二十六 数乘向量
基础练习
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.已知向量a,b,则下列各式中不表示向量的是 ( )
A.0·a
B.a+3b
C.|3a|
D.a(x,y∈R,且x≠y)
2.已知点P在线段AB上,=2,=且+λ=0,则λ= ( )
A. B. C.- D.-
3.设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论中正确的是 ( )
A.a与λa的方向相反
B.a与λ2a的方向相同
C.≥
D.≥·a
4.已知向量a,b满足:|a|=3,|b|=5,且a=λb,则实数λ= ( )
A. B. C.± D.±
5.下列说法中正确的是 ( )
A.λa与a的方向不是相同就是相反
B.若a,b共线,则b=λa
C.若=2,则b=±2a
D.若b=±2a,则=2
6.已知a,b是不共线向量,且=a+5b,=-2a+8b,=3(a-b),则 ( )
A.A,B,D三点共线
B.A,B,C三点共线
C.B,C,D三点共线
D.A,C,D三点共线
二、填空题(每小题5分,共10分)
7.若两个非零向量a与(2x-1)a方向相同,则x的取值范围为 .
【补偿训练】
已知|a|=6,b与a的方向相反,且|b|=3,a=mb,则实数m= .
8.已知=,若=λ,则λ等于 ;若=m,则m等于 .
三、解答题(每小题10分,共30分)
9.已知a,b是两个非零向量,判断下列各说法的真假,并说明理由.
(1)a的方向与a的方向相同,且a的模是a的模的倍;
(2)-3a的方向与6a的方向相反,且-3a的模是6a的模的;
(3)-4a与4a是一对相反向量;
(4)a-b与-(b-a)是一对相反向量;
(5)若a,b不共线,则0·a与b不共线.
10.已知点C在线段AB的延长线上,且=.
(1)用表示.
(2)用表示.
11.设O是△ABC内一点,且=a,=b,=c,若以线段OA,OB为邻边作平行四边形,其第四个顶点为D,再以OC,OD为邻边作平行四边形,其第四个顶点为H.试用a,b,c表示,,.
【补偿训练】
如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2CD,M,N分别是DC和AB的中点,若=a,=b,试用a,b表示和.
提升练习
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.已知线段PQ的中点为M,线段MQ的中点为N,则 ( )
A.= B.=
C.=- D.=3
2.中国的国旗和国徽上都有五角星,正五角星与黄金分割有着密切的联系,在如图所示的正五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,且PT=AP,则-= ( )
A. B.
C. D.
3.在△ABC中,已知D为AB边上一点,若=2,=+λ,则λ= ( )
A. B. C.- D.-
4.(多选题)如图所示,D是△ABC的边AB的中点,则向量= ( )
A.-+ B.--
C.- D.+
二、填空题(每小题5分,共20分)
5.点C在线段AB上,且=,则= .
6.已知点G为△ABC的重心,D为边BC的中点,则下列表达式正确的是 .
①= ②+=0
③=-2 ④=-
7.已知四边形ABCD中,=-3,对角线AC,BD相交于O,AC的中点为M,BD的中点为N,设=x,=y,则x= ,y= .
8.点C在线段AB上,且=,则= ,= .
三、解答题
9.(10分)已知平行四边形ABCD的两条对角线AC,BD交于E点,O是任意一点,如图所示.
求证:+++=4.二十六 数乘向量
基础练习
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.已知向量a,b,则下列各式中不表示向量的是 ( )
A.0·a
B.a+3b
C.|3a|
D.a(x,y∈R,且x≠y)
解析:选C.向量的数乘运算结果仍为向量,0·a=0,a+3b,a都是向量,显然只有|3a|不是向量.
2.已知点P在线段AB上,=2,=且+λ=0,则λ= ( )
A. B. C.- D.-
解析:选B.设=μ,因为点P在线段AB上,=2,=,所以μ<0,μ=-=-=-,所以=-.因为+λ=0,所以=-λ,所以λ=.
3.设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论中正确的是 ( )
A.a与λa的方向相反
B.a与λ2a的方向相同
C.≥
D.≥·a
解析:选B.对于A,当λ>0时,a与λa的方向相同,故A不正确;
λ2>0,故a与λ2a的方向相同,B正确;
对于C,=,由于|λ|的大小不确定,故与的大小关系不确定,故C错误;
对于D,·a是向量,而表示长度,两者不能比较大小,故D错误.
4.已知向量a,b满足:|a|=3,|b|=5,且a=λb,则实数λ= ( )
A. B. C.± D.±
解析:选C.因为|a|=3,|b|=5,a=λb,所以|a|=|λ||b|,即3=5|λ|,所以|λ|=,λ=±.
5.下列说法中正确的是 ( )
A.λa与a的方向不是相同就是相反
B.若a,b共线,则b=λa
C.若=2,则b=±2a
D.若b=±2a,则=2
解析:选D.对于A选项,当λ=0时,λa=0,方向是任意的,故A选项错误.对于B选项,当a=0时,a,b共线,但不满足b=λa,故B选项错误.对于C选项,当=2时,b,2a不一定共线,故C选项错误.对于D选项,当b=±2a时,必有=2.
6.已知a,b是不共线向量,且=a+5b,=-2a+8b,=3(a-b),则 ( )
A.A,B,D三点共线
B.A,B,C三点共线
C.B,C,D三点共线
D.A,C,D三点共线
解析:选A.选项A,由+=-2a+8b+3(a-b)=a+5b=,即=,
所以A,B,D三点共线,故选项A正确.
选项B,由=a+5b,=-2a+8b,可得向量与不共线,
所以A,B,C三点不共线,故选项B不正确.
选项C,由=-2a+8b,=3(a-b),可得向量与不共线,
所以B,C,D三点不共线,故选项C不正确.
选项D,由+=a+5b+(-2a+8b)=-a+13b,即=-a+13b,
又=3(a-b),显然可得向量与不共线,
所以A,C,D三点不共线,故选项D不正确.
二、填空题(每小题5分,共10分)
7.若两个非零向量a与(2x-1)a方向相同,则x的取值范围为 .
解析:由向量数乘定义可知,2x-1>0,即x>.则x的取值范围为(,+∞).
答案:,+∞
【补偿训练】
已知|a|=6,b与a的方向相反,且|b|=3,a=mb,则实数m= .
解析:==2,所以|a|=2|b|,又a与b的方向相反,所以a=-2b,所以m=-2.
答案:-2
8.已知=,若=λ,则λ等于 ;若=m,则m等于 .
解析:由题意可知P1,P,P2位置如图所示:
所以=-,=,
所以λ=-,m=.
答案:-
三、解答题(每小题10分,共30分)
9.已知a,b是两个非零向量,判断下列各说法的真假,并说明理由.
(1)a的方向与a的方向相同,且a的模是a的模的倍;
(2)-3a的方向与6a的方向相反,且-3a的模是6a的模的;
(3)-4a与4a是一对相反向量;
(4)a-b与-(b-a)是一对相反向量;
(5)若a,b不共线,则0·a与b不共线.
解析:(1)正确.因为>0,所以a与a同向,因为|a|=|a|,所以a的模是a的模的倍.
(2)正确.因为-3<0,所以-3a与a方向相反且|-3a|=3|a|,
又因为6>0,所以6a与a方向相同且|6a|=6|a|,所以-3a与6a方向相反且模是6a的模的.
(3)正确.由数乘定义和相反向量定义可知.
(4)错误.因为a-b与b-a是相反向量,
所以a-b与-(b-a)是相等向量.
(5)错误.0·a=0,所以0·a与b共线.
10.已知点C在线段AB的延长线上,且=.
(1)用表示.
(2)用表示.
解析:如图①,由已知点C在线段AB的延长线上,且=,所以=,
解得AB=3BC.则AC=4CB.
(1)如图②,向量与的方向相同,所以=3.
(2)如图③,向量与的方向相反,所以=-4.
11.设O是△ABC内一点,且=a,=b,=c,若以线段OA,OB为邻边作平行四边形,其第四个顶点为D,再以OC,OD为邻边作平行四边形,其第四个顶点为H.试用a,b,c表示,,.
解析:由题意可知四边形OADB为平行四边形,
所以=+=a+b,
所以=-=c-(a+b)=c-a-b.
又四边形ODHC为平行四边形,
所以=+=c+a+b,
所以=-=a+b+c-b=a+c.
【补偿训练】
如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2CD,M,N分别是DC和AB的中点,若=a,=b,试用a,b表示和.
解析:连接CN.因为AN∥DC,且AN=DC=AB,
所以四边形ANCD为平行四边形,
所以=-=-b,
因为++=0,
所以=--=b-a,
=-=+=a-b.
提升练习
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.已知线段PQ的中点为M,线段MQ的中点为N,则 ( )
A.= B.=
C.=- D.=3
解析:选B.如图,因为线段PQ的中点为M,所以=,=,所以=-,所以A,C错误,因为线段MQ的中点为N,所以=,=3,所以B正确,D错误.
2.中国的国旗和国徽上都有五角星,正五角星与黄金分割有着密切的联系,在如图所示的正五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,且PT=AP,则-= ( )
A. B.
C. D.
解析:选A.-=-==.
3.在△ABC中,已知D为AB边上一点,若=2,=+λ,则λ= ( )
A. B. C.- D.-
解析:选A.方法一:因为A,D,B三点共线,所以+λ=1,所以λ=.
方法二:因为=2,所以=,
所以=+=+=+(-)=+=+λ,所以λ=.
4.(多选题)如图所示,D是△ABC的边AB的中点,则向量= ( )
A.-+ B.--
C.- D.+
解析:选AC.因为D是AB的中点,
所以=,所以=+=-+=-.
二、填空题(每小题5分,共20分)
5.点C在线段AB上,且=,则= .
解析:由=可得A,B,C三点的位置如图所示:,其中C为AB的三等分点(靠近B),所以=-2.
答案:-2
6.已知点G为△ABC的重心,D为边BC的中点,则下列表达式正确的是 .
①= ②+=0
③=-2 ④=-
解析:如图,
因为D为边BC的中点,所以=,+=0,①②正确.因为点G为△ABC的重心,所以A,G,D三点共线且=2,
所以=2,==
-,所以③错误,④正确.
答案:①②④
7.已知四边形ABCD中,=-3,对角线AC,BD相交于O,AC的中点为M,BD的中点为N,设=x,=y,则x= ,y= .
解析:如图,因为四边形ABCD中,=-3,所以AB∥DC,AB=3DC,所以△AOB∽△COD,所以==3,所以=3,=-3,所以x=-3.
因为AC的中点为M,BD的中点为N,
所以=,=,
所以MN∥AB,MN=AB,
所以=,所以y=.
答案:-3
8.点C在线段AB上,且=,则= ,= .
解析:因为=,C在线段AB上,如图,
所以设AC=3,则CB=2,所以AB=5,
所以=,=-.
答案: -
三、解答题
9.(10分)已知平行四边形ABCD的两条对角线AC,BD交于E点,O是任意一点,如图所示.
求证:+++=4.
【证明】方法一:因为E为平行四边形两对角线的交点,
所以2=+,2=+.
即4=+++.
方法二:因为=+=+=+=+,
而+=0,+=0,
所以4=+++.
