，且a，b是单位向量，∴|a|＝|b|＝1.
又∵|c－a－b|2＝c2－2c·(a＋b)＋2a·b＋a2＋b2＝1，
∴2c·(a＋b)＝c2＋1.
∵|a|＝|b|＝1且a·b＝0，∴|a＋b|＝，
∴c2＋1＝2|c|cos θ(θ是c与a＋b的夹角)．
又－1≤cos θ≤1，∴0∴c2－2|c|＋1≤0，
∴－1≤|c|≤＋1.
3. 如图所示，在平面四边形ABCD中，若AC＝3，BD＝2，则(＋)·
(＋)＝________.
答案 5
解析 由于＝＋，＝＋，
所以＋＝＋＋＋
＝－.
(＋)·(＋)＝(－)·(＋)
＝||2－||2＝9－4＝5.
4． 已知向量p＝(2sin x，cos x)，q＝(－sin x,2sin x)，函数f(x)＝p·q.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f(C)＝1，c＝1，ab＝2，且a>b，求a，b的值．
解 (1)f(x)＝－2sin2x＋2sin xcos x
＝－1＋cos 2x＋2sin xcos x
＝sin 2x＋cos 2x－1＝2sin(2x＋)－1.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴f(x)的单调增区间是(k∈Z)．
(2)∵f(C)＝2sin(2C＋)－1＝1，
∴sin(2C＋)＝1，
∵C是三角形的内角，∴2C＋＝，即C＝.
∴cos C＝＝，即a2＋b2＝7.
将ab＝2代入可得a2＋＝7，解得a2＝3或4.
∴a＝或2，∴b＝2或.
∵a>b，∴a＝2，b＝.
5． 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1,2)，又点A(8,0)，B(n，t)，C(ksin θ，t)(0≤θ≤)．
(1)若⊥a，且||＝||，求向量；
(2)若向量与向量a共线，当k>4，且tsin θ取最大值4时，求·.
解 (1)由题设知＝(n－8，t)，
∵⊥a，∴8－n＋2t＝0.
又∵||＝||，
∴5×64＝(n－8)2＋t2＝5t2，得t＝±8.
当t＝8时，n＝24；t＝－8时，n＝－8，
∴＝(24,8)，或＝(－8，－8)．
(2)由题设知＝(ksin θ－8，t)，
∵与a共线，∴t＝－2ksin θ＋16，
tsin θ＝(－2ksin θ＋16)sin θ＝－2k(sin θ－)2＋.
∵k>4，∴1>>0，
∴当sin θ＝时，tsin θ取得最大值.
由＝4，得k＝8，
此时θ＝，＝(4,8)．
∴·＝(8,0)·(4,8)＝32.§5.2 向量的分解与向量的坐标运算
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1． 平面向量基本定理
如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一 ( http: / / www.21cnjy.com )平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}．a1e1＋a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的分解式．
2． 平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
3． 平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b x1y2－x2y1＝0.
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底． ( × )
(2)在△ABC中，向量，的夹角为∠ABC. ( × )
(3)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2. ( √ )
(4)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示． ( √ )
(5)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝. ( × )
(6)已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝(，1＋sin θ)，若a∥b，则θ等于45°.( × )
2． 已知点A(6,2)，B(1,14)，则与共线的单位向量为 ( )
A．(，－)或(－，)
B．(，－)
C．(－，)或(，－)
D．(－，)
答案 C
解析 因为点A(6,2)，B(1,14)，所以＝(－5,12)，||＝13，
与共线的单位向量为±＝±(－5,12)
＝±(－，)．
3． 已知A(－3,0)，B(0, ( http: / / www.21cnjy.com )2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，||＝2，且∠AOC＝，设＝ λ＋(λ∈R)，则λ的值为 ( )
A．1 B. C. D.
答案 D
解析 过C作CE⊥x轴于点E(图略)．
由∠AOC＝，知OE＝CE＝2，
所以＝＋＝λ＋，即＝λ，
所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝.
4． 在 ABCD中，AC为一条对角线，＝(2,4)，＝(1,3)，则向量的坐标为__________．
答案 (－3，－5)
解析 ∵＋＝，∴＝－＝(－1，－1)，
∴＝－＝－＝(－3，－5)．
5． 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足＝＋，则＝________.
答案
解析 ∵＝＋，
∴－＝－＋＝(－)，
∴＝，∴＝.
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题型一 平面向量基本定理的应用
例1 在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又＝t，试求t的值．
思维启迪 根据题意可选择，为一组基底，将，线性表示出来，通过＝t建立关于t的方程组，从而求出t的值．
解 ∵＝＋，
∴3＝2＋，
即2－2＝－，
∴2＝，
即P为AB的一个三等分点(靠近点A)，如图所示．
∵A，M，Q三点共线，
∴设＝x＋(1－x)＝＋(x－1)，
而＝－，∴＝＋(－1).
又＝－＝－，
由已知＝t可得，
＋(－1)＝t(－)，
∴，解得t＝.
思维升华 平面向量基本定理表明，平面 ( http: / / www.21cnjy.com )内的任意一个向量都可用一组基底唯一表示，题中将同一向量用同一组基底的两种形式表示出来，因此根据表示的“唯一性”可建立方程组求解．
如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．
答案
解析 设||＝y，||＝x，
则＝＋＝－，①
＝＋＝＋，②
①×y＋②×x得＝＋，
令＝，得y＝x，代入得m＝.
题型二 向量的坐标运算
例2 已知A(1，－2)，B(2,1)，C(3,2)，D(－2,3)，
(1)求＋2－3；
(2)设＝3，＝－2，求及M、N点的坐标．
思维启迪 (1)直接计算、、的坐标，然后运算；
(2)根据向量的坐标相等列方程求点M，N的坐标．
解 (1)∵A(1，－2)，B(2,1)，C(3,2)，D(－2,3)，
∴＝(－2－1,3＋2)＝(－3,5)，
＝(－2－2,3－1)＝(－4,2)，
＝(3－2,2－1)＝(1,1)，
∴＋2－3＝(－3,5)＋2(－4,2)－3(1,1)
＝(－3－8－3,5＋4－3)＝(－14,6)．
(2)∵＝3，＝－2，
∴＝－＝－2－3＝－2＋3，
由A、B、C、D点坐标可得＝(3,2)－(1，－2)＝(2,4)．
∴＝－2(1,1)＋3(2,4)＝(4,10)．
设M(xM，yM)，N(xN，yN)．
又＝3，∴－＝3(－)，
∴(xM，yM)－(3,2)＝3[(1，－2)－(3,2)]＝(－6，－12)．
∴xM＝－3，yM＝－10，∴M(－3，－10)．
又＝－2，即－＝－2，
∴(xN，yN)－(3,2)＝－2(1,1)，
∴xN＝1，yN＝0，∴N(1,0)．
思维升华 向量的坐标运算主要是利用加、 ( http: / / www.21cnjy.com )减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．
已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b，
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M、N的坐标及向量的坐标．
解 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
∴解得
(3)设O为坐标原点，∵＝－＝3c，
∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．
∴M(0,20)．又∵＝－＝－2b，
∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
∴N(9,2)．∴＝(9，－18)．
题型三 向量共线的坐标表示
例3 (1)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________．
(2)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)，若(a－c)∥b，则k＝________.
思维启迪 (1)根据向量共线列式求相关点的坐标；
(2)根据向量共线求参数．
答案 (1)(2,4) (2)5
解析 (1)∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，∴＝2.
设点D的坐标为(x，y)，
则＝(4,2)－(x，y)＝(4－x,2－y)，
＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，
∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)，
∴，解得，故点D的坐标为(2,4)．
(2)依题意得a－c＝(3,1)－(k,7)＝(3－k，－6)，
又∵(a－c)∥b，
故＝，∴k＝5.
思维升华 (1)两平面向量共 ( http: / / www.21cnjy.com )线的充要条件有两种形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②若a∥b(a≠0)，则b＝λa.
(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．
(1)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ等于 ( )
A. B. C．1 D．2
(2)已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，若点A、B、C能构成三角形，则实数m满足的条件是________．
答案 (1)B (2)m≠
解析 (1)∵a＝(1,2)，b＝(1,0)，
∴a＋λb＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，
由于(a＋λb)∥c，且c＝(3,4)，
∴4(1＋λ)－6＝0，解得λ＝.
(2)因为＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，
所以＝(3,1)，＝(－m－1，－m)．
由于点A、B、C能构成三角形，所以与不共线，
而当与共线时，有＝，解得m＝，
故当点A、B、C能构成三角形时实数m满足的条件是m≠.
忽视平行四边形的多样性致误
典例：(12分)已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，求第四个顶点的坐标．
易错分析 此题极易出现思维定势，认为平行四 ( http: / / www.21cnjy.com )边形只有一种情形，在解题思路中出现漏解．实际上，题目条件中只给出平行四边形的三个顶点，并没有规定顺序，可能有三种情形．
规范解答
解 如图所示，
设A(－1,0)，B(3,0)，C(1，－5)，D(x，y)． [2分]
(1)若四边形ABCD1为平行四边形，则＝，而＝(x＋1，y)，＝(－2，－5)．
由＝，得
∴∴D1(－3，－5)． [5分]
(2)若四边形ACD2B为平行四边形，则＝2.
而＝(4,0)，＝(x－1，y＋5)．
∴∴∴D2(5，－5)． [8分]
(3)若四边形ACBD3为平行四边形，则＝.
而＝(x＋1，y)，＝(2,5)，
∴∴∴D3(1,5)． [11分]
综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为(－3，－5)或(5，－5)或(1,5)．[12分]
温馨提醒 (1)本题考查向量坐标的基本运算， ( http: / / www.21cnjy.com )难度中等，但错误率较高，典型错误是忽视了分类讨论．此外，有的学生不知道运用平行四边形的性质，找不到解决问题的切入口．
(2)向量本身就具有数形结合的特点，所以在解决此类问题时，要注意画图，利用数形结合的思想求解．
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方法与技巧
1． 平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．
向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键．
2． 平面向量共线的坐标表示
(1)两向量平行的充要条件
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是a＝λb，这与x1y2－x2y1＝0在本质上是没有差异的，只是形式上不同．
(2)三点共线的判断方法
判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定．
失误与防范
1． 要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况．
2． 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2 ( http: / / www.21cnjy.com ))，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.
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A组 专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1． (2012·广东)若向量＝(2,3)，＝(4,7)，则等于 ( )
A．(－2，－4) B．(2,4)
C．(6,10) D．(－6，－10)
答案 A
解析 由于＝(2,3)，＝(4,7)，
所以＝＋＝(2,3)＋(－4，－7)＝(－2，－4)．
2． 在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则等于 ( )
A．(－2,7) B．(－6,21)
C．(2，－7) D．(6，－21)
答案 B
解析 ＝3＝3(2－)
＝6－3＝(6,30)－(12,9)
＝(－6,21)
3． 设向量a，b满足|a|＝2，b＝(2,1)，则“a＝(4,2)”是“a∥b”成立的 ( )
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 若a＝(4,2)，则|a|＝2，且a∥b都成立；
因a∥b，设a＝λb＝(2λ，λ)，由|a|＝2，知
4λ2＋λ2＝20，∴λ2＝4，∴λ＝±2，
∴a＝(4,2)或a＝(－4，－2)．
因此“a＝(4,2)”是“a∥b”成立的充分不必要条件．
4． 已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于 ( )
A．－a＋b B.a－b
C．－a－b D．－a＋b
答案 B
解析 设c＝λa＋μb，
∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，
∴，∴，
∴c＝a－b.
5．如图，在△ABC中，点D是BC边上靠近B的三等分点，则等于 ( )
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A.－ B.＋
C.＋ D.－
答案 C
解析 由平面向量的三角形法则，可得：＝＋，
又因为点D是BC边上靠近B的三等分点，
所以＝＋＝＋(－)＝＋.
二、填空题
6． 已知A(－3,0)，B(0，)，O为坐标原点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，＝λ＋，则实数λ的值为________．
答案 1
解析 由题意知＝(－3,0)，＝(0，)，则＝(－3λ，)，
由∠AOC＝30°知以x轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为150°，
∴tan 150°＝，即－＝－，∴λ＝1.
7． 已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，则实数x的值为________．
答案
解析 因为a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，
所以u＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)，
v＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)，
又因为u∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0，
即10x＝5，解得x＝.
8． △ABC中，内角A，B ( http: / / www.21cnjy.com )，C所对的边分别为a，b，c，若p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，且p∥q，则角C＝________.
答案 60°
解析 因为p∥q，则(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，
所以a2＋b2－c2＝ab，＝，
结合余弦定理知，cos C＝，
又0°三、解答题
9． 已知A(1,1)、B(3，－1)、C(a，b)．
(1)若A、B、C三点共线，求a、b的关系式；
(2)若＝2，求点C的坐标．
解 (1)由已知得＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)．
∵A、B、C三点共线，∴∥，
∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.
(2)∵＝2，∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)，
∴，解得，
∴点C的坐标为(5，－3)．
10．如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q三点共线．
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(1)设＝λ，将用λ，，表示；
(2)设＝x，＝y，证明：＋是定值．
(1)解 ＝＋＝＋λ＝＋λ(－)
＝(1－λ)＋λ.
(2)证明 一方面，由(1)，得
＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)x＋λy；①
另一方面，∵G是△OAB的重心，
∴＝＝×(＋)＝＋.②
而，不共线，∴由①②，得
解得∴＋＝3(定值)．
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
1． 已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb，λ，μ∈R，那么A、B、C三点共线的充要条件为 ( )
A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1
C．λμ＝－1 D．λμ＝1
答案 D
解析 ∵A、B、C三点共线，∴存在实数t，满足＝t，
即λa＋b＝ta＋μtb，又a，b是不共线的向量，
∴，∴λμ＝1.
2． 已知△ABC中，点D在BC边上，且＝2，＝r＋s，则r＋s的值是( )
A. B. C．－3 D．0
答案 D
解析 ∵＝－，
∴＝－－＝－－，
∴＝－，∴＝－.
又＝r＋s，∴r＝，s＝－，
∴r＋s＝0，故选D.
3． 已知A(7,1)、B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于C，且＝2，则实数a＝________.
答案 2
解析 设C(x，y)，则＝(x－7，y－1)，＝(1－x,4－y)，
∵＝2，∴，解得.
∴C(3,3)．又∵C在直线y＝ax上，
∴3＝a·3，∴a＝2.
4． 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所
示，点C在以O为圆心的圆弧上运动．若＝x＋y，
其中x，y∈R，求x＋y的最大值．
解 以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，
如图所示，则A(1,0)，B(－，)，
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设∠AOC＝α(α∈[0，])，则C(cos α，sin α)，
由＝x＋y，
得，
所以x＝cos α＋sin α，y＝sin α，
所以x＋y＝cos α＋sin α＝2sin(α＋)，
又α∈[0，]，
所以当α＝时，x＋y取得最大值2.
5． 已知O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t，试问：
(1)t为何值时，P在x轴上？在y轴上？在第三象限？
(2)四边形OABP能否成为平行四边形，若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．
解 (1)∵＝(1,2)，＝(3,3)，
∴＝＋t＝(1＋3t,2＋3t)．
若点P在x轴上，则2＋3t＝0，解得t＝－；
若点P在y轴上，则1＋3t＝0，解得t＝－；
若点P在第三象限，则解得t<－.
(2)若四边形OABP为平行四边形，则＝，
∴
∵该方程组无解，∴四边形OABP不能成为平行四边形．专题二 高考中的三角函数的综合问题
1． (2013·北京)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的 ( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 当φ＝π时，y＝sin(2 ( http: / / www.21cnjy.com )x＋φ)＝－sin 2x过原点．当曲线过原点时，φ＝kπ，k∈Z，不一定有φ＝π.∴“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过原点”的充分不必要条件．
2． 已知向量a＝(2，sin x)，b＝(cos2x,2cos x)，则函数f(x)＝a·b的最小正周期是( )
A. B．π C．2π D．4π
答案 B
解析 f(x)＝2cos2x＋2sin xcos x＝1＋cos 2x＋sin 2x
＝1＋sin，T＝＝π.
3． 若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x,0≤x<，则f(x)的最大值为 ( )
A．1 B．2
C.＋1 D.＋2
答案 B
解析 依题意，得f(x)＝cos x＋sin x＝2sin(x＋)，
当0≤x<时，≤x＋<，
f(x)的最大值是2.
4． 已知向量＝(2,0)，向量＝(2,2)，向量＝(cos α，sin α)，则向量与向量的夹角的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 由题意，得：＝＋＝(2＋cos α，2＋sin α)，所以点A的轨迹是圆(x－2)2＋(y－2)2＝2，如图，当A位于使向量与圆相切时，向量与向量的夹角分别达到最大、最小值，故选D.
5． (2012·四川改编)如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使
AE＝1，连接EC、ED，则sin∠CED＝__________.
答案
解析 方法一 应用两角差的正弦公式求解．
由题意知，在Rt△ADE中，∠AED＝45°，
在Rt△BCE中，BE＝2，BC＝1，
∴CE＝，则sin∠CEB＝，cos∠CEB＝.
而∠CED＝45°－∠CEB，
∴sin∠CED＝sin(45°－∠CEB)
＝(cos∠CEB－sin∠CEB)
＝×＝.
方法二 利用余弦定理及同角三角函数基本关系式求解．
由题意得ED＝，EC＝＝.
在△EDC中，由余弦定理得
cos∠CED＝＝，
又0<∠CED<π，
∴sin∠CED＝
＝ ＝.
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题型一 三角函数的图象和性质
例1 已知函数f(x)＝sin(ωx＋)＋sin(ωx－)－2cos2，x∈R(其中ω>0)．
(1)求函数f(x)的值域；
(2)若函数y＝f(x)的图象与直线y＝－1的两个相邻交点间的距离为，求函数y＝f(x)的单调增区间．
思维启迪 对三角函数的性质的讨论，首先要化成y＝Asin(ωx＋φ)＋k(一角、一次、一函数)的形式；根据(2)中条件可确定ω.
解 (1)f(x)＝sin ωx＋cos ωx＋sin ωx－cos ωx－(cos ωx＋1)
＝2(sin ωx－cos ωx)－1＝2sin(ωx－)－1.
由－1≤sin(ωx－)≤1，
得－3≤2sin(ωx－)－1≤1，
所以函数f(x)的值域为[－3,1]．
(2)由题设条件及三角函数图象和性质可知，y＝f(x)的周期为π，
所以＝π，即ω＝2.
所以f(x)＝2sin(2x－)－1，
再由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以函数y＝f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
思维升华 三角函数的图象和性 ( http: / / www.21cnjy.com )质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后将t＝ωx＋φ视为一个整体，结合y＝sin t的图象求解．
已知函数f(x)＝sin2x－2sin xcos x＋3cos2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)当x∈[，π]时，求函数f(x)的最大值和最小值．
解 f(x)＝sin2x－2sin xcos x＋3cos2x
＝1－sin 2x＋2cos2x＝2＋cos 2x－sin 2x
＝2＋cos(2x＋)．
(1)函数f(x)的最小正周期T＝π.
(2)因为≤x≤π，所以π≤2x＋≤.
所以≤cos(2x＋)≤1.
所以3≤2＋cos(2x＋)≤2＋，即3≤f(x)≤2＋.
所以函数f(x)的最小值为3，最大值为2＋.
题型二 三角函数和解三角形
例2 (2013·重庆)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋ab＝c2.
(1)求C；
(2)设cos Acos B＝，＝，求tan α的值．
思维启迪 (1)利用余弦定理求C；
(2)由(1)和cos Acos B＝可求得A＋B，代入求tan α.
解 (1)因为a2＋b2＋ab＝c2，
由余弦定理有cos C＝＝＝－.
又0(2)由题意得
＝.
因此(tan αsin A－cos A)(tan αsin B－cos B)＝，
tan2αsin Asin B－tan α(sin Acos B＋cos Asin B)＋cos Acos B＝，
tan2αsin Asin B－tan αsin(A＋B)＋cos Acos B＝.①
因为C＝，所以A＋B＝，所以sin(A＋B)＝，
因为cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B，
即－sin Asin B＝，
解得sin Asin B＝－＝.
由①得tan2α－5tan α＋4＝0，解得tan α＝1或tan α＝4.
思维升华 三角函数和三角形的结合，一般 ( http: / / www.21cnjy.com )可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边角，再代入到三角函数中，三角函数和差公式的灵活运用是解决此类问题的关键．
(2012·安徽)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2sin Bcos A＝sin Acos C＋cos Asin C.
(1)求角A的大小；
(2)若b＝2，c＝1，D为BC的中点，求AD的长．
解 (1)方法一 由题设知，2sin Bcos A＝sin(A＋C)＝sin B.
因为sin B≠0，所以cos A＝.
由于0方法二 由题设可知，
2b·＝a·＋c·，
于是b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝.
由于0(2)方法一 因为2＝2
＝(2＋2＋2·)
＝(1＋4＋2×1×2×cos )＝，
所以||＝.从而AD＝.
方法二 因为a2＝b2＋c2－2bccos A＝4＋1－2×2×1×＝3，
所以a2＋c2＝b2，B＝.
因为BD＝，AB＝1，所以AD＝ ＝.
题型三 三角函数与平面向量的综合应用
例3 已知向量m＝，n＝.
(1)若m·n＝1，求cos的值；
(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角 ( http: / / www.21cnjy.com )A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cos B＝bcos C，求函数f(A)的取值范围．
思维启迪 (1)由向量数量积的运算转化成三角函数式，化简求值．(2)在△ABC中，求出∠A的范围，再求f(A)的取值范围．
解 (1)m·n＝sin ·cos ＋cos2
＝sin ＋＝sin＋，
∵m·n＝1，∴sin＝.
∵cos＝1－2sin2＝，
∴cos＝－cos＝－.
(2)∵(2a－c)cos B＝bcos C，
由正弦定理得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，
∴2sin Acos B－sin Ccos B＝sin Bcos C.
∴2sin Acos B＝sin(B＋C)．
∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sin A≠0.
∴cos B＝，∵0∴<＋<，sin∈.
又∵f(x)＝sin＋.
∴f(A)＝sin＋.
故函数f(A)的取值范围是.
思维升华 (1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．
(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响．
已知a＝(5cos x，cos x)，b＝(sin x,2cos x)，设函数f(x)＝a·b＋|b|2＋.
(1)当x∈[，]时，求函数f(x)的值域；
(2)当x∈[，]时，若f(x)＝8，求函数f(x－)的值；
(3)将函数y＝f(x) ( http: / / www.21cnjy.com )的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的纵坐标向下平移5个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的表达式并判断奇偶性．
解 (1)f(x)＝a·b＋|b|2＋
＝5sin xcos x＋2cos2x＋4cos2x＋sin2x＋
＝5sin xcos x＋5cos2x＋
＝sin 2x＋5×＋
＝5sin(2x＋)＋5.
由≤x≤，得≤2x＋≤，
∴－≤sin(2x＋)≤1，
∴当≤x≤时，函数f(x)的值域为[，10]．
(2)f(x)＝5sin(2x＋)＋5＝8，
则sin(2x＋)＝，
所以cos(2x＋)＝－，
f(x－)＝5sin 2x＋5＝5sin(2x＋－)＋5＝＋7.
(3)由题意知f(x)＝5sin(2x＋)＋5→
g(x)＝5sin[2(x－)＋]＋5－5＝5sin 2x，
即g(x)＝5sin 2x，
g(－x)＝5sin(－2x)＝－5sin 2x＝－g(x)，
故g(x)为奇函数．
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(时间：80分钟)
1． 函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)在同一个周期内，当x＝时，y取最大值1，当x＝时，y取最小值－1.
(1)求函数的解析式y＝f(x)；
(2)函数y＝sin x的图象经过怎样的变换可得到y＝f(x)的图象；
(3)若函数f(x)满足方程f(x)＝a(0解 (1)∵T＝2(π－)＝π，∴ω＝3，
又∵sin(π＋φ)＝1，∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z.
又|φ|<，得φ＝－，
∴函数的解析式为f(x)＝sin(3x－)．
(2)y＝sin x的图象向右移个单位，
得到y＝sin(x－)的图象，
再由y＝sin(x－)的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到y＝sin(3x－)的图象．
(3)∵f(x)＝sin(3x－)的最小正周期为π，
∴f(x)＝sin(3x－)在[0,2π]内恰有3个周期，
∴sin(3x－)＝a(0同理，x3＋x4＝，x5＋x6＝π，
故所有实数根之和为＋＋＝.
2． (2013·安徽)已知函数f(x)＝4cos ωx·sin(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性．
解 (1)f(x)＝4cos ωx·sin
＝2sin ωx·cos ωx＋2cos2ωx
＝(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋
＝2sin＋.
因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0.
从而有＝π，故ω＝1.
(2)由(1)知，f(x)＝2sin＋.
若0≤x≤，则≤2x＋≤.
当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)单调递增；
当≤2x＋≤，
即≤x≤时，f(x)单调递减．
综上可知，f(x)在区间上单调递增，
在区间上单调递减．
3． (2013·四川)在△ABC中，角A， ( http: / / www.21cnjy.com )B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－.
(1)求cos A的值；
(2)若a＝4，b＝5，求向量在方向上的投影．
解 (1)由2cos2cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－，得
[cos(A－B)＋1]cos B－sin(A－B)sin B－cos B＝－，
即cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－.
则cos(A－B＋B)＝－，即cos A＝－.
(2)由cos A＝－，0由正弦定理，有＝，所以，sin B＝＝.
由题知a>b，则A>B，故B＝，
根据余弦定理，有(4)2＝52＋c2－2×5c×，
解得c＝1或c＝－7(舍去)．
故向量在方向上的投影为||cos B＝.
4． 已知向量a＝(cos α ( http: / / www.21cnjy.com )，sin α)，b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，其中0<α(1)若α＝，求函数f(x)＝b·c的最小值及相应x的值；
(2)若a与b的夹角为，且a⊥c，求tan 2α的值．
解 (1)∵b＝(cos x，sin x)，
c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，α＝，∴f(x)＝b·c
＝cos xsin x＋2cos xsin α＋sin xcos x＋2sin xcos α
＝2sin xcos x＋(sin x＋cos x)．
令t＝sin x＋cos x，
则2sin xcos x＝t2－1，且－1则y＝t2＋t－1＝2－，－1∴t＝－时，ymin＝－，此时sin x＋cos x＝－，
即sin＝－，
∵∴x＋＝π，∴x＝.
∴函数f(x)的最小值为－，相应x的值为.
(2)∵a与b的夹角为，
∴cos ＝＝cos αcos x＋sin αsin x＝cos(x－α)．
∵0<α∵a⊥c，∴cos α(sin x＋2sin α)＋sin α(cos x＋2cos α)＝0，
∴sin(x＋α)＋2sin 2α＝0，即sin＋2sin 2α＝0.
∴sin 2α＋cos 2α＝0，∴tan 2α＝－.
5. 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，A>0，ω>0,0<φ<)的部分图象如
图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)设g(x)＝[f(x－)]2，求函数g(x)在x∈[－，]上的最大值，并确定此时x的值．
解 (1)由题图知A＝2，＝，则＝4×，∴ω＝.
又f(－)＝2sin[×(－)＋φ]＝2sin(－＋φ)＝0，
∴sin(φ－)＝0，
∵0<φ<，∴－<φ－<，
∴φ－＝0，即φ＝，∴f(x)＝2sin(x＋)．
(2)由(1)可得f(x－)＝2sin[(x－)＋]
＝2sin(x＋)，
∴g(x)＝[f(x－)]2＝4×
＝2－2cos(3x＋)，
∵x∈[－，]，∴－≤3x＋≤，
∴当3x＋＝π，即x＝时，[g(x)]max＝4.
6． 设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2bsin A.
(1)求B的大小；
(2)求cos A＋sin C的取值范围．
解 (1)由a＝2bsin A，
根据正弦定理得sin A＝2sin Bsin A，
所以sin B＝，由△ABC为锐角三角形可得B＝.
(2)由(1)可知A＋C＝π－B＝，故C＝－A.
故cos A＋sin C＝cos A＋sin
＝cos A＋sin＝cos A＋cos A＋sin A
＝cos A＋sin A＝
＝sin，
由△ABC为锐角三角形可得，0故0<－A<，解得又0故所以即cos A＋sin C的取值范围为.HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
§5.1 向量的线性运算
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1．向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 具有大小和方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或模) 如a，
零向量 长度等于零的向量；其方向不确定 记作0
单位向量 给定一个非零向量a，与a同向且模为1的向量，叫做向量a的单位向量，可记作a0. a0＝
共线(平行)向量 如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行 向量a与b平行记作a∥b
相等向量 同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量 如＝a
相反向量 与向量a反向且等长的向量，叫做a的相反向量 记作－a
2.向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" (1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb
3. 平行向量基本定理
如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a＝λb.
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量． ( × )
(2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关． ( √ )
(3)已知两向量a，b，若|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝2. ( × )
(4)△ABC中，D是BC中点，则＝(＋)． ( √ )
(5)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上． ( × )
(6)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立． ( √ )
2． (2012·四川)设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是( )
A．a＝－b B．a∥b
C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
答案 C
解析 表示与a同向的单位向量，表示与b同向的单位向量，只要a与b同向，就有＝，观察选项易知C满足题意．
3． 已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2＋＋＝0，那么
( )
A.＝ B.＝2
C.＝3 D．2＝
答案 A
解析 由2＋＋＝0可知，O是底边BC上的中线AD的中点，故＝.
4． 已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足＋＋＝0，＝λ，则实数λ的值为________．
答案 －2
解析 如图所示，由＝λ，且＋＋＝0，则P是以AB、AC为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此＝－2，则λ＝－2.
5． 设a、b是两个不共线向量，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，
若A、B、D三点共线，则实数p的值为________．
答案 －1
解析 ∵＝＋＝2a－b，又A、B、D三点共线，
∴存在实数λ，使＝λ.即，∴p＝－1.
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题型一 平面向量的概念辨析
例1 给出下列命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B ( http: / / www.21cnjy.com )，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.
其中正确命题的序号是________．
思维启迪 正确理解向量的概念，向量共线和点共线的区别，向量相等的定义是解题关键．
答案 ②③
解析 ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．
②正确．∵＝，∴||＝||且∥，
又∵A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则∥且||＝||，因此，＝.故“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件．
③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同；又b＝c，
∴b，c的长度相等且方向相同，
∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.
④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a| ( http: / / www.21cnjy.com )＝|b|，也不能得到a＝b，故“|a|＝|b|且a∥b”不是“a＝b”的充要条件，而是必要不充分条件．
综上所述，正确命题的序号是②③.
思维升华 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈．
(4)非零向量a与的关系：是a方向上的单位向量．
给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．
③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零．
④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中错误命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 ①错误．两向量共线要看其方向而不是起点与终点．
②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．
③错误．当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.
④错误．当λ＝μ＝0时，λa＝μb，此时，a与b可以是任意向量．
题型二 平面向量的线性运算
例2 (1)如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的
一个三等分点，那么等于 ( )
A.－ B.＋
C.＋ D.－
(2)在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，则等于( )
A.b＋c B.c－b
C.b－c D.b＋c
思维启迪 结合图形性质，准确灵活运用三角形法则和平行四边形法则是向量加减法运算的关键．
答案 (1)D (2)A
解析 (1)在△CEF中，有＝＋.
因为点E为DC的中点，所以＝.
因为点F为BC的一个三等分点，所以＝.
所以＝＋＝＋
＝－，故选D.
(2)∵＝2，∴－＝＝2＝2(－)，
∴3＝2＋，
∴＝＋＝b＋c.
思维升华 (1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．
(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．
(1)已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，则等于 ( )
A．2－ B．－＋2
C.－ D．－＋
(2)设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则 ( )
A.＋＝0 B.＋＝0
C.＋＝0 D.＋＋＝0
答案 (1)A (2)B
解析 (1)由2＋＝0得2＋2＋＋＝0，
∴＝－2－＝2－.
(2) 如图，根据向量加法的几何意义有＋＝2 P是AC的中点，故＋＝0.
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题型三 共线向量定理及应用
例3 设两个非零向量a与b不共线，
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
思维启迪 解决点共线或向量共线的问题，要结合向量共线定理进行．
(1)证明 ∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)
＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5.
∴、共线，又∵它们有公共点B，
∴A、B、D三点共线．
(2)解 ∵ka＋b与a＋kb共线，
∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a、b是不共线的两个非零向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.
思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．
(2)向量a、b共线是指存 ( http: / / www.21cnjy.com )在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，否则向量a、b不共线．
(1)在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则等于 ( )
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
(2)已知向量a、b、c中任意两个都不共线，并且a＋b与c共线，b＋c与a共线，那么a＋b＋c等于 ( )
A．a B．b C．c D．0
答案 (1)B (2)D
解析 (1)如图，＝＋，由题意知，
DE∶BE＝1∶3＝DF∶AB，
∴＝，
∴＝a＋b＋(a－b)＝a＋b.
(2)∵a＋b与c共线，∴a＋b＝λ1c. ①
又∵b＋c与a共线，∴b＋c＝λ2a. ②
由①得：b＝λ1c－a.
∴b＋c＝λ1c－a＋c＝(λ1＋1)c－a＝λ2a，
∴，即，∴a＋b＋c＝－c＋c＝0.
方程思想在平面向量的线性运算中的应用
典例：(12分)如图所示，在△ABO中，＝，＝，AD与
BC相交于点M，设＝a，＝b.试用a和b表示向量.
思维启迪 (1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，
要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去．
(2)既然能用a、b表示，那我们不妨设出＝ma＋nb.
(3)利用向量共线建立方程，用方程的思想求解．
规范解答
解 设＝ma＋nb，
则＝－＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb.
＝－＝－＝－a＋b. [3分]
又∵A、M、D三点共线，∴与共线．
∴存在实数t，使得＝t，
即(m－1)a＋nb＝t. [5分]
∴(m－1)a＋nb＝－ta＋tb.
∴，消去t得，m－1＝－2n，
即m＋2n＝1. ① [7分]
又∵＝－＝ma＋nb－a＝a＋nb，
＝－＝b－a＝－a＋b.
又∵C、M、B三点共线，∴与共线． [10分]
∴存在实数t1，使得＝t1，
∴a＋nb＝t1，
∴，消去t1得，4m＋n＝1. ②
由①②得m＝，n＝，∴＝a＋b. [12分]
温馨提醒 (1)本题考查了向量的线性运 ( http: / / www.21cnjy.com )算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度．(2)易错点是，找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解．(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．如本题易忽视A、M、D三点共线和B、M、C三点共线这个几何特征．(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会.
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方法与技巧
1．向量的线性运算要满足三角形法则 ( http: / / www.21cnjy.com )和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”．
2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线．如∥且AB与CD不共线，则AB∥CD；若∥，则A、B、C三点共线．
失误与防范
1．解决向量的概念问题要注意两点： ( http: / / www.21cnjy.com )一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．
2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．
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A组 专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1． 下列命题中正确的是 ( )
A．a与b共线，b与c共线，则a与c也共线
B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点
C．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
D．有相同起点的两个非零向量不平行
答案 C
解析 由于零向量与任一向量都共线，所以A不正 ( http: / / www.21cnjy.com )确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，所以B不正确；向量的平行只要求方向相同或相反，与起点是否相同无关，所以D不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题入手来考虑，假设a与b不都是非零向量，即a与b中至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可知a与b共线，符合已知条件，所以有向量a与b不共线，则a与b都是非零向量，故选C.
2． 已知＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则下列一定共线的三点是( )
A．A、B、C B．A、B、D
C．B、C、D D．A、C、D
答案 B
解析 ＝＋＝2a＋4b＝2 ∥ A、B、D三点共线．
3． 已知△ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m等于 ( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 B
解析 由已知条件得＋＝－.
如图，因此延长AM交BC于 ( http: / / www.21cnjy.com )D点，则D为BC的中点．延长BM交AC于E点，延长CM交AB于F点，同理可证E、F分别为AC、AB的中点，即M为△ABC的重心．
＝＝(＋)，即＋＝3，则m＝3.
4． 已知点O为△ABC外接圆的圆心，且＋＋＝0，则△ABC的内角A等于( )
A．30° B．60° C．90° D．120°
答案 B
解析 由＋＋＝0，知点O为△ABC的重心，
又O为△ABC外接圆的圆心，
∴△ABC为等边三角形，A＝60°.
5． 在△ABC中，AB ( http: / / www.21cnjy.com )＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于 ( )
A．1 B. C. D.
答案 D
解析 ＝＋＝＋，
2＝＋，即＝＋.
故λ＋μ＝＋＝.
二、填空题
6． 设向量e1，e2不共线，＝3(e1＋e2)，＝e2－e1，＝2e1＋e2，给出下列结论：①A，B，C共线；②A，B，D共线；③B，C，D共线；④A，C，D共线，其中所有正确结论的序号为________．
答案 ④
解析 ＝－＝4e1＋2e2，＝－＝3e1，
由向量共线的充要条件b＝λa(a≠0)可得A，C，D共线，而其他λ无解．
7． 在 ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝____________.(用a，b表示)
答案 －a＋b
解析 由＝3得＝＝(a＋b)，
＝a＋b，所以＝－
＝(a＋b)－＝－a＋b.
8． 在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝________.
答案
解析 由图知＝＋，①
＝＋，②
且＋2＝0.
①＋②×2得：3＝＋2，
∴＝＋，∴λ＝.
三、解答题
9． 已知向量a＝2e1－3e2，b＝ ( http: / / www.21cnjy.com )2e1＋3e2，其中e1、e2不共线，向量c＝2e1－9e2.问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？
解 ∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)
＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，
要使d与c共线，则应有实数k，使d＝kc，
即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，
即得λ＝－2μ.
故存在这样的实数λ、μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线．
10. 如图所示，在△ABC中，D、F分别是BC、AC的中点，＝
，＝a，＝b.
(1)用a、b表示向量，，，，；
(2)求证：B，E，F三点共线．
(1)解 延长AD到G，使＝，
连接BG，CG，得到 ABGC，所以＝a＋b，
＝＝(a＋b)，
＝＝(a＋b)，＝＝b，
＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)．
＝－＝b－a＝(b－2a)．
(2)证明 由(1)可知＝，
因为有公共点B，所以B，E，F三点共线．
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
1． 设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且＋＋2＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为 ( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 B
解析 ∵D为AB的中点，
则＝(＋)，
又＋＋2＝0，∴＝－，
∴O为CD的中点，
又∵D为AB中点，∴S△AOC＝S△ADC＝S△ABC，
则＝4.
2． O是平面上一定点，A、B、 ( http: / / www.21cnjy.com )C是平面上不共线的三个点，动点P满足：＝＋λ ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的 ( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
答案 B
解析 作∠BAC的平分线AD.
∵＝＋λ，
∴＝λ
＝λ′· (λ′∈[0，＋∞))，
∴＝·，∴∥.
∴P的轨迹一定通过△ABC的内心．
3. 如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直
线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n，则m＋n
的值为________．
答案 2
解析 ∵O是BC的中点，∴＝(＋)．
又∵＝m，＝n，∴＝＋.
∵M，O，N三点共线，∴＋＝1.则m＋n＝2.
4． 设a，b是两个不共线的非零向量，若a与b起点相同，t∈R，t为何值时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在一条直线上？
解 设＝a，＝tb，＝(a＋b)．
若A，B，C三点共线，则有＝λ，
∴－＝λ(－)，
∴tb－a＝λ[(a＋b)－a]．
化简整理得，(λ－1)a＝(λ－t)b，
∵a与b不共线，由平面向量基本定理得
λ＝且t＝.
故当t＝时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在一条直线上．
5． 已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)．
(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；
(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.
证明 (1)若m＋n＝1，
则＝m＋(1－m)＝＋m(－)，
∴－＝m(－)，
即＝m，∴与共线．
又∵与有公共点B，则A、P、B三点共线，
(2)若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使＝λ，
∴－＝λ(－)．
又＝m＋n.
故有m＋(n－1)＝λ－λ，
即(m－λ)＋(n＋λ－1)＝0.
∵O，A，B不共线，∴，不共线，
∴∴m＋n＝1.