单元素养检测(二)(第五章)
(120分钟 150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.(2019·全国卷Ⅲ)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100位学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位,阅读过《红楼梦》的学生共有80位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 ( )
A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8
2.某工厂10名工人某天生产同一类型零件,生产的件数分别是10,12,14,14,15,15,16,17,17,17.记这组数据的平均数为a,中位数为b,众数为c,则 ( )
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>a>b D.c>b>a
【补偿训练】
1.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4.从这4张卡片中随机抽取2张,则抽取的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为 ( )
A. B. C. D.
2.先后抛掷两颗骰子,设出现的点数之和是12,11,10的概率依次是P1,P2,P3,则( )
A.P1=P2
C.P13.从含有3个元素的集合中任取1个子集,所取的子集是含有2个元素的集合的概率是 ( )
A. B. C. D.
4.(2022·全国甲卷)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图:
则 ( )
A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
【补偿训练】
“互联网+教育”的智慧课堂教学新模式在中小学逐步推广.某班主任利用智慧课堂中的成绩分析功能对本班两名同学某次模拟考试的五科成绩进行了分析,绘制成如下的雷达图,下列说法正确的是 ( )
A.小红各科的成绩较为均衡,没有偏科的情况
B.小红和小蓝地理成绩的差距比数学成绩的差距大
C.小红和小蓝的历史成绩差距较大
D.小红五科的成绩都比小蓝差
5.中国古典乐器一般按“八音”分类,这是我国按乐器的制造材料对乐器进行分类的方法,最早见于《周礼·春官·大师》,八音分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”,其中“金、石、木、革”为打击乐器,“土、匏、竹”为吹奏乐器,“丝”为弹拨乐器.某同学计划从“金、石、匏、竹、丝”5种课程中选2种作为兴趣班课程进行学习,则恰好安排了1个课程为吹奏乐器、1个课程为打击乐器的概率为( )
A. B. C. D.
6.有分别写着数字1到120的120张卡片,从中取出1张,这张卡片上的数字是2的倍数或是3的倍数的概率是 ( )
A. B. C. D.
7.齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马;田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马;田忌的下等马劣于齐王的下等马.现齐王与田忌各出上等马、中等马、下等马一匹,共进行三场比赛,规定:每一场双方均任意选一匹马参赛,且每匹马仅参赛一次,胜两场或两场以上者获胜.则田忌获胜的概率为 ( )
A. B. C. D.
8.从某地区的儿童中挑选体操学员,已知儿童体型合格的概率为,身体关节构造合格的概率为,从中任挑一儿童,这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响) ( )
A. B. C. D.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
9.下列事件:①如果a,b是实数,那么b+a=a+b;②某地1月1日刮西北风;③当x是实数时,x2≥0;④一个电影院某天的上座率超过50%,其中是随机事件的有 ( )
A.① B.② C.③ D.④
10.下列事件中,随机事件的个数为 ( )
①在学校明年召开的田径运动会上,学生张涛获得100米短跑冠军;
②在体育课上,体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材,抽到李凯;
③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张,恰为1号签;
④在标准大气压下,水在4℃时结冰.
A.① B.② C.③ D.④
11.从一批产品中取出三件产品,设A=“三件产品全不是次品”,B=“三件产品全是次品”,C=“三件产品不全是次品”,则下列结论不正确的是 ( )
A.A与C互斥
B.B与C互斥
C.任何两个事件均互斥
D.任何两个事件均不互斥
12.下列事件中,A,B不是相互独立事件的是 ( )
A.一枚硬币掷两次,A={第一次为正面},B={第二次为反面}
B.袋中有2白,2黑的小球,不放回地摸两球,A={第一次摸到白球},B={第二次摸到白球}
C.掷一枚骰子,A={出现点数为奇数},B={出现点数为偶数}
D.A={人能活到20岁},B={人能活到50岁}
三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13.已知7件产品中有5件合格品,2件次品.为找出这2件次品,每次任取一件检验,检验后不放回,则第一次和第二次都检验出次品的概率为 ;恰好在第一次检验出正品而在第四次检验出最后一件次品的概率为 .
14.一个袋子中有5个红球,3个白球,4个绿球,8个黑球,如果随机地摸出一个球,记A={摸出黑球},B={摸出白球},C={摸出绿球},D={摸出红球},则P(A)= ;P(B)= ;P(C∪D)= .
15.有一个数学难题,在半小时内,甲能解决的概率是,乙能解决的概率是,两人试图独立地在半小时内解决它,则两人都未解决的概率为 ,问题得到解决的概率为 .
16.某学校组织学生参加数学测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次是[20,40),[40,60),[60,80),[80,100],则60分为成绩的第 分位数.
四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)随机抽取一个年份,对西安市该年4月份的天气情况进行统计,结果如下:
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴
日期 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
天气 阴 晴 晴 晴 晴 晴 阴 雨 阴 阴
日期 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
天气 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨
(1)在4月份任取一天,估计西安市在该天不下雨的概率.
(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会,估计运动会期间不下雨的概率.
18.(12分)某重点高中拟把学校打造成新型示范高中,为此制订了很多新的规章制度,新规章制度实施一段时间后,学校就新规章制度的认知程度随机抽取100名学生进行问卷调查,调查问卷共有20个问题,每个问题5分,调查结束后,发现这100名学生的成绩都在[75,100]内,按成绩分成5组:第1组[75,80),第2组[80,85),第3组[85,90),第4组[90,95),第5组[95,100].绘制成如图所示的频率分布直方图,已知甲、乙、丙3人分别在第3,4,5组,现在用分层抽样的方法在第3,4,5组共选取6人对新规章制度进行深入学习.
(1)求这100人的平均得分(同一组数据用该区间的中点值作代表).
(2)求第3,4,5组分别选取的人数.
(3)若甲、乙、丙都被选取对新规章制度进行深入学习,之后要再从这6人中随机选取2人全面考查他们对新规章制度的认知程度,求甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率.
19.(12分)对某班一次测验成绩进行统计,如下表所示:
分数 段 [40, 50) [50, 60) [60, 70) [70, 80) [80, 90) [90, 100]
概率 0.03 0.04 0.17 0.36 0.25 0.15
(1)求该班成绩在[80,100]内的概率.
(2)求该班成绩在[60,100]内的概率.
20.(12分)连续抛掷两颗骰子,设第一颗点数为m,第二颗点数为n,求:
(1)m+n=7的概率.
(2)m=n的概率.
(3)m·n为偶数的概率.
21.(12分)春节是中国民间最隆重盛大的传统节日,春节历史悠久,在传承发展中已形成了一些较为固定的习俗,有许多相传至今,如买年货、贴对联、吃年夜饭、拜年、放鞭炮、逛庙会、赏花灯等.在春节期间,全国各地均举行各种贺岁活动,各地因地域文化不同而又存在着习俗内容或细节上的差异,带有浓郁的各民族特色.在某地的一个庙会上,一个商户为了吸引客人,举行摸奖游戏.在一个口袋内装有形状大小相同的5个小球,其中,3个红球、1个黑球、1个黄球;若中奖就送价值10元的一件礼品,若不中奖,就在商户这里买一件价值不低于20元的商品.
(1)若从中一次性摸出2个球,摸出黄球就中奖,求某个客人能领到一件礼品的概率;
(2)商户约定:从口袋中连续取两次球,每次取一球后放回,若取出的两个球中没有红球,则商户可以让客人免费拿一件价值50元的商品,否则,客人就得买一件价值100元的商品,某客人想试一试,问这位客人免费拿一件价值50元的商品的可能性会超过20%吗
22.(12分)把参加某次铅球投掷的同学的成绩(单位:米)进行整理,分成以下6个小组:[5.25,6.15),[6.15,7.05),[7.05,7.95),[7.95,8.85),[8.85,9.75),[9.75,10.65],并绘制出频率分布直方图,如图所示是这个频率分布直方图的一部分.已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04,0.10,0.14,0.28,0.30,第6小组的频数是7.规定:投掷成绩不小于7.95米的为合格.
(1)求这次铅球投掷成绩合格的人数.
(2)你认为这次铅球投掷的同学的成绩的中位数在第几组 请说明理由.
(3)若参加这次铅球投掷的学生中,有5人的成绩为优秀,现在要从成绩优秀的学生中,随机选出2人参加相关部门组织的经验交流会,已知a,b两位同学的成绩均为优秀,求a,b两位同学中至少有1人被选到的概率.单元素养检测(二)(第五章)
(120分钟 150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.(2019·全国卷Ⅲ)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100位学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位,阅读过《红楼梦》的学生共有80位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 ( )
A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8
【命题意图】本题考查抽样、利用样本估计总体,考查考生数据的分析、运算求解能力.
解析:选C.由题意知阅读过《红楼梦》而没有阅读过《西游记》的学生人数为80-60=20(位),所以阅读过《西游记》的学生人数为90-20=70(位),故所求的估计值为=0.7.
2.某工厂10名工人某天生产同一类型零件,生产的件数分别是10,12,14,14,15,15,16,17,17,17.记这组数据的平均数为a,中位数为b,众数为c,则 ( )
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>a>b D.c>b>a
解析:选D.平均数a=
=14.7,
中位数b=15,众数c=17,则c>b>a.
【补偿训练】
1.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4.从这4张卡片中随机抽取2张,则抽取的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为 ( )
A. B. C. D.
解析:选C.基本事件为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)共6个,其中两数字之和为奇数的有(1,2),(2,3),(1,4),(3,4),所以概率为.
2.先后抛掷两颗骰子,设出现的点数之和是12,11,10的概率依次是P1,P2,P3,则( )
A.P1=P2C.P1解析:选B.先后抛掷两颗骰子的点数共有36个基本事件:(1,1),(1,2),(1,3),…,(6,6),并且每个基本事件都是等可能发生的.而点数之和为12的只有1个:(6,6);点数之和为11的有2个:(5,6),(6,5);点数之和为10的有3个:(4,6),(5,5),(6,4),故P13.从含有3个元素的集合中任取1个子集,所取的子集是含有2个元素的集合的概率是 ( )
A. B. C. D.
解析:选D.所有子集共8个,其中含有2个元素的有3个,所以概率为.
4.(2022·全国甲卷)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图:
则 ( )
A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
解析:选B.讲座前中位数为>70%,所以A错;
讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等于90%,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%,所以B对;
讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C错;
讲座后问卷答题的正确率的极差为100%-80%=20%,
讲座前问卷答题的正确率的极差为95%-60%=35%>20%,所以D错.
【补偿训练】
“互联网+教育”的智慧课堂教学新模式在中小学逐步推广.某班主任利用智慧课堂中的成绩分析功能对本班两名同学某次模拟考试的五科成绩进行了分析,绘制成如下的雷达图,下列说法正确的是 ( )
A.小红各科的成绩较为均衡,没有偏科的情况
B.小红和小蓝地理成绩的差距比数学成绩的差距大
C.小红和小蓝的历史成绩差距较大
D.小红五科的成绩都比小蓝差
解析:选B.对A,由雷达图知:小红(最高分)语文与(最低分)化学分差95-70=25大于小蓝(最高分)数学与(最低分)化学分差95-80=15,所以小红相对成绩并不均衡,显然有偏科,错误;
对B,小红、小蓝之间的地理分差约10分以上大于数学分差5分左右,正确;
对C,小红、小蓝的历史成绩一样,错误;
对D:显然小红的语文95分比小蓝80分好,历史与小蓝一样,错误.
5.中国古典乐器一般按“八音”分类,这是我国按乐器的制造材料对乐器进行分类的方法,最早见于《周礼·春官·大师》,八音分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”,其中“金、石、木、革”为打击乐器,“土、匏、竹”为吹奏乐器,“丝”为弹拨乐器.某同学计划从“金、石、匏、竹、丝”5种课程中选2种作为兴趣班课程进行学习,则恰好安排了1个课程为吹奏乐器、1个课程为打击乐器的概率为( )
A. B. C. D.
解析:选B.“金、石”为打击乐器共2种,“匏、竹”为吹奏乐器共2种,“丝”为弹拨乐器,共1种,5选2的基本事件有(金、石)(金、匏)(金、竹)(金、丝)(石、匏)(石、竹)(石、丝)(匏、竹)(匏、丝)(竹、丝),共10种情况,其中恰安排了1个课程为吹奏乐器、1个课程为打击乐器的基本事件为(金、匏)(金、竹)(石、匏)(石、竹),共4种,
故所求概率为=.
6.有分别写着数字1到120的120张卡片,从中取出1张,这张卡片上的数字是2的倍数或是3的倍数的概率是 ( )
A. B. C. D.
解析:选D.是2的倍数的数有60个,是3的倍数的数有40个,是6的倍数的数有20个,所以P==.
7.齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马;田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马;田忌的下等马劣于齐王的下等马.现齐王与田忌各出上等马、中等马、下等马一匹,共进行三场比赛,规定:每一场双方均任意选一匹马参赛,且每匹马仅参赛一次,胜两场或两场以上者获胜.则田忌获胜的概率为 ( )
A. B. C. D.
解析:选B.设齐王的上等马、中等马、下等马分别为A,B,C,设田忌的上等马、中等马、下等马分别为a,b,c,每一场双方均任意选一匹马参赛,且每匹马仅参赛一次,胜两场或两场以上者获胜.基本事件有(Aa,Bb,Cc),(Aa,Bc,Cb),(Ab,Bc,Ca),(Ab,Ba,Cc),(Ac,Bb,Ca),(Ac,Ba,Cb),共6个,田忌获胜包含的基本事件有(Ac,Ba,Cb),只有1个,所以田忌获胜的概率为P=.
8.从某地区的儿童中挑选体操学员,已知儿童体型合格的概率为,身体关节构造合格的概率为,从中任挑一儿童,这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响) ( )
A. B. C. D.
解析:选D.设“儿童体型合格”为事件A,“身体关节构造合格”为事件B,则P(A)=,P(B)=.又A,B相互独立,则,也相互独立,则P()=P()P()=×=,故至少有一项合格的概率为P=1-P()=.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
9.下列事件:①如果a,b是实数,那么b+a=a+b;②某地1月1日刮西北风;③当x是实数时,x2≥0;④一个电影院某天的上座率超过50%,其中是随机事件的有 ( )
A.① B.② C.③ D.④
解析:选BD.由题意可知①③是必然事件,②④是随机事件.
10.下列事件中,随机事件的个数为 ( )
①在学校明年召开的田径运动会上,学生张涛获得100米短跑冠军;
②在体育课上,体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材,抽到李凯;
③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张,恰为1号签;
④在标准大气压下,水在4℃时结冰.
A.① B.② C.③ D.④
解析:选ABC.①张涛在明年运动会上,可能获冠军,也可能不获冠军.②李凯不一定被抽到.③任取一张不一定为1号签.④在标准大气压下水在4 ℃时不可能结冰,故①②③是随机事件,④是不可能事件.
11.从一批产品中取出三件产品,设A=“三件产品全不是次品”,B=“三件产品全是次品”,C=“三件产品不全是次品”,则下列结论不正确的是 ( )
A.A与C互斥
B.B与C互斥
C.任何两个事件均互斥
D.任何两个事件均不互斥
解析:选ACD.互斥事件是不可能同时发生的事件,所以事件B与C互斥,A与C不互斥.
12.下列事件中,A,B不是相互独立事件的是 ( )
A.一枚硬币掷两次,A={第一次为正面},B={第二次为反面}
B.袋中有2白,2黑的小球,不放回地摸两球,A={第一次摸到白球},B={第二次摸到白球}
C.掷一枚骰子,A={出现点数为奇数},B={出现点数为偶数}
D.A={人能活到20岁},B={人能活到50岁}
解析:选BCD.把一枚硬币掷两次,对于每次而言是相互独立的,其结果不受先后影响,故A是独立事件;B中是不放回地摸球,显然A事件与B事件不相互独立;对于C,A,B应为互斥事件,因为它们不能同时发生,不相互独立; D.事件B受事件A的影响,A,B不是相互独立事件.
三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13.已知7件产品中有5件合格品,2件次品.为找出这2件次品,每次任取一件检验,检验后不放回,则第一次和第二次都检验出次品的概率为 ;恰好在第一次检验出正品而在第四次检验出最后一件次品的概率为 .
解析:第一次和第二次都检验出次品的概率为P1=×=,
恰好在第一次检验出正品而在第四次检验出最后一件次品,有两种可能:正次正次,正正次次,概率为P2=×××+×××=.
答案:
14.一个袋子中有5个红球,3个白球,4个绿球,8个黑球,如果随机地摸出一个球,记A={摸出黑球},B={摸出白球},C={摸出绿球},D={摸出红球},则P(A)= ;P(B)= ;P(C∪D)= .
解析:由古典概型的算法可得P(A)==,P(B)=,P(C∪D)=P(C)+P(D)=+=.
答案:
15.有一个数学难题,在半小时内,甲能解决的概率是,乙能解决的概率是,两人试图独立地在半小时内解决它,则两人都未解决的概率为 ,问题得到解决的概率为 .
解析:甲、乙两人都未能解决的概率为
=×=,问题得到解决就是至少有一人能解决问题.
所以问题得到解决的概率为1-=.
答案:
16.某学校组织学生参加数学测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次是[20,40),[40,60),[60,80),[80,100],则60分为成绩的第 分位数.
解析:由条件可知前两组的频率是(0.005+0.010)×20=0.3=30%,则60分为成绩的第30%分位数.
答案:30%
四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)随机抽取一个年份,对西安市该年4月份的天气情况进行统计,结果如下:
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴
日期 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
天气 阴 晴 晴 晴 晴 晴 阴 雨 阴 阴
日期 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
天气 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨
(1)在4月份任取一天,估计西安市在该天不下雨的概率.
(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会,估计运动会期间不下雨的概率.
解析:(1)在容量为30的样本中,不下雨的天数是26,以频率估计概率,4月份任选一天,西安市不下雨的概率为=.
(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如,1日与2日,2日与3日等).这样,在4月份中,前一天为晴天的互邻日期对有16个,其中后一天不下雨的有14个,所以晴天的次日不下雨的频率为.
以频率估计概率,运动会期间不下雨的概率为.
18.(12分)某重点高中拟把学校打造成新型示范高中,为此制订了很多新的规章制度,新规章制度实施一段时间后,学校就新规章制度的认知程度随机抽取100名学生进行问卷调查,调查问卷共有20个问题,每个问题5分,调查结束后,发现这100名学生的成绩都在[75,100]内,按成绩分成5组:第1组[75,80),第2组[80,85),第3组[85,90),第4组[90,95),第5组[95,100].绘制成如图所示的频率分布直方图,已知甲、乙、丙3人分别在第3,4,5组,现在用分层抽样的方法在第3,4,5组共选取6人对新规章制度进行深入学习.
(1)求这100人的平均得分(同一组数据用该区间的中点值作代表).
(2)求第3,4,5组分别选取的人数.
(3)若甲、乙、丙都被选取对新规章制度进行深入学习,之后要再从这6人中随机选取2人全面考查他们对新规章制度的认知程度,求甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率.
解析:(1)这100人的平均得分为=5××0.01+×0.07+×
0.06+×0.04+×0.02=87.25.
(2)第3组的人数为0.06×5×100=30(人),第4组的人数为0.04×5×100=20(人),第5组的人数为0.02×5×100=10(人),所以共有60人,用分层抽样在这三组中选取的人数分别为3,2,1.
(3)记其他3人为丁、戊、己,则所有选取的结果为(甲、乙)、(甲、丙)、(甲、丁)、(甲、戊)、(甲、己)、(乙、丙)、(乙、丁)、(乙、戊)、(乙、己)、(丙、丁)、(丙、戊)、(丙、己)、(丁、戊)、(丁、己)、(戊、己),共15种情况,其中甲、乙、丙这3人至多有一人被选取有12种情况,所以所求概率为P==.
19.(12分)对某班一次测验成绩进行统计,如下表所示:
分数 段 [40, 50) [50, 60) [60, 70) [70, 80) [80, 90) [90, 100]
概率 0.03 0.04 0.17 0.36 0.25 0.15
(1)求该班成绩在[80,100]内的概率.
(2)求该班成绩在[60,100]内的概率.
解析:记该班的测试成绩在[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]内依次为事件A,B,C,D,由题意知事件A,B,C,D是彼此互斥的.
(1)该班成绩在[80,100]内的概率是P(C∪D)=P(C)+P(D)=0.25+0.15=0.4.
(2)该班成绩在[60,100]内的概率是P(A∪B∪C∪D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=0.17+0.36+0.25+0.15=0.93.
20.(12分)连续抛掷两颗骰子,设第一颗点数为m,第二颗点数为n,求:
(1)m+n=7的概率.
(2)m=n的概率.
(3)m·n为偶数的概率.
解析:(m,n)的总个数为36.
(1)事件A={m+n=7}={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}共6个,
则P(A)==.
(2)事件B={m=n}={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}共6个,则P(B)==.
(3)事件C={m·n为偶数}分为奇数×偶数,偶数×奇数,偶数×偶数3类,所以共有基本事件3×3+3×3+3×3=27(个).所以P(C)==.
21.(12分)春节是中国民间最隆重盛大的传统节日,春节历史悠久,在传承发展中已形成了一些较为固定的习俗,有许多相传至今,如买年货、贴对联、吃年夜饭、拜年、放鞭炮、逛庙会、赏花灯等.在春节期间,全国各地均举行各种贺岁活动,各地因地域文化不同而又存在着习俗内容或细节上的差异,带有浓郁的各民族特色.在某地的一个庙会上,一个商户为了吸引客人,举行摸奖游戏.在一个口袋内装有形状大小相同的5个小球,其中,3个红球、1个黑球、1个黄球;若中奖就送价值10元的一件礼品,若不中奖,就在商户这里买一件价值不低于20元的商品.
(1)若从中一次性摸出2个球,摸出黄球就中奖,求某个客人能领到一件礼品的概率;
(2)商户约定:从口袋中连续取两次球,每次取一球后放回,若取出的两个球中没有红球,则商户可以让客人免费拿一件价值50元的商品,否则,客人就得买一件价值100元的商品,某客人想试一试,问这位客人免费拿一件价值50元的商品的可能性会超过20%吗
解析:设3个红球的编号为1,2,3,黑球为a,黄球为b.
(1)从袋中一次性摸出2个球,所包含的基本事件有:,,,,,,,,,共10个基本事件,
有黄球的基本事件有:,,,共4个基本事件;所以,某个客人能领到一件礼品的概率为P==;
(2)从袋中连续取两次球,每次取一球后放回,则所包含的基本事件有:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,共25个基本事件;
取出的两个球中没有红球的基本事件有,,,共4个基本事件;
所以客人能免费拿一件价值50元的商品的概率为P==16%,因此,这位客人免费拿一件价值50元的商品的可能性不会超过20%.
22.(12分)把参加某次铅球投掷的同学的成绩(单位:米)进行整理,分成以下6个小组:[5.25,6.15),[6.15,7.05),[7.05,7.95),[7.95,8.85),[8.85,9.75),[9.75,10.65],并绘制出频率分布直方图,如图所示是这个频率分布直方图的一部分.已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04,0.10,0.14,0.28,0.30,第6小组的频数是7.规定:投掷成绩不小于7.95米的为合格.
(1)求这次铅球投掷成绩合格的人数.
(2)你认为这次铅球投掷的同学的成绩的中位数在第几组 请说明理由.
(3)若参加这次铅球投掷的学生中,有5人的成绩为优秀,现在要从成绩优秀的学生中,随机选出2人参加相关部门组织的经验交流会,已知a,b两位同学的成绩均为优秀,求a,b两位同学中至少有1人被选到的概率.
解析:(1)因为第6小组的频率为1-(0.04+0.10+0.14+0.28+0.30)=0.14.
所以参加这次铅球投掷的总人数为=50(人).
根据规定,第4,5,6组的成绩均为合格,人数为(0.28+0.30+0.14)×50=36(人).
(2)因为成绩在第1,2,3组的人数为(0.04+0.10+0.14)×50=14(人),成绩在第5,6组的人数为(0.30+0.14)×50=22(人),参加这次铅球投掷的总人数为50人,
所以这次铅球投掷的同学的成绩的中位数在[7.95,8.85)内,即第4组.
(3)设这次铅球投掷成绩优秀的5人分别为a,b,c,d,e,则选出2人的所有可能的情况为:ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,共10种,其中a,b至少有1人的情况为:ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,共有7种,
所以a,b 两位同学中至少有1人被选到的概率为P=.