(共62张PPT)
19.2 勾股定理
嘉积中学海桂学校 唐南武
一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过 为什么
2m
D
C
A
B
问题引入
1m
同学们,当你漫步在美丽的校园内,当你看到一栋栋教学楼、宿舍楼等等时,你是一种怎样的感觉呢 你是否想过:产生如此迷人的现象的原因又是什么呢 这一切的一切与数学有没有联系呢
自远古以来，勾股定理应用被认为是和谐、美丽并且真实的．不论在自然界里还是在建筑中，不论在艺术中还是在科学中，甚至最普通的日常生活用品中，它的形式都随处可见．例如 电梯 、古桥、勾股树等这是何等令人难忘的景象啊．它不仅给人以平衡与和谐的美感，而且有助于人类认识自然的规律，探索宇宙的奥秘.
奇异之树——勾股树
这好像是一棵柏树呢！如果在树上挂一串彩色灯泡，再挂上些小铃铛、小彩球、小礼盒、小的圣诞老人，就会成为一棵圣诞树．
可是，它与勾股有什么关系呢？仔细看看，你会发现，奥妙在树干和树枝上，整棵树都是由下图的这个基本图形组成的：一个直角三角形，以及分别以它的每边为一边向外所作的正方形．
2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运会”，这就是本届大会会徽的图案。
（1）你见过这个图案吗？
（2）你听说过勾股定理吗？
活动一
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客，发现朋友家用地砖铺成的的地面中反映了等腰直角三角形三边的某种数量关系。请你观察一下有什么发现？
活动二
一般的直角三角形是否有这样的性质呢？
（图中每一格代表一平方厘米）
试一试：
观察左图：
（1）正方形P的面积是 平方厘米。
（2）正方形Q的面积是 平方厘米。
（3）正方形R的面积是 平方厘米。
1
2
1
上面三个正方形的面积之间有什么关系？
SP+SQ=SR
R
Q
P
A
C
B
AC2+BC2=AB2
你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
A
B
C
R
Q
P
（图中每一格代表一平方厘米）
观察左图：
（1）正方形P的面积是
平方厘米。
（2）正方形Q的面积是
平方厘米。
（3）正方形R的面积是
平方厘米。
9
方法二
16
25
议一议：
（1）你能用直角三角形的边长表上述正方形的面积吗？
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
SQ=AC2, SP=BC2, SR=AB2
方法一
AC2+BC2=AB2
SQ+SP=SR
A
B
C
R
Q
P
把R看作是大正方形面积减去四个直角三角形的面积。
（图中每一格代表一平方厘米）
A
B
C
R
Q
P
把R看作是小正方形面积加上四个直角三角形的面积。
（图中每一格代表一平方厘米）
做一做：
在右图中用三角尺画出两条直角边分别为5cm、 12cm的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系对这个直角三角形是否成立。
勾股定理：
直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
A
B
C
在 ABC中， C=90
AC2+BC2=AB2
a
b
c
（a2+b2=c2）
勾
股
弦
在西方又称为毕达哥拉斯定理
在国外，相传这个定理是公元前500多年时古希腊数学家毕达哥拉斯首先发现的。因此又称此定理为“毕达哥拉斯定理”。法国和比利时称它为“驴桥定理”，埃及称它为“埃及三角形”等。但他们发现的时间都比我国要迟得多。
毕达哥拉斯定理
Pythagoras’ theorem
毕达哥拉斯
商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。
勾股定理
1. 如图，你能解决这个问题吗？
3
5
x
┓
X=4
如果知道了直角形任意两边的长度，能不能利用勾股定理求第三边的长度呢？
活动三
2
1
x
b
17
15
2、求下列用字母表示的边长
例1
1.在Rt ABC中，AB=c，BC=a，AC=b， B=90 .
(1)已知a=6,b=10,求c;
(2)已知a=24,c=25,求b.
练一练
解：在Rt ABC中， B=90 ，
2.如果一个直角三角形的两条边长分别是3厘米和4 厘米,那么 这个三角形的周长是多少厘米
练一练
解：在Rt ABC中， C=90 ，
A
B
C
3
4
A
B
C
3
4
今天我们通过这节课的学习你有什么的收获？
课堂练习： 一判断题. 1. ABC的两边AB=5,AC=12,则BC=13 ( ) 2. ABC的a=6,b=8,则c=10 ( ) 二填空题 1.在 ABC中, ∠C=90°,AC=6,CB=8,则
ABC面积为_____,斜边为上的高为______.
24
4.8
A
B
C
D
一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过 为什么
2m
D
C
A
B
连结AC,在Rt△ABC中,根据勾股定理,
因此,AC= ≈2.236
因为AC______木板的宽,
所以木板____ 从门框内通过.
大于
能
1m
小丁的妈妈买了一部34英寸（86厘米）的电视机。小丁量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有70厘米长和50厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你能解释这是为什么吗？
我们通常所说的34英寸或86厘米的电视机，是指其荧屏对角线的长度
∴售货员没搞错
荧屏对角线大约为86厘米
∵702+502=7400
862=7396
应用扩展
作业：
课本104页，习题19.2第
2、 题。
感谢各位老师莅临指导
葭生池中
今有方池一丈，
葭生其中央，
出水一尺，
引葭赴岸，
适与岸齐。
问：水深、葭长各几何？
5尺
X-1
X
1尺
解：可设葭长为x尺，
则水深为(x-1)尺
则有: (x-1)2+52=x2
解得： x=13
所以：葭长13尺，水深12尺。
葭(jiá)
试一试：
在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
D
A
B
C
一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过 为什么
2m
D
C
A
B
连结AC,在Rt△ABC中,根据勾股定理,
因此,AC= ≈2.236
因为AC______木板的宽,
所以木板____ 从门框内通过.
大于
能
1. 如图，你能解决这个问题吗？
3
5
x
┓
练一练
X=4
y=0
2
1
x
b
17
15
1、求下列用字母表示的边长
应用知识回归生活
2. 一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙上(如图),这时梯脚与墙的距离是多少
A
B
C
0.7米
课堂练习： 一判断题. 1. ABC的两边AB=5,AC=12,则BC=13 ( ) 2. ABC的a=6,b=8,则c=10 ( ) 二填空题 1.在 ABC中, ∠C=90°,AC=6,CB=8,则
ABC面积为_____,斜边为上的高为______.
24
4.8
A
B
C
D
学以致用
c
a
b
1、已知：a＝3，
b＝4，求c
2、已知： c ＝10，a＝6，求b
3、已知： c ＝13，a＝5，
求阴影总分面积
a
c
奇异之树——勾股树
这好像是一棵柏树呢！如果在树上挂一串彩色灯泡，再挂上些小铃铛、小彩球、小礼盒、小的圣诞老人，就会成为一棵圣诞树．
可是，它与勾股有什么关系呢？仔细看看，你会发现，奥妙在树干和树枝上，整棵树都是由下图的这个基本图形组成的：一个直角三角形，以及分别以它的每边为一边向外所作的正方形．
观察下图，如果每一小方格的边长为1cm，
那么可以得到：
正方形P的面积＝________平方厘米；
正方形Q的面积＝________平方厘米.
正方形R的面积＝________平方厘米.
R=P+Q
即：在Rt△ABC中
AB2=BC2+AC2
9
16
25
a
a
a
a
b
a
b
b
c
b
c
a
a
a
b
c
c
c
c
b
b
b
c
c
b
c
a
a
a
a
a
a
b
a
b
b
c
b
c
a
a
a
a
b
这两个正方形的边长都是a+b，所以面积相等，即：
c
c
c
c
b
b
b
得： a2+b2= c2
b
b
商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。
这就是著名的勾股定理.
勾股定理
在国外，相传这个定理是公元前500多年时古希腊数学家毕达哥拉斯首先发现的。因此又称此定理为“毕达哥拉斯定理”。法国和比利时称它为“驴桥定理”，埃及称它为“埃及三角形”等。但他们发现的时间都比我国要迟得多。
毕达哥拉斯定理
Pythagoras’ theorem
毕达哥拉斯
A
B
C
A
B
C
（图中每个小方格代表一个单位面积）
图1-1
图1-2
（1）观察图1-1
正方形A中含有 个小方格，即A的面积是
个单位面积。
正方形B的面积是
个单位面积。
正方形C的面积是
个单位面积。
9
9
9
18
你是怎样得到C的面积的？与同伴交流交流。
1
2
3
（2）（3）
C
A
B
A
B
C
正方形周边上的格点数a=12
正方形内部的格点数b=13
利用皮克公式
所以，正方形C的面积为：
（单位面积）
返回
图1-1
图1-2
A
B
C
A
B
C
（图中每个小方格代表一个单位面积）
图1-1
图1-2
分割成若干个直角边为整数的三角形
（单位面积）
返回
A
B
C
A
B
C
（图中每个小方格代表一个单位面积）
图1-1
图1-2
（单位面积）
把C看成边长为6的正方形面积的一半
返回
A
B
C
A
B
C
（图中每个小方格代表一个单位面积）
图1-1
图1-2
（2）在图1-2中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？
（3）你能发现图1-1中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积
A
B
C
图1-3
A
B
C
图1-4
（1）观察图1-3、图1-4，并填写右表：
A的面积（单位面积）
B的面积（单位面积）
C的面积（单位面积）
图1-3
图1-4
16
9
25
4
9
13
你是怎样得到表中C的结果 与同伴交流交流。
做一做
幻灯片 9
A
B
C
图1-3
A
B
C
图1-4
分割成若干个直角边为整数的三角形
（面积单位）
幻灯片 7
A
B
C
图1-3
A
B
C
图1-4
（2）三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系？
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积
幻灯片 7
A
B
C
图1-3
A
B
C
图1-4
（1）你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？用自己的语言表达!
（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度。（2）中的规律对这个三角形仍然成立吗？
议一议
a
b
c
勾股定理（gou-gu theorem)
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么
即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
a
b
c
勾
股
弦
在西方又称毕达哥拉斯定理耶！
2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运会”，这就是本届大会会徽的图案。
（1）你见过这个图案吗？
（2）你听说过勾股定理吗？
活动一
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客，发现朋友家用地砖铺成的的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系。请你观察一下有什么发现？
活动二
以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积。
等腰直角三角形的三边之间有一种特殊关系：斜边的平方等于两直角边的平方和。
一般的直角三角形是否有这样的性质呢？
A
B
C
图1
A
B
C
图2
做一做
（1）观察图1，图2，并填写下表：
A的面积
（单位面积） B的面积（单位面积） C的面积
（单位面积）
图1
图2
（2）三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系？
16
9
25
4
9
13
议一议
（1）你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
b
c
a
命题：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么
a + b = c
2
2
2
猜想
我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中。
二千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票。
勾股世界
