§2.9 函数的应用
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1． 几类函数模型及其增长差异
(1)几类函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b (a、b为常数，a≠0)
反比例函
数模型 f(x)＝＋b (k，b为常数且k≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数模型 f(x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0)
(2)三种函数模型的性质
y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同
值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax
2. 解函数应用问题的步骤(四步八字)
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．
以上过程用框图表示如下：
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1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大． ( × )
(2)幂函数增长比直线增长更快． ( × )
(3)不存在x0，使ax0(4)美缘公司2010年新上市的一种化 ( http: / / www.21cnjy.com )妆品，由于脱销，在2011年曾提价25%,2014年想要恢复成原价，则应降价25%. ( × )
(5)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利． ( √ )
(6)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)2． 某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y ( http: / / www.21cnjy.com )1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站 ( )
A．5千米处 B．4千米处
C．3千米处 D．2千米处
答案 A
解析 由题意得，y1＝，y2＝k2x，其中x>0，当x＝10时，代入两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，可得k1＝20，k2＝，y1＋y2＝＋x≥2＝8，当且仅当＝x，即x＝5时取等号，故选A.
3． 汽车经过启动、加速行驶、 ( http: / / www.21cnjy.com )匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是 ( )
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答案 A
解析 汽车加速行驶时，速度变 ( http: / / www.21cnjy.com )化越来越快，而汽车匀速行驶时，速度保持不变，体现在s与t的函数图象上是一条直线，减速行驶时，速度变化越来越慢，但路程仍是增加的．
4． 某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是 ( )
A．118元 B．105元 C．106元 D．108元
答案 D
解析 设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108，故选D.
5． 某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且 ( http: / / www.21cnjy.com )知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．
答案 2ln 2 1 024
解析 当t＝0.5时，y＝2，∴2＝，
∴k＝2ln 2，∴y＝e2tln 2，
当t＝5时，y＝e10ln 2＝210＝1 024.
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题型一 二次函数模型
例1 某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示
的抛物线的一段，已知跳水板AB长为2 m，跳水板距水
面CD的高BC为3 m，CE＝5 m，CF＝6 m，为安全和空
中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点h m(h≥1)时达
到距水面最大高度4 m，规定：以CD为横轴，CB为纵轴
建立直角坐标系．
(1)当h＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；
(2)若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到压水花的训练要求，求达到压水花的训练要求时h的取值范围．
思维启迪 (1)可根据抛物线方程的顶点式求跳水曲线所在的抛物线方程；
(2)利用x＝5，x＝6时函数值的符号求h范围．
解 (1)由题意知最高点为(2＋h,4)，h≥1，
设抛物线方程为y＝a[x－(2＋h)]2＋4，
当h＝1时，最高点为(3,4)，方程为y＝a(x－3)2＋4，
将A(2,3)代入，得3＝a(2－3)2＋4，解得a＝－1.
∴当h＝1时，跳水曲线所在的抛物线方程为y＝－(x－3)2＋4.
(2)将点A(2,3)代入y＝a[x－(2＋h)]2＋4
得ah2＝－1，所以a＝－.
由题意，得方程a[x－(2＋h)]2＋4＝0在区间[5,6]内有一解．
令f(x)＝a[x－(2＋h)]2＋4＝－[x－(2＋h)]2＋4，
则f(5)＝－(3－h)2＋4≥0，且f(6)＝－(4－h)2＋4≤0.
解得1≤h≤.
达到压水花的训练要求时h的取值范围为[1，]．
思维升华 实际生活中的二次函数问题(如面积 ( http: / / www.21cnjy.com )、利润、产量等)，可根据已知条件确定二次函数模型，结合二次函数的图象、单调性、零点解决，解题中一定注意函数的定义域．
某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3 000＋20x－0.1x2 (0A．100台 B．120台
C．150台 D．180台
答案 C
解析 设利润为f(x)万元，则
f(x)＝25x－(3 000＋20x－0.1x2)
＝0.1x2＋5x－3 000 (0令f(x)≥0，得x≥150，
∴生产者不亏本时的最低产量是150台．
题型二 指数函数模型
例2 诺贝尔奖发放方式为每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示：1999年诺贝尔奖金发放后基金总额约为19 800万美元．设f(x)表示第x(x∈N＋)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1)，2000年记为f(2)，…，依次类推)．
(1)用f(1)表示f(2)与f(3)，并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式；
(2)试根据f(x)的表达式判 ( http: / / www.21cnjy.com )断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．(参考数据：1.031 29＝1.32)
思维启迪 从所给信息中找出关键词，增长率问题可以建立指数函数模型．
解 (1)由题意知，f(2)＝f(1)(1＋6.24%)－f(1)·6.24%＝f(1)(1＋3.12%)，
f(3)＝f(2)(1＋6.24%)－f(2)·6.24%
＝f(2)(1＋3.12%)＝f(1)(1＋3.12%)2，
∴f(x)＝19 800(1＋3.12%)x－1 (x∈N＋)．
(2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为
f(10)＝19 800(1＋3.12%)9＝26 136，
故2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6.24%≈136(万美元)，与150万美元相比少了约14万美元，是假新闻．
思维升华 此类增长率问题，在实际问题中常可以 ( http: / / www.21cnjy.com )用指数函数模型y＝N(1＋p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型y＝a(1＋x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．
放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M0，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率是－10ln 2(太贝克/年)，则M(60)等于( )
A．5太贝克 B．75ln 2太贝克
C．150ln 2太贝克 D．150太贝克
答案 D
解析 ∵M′(t)＝－M0·ln 2，
∴M′(30)＝－×M0ln 2＝－10ln 2，∴M0＝600.
∴M(t)＝600×，∴M(60)＝600×2－2＝150(太贝克)．
题型三 分段函数模型
例3 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨)．
(1)求y关于x的函数；
(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．
思维启迪 题中y关于x的函数为分段函数关系．
解 (1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨，y＝1.8(5x＋3x)＝14.4x；
当甲的用水量超过4吨时，乙的用水量不超过4吨，即3x≤4，且5x>4时，y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8.
当乙的用水量超过4吨，即3x>4时，
y＝2×4×1.8＋3×[(3x－4)＋(5x－4)]＝24x－9.6.
所以y＝
(2)由于y＝f(x)在各段区间上均单调递增；
当x∈[0，]时，y≤f()<26.4；
当x∈(，]时，y≤f()<26.4；
当x∈(，＋∞)时，令24x－9.6＝26.4，解得x＝1.5.
所以甲户用水量为5x＝5×1.5＝7.5吨；
付费S1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)；
乙户用水量为3x＝4.5吨，
付费S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．
思维升华 (1)分段函数主要是每一段自变量变 ( http: / / www.21cnjy.com )化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．
(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理不重不漏．
某学校制定奖励条例，对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励，其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的．奖励公式为f(n)＝k(n)(n－10)，n>10(其中n是任课教师所在班级学生参加高考该任课教师所任学科的平均成绩与该科省平均分之差，f(n)的单位为元)，而k(n)＝现有甲、乙两位数学任课教师，甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分18分，而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分21分．则乙所得奖励比甲所得奖励多( )
A．600元 B．900元 C．1 600元 D．1 700元
答案 D
解析 ∵k(18)＝200(元)，∴f(18)＝200×(18－10)＝1 600(元)．
又∵k(21)＝300(元)，∴f(21)＝300×(21－10)＝3 300(元)，
∴f(21)－f(18)＝3 300－1 600＝1 700(元)．故选D.
函数应用问题
典例：(12分)在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业
甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠
价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业
乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全
体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让
费(不计息)．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量
Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元．
(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；
(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？
思维启迪 (1)认真阅读题 ( http: / / www.21cnjy.com )干内容，理清数量关系．(2)分析图形提供的信息，从图形可看出函数是分段的．(3)建立函数模型，确定解决模型的方法．
规范解答
解 设该店月利润余额为L，
则由题设得L＝Q(P－14)×100－3 600－2 000， ①
由销量图易得Q＝ [2分]
代入①式得
L＝ [4分]
(1)当14≤P≤20时，Lmax＝450元，此时P＝19.5元；
当20故当P＝19.5元时，月利润余额最大，为450元． [8分]
(2)设可在n年后脱贫，
依题意有12n×450－50 000－58 000≥0，解得n≥20.
即最早可望在20年后脱贫．[12分]
解函数应用题的一般程序：
第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量
关系；
第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知
识建立相应的数学模型；
第三步：解模——求解数学模型，得到数学结论；
第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际
问题的意义．
第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，
必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．
温馨提醒 (1)本题经过了三次建模：①根据月销量图建立Q与P的函数关系；②建立利润余额函数；③建立脱贫不等式．
(2)本题的函数模型是分段的一次函数和二次函 ( http: / / www.21cnjy.com )数，在实际问题中，由于在不同的背景下解决的问题发生了变化，因此在不同范围中，建立函数模型也不一样，所以现实生活中分段函数的应用非常广泛．
(3)在构造分段函数时，分段不合理、不准确，是易出现的错误.
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方法与技巧
1．认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础；
2．实际问题中往往解决一些最值问题，我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、均值不等式等求得最值．
3．解函数应用题的四个步骤：
①审题；②建模；③解模；④还原．
失误与防范
1．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，要正确理解题意，选择适当的函数模型．
2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．
3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．
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A组 专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1． 若一根蜡烛长20 cm，点燃 ( http: / / www.21cnjy.com )后每小时燃烧5 cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示为 ( )
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答案 B
解析 根据题意得解析式为h＝20－5t(0≤t≤4)，其图象为B.
2． 利民工厂某产品的年产量在150吨 ( http: / / www.21cnjy.com )至250吨之间，年生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的关系可近似地表示为y＝－30x＋4 000，则每吨的成本最低时的年产量(吨)为
( )
A．240 B．200 C．180 D．160
答案 B
解析 依题意，得每吨的成本为＝＋－30，
则≥2 －30＝10，
当且仅当＝，即x＝200时取等号，
因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨，故选B.
3． 某工厂采用高科技改革，在两年内产值的月 ( http: / / www.21cnjy.com )增长率都是a，则这两年内第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为 ( )
A．a12－1 B．(1＋a)12－1
C．a D．a－1
答案 B
解析 不妨设第一年8月份的产值为b，则 ( http: / / www.21cnjy.com )9月份的产值为b(1＋a)，10月份的产值为b(1＋a)2，依次类推，到第二年8月份是第一年8月份后的第12个月，即一个时间间隔是1个月，这里跨过了12个月，故第二年8月份产值是b(1＋a)12.又由增长率的概念知，这两年内的第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为＝(1＋a)12－1.
4. 某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种
方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打
出电话费s(元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两
种方式电话费相差 ( )
A．10元 B．20元 C．30元 D.元
答案 A
解析 设A种方式对应的函数解析式为s＝k1t＋20，
B种方式对应的函数解析式为s＝k2t，
当t＝100时，100k1＋20＝100k2，∴k2－k1＝，
t＝150时，150k2－150k1－20＝150×－20＝10.
5. 某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，
开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)
备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应为( )
A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15
C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14
答案 A
解析 由三角形相似得＝，得x＝(24－y)，
∴S＝xy＝－(y－12)2＋180，
∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.
二、填空题
6． 一个容器装有细沙a cm ( http: / / www.21cnjy.com )3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________ min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．
答案 16
解析 当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝ae－8b＝a，
∴e－8b＝，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，
即y＝ae－bt＝a，
e－bt＝＝(e－8b)3＝e－24b，则t＝24，所以再经过16 min.
7. A、B两只船分别从在东西方向上相距145 km的甲乙两地开出．
A从甲地自东向西行驶．B从乙地自北向南行驶，A的速度是
40 km/h，B的速度是16 km/h，经过________小时，AB间的
距离最短．
答案
解析 设经过x h，A、B相距为y km，
则y＝(0≤x≤)，求得函数的最小值时x的值为.
8． 某市出租车收费标准如下 ( http: / / www.21cnjy.com )：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________ km.
答案 9
解析 设出租车行驶x km时，付费y元，
则y＝，
由y＝22.6，解得x＝9.
三、解答题
9． 某地上年度电价为0.8元，年用电量为 ( http: / / www.21cnjy.com )1亿千瓦时．本年度计划将电价调至0.55元～0.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y(亿千瓦时)与(x－0.4)元成反比例．又当x＝0.65时，y＝0.8.
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若每千瓦时电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？[收益＝用电量×(实际电价－成本价)]
解 (1)∵y与(x－0.4)成反比例，∴设y＝(k≠0)．
把x＝0.65，y＝0.8代入上式，
得0.8＝，k＝0.2.
∴y＝＝，
即y与x之间的函数关系式为y＝.
(2)根据题意，得(1＋)·(x－0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%)．
整理，得x2－1.1x＋0.3＝0，解得x1＝0.5，x2＝0.6.
经检验x1＝0.5，x2＝0.6都是所列方程的根．
∵x的取值范围是0.55～0.75，
故x＝0.5不符合题意，应舍去．∴x＝0.6.
∴当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.
10．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整 ( http: / / www.21cnjy.com )个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车 ( http: / / www.21cnjy.com )流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)
解 (1)由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60；
当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，
再由已知得 解得
故函数v(x)的表达式为
v(x)＝
(2)依题意并由(1)可得
f(x)＝
当0≤x≤20时，f(x)为增函数，
故当x＝20时，其最大值为60×20＝1 200；
当20≤2＝，
当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．
所以当x＝100时，f(x)在区间(20,200]上取得最大值.
综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3 333，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时．
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
1． 某位股民购进某支股票，在接下来的交易 ( http: / / www.21cnjy.com )时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为 ( )
A．略有盈利 B．略有亏损
C．没有盈利也没有亏损 D．无法判断盈亏情况
答案 B
解析 设该股民购这支股票的 ( http: / / www.21cnjy.com )价格为a，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a2． 某建材商场国庆期间搞促销活动 ( http: / / www.21cnjy.com )，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣，如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算.
可以享受折扣优惠金额 折扣率
不超过500元的部分 5%
超过500元的部分 10%
某人在此商场购物总金额为x元，可以获得的折扣金额为y元，则y关于x的解析式为
y＝
若y＝30元，则他购物实际所付金额为________元．
答案 1 350
解析 若x＝1 300元，则y＝5%(1 300－800)＝25(元)<30(元)，因此x>1 300.
∴由10%(x－1 300)＋25＝30，得x＝1 350(元)．
3． 某医院为了提高服务质量， ( http: / / www.21cnjy.com )对挂号处的排队人数进行了调查，发现：当还未开始挂号时，有N个人已经在排队等候挂号；开始挂号后排队的人数平均每分钟增加M人．假定挂号的速度是每个窗口每分钟K个人，当开放一个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象；若同时开放两个窗口时，则15分钟后恰好不会出现排队现象．根据以上信息，若要求8分钟后不出现排队现象，则需要同时开放的窗口至少应有________个．
答案 4
解析 设要同时开放x个窗口才能满足要求，
则
由①②，得
代入③，得60M＋8M≤8×2.5Mx，解得x≥3.4.
故至少同时开放4个窗口才能满足要求．
4． 某厂生产某种产品的年固定成本 ( http: / / www.21cnjy.com )为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)万元，当年产量不足80千件时，C(x)＝x2＋10x(万元)；当年产量不少于80千件时，C(x)＝51x＋－1 450(万元)．通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂年内生产的商品能全部销售完．
(1)写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
解 (1)当0L(x)＝－x2－10x－250
＝－x2＋40x－250；
当x≥80，x∈N＋时，
L(x)＝－51x－＋1 450－250
＝1 200－(x＋)，
∴L(x)＝
(2)当0∴当x＝60时，L(x)取得最大值L(60)＝950.
当x≥80，x∈N＋时，
L(x)＝1 200－(x＋)≤1 200－2
＝1 200－200＝1 000，
∴当x＝，即x＝100时，
L(x)取得最大值L(100)＝1 000>950.
综上所述，当x＝100时，L(x)取得最大值1 000，
即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．
5． 经市场调查，某商品在过去100天内的销 ( http: / / www.21cnjy.com )售量和价格均为时间t(天)的函数，且日销售量近似地满足g(t)＝－t＋(1≤t≤100，t∈N)．前40天价格为f(t)＝t＋22(1≤t≤40，t∈N)，后60天价格为f(t)＝－t＋52(41≤t≤100，t∈N)，试求该商品的日销售额S(t)的最大值和最小值．
解 当1≤t≤40，t∈N时，
S(t)＝g(t)f(t)＝(－t＋)(t＋22)
＝－t2＋2t＋＝－(t－12)2＋，
所以768＝S(40)≤S(t)≤S(12)＝.
当41≤t≤100，t∈N时，
S(t)＝g(t)f(t)＝(－t＋)(－t＋52)
＝t2－36t＋＝(t－108)2－，
所以8＝S(100)≤S(t)≤S(41)＝.
综上，S(t)的最大值为，最小值为8.§2.2 函数的单调性
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1．函数单调性的定义
增函数 减函数
定义 设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当
Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数 Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数
图象 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 自左向右看图象是上升的 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 自左向右看图象是下降的
2． 单调性与单调区间
如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间．
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)． ( × )
(2)对于函数f(x)，x∈ ( http: / / www.21cnjy.com )D，若x1，x2∈D，且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在D上是增函数． ( √ )
(3)函数y＝|x|是R上的增函数． ( × )
(4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( × )
(5)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是(0，＋∞)． ( × )
(6)函数y＝的最大值为1. ( √ )
2． 函数y＝x2－6x＋10在区间(2,4)上是 ( )
A．递减函数 B．递增函数
C．先递减再递增 D．先递增再递减
答案 C
解析 作出函数y＝x2－6x＋10的图象(图略)，
根据图象可知函数在(2,4)上是先递减再递增．
3． (2013·安徽)“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 本题利用函数的图象确定字母的取值范围，再利用充要条件的定义进行判断．
当a＝0时，f(x)＝|(ax－1)x|＝|x|在区间(0，＋∞)上单调递增；
当a<0时，结合函数f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|的图象知函数在(0，＋∞)上单调递增，如图(1)所示；
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当a>0时，结合函数f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|的图象知函数在(0，＋∞)上先增后减再增，不符合条件，如图(2)所示．
所以，要使函数f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)上单调递增只需a≤0.
即“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)上单调递增”的充要条件．
4． 函数f(x)＝在[1,2]的最大值和最小值分别是________．
答案 ，1
解析 f(x)＝＝＝2－在[1,2]上是增函数，∴f(x)max＝f(2)＝，f(x)min＝f(1)＝1.
5． 函数y＝(2x2－3x＋1)的单调减区间为________．
答案 (1，＋∞)
解析 由2x2－3x＋1>0，
得函数的定义域为(－∞，)∪(1，＋∞)．
令t＝2x2－3x＋1，则y＝t，
∵t＝2x2－3x＋1＝2(x－)2－，
∴t＝2x2－3x＋1的单调增区间为(1，＋∞)．
又y＝t在(1，＋∞)上是减函数，
∴函数y＝log(2x2－3x＋1)的单调减区间为(1，＋∞).
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题型一 函数单调性的判断
例1 讨论函数f(x)＝(a>0)在x∈(－1,1)上的单调性．
思维启迪 可根据定义，先设－1解 设－1则f(x1)－f(x2)＝－
＝＝.
∵－1∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，(x－1)(x－1)>0.
又∵a>0，∴f(x1)－f(x2)>0，
∴函数f(x)在(－1,1)上为减函数．
思维升华 利用定义法证明或判断函数单调性的步骤：
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)已知a>0，函数f(x)＝x＋ (x>0)，证明：函数f(x)在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数；
(2)求函数y＝的单调区间．
(1)证明 设x1，x2是任意两个正数，且0则f(x1)－f(x2)＝－
＝(x1x2－a)．
当0所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在(0，]上是减函数；
当≤x1a，又x1－x2<0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以函数f(x)在[，＋∞)上是增函数．
(2)解 令u＝x2＋x－6，y＝可以看作有y＝与u＝x2＋x－6的复合函数．
由u＝x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.
∵u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y＝在(0，＋∞)上是增函数．
∴y＝的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)．
题型二 利用函数的单调性求参数
例2 (1)如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是 ( )
A．a>－ B．a≥－
C．－≤a<0 D．－≤a≤0
(2)已知f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有>0成立，那么a的取值范围是________．
思维启迪 利用函数的单调性 ( http: / / www.21cnjy.com )求参数或参数的取值范围，解题思路为视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参．
答案 (1)D (2)[，2)
解析 (1)当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；
当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－，
因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，
所以a<0，且－≥4，解得0>a≥－.
综合上述得－≤a≤0.
(2)由已知条件得f(x)为增函数，
∴，
解得≤a<2，∴a的取值范围是[，2)．
思维升华 已知函数的单调性确定参数的值或范 ( http: / / www.21cnjy.com )围要注意以下两点：①若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除各段要单调外，还要注意衔接点的取值．
(1)函数y＝在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是( )
A．a＝－3 B．a<3
C．a≤－3 D．a≥－3
(2)已知f(x)＝是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为 ( )
A．(1，＋∞) B．[4,8)
C．(4,8) D．(1,8)
答案 (1)C (2)B
解析 (1)y＝＝1＋，
由函数在(－1，＋∞)上单调递增，
有，解得a≤－3.
(2)因为f(x)是R上的单调递增函数，
所以可得解得4≤a<8，故选B.
题型三 函数的单调性和最值
例3 已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.
(1)求f(1)的值；
(2)证明：f(x)为单调递减函数；
(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．
思维启迪 抽象函数的问题要根据题设及所求的结 ( http: / / www.21cnjy.com )论来适当取特殊值，证明f(x)为单调减函数的首选方法是用单调性的定义来证．问题(3)用函数的单调性即可求最值．
(1)解 令x1＝x2>0，
代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.
(2)证明 任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则>1，
∵当x>1时，f(x)<0，∴f<0，
即f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)∴函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．
(3)解 ∵f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数．
∴f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)．
由f＝f(x1)－f(x2)得，
f＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，∴f(9)＝－2.
∴f(x)在[2,9]上的最小值为－2.
思维升华 (1)抽象函数的单调性的判断要紧扣 ( http: / / www.21cnjy.com )单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x1，x2在所给区间内比较f(x1)－f(x2)与0的大小，或与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形：如x1＝x2·或x1＝x2＋x1－x2等；(2)利用函数单调性可以求函数最值，若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(x)的最小值是f(a)，最大值是f(b)．
(1)如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，且当x≥时，f(x)＝log2(3x－1)，那么函数f(x)在[－2,0]上的最大值与最小值之和为 ( )
A．2 B．3 C．4 D．－1
(2)函数f(x)＝在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是，则a＋b＝________.
答案 (1)C (2)6
解析 (1)根据f(1＋x)＝f(－x)，可知函数f(x)的图象关于直线x＝对称．
又函数f(x)在[，＋∞)上单调递增，
故f(x)在(－∞，]上单调递减，
则函数f(x)在[－2,0]上的最大值与最小值之和为
f(－2)＋f(0)＝f(1＋2)＋f(1＋0)＝f(3)＋f(1)＝log28＋log22＝4.
(2)易知f(x)在[a，b]上为减函数，
∴即∴
∴a＋b＝6.
函数单调性的应用
典例：(12分)函数f(x)对任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0时，恒有f(x)>1.
(1)求证：f(x)在R上是增函数；
(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2.
思维启迪 (1)对于抽象函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的单调性的证明，只能用定义．应该构造出f(x2)－f(x1)并与0比较大小．(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本小题的切入点．要构造出f(M)规范解答
(1)证明 设x1，x2∈R，且x10，
∵当x>0时，f(x)>1，∴f(x2－x1)>1.[2分]
f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，[4分]
∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0 f(x1)∴f(x)在R上为增函数．[6分]
(2)解 ∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1，
∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1 f(2)＝2f(1)－1，[8分]
f(3)＝4 f(2＋1)＝4 f(2)＋f(1)－1＝4 3f(1)－2＝4，
∴f(1)＝2，∴f(a2＋a－5)<2＝f(1)，[10分]
∵f(x)在R上为增函数，
∴a2＋a－5<1 －3即a∈(－3,2)．[12分]
解函数不等式问题的一般步骤：
第一步：确定函数f(x)在给定区间上的单调性；
第二步：将函数不等式转化为f(M)第三步：运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，
转化成一般的不等式或不等式组；
第四步：解不等式或不等式组确定解集；
第五步：反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．
温馨提醒 本题对函数的单调性的判 ( http: / / www.21cnjy.com )断是一个关键点．不会运用条件x>0时，f(x)>1.构造不出f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1的形式，找不到问题的突破口．第二个关键应该是将不等式化为f(M)HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
方法与技巧
1． 利用定义判断或证明函数的单调性
设任意x1，x2∈[a，b]且x1①>0 f(x)在[a，b]上是增函数；
<0 f(x)在[a，b]上是减函数．
②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 f(x)在[a，b]上是增函数；
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0 f(x)在[a，b]上是减函数．
函数的单调性是对某个区间而言的．
2． 求函数的单调区间
首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是 ( http: / / www.21cnjy.com )其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．常用方法：根据定义、利用图象和单调函数的性质、利用导数的性质．
3． 复合函数的单调性
对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝ ( http: / / www.21cnjy.com )g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．
简称：同增异减．
失误与防范
函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间要分开写，即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示．
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A组 专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1． 函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)”的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1)
答案 A
解析 由题意知f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
A中，f(x)＝满足要求；
B中，f(x)＝(x－1)2在[0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；
C中，f(x)＝ex是增函数；
D中，f(x)＝ln(x＋1)是增函数．
2． 若函数f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝(a＋1)1－x在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是
( )
A．(－1,0) B．(－1,0)∪(0,1]
C．(0,1) D．(0,1]
答案 D
解析 ∵f(x)＝－x2＋2ax＝－(x－a)2＋a2在[1,2]上是减函数，
∴a≤1.①
又g(x)＝(a＋1)1－x在[1,2]上是减函数．
∴a＋1>1，∴a>0.②
由①、②知，03． 已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是( )
A．(0，) B．(0，] C．[0，) D．[0，]
答案 D
解析 当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在(－∞，3)上是减函数，
当a≠0时，由，得0综上a的取值范围是0≤a≤.
4． 已知f(x)为R上的减函数，则满足f()>f(1)的实数x的取值范围是 ( )
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，0)∪(0,1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
答案 D
解析 依题意得<1，即>0，
所以x的取值范围是x>1或x<0.
5． 定义新运算“?”：当a≥b时 ( http: / / www.21cnjy.com )，a?b＝a；当aA．－1 B．1 C．6 D．12
答案 C
解析 由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，
当1∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数．
∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.
二、填空题
6． 函数f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区间是__________．
答案
解析 函数f(x)的定义域是(－1,4)，u(x)＝－x2＋3x＋4＝－2＋的减区间为，∵e>1，
∴函数f(x)的单调递减区间为.
7． 设函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a的取值范围是__________．
答案 [1，＋∞)
解析 f(x)＝＝a－，
∵函数f(x)在区间(－2，＋∞)上是增函数．
∴ a≥1.
8． 已知f(x)为R上的减函数，则满足f答案 (－1,0)∪(0,1)
解析 由f1，
∴>1或<－1，
∴0三、解答题
9． 函数f(x)＝x2－4x－4在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值记为g(t)．
(1)试写出g(t)的函数表达式；
(2)求g(t)的最小值．
解 (1)f(x)＝x2－4x－4＝(x－2)2－8.
当t>2时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，
∴g(t)＝f(t)＝t2－4t－4；
当t≤2≤t＋1，即1≤t≤2时，g(t)＝f(2)＝－8；
当t＋1<2，即t<1时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，
∴g(t)＝f(t＋1)＝t2－2t－7.
从而g(t)＝
(2)g(t)的图象如图所示，由图象易知g(t)的最小值为－8.
10．已知函数f(x)＝－，x∈[0,2]，求函数的最大值和最小值．
解 设x1，x2是区间[0,2]上的任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－－(－)
＝－＝－.
由0≤x1＜x2≤2，得x2－x1＞0，(x1＋1)(x2＋1)＞0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
故f(x)在区间[0,2]上是增 ( http: / / www.21cnjy.com )函数．因此，函数f(x)＝－在区间[0,2]的左端点取得最小值，右端点取得最大值，即最小值是f(0)＝－2，最大值是f(2)＝－.
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
1． 已知函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝在区间(1，＋∞)上一定 ( )
A．有最小值 B．有最大值
C．是减函数 D．是增函数
答案 D
解析 由题意知a<1，∴g(x)＝＝x＋－2a，
当a<0时，g(x)在(1，＋∞)上是增函数，
当a>0时，g(x)在[，＋∞)上是增函数，
故在(1，＋∞)上为增函数，
∴g(x)在(1，＋∞)上一定是增函数．
2． 已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)．若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．
答案 (－∞，1]
解析 ∵f(x)＝e|x－a|＝
∴f(x)在[a，＋∞)上为增函数，
则[1，＋∞) [a，＋∞)，∴a≤1.
3． 对于任意实数a，b，定义min{ ( http: / / www.21cnjy.com )a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．
答案 1
解析 依题意，得h(x)＝
当0当x>2时，h(x)＝3－x是减函数，
∴h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1.
4． 已知函数f(x)＝lg(x＋－2)，其中a是大于0的常数．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)当a∈(1,4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；
(3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．
解 (1)由x＋－2>0，得>0，
a>1时，x2－2x＋a>0恒成立，定义域为(0，＋∞)，
a＝1时，定义域为{x|x>0且x≠1}，
01＋}．
(2)设g(x)＝x＋－2，当a∈(1,4)，x∈[2，＋∞)时，
g′(x)＝1－＝>0恒成立，
∴g(x)＝x＋－2在[2，＋∞)上是增函数．
∴f(x)＝lg(x＋－2)在[2，＋∞)上是增函数．
∴f(x)＝lg(x＋－2)在[2，＋∞)上的最小值为
f(2)＝lg .
(3)对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，
即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立．
∴a>3x－x2，
而h(x)＝3x－x2＝－(x－)2＋在x∈[2，＋∞)上是减函数，
∴h(x)max＝h(2)＝2.
∴a>2.
5． 已知f(x)＝ (x≠a)．
(1)若a＝－2，试证：f(x)在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．
(1)证明 任取x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝.
∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，∴f(x1)∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．
(2)解 任设1f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵a>0，x2－x1>0，
∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1.
综上所述知a的取值范围是(0,1]．常考题型强化练——函数
A组 专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1． 若f(x)＝eq \f(1, 2x＋1 )，则f(x)的定义域为 ( )
A. B.
C.∪(0，＋∞) D.
答案 C
解析 由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋1>0，, 2x＋1 ≠0，))∴
即x>－且x≠0，∴选C.
2． 已知函数f(x)＝x－4＋，x∈(0,4)，当x＝a时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)＝
|x＋b|的图象为 ( )
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答案 B
解析 由均值不等式得f(x)＝x＋1＋－5≥2－5＝1，当且仅当x＋1＝，
即x＝2时取得最小值1，故a＝2，b＝1，
因此g(x)＝|x＋b|＝|x＋1|，
只需将y＝|x|的图象向左平移1个单位即可，
其中y＝|x|的图象可利用其为偶函数通过y＝x作出，故选B.
3． 已知函数f(x)＝ex－e－x＋1(e是自然对数的底数)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
答案 D
解析 依题意得，f(a)＋f(－a)＝2,2＋f(－a)＝2，f(－a)＝0，选D.
4． 设定义在区间(－b，b)上的函数f(x)＝lg 是奇函数(a，b∈R，且a≠－2)，则ab的取值范围是 ( )
A．(1，] B．(0，]
C．(1，) D．(0，)
答案 A
解析 ∵函数f(x)＝lg 是区间(－b，b)上的奇函数，
∴f(x)＋f(－x)＝lg ＋lg ＝lg ＝0，
即得＝1，从而可得a2＝4，由a≠－2可得a＝2，
由此可得f(x)＝lg ，
因此函数的定义域为，则有0∴ab＝2b∈(20,]＝(1，]，故应选A.
5． 已知f(x)是R上最小 ( http: / / www.21cnjy.com )正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为 ( )
A．6 B．7 C．8 D．9
答案 B
解析 ∵f(x)是最小正周期为2的周期函数， ( http: / / www.21cnjy.com )且0≤x<2时，f(x)＝x3－x＝x(x－1)(x＋1)，∴当0≤x<2时，f(x)＝0有两个根，即x1＝0，x2＝1.
由周期函数的性质知，当2≤x<4时，f(x ( http: / / www.21cnjy.com ))＝0有两个根，即x3＝2，x4＝3；当4≤x<6时，f(x)＝0有两个根，即x5＝4，x6＝5；x7＝6也是f(x)＝0的根．
故函数f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴交点的个数为7.
二、填空题
6． 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1( x＋1 x≥1 ，,1 x<1 ，))则不等式f(3－x2)>f(2x)的解集为________．
答案 (1，＋∞)
解析 如图，作出已知函数的图象，据图象可得不等式f(3－x2)>f(2x)
或
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解两不等式组的解集且取并集为(1，＋∞)，即为原不等式解集．
7． 若函数f(x)＝是奇函数，则a＋b＝________.
答案 1
解析 ∵f(x)是奇函数，且x∈R，
∴f(0)＝0，即a＝0.
又f(－1)＝－f(1)，∴b－1＝－(1－1)＝0，
即b＝1，因此a＋b＝1.
8． (2012·上海)已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.
答案 －1
解析 ∵y＝f(x)＋x2是奇函数，
∴f(－x)＋(－x)2＝－[f(x)＋x2]，
∴f(x)＋f(－x)＋2x2＝0.∴f(1)＋f(－1)＋2＝0.
∵f(1)＝1，∴f(－1)＝－3.
∵g(x)＝f(x)＋2，∴g(－1)＝f(－1)＋2＝－3＋2＝－1.
三、解答题
9． 已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.
(1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性；
(2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时x的取值范围．
解 (1)当a>0，b>0时，任意x1，x2∈R，x1则f(x1)－f(x2)＝a(2x1－2x2)＋b(3x1－3x2)．
∵2x1<2x2，a>0 a(2x1－2x2)<0，
3x1<3x2，b>0 b(3x1－3x2)<0，
∴f(x1)－f(x2)<0，函数f(x)在R上是增函数．
当a<0，b<0时，同理，函数f(x)在R上是减函数．
(2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x>0，
当a<0，b>0时，x>－，则x>log1.5；
当a>0，b<0时，x<－，则x10．某工厂生产某种产品，每日的 ( http: / / www.21cnjy.com )成本C(单位：万元)与日产量x(单位：吨)满足函数关系式C＝3＋x，每日的销售额S(单位：万元)与日产量x满足函数关系式S＝
已知每日的利润L＝S－C，且当x＝2时，L＝3.
(1)求k的值；
(2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．
解 (1)由题意可得L＝
因为x＝2时，L＝3，所以3＝2×2＋＋2.
所以k＝18.
(2)当0所以L＝2(x－8)＋＋18
＝－＋18≤－2＋18＝6.
当且仅当2(8－x)＝，即x＝5时取得等号．
当x≥6时，L＝11－x≤5.
所以当x＝5时，L取得最大值6.
所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元．
B组 专项能力提升
(时间：25分钟)
1． 函数y＝x＋1的图象关于直线y＝x对称的图象大致是 ( )
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答案 A
解析 函数y＝x＋1的图象如图所示，关于y＝x对称的图象大致为A选项对应的图象．
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2． 设0A．在(－∞，－1)上单调递减，在(－1,1)上单调递增
B．在(－∞，－1)上单调递增，在(－1,1)上单调递减
C．在(－∞，－1)上单调递增，在(－1,1)上单调递增
D．在(－∞，－1)上单调递减，在(－1,1)上单调递减
答案 A
解析 函数定义域为{x∈R|x≠±1}，
令u(x)＝＝
∴u(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减，
又y＝logax(03． 设函数f(x)＝(x∈Z)，给出以下三个结论：
①f(x)为偶函数；②f(x)为周期函数；③f(x＋1)＋f(x)＝1，其中正确结论的序号是________．
答案 ①②③
解析 对于x∈Z，f(x) ( http: / / www.21cnjy.com )的图象为离散的点，关于y轴对称，①正确；f(x)为周期函数，T＝2，②正确；f(x＋1)＋f(x)＝＋＝1＋＝1，③正确．
4． (2012·江苏)设f(x)是定 ( http: / / www.21cnjy.com )义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f＝f，则a＋3b的值为________．
答案 －10
解析 因为f(x)的周期为2，
所以f＝f＝f，
即f＝f.
又因为f＝－a＋1，
f＝＝，
所以－a＋1＝.
整理，得a＝－(b＋1)．①
又因为f(－1)＝f(1)，
所以－a＋1＝，即b＝－2a.②
将②代入①，得a＝2，b＝－4.
所以a＋3b＝2＋3×(－4)＝－10.
5． 已知函数f(x)＝ax2＋(b－8 ( http: / / www.21cnjy.com ))x－a－ab(a≠0)，当x∈(－3,2)时，f(x)>0；当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0.
(1)求f(x)在[0,1]内的值域；
(2)c为何值时，不等式ax2＋bx＋c≤0在[1,4]上恒成立？
解 由题意得x＝－3和x＝2是函数f(x)的零点且a≠0，则
解得∴f(x)＝－3x2－3x＋18.
(1)由图象知，函数在[0,1]内单调递减，
∴当x＝0时，y＝18；当x＝1时，y＝12，
∴f(x)在[0,1]内的值域为[12,18]．
(2)方法一 令g(x)＝－3x2＋5x＋c.
∵g(x)在[，＋∞)上单调递减，
要使g(x)≤0在[1,4]上恒成立，
则需要g(x)max＝g(1)≤0，
即－3＋5＋c≤0，解得c≤－2.
∴当c≤－2时，不等式ax2＋bx＋c≤0在[1,4]上恒成立．
方法二 不等式－3x2＋5x＋c≤0在[1,4]上恒成立，
即c≤3x2－5x在[1,4]上恒成立．
令g(x)＝3x2－5x，
∵x∈[1,4]，且g(x)在[1,4]上单调递增，
∴g(x)min＝g(1)＝3×12－5×1＝－2，∴c≤－2.
即c≤－2时，不等式ax2＋bx＋c≤0在[1,4]上恒成立．§2.7 函数的图象
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1． 描点法作图
方法步骤：(1)确定函数的定义域；( ( http: / / www.21cnjy.com )2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．
2． 图象变换
(1)平移变换
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(2)对称变换
( http: / / www.21cnjy.com )
(3)伸缩变换
( http: / / www.21cnjy.com )
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同． ( × )
(2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同． ( × )
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称． ( × )
(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．( √ )
(5)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位得到函数y＝f(－x－1)的图象．( × )
(6)不论a(a>0且a≠1)取何值，函数y＝loga2|x－1|的图象恒过定点(2,0)． ( × )
2． (2013·山东)函数y＝xcos x＋sin x的图象大致为 ( )
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答案 D
解析 函数y＝xcos x＋sin x为奇函数，排除B.取x＝，排除C；取x＝π，排除A，故选D.
3． (2013·北京)函 ( http: / / www.21cnjy.com )数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)等于 ( )
A．ex＋1 B．ex－1
C．e－x＋1 D．e－x－1
答案 D
解析 与y＝ex图象关于y轴对称的函数 ( http: / / www.21cnjy.com )为y＝e－x.依题意，f(x)图象向右平移一个单位，得y＝e－x的图象．∴f(x)的图象由y＝e－x的图象向左平移一个单位得到．∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.
4． 已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②中的图象对应的函数为 ( )
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A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|
C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(|x|)
答案 C
解析 y＝f(－|x|)＝.
5． 已知函数f(x)＝的图象与直线y＝x恰有三个公共点，则实数m的取值范围是 ( )
A．(－∞，－1] B．[－1,2)
C．[－1,2] D．[2，＋∞)
答案 B
解析 方法一 特值法，令m＝2，排除C、D，令m＝0，排除A，故选B.
方法二 令x2＋4x＋2＝x，解得x＝－1或x＝－2，
所以三个解必须为－1，－2和2，所以有－1≤m<2.故选B.
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题型一 作函数的图象
例1 分别画出下列函数的图象：
(1)y＝|lg x|； (2)y＝2x＋2；
(3)y＝x2－2|x|－1; (4)y＝.
思维启迪 根据一些常见函数的图象，通过平移、对称等变换可以作出函数图象．
解 (1)y＝图象如图①.
(2)将y＝2x的图象向左平移2个单位．图象如图②.
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(3)y＝.图象如图③.
(4)因y＝1＋，先作出y＝的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y＝的图象，如图④.
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思维升华 (1)常见的几种函数图象如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋(m>0)的函数是图象变换的基础；
(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换等常用方法技巧，可以帮助我们简化作图过程．
作出下列函数的图象．
(1)y＝sin |x|；(2)y＝.
解 (1)当x≥0时，y＝sin |x|与y＝sin x的图象完全相同，
又y＝sin |x|为偶函数，其图象关于y轴对称，其图象如图．
(2)y＝＝1－，该函数图象可由函数y＝－向左平移3个单位再向上平移1个单位得到，如下图所示．
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题型二 识图与辨图
例2 (1)(2013·四川)函数y＝的图象大致是 ( )
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(2)已知f(x)＝，则下列函数的图象错误的是 ( )
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思维启迪 (1)根据函数的定义域，特殊点和函数值的符号判断；
(2)正确把握图象变换的特征，结合f(x)的图象识辨．
答案 (1)C (2)D
解析 (1)由3x－1≠0得x≠0，∴函数 ( http: / / www.21cnjy.com )y＝的定义域为{x|x≠0}，可排除选项A；当x＝－1时，y＝＝>0，可排除选项B；当x＝2时，y＝1，当x＝4时，y＝，但从选项D的函数图象可以看出函数在(0，＋∞)上是单调递增函数，两者矛盾，可排除选项D.故选C.
(2)先在坐标平面内画出函数y＝f(x)的图象，再将函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度即可得到y＝f(x－1)的图象，因此A正确；
作函数y＝f(x)的图象关于y轴的对称图形，即可得到y＝f(－x)的图象，因此B正确；
y＝f(x)的值域是[0,2]，因此y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象重合，C正确；
y＝f(|x|)的定义域是[－1,1]，且 ( http: / / www.21cnjy.com )是一个偶函数，当0≤x≤1时，y＝f(|x|)＝，相应这部分图象不是一条线段，因此选项D不正确．
综上所述，选D.
思维升华 函数图象的识辨可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；
(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
(1)已知函数f(x)＝，则y＝f(x)的图象大致为 ( )
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(2)把函数y＝f(x)＝(x－2)2 ( http: / / www.21cnjy.com )＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数解析式是 ( )
A．y＝(x－3)2＋3 B．y＝(x－3)2＋1
C．y＝(x－1)2＋3 D．y＝(x－1)2＋1
答案 (1)B (2)C
解析 (1)方法一 (函数性质法)
函数f(x)满足x＋1>0，ln(x＋1)－x≠0，
即x>－1且lg(x＋1)－x≠0，设g(x)＝ln(x＋1)－x，
则g′(x)＝－1＝.
由于x＋1>0，显然当－10，
当x>0时，g′(x)<0，故函数g(x)在x＝0处取得极大值，也是最大值，
故g(x)≤g(0)＝0，当且仅当x＝0时，g(x)＝0，
故函数f(x)的定义域是(－1,0)∪(0，＋∞)，
且函数g(x)在(－1,0)∪(0，＋∞)上的值域为(－∞，0)，
故函数f(x)的值域也是(－∞，0)，且在x＝0附近函数值无限小，
观察各个选项中的函数图象，只有选项B中的图象符合要求．
方法二 (特殊值检验法)
当x＝0时，函数无意义，排除选项D中的图象，
当x＝－1时，f(－1)＝＝－e<0，排除选项A、C中的图象，故只能是选项B中的图象．
(注：这里选取特殊值x＝(－1)∈(－1,0)，这个值可以直接排除选项A、C，这种取特值的技巧在解题中很有用处)
(2)把函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位，即把其中x换成x＋1，
于是得y＝[(x＋1)－2]2＋2＝(x－1)2＋2，
再向上平移1个单位，即得到y＝(x－1)2＋2＋1
＝(x－1)2＋3.
题型三 函数图象的应用
例3 (1)当0A．(0，) B．(，1)
C．(1，) D．(，2)
(2)(2013·湖南)函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象的交点个数为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
思维启迪 (1)可以通过函数y＝4x和y＝logax图象的位置、特征确定a的范围；
(2)画两函数图象、观察即可．
答案 (1)B (2)B
解析 (1)方法一 ∵0∴logax>4x>1，∴0令f(x)＝4x，g(x)＝logax，
当x＝时，f()＝2.(如图)
而g()＝loga＝2，∴a＝.
又∵g(x)＝logax，x0∈(0,1)，
a1，a2∈(0,1)且a1loga1x0，
∴要使当0需方法二 ∵04x>1，
∴0取a＝，x＝，则有＝2，＝1，显然4x(2)画出两个函数f(x)，g(x)的图象，
由图知f(x)，g(x)的图象的交点个数为2.
思维升华 (1)根据函数图象，可以比较函数值大小，确定参数范围；
(2)利用函数图象，可以解决一些形如f(x)＝g(x)方程的解或函数零点问题．
(1)已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lg x|的图象的交点共有 ( )
A．10个 B．9个
C．8个 D．1个
(2)直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．
答案 (1)A (2)1解析 (1)观察图象可知，共有10个交点．
(2)y＝作出图象，如图所示．
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此曲线与y轴交于(0，a)点，最小值为a－，要使y＝1与其有四个交点，只需a－<1高考中的函数图象及应用问题
一、已知函数解析式确定函数图象
典例：(5分)函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象大致是 ( )
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思维启迪 根据函数的定义域、值域、单调性和特征点确定函数图象．
解析 由函数y＝f(x)的图象知，当x∈(0,2)时，f(x)≥1，
所以f(x)≤0.
又函数f(x)在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，
所以y＝f(x)在(0,1)上是增函数，在(1,2)上是减函数．
结合各选项知，选C.
答案 C
温馨提醒 (1)确定函数的图象，要从函数的性质出发，利用数形结合的思想．
(2)对于给出图象的选择题，可以结合函数的某一性质或特殊点进行排除．
二、函数图象的变换问题
典例：(5分) 若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为( )
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思维启迪 从y＝f(x)的图象可先得到y＝－f(x)的图象，再得到y＝－f(x＋1)的图象．
解析 要想由y＝f(x)的图象得到 ( http: / / www.21cnjy.com )y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后再向左平移一个单位得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．
答案 C
温馨提醒 (1)对图象的变换问题，从f(x)到f(ax＋b)，可以先进行平移变换，也可以先进行伸缩变换，要注意变换过程中两者的区别．
(2)图象变换也可利用特征点的变换进行确定．
三、图象应用
典例：(5分)已知函数y＝的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．
思维启迪 先作函数y＝的图象，然后利用函数y＝kx－2图象过(0，－2)以及与y＝图象两个交点确定k的范围．
解析 根据绝对值的意义，y＝＝
在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示．根据图象可知，
当0答案 (0,1)∪(1,4)
温馨提醒 (1)本题求解利用了数形结合的 ( http: / / www.21cnjy.com )思想，数形结合的思想包括“以形助数”或“以数辅形”两个方面，本题属于“以形助数”，是指把某些抽象的问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，解释数学问题的本质．
(2)利用函数图象也可以确定不等式解的情况，解题时可对方程或不等式适当变形，选择合适的函数进行作图．
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方法与技巧
1． 列表描点法是作函数图 ( http: / / www.21cnjy.com )象的辅助手段，要作函数图象首先要明确函数图象的位置和形状：(1)可通过研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等等；(2)可通过函数图象的变换如平移变换、对称变换、伸缩变换等；(3)可通过方程的同解变形，如作函数y＝的图象．
2． 合理处理识图题与用图题
(1)识图
对于给定函数的图象，要从图象的 ( http: / / www.21cnjy.com )左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．
(2)用图
函数图象形象地显示了函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．常用函数图象研究含参数的方程或不等式解集的情况．
失误与防范
1．解题时要注意运用“以形助数”或“以数辅形”；
2．要注意一个函数的图象自身对称和两个不同的函数图象对称的区别．
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A组 专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1． 函数y＝ln(1－x)的大致图象为 ( )
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答案 C
解析 将函数y＝ln x的图象关于y轴对折，得到y＝ln(－x)的图象，再向右平移1个单位即得y＝ln(1－x)的图象．故选C.
2． 函数y＝5x与函数y＝－的图象关于 ( )
A．x轴对称 B．y轴对称
C．原点对称 D．直线y＝x对称
答案 C
解析 y＝－＝－5－x，可将函数y＝5x中的x，y分别换成－x，－y得到，故两者图象关于原点对称．
3． 若loga2<0(a>0，且a≠1)，则函数f(x)＝loga(x＋1)的图象大致是 ( )
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答案 B
解析 ∵loga2<0，∴0由f(x)＝loga(x＋1)单调性可知A、D错误，
再由定义域知B选项正确．
4． 为了得到函数y＝lg 的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点( )
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
答案 C
解析 y＝lg ＝lg(x＋3)－1，
将y＝lg x的图象向左平移3个单位长度得到y＝lg(x＋3)的图象，
再向下平移1个单位长度，得到y＝lg(x＋3)－1的图象．
5． 使log2(－x)A．(－1,0) B．[－1,0) C．(－2,0) D．[－2,0)
答案 A
解析 在同一坐标系内作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图象，知满足条件的x∈(－1,0)，故选A.
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二、填空题
6． 已知f(x)＝()x，若f(x)的图象关于直线x＝1对称的图象对应的函数为g(x)，则g(x)的表达式为________．
答案 g(x)＝3x－2
解析 设g(x)上的任意一点A(x，y)，则该点关于直线x＝1的对称点B为B(2－x，y)，而该点在f(x)的图象上．
∴y＝()2－x＝3x－2，即g(x)＝3x－2.
7． 用min{a，b，c}表示a，b，c三 ( http: / / www.21cnjy.com )个数中的最小值．设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________．
答案 6
解析 f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)的图象如图．令x＋2＝10－x，得x＝4.
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当x＝4时，f(x)取最大值，f(4)＝6.
8． 已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．
答案 (0,1)
解析 画出分段函数f(x)的图象 ( http: / / www.21cnjy.com )如图所示，结合图象可以看出，若f(x)＝k有两个不同的实根，也即函数y＝f(x)的图象与y＝k有两个不同的交点，k的取值范围为(0,1)．
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三、解答题
9． 已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.
(1)求实数m的值；
(2)作出函数f(x)的图象；
(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；
(4)若方程f(x)＝a只有一个实数根，求a的取值范围．
解 (1)∵f(4)＝0，∴4|m－4|＝0，即m＝4.
(2)f(x)＝x|x－4|
＝
f(x)的图象如图所示：
(3)f(x)的减区间是[2,4]．
(4)从f(x)的图象可知，当a>4或 ( http: / / www.21cnjy.com )a<0时，f(x)的图象与直线y＝a只有一个交点，方程f(x)＝a只有一个实数根，即a的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．
10．已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋＋2的图象关于点A(0,1)对称．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝f(x)＋，且g(x)在区间(0,2]上为减函数，求实数a的取值范围．
解 (1)设f(x)图象上任一点P(x，y)，则点P关于(0,1)点的对称点P′(－x,2－y)在h(x)的图象上，
即2－y＝－x－＋2，∴y＝f(x)＝x＋ (x≠0)．
(2)g(x)＝f(x)＋＝x＋，g′(x)＝1－.
∵g(x)在(0,2]上为减函数，
∴1－≤0在(0,2]上恒成立，即a＋1≥x2在(0,2]上恒成立，∴a＋1≥4，即a≥3，故a的取值范围是[3，＋∞)．
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
1． 已知函数f(x)＝则对任意x1，x2∈R，若0<|x1|<|x2|，下列不等式成立的是 ( )
A．f(x1)＋f(x2)<0 B．f(x1)＋f(x2)>0
C．f(x1)－f(x2)>0 D．f(x1)－f(x2)<0
答案 D
解析 函数f(x)的图象如图所示：
且f(－x)＝f(x)，从而函数f(x)是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数．
又0<|x1|<|x2|，
∴f(x2)>f(x1)，即f(x1)－f(x2)<0.
2． 函数y＝的图象与函数y＝2sin πx (－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于
( )
A．2 B．4 C．6 D．8
答案 D
解析 令1－x＝t，则x＝1－t.
由－2≤x≤4，知－2≤1－t≤4，所以－3≤t≤3.
又y＝2sin πx＝2sin π(1－t)＝2sin πt.
在同一坐标系下作出y＝和y＝2sin πt的图象．
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由图可知两函数图象在[－3,3]上共有8个交点，且这8个交点两两关于原点对称．
因此这8个交点的横坐标的和为0，即t1＋t2＋…＋t8＝0.
也就是1－x1＋1－x2＋…＋1－x8＝0，
因此x1＋x2＋…＋x8＝8.
3. 若函数f(x)＝的图象如图，则m的取值范围是________．
答案 1解析 ∵函数的定义域为R，∴x2＋m恒不等于零，
∴m>0.
由图象知，当x>0时，f(x)>0，∴2－m>0 m<2.
又∵在(0，＋∞)上函数f(x)在x＝x0(x0>1)处取得最大值，而f(x)＝，
∴x0＝>1 m>1.综上，14． 已知函数y＝f(x)的定义域为R，并对一切实数x，都满足f(2＋x)＝f(2－x)．
(1)证明：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称；
(2)若f(x)是偶函数，且x∈[0,2]时，f(x)＝2x－1，
求x∈[－4,0]时f(x)的表达式．
(1)证明 设P(x0，y0)是函数y＝f(x)图象上任一点，
则y0＝f(x0)，点P关于直线x＝2的对称点为P′(4－x0，y0)．
因为f(4－x0)＝f[2＋(2－x0)]
＝f[2－(2－x0)]＝f(x0)＝y0，
所以P′也在y＝f(x)的图象上，
所以函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称．
(2)解 当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，
所以f(－x)＝－2x－1.又因为f(x)为偶函数，
所以f(x)＝f(－x)＝－2x－1，x∈[－2,0]．
当x∈[－4，－2]时，4＋x∈[0,2]，
所以f(4＋x)＝2(4＋x)－1＝2x＋7，
而f(4＋x)＝f(－x)＝f(x)，
所以f(x)＝2x＋7，x∈[－4，－2]．
所以f(x)＝
5． 已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|.
(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；
(2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}．
解 f(x)＝
作出函数图象如图．
(1)函数的增区间为[1,2]，[3，＋∞)；
函数的减区间为(－∞，1]，[2,3]．
(2)在同一坐标系中作出y＝f(x)和y＝m的图象，使两函数图象有四个不同的交点(如图)．
由图知0HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
1． 一次函数与二次函数的解析式
(1)一次函数：y＝kx＋b (k，b为常数，且k≠0)．
(2)二次函数
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c_(a≠0)．
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)_(a≠0)．
2． 一次函数与二次函数的定义及性质
函数名称 一次函数 二次函数
解析式 y＝kx＋b (k≠0) y＝ax2＋bx＋c (a≠0)
图象 k>0 k<0 a>0 a<0
b>0 b>0 b<0，c>0 b>0，c<0
定义域 R R
值域 R [，＋∞) (－∞，]
单调性 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 在(－∞，－]上是减函数；在[－，＋∞)上是增函数 在(－∞，－]上是增函数；在[－，＋∞)上是减函数
3.常用幂函数的图象与性质
( http: / / www.21cnjy.com ) y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1
图象
定义域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R且x≠0}
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R且y≠0}
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数
单调性 增 x∈[0，＋∞)时，增；x∈(－∞，0]时，减 增 增 x∈(0，＋∞)时，减；x∈(－∞，0)时，减
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是. ( × )
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数． ( × )
(3)幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)． ( × )
(4)当n>0时，幂函数y＝xn是定义域上的增函数． ( × )
(5)若函数f(x)＝(k2－1)x2＋2x－3在(－∞，2)上单调递增，则k＝±. ( × )
(6)已知f(x)＝x2－4x＋5，x∈[0,3)，则f(x)max＝f(0)＝5，f(x)min＝f(3)＝2. ( × )
2． (2013·重庆)(－6≤a≤3)的最大值为 ( )
A．9 B. C．3 D.
答案 B
解析 因为＝
＝ ，
所以当a＝－时，的值最大，最大值为.
3． 函数f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(－5，－3)上 ( )
A．先减后增 B．先增后减
C．单调递减 D．单调递增
答案 D
解析 由f(x)为偶函数可得m＝0，∴f(x)＝－x2＋3，
∴f(x)在区间(－5，－3)上单调递增．
4． 已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为________．
答案 [1,2]
解析 y＝x2－2x＋3的对称轴为x＝1.
当m<1时，y＝f(x)在[0，m]上为减函数．
∴ymax＝f(0)＝3，ymin＝f(m)＝m2－2m＋3＝2.
∴m＝1，无解．
当1≤m≤2时，ymin＝f(1)＝12－2×1＋3＝2，
ymax＝f(0)＝3.
当m>2时，ymax＝f(m)＝m2－2m＋3＝3，
∴m＝0或m＝2，无解．∴1≤m≤2.
5． 若幂函数y＝(m2－3m＋3)的图象不经过原点，则实数m的值为________．
答案 1或2
解析 由，解得m＝1或2.
经检验m＝1或2都适合.
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题型一 二次函数的图象和性质
例1 已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．
(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；
(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．
思维启迪 对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用．
解 (1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]，
∴f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，
∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.
(2)由于函数f(x)的图象开口向 ( http: / / www.21cnjy.com )上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.
(3)当a＝1时，f(x)＝x2＋2x＋3，
∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈[－6,6]，
且f(x)＝，
∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6]，
单调递减区间是[－6,0]．
思维升华 (1)二次函数 ( http: / / www.21cnjy.com )在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．
(1)二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式是________．
答案 y＝(x－2)2－1
(2)若函数f(x)＝2x2＋mx－1在区间[－1，＋∞)上递增，则f(－1)的取值范围是____________．
答案 (－∞，－3]
解析 ∵抛物线开口向上，对称轴为x＝－，
∴－≤－1，∴m≥4.
又f(－1)＝1－m≤－3，∴f(－1)∈(－∞，－3]．
题型二 二次函数的应用
例2 已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R.
(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；
(2)在(1)的条件下，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的范围．
思维启迪 利用f(x)的最小值为f(－1)＝0可列两个方程求出a、b；恒成立问题可以通过求函数最值解决．
解 (1)由题意有f(－1)＝a－b＋1＝0，
且－＝－1，∴a＝1，b＝2.
∴f(x)＝x2＋2x＋1，单调减区间为(－∞，－1]，
单调增区间为[－1，＋∞)．
(2)f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，
转化为x2＋x＋1>k在区间[－3，－1]上恒成立．
设g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，则g(x)在[－3，－1]上递减．
∴g(x)min＝g(－1)＝1.
∴k<1，即k的取值范围为(－∞，1)．
思维升华 有关二次函数的问 ( http: / / www.21cnjy.com )题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．
已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．
解 (1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]，
所以当x＝1时，f(x)取得最小值1；
当x＝－5时，f(x)取得最大值37.
(2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的图象的对称轴为直线x＝－a，
因为y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数，
所以－a≤－5或－a≥5，即a≤－5或a≥5.
故a的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．
题型三 幂函数的图象和性质
例3 (1)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为 ( )
A．－3 B．1
C．2 D．1或2
(2)若(2m＋1)>(m2＋m－1)，则实数m的取值范围是 ( )
A. B.
C．(－1,2) D.
思维启迪 (1)由幂函数的定义可得n2＋2n－2＝1，再利用f(x)的单调性、对称性求n；(2)构造函数y＝，利用函数单调性求m范围．
答案 (1)B (2)D
解析 (1)由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，
解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1适合题意，故选B.
(2)因为函数y＝的定义域为[0，＋∞)，
且在定义域内为增函数，
所以不等式等价于
解2m＋1≥0，得m≥－；
解m2＋m－1≥0，
得m≤或m≥.
解2m＋1>m2＋m－1，得－1综上≤m<2.
思维升华 (1)幂函数解析式一定要设为y＝xα (α为常数的形式)；(2)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性．
已知幂函数f(x)＝(m∈N＋)
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若该函数还经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
解 (1)m2＋m＝m(m＋1)，m∈N＋，
而m与m＋1中必有一个为偶数，
∴m(m＋1)为偶数．
∴函数f(x)＝(m∈N＋)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．
(2)∵函数f(x)经过点(2，)，
∴＝，即＝.
∴m2＋m＝2.解得m＝1或m＝－2.
又∵m∈N＋，∴m＝1.∴f(x)＝.
由f(2－a)>f(a－1)得
解得1≤a<.∴a的取值范围为[1，)．
分类讨论思想在函数中的应用
典例：(12分)已知函数f(x)＝ax2－|x|＋2a－1(a为实常数)．
(1)若a＝1，作出函数f(x)的图象；
(2)设f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．
思维启迪 (1)因f(x)的表达式中含|x|，故应分类讨论，将原表达式化为分段函数的形式，然后作图．
(2)因a∈R，而a的取值决定f(x)的表现形式，或为直线或为抛物线，若为抛物线又分为开口向上和向下两种情况，故应分类讨论解决．
规范解答
解 (1)当a＝1时，
f(x)＝x2－|x|＋1
＝. [3分]
作图(如右图所示)[5分]
(2)当x∈[1,2]时，f(x)＝ax2－x＋2a－1. [6分]
若a＝0，则f(x)＝－x－1在区间[1,2]上是减函数，
g(a)＝f(2)＝－3. [7分]
若a≠0，
则f(x)＝a2＋2a－－1，
f(x)图象的对称轴是直线x＝.
当a<0时，f(x)在区间[1,2]上是减函数，
g(a)＝f(2)＝6a－3.
当0<<1，即a>时，f(x)在区间[1,2]上是增函数，
g(a)＝f(1)＝3a－2.
当1≤≤2，即≤a≤时，
g(a)＝f＝2a－－1.
当>2，即0g(a)＝f(2)＝6a－3. [11分]
综上可得，g(a)＝ [12分]
温馨提醒 本题解法充分体现了分类 ( http: / / www.21cnjy.com )讨论的数学思想方法，在二次函数最值问题的讨论中，一是要对二次项系数进行讨论，二是要对对称轴进行讨论．在分类讨论时要遵循分类的原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，绝不无原则的分类讨论.
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方法与技巧
1． 二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律：
(1)在研究一元二次方程根的分布问 ( http: / / www.21cnjy.com )题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．
(2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求解．
2． 幂函数y＝xα(α∈R)图象的特征
α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．
失误与防范
1． 对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．
2． 幂函数的图象一定会出现在第一象 ( http: / / www.21cnjy.com )限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
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A组 专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1． 若f(x)＝x2－ax＋1有负值，则实数a的取值范围是 ( )
A．a≤－2 B．－2C．a>2或a<－2 D．1答案 C
解析 ∵f(x)＝x2－ax＋1有负值，
∴Δ＝a2－4>0，则a>2或a<－2.
2． 一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是( )
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答案 C
解析 若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口向上，故可排除A；
若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c开口向下，故可排除D；
对于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而－<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B，因此选C.
3． 如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，那么 ( )
A．f(－2)B．f(0)C．f(2)D．f(0)答案 D
解析 由f(1＋x)＝f(－x)知f(x)的图象关于x＝对称，
又抛物线开口向上，结合图象(图略)可知f(0)4． 设二次函数f(x)＝ax2－ ( http: / / www.21cnjy.com )2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是 ( )
A．(－∞，0] B．[2，＋∞)
C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．[0,2]
答案 D
解析 二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，则a≠0，f′(x)＝2a(x－1)<0，x∈[0,1]，
所以a>0，即函数图象的开口向上，对称轴是直线x＝1.
所以f(0)＝f(2)，则当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2.
5． 已知f(x)＝，若0A．f(a)B．f()C．f(a)D．f()答案 C
解析 因为函数f(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，
又0二、填空题
6． 若函数y＝mx2＋x＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．
答案 0≤m≤
解析 m＝0时，函数在给定区间上是增函数；
m≠0时，函数是二次函数，对称轴为x＝－≤－2，
由题意知m>0，∴07． 若方程x2－11x＋30＋a＝0的两根均大于5，则实数a的取值范围是________．
答案 0解析 令f(x)＝x2－11x＋30＋a.
结合图象有，∴08． 当α∈时，幂函数y＝xα的图象不可能经过第________象限．
答案 二、四
解析 当α＝－1、1、3时，y＝xα的图象经过第一、三象限；当α＝时，y＝xα的图象经过第一象限．
三、解答题
9． 已知二次函数f(x)的二次项系数 ( http: / / www.21cnjy.com )为a，且不等式f(x)>－2x的解集为(1,3)．若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的根，求f(x)的单调区间．
解 ∵f(x)＋2x>0的解集为(1,3)，
设f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a<0，
∴f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3a. ①
由方程f(x)＋6a＝0得ax2－(2＋4a)x＋9a＝0. ②
∵方程②有两个相等的根，
∴Δ＝[－(2＋4a)]2－4a·9a＝0，
解得a＝1或a＝－.由于a<0，舍去a＝1.
将a＝－代入①式得
f(x)＝－x2－x－＝－(x＋3)2＋，
∴函数f(x)的单调增区间是(－∞，－3]，
单调减区间是[－3，＋∞)．
10．已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时有最大值2，求a的值．
解 函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a
＝－(x－a)2＋a2－a＋1，
对称轴方程为x＝a.
(1)当a<0时，f(x)max＝f(0)＝1－a，
∴1－a＝2，∴a＝－1.
(2)当0≤a≤1时，f(x)max＝a2－a＋1，
∴a2－a＋1＝2，∴a2－a－1＝0，
∴a＝(舍)．
(3)当a>1时，f(x)max＝f(1)＝a，∴a＝2.
综上可知，a＝－1或a＝2.
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
1． 设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是 ( )
A．(－∞，－3) B．(1，＋∞)
C．(－3,1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
答案 C
解析 当a<0时，()a－7<1，
即2－a<23，∴a>－3，∴－3当a≥0时，<1，
∴0≤a<1.故－32． 已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且a>b>c，a＋b＋c＝0，集合A＝{m|f(m)<0}，则( )
A． m∈A，都有f(m＋3)>0
B． m∈A，都有f(m＋3)<0
C． m0∈A，使得f(m0＋3)＝0
D． m0∈A，使得f(m0＋3)<0
答案 A
解析 由a>b>c，a＋b＋c＝0可知a>0，c<0，
且f(1)＝0，f(0)＝c<0，
即1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，
当x>1时，f(x)>0.
由a>b，得1>，
设方程ax2＋bx＋c＝0的另一个根为x1，
则x1＋1＝－>－1，即x1>－2，
由f(m)<0可得－2所以1由抛物线的图象可知，f(m＋3)>0，选A.
3． 已知函数f(x)＝x2－2ax＋2a＋4的定义域为R，值域为[1，＋∞)，则a的值域为______．
答案 －1或3
解析 由于函数f(x)的值域为[1，＋∞)，
所以f(x)min＝1且Δ<0.∴－＋1又f(x)＝(x－a)2－a2＋2a＋4，
当x∈R时，f(x)min＝f(a)＝－a2＋2a＋4＝1，
即a2－2a－3＝0，
解得a＝3或a＝－1.
4． 已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，且f(0)·f(1)>0.
(1)求证：－2<<－1；
(2)若x1、x2是方程f(x)＝0的两个实根，求|x1－x2|的取值范围．
(1)证明 当a＝0时，f(0)＝c，f(1)＝2b＋c，又b＋c＝0，
则f(0)·f(1)＝c(2b＋c)＝－c2<0与已知矛盾，
因而a≠0，
则f(0)·f(1)＝c(3a＋2b＋c)＝－(a＋b)(2a＋b)>0
即(＋1)(＋2)<0，从而－2<<－1.
(2)解 x1、x2是方程f(x)＝0的两个实根，
则x1＋x2＝－，x1x2＝－，
那么(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2
＝(－)2＋4×
＝·()2＋＋
＝(＋)2＋.
∵－2<<－1，∴≤(x1－x2)2<，
∴≤|x1－x2|<，
即|x1－x2|的取值范围是[，)．
5． 已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R)．
(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；
(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b的取值范围．
解 (1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－＝－1，
解得a＝1，b＝2.∴f(x)＝(x＋1)2.
∴F(x)＝
∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.
(2)f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在(0,1]上恒成立，
即b≤－x且b≥－－x在(0,1]上恒成立．
又－x的最小值为0，－－x的最大值为－2.
∴－2≤b≤0.
故b的取值范围是[－2,0]．HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
§2.1 函数及其表示
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1． 函数的基本概念
(1)函数的定义
设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数 ( http: / / www.21cnjy.com )x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应法则叫做集合A上的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A，其中x叫做自变量．
(2)函数的定义域、值域
定义域：函数y＝f(x)自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．
值域：所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．
(3)函数的两个要素：定义域和对应法则．
2． 映射
设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法 ( http: / / www.21cnjy.com )则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作f(x)．于是y＝f(x)，x称作y的原象．映射f也可记为f：A→B，x→f(x)．其中A叫做映射f的定义域(函数定义域的推广)，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域，通常记作f(A)．
3． 分段函数
若函数在其定义域内，对于自变量x的不同取值 ( http: / / www.21cnjy.com )区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f(x)＝与g(x)＝x是同一个函数． ( × )
(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等． ( × )
(3)若函数f(x)的定义域为{x|1≤x<3}，则函数f(2x－1)的定义域为{x|1≤x<5}．( × )
(4)f(x)＝，
则f(－x)＝. ( √ )
(5)函数f(x)＝＋1的值域是{y|y≥1}． ( × )
(6)函数是特殊的映射． ( √ )
2． (2013·江西)函数y＝ln(1－x)的定义域为 ( )
A．(0,1) B．[0,1)
C．(0,1] D．[0,1]
答案 B
解析 由得，函数定义域为[0,1)．
3． (2012·安徽)下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是 ( )
A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|
C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x
答案 C
解析 将f(2x)表示出来，看与2f(x)是否相等．
对于A，f(2x)＝|2x|＝2|x|＝2f(x)；
对于B，f(2x)＝2x－|2x|＝2(x－|x|)＝2f(x)；
对于C，f(2x)＝2x＋1≠2f(x)；
对于D，f(2x)＝－2x＝2f(x)，
故只有C不满足f(2x)＝2f(x)，所以选C.
4． (2012·福建)设f(x)＝g(x)＝则f(g(π))的值为( )
A．1 B．0 C．－1 D．π
答案 B
解析 根据题设条件，∵π是无理数，∴g(π)＝0，
∴f(g(π))＝f(0)＝0.
5． 给出四个命题：
①函数是其定义域到值域的映射；②f(x)＝＋是函数；③函数y＝2x (x∈N)的图象是一条直线；④函数的定义域和值域一定是无限集合．
其中正确命题的序号有________．
答案 ①②
解析 对于①函数是映射，但映射不一定是函数；
对于②f(x)是定义域为{2}，值域为{0}的函数；
对于③函数y＝2x (x∈N)的图象不是一条直线；
对于④由于函数的关系可以用列表的方法表示，有些用列表法表示的函数的定义域和值域都不是无限集合．
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题型一 函数的概念
例1 有以下判断：
①f(x)＝与g(x)＝表示同一函数；
②函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个；
③f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数；
④若f(x)＝|x－1|－|x|，则f＝0.
其中正确判断的序号是________．
思维启迪 可从函数的定义、定义域和值域等方面对所给结论进行逐一分析判断．
答案 ②③
解析 对于①，由于函数f( ( http: / / www.21cnjy.com )x)＝的定义域为{x|x∈R且x≠0}，而函数g(x)＝的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于②，若x＝1不是y＝f(x)定义域内的值，则直线x＝1与y＝f(x)的图象没有交点，如果x＝1是y＝f(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x＝1与y＝f(x)的图象只有一个交点，即y＝f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点；对于③，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应法则均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数；对于④，由于f＝－＝0，所以f＝f(0)＝1.
综上可知，正确的判断是②③.
思维升华 函数的值域可由定义域和对应法 ( http: / / www.21cnjy.com )则唯一确定；当且仅当定义域和对应法则都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应法则是就效果而言的(判断两个函数的对应法则是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应法则算出的函数值是否相同)．
(1)下列四个图象中，是函数图象的是 ( )
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A．(1) B．(1)(3)(4)
C．(1)(2)(3) D．(3)(4)
(2)下列各组函数中，表示同一函数的是 ( )
A．f(x)＝|x|，g(x)＝
B．f(x)＝，g(x)＝()2
C．f(x)＝，g(x)＝x＋1
D．f(x)＝·，g(x)＝
答案 (1)B (2)A
解析 (1)由一个变量x仅有一个f(x)与之对应，得(2)不是函数图象．故选B.
(2)A中，g(x)＝|x|，∴f(x)＝g(x)．
B中，f(x)＝|x|(x∈R)，g(x)＝x (x≥0)，
∴两函数的定义域不同．
C中，f(x)＝x＋1 (x≠1)，g(x)＝x＋1(x∈R)，
∴两函数的定义域不同．
D中，f(x)＝·(x＋1≥0且x－1≥0)，f(x)的定义域为{x|x≥1}；
g(x)＝(x2－1≥0)，
g(x)的定义域为{x|x≥1或x≤－1}．
∴两函数的定义域不同．故选A.
题型二 求函数的解析式
例2 (1)如果f()＝，则当x≠0且x≠1时，f(x)等于 ( )
A. B. C. D.－1
(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝________.
(3)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f()·－1，则f(x)＝________.
思维启迪 (1)令t＝，反解出x，代入f()＝，求f(t)的表达式．
(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，结合条件列出关于x的方程求参数a，b.
(3)用代替x，通过解方程组求f(x)．
答案 (1)B (2)2x＋7 (3)＋
解析 (1)令t＝，得x＝，
∴f(t)＝＝，
∴f(x)＝.
(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b
＝ax＋5a＋b，
即ax＋5a＋b＝2x＋17不论x为何值都成立，
∴解得
∴f(x)＝2x＋7.
(3)在f(x)＝2f()－1中，用代替x，
得f()＝2f(x)－1，
将f()＝－1代入f(x)＝2f()－1中，
可求得f(x)＝＋.
思维升华 函数解析式的求法
(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；
(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；
(4)消去法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
(1)已知f(x＋)＝x2＋，求f(x)的解析式．
(2)已知f(x)满足2f(x)＋f()＝3x，求f(x)的解析式．
解 (1)∵f(x＋)＝x2＋＝(x＋)2－2，
且x＋≥2或x＋≤－2,
∴f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2)．
(2)∵2f(x)＋f()＝3x，①
把①中的x换成，得
2f()＋f(x)＝.②
①×2－②得3f(x)＝6x－，
∴f(x)＝2x－(x≠0)．
题型三 求函数的定义域
例3 (1)函数f(x)＝的定义域为 ( )
A．(－1,2) B．(－1,0)∪(0,2)
C．(－1,0) D．(0,2)
(2)已知函数f(x)的定义域为[1,2]，则函数g(x)＝的定义域为________．
思维启迪 函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；抽象函数的定义域要注意自变量的取值和各个字母的位置．
答案 (1)C (2)[，1)
解析 (1)f(x)有意义，则
解之得∴－1∴f(x)的定义域为(－1,0)．
(2)要使函数g(x)＝有意义，
则必须有，
∴≤x<1，故函数g(x)的定义域为[，1)．
思维升华 (1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集．
(2)已知f(x)的定义域是[a， ( http: / / www.21cnjy.com )b]，求f[g(x)]的定义域，是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围，而已知f[g(x)]的定义域是[a，b]，指的是x∈[a，b]．
(1)已知函数f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f(x＋)＋f(x－)的定义域是________．
(2)函数y＝的定义域为________________．
答案 (1)[，] (2)(－1,1)
解析 (1)因为函数f(x)的定义域是[0,2]，
所以函数g(x)＝f(x＋)＋f(x－)中的自变量x需要满足解得：≤x≤，
所以函数g(x)的定义域是[，]．
(2)由，得－1题型四 分段函数
例4 (1)已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
(2)设函数y＝f(x)在R上有定 ( http: / / www.21cnjy.com )义．对于给定的正数M，定义函数fM(x)＝则称函数fM(x)为f(x)的“孪生函数”．若给定函数f(x)＝2－x2，M＝1，则fM(0)的值为
( )
A．2 B．1 C. D．－
思维启迪 (1)应对a分a>0和a≤0进行讨论，确定f(a)．
(2)可以根据给定函数f(x)和M确定fM(x)，再求fM(0)．
答案 (1)A (2)B
解析 (1)由题意知f(1)＝21＝2.∵f(a)＋f(1)＝0，
∴f(a)＋2＝0.
①当a>0时，f(a)＝2a,2a＋2＝0无解；
②当a≤0时，f(a)＝a＋1，∴a＋1＋2＝0，∴a＝－3.
(2)由题设f(x)＝2－x2≤1，得
当x≤－1或x≥1时，fM(x)＝2－x2；
当－1思维升华 (1)应用分段函数时，首先要确定自 ( http: / / www.21cnjy.com )变量的值属于哪个区间，其次选定相应关系代入计算求解，特别要注意分段区间端点的取舍，当自变量的值不确定时，要分类讨论．
(2)若给出函数值或函数值 ( http: / / www.21cnjy.com )的范围求自变量值或自变量的取值范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围．
已知函数f(x)＝则f(x)－f(－x)>－1的解集为( )
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．[－1，－)∪(0,1]
C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．[－1，－]∪(0,1)
答案 B
解析 ①当－1≤x<0时，0<－x≤1，
此时f(x)＝－x－1，f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，
∴f(x)－f(－x)>－1化为－2x－2>－1，
解得x<－，则－1≤x<－.
②当0此时，f(x)＝－x＋1，f(－x)＝－(－x)－1＝x－1，
∴f(x)－f(－x)>－1化为－2x＋2>－1，
解得x<，则0故所求不等式的解集为[－1，－)∪(0,1]．
分段函数意义理解不清致误
典例：(5分)已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．
易错分析 本题易出现的错误主要有两个方面：
(1)误以为1－a<1,1＋a>1，没有对a进行讨论直接代入求解．
(2)求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求致误．
解析 当a>0时，1－a<1,1＋a>1，
由f(1－a)＝f(1＋a)可得2－2a＋a＝－1－a－2a，
解得a＝－，不合题意；
当a<0时，1－a>1,1＋a<1，
由f(1－a)＝f(1＋a)可得－1＋a－2a＝2＋2a＋a，
解得a＝－.
答案 －
温馨提醒 (1)分类讨论思想在求函数值中的应用
对于分段函数的求值问题，若自变量的取值范围不确定，应分情况求解．
(2)检验所求自变量的值或范围是否符合题意
求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求.
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方法与技巧
1．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应法则是否相同．
2．定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行．
3．函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、消去法．
4．分段函数问题要分段求解．
失误与防范
求分段函数应注意的问题：
在求分段函数的值f(x0 ( http: / / www.21cnjy.com ))时，首先要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集．
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A组 专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1． 函数f(x)＝＋的定义域为 ( )
A．[－2,0)∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2]
C．[－2,2] D．(－1,2]
答案 B
解析 由，得－12． (2012·江西)设函数f(x)＝则f(f(3))等于 ( )
A. B．3 C. D.
答案 D
解析 由题意知f(3)＝，f＝2＋1＝，
∴f(f(3))＝f＝.
3． 若函数y＝f(x)的定义域为M＝ ( http: / / www.21cnjy.com ){x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是 ( )
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答案 B
解析 可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．
4． 已知函数f(x)满足f()＝log2，则f(x)的解析式是 ( )
A．f(x)＝log2x B．f(x)＝－log2x
C．f(x)＝2－x D．f(x)＝x－2
答案 B
解析 根据题意知x>0，所以f()＝log2x，则f(x)＝log2＝－log2x.
5． 某学校要召开学生代表大会，规定各 ( http: / / www.21cnjy.com )班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为 ( )
A．y＝[] B．y＝[]
C．y＝[] D．y＝[]
答案 B
解析 方法一 取特殊值法，若x＝56，则y＝5，排除C，D；
若x＝57，则y＝6，排除A，选B.
方法二 设x＝10m＋α(0≤α≤9，m，α∈N)，当0≤α≤6时，[]＝[m＋]＝m＝[]，
当6<α≤9时，[]＝[m＋]＝m＋1＝[]＋1，所以选B.
二、填空题
6． 下表表示y是x的函数，则函数的值域是________.
x 0y 2 3 4 5
答案 {2,3,4,5}
解析 函数值只有四个数2、3、4、5，故值域为{2,3,4,5}．
7． 已知f(x－)＝x2＋，则f(3)＝________.
答案 11
解析 ∵f(x－)＝x2＋＝(x－)2＋2，
∴f(x)＝x2＋2(x≠0)，∴f(3)＝32＋2＝11.
8． 若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为________．
答案 [－1,0]
解析 由题意知≥0恒成立．
∴x2＋2ax－a≥0恒成立，
∴Δ＝4a2＋4a≤0，∴－1≤a≤0.
三、解答题
9． 已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1.求函数f(x)的解析式．
解 设f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，又f(0)＝0，
∴c＝0，即f(x)＝ax2＋bx.
又∵f(x＋1)＝f(x)＋x＋1.
∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1.
∴(2a＋b)x＋a＋b＝(b＋1)x＋1，
∴，解得.
∴f(x)＝x2＋x.
10．某人开汽车沿一条直线以60 ( http: / / www.21cnjy.com )km/h的速度从A地到150 km远处的B地．在B地停留1 h后，再以50 km/h的速度返回A地，把汽车与A地的距离x(km)表示为时间t(h)(从A地出发开始)的函数，并画出函数的图象．
解 x＝.
图象如右图所示．
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
1． 已知a，b为两个不相等的实数，集合 ( http: / / www.21cnjy.com )M＝{a2－4a，－1}，N＝{b2－4b＋1，－2}，f：x→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b等于 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 D
解析 由已知可得M＝N，
故
所以a，b是方程x2－4x＋2＝0的两根，故a＋b＝4.
2． 设函数f(x)＝，则不等式f(x)A．(－3，－1)∪(3，＋∞) B．(－3，－1)∪(2，＋∞)
C．(－3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(－1,3)
答案 A
解析 f(－1)＝3，f(x)<3，当x≤0时，x2＋4x＋6<3，
解得x∈(－3，－1)；当x>0时，－x＋6<3，
解得x∈(3，＋∞)，
故不等式的解集为(－3，－1)∪(3，＋∞)，故选A.
3． 已知函数f(x)＝则关于x的方程f(f(x))＋k＝0，给出下列四个命题：
①存在实数k，使得方程恰有1个实根；
②存在实数k，使得方程恰有2个不相等的实根；
③存在实数k，使得方程恰有3个不相等的实根；
④存在实数k，使得方程恰有4个不相等的实根．
其中正确命题的序号是________．(把所有满足要求的命题序号都填上)
答案 ①②
解析 依题意，知函数f(x)>0，
又f(f(x))＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(，x≥0，,e－2x，x<0，))
依据y＝f(f(x))的大致图象(如右图所示)，知存在实数k，使得方程f(f(x))＋k＝0恰有1个实根或恰有2个不相等的实根；
不存在实数k，使得方程恰有3个不相等的实根或恰有4个
不相等的实根．
4. 行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距
离才能停下，这段距离叫作刹车距离．在某种路面上，某种
型号汽车的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)满足下
列关系：y＝＋mx＋n(m，n是常数)．如图是根据多次实验
数据绘制的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)的关系图．
(1)求出y关于x的函数表达式；
(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．
解 (1)由题意及函数图象，得，
解得m＝，n＝0，所以y＝＋(x≥0)．
(2)令＋≤25.2，得－72≤x≤70.
∵x≥0，∴0≤x≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．
5． 运货卡车以每小时x千米的速度匀 ( http: / / www.21cnjy.com )速行驶130千米(50≤x≤100)(单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋)升，司机的工资是每小时14元．
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；
(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．
解 (1)行车所用时间为t＝(h)，
y＝×2×(2＋)＋，x∈[50,100]．
所以，这次行车总费用y关于x的表达式是
y＝＋x，x∈[50,100]．
(2)y＝＋x≥26，当且仅当＝x，
即x＝18时，上述不等式中等号成立．
故当x＝18时，这次行车的总费用最低，最低费用为26元．§2.3 函数的奇偶性与周期性
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1． 函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
奇函数 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数 关于原点对称
偶函数 设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数 关于y轴对称
2. 周期性
(1)周期函数
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零 ( http: / / www.21cnjy.com )常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数f(x)＝0，x∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数． ( × )
(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称． ( √ )
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称． ( √ )
(4)若函数f(x)＝为奇函数，则a＝2. ( √ )
(5)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数．( √ )
(6)函数f(x)为R上的奇函数，且f(x＋2)＝f(x)，则f(2 014)＝0. ( √ )
2． (2013·山东)已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)等于( )
A．－2 B．0 C．1 D．2
答案 A
解析 f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2.
3． 已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )
A．－ B. C. D．－
答案 B
解析 依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，
∴a＝，则a＋b＝.
4． 已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(2 015)
等于 ( )
A．－2 B．2 C．－98 D．98
答案 A
解析 ∵f(x＋4)＝f(x)，
∴f(x)是以4为周期的周期函数，
∴f(2 015)＝f(503×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．
又f(x)为奇函数，
∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，即f(2 015)＝－2.
5． 设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg x，则满足f(x)>0的x的取值范围是________．
答案 (－1,0)∪(1，＋∞)
解析 画草图，由f(x)为奇函数知：f(x)>0的x的取值范围为(－1,0)∪(1，＋∞)．
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题型一 判断函数的奇偶性
例1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝(x＋1) ；
(3)f(x)＝.
思维启迪 确定函数的奇偶性时，必须先判定 ( http: / / www.21cnjy.com )函数定义域是否关于原点对称．若对称，再验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．
解 (1)由，得x＝±3.
∴f(x)的定义域为{－3,3}，关于原点对称．
又f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)＝0.
即f(x)＝±f(－x)．
∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．
(2)由，得－1∵f(x)的定义域(－1,1]不关于原点对称．
∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(3)由，得－2≤x≤2且x≠0.
∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称．
∴f(x)＝＝.
∴f(x)＝－f(－x)，∴f(x)是奇函数．
思维升华 (1)利用定义判断函数奇偶性的步骤：
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(2)在判断奇偶性的运算中，可以转化为 ( http: / / www.21cnjy.com )判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝.
解 (1)由，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，
f(x)＝＝－.
∵f(－x)＝－＝－＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
(2)f(x)的定义域为R，关于原点对称，
当x>0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；
当x<0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；
当x＝0时，f(0)＝0，也满足f(－x)＝－f(x)．
故该函数为奇函数．
题型二 函数周期性的应用
例2 (1)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)等于 ( )
A．335 B．336 C．1 678 D．2 012
(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝________.
思维启迪 (1)f(x)的周期性已知，可以通过一个周期内函数值的变化情况求和．(2)通过题意先确定函数的周期性．
答案 (1)B (2)2.5
解析 (1)利用函数的周期性和函数值的求法求解．
∵f(x＋6)＝f(x)，∴T＝6.
∵当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；
当－1≤x<3时，f(x)＝x，
∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝f(7)＋f(8)＋…＋f(12)＝…＝f(2 005)＋f(2 006)＋…＋f(2 010)＝1，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 010)＝1×＝335.
而f(2 011)＋f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)
＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝1＋2－1＋0－1＝1.
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)＝335＋1＝336.
(2)由已知，可得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]
＝－＝－＝f(x)．
故函数的周期为4.
∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)．
∵2≤2.5≤3，由题意，得f(2.5)＝2.5.
∴f(105.5)＝2.5.
思维升华 (1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．
(2)求函数周期的方法
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)等于 ( )
A．－1 B．1 C．－2 D．2
(2)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f等于( )
A．－ B．－ C. D.
答案 (1)A (2)A
解析 (1)由f(x)是R上周期为5的奇函数知
f(3)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，
f(4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，
∴f(3)－f(4)＝－1，故选A.
(2)∵f(x)是周期为2的奇函数，
∴f＝f＝f＝－f
＝－2××＝－.
题型三 函数性质的综合应用
例3 设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；
(3)写出(－∞，＋∞)内函数f(x)的单调区间．
思维启迪 可以先确定函数的周期性，求f(π)；然后根据函数图象的对称性、周期性画出函数图象，求图形面积、写单调区间．
解 (1)由f(x＋2)＝－f(x)得，
f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，
∴f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)
＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，
得：f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，
即f(1＋x)＝f(1－x)．
故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．
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当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，
则S＝4S△OAB＝4×＝4.
(3)函数f(x)的单调递增区间为[4k－1,4k＋1] (k∈Z)，
单调递减区间为[4k＋1,4k＋3] (k∈Z)．
思维升华 关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，体现了转化思想．
(1)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)A. B.
C. D.
(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )
A．f(－25)B．f(80)C．f(11)D．f(－25)答案 (1)A (2)D
解析 (1)偶函数满足f(x)＝f(|x|)，根据这个结论，
有f(2x－1)进而转化为不等式|2x－1|<，
解这个不等式即得x的取值范围是.
(2)由函数f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是增函数可以推知，
f(x)在[－2,2]上递增，
又f(x－4)＝－f(x) f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，
故函数f(x)以8为周期，
f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(3－4)＝f(1)，
f(80)＝f(0)，
故f(－25)忽视定义域致误
典例：(10分)(1)若函数f(x)＝在定义域上为奇函数，则实数k＝________.
(2)已知函数f(x)＝则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范围是________．
易错分析 (1)解题中忽视函数f(x)的定义域，直接通过计算f(0)＝0得k＝1.
(2)本题易出现以下错误
由f(1－x2)>f(2x)得1－x2>2x，忽视了1－x2>0导致解答失误．
解析 (1)∵f(－x)＝＝，
∴f(－x)＋f(x)＝
＝.
由f(－x)＋f(x)＝0可得k2＝1，∴k＝±1.
(2)画出f(x)＝的图象，
由图象可知，若f(1－x2)>f(2x)，
则
即得x∈(－1，－1)．
答案 (1)±1 (2)(－1，－1)
温馨提醒 (1)已知函数的奇偶性，利用特殊值确定参数，要注意函数的定义域．
(2)解决分段函数的单调性问题时，应高度关注：
①抓住对变量所在区间的讨论．
②保证各段上同增(减)时，要注意左、右段端点值间的大小关系．
③弄清最终结果取并还是交.
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方法与技巧
1． 正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：
(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；
(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．
2． 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象 ( http: / / www.21cnjy.com )关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．
3． 若对于函数f(x)的定义 ( http: / / www.21cnjy.com )域内任一个自变量的值x都有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－(a是常数且a≠0)，则f(x)是一个周期为2a的周期函数．
失误与防范
1． 判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．
2． 判断函数f(x)是奇函数，必 ( http: / / www.21cnjy.com )须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)．对于偶函数的判断以此类推．
3． 分段函数奇偶性判定时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性．
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A组 专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1． (2013·广东)定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x中，奇函数的个数是 ( )
A．4 B．3 C．2 D．1
答案 C
解析 由奇函数的定义可知y＝x3，y＝2sin x为奇函数．
2． 设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)等于 ( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
答案 A
解析 ∵f(x)是奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，
∴f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.
3． 定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，则( )
A．f(3)B．f(1)C．f(－2)D．f(3)答案 A
解析 由题意知f(x)为偶函数，所以f(－2)＝f(2)，
又x∈[0，＋∞)时，f(x)为减函数，且3>2>1，
∴f(3)4． 定义两种运算：a?b＝，a b＝，则f(x)＝是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
答案 A
解析 因为2?x＝，x 2＝，
所以f(x)＝＝＝，
该函数的定义域是[－2,0)∪(0,2]，
且满足f(－x)＝－f(x)．
故函数f(x)是奇函数．
5． 已知定义在R上的奇函数 ( http: / / www.21cnjy.com )f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0，且a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)等于 ( )
A．2 B.
C. D．a2
答案 B
解析 ∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，
∴f(－2)＝－f(2)，g(－2)＝g(2)＝a，
∵f(2)＋g(2)＝a2－a－2＋2， ①
∴f(－2)＋g(－2)＝g(2)－f(2)＝a－2－a2＋2， ②
由①、②联立，g(2)＝a＝2，f(2)＝a2－a－2＝.
二、填空题
6． 函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝＋1，则当x<0时，f(x)＝________.
答案 －－1
解析 ∵f(x)为奇函数，x>0时，f(x)＝＋1，
∴当x<0时，－x>0，
f(x)＝－f(－x)＝－(＋1)，
即x<0时，f(x)＝－(＋1)＝－－1.
7． 若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.
答案 0
解析 ∵函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函 ( http: / / www.21cnjy.com )数，∴f(－x)＝f(x)，即(－x)2－|－x＋a|＝x2－|x＋a|，∴|－x＋a|＝|x＋a|，∴a＝0.
8． 已知函数f(x)满足：f(1)＝，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，则f(2 015)＝________.
答案
解析 方法一 令x＝1，y＝0时，4f(1)·f(0)＝f(1)＋f(1)，
解得f(0)＝，
令x＝1，y＝1时，4f(1)·f(1)＝f(2)＋f(0)，
解得f(2)＝－，
令x＝2，y＝1时，4f(2)·f(1)＝f(3)＋f(1)，
解得f(3)＝－，
依次求得f(4)＝－，f(5)＝，f(6)＝，f(7)＝，
f(8)＝－，f(9)＝－，…
可知f(x)是以6为周期的函数，
∴f(2 015)＝f(335×6＋5)＝f(5)＝.
方法二 ∵f(1)＝，4f(x)·f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)，
∴构造符合题意的函数f(x)＝cos x，
∴f(2 015)＝cos＝.
三、解答题
9． 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称．
(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；
(2)若f(x)＝ (0(1)证明 由函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，
有f(x＋1)＝f(1－x)，即有f(－x)＝f(x＋2)．
又函数f(x)是定义在R上的奇函数，
故有f(－x)＝－f(x)．故f(x＋2)＝－f(x)．
从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
即f(x)是周期为4的周期函数．
(2)解 由函数f(x)是定义在R上的奇函数，有f(0)＝0.
x∈[－1,0)时，－x∈(0,1]，f(x)＝－f(－x)＝－.
故x∈[－1,0]时，f(x)＝－.
x∈[－5，－4]时，x＋4∈[－1,0]，
f(x)＝f(x＋4)＝－.
从而，x∈[－5，－4]时，函数f(x)＝－.
10．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解 (1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)由(1)知f(x)在[－1,1]上是增函数，
要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增．
结合f(x)的图象知
所以1B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
1． 已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则
f(2 013)＋f(2 015)的值为 ( )
A．－1 B．1
C．0 D．无法计算
答案 C
解析 由题意，得g(－x)＝f(－x－1)，
又∵f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)，
∴f(x－1)＝－f(x＋1)，
∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)，
∴f(x)的周期为4，
∴f(2 013)＝f(1)，f(2 015)＝f(3)＝f(－1)，
又∵f(1)＝f(－1)＝g(0)＝0，
∴f(2 013)＋f(2 015)＝0.
2． 设奇函数f(x)的定义域为R，最小正周期T＝3，若f(1)≥1，f(2)＝，则a的取值范围是 ( )
A．a<－1或a≥ B．a<－1
C．－1答案 C
解析 函数f(x)为奇函数，则f(1)＝－f(－1)．
由f(1)＝－f(－1)≥1，得f(－1)≤－1；
函数的最小正周期T＝3，则f(－1)＝f(2)，
由≤－1，解得－13． 设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝2x，则有
①2是函数f(x)的周期；
②函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；
③函数f(x)的最大值是1，最小值是0.
其中所有正确命题的序号是________．
答案 ①②
解析 在f(x＋1)＝f(x－1)中，令x－1＝t，则有f(t＋2)＝f(t)，
因此2是函数f(x)的周期，故①正确；
当x∈[0,1]时，f(x)＝2x是增函数，
则f(x)在[－1,0]上是减函数，
根据函数的周期性知，函数f(x)在(1,2)上是减函数，
在(2,3)上是增函数，故②正确；
在区间[－1,1]上，f(x)的最大值为f(1)＝f(－1)＝2，
f(x)的最小值为f(0)＝1，故③错误．
4． 函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．
解 (1)∵对于任意x1，x2∈D，
有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.
(2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
∴f(－1)＝f(1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，
由(2)知，f(x)是偶函数，
∴f(x－1)<2 f(|x－1|)又f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
∴0<|x－1|<16，解之得－15∴x的取值范围是{x|－155． 设函数f(x)在(－∞，＋∞)上满足f ( http: / / www.21cnjy.com )(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在闭区间[0,7]上只有f(1)＝f(3)＝0.
(1)试判断函数y＝f(x)的奇偶性；
(2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2 005,2 005]上的根的个数，并证明你的结论．
解 (1)∵f(1)＝0，且f(x)在[0,7]上只有f(1)＝f(3)＝0，
又∵f(2－x)＝f(2＋x)，令x＝－3，f(－1)＝f(5)≠0，
∴f(－1)≠f(1)，且f(－1)≠－f(1)．
∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(2)f(10＋x)＝f[2＋8＋x]＝f[2－(8＋x)]
＝f(－6－x)＝f[7－(13＋x)]＝f[7＋13＋x]
＝f(20＋x)，
∴f(x)以10为周期．
又f(x)的图象关于x＝7对称知，f(x)＝0在(0,10)上有两个根，
则f(x)＝0在(0,2 005]上有201×2＝402个根；
在[－2 005,0]上有200×2＝400个根；
因此f(x)＝0在闭区间上共有802个根．§2.8 函数与方程
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1． 函数的零点
(1)定义：如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点．
(2)变号零点：如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点．
(3)几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点．
2． 零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的 ( http: / / www.21cnjy.com )图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)<0，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.
3． 用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
第一步，确定区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0；
第二步，求区间(a，b)的中点c1；
第三步，计算f(c1)：
(1)若f(c1)＝0，则c1就是函数的零点；
(2)若f(a)f(c1)<0，则令b＝c1(此时零点x0∈(a，c1))；
(3)若f(b)f(c1)<0，则令a＝c1(此时零点x0∈(c1，b))；
第四步，判断x0是否满足给定的精确度；否则重复第二、三、四步．
4． 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
与x轴的交点 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 无交点
零点个数 2个 1个 0个
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点． ( × )
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0. ( × )
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点． ( √ )
(4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值． ( × )
(5)函数y＝2sin x－1的零点有无数多个． ( √ )
(6)函数f(x)＝kx＋1在[1,2]上有零点，则－12． (2013·天津)函数f(x)＝2x|log0.5 x|－1的零点个数为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 当0由y＝log0.5x，y＝x的图象知，在(0,1)内有一个交点，即f(x)在(0,1)上有一个零点．
当x>1时，f(x)＝－2xlog0.5x－1＝2xlog2x－1，
令f(x)＝0得log2x＝x，
由y＝log2x，y＝x的图象知在(1，＋∞)上有一个交点，即f(x)在(1，＋∞)上有一个零点，故选B.
3． (2013·重庆)若aA．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
答案 A
解析 由于a0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.因此有f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，又因f(x)是关于x的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，因此函数f(x)的两零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选A.
4． 在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为 ( )
A．(－，0) B．(0，) C．(，) D．(，)
答案 C
解析 ∵f(x)＝ex＋4x－3，∴f′(x)＝ex＋4>0.
∴f(x)在其定义域上是严格单调递增函数．
∵f(－)＝－4<0，f(0)＝e0＋4×0－3＝－2<0，
f()＝－2<0，f()＝－1>0，
∴f()·f()<0.
5． 已知函数f(x)＝ln x－x＋2有一个零点所在的区间为(k，k＋1) (k∈N＋)，则k的值为________．
答案 3
解析 由题意知，当x>1时，f ( http: / / www.21cnjy.com )(x)单调递减，因为f(3)＝ln 3－1>0，f(4)＝ln 4－2<0，所以该函数的零点在区间(3,4)内，所以k＝3.
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题型一 函数零点的判断和求解
例1 (1)(2012·湖北)函数f(x)＝xcos x2在区间[0,4]上的零点个数为 ( )
A．4 B．5 C．6 D．7
(2)设函数f(x)＝x2＋(x≠0)．当a>1时，方程f(x)＝f(a)的实根个数为________．
思维启迪 (1)函数零点的确定问题；
(2)f(x)＝f(a)的实根个数转化为函数g(x)＝f(x)－f(a)的零点个数．
答案 (1)C (2)三
解析 (1)当x＝0时，f(x)＝0.又因为x∈[0,4]，
所以0≤x2≤16.因为5π<16<，
所以函数y＝cos x2在x2取，，，，时为0，
此时f(x)＝0，所以f(x)＝xcos x2在区间[0,4]上的零点个数为6.
(2)令g(x)＝f(x)－f(a)，
即g(x)＝x2＋－a2－，
整理得：g(x)＝(x－a)(ax2＋a2x－2)．
显然g(a)＝0，令h(x)＝ax2＋a2x－2.
∵h(0)＝－2<0，h(a)＝2(a3－1)>0，
∴h(x)在区间(－∞，0)和(0，a)各有一个零点．
因此，g(x)有三个零点，即方程f(x)＝f(a)有三个实数解．
思维升华 函数零点的确定问题，常 ( http: / / www.21cnjy.com )见的有①函数零点值大致存在区间的确定，②零点个数的确定，③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在性定理或数形结合法．
(1)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是 ( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x ( http: / / www.21cnjy.com )＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是 ( )
A．多于4个 B．4个
C．3个 D．2个
答案 (1)B (2)B
解析 (1)∵f′(x)＝2xln 2＋3>0，
∴f(x)＝2x＋3x在R上是增函数．
而f(－2)＝2－2－6<0，f(－1)＝2－1－3<0，
f(0)＝20＝1>0，f(1)＝2＋3＝5>0，f(2)＝22＋6＝10>0，
∴f(－1)·f(0)<0.故函数f(x)在区间(－1,0)上有零点．
(2)由题意知，f(x)是周期为2的偶函数．
在同一坐标系内作出函数y＝f(x)及y＝log3|x|的图象，如下：
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观察图象可以发现它们有4个交点，
即函数y＝f(x)－log3|x|有4个零点．
题型二 二次函数的零点问题
例2 是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
思维启迪 可将问题转化为f(x)＝0在[－1,3]上有且只有一个实数根，结合二次函数的图象特征转化题中条件．
解 令f(x)＝0，则Δ＝(3a－2)2－4(a－1)＝9a2－16a＋8
＝9(a－)2＋>0，
即f(x)＝0有两个不相等的实数根，
∴若实数a满足条件，则只需f(－1)·f(3)≤0即可．
f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0，
∴a≤－或a≥1.
检验：(1)当f(－1)＝0时，a＝1，所以f(x)＝x2＋x.
令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1.
方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a≠1.
(2)当f(3)＝0时，a＝－，此时f(x)＝x2－x－.
令f(x)＝0，即x2－x－＝0，解得x＝－或x＝3.
方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a≠－.
综上所述，a<－或a>1.
思维升华 解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；
(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；
(3)利用二次函数的图象列不等式组．
已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围．
解 方法一 设方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的两根分别为x1，x2(x1∴x1x2－(x1＋x2)＋1<0，
由根与系数的关系，
得(a－2)＋(a2－1)＋1<0，
即a2＋a－2<0，∴－2方法二 函数图象大致如图，则有f(1)<0，
即1＋(a2－1)＋a－2<0，∴－2题型三 函数零点的应用
例3 若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，求实数a的取值范围．
思维启迪 方程的根也就是与方程对应 ( http: / / www.21cnjy.com )的函数零点，判断方程的根是否存在，可以通过构造相应的函数，将其转化为函数零点的存在性问题求解，也可直接通过分离参数，转化为函数的值域问题求解．
解 方法一 (换元法)
设t＝2x (t>0)，则原方程可变为t2＋at＋a＋1＝0，(*)
原方程有实根，即方程(*)有正根．
令f(t)＝t2＋at＋a＋1.
①若方程(*)有两个正实根t1，t2，
则解得－1②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根，不合题意，舍去)，则f(0)＝a＋1<0，解得a<－1；
③当a＝－1时，t＝1，x＝0符合题意．
综上，a的取值范围是(－∞，2－2]．
方法二 (分离变量法)
由方程，解得a＝－，设t＝2x (t>0)，
则a＝－＝－
＝2－，其中t＋1>1，
由均值不等式，得(t＋1)＋≥2，当且仅当t＝－1时取等号，故a≤2－2.
思维升华 对于“a＝f(x)有解”型问题，可以通过求函数y＝f(x)的值域来解决．
已知定义在R上的函数y＝f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当－1A．(1,5) B．(0，)∪[5，＋∞)
C．(0，]∪[5，＋∞) D．[，1]∪(1,5]
答案 B
解析 依题意知函数f(x)的周期为2，在坐标 ( http: / / www.21cnjy.com )平面内画出函数y＝f(x)与函数y＝loga|x|的图象，如图所示，结合图象，可知要使函数g(x)＝f(x)－loga|x|至少有5个零点，则有0HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
函数与方程思想的应用
典例：(12分)已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋ (x>0)．
(1)若y＝g(x)－m有零点，求m的取值范围；
(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
思维启迪 (1)y＝g(x)－m有零点即y＝g(x)与y＝m的图象有交点，所以可以结合图象求解；
(2)g(x)－f(x)＝0有两个相异实根 y＝f(x)与y＝g(x)的图象有两个不同交点，所以可利用它们的图象求解．
规范解答
解 (1)方法一
∵g(x)＝x＋≥2＝2e，
等号成立的条件是x＝e，
故g(x)的值域是[2e，＋∞)， [3分]
因而只需m≥2e，则y＝g(x)－m就有零点． [6分]
方法二 作出g(x)＝x＋ (x>0)的大致图象如图． [3分]
可知若使y＝g(x)－m有零点，则只需m≥2e. [6分]
(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，
作出g(x)＝x＋ (x>0)的大致图象如图． [8分]
∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2.
∴其图象的对称轴为x＝e，开口向下，
最大值为m－1＋e2. [10分]
故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)． [12分]
温馨提醒 (1)求函数零点的值，判断函数零点 ( http: / / www.21cnjy.com )的范围及零点的个数以及已知函数零点求参数范围等问题，都可利用方程来求解，但当方程不易甚至不可能解出时，可构造两个函数，利用数形结合的方法进行求解．
(2)本题的易错点是确定g(x)的最小值和f(x)的最大值时易错．要注意函数最值的求法.
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方法与技巧
1． 函数零点的判定常用的方法有
(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)＝0.
2． 研究方程f(x)＝g(x)的解，实质就是研究G(x)＝f(x)－g(x)的零点．
3． 转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题．
失误与防范
1． 函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
2． 函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．
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A组 专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1． 方程log3x＋x－3＝0的解所在的区间是 ( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
答案 C
解析 设f(x)＝log3x＋x－3，则f(2)＝log32－1<0，
f(3)＝log33＋3－3＝1>0，
∴f(x)＝0在(2,3)有零点，
又f(x)为增函数，∴f(x)＝0的零点在(2,3)内．
2． 方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 (数形结合法)
∵a>0，∴a2＋1>1.
而y＝|x2－2x|的图象如图，
∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点．
3． 若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( )
A．(－1,1) B．(－2,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
答案 C
解析 ∵方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝m2－4>0，∴m>2或m<－2.
4． 已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零点依次为a，b，c，则
( )
A．aC．b答案 B
解析 由于f(－1)＝－1＝－<0，f(0)＝1>0，
且f(x)为单调递增函数．
故f(x)＝2x＋x的零点a∈(－1,0)．
∵g(2)＝0，∴g(x)的零点b＝2；
∵h＝－1＋＝－<0，h(1)＝1>0，
且h(x)为单调递增函数，
∴h(x)的零点c∈，因此a5． 已知x0是函数f(x)＝＋ln x的一个零点，若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则( )
A．f(x1)＜0，f(x2)＜0 B．f(x1)＞0，f(x2)＞0
C．f(x1)＞0，f(x2)＜0 D．f(x1)＜0，f(x2)＞0
答案 D
解析 令f(x)＝＋ln x＝0.从而 ( http: / / www.21cnjy.com )有ln x＝，此方程的解即为函数f(x)的零点．在同一坐标系中作出函数y＝ln x与y＝的图象如图所示．
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由图象易知，＞ln x1，从而ln x1－＜0，
故ln x1＋＜0，即f(x1)＜0.同理f(x2)＞0.
二、填空题
6． 定义在R上的奇函数f(x)满足：当x> ( http: / / www.21cnjy.com )0时，f(x)＝2 015x＋log2 015x，则在R上，函数f(x)零点的个数为________．
答案 3
解析 函数f(x)为R上的奇函数，因此f( ( http: / / www.21cnjy.com )0)＝0，当x>0时，f(x)＝2 015x＋log2 015x在区间(0，)内存在一个零点，又f(x)为增函数，因此在(0，＋∞)内有且仅有一个零点．根据对称性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一解，从而函数f(x)在R上的零点的个数为3.
7． 已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．
答案 (0,1)
解析 画出f(x)＝的图象，如图．
由于函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，结合图象得：08． 若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)
>0的解集是________．
答案 {x|－解析 ∵f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2,3.
∴－2,3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，
由根与系数的关系知，
∴，
∴f(x)＝x2－x－6.
∵不等式af(－2x)>0，
即－(4x2＋2x－6)>0 2x2＋x－3<0，
解集为{x|－三、解答题
9． 已知函数f(x)＝x3－x2＋＋.
证明：存在x0∈(0，)，使f(x0)＝x0.
证明 令g(x)＝f(x)－x.
∵g(0)＝，g()＝f()－＝－，
∴g(0)·g()<0.
又函数g(x)在[0，]上连续，
∴存在x0∈(0，)，使g(x0)＝0.
即f(x0)＝x0.
10．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．
解 ∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，
即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．
设2x＝t (t>0)，则t2＋mt＋1＝0.
当Δ＝0，即m2－4＝0，
∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1(不合题意，舍去)，
∴2x＝1，x＝0符合题意．
当Δ>0，即m>2或m<－2时，
t2＋mt＋1＝0有两正根或两负根，
即f(x)有两个零点或没有零点．
∴这种情况不符合题意．
综上可知，m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0.
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
1． 已知x1，x2是函数f(x)＝e－x－|ln x|的两个零点，则 ( )
A.C．1答案 A
解析 在同一坐标系中画出函数y＝e－x与y＝|ln x|的图象，结合图象不难看出，它们的两个交点中，其中一个交点的横坐标属于区间(0,1)，另一个交点的横坐标属于区间(1，＋∞)，即在x1，x2中，其中一个属于区间(0,1)，另一个属于区间(1，＋∞)．不妨设x1∈(0,1)，x2∈(1，＋∞)，则有＝|ln x1|＝－ln x1∈(e－1,1)，＝|ln x2|＝ln x2∈(0，e－1)，－＝ln x2＋ln x1＝ln x1x2∈(－1,0)，于是有e－12． 若直角坐标平面内的两 ( http: / / www.21cnjy.com )点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y＝f(x)的图象上；②P，Q关于原点对称．则称点对[P，Q]是函数y＝f(x)的一对“友好点对”(点对[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”)．已知函数f(x)＝则此函数的“友好点对”有 ( )
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
答案 C
解析 函数f(x)＝的图象及函数f(x)＝ ( http: / / www.21cnjy.com )－x2－4x(x≤0)的图象关于原点对称的图象如图所示，则A，B两点关于原点的对称点一定在函数f(x)＝－x2－4x(x≤0)的图象上，故函数f(x)的“友好点对”有2对，选C.
3． 若方程＝k(x－2)＋3有两个不等的实根，则k的取值范围是________．
答案 (，]
解析 作出函数y1＝和y2＝k(x ( http: / / www.21cnjy.com )－2)＋3的图象如图所示，函数y1的图象是圆心在原点，半径为2的圆在x轴上方的半圆(包括端点)，函数y2的图象是过定点P(2,3)的直线，点A(－2,0)，kPA＝＝.直线PB是圆的切线，由圆心到直线的距离等于半径得，＝2，得kPB＝.由图可知当kPB4． 已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围；
(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的取值范围．
解 (1)由条件，抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，如右图所示，
得
即－故m的取值范围是(－，－)．
(2)抛物线与x轴交点的横坐标均在区间(0,1)内，如右图所示，列不等式组
即－故m的取值范围是(－，1－]．
5． 已知a是正实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a.如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围．
解 f(x)＝2ax2＋2x－3－a的对称轴为x＝－.
①当－≤－1，即0≤a≤时，
须使即
∴a的解集为 .
②当－1<－<0，即a>时，
须使即
解得a≥1，∴a的取值范围是[1，＋∞)．§2.5 指数与指数函数
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1． 根式的性质
(1)()n＝a(n>1，且n∈N＋)．
(2)当n为奇数时＝a；
当n为偶数时＝.
2． 有理指数幂
(1)幂的有关概念
①正整指数幂：
②零指数幂：a0＝1(a≠0)．
③负整指数幂：a－n＝(a≠0，n∈N＋)．
④正分数指数幂：＝(a>0，m、n∈N＋，且为既约分数)．
⑤负分数指数幂：＝eq \f(1,)＝ (a>0，m、n∈N＋，且为既约分数)．
(2)有理指数幂的运算法则
设a>0，b>0，对任意有理数，α、β有
aαaβ＝aα＋β，
(aα)β＝aαβ，
(ab)α＝aαbα.
3． 指数函数的图象与性质
y＝ax a>1 0图象 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
定义域 (1)R
值域 (2)(0，＋∞)
性质 (3)过定点(0,1)
(4)当x>0时，y>1；x<0时，00时，01
(6)在(－∞，＋∞)上是增函数 (7)在(－∞，＋∞)上是减函数
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)()4＝－4. ( × )
(2)(－1)＝(－1)＝. ( × )
(3)函数y＝a－x是R上的增函数． ( × )
(4)函数y＝(a>1)的值域是(0，＋∞)． ( × )
(5)函数y＝2x－1是指数函数． ( × )
(6)函数y＝()1－x的值域是(0，＋∞)． ( √ )
2． 若a＝(2＋)－1，b＝(2－)－1，则(a＋1)－2＋(b＋1)－2的值是 ( )
A．1 B. C. D.
答案 D
解析 a＝(2＋)－1＝2－，b＝(2－)－1＝2＋，
∴(a＋1)－2＋(b＋1)－2＝(3－)－2＋(3＋)－2
＝＋＝.
3． 设函数f(x)＝a－|x|(a>0，且a≠1)，f(2)＝4，则 ( )
A．f(－2)>f(－1) B．f(－1)>f(－2)
C．f(1)>f(2) D．f(－2)>f(2)
答案 A
解析 ∵f(x)＝a－|x|(a>0， ( http: / / www.21cnjy.com )且a≠1)，f(2)＝4，∴a－2＝4，∴a＝，∴f(x)＝－|x|＝2|x|，∴f(－2)>f(－1)．
4． 若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是__________．
答案 (－，－1)∪(1，)
解析 由y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，得05． 已知0≤x≤2，则y＝－3·2x＋5的最大值为________．
答案
解析 令t＝2x，∵0≤x≤2，∴1≤t≤4，
又y＝22x－1－3·2x＋5，
∴y＝t2－3t＋5
＝(t－3)2＋，
∵1≤t≤4，∴t＝1时，ymax＝.
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题型一 指数幂的运算
例1 化简：(1)eq \f(\r(a3b2\r(3,ab2)),)(a>0，b>0)；
(2)(－)＋(0.002)－10(－2)－1＋(－)0.
思维启迪 运算中可先将根式化成分数指数幂，再按照指数幂的运算性质进行运算．
解 (1)原式＝
＝＝ab－1.
(2)原式＝(－)＋()－＋1
＝(－)＋500－10(＋2)＋1
＝＋10－10－20＋1＝－.
思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式 ( http: / / www.21cnjy.com )、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
(1)化简(x<0，y<0)得 ( )
A．2x2y B．2xy
C．4x2y D．－2x2y
(2)()·eq \f( \r(4ab－1) 3, 0.1 －1· a3·b－3 )＝________.
答案 (1)D (2)
解析 (1)＝(16x8y4)
＝[24(－x)8·(－y)4]＝·(－x)·(－y)
＝2(－x)2(－y)＝－2x2y.
(2)原式＝＝.
题型二 指数函数的图象、性质
例2 (1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下
列结论正确的是 ( )
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．0(2)若函数f(x)＝(e是自然对数的底数)的最大值是m，且f(x)是偶函数，则m＋μ＝________.
思维启迪 对于和指数函数的图象、性质有关的问题，可以通过探求已知函数和指数函数的关系入手．
答案 (1)D (2)1
解析 (1)由f(x)＝ax－b ( http: / / www.21cnjy.com )的图象可以观察出函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0(2)由于f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，
即2＝，∴(x＋μ)2＝(x－μ)2，∴μ＝0，
∴f(x)＝.又y＝ex是R上的增函数，而－x2≤0，
∴f(x)的最大值为e0＝1＝m，∴m＋μ＝1.
思维升华 (1)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．
(2)对复合函数的性质进行讨论时，要搞清复合而成的两个函数，然后对两层函数分别进行研究．
(1)函数y＝的图象大致为 ( )
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(2)若函数f(x)＝ax－1(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a＝________.
答案 (1)A (2)
解析 (1)y＝＝1＋，当x>0时，e2x－1>0，且随着x的增大而增大，故y＝1＋>1随着x的增大而减小，即函数y在(0，＋∞)上恒大于1且单调递减．又函数y是奇函数，故只有A正确．
(2)当a>1时，x∈[0,2]，y∈[0，a2－1]，∴a2－1＝2，即a＝.
当0综上，a＝.
题型三 指数函数的应用
例3 (1)k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？
(2)已知定义在R上的函数f(x)＝2x－.
①若f(x)＝，求x的值；
②若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．
思维启迪 方程的解的问题可转为函数图象的交点问题；恒成立可以通过分离参数求最值或值域来解决．
解 (1)函数y＝|3x－1|的图 ( http: / / www.21cnjy.com )象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．
当k<0时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象无交点，即方程
无解；当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，
所以方程有一解；
当0(2)①当x<0时，f(x)＝0，无解；
当x≥0时，f(x)＝2x－，
由2x－＝，得2·22x－3·2x－2＝0，
看成关于2x的一元二次方程，解得2x＝2或－，
∵2x>0，∴x＝1.
②当t∈[1,2]时，2t＋m≥0，
即m(22t－1)≥－(24t－1)，∵22t－1>0，∴m≥－(22t＋1)，
∵t∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5]，
故m的取值范围是[－5，＋∞)．
思维升华 对指数函数的图象进 ( http: / / www.21cnjy.com )行变换是利用图象的前提，方程f(x)＝g(x)解的个数即为函数y＝f(x)和y＝g(x)图象交点的个数；有关复合函数问题的关键是通过换元得到两个新的函数，搞清复合函数的结构．
设函数f(x)＝kax－a－x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数．
(1)若f(1)>0，试求不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)>0的解集；
(2)若f(1)＝，且g(x)＝a2x＋a－2x－4f(x)，求g(x)在[1，＋∞)上的最小值．
解 因为f(x)是定义域为R的奇函数，
所以f(0)＝0，所以k－1＝0，即k＝1.
(1)因为f(1)>0，所以a－>0，又a>0且a≠1，
所以a>1.
因为f′(x)＝axln a＋a－xln a＝(ax＋a－x)ln a>0，
所以f(x)在R上为增函数，原不等式可化为f(x2＋2x)>f(4－x)，
所以x2＋2x>4－x，即x2＋3x－4>0，
所以x>1或x<－4.
所以不等式的解集为{x|x>1或x<－4}．
(2)因为f(1)＝，所以a－＝，
即2a2－3a－2＝0，所以a＝2或a＝－(舍去)．
所以g(x)＝22x＋2－2x－4(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－4(2x－2－x)＋2.
令t(x)＝2x－2－x(x≥1)，则t(x)在(1，＋∞)为增函数(由(1)可知)，
即t(x)≥t(1)＝，
所以原函数为ω(t)＝t2－4t＋2＝(t－2)2－2，
所以当t＝2时，ω(t)min＝－2，此时x＝log2(1＋)．
即g(x)在x＝log2(1＋)时取得最小值－2.
换元法解决与指数函数有关的值域问题
典例：(10分)(1)函数y＝()的值域是 ( )
A．(－∞，4) B．(0，＋∞)
C．(0,4] D．[4，＋∞)
(2)函数y＝()x－()x＋1在x∈[－3,2]上的值域是________．
解析 (1)设t＝x2＋2x－1，则y＝()t.
因为t＝(x＋1)2－2≥－2，y＝()t为关于t的减函数，
所以0故所求函数的值域为(0,4]．
(2)因为x∈[－3,2]，若令t＝()x，则t∈[，8]．
则y＝t2－t＋1＝(t－)2＋.
当t＝时，ymin＝；当t＝8时，ymax＝57.
所以所求函数值域为[，57]．
答案 (1)C (2)[，57]
温馨提醒 和指数函数有关的值域或最值问 ( http: / / www.21cnjy.com )题，通常利用换元法，将其转化为两个基本初等函数的单调性或值域问题，注意换元过程中“元”的取值范围的变化．
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方法与技巧
1．判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．
2．指数函数y＝ax (a>0，a≠1)的性质和a的取值有关，一定要分清a>1与03．对和复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成．
失误与防范
1．恒成立问题一般与函数最值有关，要与方程有解区别开来．
2．复合函数的问题，一定要注意函数的定义域．
3．对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2 ( http: / / www.21cnjy.com )x＋b·ax＋c≥0 (≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．
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A组 专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1． 函数y＝ax－a(a>0，且a≠1)的图象可能是 ( )
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答案 C
解析 当x＝1时，y＝0，故函数y＝ax－a(a>0，且a≠1)的图象必过点(1,0)，显然只有C符合．
2． 已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m、n满足f(m)>f(n)，则m、n的关系为( )
A．m＋n<0 B．m＋n>0
C．m>n D．m答案 D
解析 ∵0<<1，∴f(x)＝ax＝()x，
且f(x)在R上单调递减，
又∵f(m)>f(n)，∴m3． 若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是 ( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
答案 B
解析 由f(1)＝得a2＝，
∴a＝(a＝－舍去)，即f(x)＝()|2x－4|.
由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，
所以f(x)在(－∞，2]上递增，
在[2，＋∞)上递减．故选B.
4． 若存在负实数使得方程2x－a＝成立，则实数a的取值范围是 ( )
A．(2，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(0,2) D．(0,1)
答案 C
解析 在同一坐标系内分别作出函数y＝和y＝2x－a的图象知，当a∈(0,2)时符合要求．
5． 已知实数a，b满足等式2 014a＝2 015b，下列五个关系式：
①0A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案 B
解析 设2 014a＝2 015b＝t，如图所示，由函数图象，可得
(1)若t>1，则有a>b>0；
(2)若t＝1，则有a＝b＝0；
(3)若0故①②⑤可能成立，而③④不可能成立．
二、填空题
6． (0.002)－10(－2)－1＋(－)0＝________.
答案 －19
解析 原式＝()－＋1＝500－10(＋2)＋1
＝10－10－20＋1＝－19.
7． 若指数函数y＝ax在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a＝________.
答案
解析 若0即a2＋a－1＝0，解得a＝或a＝(舍去)．
若a>1，则a－a－1＝1，即a2－a－1＝0，
解得a＝或a＝(舍去)．
综上所述a＝.
8． 若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．
答案 (1，＋∞)
解析 令ax－x－a＝0 ( http: / / www.21cnjy.com )即ax＝x＋a，若01，y＝ax与y＝x＋a的图象如图所示有两个公共点．
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三、解答题
9． 已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．
(1)试确定f(x)；
(2)若不等式()x＋()x－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．
解 (1)∵f(x)＝b·ax的图象过点A(1,6)，B(3,24)，
∴
②÷①得a2＝4，又a>0且a≠1，∴a＝2，b＝3，
∴f(x)＝3·2x.
(2)由(1)知()x＋()x－m≥0在(－∞，1]上恒成立化为m≤()x＋()x在(－∞，1]上恒成立．
令g(x)＝()x＋()x，
则g(x)在(－∞，1]上单调递减，
∴m≤g(x)min＝g(1)＝＋＝，
故所求实数m的取值范围是(－∞，]．
10．设a>0且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值．
解 令t＝ax (a>0且a≠1)，
则原函数化为y＝(t＋1)2－2 (t>0)．
①当0此时f(t)在上为增函数．
所以f(t)max＝f＝2－2＝14.
所以2＝16，所以a＝－或a＝.
又因为a>0，所以a＝.
②当a>1时，x∈[－1,1]，t＝ax∈，
此时f(t)在上为增函数．
所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，
解得a＝3(a＝－5舍去)．综上得a＝或3.
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
1． 设函数f(x)＝若F(x)＝f(x)＋x，x∈R，则F(x)的值域为 ( )
A．(－∞，1] B．[2，＋∞)
C．(－∞，1]∪[2，＋∞) D．(－∞，1)∪(2，＋∞)
答案 C
解析 当x>0时，F(x)＝＋x≥2；
当x≤0时，F(x)＝ex＋x，根据指数函数 ( http: / / www.21cnjy.com )与一次函数的单调性，F(x)是单调递增函数，F(x)≤F(0)＝1，所以F(x)的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)．
2． 若关于x的方程|ax－1|＝2a (a>0且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是( )
A．(0,1)∪(1，＋∞) B．(0,1)
C．(1，＋∞) D.
答案 D
解析 方程|ax－1|＝2a (a>0且a≠1)有两个实数根转化为函数y＝|ax－1|与y＝2a有两个交点．
①当0②当a>1时，如图(2)，而y＝2a>1不符合要求．
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图(1) 图(2)
综上，03． 关于x的方程x＝有负数根，则实数a的取值范围为__________．
答案
解析 由题意，得x<0，所以0从而0<<1，解得－4． 已知f(x)＝(＋)x3(a>0且a≠1)．
(1)讨论f(x)的奇偶性；
(2)求a的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立．
解 (1)由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0，
所以函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}．
对于定义域内的任意x，有
f(－x)＝(＋)(－x)3＝(＋)(－x)3
＝(－1－＋)(－x)3＝(＋)x3＝f(x)．
∴f(x)是偶函数．
(2)方法一 当a>1时，
对x>0，由指数函数的性质知ax>1，
∴ax－1>0，＋>0.
又x>0时，x3>0，
∴x3(＋)>0，即当x>0时，f(x)>0.
又由(1)知，f(x)为偶函数，故f(－x)＝f(x)，
当x<0时，－x>0，有f(x)＝f(－x)>0.
综上知当a>1时，f(x)>0在定义域内恒成立．
当0当x>0时，1>ax>0，ax＋1>0，
ax－1<0，x3>0，此时f(x)<0，不满足题意；
又f(x)为偶函数，所以当x<0时，
－x>0，f(x)＝f(－x)<0，也不满足题意．
综上可知，a的取值范围是a>1.
方法二 由(1)知f(x)为偶函数，
∴只需讨论x>0时的情况．
当x>0时，要使f(x)>0，即(＋)x3>0，
即＋>0，即>0，
即ax－1>0，ax>1，ax>a0.
又∵x>0，∴a>1.∴当a>1时，f(x)>0.
故a的取值范围是a>1.
5． 已知定义在实数集R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0,1)时，f(x)＝.
(1)求函数f(x)在(－1,1)上的解析式；
(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性；
(3)当λ取何值时，方程f(x)＝λ在(－1,1)上有实数解？
解 (1)∵f(x)是x∈R上的奇函数，∴f(0)＝0.
设x∈(－1,0)，则－x∈(0,1)，
f(－x)＝＝＝－f(x)，
∴f(x)＝－，
∴f(x)＝
(2)设0f(x1)－f(x2)＝
＝，
∵020＝1，
∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x)在(0,1)上为减函数．
(3)∵f(x)在(0,1)上为减函数，
∴同理，f(x)在(－1,0)上时，f(x)∈(－，－)．
又f(0)＝0，当λ∈(－，－)∪(，)，
或λ＝0时，方程f(x)＝λ在x∈(－1,1)上有实数解．§2.6 对数与对数函数
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1． 对数的概念
一般地，对于指数式ab＝N，我们把“以a为 ( http: / / www.21cnjy.com )底N的对数b”记作logaN，即b＝logaN(a>0，且a≠1)．其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”．
2． 对数logaN(a>0，且a≠1)具有下列性质
(1)N>0；
(2)loga1＝0；
(3)logaa＝1.
3． 对数的运算法则
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMα＝αlogaM (α∈R)．
4．两个重要公式
(1)对数恒等式：＝__N__
(2)换底公式：logbN＝.
5．对数函数的图象与性质
a>1 0图象 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
性质 (1)定义域：(0，＋∞)
(2)值域：R
(3)过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
(4)当x>1时，y>0；当01时，y<0；当00
(6)在(0，＋∞)上是增函数 (7)在(0，＋∞)上是减函数
6. 反函数
指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若log2(log3x)＝log3(log2y)＝0，则x＋y＝5. ( √ )
(2)2log510＋log50.25＝5. ( × )
(3)已知函数f(x)＝lg x，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝2. ( √ )
(4)log2x2＝2log2x. ( × )
(5)当x>1时，logax>0. ( × )
(6)当x>1时，若logax>logbx，则a2． (2013·课标全国Ⅱ)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则 ( )
A．c>b>a B．b>c>a
C．a>c>b D．a>b>c
答案 D
解析 a＝log36＝1＋log32＝1＋，
b＝log510＝1＋log52＝1＋，
c＝log714＝1＋log72＝1＋，显然a>b>c.
3． (2013·浙江)已知x，y为正实数，则 ( )
A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y
B．2lg(x＋y)＝2lg x·2lg y
C．2lg x·lg y＝2lg x＋2lg y
D．2lg(xy)＝2lg x·2lg y
答案 D
解析 2lg x·2lg y＝2lg x＋lg y
＝2lg(xy)．故选D.
4． 函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．
答案 (－，＋∞)
解析 函数f(x)的定义域为(－，＋∞)，
令t＝2x＋1(t>0)．
因为y＝log5t在t∈(0，＋∞)上为增函数，
t＝2x＋1在(－，＋∞)上为增函数，
所以函数y＝log5(2x＋1)的单调增区间是(－，＋∞)．
5． 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f＝0，则不等式f()>0的解集为________________．
答案 ∪(2，＋∞)
解析 ∵f(x)是R上的偶函数，
∴它的图象关于y轴对称．
∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数，
∴f(x)在(－∞，0]上为减函数，
由f＝0，得f＝0.
∴f()>0 <－或>
x>2或0∴x∈∪(2，＋∞)．
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题型一 对数式的运算
例1 (1)若x＝log43，则(2x－2－x)2等于 ( )
A. B. C. D.
(2)已知函数f(x)＝则f(f(1))＋f(log3)的值是 ( )
A．5 B．3 C．－1 D.
思维启迪 (1)利用对数的定义将x＝log43化成4x＝3；
(2)利用分段函数的意义先求f(1)，再求f(f(1))；
f(log3)可利用对数恒等式进行计算．
答案 (1)D (2)A
解析 (1)由x＝log43，得4x＝3，即2x＝，
2－x＝，所以(2x－2－x)2＝()2＝.
(2)因为f(1)＝log21＝0，所以f(f(1))＝f(0)＝2.
因为log3<0，所以f(log3)＝
＝＋1＝2＋1＝3.
所以f(f(1))＋f(log3)＝2＋3＝5.
思维升华 在对数运算中，要熟练掌握 ( http: / / www.21cnjy.com )对数式的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式．
已知函数f(x)＝则f(2＋log23)的值为________．
答案
解析 因为2＋log23<4，所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)，而3＋log23>4，所以f(3＋log23)＝()
＝×()＝×＝.
题型二 对数函数的图象和性质
例2 (1)函数y＝2log4(1－x)的图象大致是 ( )
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(2)已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a＝f(log47)，b＝f()，c＝f(0.2－0.6)，则a，b，c的大小关系是( )
A．c思维启迪 (1)结合函数的定义域、单调性、特殊点可判断函数图象；
(2)比较函数值的大小可先看几个对数值的大小，利用函数的单调性或中间值可达到目的．
答案 (1)C (2)B
解析 (1)函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A、B；
又函数y＝2log4(1－x)在定义域内单调递减，排除D.选C.
(2) ＝－log23＝－log49，
b＝f()＝f(－log49)＝f(log49)，
log47＝2>log49，
又f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，
且在(－∞，0]上是增函数，
故f(x)在[0，＋∞)上是单调递减的，
∴f(0.2－0.6)思维升华 (1)函数的单调性是函数最重要的性质，可以用来比较函数值的大小，解不等式等；
(2)函数图象可以直观表示函数的所有关系，充分利用函数图象解题也体现了数形结合的思想．
(1)已知a＝21.2，b＝－0.8，c＝2log52，则a，b，c的大小关系为( )
A．cC．b(2)已知函数f(x)＝loga(x＋ ( http: / / www.21cnjy.com )b) (a>0且a≠1)的图象过两点(－1，0)和(0,1)，则a＝________，b＝________.
答案 (1)A (2)2 2
解析 (1)b＝－0.8＝20.8<21.2＝a，
c＝2log52＝log522故c(2)f(x)的图象过两点(－1,0)和(0,1)．
则f(－1)＝loga(－1＋b)＝0且f(0)＝loga(0＋b)＝1，
∴，即.
题型三 对数函数的应用
例3 已知函数f(x)＝loga(3－ax)．
(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；
(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．
思维启迪 f(x)恒有意义转化为“恒成立”问题，分离参数a来解决；探究a是否存在，可从单调性入手．
解 (1)∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，
则t(x)＝3－ax为减函数，
x∈[0,2]时，t(x)最小值为3－2a，
当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，
即x∈[0,2]时，3－ax>0恒成立．
∴3－2a>0.∴a<.
又a>0且a≠1，∴a∈(0,1)∪.
(2)t(x)＝3－ax，∵a>0，∴函数t(x)为减函数，
∵f(x)在区间[1,2]上为减函数，∴y＝logat为增函数，
∴a>1，x∈[1,2]时，t(x)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a)，
∴，即，
故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.
思维升华 解决对数函数综合问题时，无论是讨论函数的性质，还是利用函数的性质
(1)要分清函数的底数是a∈(0,1)，还是a∈(1，＋∞)；
(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；
(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误．
已知f(x)＝log4(4x－1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)求f(x)在区间[，2]上的值域．
解 (1)由4x－1>0，解得x>0，
因此f(x)的定义域为(0，＋∞)．
(2)设0因此log4(4x1－1)故f(x)在(0，＋∞)上递增．
(3)f(x)在区间[，2]上递增，
又f()＝0，f(2)＝log415，
因此f(x)在[，2]上的值域为[0，log415]．
利用函数性质比较幂、对数的大小
典例：(15分)(1)设a＝0.50.5，b＝0.30.5，c＝log0.30.2，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．aC．b(2)已知a＝，b＝，c＝()，则( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．a>c>b D．c>a>b
(3)已知函数y＝f(x)的图象 ( http: / / www.21cnjy.com )关于y轴对称，且当x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)<0成立，a＝(20.2)·f(20.2)，b＝(logπ3)·f(logπ3)，c＝(log39)·f(log39)，则a，b，c的大小关系是( )
A．b>a>c B．c>a>b
C．c>b>a D．a>c>b
思维启迪 (1)利用幂函数y＝x0.5和对数函数y＝log0.3x的单调性，结合中间值比较a，b，c的大小；
(2)化成同底的指数式，只需比较log23.4、log43.6、－log30.3＝log3的大小即可，可以利用中间值或数形结合进行比较；
(3)先判断函数φ(x)＝xf(x)的单调性，再根据20.2，logπ3，log39的大小关系求解．
解析 (1)根据幂函数y＝x0.5的单调性，可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b根据对数函数y＝log0.3x的单调性，可得log0.30.2>log0.30.3＝1，即c>1.
所以b(2)c＝()＝5＝5.
方法一 在同一坐标系中分别作出函数y＝log2x，y＝log3x，y＝log4x的图象，如图所示．
由图象知：
log23.4>log3>log43.6.
方法二 ∵log3>log33＝1，且<3.4，
∴log3∵log43.61，
∴log43.6∴log23.4>log3>log43.6.
由于y＝5x为增函数，∴>5>5log43.6.
即>()>，故a>c>b.
(3)因为函数y＝f(x)关于y轴对称，所以函数y＝xf(x)为奇函数．
因为[xf(x)]′＝f(x)＋xf′(x)，且当x∈(－∞，0)时，
[xf(x)]′＝f(x)＋xf′(x)<0，则函数y＝xf(x)在(－∞，0)上单调递减；
因为y＝xf(x)为奇函数，所以当x∈(0，＋∞)时，函数y＝xf(x)单调递减．
因为1<20.2<2,0所以0所以b>a>c，选A.
答案 (1)C (2)C (3)A
温馨提醒 (1)比较幂、对数的大小可以利用数形结合和引入中间量利用函数单调性两种方法．
(2)解题时要根据实际情况来构造相应 ( http: / / www.21cnjy.com )的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，多选0或1.
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方法与技巧
1． 对数函数的定义域及单调性
在对数式中，真数必须是大于 ( http: / / www.21cnjy.com )0的，所以对数函数y＝logax的定义域应为{x|x>0}．对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按01进行分类讨论．
2． 比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性．
3． 多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定．
失误与防范
1． 在运算性质logaMα＝αlogaM中 ( http: / / www.21cnjy.com )，要特别注意条件，在无M＞0的条件下应为logaMα＝αloga|M|(α∈N＋，且α为偶数)．
2． 指数函数y＝ax (a>0，且a ( http: / / www.21cnjy.com )≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．
3． 解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．
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A组 专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1． 函数y＝的定义域是 ( )
A．{x|0C．{x|0答案 D
解析 要使函数有意义只需要，
解得0∴定义域为{x|02． 函数y＝lg|x－1|的图象是 ( )
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答案 A
解析 ∵y＝lg|x－1|＝.
∴A项符合题意．
3． 已知x＝ln π，y＝log52，z＝，则( )
A．x答案 D
解析 ∵x＝ln π>ln e，∴x>1.
∵y＝log52∵z＝＝>＝，∴综上可得，y4． 设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，, －x ，x<0，))若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)
答案 C
解析 f(a)>f(－a) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a>0，,log2a>a))或
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a<0，, －a >log2 －a )) 或
a>1或－15． 函数f(x)＝loga(ax－3)在[1,3]上单调递增，则a的取值范围是 ( )
A．(1，＋∞) B．(0,1) C. D．(3，＋∞)
答案 D
解析 由于a>0，且a≠1，∴u＝ax－3为增函数，
∴若函数f(x)为增函数，则f(x)＝logau必为增函数，
因此a>1.又y＝ax－3在[1,3]上恒为正，
∴a－3>0，即a>3，故选D.
二、填空题
6． 计算(lg －lg 25)÷100＝________.
答案 －20
解析 (lg －lg 25)÷100＝(lg )÷10－1
＝－2×10＝－20.
7． 已知函数f(x)＝则使函数f(x)的图象位于直线y＝1上方的x的取值范围是________________．
答案 {x|－12}
解析 当x≤0时，3x＋1>1 x＋1>0，∴－1当x>0时，log2x>1 x>2，∴x>2.
综上所述，x的取值范围为－12.
8． 若log2a<0，则a的取值范围是____________．
答案
解析 当2a>1时，∵log2a<0＝log2a1，
∴<1.∵1＋a>0，∴1＋a2<1＋a，
∴a2－a<0，∴0当0<2a<1时，∵log2a<0＝log2a1，
∴>1.∵1＋a>0，∴1＋a2>1＋a，
∴a2－a>0，∴a<0或a>1，此时不合题意．
综上所述，a∈.
三、解答题
9． 已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a>0且a≠1.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；
(3)当a>1时，求使f(x)>0的x的解集．
解 (1)要使函数f(x)有意义．则解得－1故所求函数f(x)的定义域为{x|－1(2)由(1)知f(x)的定义域为{x|－1且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)
＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－f(x)，
故f(x)为奇函数．
(3)因为当a>1时，f(x)在定义域{x|－1所以f(x)>0 >1，解得0所以使f(x)>0的x的解集是{x|010．设x∈[2,8]时，函数f(x)＝loga(ax)·loga(a2x)(a>0，且a≠1)的最大值是1，最小值是－，求a的值．
解 由题意知f(x)＝(logax＋1)(logax＋2)
＝(logx＋3logax＋2)＝(logax＋)2－.
当f(x)取最小值－时，logax＝－.
又∵x∈[2,8]，∴a∈(0,1)．
∵f(x)是关于logax的二次函数，
∴函数f(x)的最大值必在x＝2或x＝8时取得．
若(loga2＋)2－＝1，则a＝2－，
此时f(x)取得最小值时，x＝(2－)－
＝ [2,8]，舍去．
若(loga8＋)2－＝1，则a＝，
此时f(x)取得最小值时，x＝()＝2∈[2,8]，
符合题意，∴a＝.
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
1． 设f(x)＝lg是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是 ( )
A．(－1,0) B．(0,1)
C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
答案 A
解析 由f(x)是奇函数可得a＝－1，
∴f(x)＝lg，定义域为(－1,1)．
由f(x)<0，可得0<<1，∴－12． 设函数f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝ln x，则有( )
A．f()C．f()答案 C
解析 由f(2－x)＝f(x)知f(x)的 ( http: / / www.21cnjy.com )图象关于直线x＝＝1对称，又当x≥1时，f(x)＝ln x，所以离对称轴x＝1距离大的x的函数值大，
∵|2－1|>|－1|>|－1|，∴f()3． 设函数f(x)＝logax (a>0， ( http: / / www.21cnjy.com )且a≠1)，若f(x1x2…x2 015)＝8，则f(x)＋f(x)＋…＋f(x)＝________.
答案 16
解析 f(x1x2…x2 015)＝loga(x1x2…x2 015)＝8，
f(x)＋f(x)＋…＋f(x)
＝logax＋logax＋…＋logax
＝loga(x1x2…x2 015)2＝2loga(x1x2…x2 015)＝16.
4． 设f(x)＝|lg x|，a，b为实数，且0(1)求方程f(x)＝1的解；
(2)若a，b满足f(a)＝f(b)，求证：a·b＝1，>1.
(3)在(2)的条件下，求证：由关系式f(b)＝2f()所得到的关于b的方程g(b)＝0，存在b0∈(3,4)，使g(b0)＝0.
(1)解 由f(x)＝1得，lg x＝±1，
所以x＝10或.
(2)证明 结合函数图象，由f(a)＝f(b)可判断a∈(0,1)，b∈(1，＋∞)，
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从而－lg a＝lg b，从而ab＝1.
又＝>＝1(因≠b)．
(3)证明 由已知可得b＝()2，
得4b＝a2＋b2＋2ab，得＋b2＋2－4b＝0，
g(b)＝＋b2＋2－4b，
因为g(3)<0，g(4)>0，根据零点存在性定理可知，函数g(b)在(3,4)内一定存在零点，即存在b0∈(3,4)，使g(b0)＝0.
5． 已知函数y＝(x2－ax＋a)在区间(－∞，)上是增函数，求a的取值范围．
解 函数y＝(x2－ax＋a)是由函数y＝t和t＝x2－ax＋a复合而成．
因为函数y＝t在区间(0，＋∞)上单调递减，
而函数t＝x2－ax＋a在区间(－∞，)上单调递减，
故函数y＝(x2－ax＋a)在区间(－∞，]上单调递增．
又因为函数y＝(x2－ax＋a)在区间(－∞，)上是增函数，
所以
解得即2≤a≤2(＋1)．