单元素养检测(三)(第六章)
(120分钟 150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.若||=||且=,则四边形ABCD的形状为 ( )
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.等腰梯形
解析:选C.因为=,所以四边形ABCD为平行四边形.又因为||=||,所以四边形为菱形.
2.在△ABC中,P,Q分别是边AB,BC上的点,且AP=AB,BQ=BC.若=a,=b,则= ( )
A.a+b B.-a+b
C.a-b D.-a-b
解析:选A.由已知可得=,=.
=-=-=,
=+=+=+
=+=a+b.
3.设P,Q是线段AB的三等分点,若=a,=b,则+= ( )
A.a+b B.a-b
C.2(a+b) D.(a+b)
解析:选A.如图,=+,=+,
因为=-,
所以+=+=a+b.
4.在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,且=3,点O在线段CD上(与点C,D不重合),若=x+(1-x),则x的取值范围是 ( )
A.0, B.0,
C.-,0 D.-,0
解析:选D.依题意,设=λ,其中1<λ<,则有=+=+λ
=+λ(-)=(1-λ)+λ.
又因为=x+(1-x),且,不共线,所以x=1-λ∈-,0,即x的取值范围是-,0.
5.已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量= ( )
A.(-7,-4) B.(7,4)
C.(-1,4) D.(1,4)
解析:选A.设C(x,y),
则=(x,y-1)=(-4,-3),
所以
从而=(-4,-2)-(3,2)=(-7,-4).
6.设O是△ABC的内心,AB=c,AC=b,BC=a,若=λ1+λ2,则 ( )
A.= B.=
C.= D.=
解析:选A.方法一:O是△ABC的内心,AB=c,AC=b,BC=a则a+b+c=0,
所以a+b+c=0
所以=b+c,
所以=+.
又=λ1+λ2,
所以λ1=,λ2=所以=.
方法二:如图,设=,=,==1,设+=,
则内心O在射线AP上,
所以=k=(b+c)=λ1+λ2,
所以=.
方法三:设直线AO交BC于D,
则==,
所以b=c,
所以b=c,
所以=+,又因为内心O在射线AD上,所以存在常数k>0,使得=k=+=λ1+λ2,所以=.
7.已知=a,=b,=c,=d,且四边形ABCD为平行四边形,则 ( )
A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0
C.a+b-c+d=0 D.a-b-c+d=0
解析:选B.因为+=0,所以-+-=0,即a-b+c-d=0.
8.在四边形ABCD中,=e1+2e2,=-4e1-e2,=-5e1-3e2,其中e1,e2不共线,则四边形ABCD为 ( )
A.菱形 B.平行四边形
C.梯形 D.矩形
解析:选C.因为=++=-8e1-2e2=2(-4e1-e2)=2,所以∥,所以AD∥BC.
因为AB与CD不平行,所以四边形ABCD为梯形.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
9.已知a=,=1,c=,满足3a+kb+7c=0,则实数k的值可能为 ( )
A. B.- C.58 D.-58
解析:选AB.由题可得kb=-3a-7c=-3×-7×=,
所以=·==.
因为=1,所以k=±.
10.下列叙述正确的是 ( )
A.若a,b共线,则存在唯一的实数λ,使a=λb
B.b=3a(a为非零向量),则a,b共线
C.若m=3a+4b,n=a+2b,则m∥n
D.若a+b+c=0,则a+b=-c
解析:选BCD.判断非零向量a与b共线的方法:存在实数λ,使a=λb.在A选项中,当a=b=0时不成立,所以A选项错误,B选项正确;在C选项中,m=2n,所以m∥n,所以C选项正确;D选项也正确.
11.下列向量中a,b共线的有 ( )
A.a=-12t,b=3t
B.a=m-n,b=-2m+n
C.a=40p-8q,b=5p-q
D.a=e1+e2,b=2e1-2e2
解析:选AC.A中,a=-4b;B中,b与a不共线;C中,a=8(5p-q)=8b,所以向量a与b共线;D中,当e1,e2不共线时,a≠λb.
12.下列命题中正确的是 ( )
A.-= B.+=0
C. 0·=0 D.++=
解析:选AD.起点相同的向量相减,则取终点,并指向被减向量,-=; ,是一对相反向量,它们的和应该为零向量,+=0;0·=0;++=.
三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13.在数轴上,O为坐标原点,已知=-5e(e为数轴上的单位向量),且点B的坐标为5,则向量的坐标为 .
解析:由=-5e,得点A的坐标为-5,
则5-(-5)=10,即的坐标为10.
答案:10
14.已知向量a=,b=,c=,若∥c,则m= .
解析:因为a=,b=,
所以a+b=,
因为∥c,c=,
所以2-=0,解得m=-1.
答案:-1
15.如图所示,把一个物体放在倾斜角为30°的斜面上,物体处于平衡状态,且受到三个力的作用,即重力G,沿着斜面向上的摩擦力F1,垂直斜面向上的弹力F2.已知=80 N,则G的大小为 ,F2的大小为 .
【解题指南】由向量分解的平行四边形法则,可得=sin30°,=cos30°,即得解.
解析:如图,由向量分解的平行四边形法则,
得=sin30°,=cos30°,
计算可得:|G|=160 N,|F2|=80 N.
答案:160 N 80 N
【补偿训练】
如图所示,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB的延长线和AC于不同的两点M,N,若=m,=n,则m+n的值为 .
解析:因为O是BC的中点,所以=(+)=+,所以=-=+.
又因为=-,与共线,
所以存在实数λ,
使得=λ=λ(-),
即化简,得m+n=2.
答案:2
16.若(x+y-1)a+(x-y+3)b=0,其中a,b为非零向量,且a,b不共线,则实数x= ,y= .
解析:由解得
答案:-1 2
四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)设a,b是两个不共线的非零向量,记=a,=tb(t∈R),=(a+b),那么当实数t为何值时,A,B,C三点共线
解析:因为=a,=tb,=(a+b), 所以=-=tb-a, =-=(a+b)-a=b-a.
因为A,B,C三点共线,所以存在实数λ,使=λ,即tb-a=λb-a,
因为a,b不共线,
所以解得
故当t=时,A,B,C三点共线.
18.(12分)如图,已知在△ABC中,AC的中点为E,AB的中点为F,延长BE至点P,使BE=EP,延长CF至点Q,使CF=FQ.试用向量方法证明P,A,Q三点共线.
【证明】因为E是AC的中点,F是AB的中点,所以=,=.
又因为BE=EP,CF=FQ,
所以=,=.
所以=+=+=.
所以=.
而=+=+=,
所以=.所以=.
又因为向量与有公共点A,
所以P,A,Q三点共线.
19.(12分)已知点O,A,B及=+t,t为何值时,点P在x轴上 点P在y轴上 点P在第二象限
解析:因为=+t=+
t=.
若点P在x轴上,则3t+2=0,
所以t=-;
若点P在y轴上,则3t+1=0,
所以t=-;
若点P在第二象限,则
解得-20.(12分)设=(2,-1),=(3,0),=(m,3).
(1)当m=8时,将用和表示.
(2)若A,B,C三点能构成三角形,求实数m应满足的条件.
解析:(1)当m=8时,=(8,3),
设=λ1+λ2,
所以(8,3)=λ1(2,-1)+λ2(3,0)=(2λ1+3λ2,-λ1),
所以解得
所以=-3+.
(2)若A,B,C三点能构成三角形,
则有与不共线,又=-=(3,0)-(2,-1)=(1,1),
=-=(m,3)-(2,-1)=(m-2,4),
则有1×4-(m-2)×1≠0,所以m≠6.
21.(12分)帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动,如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°,速度为20 km/h,此时水的流向是正东,流速为20 km/h.若不考虑其他因素,求帆船的速度与方向.
解析:根据题意作图,表示风速,表示水速,||=||,∠AOD=30°.
则四边形AOBC为平行四边形,
则表示帆船的速度,=+,
因为||=||,则平行四边形AOBC为菱形,所以∠AOC=∠AOB=(90°-30°)=30°,所以∠DOC=60°,即帆船的速度方向是北偏东60°,
||=2||cos∠AOC=20,即帆船的速度大小是20 km/h.
22.(12分)某人在静水中游泳,速度为4千米/时,现在他在水流速度为4千米/时的河中游泳.
(1)若他沿垂直于岸边的方向游向河对岸,则他实际沿什么方向前进 实际前进的速度大小为多少
(2)他必须朝哪个方向游,才能沿与水流垂直的方向前进 实际前进的速度大小为多少
解析:(1)如图,设此人游泳的速度为,水流的速度为.
以OA,OB为邻边作 OACB,则此人的实际速度为+=,
由勾股定理知||=8,且在Rt△ACO中,∠COA=60°,故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进,速度大小为8千米/时;
(2)如图,设此人的实际速度为,水流速度为,则游速为=-,
在Rt△AOD中,||=4,||=4,则||=4,cos∠DAO=,故此人沿向量的方向逆着水流游且与河岸所成夹角的余弦值为,实际前进的速度大小为4千米/时.单元素养检测(三)(第六章)
(120分钟 150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.若||=||且=,则四边形ABCD的形状为 ( )
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.等腰梯形
2.在△ABC中,P,Q分别是边AB,BC上的点,且AP=AB,BQ=BC.若=a,=b,则= ( )
A.a+b B.-a+b
C.a-b D.-a-b
3.设P,Q是线段AB的三等分点,若=a,=b,则+= ( )
A.a+b B.a-b
C.2(a+b) D.(a+b)
4.在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,且=3,点O在线段CD上(与点C,D不重合),若=x+(1-x),则x的取值范围是 ( )
A.0, B.0,
C.-,0 D.-,0
5.已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量= ( )
A.(-7,-4) B.(7,4)
C.(-1,4) D.(1,4)
6.设O是△ABC的内心,AB=c,AC=b,BC=a,若=λ1+λ2,则 ( )
A.= B.=
C.= D.=
7.已知=a,=b,=c,=d,且四边形ABCD为平行四边形,则 ( )
A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0
C.a+b-c+d=0 D.a-b-c+d=0
8.在四边形ABCD中,=e1+2e2,=-4e1-e2,=-5e1-3e2,其中e1,e2不共线,则四边形ABCD为 ( )
A.菱形 B.平行四边形
C.梯形 D.矩形
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
9.已知a=,=1,c=,满足3a+kb+7c=0,则实数k的值可能为 ( )
A. B.- C.58 D.-58
10.下列叙述正确的是 ( )
A.若a,b共线,则存在唯一的实数λ,使a=λb
B.b=3a(a为非零向量),则a,b共线
C.若m=3a+4b,n=a+2b,则m∥n
D.若a+b+c=0,则a+b=-c
11.下列向量中a,b共线的有 ( )
A.a=-12t,b=3t
B.a=m-n,b=-2m+n
C.a=40p-8q,b=5p-q
D.a=e1+e2,b=2e1-2e2
12.下列命题中正确的是 ( )
A.-= B.+=0
C. 0·=0 D.++=
三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13.在数轴上,O为坐标原点,已知=-5e(e为数轴上的单位向量),且点B的坐标为5,则向量的坐标为 .
14.已知向量a=,b=,c=,若∥c,则m= .
15.如图所示,把一个物体放在倾斜角为30°的斜面上,物体处于平衡状态,且受到三个力的作用,即重力G,沿着斜面向上的摩擦力F1,垂直斜面向上的弹力F2.已知=80 N,则G的大小为 ,F2的大小为 .
【补偿训练】
如图所示,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB的延长线和AC于不同的两点M,N,若=m,=n,则m+n的值为 .
16.若(x+y-1)a+(x-y+3)b=0,其中a,b为非零向量,且a,b不共线,则实数x= ,y= .
四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)设a,b是两个不共线的非零向量,记=a,=tb(t∈R),=(a+b),那么当实数t为何值时,A,B,C三点共线
18.(12分)如图,已知在△ABC中,AC的中点为E,AB的中点为F,延长BE至点P,使BE=EP,延长CF至点Q,使CF=FQ.试用向量方法证明P,A,Q三点共线.
19.(12分)已知点O,A,B及=+t,t为何值时,点P在x轴上 点P在y轴上 点P在第二象限
20.(12分)设=(2,-1),=(3,0),=(m,3).
(1)当m=8时,将用和表示.
(2)若A,B,C三点能构成三角形,求实数m应满足的条件.
21.(12分)帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动,如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°,速度为20 km/h,此时水的流向是正东,流速为20 km/h.若不考虑其他因素,求帆船的速度与方向.
22.(12分)某人在静水中游泳,速度为4千米/时,现在他在水流速度为4千米/时的河中游泳.
(1)若他沿垂直于岸边的方向游向河对岸,则他实际沿什么方向前进 实际前进的速度大小为多少
(2)他必须朝哪个方向游,才能沿与水流垂直的方向前进 实际前进的速度大小为多少
