二十三 向量的概念
基础练习
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.下列说法正确的是 ( )
A.身高是一个向量
B.∠AOB的两条边都是向量
C.温度含零上和零下温度,所以温度是向量
D.物理学中的加速度是向量
解析:选D.只有D物理学中的加速度既有大小又有方向是向量,正确.ABC错误.
2.一个人先向东行进了5千米,而后又向西行进了3千米,那么这个人总共 ( )
A.向东行进了8千米
B.向东行进了2千米
C.向东行进了5千米
D.向西行进了3千米
解析:选B.记向东方向为正,则向东行进了5千米为+5千米,向西行进了3千米为-3千米,则+5+(-3)=+2,表示向东行进了2千米.
【补偿训练】
如图,在矩形ABCD中,可以用一条有向线段表示的向量是 ( )
A.和 B.和
C.和 D.和
解析:选B.和方向相同且大小相等,是相等向量,故可以用一条有向线段表示.
3.设M是等边三角形ABC的中心,则,,是 ( )
A.有相同起点的向量
B.相等的向量
C.模相等的向量
D.平行向量
解析:选C.由正三角形的性质知, |MA|=|MB|=|MC|.所以||=||=||.
【补偿训练】
如图,点O是正六边形ABCDEF的中心,则以图中点A,B,C,D,E,F,O中的任意一点为起点,与起点不同的另一点为终点的所有向量中,与向量共线的向量个数有 ( )
A.2个 B.3个 C.6个 D.9个
解析:选D.与向量共线的向量有, ,,,,,,,,共9个.
4.设a,b为非零向量,则“a∥b”是“a与b方向相同”的 ( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:选B.因为a,b为非零向量,所以a∥b时,a与b方向相同或相反,因此“a∥b”是“a与b方向相同”的必要而不充分条件.
5.已知在边长为2的菱形ABCD中,∠ABC=60°,则||= ( )
A.1 B. C.2 D.2
解析:选D.易知AC⊥BD,且∠ABD=30°,设AC与BD交于点O,则AO=AC=AB=1.在Rt△ABO中,易得||=,则||=2||=2.
二、填空题(每小题5分,共10分)
6.如图,已知正方形ABCD的边长为2,O为其中心,则||= .
解析:因为正方形的对角线长为2,所以||=.
答案:
【补偿训练】
如果在一个边长为5的正△ABC中,一个向量所对应的有向线段为(其中D在边BC上运动),则向量长度的最小值为 .
解析:结合图形进行判断求解(图略),根据题意,在正△ABC中,有向线段AD长度最小时,线段AD应与边BC垂直,有向线段AD长度的最小值为正△ABC的高,为.
答案:
7.图中,小正方形的边长为1,则||= ,||= ,||= .
解析:由题意可知||==3.
||==.
||==2.
答案:3 2
【补偿训练】
如图,四边形ABCD为正方形,△BCE为等腰直角三角形,那么以图中各点为起点或终点的向量中:
(1)与共线的向量有 .
(2)与相等的向量有 .
(3)与的模相等的向量有 .
解析:(1)与已知向量在同一直线上或平行的向量都是它的共线向量,根据题意,与共线的向量有, ,,,,,.
(2)与已知向量相等的向量与已知向量方向相同、长度相等,于是与相等的向量有,.
(3)向量的模相等,只需长度相等,与方向无关,根据正方形和等腰直角三角形的性质,可知与的模相等的向量有,,,,,,,,.
答案:(1) ,,,,,,
(2) ,
(3),,,,,,,,
三、解答题
8.(10分)如图是4×3的矩形(每个小方格的边长都是1),在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中,(1)与向量平行且模为的向量共有几个 (2)与向量方向相同且模为3的向量共有几个
解析:(1)依题意,每个小方格的两条对角线中,有一条对角线对应的向量及其相反向量都和平行且模为.
因为共有12个小方格,所以满足条件的向量共有24个.
(2)易知与向量方向相同且模为3的向量共有2个.
【补偿训练】
1.如图所示方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成,方格纸中有两个定点A,B,点C为小正方形的顶点,且||=.
(1)画出所有的向量.
(2)求||的最大值与最小值.
解析:(1)画出所有的向量,如图所示.
(2)由(1)所画的图知,
①当点C位于点C1或C2时,||取得最小值=;
②当点C位于点C5或C6时,||取得最大值=.所以||的最大值为,最小值为.
2.某人从A点出发向东走了5米到达B点,然后改变方向沿东北方向走了10 米到达C点,到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点.
(1)作出向量,,;
(2)求 的模.
解析:(1)作出向量,,,如图所示:
(2)由题意得,△BCD是直角三角形,其中∠BDC=90°,BC=10 米,CD=10米,所以BD=10米.△ABD是直角三角形,其中∠ABD=90°,AB=5米,BD=10米,所以AD==5(米),
所以=5米.
3.如图已知函数y=x的图象l与直线m平行,A0,-,B(x,y)是m上的点.求
(1)x,y为何值时,=0.
(2)x,y为何值时,为单位向量.
解析:(1)要使=0,当且仅当点A与点B重合,于是
(2)如图,要使得是单位向量,必须且只需||=1.
由已知,l∥m且点A的坐标是0,-,所以B1点的坐标是,0.在Rt△AOB1中,有| |2=||2+||2=2+2=1,即||=1.所以向量是单位向量.
同理可得,当B2的坐标是-,-时,向量也是单位向量.
综上有,当或时,向量是单位向量.二十三 向量的概念
基础练习
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.下列说法正确的是 ( )
A.身高是一个向量
B.∠AOB的两条边都是向量
C.温度含零上和零下温度,所以温度是向量
D.物理学中的加速度是向量
2.一个人先向东行进了5千米,而后又向西行进了3千米,那么这个人总共 ( )
A.向东行进了8千米
B.向东行进了2千米
C.向东行进了5千米
D.向西行进了3千米
【补偿训练】
如图,在矩形ABCD中,可以用一条有向线段表示的向量是 ( )
A.和 B.和
C.和 D.和
3.设M是等边三角形ABC的中心,则,,是 ( )
A.有相同起点的向量
B.相等的向量
C.模相等的向量
D.平行向量
【补偿训练】
如图,点O是正六边形ABCDEF的中心,则以图中点A,B,C,D,E,F,O中的任意一点为起点,与起点不同的另一点为终点的所有向量中,与向量共线的向量个数有 ( )
A.2个 B.3个 C.6个 D.9个
4.设a,b为非零向量,则“a∥b”是“a与b方向相同”的 ( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
5.已知在边长为2的菱形ABCD中,∠ABC=60°,则||= ( )
A.1 B. C.2 D.2
二、填空题(每小题5分,共10分)
6.如图,已知正方形ABCD的边长为2,O为其中心,则||= .
【补偿训练】
如果在一个边长为5的正△ABC中,一个向量所对应的有向线段为(其中D在边BC上运动),则向量长度的最小值为 .
7.图中,小正方形的边长为1,则||= ,||= ,||= .
【补偿训练】
如图,四边形ABCD为正方形,△BCE为等腰直角三角形,那么以图中各点为起点或终点的向量中:
(1)与共线的向量有 .
(2)与相等的向量有 .
(3)与的模相等的向量有 .
三、解答题
8.(10分)如图是4×3的矩形(每个小方格的边长都是1),在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中,(1)与向量平行且模为的向量共有几个 (2)与向量方向相同且模为3的向量共有几个
【补偿训练】
1.如图所示方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成,方格纸中有两个定点A,B,点C为小正方形的顶点,且||=.
(1)画出所有的向量.
(2)求||的最大值与最小值.
2.某人从A点出发向东走了5米到达B点,然后改变方向沿东北方向走了10 米到达C点,到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点.
(1)作出向量,,;
(2)求 的模.
3.如图已知函数y=x的图象l与直线m平行,A0,-,B(x,y)是m上的点.求
(1)x,y为何值时,=0.
(2)x,y为何值时,为单位向量.
