二十四 向量的加法
基础练习
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.化简++等于 ( )
A. B. C.0 D.
解析:选D.因为++=+=.
2.下列命题中正确的个数为 ( )
(1)如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么(a+b)∥a.
(2)在平行四边形ABCD中,必有=.
(3)若=,则A,B,C,D为平行四边形的四个顶点.
(4)若a,b均为非零向量,则|a+b|≤|a|+|b|.
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:选D.(1)正确.(2)在平行四边形ABCD中,BC∥AD,且BC=AD,所以=,正确;(3)A,B,C,D可能共线,所以错误;(4)为向量的三角不等式,所以正确.
3.如图所示的方格中有定点O,P,Q,E,F ,G,H,则+= ( )
A. B. C. D.
解析:选C.设a=+,以OP,OQ为邻边作平行四边形,则夹在OP,OQ之间的对角线对应的向量即为向量a=+,则a与长度相等,方向相同,所以a=.
4.(多选题)如图,在平行四边形ABCD中,下列计算正确的是 ( )
A.+=
B.++=
C.++=
D.++=0
解析:选ACD.由向量加法的平行四边形法则可知+=,故A正确;
++=+=≠,故B不正确;
++=+=,故C正确;
++=++=+=0,故D正确.
【补偿训练】
1.下列结论中,正确结论的个数为 ( )
①如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么a+b的方向必与a,b之一的方向相同;②在△ABC中,必有++=0;③若++=0,则A,B,C为一个三角形的三个顶点;④若a,b均为非零向量,则a+b的长度与a的长度加b的长度的和一定相等.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解析:选B.当a+b=0时,知①不正确;由向量加法的三角形法则知②正确;当A,B,C三点共线时知③不正确;当向量a与向量b方向不相同时|a+b|≠|a|+|b|,故④不正确.
2.(多选题)设a=(+)+(+),b是一个非零向量,则下列结论正确的有 ( )
A.a//b
B.a+b=a
C.a+b=b
D.<+
解析:选AC.由题意,向量a=(+)+(+)=+=0,且b是一个非零向量,所以a//b成立,所以A正确;
由a+b=b,所以B不正确,C正确;
由=,+=,
所以=+,所以D不正确.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.一条河的两岸平行,河水从西向东流去,一艘船从河的南岸某处出发驶向北岸.已知船的速度|v1|=20 km/h,水流速度|v2|=10 km/h,要使该船行驶的航程最短,则船速v1的方向与河的南岸上游的夹角为 .
解析:设船的实际速度为v,则v=v1+v2,记v1与v的夹角为θ,要使船行驶的航程最短,则v⊥v2,所以sin θ==,所以θ=30°,所以船速v1的方向与河的南岸上游的夹角为60°.
答案:60°
【补偿训练】
若P为△ABC的外心,且+=,则∠ACB= .
解析:因为+=,则四边形APBC是平行四边形.
又因为P为△ABC的外心,所以||=||=||.因此∠ACB=120°.
答案:120°
6.若a表示“向东走8 km”,b表示“向北走8 km”,则|a+b|= ,a+b的方向是 .
解析:如图所示,
作=a,=b,则a+b=+=.
所以|a+b|=||==8(km),因为∠AOB=45°,
所以a+b的方向是东北方向.
答案:8 km 东北方向
【补偿训练】
已知||=|a|=3,||=|b|=3,∠AOB=90°,则|a+b|= .
解析:因为||=||且∠AOB=90°,所以|a+b|为以OA,OB为邻边的正方形的对角线的长,所以|a+b|=3.
答案:3
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.设P1P2P3…P6是圆内接正六边形,O为圆心,试用向量求:=++…+.
解析:=(+)+(+)+(+)=0,所以=0.
8.在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O且||=||=1,+=+=0,cos∠DAB=.
求|+|与|+|.
解析:因为+=+=0,
所以=,=.
所以四边形ABCD是平行四边形.
又| |=||=1,
知四边形ABCD为菱形.
又cos∠DAB=,所以∠DAB=60°,
所以△ABD为正三角形.
所以|+|=| +|=||=2||=,|+|=||=| |=1.
【补偿训练】
如图,已知河水自西向东流,流速为|v0|=1 m/s,设某人在静水中游泳的速度为v1,在水中的实际速度为v2.
(1)若此人朝正南方向游去,且|v1|= m/s,求他实际前进方向与水流方向的夹角α和v2的大小;
(2)若此人实际前进方向与水流垂直,且v2=3 m/s,求他游泳的方向与水流方向的夹角β和v1的大小.
解析:设=v0,=v1,=v2,由题意可知v2=v0+v1,||=1,
根据向量加法的平行四边形法则得四边形OACB为平行四边形.
(1)当此人朝正南方向游去时,四边形OACB为矩形,且||=AC=,如图所示.
则在Rt△OAC中,
|v2|=OC==2,
tan α=tan∠AOC==,又0<α<90°,所以α=60°.故此人实际前进方向与水流方向的夹角为60°,v2的大小为2 m/s.
(2)由题意知∠OCB=90°,
且|v2|=||=,
BC=||=1,如图所示.
则在Rt△OCB中,
|v1|=OB==2.
tan∠BOC==,0<∠BOC<90°,
所以∠BOC=30°,则β=90°+30°=120°,故此人游泳的方向与水流方向的夹角β为120°,v1的大小为2 m/s.二十四 向量的加法
基础练习
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.化简++等于 ( )
A. B. C.0 D.
2.下列命题中正确的个数为 ( )
(1)如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么(a+b)∥a.
(2)在平行四边形ABCD中,必有=.
(3)若=,则A,B,C,D为平行四边形的四个顶点.
(4)若a,b均为非零向量,则|a+b|≤|a|+|b|.
A.0 B.1 C.2 D.3
3.如图所示的方格中有定点O,P,Q,E,F ,G,H,则+= ( )
A. B. C. D.
4.(多选题)如图,在平行四边形ABCD中,下列计算正确的是 ( )
A.+=
B.++=
C.++=
D.++=0
【补偿训练】
1.下列结论中,正确结论的个数为 ( )
①如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么a+b的方向必与a,b之一的方向相同;②在△ABC中,必有++=0;③若++=0,则A,B,C为一个三角形的三个顶点;④若a,b均为非零向量,则a+b的长度与a的长度加b的长度的和一定相等.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.(多选题)设a=(+)+(+),b是一个非零向量,则下列结论正确的有 ( )
A.a//b
B.a+b=a
C.a+b=b
D.<+
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.一条河的两岸平行,河水从西向东流去,一艘船从河的南岸某处出发驶向北岸.已知船的速度|v1|=20 km/h,水流速度|v2|=10 km/h,要使该船行驶的航程最短,则船速v1的方向与河的南岸上游的夹角为 .
【补偿训练】
若P为△ABC的外心,且+=,则∠ACB= .
6.若a表示“向东走8 km”,b表示“向北走8 km”,则|a+b|= ,a+b的方向是 .
【补偿训练】
已知||=|a|=3,||=|b|=3,∠AOB=90°,则|a+b|= .
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.设P1P2P3…P6是圆内接正六边形,O为圆心,试用向量求:=++…+.
8.在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O且||=||=1,+=+=0,cos∠DAB=.
求|+|与|+|.
【补偿训练】
如图,已知河水自西向东流,流速为|v0|=1 m/s,设某人在静水中游泳的速度为v1,在水中的实际速度为v2.
(1)若此人朝正南方向游去,且|v1|= m/s,求他实际前进方向与水流方向的夹角α和v2的大小;
(2)若此人实际前进方向与水流垂直,且v2=3 m/s,求他游泳的方向与水流方向的夹角β和v1的大小.
