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三轮冲刺
2015届高三数学人教B版(通用,理)总复习配套文档:第3章 导数及其应用(6份)
文档属性
名称
2015届高三数学人教B版(通用,理)总复习配套文档:第3章 导数及其应用(6份)
格式
zip
文件大小
1.7MB
资源类型
教案
版本资源
科目
数学
更新时间
2014-05-19 10:15:56
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文档简介
§3.2 导数与函数的单调性、极值、最值
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1. 函数的单调性
设函数y=f(x)在区间(a,b)内可 ( http: / / www.21cnjy.com )导,如果在(a,b)内,f′(x)>0,则f(x)在此区间是增函数;如果在(a,b)内,f′(x)<0,则f(x)在此区间是减函数.
2. 函数的极值
已知函数y=f(x),设x0是定义域(a ( http: / / www.21cnjy.com ),b)内任一点,如果对x0附近所有点x,都有f(x)
f(x0),则称函数f(x)在点x0处取极小值,记作y极小=f(x0),并把x0称为函数f(x)的一个极小值点.
3. 求可导函数极值的步骤
(1)求导数f′(x);
(2)求方程f′(x)=0的所有实数根;
(3)考察在每个根x0附近,从左到 ( http: / / www.21cnjy.com )右,导函数f′(x)的符号如何变化.如果f′(x)的符号由正变负,则f(x0)是极大值;如果f′(x)的符号由负变正,则f(x0)是极小值.
如果在f′(x)=0的根x=x0的左、右侧,f′(x)符号不变,则f(x0)不是极值.
4. 函数的最值
(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.
(2)若函数f(x)在[a,b]上单 ( http: / / www.21cnjy.com )调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.
(3)求可导函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤如下:
①求f(x)在(a,b)内的极值;
②将f(x)的各极值与f(a),f(b)进行比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件. ( × )
(2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的. ( × )
(3)函数的极大值不一定比极小值大. ( √ )
(4)对可导函数f(x),f′(x0)=0是x0点为极值点的充要条件. ( × )
(5)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值.( √ )
(6)函数f(x)=xsin x有无数个极值点. ( √ )
2. 函数f(x)=x2-2ln x的单调减区间是 ( )
A.(0,1) B.(1,+∞)
C.(-∞,1) D.(-1,1)
答案 A
解析 ∵f′(x)=2x-=(x>0).
∴当x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)为减函数;
当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数.
3. (2013·浙江)已知e为自然对数的底数,设函数f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2),则( )
A.当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值
B.当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值
C.当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值
D.当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值
答案 C
解析 当k=1时,f′(x)=ex·x-1,f′(1)≠0.
∴x=1不是f(x)的极值点.
当k=2时,f′(x)=(x-1)(xex+ex-2)
显然f′(1)=0,且x在1的左边附近f′(x)<0,
x在1的右边附近f′(x)>0,
∴f(x)在x=1处取到极小值.故选C.
4. 函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为( )
A.(-1,1) B.(-1,+∞)
C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞)
答案 B
解析 设m(x)=f(x)-(2x+4),
∵m′(x)=f′(x)-2>0,∴m(x)在R上是增函数.
∵m(-1)=f(-1)-(-2+4)=0,
∴m(x)>0的解集为{x|x>-1},
即f(x)>2x+4的解集为(-1,+∞).
5. 函数f(x)=x3+ax-2在(1,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是________.
答案 [-3,+∞)
解析 f′(x)=3x2+a,f′(x)在区间(1,+∞)上是增函数,
则f′(x)=3x2+a≥0在(1,+∞)上恒成立,
即a≥-3x2在(1,+∞)上恒成立.∴a≥-3.
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题型一 利用导数研究函数的单调性
例1 已知函数f(x)=ex-ax-1.
(1)求f(x)的单调增区间;
(2)是否存在a,使f(x)在(-2,3)上为减函数,若存在,求出a的取值范围,若不存在,请说明理由.
思维启迪 函数的单调性和函数中的参数有关,要注意对参数的讨论.
解 f′(x)=ex-a,
(1)若a≤0,则f′(x)=ex-a≥0,
即f(x)在R上单调递增,
若a>0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥ln a.
因此当a≤0时,f(x)的单调增区间为R,
当a>0时,f(x)的单调增区间是[ln a,+∞).
(2)∵f′(x)=ex-a≤0在(-2,3)上恒成立.
∴a≥ex在x∈(-2,3)上恒成立.
又∵-2
当a=e3时,f′(x)=ex-e3在x∈(-2,3)上,
f′(x)<0,即f(x)在(-2,3)上为减函数,∴a≥e3.
故存在实数a≥e3,使f(x)在(-2,3)上为减函数.
思维升华 (1)利用导数的符号来判断函数的单调性;
(2)已知函数的单调性求函数范围可以转化为不等式恒成立问题;
(3)f(x)为增函数的充要条件是对任 ( http: / / www.21cnjy.com )意的x∈(a,b)都有f′(x)≥0且在(a,b)内的任一非空子区间上f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解.
(1)设函数f(x)=x3-(1+a)x2+4ax+24a,其中常数a>1,则f(x)的单调减区间为________.
答案 (2,2a)
解析 f′(x)=x2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a),
由a>1知,当x<2时,f′(x)>0,
故f(x)在区间(-∞,2)上是增函数;
当2
故f(x)在区间(2,2a)上是减函数;
当x>2a时,f′(x)>0,
故f(x)在区间(2a,+∞)上是增函数.
综上,当a>1时,
f(x)在区间(-∞,2)和(2a,+∞)上是增函数,
在区间(2,2a)上是减函数.
(2)若f(x)=-x2+bln(x+2)在(-1,+∞)上是减函数,则b的取值范围是________.
答案 (-∞,-1]
解析 转化为f′(x)=-x+≤0在[-1,+∞)上恒成立,即b≤x(x+2)在[-1,+∞)上恒成立,
令g(x)=x(x+2)=(x+1)2-1,
所以g(x)min=-1,则b的取值范围是(-∞,-1].
题型二 利用导数求函数的极值
例2 设a>0,函数f(x)=x2-(a+1)x+a(1+ln x).
(1)求曲线y=f(x)在(2,f(2))处与直线y=-x+1垂直的切线方程;
(2)求函数f(x)的极值.
思维启迪 (1)通过f′(2)的值确定a;
(2)解f′(x)=0,然后要讨论两个零点的大小确定函数的极值.
解 (1)由已知,得x>0,f′(x)=x-(a+1)+,
y=f(x)在(2,f(2))处切线的斜率为1,
所以f′(2)=1,即2-(a+1)+=1,
所以a=0,此时f(2)=2-2=0,
故所求的切线方程为y=x-2.
(2)f′(x)=x-(a+1)+
==.
①当0
0,
函数f(x)单调递增;
若x∈(a,1),f′(x)<0,函数f(x)单调递减;
若x∈(1,+∞),f′(x)>0,函数f(x)单调递增.
此时x=a是f(x)的极大值点,x=1是f(x)的极小值点,
函数f(x)的极大值是f(a)=-a2+aln a,
极小值是f(1)=-.
②当a=1时,f′(x)=>0,
所以函数f(x)在定义域(0,+∞)内单调递增,
此时f(x)没有极值点,故无极值.
③当a>1时,若x∈(0,1),f′(x)>0,函数f(x)单调递增;
若x∈(1,a),f′(x)<0,函数f(x)单调递减;
若x∈(a,+∞),f′(x)>0,函数f(x)单调递增.
此时x=1是f(x)的极大值点,x=a是f(x)的极小值点,
函数f(x)的极大值是f(1)=-,
极小值是f(a)=-a2+aln a.
综上,当0
极小值是-;
当a=1时,f(x)没有极值;
当a>1时,f(x)的极大值是-,极小值是-a2+aln a.
思维升华 (1)导函数的零点并不一定就是函数的极值点.所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点.
(2)若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y=f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值.
设f(x)=,其中a为正实数.
(1)当a=时,求f(x)的极值点;
(2)若f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围.
解 对f(x)求导得f′(x)=ex·.①
(1)当a=时,若f′(x)=0,则4x2-8x+3=0,
解得x1=,x2=.结合①,可知
x
f′(x) + 0 - 0 +
f(x) ? 极大值 ? 极小值 ?
所以x1=是极小值点,x2=是极大值点.
(2)若f(x)为R上的单调 ( http: / / www.21cnjy.com )函数,则f′(x)在R上不变号,结合①与条件a>0,知ax2-2ax+1≥0在R上恒成立,即Δ=4a2-4a=4a(a-1)≤0,由此并结合a>0,知0
所以a的取值范围为{a|0
题型三 利用导数求函数的最值
例3 已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.
(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值;
(2)当a=3,b=-9时,若函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为28,求k的取值范围.
思维启迪 (1)题目条件的转化:f(1)=g(1)且f′(1)=g′(1);
(2)可以列表观察h(x)在(-∞,2]上的变化情况,然后确定k的取值范围.
解 (1)f′(x)=2ax,g′(x)=3x2+b.
因为曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,
所以f(1)=g(1)且f′(1)=g′(1),即a+1=1+b且2a=3+b,
解得a=3,b=3.
(2)记h(x)=f(x)+g(x),当a=3,b=-9时,
h(x)=x3+3x2-9x+1,所以h′(x)=3x2+6x-9.
令h′(x)=0,得x1=-3,x2=1.
h′(x),h(x)在(-∞,2]上的变化情况如下表所示:
x (-∞,-3) -3 (-3,1) 1 (1,2) 2
h′(x) + 0 - 0 + +
h(x) ? 28 ? -4 ? 3
由表可知当k≤-3时,函数h(x)在区间[k,2]上的最大值为28;
当-3
因此k的取值范围是(-∞,-3].
思维升华 (1)求解函数的 ( http: / / www.21cnjy.com )最值时,要先求函数y=f(x)在[a,b]内所有使f′(x)=0的点,再计算函数y=f(x)在区间内所有使f′(x)=0的点和区间端点处的函数值,最后比较即得.
(2)可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况.
已知函数f(x)=xln x.
(1)求函数f(x)的极值点;
(2)设函数g(x)=f(x)-a(x-1),其中a∈R,求函数g(x)在区间[1,e]上的最小值.(其中e为自然对数的底数).
解 (1)f′(x)=ln x+1,x>0,
由f′(x)=0得x=,
所以f(x)在区间(0,)上单调递减,在区间(,+∞)上单调递增.
所以,x=是函数f(x)的极小值点,极大值点不存在.
(2)g(x)=xln x-a(x-1),
则g′(x)=ln x+1-a,
由g′(x)=0,得x=ea-1,
所以,在区间(0,ea-1)上,g(x)为递减函数,
在区间(ea-1,+∞)上,g(x)为递增函数.
当ea-1≤1,即a≤1时,在区间[1,e]上,g(x)为递增函数,
所以g(x)的最小值为g(1)=0.
当1
当ea-1≥e,即a≥2时,在区间[1,e]上,g(x)为递减函数,
所以g(x)的最小值为g(e)=a+e-ae.
综上,当a≤1时,g(x)的最小值为0;
当1
当a≥2时,g(x)的最小值为a+e-ae.
利用导数求函数的最值问题
典例:(12分)已知函数f(x)=(x-k)ex.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.
思维启迪 (1)解方程f′(x)=0列表求单调区间;
(2)根据(1)中表格,讨论k-1和区间[0,1]的关系求最值.
规范解答
解 (1)由题意知f′(x)=(x-k+1)ex.
令f′(x)=0,得x=k-1. [2分]
f(x)与f′(x)的情况如下:
x (-∞,k-1) k-1 (k-1,+∞)
f′(x) - 0 +
f(x) ? -ek-1 ?
所以,f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1);单调递增区间是(k-1,+∞).[6分]
(2)当k-1≤0,即k≤1时,f(x)在[0,1]上单调递增,
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)=-k; [8分]
当0
f(x)在[0,k-1)上单调递减,在(k-1,1]上单调递增,
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k-1)=-ek-1;
当k-1≥1,即k≥2时,f(x)在[0,1]上单调递减,
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)=(1-k)e. [10分]
综上,当k≤1时,f(x)在[0,1]上的最小值为f(0)=-k;
当1
当k≥2时,f(x)在[0,1]上的最小值为f(1)=(1-k)e. [12分]
用导数法求给定区间上的函数的最值问题的一般步骤:
第一步:求函数f(x)的导数f′(x);
第二步:求f(x)在给定区间上的单调性和极值;
第三步:求f(x)在给定区间上的端点值;
第四步:将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较,
确定f(x)的最大值与最小值;
第五步:反思回顾:查看关键点,易错点和解题规范.
温馨提醒 (1)本题考查求函数的单调区间,求函数在给定区间[0,1]上的最值,属常规题型.
(2)本题的难点是分类讨论.考生在分类时易出现不全面,不准确的情况.
(3)思维不流畅,答题不规范,是解答中的突出问题.
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方法与技巧
1.利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况,直观而且条理,减少失分.
2.求极值、最值时,要求步骤规范、表格齐全;含参数时,要讨论参数的大小.
3.在实际问题中,如果函数在区间内只有一个极值点,那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值比较.
失误与防范
1.注意定义域优先的原则,求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行.
2.求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过认真比较才能下结论.
3.解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题,处理好f′(x)=0时的情况;区分极值点和导数为0的点.
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A组 专项基础训练
(时间:40分钟)
一、选择题
1. 若函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象可能为( )
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答案 C
解析 根据f′(x)的符号,f(x)图象应该是先下降后上升,最后下降,排除A,D;从适合f′(x)=0的点可以排除B.
2. 下面为函数y=xsin x+cos x的递增区间的是 ( )
A.(,) B.(π,2π)
C.(,) D.(2π,3π)
答案 C
解析 y′=(xsin x+cos x)′=sin x+xcos x-sin x
=xcos x,
当x∈(,)时,恒有xcos x>0.故选C.
3. 设a∈R,若函数y=ex+ax,x∈R有大于零的极值点,则 ( )
A.a<-1 B.a>-1
C.a>- D.a<-
答案 A
解析 ∵y=ex+ax,∴y′=ex+a.
∵函数y=ex+ax有大于零的极值点,
则方程y′=ex+a=0有大于零的解,
∵x>0时,-ex<-1,∴a=-ex<-1.
4. 设函数f(x)=x2-9ln x在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是( )
A.1
C.a≤2 D.0
答案 A
解析 ∵f(x)=x2-9ln x,∴f′(x)=x-(x>0),
当x-≤0时,有0
∴a-1>0且a+1≤3,解得1
5. 函数f(x)=x3-3x2+2在区间[-1,1]上的最大值是 ( )
A.-2 B.0 C.2 D.4
答案 C
解析 ∵f′(x)=3x2-6x,令f′(x)=0,得x=0或x=2.
∴f(x)在[-1,0)上是增函数,f(x)在(0,1]上是减函数.
∴f(x)max=f(x)极大值=f(0)=2.
二、填空题
6. 函数f(x)=x+的单调减区间为________.
答案 (-3,0),(0,3)
解析 f′(x)=1-=,
令f′(x)<0,解得-3
故单调减区间为(-3,0)和(0,3).
7. 函数f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1]有极大值又有极小值,则a的取值范围是________.
答案 a>2或a<-1
解析 ∵f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1],
∴f′(x)=3x2+6ax+3(a+2).
令3x2+6ax+3(a+2)=0,即x2+2ax+a+2=0.
∵函数f(x)有极大值和极小值,
∴方程x2+2ax+a+2=0有两个不相等的实根.
即Δ=4a2-4a-8>0,∴a>2或a<-1.
8. 设函数f(x)=x3--2x+5,若对任意的x∈[-1,2],都有f(x)>a,则实数a的取值范围是________.
答案 (-∞,)
解析 f′(x)=3x2-x-2,令f′(x)=0,得3x2-x-2=0,
解得x=1或x=-,
又f(1)=,f(-)=,f(-1)=,f(2)=7,
故f(x)min=,∴a<.
三、解答题
9. 已知函数f(x)=+ln x.求函数f(x)的极值和单调区间.
解 因为f′(x)=-+=,
令f′(x)=0,得x=1,又f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x),f(x)随x的变化情况如下表:
x (0,1) 1 (1,+∞)
f′(x) - 0 +
f(x) ? 极小值 ?
所以x=1时,f(x)的极小值为1.
f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1).
10.已知函数f(x)=x2+bsin x-2(b∈R),F(x)=f(x)+2,且对于任意实数x,恒有F(x)-F(-x)=0.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)已知函数g(x)=f(x)+2(x+1)+aln x在区间(0,1)上单调递减,求实数a的取值范围.
解 (1)F(x)=f(x)+2=x2+bsin x-2+2=x2+bsin x,
依题意,对任意实数x,恒有F(x)-F(-x)=0.
即x2+bsin x-(-x)2-bsin(-x)=0,
即2bsin x=0,所以b=0,所以f(x)=x2-2.
(2)∵g(x)=x2-2+2(x+1)+aln x,
∴g(x)=x2+2x+aln x,
g′(x)=2x+2+.
∵函数g(x)在(0,1)上单调递减,∴在区间(0,1)内,
g′(x)=2x+2+=≤0恒成立,
∴a≤-(2x2+2x)在(0,1)上恒成立.
∵-(2x2+2x)在(0,1)上单调递减,∴a≤-4为所求.
B组 专项能力提升
(时间:30分钟)
1. 已知f(x)是可导的函数,且f′(x)
A.f(1)
e2 014f(0)
B.f(1)>ef(0),f(2 014)>e2 014f(0)
C.f(1)>ef(0),f(2 014)
D.f(1)
答案 D
解析 令g(x)=,
则g′(x)=()′==<0,
所以函数g(x)=是单调减函数,
所以g(1)
即<,<,
故f(1)
2. 如图是函数f(x)=x3+bx2+cx+d的大致图象,则x+x等于 ( )
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A. B. C. D.
答案 C
解析 由图象可得f(x)=x(x+1)(x-2)=x3-x2-2x,
又∵x1、x2是f′(x)=3x2-2x-2=0的两根,
∴x1+x2=,x1x2=-,
故x+x=(x1+x2)2-2x1x2=()2+2×=.
3. 已知函数f(x)=-x2+4x-3ln x在[t,t+1]上不单调,则t的取值范围是________.
答案 (0,1)∪(2,3)
解析 由题意知f′(x)=-x+4-=
=-,
由f′(x)=0得函数f(x)的两个极值点为1,3,
则只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内,
函数f(x)在区间[t,t+1]上就不单调,
由t<1
得0
4. (2013·课标全国Ⅰ)已知函数f( ( http: / / www.21cnjy.com )x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.
(1)求a,b的值;
(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.
解 (1)f′(x)=ex(ax+b)+aex-2x-4
=ex(ax+a+b)-2x-4,
∵y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4,
∴f′(0)=a+b-4=4,f(0)=b=4,
∴a=4,b=4.
(2)由(1)知f′(x)=4ex(x+2)-2(x+2)
=2(x+2)(2ex-1),
令f′(x)=0得x1=-2,x2=ln ,
列表:
x (-∞,-2) -2 ln
f′(x) + 0 - 0 +
f(x) ? 极大值 ? 极小值 ?
∴y=f(x)的单调增区间为(-∞,-2),;
单调减区间为.
f(x)极大值=f(-2)=4-4e-2.
5. 已知函数f(x)=(ax2+bx+c)ex在[0,1]上单调递减且满足f(0)=1,f(1)=0.
(1)求a的取值范围.
(2)设g(x)=f(x)-f′(x),求g(x)在[0,1]上的最大值和最小值.
解 (1)由f(0)=1,f(1)=0,得c=1,a+b=-1,
则f(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex,
f′(x)=[ax2+(a-1)x-a]ex,
依题意对于任意x∈[0,1],有f′(x)≤0.
当a>0时,
因为二次函数y=ax2+(a-1)x-a的图象开口向上,
而f′(0)=-a<0,所以需f′(1)=(a-1)e<0,即0
当a=1时,对于任意x∈[0,1],有f′(x)=(x2-1)ex≤0,
且只在x=1时f′(x)=0,f(x)符合条件;
当a=0时,对于任意x∈[0,1],f′(x)=-xex≤0,
且只在x=0时,f′(x)=0,f(x)符合条件;
当a<0时,因f′(0)=-a>0,f(x)不符合条件.
故a的取值范围为0≤a≤1.
(2)因g(x)=(-2ax+1+a)ex,
g′(x)=(-2ax+1-a)ex,
①当a=0时,g′(x)=ex>0,
g(x)在x=0处取得最小值g(0)=1,
在x=1处取得最大值g(1)=e.
②当a=1时,对于任意x∈[0,1]有g′(x)=-2xex≤0,
g(x)在x=0处取得最大值g(0)=2,
在x=1处取得最小值g(1)=0.
③当0
0.
若≥1,即0
g(x)在[0,1]上单调递增,
g(x)在x=0处取得最小值g(0)=1+a,
在x=1处取得最大值g(1)=(1-a)e.
若<1,即
g(x)在x=处取得最大值g()=2ae,
在x=0或x=1处取得最小值,
而g(0)=1+a,g(1)=(1-a)e,
由g(0)-g(1)=1+a-(1-a)e=(1+e)a+1-e=0,
得a=.则当
g(0)-g(1)≤0,g(x)在x=0处取得最小值g(0)=1+a;
当
0,
g(x)在x=1处取得最小值g(1)=(1-a)e.专题一 高考中的导数应用问题
1. 函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是 ( )
A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞)
答案 D
解析 函数f(x)=(x-3)ex的导数为f′(x)=[(x-3)·ex]′=1·ex+(x-3)·ex=(x-2)ex.
由函数导数与函数单调性的关系,得当f′(x)>0时,函数f(x)单调递增,此时由不等式f′(x)=(x-2)ex>0,解得x>2.
2. 已知函数f(x)=asin 2x-sin 3x (a为常数)在x=处取得极值,则a的值为( )
A.1 B.0 C. D.-
答案 A
解析 ∵f′(x)=2acos 2x-cos 3x,
∴f′=2acos π-cos π=0,
∴a=1,经验证适合题意.
3. 函数f(x)=x3-3x- ( http: / / www.21cnjy.com )1,若对于区间[-3,2]上的任意x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤t,则实数t的最小值是 ( )
A.20 B.18 C.3 D.0
答案 A
解析 因为f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),令f′(x)=0,得x=±1,可知-1,1为函数的极值点.
又f(-3)=-19,f(-1)=1,f(1)=-3,f(2)=1,所以在区间[-3,2]上f(x)max=1,f(x)min=-19.
由题设知在区间[-3,2]上f(x)max-f(x)min≤t,从而t≥20,
所以t的最小值是20.
4. 已知函数f(x)=在[1,+∞)上为减函数,则实数a的取值范围为__________.
答案 [e,+∞)
解析 f′(x)==,因为f(x) ( http: / / www.21cnjy.com )在[1,+∞)上为减函数,故f′(x)≤0在[1,+∞)上恒成立,即ln a≥1-ln x在[1,+∞)上恒成立.设φ(x)=1-ln x,φ(x)max=1,故ln a≥1,a≥e.
5. 已知函数f(x)=mx3+nx2的 ( http: / / www.21cnjy.com )图象在点(-1,2)处的切线恰好与直线3x+y=0平行,若f(x)在区间[t,t+1]上单调递减,则实数t的取值范围是__________.
答案 [-2,-1]
解析 由题意知,点(-1,2)在函数f(x)的图象上,
故-m+n=2. ①
又f′(x)=3mx2+2nx,则f′(-1)=-3,
故3m-2n=-3. ②
联立①②解得:m=1,n=3,即f(x)=x3+3x2,
令f′(x)=3x2+6x≤0,解得-2≤x≤0,
则[t,t+1] [-2,0],故t≥-2且t+1≤0,
所以t∈[-2,-1].
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题型一 利用导数研究函数的单调性
例1 已知函数f(x)=x2e-ax,a∈R.
(1)当a=1时,求函数y=f(x)的图象在点(-1,f(-1))处的切线方程.
(2)讨论f(x)的单调性.
思维启迪 (1)先求切点和斜率,再求切线方程;
(2)先求f′(x),然后分a=0,a>0,a<0三种情况求解.
解 (1)因为当a=1时,f(x)=x2e-x,f′(x)=2xe-x-x2e-x=(2x-x2)e-x,
所以f(-1)=e,f′(-1)=-3e.
从而y=f(x)的图象在点(-1,f(-1))处的切线方程为y-e=-3e(x+1),即y=-3ex-2e.
(2)f′(x)=2xe-ax-ax2e-ax=(2x-ax2)e-ax.
①当a=0时,若x<0,则f′(x)<0,若x>0,则f′(x)>0.
所以当a=0时,函数f(x)在区间(-∞,0)上为减函数,在区间(0,+∞)上为增函数.
②当a>0时,由2x-ax2<0,解得x<0或x>,由2x-ax2>0,解得0
所以当a>0时,函数f(x)在区间(-∞,0),(,+∞)上为减函数,在区间(0,)上为增函数.
③当a<0时,由2x-ax2<0,解得
0,解得x<或x>0.
所以,当a<0时,函数f(x)在区间(-∞,),(0,+∞)上为增函数,在区间(,0)上为减函数.
综上所述,当a=0时,f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增;
当a>0时,f(x)在(-∞,0),(,+∞)上单调递减,在(0,)上单调递增;
当a<0时,f(x)在(,0)上单调递减,在(-∞,),(0,+∞)上单调递增.
思维升华 (1)判断函数的单 ( http: / / www.21cnjy.com )调性,求函数的单调区间、极值等问题,最终归结到判断f′(x)的符号问题上,而f′(x)>0或f′(x)<0,最终可转化为一个一元一次或一元二次不等式问题.
(2)若已知f(x)的单调性,则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解.
已知函数f(x)=x3+ax2-x+c,且a=f′.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)设函数g(x)=(f(x)-x3)·ex,若函数g(x)在x∈[-3,2]上单调递增,求实数c的取值范围.
解 (1)由f(x)=x3+ax2-x+c,
得f′(x)=3x2+2ax-1.
当x=时,得a=f′=3×2+2a×-1,
解之,得a=-1.
(2)由(1)可知f(x)=x3-x2-x+c.
则f′(x)=3x2-2x-1=3(x-1),列表如下:
x (-∞,-) - (-,1) 1 (1,+∞)
f′(x) + 0 - 0 +
f(x) ? 极大值 ? 极小值 ?
所以f(x)的单调递增区间是(-∞,-)和(1,+∞);
f(x)的单调递减区间是.
(3)函数g(x)=(f(x)-x3)·ex=(-x2-x+c)·ex,
有g′(x)=(-2x-1)ex+(-x2-x+c)ex
=(-x2-3x+c-1)ex,
因为函数g(x)在x∈[-3,2]上单调递增,
所以h(x)=-x2-3x+c-1≥0在x∈[-3,2]上恒成立.
只要h(2)≥0,解得c≥11,所以c的取值范围是[11,+∞).
题型二 利用导数研究与不等式有关的问题
例2 已知f(x)=xln x,g(x)=-x2+ax-3.
(1)求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;
(2)对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围;
(3)证明:对一切x∈(0,+∞),都有ln x>-成立.
思维启迪 (1)求f′(x),讨论参数t求最小值;
(2)分离a,利用求最值得a的范围;
(3)寻求所证不等式和题中函数f(x)的联系,充分利用(1)中所求最值.
(1)解 由f(x)=xln x,x>0,得f′(x)=ln x+1,
令f′(x)=0,得x=.
当x∈(0,)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈(,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.
①当0
f(x)min=f()=-;
②当≤t
所以f(x)min=.
(2)解 2xln x≥-x2+ax-3,则a≤2ln x+x+,
设h(x)=2ln x+x+(x>0),则h′(x)=,
①当x∈(0,1)时,h′(x)<0,h(x)单调递减,
②当x∈(1,+∞)时,h′(x)>0,h(x)单调递增,
所以h(x)min=h(1)=4,对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,
所以a≤h(x)min=4.
(3)证明 问题等价于证明xln x>-(x∈(0,+∞)).
由(1)可知f(x)=xln x(x∈(0,+∞))的最小值是-,
当且仅当x=时取到,设m(x)=-(x∈(0,+∞)),则m′(x)=,易知m(x)max=m(1)=-,
当且仅当x=1时取到.
从而对一切x∈(0,+∞),都有ln x>-成立.
思维升华 (1)恒成立问题可以转化为我们较为熟悉的求最值的问题进行求解,若不能分离参数,可以将参数看成常数直接求解.
(2)证明不等式,可以转化为求函数的最值问题.
已知函数f(x)=sin x(x≥0),g(x)=ax(x≥0).
(1)若f(x)≤g(x)恒成立,求实数a的取值范围;
(2)当a取(1)中的最小值时,求证:g(x)-f(x)≤x3.
(1)解 令h(x)=sin x-ax(x≥0),则h′(x)=cos x-a.
若a≥1,h′(x)=c ( http: / / www.21cnjy.com )os x-a≤0,h(x)=sin x-ax(x≥0)单调递减,h(x)≤h(0)=0,则sin x≤ax(x≥0)成立.
若0
h′(x)=cos x-a>0,h(x)=sin x-ax(x∈(0,x0))单调递增,h(x)>h(0)=0,不合题意,
结合f(x)与g(x)的图象可知a≤0显然不合题意,
综上可知,a≥1.
(2)证明 当a取(1)中的最小值1时,
g(x)-f(x)=x-sin x.
设H(x)=x-sin x-x3(x≥0),则H′(x)=1-cos x-x2.
令G(x)=1-cos x-x2,则G′(x)=sin x-x≤0(x≥0),
所以G(x)=1-cos x-x2在[0,+∞)上单调递减,
此时G(x)=1-cos x-x2≤G(0)=0,
即H′(x)=1-cos x-x2≤0,
所以H(x)=x-sin x-x3(x≥0)单调递减.
所以H(x)=x-sin x-x3≤H(0)=0,
即x-sin x-x3≤0(x≥0),
即x-sin x≤x3(x≥0).
所以,当a取(1)中的最小值时,g(x)-f(x)≤x3.
题型三 利用导数研究方程解或图象交点问题
例3 已知f(x)=ax2 (a∈R),g(x)=2ln x.
(1)讨论函数F(x)=f(x)-g(x)的单调性;
(2)若方程f(x)=g(x)在区间[,e]上有两个不等解,求a的取值范围.
思维启迪 (1)通过讨论a确定F(x)的符号;
(2)将方程f(x)=g(x)变形为a=,研究φ(x)=图象的大致形状.
解 (1)F(x)=ax2-2ln x,其定义域为(0,+∞),
∴F′(x)=2ax-= (x>0).
①当a>0时,由ax2-1>0,得x>.
由ax2-1<0,得0
故当a>0时,F(x)在区间上单调递增,
在区间上单调递减.
②当a≤0时,F′(x)<0 (x>0)恒成立.
故当a≤0时,F(x)在(0,+∞)上单调递减.
(2)原式等价于方程a==φ(x)在区间[,e]上有两个不等解.
∵φ′(x)=在(,)上为增函数,
在(,e)上为减函数,则φ(x)max=φ()=,
而φ(e)=<φ(2)
===φ().
∴φ(x)min=φ(e),
如图当f(x)=g(x)
在[,e]上有两个不等解时有
φ(x)min=,
故a的取值范围为≤a<.
思维升华 对于可转化为a=f(x)解的个数确定参数a的范围问题,都可以通过f(x)的单调性、极值确定f(x)的大致形状,进而求a的范围.
已知函数f(x)=|ax-2|+bln x(x>0).
(1)若a=1,f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,求b的取值范围;
(2)若a≥2,b=1,求方程f(x)=在(0,1]上解的个数.
解 (1)f(x)=|x-2|+bln x
=
①当0
由条件,得-1+≥0恒成立,即b≥x恒成立.∴b≥2.
②当x≥2时,f(x)=x-2+bln x,f′(x)=1+,由条件,
得1+≥0恒成立,即b≥-x恒成立.∴b≥-2.
综合①,②得b的取值范围是{b|b≥2}.
(2)令g(x)=|ax-2|+ln x-,
即g(x)=
当0
g′(x)=-a++.
∵0
.
则g′(x)>-a++=≥0.
即g′(x)>0,∴g(x)在(0,)上是递增函数.
当x≥时,g(x)=ax-2+ln x-,
g′(x)=a++>0.
∴g(x)在(,+∞)上是递增函数.
又因为函数g(x)在x=有意义,
∴g(x)在(0,+∞)上是递增函数.
∵g()=ln -,而a≥2,
∴ln ≤0,则g()<0.
∵a≥2,∴g(1)=a-3.
当a≥3时,g(1)=a-3≥0,
∴g(x)=0在(0,1]上解的个数为1.
当2≤a≤3时,g(1)=a-3<0,
∴g(x)=0在(0,1]上无解,即解的个数为0.
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1. 已知函数f(x)=ax3+x2+bx(其中常数a,b∈R),g(x)=f(x)+f′(x)是奇函数.
(1)求f(x)的表达式;
(2)讨论g(x)的单调性,并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值.
解 (1)由题意得f′(x)=3ax2+2x+b,
因此g(x)=f(x)+f′(x)=ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b.
因为函数g(x)是奇函数,所以g(-x)=-g(x),
即对任意实数x,有a(-x)3+(3a+1)(-x)2+
(b+2)(-x)+b=-[ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b],
从而3a+1=0,b=0,解得a=-,b=0,
因此f(x)的表达式为f(x)=-x3+x2.
(2)由(1)知g(x)=-x3+2x,所以g′(x)=-x2+2.
令g′(x)=0,解得x1=-,x2=,
则当x<-或x>时,g′(x)<0,
从而g(x)在区间(-∞,- ),(,+∞)上是减函数;
当-
0,
从而g(x)在区间(-,)上是增函数.
由上述讨论知,g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x=1,,2时取得,
而g(1)=,g()=,g(2)=,
因此g(x)在区间[1,2]上的最大值为g()=,
最小值g(2)=.
2. 已知函数f(x)=ax+xln x的图象在点x=e(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3.
(1)求实数a的值;
(2)若k∈Z,且k<对任意x>1恒成立,求k的最大值.
解 (1)因为f(x)=ax+xln x,所以f′(x)=a+ln x+1.
因为函数f(x)=ax+xln x的图象在点x=e处的切线斜率为3,
所以f′(e)=3,即a+ln e+1=3,所以a=1.
(2)由(1)知,f(x)=x+xln x,又k<对任意x>1恒成立,
即k<对任意x>1恒成立.
令g(x)=,则g′(x)=,
令h(x)=x-ln x-2(x>1),则h′(x)=1-=>0,
所以函数h(x)在(1,+∞)上单调递增.
因为h(3)=1-ln 3<0,h(4)=2-2ln 2>0,
所以方程h(x)=0在(1,+∞)上存在唯一实根x0,且满足x0∈(3,4).
当1
x0时,h(x)>0,
即g′(x)>0,所以函数g(x)=在(1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,
所以[g(x)]min=g(x0)===x0∈(3,4),
所以k<[g(x)]min=x0∈(3,4),故整数k的最大值为3.
3. 设函数f(x)=ex-1-x-ax2.
(1)若a=0,求f(x)的单调区间;
(2)若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围.
解 (1)若a=0,f(x)=ex-1-x,f′(x)=ex-1.
当x∈(-∞,0)时,f′(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0.
故f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
(2)f′(x)=ex-1-2ax.
由(1)知ex≥1+x,当且仅当x=0时等号成立,
故f′(x)≥x-2ax=(1-2a)x,
从而当1-2a≥0,即a≤时,f′(x)≥0(x≥0).
∴f(x)在[0,+∞)上单调递增.
而f(0)=0,于是当x≥0时,f(x)≥0.
由ex>1+x(x≠0)可得e-x>1- ( http: / / www.21cnjy.com )x(x≠0).从而当a>时,f′(x)
令e-x(ex-1)(ex-2a)<0得1
故当x∈(0,ln 2a)时,f′(x ( http: / / www.21cnjy.com ))<0,∴f(x)在(0,ln 2a)上单调递减.而f(0)=0,于是当x∈(0,ln 2a)时,f(x)<0.不符合要求.
综上可得a的取值范围为(-∞,].
4. 已知f(x)=x2+3x+1,g(x)=+x.
(1)a=2时,求y=f(x)和y=g(x)的公共点个数;
(2)a为何值时,y=f(x)和y=g(x)的公共点个数恰为两个.
解 (1)由得x2+3x+1=+x,
整理得x3+x2-x-2=0(x≠1).
令y=x3+x2-x-2,
求导得y′=3x2+2x-1,令y′=0,得x1=-1,x2=,
故得极值点分别在-1和处取得,且极大值、极小值都是负值.故公共点只有一个.
(2)由得x2+3x+1=+x,
整理得a=x3+x2-x(x≠1),
令h(x)=x3+x2-x,
联立
如图,对f(x)求导可以得到极值点分别在-1和处,画出草图,
h(-1)=1,h()=-,
当a=h(-1)=1时,y=a与y=h(x)仅有一个公共点(因为(1,1)点不在y=h(x)曲线上),
故a=-时恰有两个公共点.
5. 定义在R上的函数f(x)=ax3+bx2+cx+3同时满足以下条件:
①f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数;
②f′(x)是偶函数;
③f(x)的图象在x=0处的切线与直线y=x+2垂直.
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)设g(x)=4ln x-m,若存在x∈[1,e],使g(x)
解 (1)f′(x)=3ax2+2bx+c.
∵f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,
∴f′(1)=3a+2b+c=0,(*)
由f′(x)是偶函数得b=0,①
又f(x)的图象在x=0处的切线与直线y=x+2垂直,
∴f′(0)=c=-1,②
将①②代入(*)得a=,
∴f(x)=x3-x+3.
(2)由已知得,若存在x∈[1,e],使4ln x-m
即存在x∈[1,e],使m>(4ln x-x2+1)min.
设M(x)=4ln x-x2+1,x∈[1,e],
则M′(x)=-2x=,
令M′(x)=0,∵x∈[1,e],∴x=.
当
当1≤x≤时,M′(x)>0,∴M(x)在[1,]上为增函数,
∴M(x)在[1,e]上有最大值且在x=处取到.
又M(1)=0,M(e)=5-e2<0,
∴M(x)的最小值为5-e2.∴m>5-e2.
6. (2013·湖南)已知a>0,函数f(x)=.
(1)记f(x)在区间[0,4]上的最大值为g(a),求g(a)的表达式;
(2)是否存在a,使函数y=f(x)在 ( http: / / www.21cnjy.com )区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线相互垂直?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由.
解 (1)当0≤x≤a时,f(x)=;
当x>a时,f(x)=.
因此,当x∈(0,a)时,f′(x)=<0,
f(x)在(0,a)上单调递减;
当x∈(a,+∞)时,f′(x)=>0,
f(x)在(a,+∞)上单调递增.
①若a≥4,则f(x)在(0,4)上单调递减,g(a)=f(0)=.
②若0
所以g(a)=max{f(0),f(4)}.
而f(0)-f(4)=-=,
故当0
当1
综上所述,g(a)=
(2)由(1)知,当a≥4时,f(x)在(0,4)上单调递减,故不满足要求.
当0
若存在x1,x2∈(0,4)(x1
则x1∈(0,a),x2∈(a,4),且f′(x1)·f′(x2)=-1.
即·=-1.
亦即x1+2a=.(*)
由x1∈(0,a),x2∈(a,4)得x1+2a∈(2a,3a),
∈.
故(*)成立等价于集合A={x|2a
因为<3a,所以当且仅当0<2a<1,
即0
综上所述,存在a使函数f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直,且a的取值范围是.§3.3 导数的综合应用
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1. 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x);
(2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0;
(3)比较函数在区间端点和f′(x)=0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值;
(4)回归实际问题作答.
2. 不等式问题
(1)证明不等式时,可构造函数,将问题转化为函数的极值或最值问题.
(2)求解不等式恒成立问题时,可以考虑将参数分离出来,将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题.
1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)连续函数在闭区间上必有最值. ( √ )
(2)函数f(x)=x2-3x+2的极小值也是最小值. ( √ )
(3)函数f(x)=+x-1和g(x)=-x-1都是在x=0时取得最小值-1.( × )
(4)函数f(x)=x2ln x没有最值. ( × )
(5)已知x∈(0,),则sin x>x. ( × )
(6)若a>2,则方程x3-ax2+1=0在(0,2)上没有实数根. ( × )
2. (2013·福建)设函数f( ( http: / / www.21cnjy.com )x)的定义域为R,x0(x0≠0)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是 ( )
A. x∈R,f(x)≤f(x0)
B.-x0是f(-x)的极小值点
C.-x0是-f(x)的极小值点
D.-x0是-f(-x)的极小值点
答案 D
解析 A错,因为极大值未必是最大 ( http: / / www.21cnjy.com )值.B错,因为函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称,-x0应是f(-x)的极大值点.C错,函数y=f(x)与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称,x0应为-f(x)的极小值点.D对,函数y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称,-x0应为y=-f(-x)的极小值点.
3. 设直线x=t与函数f(x)= ( http: / / www.21cnjy.com )x2,g(x)=ln x的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时t的值为 ( )
A.1 B. C. D.
答案 D
解析 |MN|的最小值,即函数h(x)=x2-ln x的最小值,
h′(x)=2x-=,
显然x=是函数h(x)在其定义域内唯一的极小值点,
也是最小值点,故t=.
4. 若函数f(x)=x3-3x+a有3个不同的零点,则实数a的取值范围是__________.
答案 (-2,2)
解析 由于函数f(x)是连 ( http: / / www.21cnjy.com )续的,故只需要两个极值异号即可.f′(x)=3x2-3,令3x2-3=0,得x=±1,只需f(-1)·f(1)<0,即(a+2)(a-2)<0,故a∈(-2,2).
5. 若f(x)=,0
答案 f(a)
解析 f′(x)=,
当x∈(0,e)时,>0,即f′(x)>0,
∴f(x)在(0,e)上为增函数,
又∵0
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题型一 利用导数证明不等式
例1 已知定义在正实数集上的函数f(x)=x2+2ax,g(x)=3a2ln x+b,其中a>0.设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,且在该点处的切线相同.
(1)用a表示b,并求b的最大值;
(2)求证:f(x)≥g(x)(x>0).
思维启迪 (1)设公共点为(x0,y0),则f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0)可得a,b的关系;
(2)构造函数F(x)=f(x)-g(x),求F(x)的最值.
(1)解 设两曲线的公共点为(x0,y0),
f′(x)=x+2a,g′(x)=,
由题意知f(x0)=g(x0),f′(x0)=g′(x0),
即
由x0+2a=,得x0=a或x0=-3a(舍去).
即有b=a2+2a2-3a2ln a=a2-3a2ln a.
令h(t)=t2-3t2ln t(t>0),则h′(t)=2t(1-3ln t).
于是当t(1-3ln t)>0,即0
0;
当t(1-3ln t)<0,即t>e时,h′(t)<0.
故h(t)在(0,)上为增函数,在(,+∞)上为减函数,
于是h(t)在(0,+∞)上的最大值为h()=,
即b的最大值为.
(2)证明 设F(x)=f(x)-g(x)=x2+2ax-3a2ln x-b(x>0),
则F′(x)=x+2a-=(x>0).
故F(x)在(0,a)上为减函数,在(a,+∞)上为增函数.
于是F(x)在(0,+∞)上的最小值是F(a)=F(x0)=f(x0)-g(x0)=0.
故当x>0时,有f(x)-g(x)≥0,
即当x>0时,f(x)≥g(x).
思维升华 利用导数证明不等式的步骤
(1)构造新函数,并求其单调区间;
(2)判断区间端点函数值与0的关系;
(3)判断定义域内函数值与0的大小关系,证不等式.
当0
x+.
证明 设f(x)=tan x-,
则f′(x)=-1-x2=tan2x-x2
=(tan x-x)(tan x+x).
因为0
所以f′(x)>0,即x∈时,f(x)为增函数.
所以x∈时,f(x)>f(0).
而f(0)=0,所以f(x)>0,即tan x->0.
故tan x>x+.
题型二 利用导数求参数的取值范围
例2 已知函数f(x)=(a∈R),g(x)=.
(1)求f(x)的单调区间与极值;
(2)若函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0,e2]上有公共点,求实数a的取值范围.
思维启迪 (1)解f′(x)=0,根据函数值的变化得到单调区间、极值;
(2)构造函数F(x)=f(x)-g(x),通过F(x)的单调性和函数值的变化研究f(x)、g(x)的交点情况.
解 (1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)=.令f′(x)=0,得x=e1-a,
当x∈(0,e1-a)时,f′(x)>0,f(x)是增函数;
当x∈(e1-a,+∞)时,f′(x)<0,f(x)是减函数.
所以函数f(x)的单调递增区间为(0,e1-a],
单调递减区间为[e1-a,+∞),
极大值为f(x)极大值=f(e1-a)=ea-1,无极小值.
(2)令F(x)=f(x)-g(x)=,
则F′(x)=.
令F′(x)=0,得x=e2-a;令F′(x)>0,得x
令F′(x)<0,得x>e2-a,
故函数F(x)在区间(0,e2-a]上是增函数,
在区间[e2-a,+∞)上是减函数.
①当e2-a
0时,
函数F(x)在区间(0,e2-a]上是增函数,
在区间[e2-a,e2]上是减函数,F(x)max=F(e2-a)=ea-2.
又F(e1-a)=0,F(e2)=>0,
由图象,易知当0
当e1-a
0,
此时函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0,e2]上有1个公共点.
②当e2-a≥e2,即a≤0时,F(x)在区间(0,e2]上是增函数,
F(x)max=F(e2)=.
若F(x)max=F(e2)=≥0,即-1≤a≤0时,
函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0,e2]上只有1个公共点;
若F(x)max=F(e2)=<0,即a<-1时,
函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0,e2]上没有公共点.
综上,满足条件的实数a的取值范围是[-1,+∞).
思维升华 函数零点或函数图象交 ( http: / / www.21cnjy.com )点问题的求解,一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质,并借助函数图象,根据零点或图象的交点情况,建立含参数的方程(或不等式)组求解,实现形与数的和谐统一.
已知函数f(x)=x3-3ax-1,a≠0.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点,求m的取值范围.
解 (1)f′(x)=3x2-3a=3(x2-a),
当a<0时,对x∈R,有f′(x)>0,
∴当a<0时,f(x)的单调增区间为(-∞,+∞).
当a>0时,由f′(x)>0,
解得x<-或x>.
由f′(x)<0,解得-
∴当a>0时,f(x)的单调增区间为(-∞,-),(,+∞),单调减区间为(-,).
(2)∵f(x)在x=-1处取得极值,
∴f′(-1)=3×(-1)2-3a=0,
∴a=1.
∴f(x)=x3-3x-1,f′(x)=3x2-3,
由f′(x)=0,解得x1=-1,x2=1.
由(1)中f(x)的单调性可知,f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=1,
在x=1处取得极小值f(1)=-3.
∵直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,结合如图所示f(x)的图象可知:
实数m的取值范围是(-3,1).
题型三 生活中的优化问题
例3 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2,其中3
(1)求a的值;
(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
思维启迪 (1)由x=5时y=11求a;
(2)建立商场每日销售该商品所获利润和售价x的函数关系,利用导数求最值.
解 (1)因为x=5时,y=11,所以+10=11,a=2.
(2)由(1)可知,该商品每日的销售量y=+10(x-6)2.
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)=(x-3)[+10(x-6)2]
=2+10(x-3)(x-6)2,3
从而,f′(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]
=30(x-4)(x-6).
于是,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x (3,4) 4 (4,6)
f′(x) + 0 -
f(x) 单调递增 极大值42 单调递减
由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点.
所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42.
答 当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.
思维升华 在求实际问题中的最大值或最小值时, ( http: / / www.21cnjy.com )一般先设自变量、因变量、建立函数关系式,并确定其定义域,利用求函数最值的方法求解,注意结果应与实际情况相符合.用导数求解实际问题中的最大(小)值,如果函数在区间内只有一个极值点,那么根据实际意义该极值点就是最值点.
某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得10万元~1 000万元的投资收益.现准备制订一个对科研课题组的奖励方案:奖金y(万元)随投资收益x(万元)的增加而增加,且资金不超过9万元,同时奖金不超过投资收益的20%.
(1)若建立函数f(x)模型制订奖励方案,试用数学语言表述公司对奖励函数f(x)模型的基本要求;
(2)现有两个奖励函数模型:
①y=+2;
②y=4lg x-3.
试分析这两个函数模型是否符合公司要求?
解 (1)设奖励函数模型为y=f(x),
则公司对函数模型的基本要求是:
当x∈[10,1 000]时,f(x)是增函数,f(x)≤9恒成立,
f(x)≤恒成立.
(2)①对于函数模型f(x)=+2,
当x∈[10,1 000]时,f(x)是增函数,
则f(x)max=f(1 000)=+2=<9.
所以f(x)≤9恒成立.
因为函数=+在[10,1 000]上是减函数,
所以[]max=+>.
从而=+≤不恒成立,
即f(x)≤不恒成立.
故该函数模型不符合公司要求.
②对于函数模型f(x)=4lg x-3,
当x∈[10,1 000]时,f(x)是增函数,
则f(x)max=f(1 000)=4lg 1 000-3=9.
所以f(x)≤9恒成立.
设g(x)=4lg x-3-,则g′(x)=-.
当x≥10时,g′(x)=-≤<0,
所以g(x)在[10,1 000]上是减函数,
从而g(x)≤g(10)=-1<0.
所以4lg x-3-<0,即4lg x-3<,
所以f(x)≤恒成立.
故该函数模型符合公司要求.
二审结论会转换
典例:(12分)已知函数f(x)=x2+aln x.
(1)若a=-1,求函数f(x)的极值,并指出是极大值还是极小值;
(2)若a=1,求函数f(x)在[1,e]上的最大值和最小值;
(3)若a=1,求证:在区间[1,+∞)上,函数f(x)的图象在函数g(x)=x3的图象的下方.
求f(x)的极值
↓(从结论出发向条件转化,注意隐含条件——定义域)
求f′(x)=0的解,即f(x)的极值点
↓(转化为求函数值)
将极值点代入f(x)求对应的极大、极小值
↓(转化为研究单调性)
求f(x)在[1,e]上的单调性
↓(转化为求函数值)
比较端点值、极值,确定最大、最小值
↓(构造函数进行转化)
F(x)=f(x)-g(x)
↓(将图象的上、下关系转化为数量关系)
求证F(x)<0在[1,+∞)上恒成立.
↓研究函数F(x)在[1,+∞)上的单调性.
规范解答
(1)解 由于函数f(x)的定义域为(0,+∞),
当a=-1时,f′(x)=x-=, [1分]
令f′(x)=0得x=1或x=-1(舍去), [2分]
当x∈(0,1)时,函数f(x)单调递减, [3分]
当x∈(1,+∞)时,函数f(x)单调递增, [4分]
所以f(x)在x=1处取得极小值为. [5分]
(2)解 当a=1时,易知函数f(x)在[1,e]上为增函数, [6分]
∴f(x)min=f(1)=,f(x)max=f(e)=e2+1. [7分]
(3)证明 设F(x)=f(x)-g(x)=x2+ln x-x3,
则F′(x)=x+-2x2=, [9分]
当x>1时,F′(x)<0,
故f(x)在区间[1,+∞)上是减函数,又F(1)=-<0,
∴在区间[1,+∞)上,F(x)<0恒成立.
即f(x)
因此,当a=1时,在区间[1,+∞)上,函数f(x)的图象在函数g(x)图象的下方.[12分]
温馨提醒 (1)导数法是求解函数单调 ( http: / / www.21cnjy.com )性、极值、最值、参数等问题的有效方法,应用导数求单调区间关键是求解不等式的解集;最值问题关键在于比较极值与端点函数值的大小;参数问题涉及的有最值恒成立的问题、单调性的逆向应用等,求解时注意分类讨论思想的应用.
(2)对于一些复杂问题,要善于将问题转化,转化成能用熟知的导数研究问题.
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方法与技巧
1.利用导数解决含有参数的单调性问题是将问题转化为不等式恒成立问题,要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
2.在实际问题中,如果函数在区间内只有一个极值点,那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值比较.
失误与防范
1.函数f(x)在某个区间内单调递增,则f′(x)≥0而不是f′(x)>0 (f′(x)=0在有限个点处取到).
2.利用导数解决实际生活中的优化问题,要注意问题的实际意义.
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A组 专项基础训练
(时间:40分钟)
一、选择题
1. 在R上可导的函数f(x)的图象如图所示,则关于x的不等式x·f′(x)<0的解集为( )
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A.(-∞,-1)∪(0,1)
B.(-1,0)∪(1,+∞)
C.(-2,-1)∪(1,2)
D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
答案 A
解析 由f(x)的图象知,当x<-1或x>1时,f′(x)>0;
当-1
∴x·f′(x)<0的解集是(-∞,-1)∪(0,1).
2. 已知函数f(x)=x2+mx+ln x是单调递增函数,则m的取值范围是 ( )
A.m>-2 B.m≥-2
C.m<2 D.m≤2
答案 B
解析 依题意知,x>0,f′(x)=,
令g(x)=2x2+mx+1,x∈(0,+∞),
当-≤0时,g(0)=1>0恒成立,∴m≥0成立,
当->0时,则Δ=m2-8≤0,∴-2≤m<0,
综上,m的取值范围是m≥-2.
3. 已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数a的取值范围是( )
A.(-1,2) B.(-∞,-3)∪(6,+∞)
C.(-3,6) D.(-∞,-1)∪(2,+∞)
答案 B
解析 ∵f′(x)=3x2+2ax+(a+6),
由已知可得f′(x)=0有两个不相等的实根.
∴Δ=4a2-4×3(a+6)>0,即a2-3a-18>0.
∴a>6或a<-3.
4. 若函数f(x)= (a>0)在[1,+∞)上的最大值为,则a的值为 ( )
A. B. C.+1 D.-1
答案 D
解析 f′(x)==,
当x>时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
当-
0,f(x)单调递增,
当x=时,令f(x)==,=<1,不合题意.
∴f(x)max=f(1)==,a=-1,故选D.
5. 某公司生产某种产品 ( http: / / www.21cnjy.com ),固定成本为20 000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总营业收入R与年产量x的年关系是R=R(x)=则总利润最大时,每年生产的产量是 ( )
A.100 B.150 C.200 D.300
答案 D
解析 由题意得,总成本函数为C=C(x)=20 000+100x,
总利润P(x)=
又P′(x)=
令P′(x)=0,得x=300,易知x=300时,总利润P(x)最大.
二、填空题
6. 设函数f(x)=kx3-3x+1(x∈R),若对于任意x∈[-1,1],都有f(x)≥0成立,则实数k的值为________.
答案 4
解析 若x=0,则不论k取何值,f(x)≥0都成立;
当x>0,即x∈(0,1]时,
f(x)=kx3-3x+1≥0可化为k≥-.
设g(x)=-,则g′(x)=,
所以g(x)在区间(0,]上单调递增,
在区间[,1]上单调递减,
因此g(x)max=g()=4,从而k≥4;
当x<0即x∈[-1,0)时,
f(x)=kx3-3x+1≥0可化为k≤-,
g(x)=-在区间[-1,0)上单调递增,
因此g(x)min=g(-1)=4,从而k≤4,综上k=4.
7. 已知函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,则c=________.
答案 -2或2
解析 设f(x)=x3-3x+c,对f(x)求导可得,
f′(x)=3x2-3,
令f′(x)=0,可得x=±1,
易知f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递增,在(-1,1)上单调递减.
若f(1)=1-3+c=0,可得c=2;
若f(-1)=-1+3+c=0,可得c=-2.
8. 已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m、n∈[-1,1],则f(m)+f′(n)的最小值是________.
答案 -13
解析 对函数f(x)求导得f′(x)=-3x2+2ax,
由函数f(x)在x=2处取得极值知f′(2)=0,
即-3×4+2a×2=0,∴a=3.
由此可得f(x)=-x3+3x2-4,f′(x)=-3x2+6x,
易知f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,
∴当m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4.
又∵f′(x)=-3x2+6x的图象开口向下,
且对称轴为x=1,∴当n∈[-1,1]时,
f′(n)min=f′(-1)=-9.
故f(m)+f′(n)的最小值为-13.
三、解答题
9. 设a为实数,函数f(x)=ex-2x+2a,x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值;
(2)求证:当a>ln 2-1且x>0时,ex>x2-2ax+1.
(1)解 由f(x)=ex-2x+2a,x∈R知f′(x)=ex-2,x∈R.
令f′(x)=0,得x=ln 2.
于是当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,ln 2) ln 2 (ln 2,+∞)
f′(x) - 0 +
f(x) 单调递减 2(1-ln 2+a) 单调递增
故f(x)的单调递减区间是(-∞,ln 2),
单调递增区间是(ln 2,+∞),
f(x)在x=ln 2处取得极小值,
极小值为f(ln 2)=eln 2-2ln 2+2a=2(1-ln 2+a).
(2)证明 设g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R,
于是g′(x)=ex-2x+2a,x∈R.
由(1)知当a>ln 2-1时,
g′(x)取最小值为g′(ln 2)=2(1-ln 2+a)>0.
于是对任意x∈R,都有g′(x)>0,
所以g(x)在R内单调递增.
于是当a>ln 2-1时,对任意x∈(0,+∞),
都有g(x)>g(0).
而g(0)=0,从而对任意x∈(0,+∞),都有g(x)>0.
即ex-x2+2ax-1>0,故ex>x2-2ax+1.
10.统计表明,某种型号 ( http: / / www.21cnjy.com )的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为y=x3-x+8(0
(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?
解 (1)当x=40时,汽车从甲地到乙地行驶了小时,共耗油×(×403-×40+8)=17.5(升).
因此,当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,
从甲地到乙地要耗油17.5升.
(2)当速度为x千米/小时时,
汽车从甲地到乙地行驶了小时,
设耗油量为h(x)升,
依题意得h(x)=(x3-x+8)·
=x2+-(0
h′(x)=-=(0
令h′(x)=0,得x=80.
当x∈(0,80)时,h′(x)<0,h(x)是减函数;
当x∈(80,120)时,h′(x)>0,h(x)是增函数,
∴当x=80时,h(x)取得极小值h(80)=11.25.
易知h(80)是h(x)在(0,120]上的最小值.
故当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,为11.25升.
B组 专项能力提升
(时间:30分钟)
1. 已知y=f(x)是奇函数,当x ( http: / / www.21cnjy.com )∈(0,2)时,f(x)=ln x-ax(a>),当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a等于 ( )
A. B. C. D.1
答案 D
解析 ∵f(x)是奇函数,∴f(x)在(0,2)上的最大值为-1.
当x∈(0,2)时,f′(x)=-a,令f′(x)=0得x=,
又a>,∴0<<2.
当x<时,f′(x)>0,f(x)在(0,)上单调递增;
当x>时,f′(x)<0,f(x)在(,2)上单调递减,
∴f(x)max=f()=ln -a·=-1,解得a=1.
2. 已知函数f(x)的定义域为R,其导函数f′(x)的图象如图所示,
则对于任意x1,x2∈R(x1≠x2),下列结论正确的是 ( )
①f(x)<0恒成立;
②(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0;
③(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0;
④f()>;
⑤f()<.
A.①③ B.①③④
C.②④ D.②⑤
答案 D
解析 由函数f(x)的导函数的图象可得 ( http: / / www.21cnjy.com ),函数f(x)是减函数,且随着自变量的增大,导函数越来越大,即函数f(x)图象上的点向右运动时,该点的切线的斜率为负,且值越来越大,由此可作出函数f(x)的草图如图所示,由图示可得<0且f()<,由此可得结论中仅②⑤正确,故应选D.
3. 已知f(x)=xex,g(x)=- ( http: / / www.21cnjy.com )(x+1)2+a,若 x1,x2∈R,使得f(x2)≤g(x1)成立,则实数a的取值范围是________.
答案 [-,+∞)
解析 f′(x)=ex+xex=ex(1+x),
当x>-1时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;
当x<-1时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减.
所以函数f(x)的最小值为f(-1)=-.
而函数g(x)的最大值为a,则由题意,
可得-≤a即a≥-.
4. 已知f(x)=ax-ln x,x∈(0,e],g(x)=,其中e是自然常数,a∈R.
(1)讨论a=1时,函数f(x)的单调性和极值;
(2)求证:在(1)的条件下,f(x)>g(x)+;
(3)是否存在正实数a,使f(x)的最小值是3?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
(1)解 ∵f(x)=x-ln x,f′(x)=1-=,
∴当0
当1
0时,此时f(x)单调递增.
∴f(x)的极小值为f(1)=1.
(2)证明 ∵f(x)的极小值为1,即f(x)在(0,e]上的最小值为1,∴[f(x)]min=1.
又g′(x)=,
∴当0
0,g(x)在(0,e]上单调递增.
∴[g(x)]max=g(e)=<,
∴[f(x)]min-[g(x)]max>,
∴在(1)的条件下,f(x)>g(x)+.
(3)解 假设存在正实数a,使f(x)=ax-ln x(x∈(0,e])有最小值3,
则f′(x)=a-=.
①当0<
在(,e]上单调递增,
[f(x)]min=f()=1+ln a=3,a=e2,满足条件;
②当≥e时,f(x)在(0,e]上单调递减,
[f(x)]min=f(e)=ae-1=3,
a=(舍去),所以,此时f(x)无最小值.
综上,存在实数a=e2,使得当x∈(0,e]时f(x)有最小值3.
5. 已知函数f(x)=2ln x-ax+a(a∈R).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)≤0恒成立,证明:当0
解 (1)f′(x)=,x>0.
若a≤0,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增;
若a>0,当x∈(0,)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈(,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.
(2)由(1)知,若a≤0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,
又f(1)=0,故f(x)≤0不恒成立.
若a>2,当x∈(,1)时,f(x)单调递减,f(x)>f(1)=0,不合题意,
若0
f(1)=0,不合题意,
若a=2,f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,f(x)≤f(1)=0符合题意.
故a=2,且ln x≤x-1(当且仅当x=1时取“=”).
当0
所以<2(-1).HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
§3.1 导数的概念及其运算
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1. 函数y=f(x)在区间[x0,x0+Δx]的平均变化率=.
2. 函数f(x)在点x0处的导数
(1)定义
函数y=f(x)在点x0的瞬时变化率 =l,通常称为f(x)在点x0处的导数,并记作f′(x0),即
=f′(x0).
(2)几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))的切线的斜率等于f′(x0).
3. 函数f(x)的导函数
如果f(x)在开区间(a,b)内每一点x ( http: / / www.21cnjy.com )导数都存在,则称f(x)在区间(a,b)可导.这样,对开区间(a,b)内每个值x,都对应一个确定的导数f′(x).于是,在区间(a,b)内,f′(x)构成一个新的函数,我们把这个函数称为函数y=f(x)的导函数,记为f′(x)(或yx′、y′).
4. 基本初等函数的导数公式
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5. 导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x);
(2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);
(3)′= (g(x)≠0).
6. 复合函数的导数
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y= ( http: / / www.21cnjy.com )f(u),u=g(x)的导数间的关系为y′x=y′u·u′x,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同. ( × )
(2)求f′(x0)时,可先求f(x0)再求f′(x0). ( × )
(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点. ( √ )
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线. ( × )
(5)若f(x)=a3+2ax-x2,则f′(x)=3a2+2x. ( × )
(6)函数y=的导数是y′=. ( × )
2. 已知曲线y=x3在点(a,b)处的切线与直线x+3y+1=0垂直,则a的值是( )
A.-1 B.±1 C.1 D.±3
答案 B
解析 由y=x3知y′=3x2,∴切线斜率k=y′|x=a=3a2.
又切线与直线x+3y+1=0垂直,∴3a2·(-)=-1,
∴即a2=1,a=±1,故选B.
3. 如图所示为函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象,那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是
( )
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答案 D
解析 由y=f′(x)的图象知y=f′(x)在(0,+∞)上单调递减,
说明函数y=f(x)的切线的斜率在(0,+∞)上也单调递减,故可排除A,C.
又由图象知y=f′(x)与y=g′(x)的图象在x=x0处相交,
说明y=f(x)与y=g(x)的图象在x=x0处的切线的斜率相同,故可排除B.故选D.
4. (2013·江西)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(ex)=x+ex,则f′(1)=________.
答案 2
解析 设ex=t,则x=ln t(t>0),∴f(t)=ln t+t
∴f′(t)=+1,∴f′(1)=2.
5. 曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为________.
答案
解析 y′=-2e-2x,曲线在点(0,2)处的切线斜率k=-2,
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∴切线方程为y=-2x+2,该直线与直线y=0和y=x围成的三角形如图所示,
其中直线y=-2x+2与y=x的交点为A(,),
所以三角形的面积
S=×1×=.
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题型一 利用定义求函数的导数
例1 利用导数的定义求函数f(x)=x3在x=x0处的导数,并求曲线f(x)=x3在x=x0处的切线与曲线f(x)=x3的交点.
思维启迪 正确理解导数的定义,理解导数的几何意义是解本题的关键.
解 f′(x0)= =
= (x2+xx0+x)=3x.
曲线f(x)=x3在x=x0处的切线方程为
y-x=3x·(x-x0),即y=3xx-2x,
由
得(x-x0)2(x+2x0)=0,解得x=x0,x=-2x0.
若x0≠0,则交点坐标为(x0,x),(-2x0,-8x);若x0=0,则交点坐标为(0,0).
思维升华 求函数f(x)的导数步骤:
(1)求函数值的增量Δy=f(x2)-f(x1);
(2)计算平均变化率=;
(3)计算导数f′(x)= .
若函数y=f(x)在区间(a,b)内可导,且x0∈(a,b),则 的值为 ( )
A.f′(x0) B.2f′(x0)
C.-2f′(x0) D.0
答案 B
解析
=2× =2f′(x0).
题型二 导数的运算
例2 求下列函数的导数:
(1)y=ex·ln x;(2)y=x;
(3)y=sin2;(4)y=ln(2x+5).
思维启迪 求函数的导数,首先要搞清函数的结构;若式子能化简,可先化简再求导.
解 (1)y′=(ex·ln x)′=exln x+ex·=ex(ln x+).
(2)∵y=x3+1+,∴y′=3x2-.
(3)y=sin2(2x+)=-cos(4x+π)
故设y=-cos u,u=4x+π,
则yx′=yu′·ux′=sin u·4=2sin u=2sin(4x+π).
(4)设y=ln u,u=2x+5,则y′x=y′u·u′x,
因此y′=·(2x+5)′=.
思维升华 (1)求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错;
(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式 ( http: / / www.21cnjy.com ),但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简,然后进行求导,有时可以避免使用商的求导法则,减少运算量;
(3)复合函数的求导,要正确分析函数的复合层次,通过设中间变量,确定复合过程,然后求导.
求下列函数的导数.
(1)y=(x+1)(x+2)(x+3);
(2)y=sin (1-2cos2);
(3)y=ln(x2+1).
解 (1)方法一 ∵y=(x2+3x+2)(x+3)
=x3+6x2+11x+6,
∴y′=3x2+12x+11.
方法二 y′=[(x+1)(x+2)]′(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)′
=[(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′](x+3)+(x+1)(x+2)
=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)
=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)
=3x2+12x+11.
(2)∵y=sin (-cos )=-sin x,
∴y′=(-sin x)′=-(sin x)′=-cos x.
(3)y′=ln(x2+1)′=·(x2+1)′=.
题型三 导数的几何意义
例3 已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4.
(1)求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程.
思维启迪 由导数的几何意义先求斜率,再求方程,注意点是否在曲线上,是否为切点.
解 (1)∵f′(x)=3x2-8x+5,∴f′(2)=1,
又f(2)=-2,
∴曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-(-2)=x-2,
即x-y-4=0.
(2)设切点坐标为(x0,x-4x+5x0-4),
∵f′(x0)=3x-8x0+5,
∴切线方程为y-(-2)=(3x-8x0+5)(x-2),
又切线过点(x0,x-4x+5x0-4),
∴x-4x+5x0-2=(3x-8x0+5)(x0-2),
整理得(x0-2)2(x0-1)=0,解得x0=2或x0=1,
∴经过A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程为x-y-4=0,或y+2=0.
思维升华 导数几何意义的应用,需注意以下两点:
(1)当曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线垂直于x轴时,函数在该点处的导数不存在,切线方程是x=x0;
(2)注意区分曲线在某点处 ( http: / / www.21cnjy.com )的切线和曲线过某点的切线.曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是y-f(x0)=f′(x0)(x-x0);求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解.
已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P(1,1),且在点Q(2,-1)处与直线y=x-3相切,求实数a、b、c的值.
解 ∵y′=2ax+b,
∴抛物线在点Q(2,-1)处的切线斜率为
k=y′|x=2=4a+b.
∴4a+b=1. ①
又∵点P(1,1)、Q(2,-1)在抛物线上,∴a+b+c=1, ②
4a+2b+c=-1. ③
联立①②③解方程组,得
∴实数a、b、c的值分别为3、-11、9.
一审条件挖隐含
典例:(12分)设函数y=x2-2x+2的图象为C1,函数y=-x2+ax+b的图象为C2,已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直.
(1)求a,b之间的关系;
(2)求ab的最大值.
C1与C2有交点
↓(可设C1与C2的交点为(x0,y0))
过交点的两切线互相垂直
↓(切线垂直隐含着斜率间的关系)
两切线的斜率互为负倒数
↓导数的几何意义
利用导数求两切线的斜率:
k1=2x0-2,k2=-2x0+a
↓等价转换
(2x0-2)(-2x0+a)=-1 ①
↓(交点(x0,y0)适合解析式)
,即2x-(a+2)x0+2-b=0 ②
↓注意隐含条件方程①②同解
a+b=
↓ 消元
ab=a=-2+
当a=时,ab最大且最大值为.
规范解答
解 (1)对于C1:y=x2-2x+2,有y′=2x-2, [1分]
对于C2:y=-x2+ax+b,有y′=-2x+a, [2分]
设C1与C2的一个交点为(x0,y0),
由题意知过交点(x0,y0)的两切线互相垂直.
∴(2x0-2)(-2x0+a)=-1,
即4x-2(a+2)x0+2a-1=0 ①
又点(x0,y0)在C1与C2上,
故有
2x-(a+2)x0+2-b=0 ②
由①②消去x0,可得a+b=. [6分]
(2)由(1)知:b=-a,
∴ab=a=-2+. [9分]
∴当a=时,(ab)最大值=. [12分]
温馨提醒 审题包括两方面内容:题目信息 ( http: / / www.21cnjy.com )的挖掘、整合以及解题方法的选择;本题切入点是两条曲线有交点P(x0,y0),交点处的切线互相垂直,通过审题路线可以清晰看到审题的思维过程.
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方法与技巧
1.f′(x0)代表函数f(x)在 ( http: / / www.21cnjy.com )x=x0处的导数值;(f(x0))′是函数值f(x0)的导数,而函数值f(x0)是一个常量,其导数一定为0,即(f(x0))′=0.
2.对于函数求导,一般要遵循先化简 ( http: / / www.21cnjy.com )再求导的基本原则.求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用,在实施化简时,首先必须注意变换的等价性,避免不必要的运算失误.
失误与防范
1.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆.复合函数的导数要正确分解函数的结构,由外向内逐层求导.
2.求曲线切线时,要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别,前者只有一条,而后者包括了前者.
3.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个,这和研究直线与二次曲线相切时有差别.
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A组 专项基础训练
(时间:40分钟)
一、选择题
1. 设f(x)=xln x,若f′(x0)=2,则x0的值为 ( )
A.e2 B.e C. D.ln 2
答案 B
解析 由f(x)=xln x得f′(x)=ln x+1.
根据题意知ln x0+1=2,所以ln x0=1,因此x0=e.
2. 若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f′(1)=2,则f′(-1)等于 ( )
A.-1 B.-2 C.2 D.0
答案 B
解析 f′(x)=4ax3+2bx,
∵f′(x)为奇函数且f′(1)=2,∴f′(-1)=-2.
3. 若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则l的方程为 ( )
A.4x-y-3=0 B.x+4y-5=0
C.4x-y+3=0 D.x+4y+3=0
答案 A
解析 切线l的斜率k=4,设y=x4的切点的坐标为(x0,y0),则k=4x=4,∴x0=1,∴切点为(1,1),
即y-1=4(x-1),整理得l的方程为4x-y-3=0.
4. 曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴及直线x=1所围成的三角形的面积为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 求导得y′=3x2,所以y′=3x2|x=1=3,
所以曲线y=x3在点(1,1)处的切线方程为y-1=3(x-1),
结合图象易知所围成的三角形是直角三角形,
三个交点的坐标分别是(,0),(1,0),(1,1),
于是三角形的面积为×(1-)×1=,故选B.
5. 已知f1(x)=sin x+cos x ( http: / / www.21cnjy.com ),fn+1(x)是fn(x)的导函数,即f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N+,则f2 015(x)等于 ( )
A.-sin x-cos x B.sin x-cos x
C.-sin x+cos x D.sin x+cos x
答案 A
解析 ∵f1(x)=sin x+cos x,
∴f2(x)=f1′(x)=cos x-sin x,
∴f3(x)=f2′(x)=-sin x-cos x,
∴f4(x)=f3′(x)=-cos x+sin x,
∴f5(x)=f4′(x)=sin x+cos x,
∴fn(x)是以4为周期的函数,
∴f2 015(x)=f3(x)=-sin x-cos x,故选A.
二、填空题
6. 已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=3x2+2x·f′(2),则f′(5)=________.
答案 6
解析 对f(x)=3x2+2xf′(2)求导,
得f′(x)=6x+2f′(2).令x=2,得f′(2)=-12.
再令x=5,得f′(5)=6×5+2f′(2)=6.
7. 已知函数y=f(x)及其导函数y=f′(x)的图象如图所示,则曲线
y=f(x)在点P处的切线方程是__________.
答案 x-y-2=0
解析 根据导数的几何意义及图象可知,曲线y=f(x)在点P处的
切线的斜率k=f′(2)=1,又过点P(2,0),
所以切线方程为x-y-2=0.
8. 若函数f(x)=x2-ax+ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是________.
答案 [2,+∞)
解析 ∵f(x)=x2-ax+ln x,
∴f′(x)=x-a+.
∵f(x)存在垂直于y轴的切线,
∴f′(x)存在零点,
x+-a=0,∴a=x+≥2.
三、解答题
9. 求下列函数的导数.
(1)y=xnlg x;
(2)y=++;
(3)y=;
(4)y=logasin x(a>0且a≠1).
解 (1)y′=nxn-1lg x+xn·=xn-1(nlg x+).
(2)y′=()′+()′+()′
=(x-1)′+(2x-2)′+(x-3)′
=-x-2-4x-3-3x-4
=---.
(3)y′=()′=
=
=.
(4)令y=logau,u=sin x,
y′=logae·cos x=·logae=.
10.已知曲线y=x3+.
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程;
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程.
解 (1)∵P(2,4)在曲线y=x3+上,且y′=x2,
∴在点P(2,4)处的切线的斜率为y′|x=2=4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),
即4x-y-4=0.
(2)设曲线y=x3+与过点P(2,4)的切线相切于点A,则切线的斜率为y′|x=x0=x.
∴切线方程为y-=x(x-x0),
即y=x·x-x+.
∵点P(2,4)在切线上,∴4=2x-x+,
即x-3x+4=0,∴x+x-4x+4=0,
∴x(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,
∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,
故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0.
B组 专项能力提升
(时间:30分钟)
1. 在函数y=x3-9x的图象上,满足在该点处的切线的倾斜角小于,且横、纵坐标都为整数的点的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 A
解析 依题意得,y′=3x2-9,令0≤y′<1得3≤x2<,
显然满足该不等式的整数x不 ( http: / / www.21cnjy.com )存在,因此在函数y=x3-9x的图象上,满足在该点处的切线的倾斜角小于,且横、纵坐标都为整数的点的个数是0,选A.
2. 若函数f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限,则函数f′(x)的大致图象是( )
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答案 A
解析 ∵f(x)=x2+bx+c=2-+c,
由f(x)的图象的顶点在第四象限得->0,∴b<0.
又f′(x)=2x+b,斜率为正,纵截距为负,故选A.
3. 已知曲线C:f(x)=x3-ax+a,若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C的两条切线,它们的倾斜角互补,则a的值为________.
答案
解析 设切点坐标为(t,t3-at+a).
由题意知,f′(x)=3x2-a,
切线的斜率为k=y′|x=t=3t2-a, ①
所以切线方程为y-(t3-at+a)=(3t2-a)(x-t). ②
将点(1,0)代入②式得,-(t3-at+a)=(3t2-a)(1-t),
解之得,t=0或t=.
分别将t=0和t=代入①式,得k=-a和k=-a,
由题意得它们互为相反数得a=.
4. 设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.
(1)求f(x)的解析式;
(2)曲线f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值.
解 (1)方程7x-4y-12=0可化为y=x-3.
当x=2时,y=.又f′(x)=a+,
于是 解得故f(x)=x-.
(2)设P(x0,y0)为曲线上任一点,由y′=1+知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(x-x0),
即y-=(x-x0).
令x=0,得y=-,
从而得切线与直线x=0的交点坐标为.
令y=x,得y=x=2x0,
从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).
所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为S=|2x0|=6.
故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为定值,且此定值为6.
5. 设有抛物线C:y=-x2+x-4,过原点O作C的切线y=kx,使切点P在第一象限.
(1)求k的值;
(2)过点P作切线的垂线,求它与抛物线的另一个交点Q的坐标.
解 (1)设点P的坐标为(x1,y1),则y1=kx1, ①
y1=-x+x1-4, ②
①代入②得x+(k-)x1+4=0.
∵P为切点,∴Δ=(k-)2-16=0得k=或k=.
当k=时,x1=-2,y1=-17.
当k=时,x1=2,y1=1.
∵P在第一象限,∴所求的斜率k=.
(2)过P点作切线的垂线,其方程为y=-2x+5. ③
将③代入抛物线方程得x2-x+9=0.
设Q点的坐标为(x2,y2),即2x2=9,
∴x2=,y2=-4.∴Q点的坐标为(,-4).压轴题目突破练——函数与导数
A组 专项基础训练
(时间:40分钟)
一、选择题
1. 与直线2x-6y+1=0垂直,且与曲线f(x)=x3+3x2-1相切的直线方程是( )
A.3x+y+2=0 B.3x-y+2=0
C.x+3y+2=0 D.x-3y-2=0
答案 A
解析 设切点的坐标为(x0,x+3x-1),
则由切线与直线2x-6y+1=0垂直,
可得切线的斜率为-3,
又f′(x)=3x2+6x,故3x+6x0=-3,
解得x0=-1,于是切点坐标为(-1,1),
从而得切线的方程为3x+y+2=0.
2. 设f(x),g(x)在[a,b]上可导,且f′(x)>g′(x),则当a
A.f(x)>g(x)
B.f(x)
C.f(x)+g(a)>g(x)+f(a)
D.f(x)+g(b)>g(x)+f(b)
答案 C
解析 ∵f′(x)-g′(x)>0,∴(f(x)-g(x))′>0,
∴f(x)-g(x)在[a,b]上是增函数,
∴当a
f(a)-g(a),
∴f(x)+g(a)>g(x)+f(a).
3. 三次函数f(x)=mx3-x在(-∞,+∞)上是减函数,则m的取值范围是 ( )
A.m<0 B.m<1 C.m≤0 D.m≤1
答案 A
解析 f′(x)=3mx2-1,依题可得m<0.
4. 点P是曲线x2-y-2ln=0上任意一点,则点P到直线4x+4y+1=0的最短距离是
( )
A.(1-ln 2) B.(1+ln 2)
C. D.(1+ln 2)
答案 B
解析 将直线4x+4y+1=0平移后得直线l:4x+4y+b=0,使直线l与曲线切于点P(x0,y0),
由x2-y-2ln=0得y′=2x-,
∴直线l的斜率k=2x0-=-1
x0=或x0=-1(舍去),
∴P,
所求的最短距离即为点P到直线4x+4y+1=0的距离d==(1+ln 2).
5. 函数f(x)在定义域内的图象如图所示,记f(x)的导函数为f′(x),则不等式f′(x)≤0的解集为 ( )
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A.∪[1,2) B.∪
C.∪[2,3) D.∪∪
答案 C
解析 不等式f′(x)≤0的解 ( http: / / www.21cnjy.com )集即为函数f(x)的单调递减区间,从图象中可以看出函数f(x)在和[2,3)上是单调递减的,所以不等式f′(x)≤0的解集为∪[2,3),答案选C.
二、填空题
6. 设函数f(x)=x3+·x2+tan θ,其中θ∈,则导数f′(1)的取值范围是________.
答案 [,2]
解析 ∵f′(x)=sin θ·x2+cos θ·x,
∴f′(1)=sin θ+cos θ=2sin.
∵θ∈,∴θ+∈,
∴sin∈.∴f′(1)∈[,2].
7. (2012·江西)计算定积分 (x2+sin x)dx=________.
答案
解析 ∵′=x2+sin x,
8. 把一个周长为12 cm的长方形围成一个圆柱,当圆柱的体积最大时,该圆柱的底面周长与高的比为________.
答案 2∶1
解析 设圆柱高为x,底面半径为r,则r=,圆柱体积V=π2x=(x3-12x2+36x)(0
V′=(x-2)(x-6).
当x=2时,V最大.此时底面周长为6-x=4,4∶2=2∶1.
三、解答题
9. (2013·重庆)设f(x)= ( http: / / www.21cnjy.com )a(x-5)2+6ln x,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6).
(1)确定a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间与极值.
解 (1)因为f(x)=a(x-5)2+6ln x,
故f′(x)=2a(x-5)+.
令x=1,得f(1)=16a,f′(1)=6-8a,
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为
y-16a=(6-8a)(x-1),
由点(0,6)在切线上可得6-16a=8a-6,故a=.
(2)由(1)知,f(x)=(x-5)2+6ln x(x>0),
f′(x)=x-5+=.
令f′(x)=0,解得x1=2,x2=3.
当0
3时,f′(x)>0,
故f(x)在(0,2),(3,+∞)上为增函数;
当2
由此可知,f(x)在x=2处取得极大值f(2)=+6ln 2,在x=3处取得极小值f(3)=2+6ln 3.
10.已知f(x)是二次函数,不等式f(x)<0的解集是(0,5),且f(x)在区间[-1,4]上的最大值是12.
(1)求f(x)的解析式;
(2)是否存在自然数m,使得方程f ( http: / / www.21cnjy.com )(x)+=0在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实数根?若存在,求出所有m的值;若不存在,请说明理由.
解 (1)∵f(x)是二次函数,且f(x)<0的解集是(0,5),
∴可设f(x)=ax(x-5)(a>0).
∴f(x)在区间[-1,4]上的最大值是f(-1)=6a.
由已知,得6a=12,∴a=2,
∴f(x)=2x(x-5)=2x2-10x(x∈R).
(2)方程f(x)+=0等价于方程2x3-10x2+37=0,
设h(x)=2x3-10x2+37,
则h′(x)=6x2-20x=2x(3x-10).
当x∈时,h′(x)<0,h(x)是减函数;
当x∈时,h′(x)>0,h(x)是增函数.
∵h(3)=1>0,h=-<0,h(4)=5>0,
∴方程h(x)=0在区间,内分别有唯一实数根,而在区间(0,3),(4,+∞)内没有实数根,
∴存在唯一的自然数m=3,使得方程f(x)+=0在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实数根.
B组 专项能力提升
(时间:25分钟)
1. 已知函数f(x)(x∈R)的图象上任 ( http: / / www.21cnjy.com )一点(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(x0-2)(x-1)(x-x0),那么函数f(x)的单调减区间是 ( )
A.[-1,+∞) B.(-∞,2]
C.(-∞,-1),(1,2) D.[2,+∞)
答案 C
解析 根据函数f(x)(x∈R)的 ( http: / / www.21cnjy.com )图象上任一点(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(x0-2)(x-1)(x-x0),可知其导数f′(x)=(x-2)(x2-1)=(x+1)(x-1)(x-2),令f′(x)<0得x<-1或1
2. 给出定义:若函数f(x)在D上可 ( http: / / www.21cnjy.com )导,即f′(x)存在,且导函数f′(x)在D上也可导,则称函数f(x)在D上存在二阶导函数,记f″(x)=(f′(x))′.若f″(x)<0在D上恒成立,则称函数f(x)在D上为凸函数,以下四个函数在上不是凸函数的是 ( )
A.f(x)=sin x+cos x B.f(x)=ln x-2x
C.f(x)=-x3+2x-1 D.f(x)=-xe-x
答案 D
解析 对于选项A,f(x)=sin x+cos x,
则f″(x)=-sin x-cos x<0在上恒成立,
故此函数为凸函数;
对于选项B,f(x)=ln x-2x,
则f″(x)=-<0在上恒成立,
故此函数为凸函数;
对于选项C,f(x)=-x3+2x-1,
则f″(x)=-6x<0在上恒成立,
故此函数为凸函数;
对于选项D,f(x)=-xe-x,
则f″(x)=2e-x-xe-x=(2-x)e-x>0在上恒成立,故此函数不是凸函数.
3. 函数y=x2(x>0)的图 ( http: / / www.21cnjy.com )象在点(ak,a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,其中k∈N+.若a1=16,则a1+a3+a5的值是________.
答案 21
解析 因为y′=2x,所以过点(ak,a)处的切线方程为y-a=2ak(x-ak).又该切线与x轴的交点为(ak+1,0),
所以ak+1=ak,即数列{ak}是等比数列,
首项a1=16,其公比q=,
所以a3=4,a5=1.所以a1+a3+a5=21.
4. 设函数f(x)=,g(x)=,对任意x1、x2∈(0,+∞),不等式≤恒成立,则正数k的取值范围是________.
答案 [1,+∞)
解析 因为对任意x1、x2∈(0,+∞),
不等式≤恒成立,所以≥max.
因为g(x)=,
所以g′(x)=()′==e2-x-xe2-x=e2-x(1-x).
当0
0;当x>1时,g′(x)<0,
所以g(x)在(0,1]上单调递增,在[1,+∞)上单调递减.
所以当x=1时,g(x)取到最大值,即g(x)max=g(1)=e;
因为f(x)=,当x∈(0,+∞)时,
f(x)=e2x+≥2e,当且仅当e2x=,
即x=时取等号,故f(x)min=2e.
所以max==.
所以≥.又因为k为正数,所以k≥1.
5. (2012·辽宁)设f(x)=ln x+-1,证明:
(1)当x>1时,f(x)<(x-1);
(2)当1
证明 (1)方法一 记g(x)=ln x+-1-(x-1),
则当x>1时,g′(x)=+-<0.
又g(1)=0,所以有g(x)<0,即f(x)<(x-1).
方法二 当x>1时,2
令k(x)=ln x-x+1,则k(1)=0,k′(x)=-1<0,
故k(x)<0,即ln x
由①②得,当x>1时,f(x)<(x-1).
(2)方法一 记h(x)=f(x)-,
由(1)得h′(x)=+-
=-<-=.
令G(x)=(x+5)3-216x,则当1
G′(x)=3(x+5)2-216<0,
因此G(x)在(1,3)内是减函数.
又由G(1)=0,得G(x)<0,所以h′(x)<0.
因此h(x)在(1,3)内是减函数.
又h(1)=0,所以h(x)<0.
于是当1
方法二 记h(x)=(x+5)f(x)-9(x-1),
则当1
由(1)得h′(x)=f(x)+(x+5)f′(x)-9
<(x-1)+(x+5)·-9
=[3x(x-1)+(x+5)(2+)-18x]
<
=(7x2-32x+25)<0.
因此h(x)在(1,3)内单调递减.
又h(1)=0,所以h(x)<0,即f(x)<.§3.4 定积分
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1. 定积分的定义
设函数y=f(x)定义在区间 ( http: / / www.21cnjy.com )[a,b]上用分点a=x0
2. 定积分的运算性质
(1) kf(x)dx=k f(x)dx (k为常数).
(2) [f(x)±g(x)]dx= f(x)dx± g(x)dx.
(3) f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx (a
3. 微积分基本定理
如果F′(x)=f(x),且f(x)在[a,b]上可积,则 f(x)dx=F(b)-F(a).其中F(x)叫做f(x)的一个原函数.
1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,则 f(x)dx= f(t)dt. ( √ )
(2)若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续且恒正,则 f(x)dx>0. ( √ )
(3)若 f(x)dx<0,那么由y=f(x),x=a,x=b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方.
( × )
(4)若f(x)是偶函数,则 f(x)dx=2 f(x)dx. ( √ )
(5)若f(x)是奇函数,则 f(x)dx=0. ( √ )
(6)曲线y=x2与y=x所围成的面积是 (x2-x)dx. ( × )
2. (2013·湖北)一辆汽车 ( http: / / www.21cnjy.com )在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=7-3t+(t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是 ( )
A.1+25ln 5 B.8+25ln
C.4+25ln 5 D.4+50ln 2
答案 C
解析 令v(t)=0得t=4或t=-(舍去),
∴汽车行驶距离s= (7-3t+)dt
=(7t-t2+25ln(1+t))|
=28-24+25ln 5=4+25ln 5.
3. 设函数f(x)=xm+ax的导函数f′(x)=2x+1,则 f(-x)dx的值等于 ( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 由于f(x)=xm+ax的导函数为f′(x)=2x+1,
所以f(x)=x2+x,
于是 f(-x)dx= (x2-x)dx=|=.
4. 曲线y=与直线y=x-1及x=4所围成的封闭图形的面积为 ( )
A.2ln 2 B.2-ln 2
C.4-ln 2 D.4-2ln 2
答案 D
解析 如图,所求面积为阴影部分面积,其面积为三角形,ADE的面积减去不规则图形ABCE的面积,
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故S= (x-1)dx- dx=(x2-x)|-2ln x|=4-2ln 2,选D.
5. 一物体在力F(x)=(单位:N)的作用下沿与力F相同的方向,从x=0处运动到x=4(单位:m)处,则力F(x)做的功为________焦.
答案 36
解析 力F(x)做的功为 F(x)dx= 5dx+ (3x+4)dx=5×(2-0)+(42-22)+4×(4-2)=36.
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题型一 定积分的计算
例1 (1)设f(x)=则 f(x)dx等于 ( )
A. B. C. D.不存在
(2)若定积分 dx=,则m等于 ( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
思维启迪 (1)利用定积分的性质和微积分基本定理计算;
(2)利用定积分的几何意义计算.
答案 (1)C (2)A
解析 (1)如图, f(x)dx= x2dx+ (2-x)dx
=x3|+|
=+=.
(2)根据定积分的几何意义知,定积分 ( http: / / www.21cnjy.com ) dx的值就是函数y=的图象与x轴及直线x=-2,x=m所围成图形的面积,y=是一个半径为1的半圆,其面积等于,而 dx=,即在区间[-2,m]上该函数图象应为个圆,于是得m=-1,故选A.
思维升华 (1)计算定积分要先将被积函数化简后利用运算性质分解成几个简单函数的定积分,再利用微积分基本定理求解;
(2)对函数图象和圆有关的定积分可以利用定积分的几何意义求解.
(1)设f(x)=若f(f(1))=1,则a=________.
(2) -sin xdx=________.
答案 (1)1 (2)0
解析 (1)由题意知f(1)=lg 1=0,
∴f(0)=0+a3-03=1,∴a=1.
(2)由于函数y=sin x在区间[-,]上是一个奇函数,图象关于原点成中心对称,在x轴上方和下方面积相等,故该区间上定积分的值为面积的代数和,等于0,即sin xdx=0.
题型二 利用定积分求曲边梯形的面积
例2 如图所示,求由抛物线y=-x2+4x-3及其在点A(0,-3)和点B(3,0)处的切线所围成的图形的面积.
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思维启迪 求出两切线交点M的坐标,将积分区间分为两段、.
解 由题意,知抛物线y=-x2+4 ( http: / / www.21cnjy.com )x-3在点A处的切线斜率是k1=y′|x=0=4,在点B处的切线斜率是k2=y′|x=3=-2.因此,抛物线过点A的切线方程为y=4x-3,过点B的切线方程为y=-2x+6.
设两切线相交于点M,由
消去y,得x=,即点M的横坐标为.
在区间上,曲线y=4x-3在曲线y=-x2+4x-3的上方;在区间上,曲线y=-2x+6在曲线y=-x2+4x-3的上方.
因此,所求的图形的面积是
( http: / / www.21cnjy.com )
思维升华 对于求平面图形的面积问题,应首先画出平面图形的大致图形,然后根据图形特点,选择相应的积分变量及被积函数,并确定被积区间.
已知函数y=f(x)的图象是折线段ABC,其中A(0,0)、B(,5)、C(1,0).函数y=xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为________.
答案
解析 由已知可得f(x)=
则y=xf(x)=
( http: / / www.21cnjy.com ) HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
题型三 定积分在物理中的应用
例3 一物体做变速直线运动,其v-t曲线如图所示,则该物体在 s~6 s间的运动路程为__________.
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思维启迪 从题图上可以看出物体在0≤ ( http: / / www.21cnjy.com )t≤1时做加速运动,1≤t≤3时做匀速运动,3≤t≤6时也做加速运动,但加速度不同,也就是说0≤t≤6时,v(t)为一个分段函数,故应分三段求积分才能求出曲边梯形的面积.
答案 m
解析 由题图可知,v(t)=,
因此该物体在 s~6 s间运动的路程为
思维升华 定积分在物理方面的应用主要包括:①求变速直线运动的路程;②求变力所做的功.
设变力F(x)作用在质点M上,使M沿x轴正向从x=1运动到x=10,已知F(x)=x2+1且和x轴正向相同,求变力F(x)对质点M所做的功.
解 变力F(x)=x2+1使质点M沿x轴正向从x=1运动到x=10所做的功为W= F(x)dx= (x2+1)dx
=(x3+x)|=342,
即变力F(x)对质点M所做的功为342.
函数思想、数形结合思想在定积分中的应用
典例:(12分)在区间[0,1]上给定曲线y=x2.试在此区间内确定点t的
值,使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小,并求最小值.
思维启迪 (1)题目要求是求S1与S2之和最小,所以要先构造S=S1+
S2的函数,利用函数思想求解.(2)S1、S2的面积只能通过定积
分求解,所以要选准积分变量.
规范解答
解 S1面积等于边长为t与t2的矩形面积去掉曲线y=x2与x轴、直线x=t所围成的面积,
即S1=t·t2- x2dx=t3. [2分]
S2的面积等于曲线y=x2与x轴,x=t,x=1围成的面积去掉矩形面积,矩形边长分别为t2,1-t,
即S2= x2dx-t2(1-t)=t3-t2+. [4分]
所以阴影部分的面积
S=S1+S2=t3-t2+(0≤t≤1). [6分]
令S′(t)=4t2-2t=4t=0,
得t=0或t=. [8分]
t=0时,S=;t=时,S=;t=1时,S=. [10分]
所以当t=时,S最小,且最小值为. [12分]
温馨提醒 (1)本题既不是直接求曲 ( http: / / www.21cnjy.com )边梯形面积问题,也不是直接求函数的最小值问题,而是先利用定积分求出面积的和,然后利用导数的知识求面积和的最小值,难点在于把用导数求函数最小值的问题置于先求定积分的题境中,突出考查知识的迁移能力和导数的应用意识.
(2)本题易错点:一是缺乏函数的意识;二是不能正确选择被积区间.
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方法与技巧
1. 求定积分的方法
(1)利用定义求定积分(定义法),可操作性不强.
(2)利用微积分基本定理求定积分步骤如下:①求被积函数f(x)的一个原函数F(x);②计算F(b)-F(a).
(3)利用定积分的几何意义求定积分
2. 求曲边多边形面积的步骤:
(1)画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形.
(2)借助图形确定被积函数,求出交点坐标,确定积分的上限、下限.
(3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和.
(4)计算定积分.
失误与防范
1.被积函数若含有绝对值号,应先去绝对值号,再分段积分.
2.若积分式子中有几个不同的参数,则必须先分清谁是被积变量.
3.定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限.
4.定积分的几何意义是曲边梯形的面积,但要注意:面积非负,而定积分的结果可以为负.
5.将要求面积的图形进行科学而准确的划分,可使面积的求解变得简捷.
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A组 专项基础训练
(时间:40分钟)
一、选择题
1. (sin x-acos x)dx=2,则实数a等于 ( )
A.-1 B.1 C.- D.
答案 A
解析
=-a+1=2,a=-1.
2. 由直线x=-,x=,y=0与曲线y=cos x所围成的封闭图形的面积为 ( )
A. B.1
C. D.
答案 D
解析
3. (2013·江西)若S1= x2dx,S2= dx,S3= exdx,则S1,S2,S3的大小关系为( )
A.S1
C.S2
答案 B
解析 利用定积分的几何意义知B正确.
4. 图中阴影部分的面积是 ( )
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A.16 B.18
C.20 D.22
答案 B
解析 S= dy=|=18.
5. 一物体在变力F(x ( http: / / www.21cnjy.com ))=5-x2(力单位:N,位移单位:m)作用下,沿与F(x)成30°方向作直线运动,则由x=1运动到x=2时F(x)做的功为 ( )
A. J B. J
C. J D.2 J
答案 C
解析 F(x)×cos 30°dx= (5-x2)×dx
=×|=,
∴F(x)做的功为 J.
二、填空题
6. (x2+1)dx=________.
答案 12
解析 (x2+1)dx=|
=×33+3=12.
7. 如图所示,函数y=-x2+2x+1与y=1相交形成一个闭合图形(图中的
阴影部分),则该闭合图形的面积是________.
答案
解析 由,
得x1=0,x2=2.
∴S= (-x2+2x+1-1)dx
= (-x2+2x)dx
=|=-+4=.
8. 汽车以v=3t+2 (单位:m/s)作变速直线运动时,在第1 s至第2 s间的1 s内经过的路程是________ m.
答案 6.5
解析 s= (3t+2)dt=|
=×4+4-
=10-= (m).
三、解答题
9. 求曲线y=,y=2-x,y=-x所围成图形的面积.
解 由得交点A(1,1);
由得交点B(3,-1).
故所求面积S= dx+ dx
=|+|
=++=.
10.汽车以54 km/h的速度行驶,到某处需要减速停车,设汽车以等加速度-3 m/s2刹车,问从开始刹车到停车,汽车走了多远?
解 由题意,得v0=54 km/h=15 m/s.
所以v(t)=v0-at=15-3t.
令v(t)=0,得15-3t=0.解得t=5.
所以开始刹车5 s后,汽车停车.
所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为
s= v(t)dt= (15-3t)dt=|=37.5(m).
故汽车走了37.5 m.
B组 专项能力提升
(时间:30分钟)
1. 设f(x)=(其中e为自然对数的底数),则 f(x)dx的值为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 根据定积分的运算法则,由题意,可知 f(x)dx= x2dx+ dx=x3|+ln x|=+1=.
2. 曲线y=与直线y=x,x=2所围成的图形的面积为________.
答案 -ln 2
解析 S= xdx- dx
=x2|-ln x|
=-(ln 2-ln 1)=-ln 2.
3. 作变速直线运动的质点的速度是v(t)=(单位m/s)
(1)该质点从t=10到t=30时所经过的路程是________ m;
(2)该质点从开始运动到结束运动共经过________ m.
答案 (1)350 (2)1 600
解析 (1)s1= v(t)dt= tdt+ 20dt
==350.
(2)s2= v(t)dt= tdt+ 20dt+ (100-t)dt
=1 600.
4. 曲线C:y=2x3-3x2-2x+1,点P(,0),求过P的切线l与C围成的图形的面积.
解 设切点坐标为(x0,y0),
y′=6x2-6x-2,
则f′(x0)=6x-6x0-2,
切线方程为y=(6x-6x0-2)(x-),
则y0=(6x-6x0-2)(x0-),
即2x-3x-2x0+1=(6x-6x0-2)(x0-),
整理得x0(4x-6x0+3)=0,
解得x0=0,则切线方程为y=-2x+1.
解方程组,得或.
由y=2x3-3x2-2x+1与y=-2x+1的图象可知
5. 直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围图形为面积相等的两部分,求k的值.
解 如图所示,抛物线y=x-x2与x轴两交点的横坐标为
x1=0,x2=1,
所以,抛物线与x轴所围图形的面积
S= (x-x2)dx==.
又由此可得,
抛物线y=x-x2与y=kx两交点的横坐标为x3=0,x4=1-k,
所以,= (x-x2-kx)dx=
=(1-k)3.
又知S=,所以(1-k)3=,
于是k=1- =1-.
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