安徽省滁州市定远县范岗初级中学2022-2023学年七年级（下）数学期中测试卷（含解析）

2023年七年级（下）数学期中测试卷
(120分钟 150分)
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 的平方根为( )
A. B. C. D.
2. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
3. 下列说法：无理数包含正无理数、零、负无理数；的算术平方根为；为最简二次根式；实数和数轴上的点是一一对应的；一定有平方根，其中正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4. 下列选项中，经过变形一定能得到的是( )
A. B. C. D.
5. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
6. 若，，则的结果是( )
A. B. C. D.
7. 如图所示的是颗大小相同的玻璃球将玻璃球全部放入一个容积为，且装有水的烧杯中如图，此时水不可能溢出，设每颗玻璃球的体积为，根据题意可列不等式为( )
A. B. C. D.
8. 关于的不等式组有且仅有个整数解，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
9. 如图，长方形的周长为，面积为，那么从正方形中剪去两个长方形后得到的阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
10. 某学校为了开展好课后服务，计划用不超过元的资金购买足球，篮球和排球，将它们用于球类兴趣班已知足球，篮球，排球的售价分别为元，元，元，且根据参加球类兴趣班的学生总数了解到以下两项信息：篮球的数量必须比足球的数量多；排球数量必须是足球数量的倍则学校最多能购买足球( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11. 席卷全世界的新型冠状病毒是个肉眼看不见的小个子，它的身高直径约为米，将数用科学记数法表示为 ．
12. 已知是面积为的正方形的边长，则代数式的值为 ．
13. 材料一：对于一个三位正整数，若百位数字与个位数字之和减去十位数字的差为，则称这个三位数为“尚美数”，例如：，因为，所以是“尚美数”；材料二：若，且，，均为整数，记已知，是两个不同的“尚美数且，，，均为整数，且能被整除，则的值为 ．
14. 已知，那么 ．
三、解答题（本大题共9小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 分
计算：．
16. 分
解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
17. 分
已知：和是某正数的两个不相等的平方根，的立方根为．
求、的值；
求的算术平方根．
18. 分
身体质量指数的计算公式：，这里为体重单位：，为身高单位：，男性的身体质量指数正常范围是计算结果保留位小数
如果一位男体育老师的身高为，体重为，请计算说明他的是否正常？
一位成年男同学的身高为，且他的正常，请求出他的体重范围．
19. 分
我们规定：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数．
例如：，；，
计算： ， ．
若，满足题意的所有整数的和为 ．
若，，求的平方根．
20. 本小题分
小明使用比较简便的方法完成了一道作业题，如框：
小明的作业
计算：．
解：．
请你参考小明的方法解答下列问题．
计算：
；
．
21. 分
李老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律，请你结合这些算式解答下列问题．
请观察以下算式：
；
；
；
请结合上达三个算式的规律，写出第个算式： ；
设两个连续奇数为，其中为正整数、写出它们的平方差，并说明结果是的倍数．
求证：任意三个连续的奇数中，最大的数与最小的数的平方差是的倍数．
22. 分
已知甲、乙两个长方形纸片，其边长如图中所示，面积分别为和．
用含的代数式表示 ， ．
填空： ““““或““
若一个正方形纸片的周长与乙的周长相等、其面积设为．
该正方形的边长是 用含的代数式表示；
与的差是否为定值？如果不是，请说明你的理由；如果是，请求出定值．
23. 分
列方程组及不等式解应用题
春节期间，共商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品件和乙商品件共需元；购进甲商品件和乙商品件共需元．
求用、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
商场决定以每件元出售，乙商品以每件元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，的平方根是，
的平方根是，
故选：．
先化简，再根据平方根的定义得到答案．
此题考查了算术平方根的化简，求一个数的平方根，熟记化简算术平方根及平方根的定义是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：根据图示，可得：，，
，
选项A不符合题意；
，，
，
选项B不符合题意；
，
，
又，
，
选项C不符合题意；
，
，
又，
，
选项D符合题意．
故选：．
根据图示，可得：，，据此逐项判断即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
3.【答案】
【解析】解：无理数包含正无理数和负无理数，故不正确；
的算术平方根为，故正确；
，故不正确；
实数和数轴上的点是一一对应的，故正确；
不一定有平方根，故不正确；
所以，上列说法其中正确的有个，
故选：．
根据最简二次根式，平方根，无理数，实数与数轴的意义，逐一判断即可解答．
本题考查了最简二次根式，平方根，无理数，实数与数轴，熟练掌这些数学概念是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：由，得，故本选项不符合题意；
B.当时，由，得，故本选项不符合题意；
C.由，得，故本选项符合题意；
D.由，得，故本选项不符合题意．
故选：．
利用不等式的性质解答即可．
本题主要考查了不等式的性质．解不等式依据不等式的性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．特别是在系数化为这一个过程中要注意不等号的方向的变化．
5.【答案】
【解析】解：、，计算错误，故选项不符合题意；
B、，计算错误，故选项不符合题意；
C、，计算错误，故选项不符合题意；
D、，计算正确，故选项符合题意．
故选：．
根据同底数幂除法、零指数幂、负整数指数幂的运算法则以及完全平方公式分别计算分析，作出判断即可．
本题考查了同底数幂除法、零指数幂、负整数指数幂的运算法则以及完全平方公式，解题的关键是熟记相关的运算法则并灵活运用．
6.【答案】
【解析】解：
．
当，时，
原式
．
故选：．
先逆用同底数幂的除法法则，再逆用幂的乘方法则变形要求值式子，最后代入求值．
本题主要考查了幂的运算，掌握同底数幂的除法法则、幂的乘方法则是解决本题的关键．
7.【答案】
【解析】解：水的体积为，四颗相同的玻璃球的体积为，
根据题意得到：．
故选：．
水的体积个玻璃球的体积．
本题考查的是由实际问题抽象出一元一次不等式，解此类题目的关键是读懂图意．
8.【答案】
【解析】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
所以不等式组的解集是，
关于的不等式组有且仅有个整数解是，，，，，
，
故选：．
先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据不等式有且仅有个整数解得出答案即可．
本题考查了解一元一次不等式组，能得出关于的不等式是解此题的关键．
9.【答案】
【解析】解：设长方形的长为，宽为，则，，
该正方形的边长为，
从正方形中剪去两个长方形后得到的阴影部分的面积为
．
故选：．
设长方形的长为，宽为，则，，由题意得从正方形中剪去两个长方形后得到的阴影部分的面积为．
此题考查了数形结合解决数学问题的能力，关键是能根据图形找出相关数量关系进行列式计算．
10.【答案】
【解析】解：设足球个，则篮球个，排球个，
由题意可得：，
解得：，
为正整数，
最大取．
故选：．
设足球个，则篮球个，排球个，由用不超过元的资金购买足球、篮球和排球，列出不等式，即可求解．
本题考查了一元一次不等式的应用，找出正确的不等关系是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
12.【答案】
【解析】解：原式
；
是面积为的正方形边长，
，
原式
，
故答案为：．
先利用乘法公式展开，然后合并即可，根据正方形的面积公式得到，然后把的值代入化简的式子里计算即可．
本题考查了完全平方公式：熟练掌握完全平方公式是解决此类问题的关键；完全平方公式为．
13.【答案】，，
【解析】解：，是两个不同的“尚美数，
，
得，即，
，
，，
．
能被整除，
，，其中．
当时，即，
当时，；
时，不符，
，，．
由，得，
，
当时，；，
由，得．
，，
，是两个不同的“尚美数”，
舍去，
当时，即，
，
，
，，．
当，，，不符，
当，，，，
，
当，，，，
，
当时，即时，
，
．
，
．
当，，，不合题意，
当，，，不合题意，
综上所述，，，．
故答案为：，，．
，是两个不同的“尚美数，可得方程组；再根据列代数式，最后根据能被整除进行分类讨论，即可得答案．
本题考查了因式分解的运用、二元一次方程组的应用，新定义、数的整除、实数的运算等知识，掌握分类讨论是解题的关键
14.【答案】
【解析】【解析】解：，
，
，
，
．
故答案是：．
根据完全平方公式将转化为：，再利用绝对值和偶数次幂的非负性，求出，的值，进而即可求解．
本题主要考查代数式求值，完全平方公式，掌握绝对值和偶数次幂的非负性，是解题的关键．
15.【答案】解：
．
【解析】先算开方和零次幂，再算除法，最后算加减．
本题考查了实数的混合运算，掌握实数的运算法则和运算顺序、二次根式的性质、零次幂的意义是解决本题的关键．
16.【答案】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
所以不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
．
【解析】先求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据求出不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键．
17.【答案】解：由题意可知：，
，
，
的立方根为
，
；
由可知：，，
，
的算术平方根是．
【解析】根据平方根与立方根的定义即可求出答案．
根据算术平方根的定义即可求出答案．
本题考查平方根与立方根，解题的关键是熟练运用平方根与立方根的定义，本题属于基础题型．
18.【答案】解：，
，
他的不正常；
男性的身体质量指数正常范围是，
，
，
他的体重范围是．
【解析】根据的计算公式求解即可；
根据，可得，根据他的正常，可得体重的取值范围．
本题考查了一元一次不等式组的应用，理解给定的公式是解题的关键．
19.【答案】
【解析】解：由题意可知：；；
故答案为：；；
由题意可知：，且为整数，
或或，
满足题意的所有整数的和为；
故答案为：；
，，
，，
，
，
的平方根为．
根据题意即可解决问题；
由题意可得，且为整数，所以或或，进而可以解决问题；
根据题意可得，，所以，，得，然后根据平方根的定义即可解决问题．
本题考查了估算无理数大小，解决本题的关键是掌握平方根定义．
20.【答案】解：
；
．
【解析】根据积的乘方的逆运用进行变形，再求出答案即可；
根据积的乘方的逆运用进行变形，再求出答案即可．
本题考查了积的乘方的逆应用，能熟记是解此题的关键．
21.【答案】
【解析】解：第个算式为：；
故答案为：；
设两个连续奇数为 ，其中为正整数，
则．
故两个连续奇数的平方差是 的倍数；
设三个连续奇数为 ，，其中为正整数，
，
任意三个连续的奇数中，最大的数与最小的数的平方差是的倍数．
仿照已知等式确定出第四个算式即可；
列出两个连续奇数的平方差，分解后即可作出判断；
任意三个连续的奇数中，列出最大的数与最小的数的平方差，分解后即可作出判断．
此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
22.【答案】
【解析】解：由题意可知：
，
，
，
，
，
，
故答案为：，，；
由题意可知乙的周长为，
正方形纸片的周长与乙的周长相等，
正方形纸片的周长为，
正方形纸片边长为，
故答案为：；
与的差是定值，理由如下：
正方形纸片边长为，
，
，
，
与的差是定值，值为．
先根据长方形面积公式列出式子，再根据多项式乘多项式法则即可求解；
先求出乙的周长，再根据正方形纸片的周长与乙长方形的周长相等即可求出正方形的边长和面积，最后列出的式子然后进行化简即可求解．
本题主要考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式法则是解题的关键，多项式乘多项式的法则是先用多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
23.【答案】解：设甲种商品每件的进价为元，乙种商品每件的进价为元，
依题意得：，
解得：，
答：甲种商品每件的进价为元，乙种商品每件的进价为元；
设该商场购进甲种商品件，则购进乙种商品件，
由已知得：，
解得：．
设卖完甲、乙两种商品商场的利润为，
则，
当时，取最大值，最大利润为元．
故该商场获利最大的进货方案为甲商品购进件、乙商品购件，最大利润为元．
【解析】设甲种商品每件的进价为元，乙种商品每件的进价为元，根据“购进甲商品件和乙商品件共需元；购进甲商品件和乙商品件共需元”可列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出两种商品的单价；
设该商场购进甲种商品件，则购进乙种商品件，根据“甲种商品的数量不少于乙种商品数量的倍”可列出关于的一元一次不等式，解不等式可得出的取值范围，再设卖完甲、乙两种商品商场的利润为，根据“总利润甲商品单个利润数量乙商品单个利润数量”即可得出关于的一次函数关系上，根据一次函数的性质结合的取值范围即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用以及解一元一次不等式，解题的关键是：根据数量关系列出关于、的二元一次方程组；根据数量关系找出关于的函数关系式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程方程组、不等式或函数关系式是关键．
[键入文字]