二十九 直线上向量的坐标及其运算
基础练习
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.已知直线上向量a,b的坐标分别为-2,2,则向量a+b的坐标为 ( )
A.1 B.-1 C.0 D.4
解析:选B.因为向量a,b的坐标分别为-2,2,所以向量a+b的坐标为-2+×2=-1.
2.已知数轴上A点坐标为-5,的坐标为-7,则B点坐标是 ( )
A.-2 B.2 C.12 D.-12
解析:选D.因为xA=-5,的坐标为-7,所以xB-xA=-7,所以xB=-12.
3.已知直线上有三个点A,B,C,满足点A为BC的中点,点A的坐标为4,点B的坐标为5,则点C的坐标为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解析:选B.设点C的坐标为x,则由中点坐标公式得=4,所以x=3.
4.已知数轴上两点A,B,且||=8,若xB=8,则xA等于 ( )
A.0 B.16 C.-8 D.16或0
解析:选D.因为||=|xB-xA|,所以|8-xA|=8,所以xA=16或0.
5.直线上给定了单位向量,若点B满足=-5,则点B的坐标为 ( )
A.-4 B.4 C.-5 D.5
解析:选A.因为直线上给定了单位向量,且=-5,所以的坐标为-5,点A的坐标为1.设点B的坐标为x,则x-1=-5,所以x=-4,即点B的坐标为-4.
6.(多选题)如图,向量为直线AB的单位向量,若测量得到AB=1,BC=1.15,CD=1.55,DE=2.61,则下列结论正确的是 ( )
A.向量的坐标为2.15
B.向量的坐标为3.70
C.向量的坐标为6.31
D.向量的坐标为4.16
解析:选ABC.因为AC=AB+BC=2.15,所以=2.15,所以=2.15,所以向量的坐标为2.15,所以A正确.因为AD=AB+BC+CD=3.70,所以=3.70,所以=3.70,所以向量的坐标为3.70,所以B正确.
因为AE=AB+BC+CD+DE=6.31,所以=6.31,所以=6.31,所以向量的坐标为6.31,所以C正确.
因为EC=CD+DE=4.16,所以=4.16,所以=-4.16,所以向量的坐标为-4.16,所以D错误.
二、填空题(每小题5分,共10分)
7.在数轴Ox上,已知=-3e(e为x轴上的单位向量),且点B的坐标为3,则向量的坐标为 .
解析:由=-3e,得点A的坐标为-3,则=3-(-3)=6,即的坐标为6.
答案:6
8.直线上三点A,B,C的坐标分别为1,-1,-5,则+的坐标是 ,||+||的坐标是 .
解析:+=-6+(-4)=-10,||+||=6+4=10.
答案:-10 10
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知数轴上三点A,B,C的坐标分别是-8,-3,7,求,,的坐标和长度.
解析:的坐标为(-3)-(-8)=5,||=|5|=5;
的坐标为7-(-3)=10,||=|10|=10;
的坐标为(-8)-7=-15,||=|-15|=15.
10.已知A,B,C为数轴上三点,且xA=-2,xB=6,试分别求满足下列条件的点C的坐标.
(1)向量的坐标为10.
(2)||=3||.
解析:(1)因为xC-xA=10,所以xC=xA+10=8.
(2)因为||=3||,
所以=3或=-3.
当=3时,xC-xA=3(xC-xB),
所以xC=(3xB-xA)=10;
当=-3时,xC-xA=-3(xC-xB),
所以xC=(3xB+xA)=4.
提升练习
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.已知数轴上点A,B的坐标分别是-4,-3,则的坐标是 ( )
A.-1 B.1 C.-7 D.7
解析:选B.=(-3)-(-4)=1.
2.已知数轴上点A的坐标是-4,||=3,则点B的坐标是 ( )
A.-1 B.1
C.-1或-7 D.1或7
解析:选C.||=|xB-(-4)|=3,xB=-1或xB=-7.
3.数轴上两点A,B的坐标分别为40,24,则的坐标为 ( )
A.-24 B.16 C.-16 D.64
解析:选C.24-40=-16.
4.(多选题)数轴上三点A,B,C的坐标分别为-1,2,5,则下列表示正确的是 ( )
A.AB=-3 B.BC=3
C.=6 D.||=3
解析:选BCD.由向量的坐标和长度计算公式知B,C,D正确.
二、填空题(每小题5分,共20分)
5.e为x轴上的单位向量,若=-2e,且B点的坐标为3,则AB中点的坐标为 .
解析:因为=-2e,且B点的坐标为3,则A点的坐标为5,所以AB中点的坐标为4.
答案:4
6.若线段AB上的点P满足=,则称点P为线段AB的“黄金分割点”,已知点A,B的坐标分别为-1,3,则线段AB的黄金分割点的坐标为 .
解析:设线段AB的黄金分割点的坐标为x,则=,因为-1答案:5-2
7.已知M,P,N三点在数轴上,且点P的坐标是5,=2,=8,则点N的坐标为 .
解析:设点M,N的坐标分别为x1,x2, 因为点P的坐标是5,=2,=8,
所以解得故点N的坐标为11.
答案:11
8.已知直线上三点A,B,C的坐标分别为-2,-,,若=-,则点P的坐标为 ,设=λ,则λ= .
解析:设点P的坐标为x,
因为=-,所以x-(-2)=-×--,所以x=-4.所以点P的坐标为-4.因为=λ,所以-4--=λ-+2,所以λ=-.
答案:-4 -
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知数轴上四点A,B,C,D的坐标分别是-4,-2,c,d.
(1)若的坐标为5,求c的值.
(2)若||=6,求d的值.
(3)若=-3,求证:3=-4.
解析:(1)c-(-4)=5,所以c=1.
(2)因为||=6,所以|d-(-2)|=6,
即d+2=6或d+2=-6,
所以d=4或d=-8.
(3)因为的坐标为c+4,的坐标为d+4,
又=-3,所以c+4=-3(d+4),
即c=-3d-16.
3的坐标为3(d-c)=3d-3c=3d-3(-3d-16)=12d+48,-4的坐标为-4c-16=-4(-3d-16)-16=12d+48,所以3=-4.
10.已知数轴上A,B,C三点.
(1)若的坐标为2,的坐标为3,求向量的坐标.
(2)若=,求证:B是AC的中点.
解析:(1)=+=2+3=5,即向量的坐标为5.
(2)设A,B,C的坐标分别为a,b,c.
因为=,所以b-a=c-b,
所以b=,故B是AC的中点.二十九 直线上向量的坐标及其运算
基础练习
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.已知直线上向量a,b的坐标分别为-2,2,则向量a+b的坐标为 ( )
A.1 B.-1 C.0 D.4
2.已知数轴上A点坐标为-5,的坐标为-7,则B点坐标是 ( )
A.-2 B.2 C.12 D.-12
3.已知直线上有三个点A,B,C,满足点A为BC的中点,点A的坐标为4,点B的坐标为5,则点C的坐标为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
4.已知数轴上两点A,B,且||=8,若xB=8,则xA等于 ( )
A.0 B.16 C.-8 D.16或0
5.直线上给定了单位向量,若点B满足=-5,则点B的坐标为 ( )
A.-4 B.4 C.-5 D.5
6.(多选题)如图,向量为直线AB的单位向量,若测量得到AB=1,BC=1.15,CD=1.55,DE=2.61,则下列结论正确的是 ( )
A.向量的坐标为2.15
B.向量的坐标为3.70
C.向量的坐标为6.31
D.向量的坐标为4.16
二、填空题(每小题5分,共10分)
7.在数轴Ox上,已知=-3e(e为x轴上的单位向量),且点B的坐标为3,则向量的坐标为 .
8.直线上三点A,B,C的坐标分别为1,-1,-5,则+的坐标是 ,||+||的坐标是 .
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知数轴上三点A,B,C的坐标分别是-8,-3,7,求,,的坐标和长度.
10.已知A,B,C为数轴上三点,且xA=-2,xB=6,试分别求满足下列条件的点C的坐标.
(1)向量的坐标为10.
(2)||=3||.
提升练习
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.已知数轴上点A,B的坐标分别是-4,-3,则的坐标是 ( )
A.-1 B.1 C.-7 D.7
2.已知数轴上点A的坐标是-4,||=3,则点B的坐标是 ( )
A.-1 B.1
C.-1或-7 D.1或7
3.数轴上两点A,B的坐标分别为40,24,则的坐标为 ( )
A.-24 B.16 C.-16 D.64
4.(多选题)数轴上三点A,B,C的坐标分别为-1,2,5,则下列表示正确的是 ( )
A.AB=-3 B.BC=3
C.=6 D.||=3
二、填空题(每小题5分,共20分)
5.e为x轴上的单位向量,若=-2e,且B点的坐标为3,则AB中点的坐标为 .
6.若线段AB上的点P满足=,则称点P为线段AB的“黄金分割点”,已知点A,B的坐标分别为-1,3,则线段AB的黄金分割点的坐标为 .
7.已知M,P,N三点在数轴上,且点P的坐标是5,=2,=8,则点N的坐标为 .
8.已知直线上三点A,B,C的坐标分别为-2,-,,若=-,则点P的坐标为 ,设=λ,则λ= .
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知数轴上四点A,B,C,D的坐标分别是-4,-2,c,d.
(1)若的坐标为5,求c的值.
(2)若||=6,求d的值.
(3)若=-3,求证:3=-4.
10.已知数轴上A,B,C三点.
(1)若的坐标为2,的坐标为3,求向量的坐标.
(2)若=,求证:B是AC的中点.
