易错题目辨析练——集合与常用逻辑用语
A组 专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1． 已知集合P＝{y＝x2＋1 ( http: / / www.21cnjy.com )}，Q＝{y|y＝x2＋1}，R＝{x|y＝x2＋1}，M＝{(x，y)|y＝x2＋1}，N＝{x|x≥1}，则 ( )
A．P＝M B．Q＝R
C．R＝M D．Q＝N
答案 D
解析 集合P是用列举法表示的，只含有一 ( http: / / www.21cnjy.com )个元素，即函数y＝x2＋1.集合Q，R，N中的元素全是数，即这三个集合都是数集，集合Q＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，集合R是一切实数．集合M的元素是函数y＝x2＋1图象上所有的点．故选D.
2． 命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是 ( )
A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0
B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0
C．存在x∈R，x3－x2＋1>0
D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0
答案 C
解析 由已知得，对任意的x∈R，x3－x ( http: / / www.21cnjy.com )2＋1≤0，是全称命题．它的否定是存在性命题，“任意的”的否定是“存在”，“≤0”的否定是“>0”，故选C.
3． “2a>2b”是“log2a>log2b”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 若2a>2b，只能得到a>b，但不能确定a，b的正负性，
当0>a>b时，log2a，log2b均无意义，更不能比较其大小，从而未必有“log2a>log2b”；
若log2a>log2b，则可得a>b>0，从而有2a>2b成立．
综上，“2a>2b”是“log2a>log2b”的必要不充分条件．
4． 已知集合A＝{x|x2－x＋1＝0}，若A∩R＝ ，则实数m的取值范围为 ( )
A．m<4 B．m>4
C．0
答案 A
解析 ∵A∩R＝ ，则A＝ ，即等价于方程x2－x＋1＝0无实数解，即Δ＝m－4<0，即m<4，选A.
注意m<0时也表示A＝ .
5． 定义集合运算：A⊙B＝ ( http: / / www.21cnjy.com ){z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}，设集合A＝{1,2}，B＝{3,4}，则集合A⊙B所有元素之积为 ( )
A．4 500 B．342 000
C．345 600 D．135 600
答案 C
解析 依题意，x，y的取值应为
x＝1，y＝3；x＝1，y＝4；x＝2，y＝3；x＝2，y＝4.
从而A⊙B＝{12,20,30,48}．
故所有元素之积为12×20×30×48＝345 600.
二、填空题
6． 设集合M＝{y|y＝2－x，x<0}，N＝{a|a＝}，则M∩N＝________.
答案 {x|x>1}
解析 ∵y＝2－x，x<0，∴M＝{y|y>1}，
∴集合M代表所有大于1的实数；
由于N＝{a|a＝}，
∴a＝≥0，∴N＝{a|a≥0}，
∴集合N代表所有大于或等于0的实数，
∴M∩N代表所有大于1的实数，即M∩N＝{x|x>1}．
7． 设集合A、B是全集U的两个子集，则“A∪B＝B”是“ UA UB”的________条件．
答案 充要
解析 由Venn图知 UA UB A B，而A∪B＝B A B.
8． 设A，B为两个集合，给出下列三个命题：
①AB是A∩B≠A的充要条件；②AB是A B的必要条件；③AB是“存在x∈A，使得x B”的充要条件．
其中真命题是________．(写出所有真命的序号)
答案 ①③
解析 因为A B A∩B＝A，A B A∪B＝B，
又原命题与它的逆否命题是等价的，所以①是真命题；
对于②，由于A B包含了A＝B的情形，而此时A B成立，故②是假命题；
对于③，它的正确性不言自明．
三、解答题
9． 已知集合A＝{x，xy，lg(xy)}，B＝{0，|x|，y}，若A＝B，求x，y的值．
解 由A＝B知需分多种情况进行讨论，
由lg(xy)有意义，则xy>0.
又0∈B＝A，则必有lg(xy)＝0，即xy＝1.
此时，A＝B，即{0,1，x}＝{0，|x|，y}．
∴或解得x＝y＝1或x＝y＝－1.
当x＝y＝1时，
A＝B＝{0,1,1}与集合元素的互异性矛盾，应舍去；
当x＝y＝－1时，
A＝B＝{0，－1,1}满足题意，故x＝y＝－1.
10．已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10.
由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，得1－m≤x≤1＋m.
∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴q是p是必要不充分条件，
即p是q的充分不必要条件，即p q且qD /p，
∴{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，
∴或即m≥9或m>9.
∴m≥9.∴实数m的取值范围为m≥9.
B组 专项能力提升
(时间：25分钟)
1． “a＝1”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[1，＋∞)上为增函数”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若“a＝1”，则函 ( http: / / www.21cnjy.com )数f(x)＝|x－a|＝|x－1|在区间[1，＋∞)上为增函数；而若f(x)＝|x－a|在区间[1，＋∞)上为增函数，则0≤a≤1，所以“a＝1”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[1，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件，选A.
2． 下列命题的否定中真命题的个数是 ( )
①p：当Δ<0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c∈R)无实根；
②q：存在一个整数b，使函数f(x)＝x2＋bx＋1在[0，＋∞)上是单调函数；
③r：存在x∈R，使x2＋x＋1≥0不成立．
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 由于命题p是真命题，∴命题①的否定是假命题；
命题q是真命题，∴命题②的否定是假命题；
命题r是假命题，∴命题③的否定是真命题．
故只有一个是正确的，故选B.
3． 已知集合M＝{x|x＝a2－3a＋2，a∈R}，N＝{x|y＝log2(x2＋2x－3)}，则M∩N＝________.
答案 {x|x>1}
解析 ∵a2－3a＋2＝2－≥－，
∴M＝；
由x2＋2x－3>0，即(x－1)(x＋3)>0，
解得x>1或x<－3，故N＝{x|x>1或x<－3}．
∴M∩N＝{x|x>1}．
4． 若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为________．
答案 15
解析 子集只有1个元素的有{－1}，{1}共2个；
子集有2个元素的有{－1,1}，{，3}，{，2}，共3个；
子集有3个元素的有{－1，，3}，{－1，，2}，{1，，3}，{1，，2}，共4个；
子集有4个元素的有{－1,1，，3}，{－1,1，，2}，{2，，，3}，共3个；
子集有5个元素的有{－1,2，，，3}，{1,2，，，3}，共2个；
子集有6个元素的有{－1,1,2，，，3}，共有1个，共15个．
5． 已知命题p：函数f(x)＝lg的定义域为R；命题q：不等式<1＋ax对一切正实数x均成立．如果命题p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．
解 命题p为真命题等价于ax2－x＋a>0对任意实数x均成立．当a＝0时，－x>0，其解集不是R，∴a≠0.
于是有
解得a>2，故命题p为真命题等价于a>2.
命题q为真命题等价于a>＝＝对一切实数x均成立．
由于x>0，∴>1，＋1>2，
∴<1，从而命题q为真命题等价于a≥1.
根据题意知，命题p、q有且只有一个为真命题，
当p真q假时实数a不存在；
当p假q真时，实数a的取值范围是1≤a≤2.HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
§1.1 集 合
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1． 元素与集合
(1)集合中元素的两个特性：确定性、互异性．
(2)元素与集合的关系有属于和不属于两种，表示符号为∈和 .
(3)集合的表示方法有列举法、描述法和维恩(Venn)图法．
(4)常见集合的符号表示
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集
符号 N N＋或N* Z Q R C
2. 集合间的关系
文字语言 符号语言
相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A B，B A A＝B
子集 集合A中任意一个元素都是集合B的元素 A B或B A
真子集 集合A中任意一个元素均为集合B的元素，且集合B中至少有一个元素不是集合A中的元素 A?B或B?A
空集 空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集 A， ?B(B≠ )
3.集合的运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集
图形
符号 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} A∩B＝{x|x∈A且x∈B} UA＝{x|x∈U，且x A}
4. 集合的运算性质
并集的性质：
A∪ ＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A B A.
交集的性质：
A∩ ＝ ；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A A B.
补集的性质：
A∪( UA)＝U；A∩( UA)＝ ； U( UA)＝A.
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)A＝{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}． ( × )
(2){1,2,3}＝{3,2,1}． ( √ )
(3) ＝{0}． ( × )
(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C. ( × )
(5)已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{2,3}，则M∩N＝N. ( √ )
(6)若全集U＝{－1,0,1,2}，P＝{x∈Z|x2<4}，则 UP＝{2}． ( √ )
2． 已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x<1}，则A∩B等于 ( )
A．{0} B．{－1,0}
C．{0,1} D．{－1,0,1}
答案 B
解析 ∵－1,0∈B,1 B，∴A∩B＝{－1,0}．
3． (2013·山东)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A．1 B．3 C．5 D．9
答案 C
解析 x－y∈.
4． (2013·课标全国Ⅱ)已知集合M＝{x|(x－1)2<4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N等于
( )
A．{0,1,2} B．{－1,0,1,2}
C．{－1,0,2,3} D．{0,1,2,3}
答案 A
解析 化简集合M得M＝{x|－15．设集合A＝{x|x2＋2x－3>0} ( http: / / www.21cnjy.com )，集合B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>0}．若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是________．
答案
解析 A＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x>1或x<－3}，
因为函数y＝f(x)＝x2－2ax－1的对称轴为x＝a>0，f(0)＝－1<0，
根据对称性可知要使A∩B中恰含有一个整数，
则这个整数为2，
所以有f(2)≤0且f(3)>0，
即所以
即≤a<.
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题型一 集合的基本概念
例1 (1)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为 ( )
A．3 B．6 C．8 D．10
(2)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝________.
思维启迪 解决集合问题首先要理解集合的含义，明确元素的特征，抓住集合的“两性”．
答案 (1)D (2)2
解析 (1)由x－y∈A，及A＝{1,2,3,4,5}得x>y，
当y＝1时，x可取2,3,4,5，有4个；
当y＝2时，x可取3,4,5，有3个；
当y＝3时，x可取4,5，有2个；
当y＝4时，x可取5，有1个．
故共有1＋2＋3＋4＝10(个)，选D.
(2)因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，
所以a＋b＝0，得＝－1，
所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.
思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞 ( http: / / www.21cnjy.com )清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．
(1)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B的元素个数为 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)若集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}的子集只有两个，则实数a＝________.
答案 (1)C (2)0或
解析 (1)集合A表示的是圆心在原点的单位圆，集合B表示的是直线y＝x，据此画出图象，可得图象有两个交点，即A∩B的元素个数为2.
(2)∵集合A的子集只有两个，∴A中只有一个元素．
当a＝0时，x＝符合要求．
当a≠0时，Δ＝(－3)2－4a×2＝0，∴a＝.
故a＝0或.
题型二 集合间的基本关系
例2 (1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A．1 B．2 C．3 D．4
(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1思维启迪 对于含有有限个元素的集合的子集，可按含元素的个数依次写出；B A不要忽略B＝ 的情形．
答案 (1)D (2)(－∞，4]
解析 (1)用列举法表示集合A，B，根据集合关系求出集合C的个数．
由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．
由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．
(2)当B＝ 时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.
当B≠ 时，若B A，如图．
则，解得2综上，m的取值范围为m≤4.
思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉 ( http: / / www.21cnjy.com )及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．常用数轴、Venn图来直观解决这类问题．
(1)设M为非空的数集，M {1,2,3}，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有 ( )
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
(2)已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.
答案 (1)A (2)4
解析 (1)集合{1,2,3}的所有子集共有23＝8(个)，集合{2}的所有子集共有2个，故满足要求的集合M共有8－2＝6(个)．
(2)由log2x≤2，得0即A＝{x|0而B＝(－∞，a)，
由于A B，如图所示，则a>4，即c＝4.
题型三 集合的基本运算
例3 (1)(2013·湖北)已知全集为R，集合A＝，B＝，则A∩( RB)等于 ( )
A．{x|x≤0}
B．{x|2≤x≤4}
C．{x|0≤x<2或x>4}
D．{x|0(2)(2012·天津)已 ( http: / / www.21cnjy.com )知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.
思维启迪 集合的运算问题可先对集合进行化简，然后结合数轴或Venn图计算．
答案 (1)C (2)－1 1
解析 (1)A＝{x|x≥0}，B＝{x|2≤x≤4}，
∴A∩( RB)＝{x|x≥0}∩{x|x>4或x<2}
＝{x|0≤x<2或x>4}．
(2)先求出集合A，再根据集合的交集的特点求解．
A＝{x|－5B＝{x|(x－m)(x－2)<0}，所以m＝－1，n＝1.
思维升华 (1)一般来讲，集合中的元素 ( http: / / www.21cnjy.com )若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．
(1)设集合A＝，B＝{x∈Z|x－2>0}，则A∩B等于( )
A．{x|2C．{2,3} D．{x|－1≤x<2}
(2)设U＝R，集合A＝{x|x2 ( http: / / www.21cnjy.com )＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若( UA)∩B＝ ，则m的值是________．
答案 (1)B (2)1或2
解析 (1)A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x∈Z|x>2}，
∴A∩B＝{x∈Z|2(2)A＝{－2，－1}，由( UA)∩B＝ ，得B A，
∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠ .
∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．
①若B＝{－1}，则m＝1；
②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B≠{－2}；
③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m＝2.
经检验知m＝1和m＝2符合条件．
∴m＝1或2.
题型四 集合中的新定义问题
例4 在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：
①2 014∈[4]；②－3∈[3 ( http: / / www.21cnjy.com )]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．
其中，正确结论的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
思维启迪 解答本题要充分理解[k]的意义，然后对选项逐一验证．
答案 C
解析 因为2 014＝402×5＋4，
又因为[4]＝{5n＋4|n∈Z}，
所以2 014∈[4]，故①正确；
因为－3＝5×(－1)＋2，所以－3∈[2]，故②不正确；
因为所有的整数Z除以5可得的余数为0,1,2,3,4，所以③正确；
若a，b属于同一“类”，则有a＝5n1＋k，b＝5n2＋k，
所以a－b＝5(n1－n2)∈[0]，
反过来，如果a－b∈[0]，
也可以得到a，b属于同一“类”，故④正确．
故有3个结论正确．
思维升华 解决以集合为背景的新定义问题，要抓 ( http: / / www.21cnjy.com )住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．
设U为全集，对集合X，Y，定义运算“?”，满足X?Y＝( UX)∪Y，则对于任意集合X，Y，Z，X?(Y?Z)等于 ( )
A．(X∪Y)∪( UZ)
B．(X∩Y)∪( UZ)
C．[( UX)∪( UY)]∩Z
D．( UX)∪( UY)∪Z
答案 D
解析 因为X?Y＝( UX)∪Y，所以Y?Z＝( UY)∪Z，
所以X?(Y?Z)＝( UX)∪(Y?Z)＝( UX)∪( UY)∪Z，故选D.
遗忘空集致误
典例：(5分)若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S P，则由a的可取值组成的集合为__________．
易错分析 从集合的关系看，S P，则S＝ 或S≠ ，易遗忘S＝ 的情况．
解析 P＝{－3,2}．当a＝0时，S＝ ，满足S P；
当a≠0时，方程ax＋1＝0的解集为x＝－，
为满足S P可使－＝－3或－＝2，
即a＝或a＝－.故所求集合为.
答案
温馨提醒 (1)根据集合间 ( http: / / www.21cnjy.com )的关系求参数是高考的一个重点内容．解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征．(2)在解答本题时，存在两个典型错误：一是忽略对空集的讨论，如a＝0时，S＝ ；二是忽略对字母的讨论，如－可以为－3或2.因此，在解答此类问题时，一定要注意分类讨论，避免漏解.
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方法与技巧
1．集合中元素的两个特性在解题时经常用到．解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化．
2．对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号．
3．对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图．这是数形结合思想的又一体现．
失误与防范
1．集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简．
2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．
3．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．
4．Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．
5．要注意A B、A∩B＝A、A∪B＝B、 UA UB、A∩( UB)＝ 这五个关系式的等价性.
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A组 专项基础训练
(时间：30分钟)
一、选择题
1． (2013·重庆)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则 U(A∪B)等于( )
A．{1,3,4} B．{3,4}
C．{3} D．{4}
答案 D
解析 因为A∪B＝{1,2,3}，全集U＝{1,2,3,4}，所以 U(A∪B)＝{4}，故选D.
2． 下列集合中表示同一集合的是 ( )
A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}
B．M＝{2,3}，N＝{3,2}
C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
D．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}
答案 B
解析 选项A中的集合M表 ( http: / / www.21cnjy.com )示由点(3,2)所组成的单点集，集合N表示由点(2,3)所组成的单点集，故集合M与N不是同一个集合．选项C中的集合M表示由直线x＋y＝1上的所有点组成的集合，集合N表示由直线x＋y＝1上的所有点的纵坐标组成的集合，即N＝{y|x＋y＝1}＝R，故集合M与N不是同一个集合．选项D中的集合M有两个元素，而集合N只含有一个元素，故集合M与N不是同一个集合．对选项B，由集合元素的性质，可知M，N表示同一个集合．
3． 已知全集S＝{1,2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}， SA＝{3}，则实数a等于 ( )
A．0或2 B．0
C．1或2 D．2
答案 D
解析 由题意，知则a＝2.
4． 设集合M＝{m∈Z|m≤－3或m≥2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，则( ZM)∩N等于( )
A．{0,1} B．{－1,0,1}
C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}
答案 B
解析 由已知，得 ZM＝{－2，－1,0,1}，
N＝{－1,0,1,2,3}，所以( ZM)∩N＝{－1,0,1}．
5． 已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有 ( )
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
答案 B
解析 ∵M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，∴M∩N＝{1,3}．
∴M∩N的子集共有22＝4个．
6． 已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1A．A?B B．B?A
C．A＝B D．A∩B＝
答案 B
解析 因为A＝{x|x2－x－2<0}，
所以A＝{x|－1又B＝{x|－17． (2013·辽宁)已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B等于 ( )
A．(0,1) B．(0,2] C．(1,2) D．(1,2]
答案 D
解析 A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．
8. 设全集U为整数集，集合A＝{x∈N|y＝}，B＝{x∈Z|－
1A．3 B．4 C．7 D．8
答案 C
解析 因为A＝{x∈N|y＝}＝{x∈N|7x－x2－6≥0}＝{x∈N|1≤x≤6}，
由题意，知题图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{1,2,3}，
所以其真子集有 ，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7个．
二、填空题
9． 已知集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B A，则a＝__________.
答案 －1或2
解析 由a2－a＋1＝3，得a＝－1或 ( http: / / www.21cnjy.com )a＝2，经检验符合．由a2－a＋1＝a，得a＝1，由于集合中不能有相同元素，所以舍去．故a＝－1或2.
10．已知集合A＝{(0,1)，(1, ( http: / / www.21cnjy.com )1)，(－1，2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝__________.
答案 {(0,1)，(－1,2)}
解析 A、B都表示点集，A∩B即是由A中在直线x＋y－1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．
11．(2013·天津改编)已知集合A＝{x||x|≤2}，B＝{x|x≤1}，则A∩B＝________.
答案 {x|－2≤x≤1}
解析 易知A＝{x|－2≤x≤2}，∴A∩B＝{x|－2≤x≤1}．
12．已知集合A＝{x|1≤x<5}，C＝{x|－a答案 (－∞，－1]
解析 因为C∩A＝C，所以C A.
①当C＝ 时，满足C A，此时－a≥a＋3，得a≤－；
②当C≠ 时，要使C A，则解得－B组 专项能力提升
(时间：15分钟)
1． 设集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7,8}，则满足S A且S∩B≠ 的集合S的个数是
( )
A．57 B．56 C．49 D．8
答案 B
解析 集合S的个数为26－23＝64－8＝56.
2． 已知集合M＝{x|≥0，x∈R}，N＝{y|y＝3x2＋1，x∈R}，则M∩N等于 ( )
A． B．{x|x≥1}
C．{x|x>1} D．{x|x≥1或x<0}
答案 C
解析 由≥0，得
∴x>1或x≤0，∴M＝{x|x>1或x≤0}，N＝{y|y≥1}，
M∩N＝{x|x>1}．
3． 已知U＝{x∈Z|y＝ln}，M＝{x∈Z||x－4|≤1}，N＝{x∈N|∈Z}，则集合{4,5}等于 ( )
A．M∩N B．M∩( UN)
C．N∩( UM) D．( UM)∪( UN)
答案 B
解析 集合U为函数y＝ln的定义域内的整数集，
由－1>0，即>0，解得0又x∈Z，所以x可取1,2,3,4,5,6,7,8，
故U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}．
集合M为满足不等式|x－4|≤1的整数集，
解|x－4|≤1，得3≤x≤5，
又x∈Z，
所以x可取3,4,5，故M＝{3,4,5}．
集合N是使为整数的自然数集合，
显然当x＝1时，＝6；
当x＝2时，＝3；
当x＝3时，＝2；
当x＝6时，＝1.
所以N＝{1,2,3,6}．
显然M U，N U.
而4∈M,4∈U,4 N,5∈M,5∈U,5 N，
所以4∈M,4∈ UN,5∈M,5∈ UN，
即{4,5}＝M∩( UN)．
4． 已知U＝{y|y＝log2x，x>1}，P＝{y|y＝，x>2}，则 UP＝________.
答案
解析 ∵U＝{y|y＝log2x，x>1}＝{y|y>0}，
P＝{y|y＝，x>2}＝{y|0∴ UP＝{y|y≥}＝.
5． 已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A B，则实数c的取值范围是________．
答案 [1，＋∞)
解析 A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0,1)，
B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c)，
因为A B，画出数轴，如右图所示，得c≥1.
6． 已知集合A＝{(x，y)|y＝a} ( http: / / www.21cnjy.com )，B＝{(x，y)|y＝bx＋1，b>0，b≠1}，若集合A∩B只有一个真子集，则实数a的取值范围是________．
答案 (1，＋∞)
解析 由于集合B中的元素是指数函数y ( http: / / www.21cnjy.com )＝bx的图象向上平移一个单位长度后得到的函数图象上的所有点，要使集合A∩B只有一个真子集，那么y＝bx＋1(b>0，b≠1)与y＝a的图象只能有一个交点，所以实数a的取值范围是(1，＋∞)．§1.2 命题与量词、基本逻辑联结词
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1． 命题的概念
能够判断真假的语句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假
命题．
2． 全称量词与全称命题
(1)全称量词：短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示．
(2)全称命题：含有全称量词的命题．
(3)全称命题的符号表示：
形如“对M中的所有x，p(x)”的命题，用符号简记为“ x∈M，p(x)”．
3． 存在量词与存在性命题
(1)存在量词：短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示．
(2)存在性命题：含有存在量词的命题．
(3)存在性命题的符号表示：
形如“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，用符号简记为 x∈M，q(x)．
(4)全称命题与存在性命题的否定
命题 命题的否定
x∈M，p(x) x∈M，綈p(x)
x∈M，q(x) x∈M，綈q(x)
4. 基本逻辑联结词
(1)命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑联结词．
(2)命题真值表：
p q p∧q p∨q 綈p
真 真 真 真 假
假 真 假 真 真
真 假 假 真 假
假 假 假 假 真
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)命题p∧q为假命题，则命题p、q都是假命题． ( × )
(2)已知命题p： n0∈N,2n0>1 000，则綈p： n∈N,2n0≤1 000. ( × )
(3)命题p和綈p不可能都是真命题． ( √ )
(4)命题“ x∈R，x2≥0”的否定是“ x∈R，x2<0”．( × )
(5)若命题p、q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．( √ )
2． 命题p： x∈R，sin x<1；命题q： x∈R，cos x≤－1，则下列结论是真命题的是
( )
A．p∧q B．(綈p)∧q
C．p∨(綈q) D．(綈p)∧(綈q)
答案 B
解析 p是假命题，q是真命题，
∴綈p∧q是真命题．
3． (2013·重庆)命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为 ( )
A．对任意x∈R，都有x2<0
B．不存在x∈R，使得x2<0
C．存在x0∈R，使得x≥0
D．存在x0∈R，使得x<0
答案 D
解析 因为“ x∈M，p(x)”的否定是“ x∈M，綈p(x)”，故“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定是“存在x0∈R，使得x<0”．
4． (2013·湖北)在 ( http: / / www.21cnjy.com )一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 ( )
A．(綈p)∨(綈q) B. p∨(綈q)
C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q
答案 A
解析 “至少有一位学员没有落在指定范围”＝“甲没有落在指定范围”或“乙没有落在指定范围”＝(綈p)∨(綈q)．
5． 若命题“ x∈R，x2－mx－m<0”是假命题，则实数m的取值范围是________．
答案 [－4,0]
解析 “ x∈R，x2－mx－m<0”是假命题，则“ x∈R，x2－mx－m≥0”是真命题，即Δ＝m2＋4m≤0，
∴－4≤m≤0.
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题型一 含有逻辑联结词命题的真假判断
例1 命题p：将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位得到函数y＝sin的图象；命题q：函数y＝sincos的最小正周期为π，则命题“p∨q”“p∧q”“綈p”为真命题的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．0
思维启迪 先判断命题p、q的真假，然后利用真值表判断p∨q、p∧q、綈p的真假．
答案 B
解析 函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位后，
所得函数为y＝sin＝sin，
∴命题p是假命题．
又y＝sincos
＝sincos
＝sin2＝－cos，
∴其最小正周期为T＝＝π，
∴命题q是真命题．
由此，可判断命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，“綈p”为真．
思维升华 “p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题真假的判断步骤：
(1)确定命题的构成形式；
(2)判断其中命题p、q的真假；
(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”形式命题的真假．
若命题p：函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝x－的单调递增区间是[1，＋∞)，则 ( )
A．p∧q是真命题 B．p∨q是假命题
C．綈p是真命题 D．綈q是真命题
答案 D
解析 因为函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞)，
所以p是真命题；
因为函数y＝x－的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，
所以q是假命题．
所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为假命题，綈q为真命题，故选D.
题型二 含有一个量词的命题的否定
例2 写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p： x∈R，x2－x＋≥0；
(2)q：所有的正方形都是矩形；
(3)r： x0∈R，x＋2x0＋2≤0；
(4)s：至少有一个实数x0，使x＋1＝0.
思维启迪 否定量词，否定结论，写出命题的否定；判断命题的真假．
解 (1)綈p： x0∈R，x－x0＋<0，假命题．
(2)綈q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．
(3)綈r： x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题．
(4)綈s： x∈R，x3＋1≠0，假命题．
思维升华 (1)含一个量词的命题的否定方法
①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定．
②对原命题的结论进行否定．
(2)判定全称命题“ x∈M，p(x)”是 ( http: / / www.21cnjy.com )真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立．
(1)已知命题p： x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))·(x2－x1)≥0，则綈p是( )
A． x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
B． x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
C． x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
D． x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
(2)命题“存在实数x，使x>1”的否定是 ( )
A．对任意实数x，都有x>1
B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x ，都有x≤1
D．存在实数x，使x≤1
答案 (1)C (2)C
解析 (1)綈p： x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0.
(2)利用存在性命题的否定是全称命题求解．
“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．故选C.
题型三 逻辑联结词与命题真假的应用
例3 (1)已知p： x∈R，mx2＋1≤0，q： x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为 ( )
A．m≥2 B．m≤－2
C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2
(2)已知命题p：“ x∈[0,1]，a≥e ( http: / / www.21cnjy.com )x”；命题q：“ x∈R，使得x2＋4x＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是__________．
思维启迪 利用含逻辑联结词命题的真假求参数范围问题，可先求出各命题为真时参数的范围，再利用逻辑联结词的含义求参数范围．
答案 (1)A (2)[e,4]
解析 (1)依题意知，p，q均为假命题．当p ( http: / / www.21cnjy.com )是假命题时，mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2.因此由p，q均为假命题得，即m≥2.
(2)若命题“p∧q”是真命 ( http: / / www.21cnjy.com )题，那么命题p，q都是真命题．由 x∈[0,1]，a≥ex, 得a≥e；由 x∈R，使x2＋4x＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4.
思维升华 以命题真假为依据求参数 ( http: / / www.21cnjy.com )的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p∧q”“p∨q”“綈p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可．
(1)已知命题p：“ x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“ x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是 ( )
A．{a|a≤－2或a＝1} B．{a|a≥1}
C．{a|a≤－2或1≤a≤2} D．{a|－2≤a≤1}
(2)命题“ x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围为________．
答案 (1)A (2)[－2，2]
解析 (1)由题意知，p：a≤1，q：a≤－2或a≥1，
∵“p且q”为真命题，∴p、q均为真命题，∴a≤－2或a＝1.
(2)因题中的命题为假命题，则它的否定“ ( http: / / www.21cnjy.com )x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，因此只需Δ＝9a2－4×2×9≤0，即－2≤a≤2.
借助逻辑联结词求解参数范围
典例：(12分)已知c>0，且c≠1， ( http: / / www.21cnjy.com )设p：函数y＝cx在R上单调递减；q：函数f(x)＝x2－2cx＋1在上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．
思维启迪 (1)p、q都为真时，分 ( http: / / www.21cnjy.com )别求出相应的a的取值范围；(2)用补集的思想，求出綈p、綈q分别对应的a的取值范围；(3)根据“p且q”为假、“p或q”为真，确定p、q的真假．
规范解答
解 ∵函数y＝cx在R上单调递减，∴0即p：00且c≠1，∴綈p：c>1.[3分]
又∵f(x)＝x2－2cx＋1在上为增函数，∴c≤.
即q：00且c≠1，∴綈q：c>且c≠1.[5分]
又∵“p或q”为真，“p且q”为假，
∴p真q假或p假q真．[6分]
①当p真，q假时，
{c|0②当p假，q真时，{c|c>1}∩＝ .[10分]
综上所述，实数c的取值范围是.[12分]
第一步：求命题p、q对应的参数的范围．
第二步：求命题綈p、綈q对应的参数的范围．
第三步：根据已知条件构造新命题，如本题构造新命题
“p且q”或“p或q”．
第四步：根据新命题的真假，确定参数的范围．
第五步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．
温馨提醒 解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求解出来，然后转化为集合交、并、补的基本运算．
答题时，可依答题模板的格式进行，这样可使答题思路清晰，过程完整．老师在阅卷时，便于查找得分点．
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方法与技巧
1．把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”、“且”，要结合语句的含义理解．
2．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是存在性命题，对照否定结构去写，并注意与否命题区别；否定的规律是“改量词，否结论”．
失误与防范
1．p∨q为真命题，只需p、q有一个为真即可；p∧q为真命题，必须p、q同时为真．
2．p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q.
3．命题的否定与否命题
“否命题”是对原命题“若p，则q ( http: / / www.21cnjy.com )”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题p的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．
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A组 专项基础训练
(时间：30分钟)
一、选择题
1． 设命题p：函数y＝sin 2x的 ( http: / / www.21cnjy.com )最小正周期为；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝对称．则下列判断正确的是 ( )
A．p为真 B．綈q为假
C．p∧q为假 D．p∨q为真
答案 C
解析 p是假命题，q是假命题，因此只有C正确．
2． 下列命题中的假命题是 ( )
A． x0∈R，lg x0＝0 B． x0∈R，tan x0＝1
C． x∈R，x3>0 D． x∈R,2x>0
答案 C
解析 对于A，当x0＝1时，lg ( http: / / www.21cnjy.com )x0＝0，正确；对于B，当x0＝时，tan x0＝1，正确；对于C，当x<0时，x3<0，错误；对于D， x∈R,2x>0，正确．
3． (2012·湖北)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是 ( )
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
答案 B
解析 通过否定原命题得出结论．
原命题的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．
4． (2013·四川)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p： x∈A,2x∈B，则
( )
A．綈p： x∈A,2x∈B B．綈p： x A,2x B
C．綈p： x A,2x∈B D．綈p： x∈A,2x B
答案 D
解析 命题p： x∈A,2x∈B是一个全称命题，其命题的否定綈p应为 x∈A,2x B，选D.
5． 已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是 ( )
A．綈p∨q B．p∧q
C．綈p∧綈q D．綈p∨綈q
答案 D
解析 不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上述叙述中只有綈p∨綈q为真命题．
6． 已知命题p：若a>1，则ax> ( http: / / www.21cnjy.com )logax恒成立；命题q：在等差数列{an}中(其中公差d≠0)，m＋n＝p＋q是an＋am＝ap＋aq的充分不必要条件(m，n，p，q∈N＋)．
则下面选项中真命题是 ( )
A．綈p∧綈q B．綈p∨綈q
C．綈p∨q D．p∧q
答案 B
解析 对于命题p，如图所示，作出函数y ( http: / / www.21cnjy.com )＝ax(a>1)与y＝logax(a>1)在(0，＋∞)上的图象，显然当a>1时，函数y＝ax的图象在函数y＝logax图象的上方，即当a>1时，ax>logax恒成立，故命题p为真命题．
对于命题q，由等差数列的性质，可知当公差不为0时，m＋n＝p＋ q是an＋am＝ap＋aq的充要条件，故命题q为假命题．
∴命题綈p为假，綈q为真，故綈p∨綈q为真．
7． 下列命题中，真命题是 ( )
A． x0∈，sin x0＋cos x0≥2
B． x∈(3，＋∞)，x2>2x＋1
C． x0∈R，x＋x0＝－1
D． x∈，tan x>sin x
答案 B
解析 对于选项A，
x∈，sin x＋cos x＝sin≤，
∴此命题为假命题；
对于选项B，当x∈(3，＋∞)时，x2－2x－1＝(x－1)2－2>0，
∴此命题为真命题；
对于选项C， x∈R，x2＋x＋1＝2＋>0，
∴此命题为假命题；
对于选项D，当x∈时，tan x<0∴此命题为假命题．故选B.
8． 命题“函数y＝f( ( http: / / www.21cnjy.com )x)的导函数为f′(x)＝ex＋－(其中e为自然对数的底数，k为实数)，且f(x)在R上不是单调函数”是真命题，则实数k的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 当k＝－1时，f′(x)＝ex＋＋1≥2＋1＝3，
则f(x)在R上单调递增，不满足题意，应排除A；
当k＝－时，f′(x)＝ex＋＋2≥1＋2＝3，
所以f(x)在R上单调递增，不满足题意，应排除B；
当k＝1时，f′(x)＝ex＋－1≥2－1＝2－1＝1，
则f(x)在R上单调递增，不满足题意，应排除D.选C.
二、填空题
9． 命题“ x∈R， m∈Z，m2－m答案 真
解析 由于 x∈R，x2＋x＋1＝2＋≥，
因此只需m2－m<，即－所以当m＝0或m＝1时， x∈R，m2－m因此命题是真命题．
10．命题“能被5整除的数，末位是0”的否定是________________________．
答案 存在能被5整除的数，末位不是0
解析 此命题省略了全称量词“任何一个”，其否定是存在性命题．
11．若命题p：关于x的不等式ax ( http: / / www.21cnjy.com )＋b>0的解集是{x|x>－}，命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b)<0的解集是{x|a答案 綈p、綈q
解析 依题意可知命题p和q都是假命题，所以“p∧q”为假、“p∨q”为假、“綈p”为真、“綈q”为真．
12．若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
答案 [－3,0]
解析 ax2－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；
当a≠0时，得，
解得－3≤a<0，故－3≤a≤0.
B组 专项能力提升
(时间：15分钟)
1． 下列命题中的假命题是 ( )
A． x∈R,2x－1>0
B． x∈N＋，(x－1)2>0
C． x∈R，lg x<1
D． x∈R，tan x＝2
答案 B
解析 A正确；对于B，当x＝1时，(x－1)2＝0，错误；
对于C，当x∈(0,1)时，lg x<0<1，正确；
对于D， x∈R，tan x＝2，正确．
2．“命题‘ x∈R，x2＋ax－4a<0’为假命题”是“－16≤a≤0”的 ( )
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 因为“ x∈R，x2＋ax－4a<0”为假命题，
所以“ x∈R，x2＋ax－4a≥0”为真命题．
所以Δ＝a2＋16a≤0，即－16≤a≤0.
所以“命题‘ x∈R，x2＋ax－4a<0’为假命题”是“－16≤a≤0”的充要条件．
3． 设有两个命题，p： ( http: / / www.21cnjy.com )不等式＋>a的解集为R；q：函数f(x)＝－(7－3a)x在R上是减函数，如果这两个命题中有且只有一个真命题，那么实数a的取值范围是 ( )
A．1≤a<2 B．2C．2≤a< D．1答案 A
解析 记A＝{a|不等式＋>a的解集为R}；
B＝{a|f(x)＝－(7－3a)x在R上是减函数}．
由于函数y＝＋的最小值为1，故A＝{a|a<1}．
又因为函数f(x)＝－(7－3a)x在R上是减函数，
故7－3a>1，即a<2，所以B＝{a|a<2}．
要使这两个命题中有且只有一个真命题，a的取值范围为[( RA)∩B]∪[( RB)∩A]，
而( RA)∩B＝[1，＋∞)∩(－∞，2)＝[1,2)，
( RB)∩A＝[2，＋∞)∩(－∞，1)＝ ，
因此[( RA)∩B]∪[( RB)∩A]＝[1,2)，故选A.
4． 下列四个命题：
① x∈R，x2＋x＋1≥0；
② x∈Q，x2＋x－是有理数；
③ α，β∈R，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β；
④ x，y∈Z，使3x－2y＝10.
所有真命题的序号是________．
答案 ①②③④
解析 ①②显然正确；③中，若α＝，β＝0，
则sin(α＋β)＝1，sin α＋sin β＝1＋0＝1，
等式成立，∴③正确；
④中，x＝4，y＝1时，3x－2y＝10成立，
∴④正确，故填①②③④.
5． 已知命题p：“ x∈R， m∈R,4x－2x＋1＋m＝0”，若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围是__________．
答案 (－∞，1]
解析 若綈p是假命题，则p是真命题，
即关于x的方程4x－2·2x＋m＝0有实数解，
由于m＝－(4x－2·2x)＝－(2x－1)2＋1≤1，∴m≤1.
6． 设p：关于x的不等式ax>1的解集是{x|x<0}；q：函数y＝的定义域为R.若
p∨q是真命题，p∧q是假命题，则实数a的取值范围是________________．
答案 ∪[1，＋∞)
解析 根据指数函数的单调性，可知命题p为真命题时，实数a的取值集合为P＝{a|0对于命题q：函数的定义域为R的充要条件是ax2－x＋a≥0恒成立．
当a＝0时，不等式为－x≥0，解得x≤0，显然不成立；
当a≠0时，不等式恒成立的条件是
，解得a≥.
所以命题q为真命题时，a的取值集合为Q＝{a|a≥}．
由“p∨q是真命题，p∧q是假命题”，可知命题p，q一真一假，
当p真q假时，a的取值范围是P∩( RQ)＝{a|0当p假q真时，a的取值范围是( RP)∩Q＝{a|a≤0或a≥1}∩{a|a≥}＝{a|a≥1}．
综上，a的取值范围是∪[1，＋∞)．§1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式
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1． 充分条件、必要条件与充要条件
(1)“若p，则q”形式的命题为真时，记作p q，称p是q的充分条件，q是p的充要条件．
(2)如果既有p q，又有q p，记作p q，则p是q的充要条件，q也是p的充要条件．
p是q的充要条件又常说成q当且仅当p，或p与q等价．
2． 命题的四种形式及真假关系
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互为逆否的两个命题等价(同真或同假)；互逆或互否的两个命题不等价．
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“x2＋2x－3<0”是命题． ( × )
(2)“sin 45°＝1”是真命题． ( × )
(3)命题“三角形的内角和是180°”的否命题是“三角形的内角和不是180°”．( × )
(4)若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题． ( √ )
(5)“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的必要不充分条件． ( × )
(6)若α∈(0,2π)，则“sin α＝－1”的充要条件是“α＝π”． ( √ )
2． 设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是 ( )
A．若a≠－b，则|a|≠|b|
B．若a＝－b，则|a|≠|b|
C．若|a|≠|b|，则a≠－b
D．若|a|＝|b|，则a＝－b
答案 D
解析 命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题为“若|a|＝|b|，则a＝－b”，故选D.
3． 命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是 ( )
A．若α≠，则tan α≠1
B．若α＝，则tan α≠1
C．若tan α≠1，则α≠
D．若tan α≠1，则α＝
答案 C
解析 命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”，故选C.
4． (2013·福建)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A B”的 ( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 a＝3时A＝{1,3}，显然A B.
但A B时，a＝2或3.所以A正确．
5． (2012·天津)设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的 ( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由条件推结论和结论推条件后再判断．
若φ＝0，则f(x)＝cos x是偶函数，
但是若f(x)＝cos(x＋φ) (x∈R)是偶函数，
则φ＝π也成立．故“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的充分而不必要条件.
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题型一 命题的四种形式及其关系
例1 (1)下列四个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；
②“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；
③“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；
④“同位角相等”的逆命题．
其中真命题的个数是 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)已知命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是 ( )
A．否命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”是真命题
B．逆命题“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”是假命题
C．逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”是真命题
D．逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题
思维启迪 (2)利用定义判断命题的四种形式是否正确，利用四种命题的关系判断命题是否为真．
答案 (1)B (2)D
解析 (2)命题“若函数f( ( http: / / www.21cnjy.com )x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．
思维升华 (1)熟悉四种命题的概念是正确书写 ( http: / / www.21cnjy.com )或判断四种命题真假的关键；(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3)判断一个命题为假命题可举反例．
(1)命题“若α＝，则cos α＝”的逆命题是 ( )
A．若α＝，则cos α≠
B．若α≠，则cos α≠
C．若cos α＝，则α＝
D．若cos α≠，则α≠
(2)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是 ( )
A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数
B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数
C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数
D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数
答案 (1)C (2)C
解析 (1)命题“若α＝，则cos α＝”的逆命题是
“若cos α＝，则α＝”．
(2)由于“x，y都是偶数”的否定表达是“ ( http: / / www.21cnjy.com )x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.
题型二 充要条件的判定
例2 已知下列各组命题，其中p是q的充分必要条件的是 ( )
A．p：m≤－2或m≥6；q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点
B．p：＝1；q：y＝f(x)是偶函数
C．p：cos α＝cos β；q：tan α＝tan β
D．p：A∩B＝A；q：A U，B U， UB UA
思维启迪 首先要分清条件和结论，然后可以从逻辑推理、等价命题或集合的角度思考问题，做出判断．
答案 D
解析 对于A，由y＝x2＋mx＋m＋3有两个 ( http: / / www.21cnjy.com )不同的零点，可得Δ＝m2－4(m＋3)>0，从而可得m<－2或m>6.所以p是q的必要不充分条件；
对于B，由＝1 f(－x)＝ ( http: / / www.21cnjy.com )f(x) y＝f(x)是偶函数，但由y＝f(x)是偶函数不能推出＝1，例如函数f(x)＝0，所以p是q的充分不必要条件；
对于C，当cos α＝cos β＝0时，不存在tan α＝tan β，反之也不成立，所以p是q的既不充分也不必要条件；
对于D，由A∩B＝A，知A B，所以 UB UA；
反之，由 UB UA，知A B，即A∩B＝A.
所以p q.
综上所述，p是q的充分必要条件的是D.
思维升华 充要条件的三种判断方法
(1)定义法：根据p q，q p进行判断；
(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的 ( http: / / www.21cnjy.com )等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件．
(1)(2012·福建)已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是( )
A．x＝－ B．x＝－1
C．x＝5 D．x＝0
(2)设集合A＝{x∈R| ( http: / / www.21cnjy.com )x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的 ( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 (1)D (2)C
解析 (1)∵a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，
∴a·b＝2(x－1)＋2×1＝2x.
又a⊥b a·b＝0，∴2x＝0，∴x＝0.
(2)因为A＝{x|x－2>0}＝{x|x>2}＝(2，＋∞)，
B＝{x|x<0}＝(－∞，0)，
所以A∪B＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，
C＝{x|x(x－2)>0}＝{x|x<0或x>2}
＝(－∞，0)∪(2，＋∞)．
即A∪B＝C.故“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件.
题型三 充分条件与必要条件的应用
例3 (1)函数f(x)＝有且只有一个零点的充分不必要条件是 ( )
A．a<0 B．0C.1
(2)设p：|4x－3|≤ ( http: / / www.21cnjy.com )1，q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若非p是非q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是 ( )
A. B.
C．(－∞，0]∪ D．(－∞，0)∪
思维启迪 (1)根据图象交点先求得f ( http: / / www.21cnjy.com )(x)有一个零点的充要条件，再利用“以小推大”(集合间关系)判定；(2)考虑条件所对应集合间的包含关系．
答案 (1)A (2)A
解析 (1)因为函数f(x)过点(1,0 ( http: / / www.21cnjy.com ))，所以函数f(x)有且只有一个零点 函数y＝－2x＋a(x≤0)没有零点 函数y＝2x(x≤0)与直线y＝a无公共点．由数形结合，可得a≤0或a>1.
观察选项，根据集合间关系{a|a<0}?{a|a≤0或a>1}，
∴答案选A.
(2)p：|4x－3|≤1 －1≤4x－3≤1，
∴≤x≤1；
q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0 (x－a)[x－(a＋1)]≤0，
∴a≤x≤a＋1.
由题意知p是q的充分不必要条件，故有或，则0≤a≤.
思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
(1)若“x2>1”是“x(2)已知命题p：实数m满足m2＋ ( http: / / www.21cnjy.com )12a2<7am(a>0)，命题q：实数m满足方程＋＝1表示的焦点在y轴上的椭圆，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为________．
答案 (1)－1 (2)
解析 (1)由x2>1，得x<－1，或x>1.
又“x2>1”是“x知由“x1”，反之不成立，
所以a≤－1，即a的最大值为－1.
(2)由a>0，m2－7am＋12a2<0，得3a0.
由＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，
可得2－m>m－1>0，解得1即命题q：1因为p是q的充分不必要条件，
所以或解得≤a≤，
所以实数a的取值范围是.
等价转化思想在充要条件中的应用
典例：(12分)(2013·阜新模 ( http: / / www.21cnjy.com )拟)已知集合A＝{y|y＝x2－x＋1，x∈[，2]}，B＝{x|x＋m2≥1}．p：x∈A，q：x∈B，并且p是q的充分条件，求实数m的取值范围．
思维启迪 (1)先对集合进行化简；
(2)将条件间的关系转化为集合间的包含关系；
(3)利用集合间的关系列出关于m的不等式，求出实数m的范围．
规范解答
解 化简集合A，
由y＝x2－x＋1.
配方，得y＝2＋.
∵x∈，
∴ymin＝，ymax＝2.
∴y∈.
∴A＝.[4分]
化简集合B，由x＋m2≥1，
得x≥1－m2，B＝{x|x≥1－m2}．[6分]
∵命题p是命题q的充分条件，
∴A B.[8分]
∴1－m2≤，解得m≥，或m≤－.[11分]
∴实数m的取值范围是∪.[12分]
温馨提醒 本例涉及参数问题， ( http: / / www.21cnjy.com )直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．
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方法与技巧
1． 写出一个命题的逆命题、否命 ( http: / / www.21cnjy.com )题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．
2． 充要关系的几种判断方法
(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．
(2)等价法：即利用A B与綈B 綈A；B A与綈A 綈B；A B与綈B 綈A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．
(3)利用集合间的包含关系判断：设A ( http: / / www.21cnjy.com )＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若A B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A＝B，则p是q的充要条件．
失误与防范
1． 当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动．
2． 判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p则q”的形式．
3． 判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.
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A组 专项基础训练
(时间：30分钟)
一、选择题
1． 命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是 ( )
A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
答案 B
解析 依题意，得原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．
2． 下列命题中为真命题的是 ( )
A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题
B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题
C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题
答案 A
解析 对于A，其逆命题：若x>|y| ( http: / / www.21cnjy.com )，则x>y，是真命题，这是因为x>|y|＝，必有x>y；对于B，否命题：若x≤1，则x2≤1，是假命题．如x＝－5，x2＝25>1；对于C，其否命题：若x≠1，则x2＋x－2≠0，因为x＝－2时，x2＋x－2＝0，所以是假命题；对于D，若x2>0，则x>0或x<0，不一定有x>1，因此原命题的逆否命题是假命题，故选A.
3． 已知集合M＝{x|0A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 因为M?N，所以a∈M a∈N，反之，则不成立，故“a∈N”是“a∈M”的必要而不充分条件．故选B.
4． 与命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”等价的命题是 ( )
A．若a，b，c成等比数列，则b2≠ac
B．若a，b，c不成等比数列，则b2≠ac
C．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列
D．若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列
答案 D
解析 因为原命题与其逆否命题是等价 ( http: / / www.21cnjy.com )的，所以与命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”等价的命题是“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”．
5． 已知向量a＝(m2，－9)，b＝(1，－1)，则“m＝－3”是“a∥b”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 当m＝－3时，a＝(9，－9)，b＝(1，－1)，则a＝9b，
所以a∥b，即“m＝－3” “a∥b”；
当a∥b时，m2＝9，得m＝±3，
所以不能推得m＝－3，即“m＝－3”D /“a∥b”．
故“m＝－3”是“a∥b”的充分不必要条件．
6． 设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案 B
解析 复数a＋＝a－bi为纯虚数，则a＝0，b≠0，
而ab＝0表示a＝0或b＝0，故“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的必要不充分条件．故选B.
7． 给出命题：若函数y＝f(x)是 ( http: / / www.21cnjy.com )幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是 ( )
A．3 B．2 C．1 D．0
答案 C
解析 原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；
它的逆命题为“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，
则函数y＝f(x)是幂函数”，
显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．
因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．
8． 函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是 ( )
A．m＝－2 B．m＝2
C．m＝－1 D．m＝1
答案 A
解析 已知函数f(x)＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称，则m＝－2；反之也成立．
所以函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.
二、填空题
9． 下列结论：
①若命题p： x∈R，tan x＝1；命题q： x∈R，x2－x＋1>0.则命题“p∧綈q”是假命题；
②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3；
③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．
答案 ①③
解析 ①中命题p为真命题，命题q为真命题，
所以p∧綈q为假命题，故①正确；
②当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；
③正确．所以正确结论的序号为①③.
10．“若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是________．
答案 2
解析 其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．
11．“x＝”是“向量a＝(x＋2,1)与向量b＝(2,2－x)共线”的________条件．
答案 充分不必要
解析 若a＝(x＋2,1)与b＝(2,2－x)共线，
则有(x＋2)(2－x)＝2，解得x＝±，
所以“x＝”是“向量a＝(x＋2,1)与向量b＝(2,2－x)共线”的充分不必要条件．
12．若xm＋1是x2－2x－3>0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是
________．
答案 [0,2]
解析 由已知易得{x|x2－2x－3>0}?{x|xm＋1}，
又{x|x2－2x－3>0}＝{x|x<－1或x>3}，
∴或，∴0≤m≤2.
B组 专项能力提升
(时间：15分钟)
1． 若集合A＝{x|2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 当a＝1时，B＝{x|－2反之，若A∩B＝ ，只需a≤2即可，故“a＝1”是“A∩B＝ ”的充分不必要条件．
2． “λ<1”是“数列an＝n2－2λn(n∈N＋)是递增数列”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若数列an＝n2－2λn(n∈N＋)为递增数列，
则有an＋1－an>0，即2n＋1>2λ对任意的n∈N＋都成立，
于是可得3>2λ，即λ<.
注意到由λ<1可得λ<；
但反过来，由λ<不能得到λ<1，
故“λ<1”是“数列an＝n2－2λn(n∈N＋)是递增数列”的充分不必要条件．
3． 下列结论正确的个数是 ( )
①命题p：“ x0∈R，x－2≥0”的否定为綈p：“ x∈R，x2－2<0”；
②若綈p是q的必要条件，则p是綈q的充分条件；
③“M>N”是“M>N”的充分不必要条件．
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 对于①，易知①是正确的；对于 ( http: / / www.21cnjy.com )②，由“綈p是q的必要条件”知，q可推知綈p，则p可推知綈q(注：互为逆否的两个命题的真假性一致)，因此p是綈q的充分条件，②正确；对于③，由M>N不能得到M>N，因此③是错误的．故选C.
4． “m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的____________条件．
答案 充分不必要
解析 x2＋x＋m＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，
即m≤，∵m< m≤，反之不成立．
故“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的充分不必要条件．
5． 已知集合A＝，B＝{x|－1答案 (2，＋∞)
解析 A＝＝{x|－1∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，
∴A?B，∴m＋1>3，即m>2.
6． 下列四个结论中：
①“λ＝0”是“λa＝0”的充分不必要条件；
②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件；
③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为零”的充要条件；
④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为零”的充要条件．
正确的是________．
答案 ①④
解析 由λ＝0可以推出λa＝0，但是由λa＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正确．
由AB2＋AC2＝BC2可以推出△ABC是直角三角形，但是由△ABC是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确．
由a2＋b2≠0可以推出a，b不全为零；
反之，由a，b不全为零可以推出a2＋b2≠0，
所以③不正确，④正确．