勾股定理（一）教学案例[上学期]
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探 究 式 学 习 课 堂
-----------勾股定理(一)教学案例
一、背景：
本节课是学区优质课评选时所上的一课，内容是勾股定理的探索。 勾股定理是平面几何中的一个重要定理。它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，把“形”的特征——三角形中一个角是直角，转化成数量关系——三边之间满足a2+b2=c2，利用它可以解决直角三角形中的许多计算问题，是解直角三角形的主要根据之一，它在理论上有重要的地位，在实际中有很大的用途，因而这节课的教学就显得相当重要。本节课的重点是勾股定理的探索和应用，难点是勾股定理的探索。为了突出重点、突破难点，结合学生认知能力，在教学时充分利用实物、模型、课件，让学生自己探索直角三角形三边之间的数量关系并验证猜想。体现了启发学生独立分析问题、解决问题、总结规律、验证猜想的教学方法。
二、教学片段：
（一） 实际问题引入，创设情景：
陈亮买了一块长3m，宽2.2m的薄木板，不知该怎样把木板从门框拿进去？
（陈亮家的门框如图所示）
师：看到这个问题让我想起古代一个笑话，说古代有一个人拿一根杆子进城，
横着拿，不能进，竖着拿，也不能进，干脆将其折断，才解决了问题。 2m
大家会这样做吗？
生众：不会，这种做法太笨了。
评析：我略带夸张的语气表述，并用竹棒加以演示，学生笑声一片， 1m
有知道这个故事的，抢在我的前面说，学生欣欣然，课堂气氛比较轻松。
师：这里木板横着不能进，竖着不能进，那该怎么办呢？
生1：将木板斜着顺进去。
师：怎样斜着拿进去？你能给大家演示一下吗？
评析：利用实物边讲边演示，给学生直观、形象的感觉，有助于学生理解。
师：若将薄木板斜着顺进去，那应该比较什么？
生1：这是一块薄木板，比较AC的长度，是否大于木板的宽度2.2就可以了。
师：这位同学实践知识较丰富，说的很好。现在已知木板的宽度和高度，如何求出AC的长度呢？它们之间存在怎样的关系呢？下面我们共同来探索。
评析：利用学生身边熟悉的事物创设问题情境，可以激发学生浓厚的学习兴趣和学习欲望，使学生思维更加活跃地投入到下一步的学习中去。问题情境设计有利于培养学生在实际生活中发现问题的能力，并从中找到新知识的生长点，明确知识的探究方向。
（二）、定理探索过程：
师：（出示课件）请大家观察图1，你能计算三个正方形的面积吗？
（假设一个小方格为一个单位面积）
生：SA=1，SB=1，Sc=2。
师：大家猜想它们之间有何关系呢？ 图1
生：SA+SB=SC
评析：用旧知去验证新知，新知使旧知得到升华，升华了的旧知又进一步巩固了新知。这就是旧知与新知最完美的结合，也就是我们平常所说的，找到了学生的最近发展区。
师：这位同学善于归纳小结，平时的学习中需要锻炼这种能力。此时两个小正方形的边长相等，假若边长不相等时呢？
师：（出示课件）请大家观察图2，，你能计算三个正方形的面积吗？
（假设一个小方格为一个单位面积）
生：S1=16，S2=9。但S3我不会求。
师：S3直接求有点困难，让我们发挥集体的力量。
（前后四位同学为一小组，共同讨论，给学生一定的
讨论时间）
评析：在这一环节中，通过小组合作，充分发挥了学生的
主动性与积极性，也培养了学生的合作意识；同时，使学生感受到成功的快乐。
生1：通过数小方格的格数，能求出S3=25。
生2：把这个正方形分成几个直角三角形，再求面积。
师：你能具体分割吗？（结合具体模型讲解方法）
（学生分析后，教师利用模型讲解具体的分割方法，并出示分割后的图形，请学生求出正方形的面积。）
生3：可以利用外面大的正方形面积减去角落的四个直角三角形的面积。
（结合模型具体给大家说明）
评析：利用模型具体的讲解方法，使图形形象、直观，便于学生进行观察分析，掌握新方法。从而培养学生观察、归纳的能力，体会数形结合的思想。
师：这些同学观察仔细，思维敏捷，所讲的方法都很好，应用他们的方法我们能求得S3=25。你能猜出S1、S2、S3之间的关系吗？
生：S1+S2=S3
师：你能用直角三角形的三边表示正方形的面积吗？结合上面的结论直角三角形的三边满足怎样的关系？
生：AC2+BC2=AB2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
师：是否所有的直角三角形三边都满足这样的关系呢，下面大家通过作图验证一下。在白纸上画两直角边分别为5cm，12cm的直角三角形，测量斜边的长度，计算三边是否符合你发现的规律呢？（给学生一定的作图、交流的时间）
评析：让每个学生都参与探索，引导他们通过作图、计算，发现直角三角形三边之间的关系，验证猜想。本环节的设计旨在了解定理的发现过程，培养学生的观察、归纳的能力。
师：当三边长为小数时，是否满足上面的规律？（观察几何画板的课件演示）。
评析：利用《几何画板》动态显示的优越条件，提供足够充分的典型材料——大小、位置发生变化的各种直角三角形，让学生观察分析、归纳概括，探索出直角三角形三边之间的关系，体现了启发学生独立分析问题、发现问题、总结规律的教学方法。《几何画板》不仅是教师教学的辅助工具，也是学生参与探究活动的工具。
师：通过上面的探索可以得出结论：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（即勾股定理）。
三、教学反思：
1、 突出了数学课堂教学中的探索性。本教学案例，通过实物、模型，采取让学生动手 画一画、量一量的方式，使学生通过对直观图形的观察归纳和猜想，自己去发现结论，并用命题的形式表述结论。这种探索性的数学教学方式在其后的例题讲解中亦得到了进一步的贯彻，这样既调动了学生学习数学的积极性和主动性，增强了学生参与数学活动的意识，又培养了学生的动手实践能力、观察能力、归纳能力和自学能力。同时，也向学生渗透了观察——思考——类比——猜想——验证的教学思想。体现了启发学生独立分析问题、解决问题、总结规律、验证猜想的教学方法。
2、引进了计算机（《几何画板》）技术。在学生通过作图验证猜想时，通过使用《几何画板》，从而实现了当直角三角形三边取不同值时，三边始终满足关系式，从而使初中平面几何教学发生了重大的变化，那就是让图形出来说话，充分调动学生的直觉思维，这样一来一方面，使数学不再是一门单调枯燥，缺乏直观印象的高度抽象的学科，通过提供生动活泼的直观演示，让学生多角度，快节奏地去认识教学内容，达到事半功倍的教学效果；另一方面，计算机所特有的，对数学活动过程的展示，对数学细节问题的处理可以使学生体验到用运动的观点来研究图形的思想，让学生充分感受到解决问题带来的愉悦，培养学生的数学创新意识，不仅极大地激发了学生学习的兴趣，而且比过去的教学更能够使学生深刻地理解几何。当然，本教学案例在这方面的探索还是初步的，有待于今后进一步完善。
3、 学生的学习方式被确定为“发现学习”。“发现学习”则是由学习者自己发现问题和解决问题的一种学习方式，在课堂教学中主要是指发现学习，尽管发现学习效率比较低，但却十分有利于培养学生发现与创新的意识，鉴于初中学生的身心与教学内容特点，发现学习应是培养创新意识的初中数学课堂教学中学生学习的主要方式。本教学案例中学生的学被确定为发现学习，那么教师的教学行为就应根据学生的这一学习特点来设计相应的教学方法以及教学的组织形式。即教师在指导学生学习概念和原理时，只给他们一些事实和问题，让学生积极思考、独立探索、共同讨论，发现并掌握相应的方法。在求正方形的面积、直角三角形三边关系等均没有直接给学生，而是在教师创设的问题情境中让学生发现、交流而获得。在经历了观察、分析、推测、计算、验证的过程中，使学生思维能力得到了发展，在自主合作探究的学习过程中，尝到了探索的乐趣，体验了成功的喜悦，并获得了战胜困难积极向上的心理体验。
4、不足之处：如何把握问题的“收”与“放”，学生问题的提出不会一模一样，如何在课堂中应对学生的问题，控制教学节奏，完成教学进度，需要深入的探究。而如何引导学生提出问题更是探究的关键。
A
D
B
C
C
B
A
3
2
1
1
2
3
-----------勾股定理(一)教学案例
一、背景：
本节课是学区优质课评选时所上的一课，内容是勾股定理的探索。 勾股定理是平面几何中的一个重要定理。它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，把“形”的特征——三角形中一个角是直角，转化成数量关系——三边之间满足a2+b2=c2，利用它可以解决直角三角形中的许多计算问题，是解直角三角形的主要根据之一，它在理论上有重要的地位，在实际中有很大的用途，因而这节课的教学就显得相当重要。本节课的重点是勾股定理的探索和应用，难点是勾股定理的探索。为了突出重点、突破难点，结合学生认知能力，在教学时充分利用实物、模型、课件，让学生自己探索直角三角形三边之间的数量关系并验证猜想。体现了启发学生独立分析问题、解决问题、总结规律、验证猜想的教学方法。
二、教学片段：
（一） 实际问题引入，创设情景：
陈亮买了一块长3m，宽2.2m的薄木板，不知该怎样把木板从门框拿进去？
（陈亮家的门框如图所示）
师：看到这个问题让我想起古代一个笑话，说古代有一个人拿一根杆子进城，
横着拿，不能进，竖着拿，也不能进，干脆将其折断，才解决了问题。 2m
大家会这样做吗？
生众：不会，这种做法太笨了。
评析：我略带夸张的语气表述，并用竹棒加以演示，学生笑声一片， 1m
有知道这个故事的，抢在我的前面说，学生欣欣然，课堂气氛比较轻松。
师：这里木板横着不能进，竖着不能进，那该怎么办呢？
生1：将木板斜着顺进去。
师：怎样斜着拿进去？你能给大家演示一下吗？
评析：利用实物边讲边演示，给学生直观、形象的感觉，有助于学生理解。
师：若将薄木板斜着顺进去，那应该比较什么？
生1：这是一块薄木板，比较AC的长度，是否大于木板的宽度2.2就可以了。
师：这位同学实践知识较丰富，说的很好。现在已知木板的宽度和高度，如何求出AC的长度呢？它们之间存在怎样的关系呢？下面我们共同来探索。
评析：利用学生身边熟悉的事物创设问题情境，可以激发学生浓厚的学习兴趣和学习欲望，使学生思维更加活跃地投入到下一步的学习中去。问题情境设计有利于培养学生在实际生活中发现问题的能力，并从中找到新知识的生长点，明确知识的探究方向。
（二）、定理探索过程：
师：（出示课件）请大家观察图1，你能计算三个正方形的面积吗？
（假设一个小方格为一个单位面积）
生：SA=1，SB=1，Sc=2。
师：大家猜想它们之间有何关系呢？ 图1
生：SA+SB=SC
评析：用旧知去验证新知，新知使旧知得到升华，升华了的旧知又进一步巩固了新知。这就是旧知与新知最完美的结合，也就是我们平常所说的，找到了学生的最近发展区。
师：这位同学善于归纳小结，平时的学习中需要锻炼这种能力。此时两个小正方形的边长相等，假若边长不相等时呢？
师：（出示课件）请大家观察图2，，你能计算三个正方形的面积吗？
（假设一个小方格为一个单位面积）
生：S1=16，S2=9。但S3我不会求。
师：S3直接求有点困难，让我们发挥集体的力量。
（前后四位同学为一小组，共同讨论，给学生一定的
讨论时间）
评析：在这一环节中，通过小组合作，充分发挥了学生的
主动性与积极性，也培养了学生的合作意识；同时，使学生感受到成功的快乐。
生1：通过数小方格的格数，能求出S3=25。
生2：把这个正方形分成几个直角三角形，再求面积。
师：你能具体分割吗？（结合具体模型讲解方法）
（学生分析后，教师利用模型讲解具体的分割方法，并出示分割后的图形，请学生求出正方形的面积。）
生3：可以利用外面大的正方形面积减去角落的四个直角三角形的面积。
（结合模型具体给大家说明）
评析：利用模型具体的讲解方法，使图形形象、直观，便于学生进行观察分析，掌握新方法。从而培养学生观察、归纳的能力，体会数形结合的思想。
师：这些同学观察仔细，思维敏捷，所讲的方法都很好，应用他们的方法我们能求得S3=25。你能猜出S1、S2、S3之间的关系吗？
生：S1+S2=S3
师：你能用直角三角形的三边表示正方形的面积吗？结合上面的结论直角三角形的三边满足怎样的关系？
生：AC2+BC2=AB2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
师：是否所有的直角三角形三边都满足这样的关系呢，下面大家通过作图验证一下。在白纸上画两直角边分别为5cm，12cm的直角三角形，测量斜边的长度，计算三边是否符合你发现的规律呢？（给学生一定的作图、交流的时间）
评析：让每个学生都参与探索，引导他们通过作图、计算，发现直角三角形三边之间的关系，验证猜想。本环节的设计旨在了解定理的发现过程，培养学生的观察、归纳的能力。
师：当三边长为小数时，是否满足上面的规律？（观察几何画板的课件演示）。
评析：利用《几何画板》动态显示的优越条件，提供足够充分的典型材料——大小、位置发生变化的各种直角三角形，让学生观察分析、归纳概括，探索出直角三角形三边之间的关系，体现了启发学生独立分析问题、发现问题、总结规律的教学方法。《几何画板》不仅是教师教学的辅助工具，也是学生参与探究活动的工具。
师：通过上面的探索可以得出结论：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（即勾股定理）。
三、教学反思：
1、 突出了数学课堂教学中的探索性。本教学案例，通过实物、模型，采取让学生动手 画一画、量一量的方式，使学生通过对直观图形的观察归纳和猜想，自己去发现结论，并用命题的形式表述结论。这种探索性的数学教学方式在其后的例题讲解中亦得到了进一步的贯彻，这样既调动了学生学习数学的积极性和主动性，增强了学生参与数学活动的意识，又培养了学生的动手实践能力、观察能力、归纳能力和自学能力。同时，也向学生渗透了观察——思考——类比——猜想——验证的教学思想。体现了启发学生独立分析问题、解决问题、总结规律、验证猜想的教学方法。
2、引进了计算机（《几何画板》）技术。在学生通过作图验证猜想时，通过使用《几何画板》，从而实现了当直角三角形三边取不同值时，三边始终满足关系式，从而使初中平面几何教学发生了重大的变化，那就是让图形出来说话，充分调动学生的直觉思维，这样一来一方面，使数学不再是一门单调枯燥，缺乏直观印象的高度抽象的学科，通过提供生动活泼的直观演示，让学生多角度，快节奏地去认识教学内容，达到事半功倍的教学效果；另一方面，计算机所特有的，对数学活动过程的展示，对数学细节问题的处理可以使学生体验到用运动的观点来研究图形的思想，让学生充分感受到解决问题带来的愉悦，培养学生的数学创新意识，不仅极大地激发了学生学习的兴趣，而且比过去的教学更能够使学生深刻地理解几何。当然，本教学案例在这方面的探索还是初步的，有待于今后进一步完善。
3、 学生的学习方式被确定为“发现学习”。“发现学习”则是由学习者自己发现问题和解决问题的一种学习方式，在课堂教学中主要是指发现学习，尽管发现学习效率比较低，但却十分有利于培养学生发现与创新的意识，鉴于初中学生的身心与教学内容特点，发现学习应是培养创新意识的初中数学课堂教学中学生学习的主要方式。本教学案例中学生的学被确定为发现学习，那么教师的教学行为就应根据学生的这一学习特点来设计相应的教学方法以及教学的组织形式。即教师在指导学生学习概念和原理时，只给他们一些事实和问题，让学生积极思考、独立探索、共同讨论，发现并掌握相应的方法。在求正方形的面积、直角三角形三边关系等均没有直接给学生，而是在教师创设的问题情境中让学生发现、交流而获得。在经历了观察、分析、推测、计算、验证的过程中，使学生思维能力得到了发展，在自主合作探究的学习过程中，尝到了探索的乐趣，体验了成功的喜悦，并获得了战胜困难积极向上的心理体验。
4、不足之处：如何把握问题的“收”与“放”，学生问题的提出不会一模一样，如何在课堂中应对学生的问题，控制教学节奏，完成教学进度，需要深入的探究。而如何引导学生提出问题更是探究的关键。
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