§4.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
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1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞) 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点．
如下表所示.
x
ωx＋φ 0 π 2π
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
3．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤如下：
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1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)作函数y＝sin( ( http: / / www.21cnjy.com )x－)在一个周期内的图象时，确定的五点是(0,0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)这五个点． ( × )
(2)将y＝3sin 2x的图象向左平移个单位后所得图象的解析式是y＝3sin(2x＋)．( × )
(3)y＝sin(x－)的图象是由y＝sin(x＋)的图象向右平移个单位得到的．( √ )
(4)y＝sin(－2x)的递减区间是(－－kπ，－－kπ)，k∈Z. ( × )
(5)函数f(x)＝sin2x的最小正周期和最小值分别为π，0. ( √ )
(6)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为. ( √ )
2． 把函数y＝sin(x＋)图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为 ( )
A．x＝－ B．x＝－
C．x＝ D．x＝
答案 A
解析 将y＝sin(x＋)图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin(2x＋)；再将图象向右平移个单位，得到函数y＝sin[2(x－)＋]＝sin(2x－)，x＝－是其图象的一条对称轴方程．
3． (2013·四川)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分图象如图所
示，则ω，φ的值分别是 ( )
A．2，－ B．2，－
C．4，－ D．4，
答案 A
解析 T＝－，T＝π，∴ω＝2，
∴2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，∴φ＝2kπ－，k∈Z，
又φ∈，∴φ＝－，故选A.
4． 设函数f(x)＝cos ω ( http: / / www.21cnjy.com )x (ω>0)，将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于 ( )
A. B．3 C．6 D．9
答案 C
解析 由题意可知，nT＝ (n∈N＋)，
∴n·＝ (n∈N＋)，
∴ω＝6n (n∈N＋)，∴当n＝1时，ω取得最小值6.
5． 已知简谐运动f(x ( http: / / www.21cnjy.com ))＝2sin (|φ|<)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为__________．
答案 6，
解析 由题意知1＝2sin φ，
得sin φ＝，又|φ|<，
得φ＝；而此函数的最小正周期为T＝2π÷＝6.
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题型一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
例1 设函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)的周期为π.
(1)求它的振幅、初相；
(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；
(3)说明函数f(x)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到．
思维启迪 将f(x)化为一个角的一个三角函数，由周期是π求ω，用五点法作图要找关键点．
解 (1)f(x)＝sin ωx＋cos ωx
＝2(sin ωx＋cos ωx)＝2sin(ωx＋)，
又∵T＝π，∴＝π，即ω＝2.
∴f(x)＝2sin(2x＋)．
∴函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx的振幅为2，初相为.
(2)令X＝2x＋，则y＝2sin＝2sin X.
列表，并描点画出图象：
x －
X 0 π 2π
y＝sin X 0 1 0 －1 0
y＝2sin 0 2 0 －2 0
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(3)方法一 把y＝sin x ( http: / / www.21cnjy.com )的图象上所有的点向左平移个单位，得到y＝sin的图象，再把y＝sin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象，最后把y＝sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin的图象．
方法二 将y＝sin x的图象 ( http: / / www.21cnjy.com )上每一点的横坐标x缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y＝sin 2x的图象；再将y＝sin 2x的图象向左平移个单位，得到y＝sin 2＝sin的图象；再将y＝sin的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y＝2sin的图象．
思维升华 (1)五点法作简图：用“ ( http: / / www.21cnjy.com )五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．
(2)图象变换：由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
已知函数f(x)＝3sin，x∈R.
(1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；
(2)将函数y＝sin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？
解 (1)列表取值：
x π π π π
x－ 0 π π 2π
f(x) 0 3 0 －3 0
描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图．
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(2)先把y＝sin x的图象向右平移个单位，然后把所有的点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f(x)的图象．
题型二 求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例2 (1)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(其中ω>0，|φ|<)的最小正周期是π，且f(0)＝，则( )
A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝
C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝
(2) 已知函数f(x)＝Asi ( http: / / www.21cnjy.com )n(ωx＋φ) (A>0，|φ|<，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为____________．
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思维启迪 (1)根据周期确定ω，据f(0)＝和|φ|<确定φ；
(2)由点(0,1)在图象上和|φ|<确定φ，再根据“五点作图法”求ω.
答案 (1)D (2)f(x)＝2sin
解析 (1)∵f(x)(ω>0，|φ|<)的最小正周期为π，
∴T＝＝π，ω＝2.∵f(0)＝2sin φ＝，
即sin φ＝，∵|φ|<，∴φ＝.
(2)观察图象可知：A＝2且点(0,1)在图象上，
∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sin φ＝.∵|φ|<，∴φ＝.
又∵π是函数的一个零点，且是图象递增穿过x轴形成的零点，∴ω＋＝2π，∴ω＝2.∴f(x)＝2sin.
思维升华 根据y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：
①A的确定：根据图象的最高点和最低点，即A＝；
②k的确定：根据图象的最高点和最低点，即k＝；
③ω的确定：结合图象，先求出周期T，然后由T＝ (ω>0)来确定ω；
④φ的确定：由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k最开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－(即令ωx＋φ＝0，x＝－)确定φ.
如图为y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一段．
(1)求其解析式；
(2)若将y＝Asin(ωx＋φ)的图象向左平移个单位长度后得y＝f(x)，求f(x)的对称轴方程．
解 (1)由图象知A＝，
以M为第一个零点，N为第二个零点．
列方程组 解之得
∴所求解析式为y＝sin.
(2)f(x)＝sin
＝sin，
令2x－＝＋kπ(k∈Z)，则x＝π＋ (k∈Z)，
∴f(x)的对称轴方程为x＝π＋ (k∈Z)．
题型三 函数y＝Asin(ωx＋φ)的应用
例3 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<，x∈R)的图象的一部分如下图所示．
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(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x∈[－6，－]时，求函数y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值与最小值及相应的x的值．
思维启迪 (1)→→
(2)
解 (1)由图象知A＝2，T＝8，
∵T＝＝8，∴ω＝.
又图象经过点(－1,0)，
∴2sin(－＋φ)＝0.
∵|φ|<，∴φ＝.
∴f(x)＝2sin(x＋)．
(2)y＝f(x)＋f(x＋2)
＝2sin(x＋)＋2sin(x＋＋)
＝2sin(x＋)＝2cos x.
∵x∈[－6，－]，∴－≤x≤－，
∴当x＝－，即x＝－时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最大值；
当x＝－π，即x＝－4时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最小值－2.
思维升华 利用函数的图象确定解析式后， ( http: / / www.21cnjy.com )求出y＝f(x)＋f(x＋2)，然后化成一个角的一个三角函数形式，利用整体思想(将ωx＋φ视为一个整体)求函数最值．
(1)已知函数y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数(0<θ<π)，其图象与直线y＝2的某两个交点的横坐标为x1、x2，若|x2－x1|的最小值为π，则 ( )
A．ω＝2，θ＝ B．ω＝，θ＝
C．ω＝，θ＝ D．ω＝2，θ＝
(2)如图，单摆从某点开始来回摆动，离开 ( http: / / www.21cnjy.com )平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为s＝6sin(2πt＋)，那么单摆来回摆动一次所需的时间为 ( )
A．2π s B．π s
C．0.5 s D．1 s
答案 (1)A (2)D
解析 (1)∵y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数，∴θ＝.
∵图象与直线y＝2的两个交点的横坐标为
x1、x2，∵|x2－x1|min＝π，
∴＝π，ω＝2.
(2)T＝＝1，∴选D.
三角函数图象与性质的综合问题
典例：(12分)已知函数f(x)＝2sin(＋)·cos(＋)－sin(x＋π)．
(1)求f(x)的最小正周期．
(2)若将f(x)的图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值．
思维启迪 (1)先将f(x)化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式再求周期；
(2)将f(x)解析式中的x换成x－，得g(x)，然后利用整体思想求最值．
规范解答
解 (1)f(x)＝2sin(＋)·cos(＋)－sin(x＋π)
＝cos x＋sin x [3分]
＝2sin(x＋) [5分]
于是T＝＝2π. [6分]
(2)由已知得g(x)＝f(x－)＝2sin(x＋)， [8分]
∵x∈[0，π]，∴x＋∈[，]，
∴sin(x＋)∈[－，1]， [10分]
∴g(x)＝2sin(x＋)∈[－1,2] [11分]
故函数g(x)在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1 [12分]
解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤：
第一步：将f(x)化为asin x＋bcos x的形式．
第二步：构造f(x)＝(sin x·＋cos x·)．
第三步：和角公式逆用f(x)＝sin(x＋φ)(其中φ为辅助角)．
第四步：利用f(x)＝sin(x＋φ)研究三角函数的性质．
第五步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．
温馨提醒 (1)在第(1)问的解法中，使用辅助角公式
asin α＋bcos α＝ ( http: / / www.21cnjy.com )sin(α＋φ)(其中tan φ＝)，或asin α＋bcos α＝cos(α－φ)(其中tan φ＝)，在历年高考中使用频率是相当高的，几乎年年使用到、考查到，应特别加以关注．
(2)求g(x)的最值一定要重视定义域，可以结合三角函数图象进行求解.
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方法与技巧
1． 五点法作图及图象变换问题
(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；
(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x而言，而不是看角ωx＋φ的变化．
2． 由图象确定函数解析式
由函数y＝Asin(ωx ( http: / / www.21cnjy.com )＋φ)的图象确定A、ω、φ的题型，常常以“五点法”中的第一个零点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置．要善于抓住特殊量和特殊点．
3． 对称问题
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与x轴 ( http: / / www.21cnjy.com )的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x，±A)的点与x轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻平衡点间的距离)．
失误与防范
1． 由函数y＝sin x的图象经过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，如先伸缩，再平移时要把x前面的系数提出来．
2． 复合形式的三角函数的单调区间的求 ( http: / / www.21cnjy.com )法．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx＋φ看做一个整体．若ω<0，要先根据诱导公式进行转化．
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A组 专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1． 为得到函数y＝cos(2x＋)的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象 ( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
答案 A
解析 y＝cos(2x＋)＝sin[＋(2x＋)]＝sin(2x＋)．
故要得到y＝sin(2x＋)＝sin 2(x＋)的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度．
2． 已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，且|φ|<)的部分图象如图所示，
则函数f(x)的一个单调递增区间是 ( )
A．[－，]
B．[－，－]
C．[－，]
D．[－，]
答案 D
解析 由函数的图象可得T＝π－π，
∴T＝π，则ω＝2.
又图象过点(π，2)，∴2sin(2×π＋φ)＝2，
∴φ＝－＋2kπ，k∈Z，
取k＝0，即得f(x)＝2sin(2x－)，
其单调递增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z，取k＝0，即得选项D.
3． 将函数y＝sin(x＋φ)的图象 ( http: / / www.21cnjy.com )F向左平移个单位长度后得到图象F′，若F′的一个对称中心为，则φ的一个可能取值是 ( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 图象F′对应的函数y＝sin，
则＋＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z，
令k＝1时，φ＝，故选D.
4． 设ω>0，函数y＝sin(ωx＋)＋2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是 ( )
A. B. C. D．3
答案 C
解析 由函数向右平移个单位后与原图象重合，
得是此函数周期的整数倍．又ω>0，
∴·k＝(k∈Z)，∴ω＝k(k∈Z)，∴ωmin＝.
5． 已知函数f(x)＝2sin ωx在区间[－，]上的最小值为－2，则ω的取值范围是( )
A．(－∞，－]∪[6，＋∞)
B．(－∞，－]∪[，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[6，＋∞)
D．(－∞，－]∪[，＋∞)
答案 D
解析 当ω>0时，－ω≤ωx≤ω，
由题意知－ω≤－，即ω≥；
当ω<0时，ω≤ωx≤－ω，
由题意知－ω≥，即ω≤－.
综上可知，ω的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞)．
二、填空题
6． 已知f(x)＝sin (ω>0)，f＝f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝______.
答案
解析 依题意，x＝＝时，y有最小值，
∴sin＝－1，∴ω＋＝2kπ＋ (k∈Z)．
∴ω＝8k＋ (k∈Z)，因为f(x)在区间上有最小值，无最大值，所以－<，即ω<12，令k＝0，
得ω＝.
7． 设偶函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图
所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML＝90°，KL＝1，则
f()的值为________．
答案
解析 取K，L中点N，则MN＝，
因此A＝.
由T＝2得ω＝π.
∵函数为偶函数，∴φ＝，
∴f(x)＝cos πx，
f()＝cos ＝.
8． 某城市一年中12个月的平均 ( http: / / www.21cnjy.com )气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos (x＝1,2,3，…，12，A>0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.
答案 20.5
解析 由题意得 ∴
∴y＝23＋5cos，
x＝10时，y＝23＋5×＝20.5.
三、解答题
9． (2013·天津)已知函数f(x)＝－sin ＋6sin xcos x－2cos2x＋1，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解 (1)f(x)＝－sin 2x·cos －cos 2x·sin ＋3sin 2x－cos 2x
＝2sin 2x－2cos 2x
＝2sin.
所以，f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数．又f(0)＝－2，f＝2，f＝2，故函数f(x)在区间上的最大值为2，最小值为－2.
10．已知函数f(x)＝sin ωx·cos ωx－cos2ωx(ω>0)的周期为.
(1)求ω的值和函数f(x)的单调递增区间；
(2)设△ABC的三边a、b、c满足b2＝ac，且边b所对的角为x，求此时函数f(x)的值域．
解 (1)f(x)＝sin 2ωx－(cos 2ωx＋1)
＝sin(2ωx－)－，
由f(x)的周期T＝＝，得ω＝2，
∴f(x)＝sin(4x－)－，
由2kπ－≤4x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得－＋≤x≤＋(k∈Z)，
即f(x)的单调递增区间是
[－＋，＋](k∈Z)．
(2)由题意，得cos x＝≥＝，
又∵0
∴－<4x－≤，
∴－∴－1∴f(x)的值域为(－1，]．
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
1． 电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)
(A>0，ω>0,0<φ<)的图象如右图所示，则当t＝秒时，
电流强度是 ( )
A．－5安 B．5安
C．5安 D．10安
答案 A
解析 由图象知A＝10，＝－＝，
∴ω＝＝100π.∴I＝10sin(100πt＋φ)．
为五点中的第二个点，∴100π×＋φ＝.
∴φ＝.∴I＝10sin，
当t＝秒时，I＝－5安．
2． (2012·上海)若Sn＝s ( http: / / www.21cnjy.com )in ＋sin ＋…＋sin (n∈N＋)，则在S1，S2，…，S100中，正数的个数是 ( )
A．16 B．72 C．86 D．100
答案 C
解析 分析Sn的正负规律，从而求解．
易知S1>0，S2>0，S3>0，S4>0，S5>0，S6>0，S7>0.
S8＝sin ＋sin ＋…＋sin ＋sin
＝sin ＋sin ＋…＋sin >0，
S9＝sin ＋sin ＋…＋sin >0，
S10＝sin ＋…＋sin >0，
S11＝sin ＋sin ＋sin >0，
S12＝sin ＋sin >0，
S13＝sin ＝0，
S14＝sin ＋sin ＝0，
∴S1，S2，…，S100中，
S13＝0，S14＝0，S27＝0，S28＝0，S41＝0，S42＝0，S55＝0，
S56＝0，S69＝0，S70＝0，S83＝0，S84＝0，S97＝0，S98＝0，共14个．
∴在S1，S2，…，S100中，正数的个数是100－14＝86(个)．
3． 已知函数f(x)＝si ( http: / / www.21cnjy.com )n(ωx＋φ) (ω>0，－≤φ≤)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2，且过点，则函数解析式f(x)＝________________.
答案 sin
解析 据已知两个相邻最高及最低点距离为 ( http: / / www.21cnjy.com )2，可得＝2，解得T＝4，故ω＝＝，即f(x)＝sin，又函数图象过点，故f(2)＝sin(π＋φ)＝－sin φ＝－，又－≤φ≤，解得φ＝，故f(x)＝sin.
4． 已知函数f(x)＝sin(2x＋)＋sin(2x－)－cos 2x＋a(a∈R，a为常数)．
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；
(2)若函数f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位后，得到函数g(x)的图象关于y轴对称，求实数m的最小值．
解 (1)f(x)＝sin(2x＋)＋sin(2x－)－cos 2x＋a
＝sin 2x－cos 2x＋a＝2sin(2x－)＋a.
∴f(x)的最小正周期为＝π，
当2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)单调递增，
故所求函数f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
(2)函数f(x)的图象向左平移m(m>0 ( http: / / www.21cnjy.com ))个单位后得g(x)＝2sin[2(x＋m)－]＋a要使g(x)的图象关于y轴对称，只需2m－＝kπ＋(k∈Z)．
即m＝＋(k∈Z)，所以m的最小值为.
5． (2012·湖南)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0<φ<)的部分
图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数g(x)＝f－f的单调递增区间．
解 (1)由题设图象知，周期T＝2＝π，
所以ω＝＝2.因为点在函数图象上，
所以Asin＝0，即sin＝0.
又因为0<φ<，所以<＋φ<.
从而＋φ＝π，即φ＝.
又点(0,1)在函数图象上，所以Asin ＝1，解得A＝2.
故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin.
(2)g(x)＝2sin－2sin
＝2sin 2x－2sin
＝2sin 2x－2
＝sin 2x－cos 2x＝2sin.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以函数g(x)的单调递增区间是，k∈Z.HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
§4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数
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1． 角的概念
(1)角的分类(按旋转的方向)：
角
(2)象限角：
象限角 象限角α的集合表示
第一象限角 {α|k·360°<α第二象限角 {α|k·360°＋90°<α第三象限角 {α|k·360°＋180°<α第四象限角 {α|k·360°＋270°<α(3)终边相同的角
所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2． 弧度制
(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零．
(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝ rad,1 rad＝°.
(3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝lr＝|α|·r2.
3． 任意角的三角函数的定义
α为任意角，α的终边上任意一点P(异于原点)的坐标(x，y)，它与原点的距离|OP|＝r＝ (r>0)，
则sin α＝；cos α＝；tan α＝；
cot α＝；sec α＝；csc α＝.
4． 三角函数在各象限的符号规律及三角函数线
(1)三角函数在各象限的符号：
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
sin α，csc α ＋ ＋ － －
cos α，sec α ＋ － － ＋
tan α，cot α ＋ － ＋ －
(2)三角函数线：
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正弦线 如图，角α的正弦线为.
余弦线 如图，角α的余弦线为.
正切线 如图，角α的正切线为.
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)小于90°的角是锐角． ( × )
(2)锐角是第一象限角，反之亦然． ( × )
(3)终边相同的角的同一三角函数值相等． ( √ )
(4)点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α终边在第二象限． ( √ )
(5)α∈(0，)，则tan α>α>sin α. ( √ )
(6)α为第一象限角，则sin α＋cos α>1. ( √ )
2． 下列与的终边相同的角的表达式中正确的是 ( )
A．2kπ＋45° (k∈Z) B．k·360°＋π (k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋ (k∈Z)
答案 C
解析 与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确．
3． 已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是 ( )
A．1 B．4
C．1或4 D．2或4
答案 C
解析 设此扇形的半径为r，弧长为l，
则解得或
从而α＝＝＝4或α＝＝＝1.
4． 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________.
答案 －8
解析 因为sin θ＝＝－，
所以y<0，且y2＝64，所以y＝－8.
5． 函数y＝的定义域为________．
答案 (k∈Z)
解析 ∵2cos x－1≥0，
∴cos x≥.
由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示)．
∴x∈(k∈Z)．
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题型一 角及其表示
例1 (1)终边在直线y＝x上的角的集合是________．
(2)如果α是第三象限角，那么角2α的终边落在________．
思维启迪 (1)利用终边相同的角的集合进行表示，注意对结果进行合并；
(2)根据α的范围求2α的范围，再确定终边位置．
答案 (1){α|α＝kπ＋，k∈Z}
(2)第一、二象限或y轴的非负半轴上
解析 (1)∵在(0，π)内终边在直线y＝x上的角是，
∴终边在直线y＝x上的角的集合为{α|α＝＋kπ，k∈Z}．
(2)∵2kπ＋π<α<2kπ＋π，k∈Z，
∴4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π，k∈Z.
∴角2α的终边落在第一、二象限或y轴的非负半轴上．
思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可 ( http: / / www.21cnjy.com )以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．
(2)利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝ ( http: / / www.21cnjy.com )2kπ＋α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限．
(1)在直角坐标平面内，对于始边为x轴非负半轴的角，下列命题中正确的是 ( )
A．第一象限中的角一定是锐角
B．终边相同的角必相等
C．相等的角终边一定相同
D．不相等的角终边一定不同
(2)已知角α＝45°，在区间[－720°，0°]内与角α有相同终边的角β＝________.
答案 (1)C (2)－675°或－315°
解析 (1)第一象限角是满足2kπ<α<2 ( http: / / www.21cnjy.com )kπ＋，k∈Z的角，当k≠0时，它都不是锐角，与角α终边相同的角是2kπ＋α，k∈Z；当k≠0时，它们都与α不相等，亦即终边相同的角可以不相等，但不相等的角终边可以相同．
(2)由终边相同的角关系知β＝k·360°＋45°，k∈Z，
∴取k＝－2，－1，得β＝－675°或β＝－315°.
题型二 三角函数的概念
例2 (1)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ等于 ( )
A．－ B．－ C. D.
(2)若sin αtan α<0，且<0，则角α是 ( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
思维启迪 (1)由于三角函 ( http: / / www.21cnjy.com )数值与选择终边上的哪个点没有关系，因此知道了终边所在的直线，可在这个直线上任取一点，然后按照三角函数的定义来计算，最后用倍角公式求值．
(2)可以根据各象限内三角函数值的符号判断．
答案 (1)B (2)C
解析 (1)取终边上一点(a,2a)，a≠0，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±，故cos 2θ＝2cos2θ－1＝－.
(2)由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，从而α为第二或第三象限角．
由<0可知cos α，tan α异号，从而α为第三或第四象限角，故α为第三象限角．
思维升华 (1)利用三角函数的定义，求 ( http: / / www.21cnjy.com )一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r.
(2)根据三角函数定义中x、y的符号来确定各象限内三角函数的符号，理解并记忆：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．
(1)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为
( )
A．－ B. C．－ D.
(2)若θ是第二象限角，则________0.(判断大小)
答案 (1)B (2)<
解析 (1)∵r＝，∴cos α＝＝－，
∴m>0，∴＝，即m＝.
(2)∵θ是第二象限角，∴－1∴sin(cos θ)<0，cos(sin θ)>0，∴<0.
题型三 扇形的弧长、面积公式的应用
例3 已知一扇形的圆心角为α (α>0)，所在圆的半径为R.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
(2)若扇形的周长是一定值C (C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
思维启迪 (1)弓形面积可用扇形面积与三角形面积相减得到；(2)建立关于α的函数．
解 (1)设弧长为l，弓形面积为S弓，则
α＝60°＝，R＝10，l＝×10＝ (cm)，
S弓＝S扇－S△＝××10－×102×sin
＝π－＝50 (cm2)．
(2)扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝，
∴S扇＝α·R2＝α·2
＝α·＝·≤.
当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值.
思维升华 涉及弧长和扇形面积的计算 ( http: / / www.21cnjy.com )时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示．弧长和扇形面积公式：l＝|α|R，S＝|α|R2.
已知扇形的周长为4 cm，当它的半径为________和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________．
答案 1 cm 2 1 cm2
解析 设扇形圆心角为α，半径为r，则
2r＋|α|r＝4，∴|α|＝－2.
∴S扇形＝|α|·r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1，
∴当r＝1时(S扇形)max＝1，此时|α|＝2.
数形结合思想在三角函数中的应用
典例：(12分)(1)求函数y＝lg(3－4sin2x)的定义域；
(2)设θ是第二象限角，试比较sin ，cos ，tan 的大小．
思维启迪 (1)求定义域，就是求使3－4sin2x>0的x的范围．用三角函数线求解．
(2)比较大小，可以从以下几个角度观察：
①θ是第二象限角，是第几象限角？ ( http: / / www.21cnjy.com )首先应予以确定．②sin ，cos ，tan 不能求出确定值，但可以画出三角函数线．③借助三角函数线比较大小．
规范解答
解 (1)∵3－4sin2x>0，
∴sin2x<，
∴－利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，
∴x∈(k∈Z)． [4分]
(2)∵θ是第二象限角，
∴＋2kπ<θ<π＋2kπ，k∈Z，
∴＋kπ<<＋kπ，k∈Z，
∴是第一或第三象限的角． [6分]
(如图阴影部分)，结合单位圆上的三角函数线可得：
①当是第一象限角时，
sin ＝AB，cos ＝OA，tan ＝CT，
从而得，cos ②当是第三象限角时，
sin ＝EF，cos ＝OE，tan ＝CT，
得sin 综上可得，当在第一象限时，cos 当在第三象限时，sin 温馨提醒 (1)第(1)小题的实质是解一个简 ( http: / / www.21cnjy.com )单的三角不等式，可以用三角函数图象，也可以用三角函数线．但用三角函数线更方便．(2)第(2)小题比较大小，由于没有给出具体的角度，所以用图形可以更直观的表示．(3)本题易错点：①不能确定所在的象限；②想不到应用三角函数线．原因在于概念理解不透，方法不够灵活.
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方法与技巧
1． 在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点．|OP|＝r一定是正值．
2． 三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
3． 在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．
失误与防范
1． 注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．
2． 角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
3． 已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．
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A组 专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1． α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在 ( )
A．第一或第三象限 B．第一或第二象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
答案 A
解析 45°角在第一象限，角α和45°角终边相同或互为反向延长线，∴角α在第一或第三象限．
2． 若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为
( )
A. B. C. D．2
答案 C
解析 设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为r，
所以r＝α·r，∴α＝.
3． 角α的终边过点P(－1,2)，则sin α等于 ( )
A. B. C．－ D．－
答案 B
解析 由三角函数的定义，
得sin α＝＝.
4． 若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是 ( )
A．sin α＋cos α<0 B．tan α－sin α<0
C．cos α－tan α<0 D．tan αsin α<0
答案 B
解析 在第三象限，sin α<0，cos α<0，tan α>0，则可排除A、C、D，故选B.
5． 给出下列命题：
①第二象限角大于第一象限角；
②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；
④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；
⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角．
其中正确命题的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 由于第一象限角370 ( http: / / www.21cnjy.com )°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin ＝sin ，但与的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．
二、填空题
6． 设α为第二象限角，其终边上一点为P(m，)，且cos α＝m，则sin α的值为________．
答案
解析 设P(m，)到原点O的距离为r，
则＝cos α＝m，
∴r＝2，sin α＝＝＝.
7． 已知角α的终边上一点的坐标为(sin ，cos )，则角α的最小正值为________．
答案 π
解析 ∵tan α＝＝＝－，
且sin >0，cos <0，
∴α在第四象限，由tan α＝－，得α的最小正值为π.
8． y＝ 的定义域为________．
答案 {x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}
解析 ∵sin x≥，作直线y＝交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为
{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}．
三、解答题
9． 已知角θ的终边经过点P(－，m) (m≠0)且sin θ＝m，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．
解 由题意，得r＝，
所以sin θ＝＝m.
因为m≠0，所以m＝±，故角θ是第二或第三象限角．
当m＝时，r＝2，点P的坐标为(－，)，角θ是第二象限角，
所以cos θ＝＝＝－，
tan θ＝＝＝－；
当m＝－时，r＝2，点P的坐标为(－，－)，角θ是第三象限角，
所以cos θ＝＝＝－，
tan θ＝＝＝.
10．一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.
解 设圆的半径为r cm，弧长为l cm，
则解得
∴圆心角α＝＝2弧度．
如图，过O作OH⊥AB于H，则∠AOH＝1弧度．
∴AH＝1·sin 1＝sin 1(cm)，
∴AB＝2sin 1(cm)．
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
1． 设集合M＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}，那么( )
A．M＝N B．M N
C．N M D．M∩N＝
答案 B
解析 方法一 由于M＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，
N＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，
显然有M N.
方法二 由于集合M中，x＝×180°＋45°＝k×90°＋45°
＝45°×(2k＋1)，2k＋1是奇数；
而集合N中，x＝×180°＋45°＝k×45°＋45°＝(k＋1)×45°，k＋1是整数，因此必有M N.
2． 已知角α＝2kπ－(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝＋＋的值为
( )
A．1 B．－1 C．3 D．－3
答案 B
解析 由α＝2kπ－(k∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，
又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，
所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0.
所以y＝－1＋1－1＝－1.
3． 函数y＝＋ 的定义域是______________．
答案 (k∈Z)
解析 由题意知即
∴x的取值范围为＋2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z.
4． 已知扇形AOB的周长为8.
(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.
解 设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，
(1)由题意可得
解得或
∴α＝＝或α＝＝6.
(2)∵2r＋l＝8，∴S扇＝lr＝l·2r
≤()2＝×()2＝4，
当且仅当2r＝l，即α＝＝2时，扇形面积取得最大值4.
∴r＝2，∴弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1.
5． 已知sin α<0，tan α>0.
(1)求α角的集合；
(2)求终边所在的象限；
(3)试判断tan sin cos 的符号．
解 (1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y轴的负半轴上；
由tan α>0，知α在第一、三象限，
故α角在第三象限，其集合为
{α|(2k＋1)π<α<2kπ＋，k∈Z}．
(2)由(2k＋1)π<α<2kπ＋，k∈Z，
得kπ＋<故终边在第二、四象限．
(3)当在第二象限时，tan <0，sin >0，cos <0，
所以tan sin cos 取正号；
当在第四象限时，tan <0，sin <0，cos >0，
所以tan sin cos 也取正号．
因此，tan sin cos 取正号．§4.6 正弦定理、余弦定理及解三角形
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1． 正弦、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos_A；b2＝c2＋a2－2cacos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C
变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；(3)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝；cos B＝；cos C＝
2. S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.
3．在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角
或直角图形
关系式 a＝bsin A bsin Ab
解的个数 一解 两解 一解 一解
4. 实际问题中的常用角
(1)仰角和俯角
与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．
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(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．
(3)方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在△ABC中，A>B必有sin A>sin B． ( √ )
(2)若满足条件C＝60°，AB＝，BC＝a的△ABC有两个，那么a的取值范围是(，2)． ( √ )
(3)若△ABC中，acos B＝bcos A，则△ABC是等腰三角形． ( √ )
(4)在△ABC中，tan A＝a2，tan B＝b2，那么△ABC是等腰三角形． ( × )
(5)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.
( × )
2． (2013·湖南)在锐角△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2asin B＝b，则角A等于 ( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 在△ABC中，利用正弦定理得
2sin Asin B＝sin B，∴sin A＝.
又A为锐角，∴A＝.
3． (2013·陕西)设 ( http: / / www.21cnjy.com )△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为 ( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
答案 B
解析 由bcos C＋ccos B＝asin ( http: / / www.21cnjy.com ) A，得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，即sin(B＋C)＝sin2A，所以sin A＝1，由04． 在△ABC中，B＝60°，AC＝，则AB＋2BC的最大值为________．
答案 2
解析 由正弦定理知＝＝，
∴AB＝2sin C，BC＝2sin A.
又A＋C＝120°，∴AB＋2BC＝2sin C＋4sin(120°－C)
＝2(sin C＋2sin 120°cos C－2cos 120°sin C)
＝2(sin C＋cos C＋sin C)
＝2(2sin C＋cos C)＝2sin(C＋α)，
其中tan α＝，α是第一象限角，
由于0°＜C＜120°，且α是第一象限角，
因此AB＋2BC有最大值2.
5． 一船以每小时15 km的速度向东 ( http: / / www.21cnjy.com )航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为______ km.
答案 30
解析 如图所示，依题意有
AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，
在△AMB中，
由正弦定理得＝，解得BM＝30 (km)．
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题型一 正、余弦定理的简单应用
例1 (1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，则A等于 ( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A ( http: / / www.21cnjy.com )，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C，则sin B＋sin C的最大值为 ( )
A．0 B．1 C. D.
思维启迪 (1)由sin C＝2sin B利用正弦定理得b、c的关系，再利用余弦定理求A.
(2)要求sin B＋sin C的最大值，显 ( http: / / www.21cnjy.com )然要将角B，C统一成一个角，故需先求角A，而题目给出了边角之间的关系，可对其进行化边处理，然后结合余弦定理求角A.
答案 (1)A (2)B
解析 (1)∵sin C＝2sin B，由正弦定理得c＝2b，
∴cos A＝＝＝＝，
又A为三角形的内角，∴A＝30°.
(2)已知2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C，
根据正弦定理，得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，
即a2＝b2＋c2＋bc.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
故cos A＝－，又A为三角形的内角，∴A＝120°.
故sin B＋sin C＝sin B＋sin(60°－B)＝cos B＋sin B＝sin(60°＋B)，
故当B＝30°时，sin B＋sin C取得最大值1.
思维升华 (1)在解有关三角形的题目时 ( http: / / www.21cnjy.com )，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．
(1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C等于 ( )
A. B．－ C．± D.
(2)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则角A的大小为________．
答案 (1)A (2)
解析 (1)由正弦定理＝，
将8b＝5c及C＝2B代入得＝，
化简得＝，
则cos B＝，
所以cos C＝cos 2B＝2cos2B－1＝2×()2－1＝，故选A.
(2)∵A＋C＝2B且A＋B＋C＝π，∴B＝.
由正弦定理知：sin A＝＝，
又a题型二 正弦定理、余弦定理的综合应用
例2 (2012·课标全国)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acos C＋asin C－b－c＝0.
(1)求A；
(2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c.
思维启迪 利用正弦定理将边转化为角，再利用和差公式可求出A；面积公式和余弦定理相结合，可求出b，c.
解 (1)由acos C＋asin C－b－c＝0及正弦定理得sin Acos C＋sin Asin C－sin B－sin C＝0.
因为B＝π－A－C，
所以sin Asin C－cos Asin C－sin C＝0.
由于sin C≠0，所以sin＝.
又0(2)△ABC的面积S＝bcsin A＝，故bc＝4.
而a2＝b2＋c2－2bccos A，故b2＋c2＝8.
解得b＝c＝2.
思维升华 有关三角形面积问题的求解方法：
(1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化．
(2)合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、二倍角公式等．
在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.
(1)若c＝2，C＝，且△ABC的面积为，求a，b的值；
(2)若sin C＋sin(B－A)＝sin 2A，试判断△ABC的形状．
解 (1)∵c＝2，C＝，
∴由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C得a2＋b2－ab＝4.
又∵△ABC的面积为，∴absin C＝，ab＝4.
联立方程组解得a＝2，b＝2.
(2)由sin C＋sin(B－A)＝sin 2A，
得sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sin Acos A，
即2sin Bcos A＝2sin Acos A，∴cos A·(sin A－sin B)＝0，
∴cos A＝0或sin A－sin B＝0，
当cos A＝0时，∵0∴A＝，△ABC为直角三角形；
当sin A－sin B＝0时，得sin B＝sin A，
由正弦定理得a＝b，
即△ABC为等腰三角形．
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
题型三 解三角形的实际应用
例3 某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．
思维启迪 本题中所涉及的路程在不断变化，但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等，先设出所用时间t，找出等量关系，然后解三角形．
解 如图所示，根据题意可 ( http: / / www.21cnjy.com )知AC＝10，∠ACB＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h，并在B处与渔轮相遇，则AB＝21t，BC＝9t，在△ABC中，根据余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 120°，所以212t2＝102＋92t2＋2×10×9t×，即360t2－90t－100＝0，解得t＝或t＝－(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为 h．此时AB＝14，BC＝6.
在△ABC中，根据正弦定理得＝，
所以sin∠CAB＝＝，
即∠CAB≈21.8°或∠CAB≈158.2°(舍去)．
即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.
所以舰艇以66.8°的方位角航行，需 h才能靠近渔轮．
思维升华 求解测量问题的关键是把测量目 ( http: / / www.21cnjy.com )标纳入到一个可解三角形中，三角形可解，则至少要知道这个三角形的一条边长．解题中注意各个角的含义，根据这些角把需要的三角形的内角表示出来，注意不要把角的含义弄错，不要把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错．
在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为15°，如图所示，向山顶前进100 m后．又从B点测得斜度为45°，设建筑物的高为50 m．求此山对于地平面的斜度θ的余弦值．
解 在△ABC中，∠BAC＝15°，∠CBA＝180°－45°＝135°，AB＝100 m，
所以∠ACB＝30°.
由正弦定理，得＝，即BC＝.
在△BCD中，因为CD＝50，BC＝，∠CBD＝45°，∠CDB＝90°＋θ，
由正弦定理，得＝，
解得cos θ＝－1.
因此，山对地面的斜度的余弦值为－1.
代数式化简或三角运算不当致误
典例：(12分)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断△ABC的形状．
易错分析 (1)从两个角的正弦值相等直接得到两角相等，忽略两角互补情形；
(2)代数运算中两边同除一个可能为0的式子，导致漏解；
(3)结论表述不规范．
规范解答
解 ∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，
∴b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]，
∴2sin Acos B·b2＝2cos Asin B·a2，
即a2cos Asin B＝b2sin Acos B． [4分]
方法一 由正弦定理知a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，
∴sin2Acos Asin B＝sin2Bsin Acos B，
又sin A·sin B≠0，∴sin Acos A＝sin Bcos B，
∴sin 2A＝sin 2B. [8分]
在△ABC中，0<2A<2π，0<2B<2π，
∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝.
∴△ABC为等腰或直角三角形． [12分]
方法二 由正弦定理、余弦定理得：
a2b＝b2a，
∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，
∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，
∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0.
即a＝b或a2＋b2＝c2.
∴△ABC为等腰或直角三角形． [12分]
温馨提醒 (1)判断三角形形状要对所给的边角关系式进行转化，使之变为只含边或只含角的式子然后判断；注意不要轻易两边同除以一个式子．
(2)在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响.
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方法与技巧
1．应熟练掌握和运用内角和定理：A＋B＋C＝π，＋＋＝中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．
2．正、余弦定理的公式应注意 ( http: / / www.21cnjy.com )灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin2A＝sin2B＋sin2C－2sin B·sin C·cos A，可以进行化简或证明．
3．合理利用换元法、代入法解决实际问题．
失误与防范
1．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其
他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论．
2．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制．
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A组 专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1． 在△ABC，已知∠A＝45°，AB＝，BC＝2，则∠C等于 ( )
A．30° B．60° C．120° D．30°或150°
答案 A
解析 在△ABC中，＝，∴＝，
∴sin C＝，又AB2． △ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
答案 A
解析 依题意得所以sin(A＋B)即sin Bcos A＋cos Bsin A－sin Bcos A<0，
所以cos Bsin A<0.
又sin A>0，于是有cos B<0，B为钝角，△ABC是钝角三角形．
3． (2012·湖南)△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于 ( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 设AB＝a，则由AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B知7＝a2＋4－2a，即a2－2a－3＝0，∴a＝3(负值舍去)．
∴BC边上的高为AB·sin B＝3×＝.
4． (2013·辽宁) ( http: / / www.21cnjy.com )在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a＞b，则∠B等于 ( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由条件得sin Bcos C＋sin Bcos A＝，
由正弦定理，得sin Acos C＋sin Ccos A＝，
∴sin(A＋C)＝，从而sin B＝，
又a＞b，且B∈(0，π)，因此B＝.
5． 在△ABC中，a、 ( http: / / www.21cnjy.com )b、c分别是角A、B、C的对边，已知b2＝c(b＋2c)，若a＝，cos A＝，则△ABC的面积等于 ( )
A. B. C. D．3
答案 C
解析 ∵b2＝c(b＋2c)，∴b2－bc－2c2＝0，
即(b＋c)·(b－2c)＝0，∴b＝2c.
又a＝，cos A＝＝，解得c＝2，b＝4.
∴S△ABC＝bcsin A＝×4×2× ＝.
二、填空题
6． (2013·安徽)设△ABC的内角A， ( http: / / www.21cnjy.com )B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝________.
答案
解析 由已知条件和正弦定理得：3a＝5b，且b＋c＝2a，
则a＝，c＝2a－b＝
cos C＝＝－，又07． 在△ABC中，若b＝5，∠B＝，tan A＝2，则a＝________.
答案 2
解析 由tan A＝2得sin A＝2cos A.
又sin2A＋cos2A＝1得sin A＝.
∵b＝5，∠B＝，
根据正弦定理，有＝，
∴a＝＝＝2.
8． 甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望 ( http: / / www.21cnjy.com )甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________________．
答案 20米、米
解析 如图，依题意有甲楼的高度为AB＝20· ( http: / / www.21cnjy.com )tan 60°＝20(米)，又CM＝DB＝20(米)，∠CAM＝60°，所以AM＝CM·＝(米)，故乙楼的高度为CD＝20－＝(米)．
三、解答题
9． (2013·北京)在△ABC中，a＝3，b＝2，∠B＝2∠A.
(1)求cos A的值；
(2)求c的值．
解 (1)在△ABC中，由正弦定理
＝ ＝＝，
∴cos A＝.
(2)由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccos A 32＝(2)2＋c2－2×2c×，
则c2－8c＋15＝0.
∴c＝5或c＝3.
当c＝3时，a＝c，∴A＝C.
由A＋B＋C＝π，知B＝，与a2＋c2≠b2矛盾．
∴c＝3舍去．故c的值为5.
10．(2013·江西)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0.
(1)求角B的大小；
(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．
解 (1)由已知得－cos(A＋B)＋cos Acos B－sin Acos B＝0，
即有sin Asin B－sin Acos B＝0，
因为sin A≠0，所以sin B－cos B＝0，
即cos B＝sin B.
因为0所以sin B>0，
所以cos B>0，
所以tan B＝，
即B＝.
(2)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，
因为a＋c＝1，cos B＝，
所以b2＝(a＋c)2－3ac≥(a＋c)2－32
＝(a＋c)2＝，
∴b≥.
又a＋c>b，∴b<1，∴≤b<1.
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
1． △ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝a，则
等于 ( )
A．2 B．2 C. D.
答案 D
解析 ∵asin Asin B＋bcos2A＝a，
∴sin Asin Asin B＋sin Bcos2A＝sin A，
∴sin B＝sin A，∴＝＝.
2． 有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )
A．1 B．2sin 10°
C．2cos 10° D．cos 20°
答案 C
解析 如图，∠ABC＝20°，
AB＝1，∠ADC＝10°，
∴∠ABD＝160°.
在△ABD中，由正弦定理得＝，
∴AD＝AB·＝＝2cos 10°.
3． (2013·浙江)在△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中点．若sin∠BAM＝，则sin∠BAC＝________.
答案
解析 因为sin∠BAM＝，所以cos∠BAM＝.如图，在△ABM中，利用正弦定理，得＝，所以＝＝＝.
在Rt△ACM中，有＝sin∠CAM＝sin(∠BAC－∠BAM)．由题意知BM＝CM，
所以＝sin(∠BAC－∠BAM)．
化简，得2sin∠BACcos∠BAC－cos2∠BAC＝1.
所以＝1，解得tan∠BAC＝.
再结合sin2∠BAC＋cos2∠BAC＝1，∠BAC为锐角可解得sin∠BAC＝.
4． (2012·江西)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A＝，bsin－csin＝a.
(1)求证：B－C＝；
(2)若a＝，求△ABC的面积．
(1)证明 由bsin－csin＝a，应用正弦定理，得sin Bsin－sin Csin＝sin A，
sin B－sin C
＝，
整理得sin Bcos C－cos Bsin C＝1，
即sin(B－C)＝1.
由于0(2)解 B＋C＝π－A＝，因此B＝，C＝.
由a＝，A＝，
得b＝＝2sin ，c＝＝2sin ，
所以△ABC的面积S＝bcsin A＝sin sin
＝cos sin ＝.
5． 已知△ABC的三个内 ( http: / / www.21cnjy.com )角A，B，C成等差数列，角B所对的边b＝，且函数f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x－在x＝A处取得最大值．
(1)求f(x)的值域及周期；
(2)求△ABC的面积．
解 (1)因为A，B，C成等差数列，
所以2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，
所以B＝，即A＋C＝.
因为f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x－
＝(2sin2x－1)＋sin 2x＝sin 2x－cos 2x
＝2sin，
所以T＝＝π.
又因为sin∈[－1,1]，所以f(x)的值域为[－2,2]．
(2)因为f(x)在x＝A处取得最大值，
所以sin＝1.
因为0故当2A－＝时，f(x)取到最大值，
所以A＝π，所以C＝.
由正弦定理，知＝ c＝.
又因为sin A＝sin＝，所以S△ABC＝bcsin A＝.§4.4 三角函数的图象和性质
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1． 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)．
余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1)．
2． 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数性质 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
定义域 R R {x|x≠kπ＋，k∈Z}
图象 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
值域 [－1,1] [－1,1] R
对称性 对称轴：x＝kπ＋(k∈Z)；对称中心：(kπ，0)(k∈Z) 对称轴：x＝kπ(k∈Z)；对称中心：(kπ＋，0) (k∈Z) 对称中心：(k∈Z)
周期 2π 2π π
单调性 单调增区间[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)；单调减区间[2kπ＋，2kπ＋] (k∈Z) 单调增区间[2kπ－π，2kπ] (k∈Z)；单调减区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z) 单调增区间(kπ－，kπ＋)(k∈Z)
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)常数函数f(x)＝a是周期函数，它没有最小正周期． ( √ )
(2)y＝sin x在x∈[0，]上是增函数． ( √ )
(3)y＝cos x在第一、二象限上是减函数． ( × )
(4)y＝tan x在整个定义域上是增函数． ( × )
(5)y＝ksin x＋1(x∈R)，则ymax＝k＋1. ( × )
(6)若sin x>，则x>. ( × )
2． (2012·福建)函数f(x)＝sin的图象的一条对称轴是 ( )
A．x＝ B．x＝ C．x＝－ D．x＝－
答案 C
解析 方法一 ∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点，
故令x－＝kπ＋，k∈Z，∴x＝kπ＋，k∈Z.
取k＝－1，则x＝－.
方法二 用验证法．
x＝时，y＝sin＝0，不合题意，排除A；
x＝时，y＝sin＝，不合题意，排除B；
x＝－时，y＝sin＝－1，符合题意，C项正确；
x＝－时，y＝sin＝－，不合题意，故D项也不正确．
3． 若函数f(x)＝sin ωx (ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω等于 ( )
A. B. C．2 D．3
答案 B
解析 ∵f(x)＝sin ωx(ω>0)过原点，
∴当0≤ωx≤，即0≤x≤时，y＝sin ωx是增函数；
当≤ωx≤，即≤x≤时，y＝sin ωx是减函数．
由f(x)＝sin ωx (ω>0)在上单调递增，
在上单调递减知，＝，∴ω＝.
4． (2013·湖北)将函数y＝cos x＋sin x(x∈R) 的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是 ( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 y＝cos x＋sin x＝2sin(x＋)向左平移m个单位长度后得到y＝2sin(x＋＋m)，它关于y轴对称可得
sin(＋m)＝±1，
∴＋m＝kπ＋，k∈Z，∴m＝kπ＋，k∈Z，
∵m>0，∴m的最小值为.
5． 函数y＝lg sin 2x＋的定义域为________________．
答案 {x|－3≤x<－或0解析 由，
得
∴－3≤x<－或0∴函数y＝lg sin 2x＋的定义域为
{x|－3≤x<－或0HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
题型一 求三角函数的定义域和最值
例1 (1)(2012·山东)函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )
A．2－ B．0 C．－1 D．－1－
(2)函数y＝的定义域为__________．
思维启迪 求函数的定义域可利用三角函数的图象或数轴；求函数最值或值域时要利用图象、三角变换、二次函数等知识．
答案 (1)A (2){x|x≠＋kπ且x≠＋kπ，k∈Z}
解析 (1)利用三角函数的性质先求出函数的最值．
∵0≤x≤9，∴－≤x－≤，
∴sin∈.
∴y∈，∴ymax＋ymin＝2－.
(2)要使函数有意义，必须有，
即
故函数的定义域为{x|x≠＋kπ且x≠＋kπ，k∈Z}．
思维升华 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：
①形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；
②形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
③形如y＝asin xcos ( http: / / www.21cnjy.com )x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
(1)函数y＝lg(sin x)＋的定义域为________．
(2)函数y＝sin2x＋sin x－1的值域为 ( )
A．[－1,1] B．[－，－1]
C．[－，1] D．[－1，]
答案 (1){x|2kπ解析 (1)要使函数有意义必须有
即解得(k∈Z)，
∴2kπ∴函数的定义域为{x|2kπ(2)y＝sin2x＋sin x－1，令t＝sin x，则有y＝t2＋t－1，t∈[－1,1]，
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画出函数图象如图所示，从图象可以看出，
当t＝－及t＝1时，函数取最值，代入y＝t2＋t－1，
可得y∈[－，1]．
题型二 三角函数的单调性、周期性
例2 写出下列函数的单调区间及周期：
(1)y＝sin；(2)y＝|tan x|.
思维启迪 (1)化为y＝－sin，再求单调区间及周期．(2)由y＝tan x的图象→y＝|tan x|的图象→求单调性及周期．
解 (1)y＝－sin，
它的增区间是y＝sin的减区间，
它的减区间是y＝sin的增区间．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
故所给函数的减区间为，k∈Z；
增区间为，k∈Z.
最小正周期T＝＝π.
(2)观察图象可知，y＝|tan x|的增区间是，k∈Z，减区间是，k∈Z.
最小正周期T＝π.
思维升华 (1)求形如y＝Asin ( http: / / www.21cnjy.com )(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中，ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
(2)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”．
(3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
(2013·阜新模拟)求函数y＝sin＋cos的周期、单调区间及最大、最小值．
解 ∵＋＝，
∴cos＝cos
＝cos＝sin.
∴y＝2sin，周期T＝＝.
当－＋2kπ≤4x＋≤＋2kπ (k∈Z)时，函数单调递增，
∴函数的递增区间为 (k∈Z)．
当＋2kπ≤4x＋≤＋2kπ (k∈Z)时，函数单调递减，
∴函数的递减区间为(k∈Z)．
当x＝＋ (k∈Z)时，ymax＝2；
当x＝－＋ (k∈Z)时，ymin＝－2.
题型三 三角函数的奇偶性和对称性
例3 (1)已知f(x)＝sin x＋cos x(x∈R)，函数y＝f(x＋φ) 的图象关于直线x＝0对 称，则φ的值为________．
(2)如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为( )
A. B. C. D.
答案 (1) (2)A
解析 (1)f(x)＝2sin，
y＝f(x＋φ)＝2sin图象关于x＝0对称，
即f(x＋φ)为偶函数．
∴＋φ＝＋kπ，k∈Z，φ＝kπ＋，k∈Z，
又∵|φ|≤，∴φ＝.
(2)由题意得3cos＝3cos
＝3cos＝0，
∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，
∴φ＝kπ－，k∈Z，取k＝0，得|φ|的最小值为.
思维升华 若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，f(x)取得最大值或最小值．
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，f(x)＝0.
如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ (k∈Z)，求x.
如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ (k∈Z)即可．
(1)若函数f(x)＝sin ax＋cos ax(a>0)的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为 ( )
A．(－，0) B．(0,0)
C．(－，0) D．(，0)
(2)设函数y＝sin(ωx ( http: / / www.21cnjy.com )＋φ)(ω>0，φ∈(－，))的最小正周期为π，且其图象关于直线x＝对称，则在下面四个结论：①图象关于点(，0)对称；②图象关于点(，0)对称；③在[0，]上是增函数；④在[－，0]上是增函数中，所有正确结论的编号为________．
答案 (1)C (2)②④
解析 (1)由条件得f(x)＝sin(ax＋)，
又函数的最小正周期为1，故＝1，∴a＝2π，
故f(x)＝sin(2πx＋)．
将x＝－代入得函数值为0.
(2)∵T＝π，∴ω＝2.
又2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝kπ＋(k∈Z)．
∵φ∈(－，)，∴φ＝，∴y＝sin(2x＋)，
由图象及性质可知②④正确．
三角函数的单调性、对称性
典例：(20分)(1)已知ω>0，函数f(x)＝sin(ωx＋)在(，π)上单调递减，则ω的取值范围是( )
A．[，] B．[，]
C．(0，] D．(0,2]
(2)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ) ( http: / / www.21cnjy.com )＋b对任意实数x有f(x＋)＝f(－x)成立，且f()＝1，则实数b的值为 ( )
A．－1 B．3
C．－1或3 D．－3
(3)(2012·课标全国)已知ω>0,0 ( http: / / www.21cnjy.com )<φ<π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ等于 ( )
A. B.
C. D.
(4)函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0且| ( http: / / www.21cnjy.com )φ|<)在区间[，]上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为 ( )
A. B.
C. D.
思维启迪 (1)(，π)为函数f(x)某个单调减区间的子集；(2)由f(x＋)＝f(－x)可得函数的对称轴，应用函数在对称轴处的性质求解即可；(3)f(x)＝sin(ωx＋φ)图象相邻两条对称轴之间的距离是；(4)可结合图象分析函数的单调性，周期性确定ω，φ.
解析 (1)由由题意知(ω＋，πω＋) [，]，
∴，∴≤ω≤，故选A.
(2)由f(x＋)＝f(－x)可知函数f( ( http: / / www.21cnjy.com )x)＝2cos(ωx＋φ)＋b关于直线x＝对称，又函数f(x)在对称轴处取得最值，故±2＋b＝1，∴b＝－1或b＝3.
(3)利用三角函数的对称轴求得周期．
由题意得周期T＝2＝2π，
∴2π＝，即ω＝1，∴f(x)＝sin(x＋φ)，
∴f＝sin＝±1，
∵0<φ<π，∴<φ＋<，∴φ＋＝，∴φ＝.
(4)函数y＝sin(ωx ( http: / / www.21cnjy.com )＋φ)的最大值为1，最小值为－1，由该函数在区间[，]上单调递减，且函数值从1减小到－1，可知－＝为半周期，则周期为π，ω＝＝＝2，此时原函数式为y＝sin(2x＋φ)，又由函数y＝sin(ωx＋φ)的图象过点(，1)，代入可得φ＝，因此函数为y＝sin(2x＋)，令x＝0，可得y＝.
答案 (1)A (2)C (3)A (4)A
温馨提醒 (1)对于已知函 ( http: / / www.21cnjy.com )数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解．
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象与其对称轴的交点是最值点.
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方法与技巧
1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.
3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sin t的性质．
失误与防范
1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．
2．要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω>0时的情况．
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A组 专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1． 下列函数中，周期为π且在[0，]上是减函数的是 ( )
A．y＝sin(x＋) B．y＝cos(x＋)
C．y＝sin 2x D．y＝cos 2x
答案 D
解析 对于函数y＝cos 2x，T＝π，
当x∈[0，]时，2x∈[0，π]，y＝cos 2x是减函数．
2． (2012·湖南)函数f(x)＝sin x－cos的值域为 ( )
A．[－2,2] B．[－，]
C．[－1,1] D.
答案 B
解析 将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式后求解．
∵f(x)＝sin x－cos
＝sin x－cos xcos ＋sin xsin
＝sin x－cos x＋sin x
＝
＝sin(x∈R)，
∴f(x)的值域为[－，]．
3． (2013·浙江)已知函数f( ( http: / / www.21cnjy.com )x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 φ＝ f(x)＝Acos＝－Asin ωx为奇函数，
∴“f(x)是奇函数”是“φ＝”的必要条件．
又f(x)＝Acos(ωx＋φ)是奇函数 f(0)＝0 φ＝＋kπ(k∈Z)D/ φ＝.
∴“f(x)是奇函数”不是“φ＝”的充分条件．
4． 函数y＝cos 2x＋sin2x，x∈R的值域是 ( )
A．[0,1] B．[，1]
C．[－1,2] D．[0,2]
答案 A
解析 y＝cos 2x＋sin2x＝cos 2x＋＝.
∵cos 2x∈[－1,1]，∴y∈[0,1]．
5． (2012·天津)将函数f(x)＝ ( http: / / www.21cnjy.com )sin ωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是 ( )
A. B．1
C. D．2
答案 D
解析 根据题意平移后函数的解析式为y＝sin ω，
将代入得sin ＝0，则ω＝2k，k∈Z，且ω>0，
故ω的最小值为2.
二、填空题
6． 函数y＝cos(－2x)的单调减区间为________．
答案 [kπ＋，kπ＋](k∈Z)
解析 由y＝cos(－2x)＝cos(2x－)得
2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
故kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以函数的单调减区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．
7． 当－≤x≤时，函数y＝sin x＋cos x的最大值为________，最小值为________．
答案 2 －1
解析 y＝2sin(x＋)，－≤x＋≤，
∴－≤sin(x＋)≤1，∴－1≤y≤2，
故ymax＝2，ymin＝－1.
8． 已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)，y＝f(x)的部分图象如
图，则f()＝________.
答案
解析 由题中图象可知，此正切函数的半周期等于－＝，即最小正周期为，
所以ω＝2.由题意可知，图象过定点(，0)，
所以0＝Atan(2×＋φ)，即＋φ＝kπ(k∈Z)，
所以φ＝kπ－(k∈Z)，
又|φ|<，所以φ＝.
又图象过定点(0,1)，所以A＝1.
综上可知，f(x)＝tan(2x＋)，
故有f()＝tan(2×＋)＝tan ＝.
三、解答题
9． 设函数f(x)＝sin (－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ；
(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．
解 (1)令2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，
∴φ＝kπ＋，k∈Z，
又－π<φ<0，则φ＝－.
(2)由(1)得：f(x)＝sin，
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
可解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
因此y＝f(x)的单调增区间为
，k∈Z.
10．设函数f(x)＝sin(－)－2cos2＋1.
(1)求f(x)的最小正周期．
(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，求当x∈[0，]时，y＝g(x)的最大值．
解 (1)f(x)＝sin cos －cos sin －cos
＝sin －cos
＝sin(－)，
故f(x)的最小正周期为T＝＝8.
(2)方法一 在y＝g(x)的图象上任取一点(x，g(x))，
它关于x＝1的对称点(2－x，g(x))．
由题设条件，知点(2－x，g(x))在y＝f(x)的图象上，
从而g(x)＝f(2－x)＝sin[(2－x)－]
＝sin[－－]
＝cos(＋)．
当0≤x≤时，≤＋≤，
因此y＝g(x)在区间[0，]上的最大值为
g(x)max＝cos ＝.
方法二 区间[0，]关于x＝1的对称区间为[，2]，
且y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，
故y＝g(x)在[0，]上的最大值是
y＝f(x)在[，2]上的最大值．
由(1)知f(x)＝sin(－)，
当≤x≤2时，－≤－≤.
因此y＝g(x)在[0，]上的最大值为
g(x)max＝sin ＝.
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
1． 函数y＝的定义域是 ( )
A．[kπ，kπ＋](k∈Z) B．[2kπ，2kπ＋](k∈Z)
C．[－＋kπ，kπ](k∈Z) D．[－＋2kπ，2kπ](k∈Z)
答案 A
解析 |sin x＋cos x|－1≥0 (sin x＋cos x)2≥
1 sin 2x≥0，
∴2kπ≤2x≤2kπ＋π，k∈Z，
故原函数的定义域是[kπ，kπ＋](k∈Z)．
2． 设函数f(x)＝3sin(x＋)，若存在这样的实数x1，x2，对任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为________．
答案 2
解析 f(x)＝3sin(x＋)的周期T＝2π×＝4，
f(x1)，f(x2)应分别为函数f(x)的最小值和最大值，
故|x1－x2|的最小值为＝2.
3． 已知函数f(x)＝cos xsin x(x∈R)，给出下列四个命题：
①若f(x1)＝－f(x2)，则x1＝－x2；
②f(x)的最小正周期是2π；
③f(x)在区间[－，]上是增函数；
④f(x)的图象关于直线x＝对称．
其中真命题是________．
答案 ③④
解析 f(x)＝sin 2x，当x1＝0，x2＝时，
f(x1)＝－f(x2)，但x1≠－x2，故①是假命题；
f(x)的最小正周期为π，故②是假命题；
当x∈[－，]时，2x∈[－，]，故③是真命题；
因为f()＝sin π＝－，
故f(x)的图象关于直线x＝π对称，故④是真命题．
4． 已知函数f(x)＝sin 2x－cos 2x＋1.
(1)当x∈[，]时，求f(x)的最大值和最小值；
(2)求f(x)的单调区间．
解 (1)f(x)＝sin 2x－cos 2x＋1＝2sin(2x－)＋1.
∵≤x≤，∴≤2x≤π，∴≤2x－≤，
∴≤sin(2x－)≤1，∴1≤2sin(2x－)≤2，
于是2≤2sin(2x－)＋1≤3，
∴f(x)的最大值是3，最小值是2.
(2)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得2kπ－≤2x≤2kπ＋，k∈Z，
∴kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
即f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z，
同理由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得f(x)的单调递减区间为[kπ＋，kπ＋]，k∈Z.
5． 已知a>0，函数f(x)＝－2asin＋2a＋b，当x∈时，－5≤f(x)≤1.
(1)求常数a，b的值；
(2)设g(x)＝f且lg g(x)>0，求g(x)的单调区间．
解 (1)∵x∈，∴2x＋∈.
∴sin∈，
∴－2asin∈[－2a，a]．
∴f(x)∈[b,3a＋b]，又∵－5≤f(x)≤1，
∴b＝－5,3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.
(2)由(1)得，f(x)＝－4sin－1，
g(x)＝f＝－4sin－1
＝4sin－1，
又由lg g(x)>0，得g(x)>1，
∴4sin－1>1，∴sin>，
∴2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z，
其中当2kπ＋<2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，
g(x)单调递增，即kπ∴g(x)的单调增区间为，k∈Z.
又∵当2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z时，
g(x)单调递减，即kπ＋∴g(x)的单调减区间为，k∈Z.§4.2 同角三角函数基本关系及诱导公式
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1． 同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan α.
2． 下列各角的终边与角α的终边的关系
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α
图示 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
与角α终边的关系 相同 关于原点对称 关于x轴对称
角 π－α －α ＋α
图示
与角α终边的关系 关于y轴对称 关于直线y＝x对称
3．诱导公式
组数 一 二 三 四 五
角 2kπ＋α(k∈Z) －α (2k＋1)π＋α(k∈Z) ＋α －α
正弦 sin_α －sin_α －sin_α cos_α cos_α
余弦 cos_α cos_α －cos_α －sin_α sin_α
正切 tan_α －tan_α tan_α －cot α cot α
口诀 函数名不变符号看象限 函数名改变符号看象限
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角． ( × )
(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角． ( × )
(3)若cos(nπ－θ)＝(n∈Z)，则cos θ＝. ( × )
(4)已知sin θ＝，cos θ＝，其中θ∈[，π]，则m<－5或m≥3.( × )
(5)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，则tan θ的值为－或－.( × )
(6)已知tan α＝－，则的值是－. ( √ )
2． 已知sin(π－α)＝log8，且α∈(－，0)，则tan(2π－α)的值为 ( )
A．－ B. C．± D.
答案 B
解析 sin(π－α)＝sin α＝log8＝－，
又α∈(－，0)，
得cos α＝＝，
tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－＝.
3． 若tan α＝2，则的值为________．
答案
解析 原式＝＝.
4． 已知cos＝，则sin＝________.
答案 －
解析 sin＝sin
＝－sin
＝－cos＝－.
5． 已知函数f(x)＝则f[f(2 015)]＝________.
答案 －1
解析 ∵f[f(2 015)]＝f(2 015－15)＝f(2 000)，
∴f(2 000)＝2cos＝2cos π＝－1.
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题型一 同角三角函数关系式的应用
例1 (1)已知cos(π＋x)＝，x∈(π，2π)，则tan x＝________.
(2)已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ等于 ( )
A．－ B. C．－ D.
思维启迪 (1)应用平方关系求出sin x，可得tan x；
(2)把所求的代数式中的弦转化为正切，代入可求．
答案 (1) (2)D
解析 (1)∵cos(π＋x)＝－cos x＝，∴cos x＝－.
又x∈(π，2π)，
∴sin x＝－＝－＝－，
∴tan x＝＝.
(2)sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝
＝＝＝＝.
思维升华 (1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．
(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于 ( http: / / www.21cnjy.com )sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
(1)已知＝－，那么的值是 ( )
A. B．－ C．2 D．－2
(2)已知tan θ＝2，则sin θcos θ＝________.
答案 (1)A (2)
解析 (1)由于·＝＝－1，
故＝.
(2)sin θcos θ＝
＝＝＝.
题型二 诱导公式的应用
例2 (1)已知cos＝，求cos的值；
(2)已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－，求sin(3π＋α)·tan的值．
思维启迪 (1)将＋α看作一个整体，观察＋α与－α的关系．
(2)先化简已知，求出cos α的值，然后化简结论并代入求值．
解 (1)∵＋＝π，
∴－α＝π－.
∴cos＝cos
＝－cos＝－，
即cos＝－.
(2)∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)
＝cos(π－α)＝－cos α＝－，
∴cos α＝.
∴sin(3π＋α)·tan
＝sin(π＋α)·
＝sin α·tan＝sin α·
＝sin α·＝cos α＝.
思维升华 熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键．另外，切化弦是常用的规律技巧．
(1)已知sin＝，则cos的值为________．
(2)已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，则·tan2(π－α)＝________.
答案 (1)－ (2)－
解析 (1)cos＝cos
＝－sin＝－.
(2)∵方程5x2－7x－6＝0的根为－或2，
又α是第三象限角，∴sin α＝－，
∴cos α＝－＝－，
∴tan α＝＝＝，
∴原式＝·tan2α＝－tan2α＝－.
题型三 三角函数式的求值与化简
例3 (1)已知tan α＝，求的值；
(2)化简：.
思维启迪 三角函数式的化简与求值，都是按照从繁到简的形式进行转化，要认真观察 式子的规律，使用恰当的公式．
解 (1)因为tan α＝，
所以＝
＝＝.
(2)原式＝
＝＝＝－1.
思维升华 在三角函数式的求值与化简中，要注意寻找式子中的角，函数式子的特点和联系，可以切化弦，约分或抵消，减少函数种类，对式子进行化简．
(1)若α为三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝，则这个三角形是( )
A．正三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
(2)已知tan α＝2，sin α＋cos α<0，
则＝________.
答案 (1)D (2)－
解析 (1)∵(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，
∴sin αcos α＝－<0，∴α为钝角．故选D.
(2)原式＝＝sin α，
∵tan α＝2>0，
∴α为第一象限角或第三象限角．
又sin α＋cos α<0，∴α为第三象限角，
由tan α＝＝2，
得sin α＝2cos α代入sin2α＋cos2α＝1，
解得sin α＝－.
方程思想在三角函数求值中的应用
典例：(5分)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则tan θ＝________.
思维启迪 利用同角三角函数基本关系，寻求sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ和sin θcos θ的关系．
解析 方法一 因为sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，
所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，
所以sin θcos θ＝－.
由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x2－x－＝0的两根，
所以x1＝，x2＝－.
因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0.
所以sin θ＝，cos θ＝－.
所以tan θ＝＝－.
方法二 同法一，得sin θcos θ＝－，
所以＝－.
弦化切，得＝－，
即60tan2θ＋169tan θ＋60＝0，
解得tan θ＝－或tan θ＝－.
又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝>0，sin θcos θ＝－<0.
所以θ∈(，)，所以tan θ＝－.
方法三 解方程组得，
或(舍)．
故tan θ＝－.
答案 －
温馨提醒 三种解法均体现了方程思想 ( http: / / www.21cnjy.com )在三角函数求值中的应用．利用已知条件sin θ＋cos θ＝和公式sin2θ＋cos2θ＝1可列方程组解得sin θcos θ，sin θ－cos θ，也可以利用一元二次方程根与系数的关系求sin θ、cos θ.各解法中均要注意条件θ∈(0，π)的运用，谨防产生增解.
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方法与技巧
同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础，主要是变名、变式．
1．同角关系及诱导公式要注意象限角对 ( http: / / www.21cnjy.com )三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．
2．三角求值、化简是三角函数的基础，在 ( http: / / www.21cnjy.com )求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x＝化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ＝tan＝….
失误与防范
1．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步
骤：去负—脱周—化锐．
特别注意函数名称和符号的确定．
2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．
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A组 专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1． α是第四象限角，tan α＝－，则sin α等于 ( )
A. B．－ C. D．－
答案 D
解析 ∵tan α＝＝－，∴cos α＝－sin α，
又sin2α＋cos2α＝1，
∴sin2α＋sin2α＝sin2α＝1.
又sin α<0，∴sin α＝－.
2． 已知α和β的终边关于直线y＝x对称，且β＝－，则sin α等于 ( )
A．－ B. C．－ D.
答案 D
解析 因为α和β的终边关于直线y＝x对称，所以α＋β＝2kπ＋(k∈Z)．又β＝－，所以α＝2kπ＋(k∈Z)，即得sin α＝.
3． 已知sin(π－α)＝－2sin(＋α)，则sin α·cos α等于 ( )
A. B．－ C.或－ D．－
答案 B
解析 由sin(π－α)＝－2sin(＋α)得sin α＝－2cos α，
所以tan α＝－2，
∴sin α·cos α＝＝＝－，故选B.
4． 已知f(α)＝，则f的值为 ( )
A. B．－ C. D．－
答案 A
解析 ∵f(α)＝＝cos α，
∴f＝cos
＝cos＝cos ＝.
5． 已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是 ( )
A．{1，－1,2，－2} B．{－1,1}
C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2}
答案 C
解析 当k＝2n(n∈Z)时，
A＝＋＝2；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，
A＝＋＝－2.
故A的值构成的集合为{－2,2}．
二、填空题
6. ＝________.
答案 －1
解析 原式＝－＝－＝－1.
7． 如果cos α＝，且α是第一象限的角，那么cos(α＋)＝________.
答案
解析 ∵cos α＝，α为第一象限角，
∴sin α＝＝ ＝，
∴cos(α＋)＝sin α＝.
8． 化简＝________.
答案 1
解析 原式＝＝＝1.
三、解答题
9． 已知sin θ＝，<θ<π.
(1)求tan θ的值；
(2)求的值．
解 (1)∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴cos2θ＝.
又<θ<π，∴cos θ＝－.∴tan θ＝＝－.
(2)由(1)知，＝＝－.
10．已知sin θ，cos θ是关于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)的两个根，求cos3(－θ)＋sin3(－θ)的值．
解 由已知原方程的判别式Δ≥0，即(－a)2－4a≥0，
∴a≥4或a≤0.
又，(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，
则a2－2a－1＝0，从而a＝1－或a＝1＋(舍去)，
因此sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－.
∴cos3(－θ)＋sin3(－θ)＝sin3θ＋cos3θ
＝(sin θ＋cos θ)(sin2θ－sin θcos θ＋cos2θ)
＝(1－)[1－(1－)]＝－2.
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
1． 已知sin θ＝－，θ∈(－，)，则sin(θ－5π)sin(π－θ)的值是 ( )
A. B．－ C．－ D.
答案 B
解析 ∵sin θ＝－，θ∈(－，)，
∴cos θ＝＝.
∴原式＝－sin(π－θ)·(－cos θ)＝sin θcos θ
＝－×＝－.
2． 当0A. B. C．2 D．4
答案 D
解析 当0f(x)＝＝，
设t＝tan x，则0当且仅当t＝1－t，即t＝时等号成立．
3． 已知cos＝a (|a|≤1)，则cos＋sin的值是________．
答案 0
解析 cos＝cos
＝－cos＝－a.
sin＝sin＝cos＝a，
∴cos＋sin＝0.
4． 已知f(x)＝(n∈Z)．
(1)化简f(x)的表达式；
(2)求f()＋f()的值．
解 (1)当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，
f(x)＝
＝
＝
＝sin2x；
当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，
f(x)＝
＝
＝＝＝sin2x，
综上得f(x)＝sin2x.
(2)由(1)得f()＋f()
＝sin2＋sin2＝sin2＋sin2(－)
＝sin2＋cos2＝1.
5． 已知在△ABC中，sin A＋cos A＝.
(1)求sin Acos A的值；
(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；
(3)求tan A的值．
解 (1)∵sin A＋cos A＝，①
∴两边平方得1＋2sin Acos A＝，
∴sin Acos A＝－.
(2)由sin Acos A＝－<0，且0可知cos A<0，∴A为钝角，∴△ABC是钝角三角形．
(3)∵(sin A－cos A)2＝1－2sin Acos A＝1＋＝，
又sin A>0，cos A<0，∴sin A－cos A>0，
∴sin A－cos A＝.②
∴由①，②可得sin A＝，cos A＝－，
∴tan A＝＝＝－.§4.3 和角公式、倍角公式与半角公式
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1． 两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (Cα－β)
cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β (Cα＋β)
sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β (Sα－β)
sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β (Sα＋β)
tan(α－β)＝ (Tα－β)
tan(α＋β)＝ (Tα＋β)
2． 二倍角公式
sin 2α＝2sin_αcos_α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝.
3． 半角公式
sin ＝± ；cos ＝± ；
tan ＝± ＝＝.
根号前的正负号，由角所在象限确定．
4． 函数f(x)＝asin α＋ ( http: / / www.21cnjy.com )bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)(其中tan φ＝)或f(α)＝cos(α－φ)(其中tan φ＝)．
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的． ( √ )
(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． ( √ )
(3)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定． ( × )
(4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立． ( × )
(5)存在实数α，使tan 2α＝2tan α. ( √ )
(6)当α＋β＝时，(1＋tan α)(1＋tan β)＝2. ( √ )
2． (2013·浙江)已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan 2α等于 ( )
A. B. C．－ D．－
答案 C
解析 ∵sin α＋2cos α＝，
∴sin2α＋4sin α·cos α＋4cos2α＝.
化简得：4sin 2α＝－3cos 2α，
∴tan 2α＝＝－.故选C.
3． (2012·江西)若＝，则tan 2α等于 ( )
A．－ B. C．－ D.
答案 B
解析 由＝，等式左边分子、分母同除cos α得，＝，解得tan α＝－3，则tan 2α＝＝.
4． (2012·江苏)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________．
答案
解析 ∵α为锐角且cos＝，∴sin＝.
∴sin＝sin
＝sin 2cos －cos 2sin
＝sincos－
＝××－
＝－＝.
5． (2013·课标全国Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan＝，则sin θ＋cos θ＝________.
答案 －
解析 ∵tan＝，∴tan θ＝－，
即
解得sin θ＝，cos θ＝－.
∴sin θ＋cos θ＝－.
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题型一 三角函数式的化简与给角求值
例1 (1)化简：(0<θ<π)；
(2)求值：－sin 10°(－tan 5°)．
思维启迪 (1)分母为根式，可以利用二倍角公式去根号，然后寻求分子分母的共同点进行约分；
(2)切化弦、通分．
解 (1)由θ∈(0，π)，得0<<，∴cos >0.
因此＝ ＝2cos .
又(1＋sin θ＋cos θ)(sin －cos )
＝(2sin cos ＋2cos2)(sin －cos )
＝2cos (sin2－cos2)
＝－2cos cos θ.
故原式＝＝－cos θ.
(2)原式＝－sin 10°(－)
＝－sin 10°·
＝－sin 10°·
＝－2cos 10°＝
＝
＝
＝＝.
思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．
(2)对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：
①化为特殊角的三角函数值；
②化为正、负相消的项，消去求值；
③化分子、分母出现公约数进行约分求值．
(1)在△ABC中，已知三个内角A，B，C成等差数列，则tan ＋tan ＋tan tan 的值为________．
(2)的值是 ( )
A. B. C. D.
答案 (1) (2)C
解析 (1)因为三个内角A，B，C成等差数列，且A＋B＋C＝π，所以A＋C＝，＝，tan ＝，
所以tan ＋tan ＋tan tan
＝tan＋tan tan
＝＋tan tan ＝.
(2)原式＝
＝
＝＝.
题型二 三角函数的给值求值、给值求角
例2 (1)已知0<β<<α<π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)的值；
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，求2α－β的值．
思维启迪 (1)拆分角：＝－，利用平方关系分别求各角的正弦、余弦．
(2)2α－β＝α＋(α－β)；α＝(α－β)＋β.
解 (1)∵0<β<<α<π，
∴－<－β<，<α－<π，
∴cos＝ ＝，
sin＝ ＝，
∴cos ＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝，
∴cos(α＋β)＝2cos2－1＝2×－1＝－.
(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝
＝＝>0，∴0<α<，
又∵tan 2α＝＝＝>0，
∴0<2α<，
∴tan(2α－β)＝＝＝1.
∵tan β＝－<0，
∴<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－.
思维升华 (1)解题中注意变角，如本题中＝(α－)－(－β)；
(2)通过求角的某种三角函数值来求角， ( http: / / www.21cnjy.com )在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．
(1)若0<α<，－<β<0，cos(＋α)＝，cos(－)＝，则cos(α＋)等于( )
A. B．－ C. D．－
(2)已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于 ( )
A. B. C. D.
答案 (1)C (2)C
解析 (1)cos(α＋)＝cos[(＋α)－(－)]
＝cos(＋α)cos(－)＋sin(＋α)sin(－)，
∵0<α<，
则<＋α<，∴sin(＋α)＝.
又－<β<0，则<－<，
则sin(－)＝.
故cos(α＋)＝cos[＋α－(－)]
＝cos(＋α)cos(－)＋sin(＋α)sin(－)
＝×＋×＝，故选C.
(2)∵α、β均为锐角，∴－<α－β<.
又sin(α－β)＝－，∴cos(α－β)＝.
又sin α＝，∴cos α＝，
∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝×－×(－)＝.
∴β＝.
题型三 三角变换的简单应用
例3 已知函数f(x)＝sin＋cos，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期和最小值；
(2)已知cos(β－α)＝，cos(β＋α)＝－，0<α<β≤，求证：[f(β)]2－2＝0.
思维启迪 (1)可将f(x)化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式；
(2)据已知条件确定β，再代入f(x)求值．
(1)解 ∵f(x)＝sin＋cos
＝sin＋sin＝2sin，
∴T＝2π，f(x)的最小值为－2.
(2)证明 由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝，
cos βcos α－sin βsin α＝－，
两式相加得2cos βcos α＝0，
∵0<α<β≤，∴β＝，∴[f(β)]2－2＝4sin2－2＝0.
思维升华 三角变换和三角函数性质相结合是高考的一个热点，解题时要注意观察角、式子间的联系，利用整体思想解题．
(1)函数f(x)＝sin x＋cos(＋x)的最大值为 ( )
A．2 B. C．1 D.
(2)函数f(x)＝sin(2x－)－2sin2x的最小正周期是________．
答案 (1)C (2)π
解析 (1)f(x)＝sin x＋cos ·cos x－sin ·sin x
＝cos x＋sin x＝sin(x＋)．∴f(x)max＝1.
(2)f(x)＝sin 2x－cos 2x－(1－cos 2x)
＝sin 2x＋cos 2x－＝sin(2x＋)－，
∴T＝＝π.
高考中的三角变换问题
典例：(20分)(1)若tan 2θ＝－2，π<2θ<2π，则＝________.
(2)已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β等于 ( )
A. B.或
C. D．2kπ＋(k∈Z)
(3)(2012·大纲全国)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝，则cos 2α等于( )
A．－ B．－ C. D.
(4)(2012·重庆)等于 ( )
A．－ B．－ C. D.
思维启迪 (1)注意和差公式的逆用 ( http: / / www.21cnjy.com )及变形；(2)可求α＋β的某一三角函数值，结合α＋β的范围求角．(3)可以利用sin2α＋cos2α＝1寻求sin α±cos α与sin αcos α的联系；(4)利用和角公式将已知式子中的角向特殊角转化．
解析 (1)原式＝＝，
又tan 2θ＝＝－2，即tan2θ－tan θ－＝0，
解得tan θ＝－或tan θ＝.∵π<2θ<2π，∴<θ<π.
∴tan θ＝－，故所求＝＝3＋2.
(2)由sin α＝，cos β＝ ( http: / / www.21cnjy.com )且α，β为锐角，可知cos α＝，sin β＝，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝，又0<α＋β<π，故α＋β＝.
解析 (3)由sin α＋cos α＝ ( http: / / www.21cnjy.com )两边平方得1＋2sin αcos α＝，∴2sin αcos α＝－.∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α＝＝＝.
由得
∴cos 2α＝2cos2α－1＝－.
(4)利用两角和的正弦公式化简．
原式＝
＝
＝＝sin 30°＝.
答案 (1)3＋2 (2)C (3)A (4)C
温馨提醒 三角变换中的求值问题要注意利用式子的特征，灵活应用公式；对于求角问题，一定要结合角的范围求解．
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方法与技巧
1． 巧用公式变形：
和差角公式变形：tan ( http: / / www.21cnjy.com )x±tan y＝tan(x±y)·(1 tan x·tan y)；倍角公式变形：降幂公式cos2α＝，sin2α＝，
配方变形：1±sin α＝2,1＋cos α＝2cos2，1－cos α＝2sin2.
2． 利用辅助角公式求最值、单调区间、周期．由y＝asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(其中tan φ＝)有≥|y|.
3． 重视三角函数的“三变”：“三 ( http: / / www.21cnjy.com )变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．
失误与防范
1． 运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．
2． 在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝所对应的角α＋β不是唯一的．
3． 在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值．
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A组 专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1． 若θ∈[，]，sin 2θ＝，则sin θ等于 ( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 由sin 2θ＝和sin2θ＋cos2θ＝1得
(sin θ＋cos θ)2＝＋1＝()2，
又θ∈[，]，∴sin θ＋cos θ＝.
同理，sin θ－cos θ＝，∴sin θ＝.
2． 已知tan(α＋β)＝，tan＝，那么tan等于 ( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 因为α＋＋β－＝α＋β，
所以α＋＝(α＋β)－，
所以tan＝tan
＝＝.
3． (2013·重庆)4cos 50°－tan 40°等于 ( )
A. B. C. D．2－1
答案 C
解析 4cos 50°－tan 40°＝
＝＝
＝＝＝.
4． 若tan α＋＝，α∈(，)，则sin(2α＋)的值为 ( )
A．－ B. C. D.
答案 A
解析 由tan α＋＝得＋＝，
∴＝，∴sin 2α＝.
∵α∈(，)，∴2α∈(，π)，∴cos 2α＝－.
∴sin(2α＋)＝sin 2αcos ＋cos 2αsin
＝×(－)＝－.
5． 在△ABC中，tan A＋tan B＋＝tan A·tan B，则C等于 ( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由已知可得tan A＋tan B＝(tan A·tan B－1)，
∴tan(A＋B)＝＝－，
又0二、填空题
6． 若sin(＋θ)＝，则cos 2θ＝________.
答案 －
解析 ∵sin(＋θ)＝cos θ＝，
∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝2×()2－1＝－.
7． 若α＝20°，β＝25°，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值为________．
答案 2
解析 由tan(α＋β)＝＝tan 45°＝1可得
tan α＋tan β＋tan αtan β＝1，
所以(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2.
8. ＝________.
答案 －4
解析 原式＝
＝
＝＝
＝＝－4.
三、解答题
9． 已知tan α＝－，cos β＝，α∈(，π)，β∈(0，)，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．
解 由cos β＝，β∈(0，)，
得sin β＝，tan β＝2.
∴tan(α＋β)＝＝＝1.
∵α∈(，π)，β∈(0，)，∴<α＋β<，
∴α＋β＝.
10．已知α∈，且sin ＋cos ＝.
(1)求cos α的值；
(2)若sin(α－β)＝－，β∈，求cos β的值．
解 (1)因为sin ＋cos ＝，
两边同时平方，得sin α＝.
又<α<π，所以cos α＝－.
(2)因为<α<π，<β<π，
所以－π<－β<－，故－<α－β<.
又sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝.
cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝－×＋×＝－.
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
1． 已知tan(α＋)＝，且－<α<0，则等于 ( )
A．－ B．－ C．－ D.
答案 A
解析 由tan(α＋)＝＝，得tan α＝－.
又－<α<0，所以sin α＝－.
故＝＝2sin α＝－.
2． 定义运算＝ad－bc，若cos α＝，＝，0<β<α<，则β等于
( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝，
又0<β<α<，∴0<α－β<，
故cos(α－β)＝＝，
而cos α＝，∴sin α＝，
于是sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝×－×＝，
故β＝，选D.
3． 设x∈，则函数y＝的最小值为________．
答案
解析 方法一 因为y＝＝，
所以令k＝.又x∈，
所以k就是单位圆x2＋y ( http: / / www.21cnjy.com )2＝1的左半圆上的动点P(－sin 2x，cos 2x)与定点Q(0,2)所成直线的斜率．又kmin＝tan 60°＝，所以函数y＝的最小值为.
方法二 y＝＝
＝＝tan x＋.
∵x∈(0，)，∴tan x>0.
∴tan x＋≥2＝.
(当tan x＝，即x＝时取等号)
即函数的最小值为.
4． 已知tan(π＋α)＝－，tan(α＋β)＝.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求tan β的值．
解 (1)∵tan(π＋α)＝－，∴tan α＝－.
∵tan(α＋β)＝
＝＝
＝＝＝
＝＝.
(2)tan β＝tan[(α＋β)－α]＝
＝＝.
5． 已知函数f(x)＝2cos(其中ω>0，x∈R)的最小正周期为10π.
(1)求ω的值；
(2)设α，β∈，f＝－，f
＝，求cos(α＋β)的值．
解 (1)由T＝＝10π得ω＝.
(2)由
得
整理得 ∵α，β∈，
∴cos α＝＝，sin β＝＝.
∴cos(α＋β)＝cos αcos β －sin αsin β
＝×－×＝－.中档题目强化练——三角函数、解三角形
A组 专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1． 已知角A是△ABC的一个内角，若sin A＋cos A＝，则tan A等于 ( )
A．－ B. C．－ D.
答案 A
解析 由得
或(舍去)，∴tan A＝－.
2． 函数y＝3cos(x＋φ)＋2的图象关于直线x＝对称，则φ的可能取值是 ( )
A. B．－ C. D.
答案 A
解析 ∵y＝cos x＋2的对称轴为x＝kπ(k∈Z)，
∴x＋φ＝kπ(k∈Z)，即x＝kπ－φ(k∈Z)，令＝kπ－φ(k∈Z)得φ＝kπ－(k∈Z)，在四个选项中，只有满足题意．
3． 已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝对称，且f＝0，则ω的最小值为 ( )
A．2 B．4 C．6 D．8
答案 A
解析 由题意知ω·＋φ＝k1π，ω·＋φ＝k2π＋，
其中k1，k2∈Z，两式相减可得ω＝4(k2－k1)＋2，
又ω>0，易知ω的最小值为2.故选A.
4． 设函数f(x)＝c ( http: / / www.21cnjy.com )os(ωx＋φ)－sin(ωx＋φ)，且其图象相邻的两条对称轴为x1＝0，x2＝，则 ( )
A．y＝f(x)的最小正周期为π，且在上为增函数
B．y＝f(x)的最小正周期为π，且在上为减函数
C．y＝f(x)的最小正周期为2π，且在(0，π)上为增函数
D．y＝f(x)的最小正周期为2π，且在(0，π)上为减函数
答案 B
解析 由已知条件得f(x)＝2cos，
由题意得＝，∴T＝π.∴T＝，∴ω＝2.
又∵f(0)＝2cos，x＝0为f(x)的对称轴，
∴f(0)＝2或－2，又∵|φ|<，∴φ＝－，
此时f(x)＝2cos 2x，在上为减函数，故选B.
5． 已知函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x－m在上有两个零点，则m的取值范围是( )
A．(1,2) B．[1,2)
C．(1,2] D．[1,2]
答案 B
解析 利用三角函数公式转化一下，得f(x)＝2sin(2x＋)－m，
它的零点是函数y1＝2sin(2x＋)和y2＝m的交点所对应的x的值，
∴要在上有两个零点，y1和y2就要有两个交点，
结合函数y1＝2sin在上的图象，
知道当y2＝m在[1,2)上移动时，两个函数有两个交点．
二、填空题
6． 已知△ABC的面积为，AC＝，∠ABC＝，则△ABC的周长等于________．
答案 3＋
解析 S＝acsin∠ABC＝，得ac＝2；①
根据余弦定理cos∠ABC＝，得a2＋c2＝5.②
由①②可求得a＋c＝3，则三角形周长可求．
7． 函数y＝tan的对称中心为________．
答案 (k∈Z)
解析 ∵y＝tan x(x≠＋kπ，k∈Z)的对称中心为(k∈Z)，
∴可令2x＋＝(k∈Z)，解得x＝－＋(k∈Z)．
因此，函数y＝tan的对称中心为
(k∈Z)．
8． 已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，f＝－，则f(0)＝______.
答案
解析 由图象，可知所求函数的最小正周期为，
故ω＝3.
从函数图象可以看出这个函数的图象关于点中心对称，
也就是函数f(x)满足f＝－f，
当x＝时，得f＝－f＝－f(0)，
故得f(0)＝.
三、解答题
9． (2013·重庆)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a2＝b2＋c2＋bc.
(1)求A；
(2)设a＝，S为△ABC的面积，求S＋3cos Bcos C的最大值，并指出此时B的值．
解 (1)由余弦定理得
cos A＝＝＝－.
又因为0(2)由(1)得sin A＝，
又由正弦定理及a＝得
S＝absin C＝··asin C＝3sin Bsin C，
因此，S＋3cos Bcos C＝3(sin Bsin C＋cos Bcos C)
＝3cos(B－C)．
所以，当B＝C，即B＝＝时，S＋3cos Bcos C取最大值3.
10．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) ( http: / / www.21cnjy.com )(其中A>0，ω>0,0<φ<)的图象与x轴的相交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈时，求f(x)的值域．
解 (1)由最低点为M，得A＝2.
由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得，＝，
即T＝π，所以ω＝＝＝2.
由点M在函数f(x)的图象上，
得2sin＝－2，即sin＝－1.
故＋φ＝2kπ－，k∈Z，所以φ＝2kπ－(k∈Z)．
又φ∈，所以φ＝，
故f(x)的解析式为f(x)＝2sin.
(2)因为x∈，所以2x＋∈.
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－1.
故函数f(x)的值域为[－1,2]．
B组 专项能力提升
(时间：25分钟)
1． 若0≤sin α≤，且α∈[－2π，0]，则α的取值范围是 ( )
A.∪
B.∪(k∈Z)
C.∪
D.∪(k∈Z)
答案 A
解析 根据题意并结合正弦线可知，
α满足∪
(k∈Z)，
∵α∈[－2π，0]，∴α的取值范围是
∪.
故选A.
2． 同时具有下列性质：“①对任 ( http: / / www.21cnjy.com )意x∈R，f(x＋π)＝f(x)恒成立；②图象关于直线x＝对称；③在上是增函数”的函数可以是 ( )
A．f(x)＝sin B．f(x)＝sin
C．f(x)＝cos D．f(x)＝cos
答案 B
解析 依题意，知满足条件的函数的一个周期是π，
以x＝为对称轴，且在上是增函数．
对于A，其周期为4π，因此不正确；
对于C，f＝－1，但该函数在上不是增函数，因此C不正确；
对于D，f≠±1，因此D不正确．
3． 已知函数f(x)＝2sin x， ( http: / / www.21cnjy.com )g(x)＝2sin，直线x＝m与f(x)，g(x)的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为________．
答案 2
解析 构造函数F(x)＝2sin x－2cos x＝2sin，故最大值为2.
4． 曲线y＝2sincos与直线y＝在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，…，则|P2P4|＝________.
答案 π
解析 y＝2sincos
＝2sin·cos＝2sin2
＝1－cos＝1＋sin 2x，
|P2P4|恰为一个周期的长度π.
5． 已知函数f(x)＝(sin2x－cos2x)－2sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)设x∈，求f(x)的值域和单调递增区间．
解 (1)∵f(x)＝－(cos2x－sin2x)－2sin xcos x
＝－cos 2x－sin 2x＝－2sin，
∴f(x)的最小正周期为π.
(2)∵x∈，∴－≤2x＋≤π.
∴－≤sin≤1.
∴f(x)的值域为[－2，]．
∵当y＝sin递减时，f(x)递增，
令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
则kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
又x∈，∴≤x≤.
故f(x)的单调递增区间为.