三十一 平面向量线性运算的应用
基础练习
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.若四边形ABCD满足+=0,则该四边形一定是 ( )
A.正方形 B.矩形
C.菱形 D.平行四边形
解析:选D.因为+=0,所以=,所以四边形ABCD是平行四边形.
2.在△ABC中,D是BC的中点,点E在边AC上,且满足3=,BE交AD于点F,则= ( )
A.-+
B.-
C.-+
D.-+
解析:选A.由题设可得如下几何示意图,
设=λ,=μ,
因为=-=-,
所以=λ=-λ,
因为=,
所以=μ=,
由+=知(1-λ)+=,
所以得
所以==-.
3.人骑自行车的速度是v1,风速为v2,则顺风行驶的速度为 ( )
A.v1-v2 B.v1+v2
C.|v1|-|v2| D.
解析:选B.由向量的加法法则可得顺风行驶的速度为v1+v2.注意速度是有方向和大小的,是一个向量.
4.若O为坐标原点,向量=(2,2),=(-2,3)分别表示两个力F1,F2,则|F1+F2|为 ( )
A.(0,5) B.(4,-1)
C.2 D.5
解析:选D.F1+F2=(2,2)+(-2,3)=(0,5), 所以|F1+F2|=5.
5.(多选题)设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是 ( )
A.若点M是边BC的中点,则=+
B.若=3-2,则点M在边BC的延长线上
C.若点M是△ABC的重心,则=+
D.若=x+y且x+y=,则△MBC的面积是△ABC面积的
解析:选ACD.对于A选项:因为点M是边BC的中点,由向量的加减法运算得:
则=+=+=+(-)整理得:=+,故A选项正确;
对于B选项:因为=3-2,所以-=3-3,即=3,
所以点M在边CB的延长线上,故B选项错误;
对于C选项:点M是△ABC的重心,所以++=0,故C选项正确;
对于D选项:因为=x+y且x+y=,
所以=x+-x,整理得-=x-x=x,
如图取AC,AB三等分点靠近A点,则=x,
所以//,故△MBC的面积是△ABC面积的,故D选项正确.
6.(多选题)已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0),(3,0),(1,-5),则第四个顶点的坐标为( )
A.(1,5) B.(-3,-5)
C.(5,-5) D.(-1,5)或(3,-5)
解析:选ABC.设A(-1,0),B(3,0),C(1,-5),第四个顶点为D,当=时,D(5,-5);当=时,D(-3,-5);当=时,D(1,5).
二、填空题(每小题5分,共10分)
7.已知向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),当A,B,C三点共线时,实数k的值为 .
解析:=-=(4,5)-(k,12)=(4-k,-7),
=-=(10,k)-(4,5)=(6,k-5),
当A,B,C三点共线时, ∥,
(4-k)·(k-5)=6×(-7),解得k=-2或11.
答案:-2或11
8.如图所示,已知点A(3,0),B(4,4),C(2,1),则AC和OB交点P的横坐标x= ,纵坐标y= .
解析:设=t,=t(4,4)=(4t,4t),则=-=(4t-3,4t),=(2,1)-(3,0)=(-1,1).由,共线得(4t-3)×1-4t×(-1)=0,解得t=.所以=(4t,4t)=,.
所以P点坐标为,.
答案:
三、解答题(每小题10分,共30分)
9.已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-x,-3-y).
(1)若点A,B,C不能构成三角形,求x,y满足的条件.
(2)若=2,求x,y的值.
解析:(1)因为点A,B,C不能构成三角形,则A,B,C三点共线.由=(3,-4),=(6,-3),=(5-x,-3-y)得=(3,1),=(2-x,1-y),所以3(1-y)=2-x.所以x,y满足的条件为x-3y+1=0.
(2)=(-x-1,-y),由=2得(2-x,1-y)=2(-x-1,-y),
所以 解得
10.已知A,B,C三点的坐标为(-1,0),(3,-1),(1,2),并且=,=,
求证:∥.
【证明】设E,F的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),依题意有=(2,2),=(-2,3),=(4,-1).
因为=,所以(x1+1,y1)=(2,2).
所以点E的坐标为-,.
同理点F的坐标为,0,=,-.
又因为×(-1)-4×-=0,
所以∥.
11.如图所示,在△ABC中,点M是AB的中点,且=,BN与CM相交于E,设=a,=b,试用基底a,b表示向量.
解析:易得==b,==a,
由N,E,B三点共线,设存在实数m,
满足=m+(1-m)=mb+(1-m)a.
由C,E,M三点共线,设存在实数n满足:
=n+(1-n)=n a+(1-n)b.
所以mb+(1-m)a=n a+(1-n)b,
由于a,b为基底,所以
解之得所以=a+b.
提升练习
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.已知平面向量a=(2,-1),b=(1,3),那么|a+b|等于 ( )
A.5 B. C. D.13
解析:选B.因为a+b=(3,2),所以|a+b|==.
2.一条渔船距对岸4 km,以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实际航程为8 km,则河水的流速为 ( )
A.2 km/h B.2 km/h
C. km/h D.3 km/h
解析:选A.如图,AB=8 km,
AC=4 km,则CB==4(km),
即水流速度为=2(km/h).
3.两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°时,合力大小为20 N,当它们的夹角为120°时,合力大小为 ( )
A.40 N B.10 N
C.20 N D.40 N
解析:选B.如图,以F1,F2为邻边作平行四边形,F为这两个力的合力.
由题意,易知|F|=|F1|,|F|=20 N,
所以|F1|=|F2|=10 N.
当它们的夹角为120°时,以F1,F2为邻边作平行四边形,此平行四边形为菱形,
此时|F合|=|F1|=10 N.
4.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4),B(5,2),C(-1,-4),则该三角形为 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
解析:选B.=(2,-2),=(-4,-8), =(-6,-6),
所以||==2, ||==4, ||==6,所以||2+||2=||2,所以△ABC为直角三角形.
二、填空题(每小题5分,共20分)
5.若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足5=+3,则△ABM与△ABC的面积比为 .
解析:设D为AB中点,连接MD,则=.由5=+3得3-3=-2,即3-3=2-2,所以3=2.如图所示,
故C,M,D三点共线,且=,
也就是△ABM与△ABC对于边AB的两高之比为3∶5,则△ABM与△ABC的面积比为3∶5.
答案:3∶5
6.已知向量=(4,-5),=(-7,9)分别表示两个力f1,f2,则f1+f2的大小为 .
解析:f1+f2=+=(-3,4),
所以|f1+f2|==5.
答案:5
7.如图,在重300 N的物体上拴两根绳子,这两根绳子在铅垂线的两侧,与铅垂线的夹角分别为30°,60°,要使整个系统处于平衡状态,两根绳子的拉力分别为 .
解析:如图,
作 OACB,使∠AOC=30°,∠BOC=60°,则∠ACO=∠BOC=60°,∠OAC=90°.
设向量,分别表示两根绳子的拉力,则表示物体所受的重力,且||=300 N.
所以||=||cos 30°=150 (N),
||=||cos 60°=150 (N).
所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 N,与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.
答案:与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 N,与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N
8.已知△AOB,点P在直线AB上,且满足=2t+t(t∈R),则t= .
解析:=2t(-)+t,
(2t+1)=2t+t,
所以=+.
因为A,B,P三点共线,
所以+=1,所以t=1.
答案:1
三、解答题(共10分)
9.如图所示,已知△AOB中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),=,=,AD与BC相交于点M,求点M的坐标.
解析:因为==(0,5)=0,,所以C0,.
因为==(4,3)=2,,
所以D2,.
设M(x,y),则=(x,y-5),
=2-0,-5=2,-.
因为∥,
所以-x-2(y-5)=0,即7x+4y=20. ①
又=x,y-,=4,,
因为∥,所以x-4y-=0,
即7x-16y=-20. ②
联立①②解得x=,y=2,
故点M的坐标为,2.三十一 平面向量线性运算的应用
基础练习
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.若四边形ABCD满足+=0,则该四边形一定是 ( )
A.正方形 B.矩形
C.菱形 D.平行四边形
2.在△ABC中,D是BC的中点,点E在边AC上,且满足3=,BE交AD于点F,则= ( )
A.-+
B.-
C.-+
D.-+
3.人骑自行车的速度是v1,风速为v2,则顺风行驶的速度为 ( )
A.v1-v2 B.v1+v2
C.|v1|-|v2| D.
4.若O为坐标原点,向量=(2,2),=(-2,3)分别表示两个力F1,F2,则|F1+F2|为 ( )
A.(0,5) B.(4,-1)
C.2 D.5
5.(多选题)设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是 ( )
A.若点M是边BC的中点,则=+
B.若=3-2,则点M在边BC的延长线上
C.若点M是△ABC的重心,则=+
D.若=x+y且x+y=,则△MBC的面积是△ABC面积的
6.(多选题)已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0),(3,0),(1,-5),则第四个顶点的坐标为( )
A.(1,5) B.(-3,-5)
C.(5,-5) D.(-1,5)或(3,-5)
二、填空题(每小题5分,共10分)
7.已知向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),当A,B,C三点共线时,实数k的值为 .
8.如图所示,已知点A(3,0),B(4,4),C(2,1),则AC和OB交点P的横坐标x= ,纵坐标y= .
三、解答题(每小题10分,共30分)
9.已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-x,-3-y).
(1)若点A,B,C不能构成三角形,求x,y满足的条件.
(2)若=2,求x,y的值.
10.已知A,B,C三点的坐标为(-1,0),(3,-1),(1,2),并且=,=,
求证:∥.
11.如图所示,在△ABC中,点M是AB的中点,且=,BN与CM相交于E,设=a,=b,试用基底a,b表示向量.
提升练习
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.已知平面向量a=(2,-1),b=(1,3),那么|a+b|等于 ( )
A.5 B. C. D.13
2.一条渔船距对岸4 km,以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实际航程为8 km,则河水的流速为 ( )
A.2 km/h B.2 km/h
C. km/h D.3 km/h
3.两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°时,合力大小为20 N,当它们的夹角为120°时,合力大小为 ( )
A.40 N B.10 N
C.20 N D.40 N
4.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4),B(5,2),C(-1,-4),则该三角形为 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
二、填空题(每小题5分,共20分)
5.若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足5=+3,则△ABM与△ABC的面积比为 .
6.已知向量=(4,-5),=(-7,9)分别表示两个力f1,f2,则f1+f2的大小为 .
7.如图,在重300 N的物体上拴两根绳子,这两根绳子在铅垂线的两侧,与铅垂线的夹角分别为30°,60°,要使整个系统处于平衡状态,两根绳子的拉力分别为 .
8.已知△AOB,点P在直线AB上,且满足=2t+t(t∈R),则t= .
三、解答题(共10分)
9.如图所示,已知△AOB中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),=,=,AD与BC相交于点M,求点M的坐标.
