单元素养检测(一)(第四章)
(120分钟 150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.若函数f(x)=则f= ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
2.式子-log32×log427+2 0230等于 ( )
A.0 B. C.-1 D.
3.函数y=的定义域是 ( )
A.(1,+∞) B.(2,+∞)
C.(-∞,2] D.(1,2]
4.生物体死亡后,它机体内原有的碳14含量P会按确定的比率衰减(称为衰减率),P与死亡年数t之间的函数关系式为P=(其中a为常数),大约每经过5 730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的79%,则可推断该文物属于 ( )
参考数据:log20.79≈-0.34.
参考时间:
战国:公元前475-前221年
汉:公元前202-220年
唐:618-907年
北宋:960-1127年
A.战国 B.汉 C.唐 D.北宋
【补偿训练】
生物学家为了了解滥用抗生素对生态环境的影响,常通过检测水中生物体内抗生素的残留量来作出判断.已知水中某生物体内抗生素的残留量y(单位:mg)与时间t(单位:年)近似满足数学函数关系式y=λ(1-e-λt),其中λ为抗生素的残留系数.经测试发现,当t=23时,y=λ,则抗生素的残留系数λ的值约为 ( )
A.10 B. C.100 D.
5.设函数f(x)=若f (a)=1,则a的值为 ( )
A.-1 B.1
C.-1或1 D.-1或1或-2
【补偿训练】
已知a=0.23,b=log36,c=log714,则 ( )
A.c>b>a B.b>c>a
C.a>c>b D.a>b>c
6.函数f(x)=lg ,x∈(-1,1)的图象关于 ( )
A.y轴对称 B.x轴对称
C.原点对称 D.直线y=x对称
7.函数f(x)=lo(x2-4)的单调递增区间为 ( )
A.(0,+∞) B.(-∞,0)
C.(2,+∞) D.(-∞,-2)
8.(2022·全国甲卷)已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9,则 ( )
A.a>0>b B.a>b>0
C.b>a>0 D.b>0>a
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
9.已知正数x,y,z,满足3x=4y=12z,则 ( )
A.6z<3x<4y B.+=
C.x+y>4z D.xy<4z2
10.已知loga<1(a>0且a≠1),则实数a的取值范围可以是 ( )
A.0, B.,+∞
C.,1 D.(1,+∞)
11.已知三个数60.5,0.56,log0.56,说法正确的是 ( )
A.三个数中最大的是60.5
B.三个数中最小的是log0.56
C.三个数中最大的是log0.56
D.三个数中最小的是0.56
12.对于下列结论中,正确的是 ( )
A.函数y=ax+2(x∈R)的图象可以由函数y=ax(a>0且a≠1)的图象平移得到
B.函数y=2x与函数y=log2x的图象关于y轴对称
C.方程log5(2x+1)=log5(x2-2)的解集为{-1,3}
D.函数y=ln (1+x)-ln (1-x)为奇函数
三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13.设函数f(x)=则f= ;不等式f(x)>4的解集为 .
14.(2021·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a= .
15.曲线y=loga(x-3)+3(a>0,a≠1)恒过定点 .
16.已知定义在R上的函数f(x)=ln(-x)++2x+1,定义在R上的函数y=g(x)满足g(x)+g(-x)=2,设函数f(x)与g(x)图象交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),则f(2)+f(-2)的值为 ;(xi+yi)的值为 (用n表示).
四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)求下列函数的定义域.
(1)f(x)=;
(2)f(x)=.
18.(12分)若lg a,lg b是方程2x2-4x+1=0的两根,求lg(ab)·的值.
19.(12分)已知函数f(x)=log4(4x+1)+2kx(k∈R)是偶函数.
(1)求k的值;
(2)若方程f(x)=m有解,求实数m的取值范围.
20.(12分)已知函数f(x)=loga(a>0,a≠1),其定义域为D.
(1)若D=R,求实数t的取值范围.
(2)若存在 D,使得f(x)在上的值域为,求实数t的取值范围.
21.(12分)分贝是计量声音强度相对大小的单位.物理学家引入了声压级(spl)来描述声音的大小:把声压P0=2×10-5帕作为参考声压,把所要测量的声压P与参考声压P0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级.声压级是听力学中最重要的参数之一,单位是分贝(dB).分贝值在60以下为无害区,60~110为过渡区,110以上为有害区.
(1)根据上述材料,列出分贝y与声压P的函数关系式;
(2)某地声压P=0.002帕,试问该地为以上所说的什么区
(3)某晚会中,观众用仪器测量到最响亮的一次音量达到了90分贝,试求此时的声压是多少
22.(12分)已知指数函数y=g(x)满足g(2)=4,定义域为R的函数f (x)=是奇函数.
(1)确定y=g(x)的解析式.
(2)求m,n的值.
(3)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求实数k的取值范围.单元素养检测(一)(第四章)
(120分钟 150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.若函数f(x)=则f= ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:选A.因为f(x)= ,
则f(0)=20=1,
因此,f[f(0)]=f(1)=log31=0.
2.式子-log32×log427+2 0230等于 ( )
A.0 B. C.-1 D.
解析:选A.-log32×log427+2 0230
=-×+1=-×+1=-+1=0.
3.函数y=的定义域是 ( )
A.(1,+∞) B.(2,+∞)
C.(-∞,2] D.(1,2]
解析:选D.由lo(x-1)≥0得0
4.生物体死亡后,它机体内原有的碳14含量P会按确定的比率衰减(称为衰减率),P与死亡年数t之间的函数关系式为P=(其中a为常数),大约每经过5 730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的79%,则可推断该文物属于 ( )
参考数据:log20.79≈-0.34.
参考时间:
战国:公元前475-前221年
汉:公元前202-220年
唐:618-907年
北宋:960-1127年
A.战国 B.汉 C.唐 D.北宋
解析:选B.由题可知,
当t=5730时,P=,故=,
解得a=5730,所以P=,
所以当P=0.79时,解方程0.79=,
两边取以2为底的对数得log20.79=log2=-≈-0.34,
解得t≈1948.2,
所以2021-1948.2=72.8∈(-202,220),所以可推断该文物属于汉朝.
【补偿训练】
生物学家为了了解滥用抗生素对生态环境的影响,常通过检测水中生物体内抗生素的残留量来作出判断.已知水中某生物体内抗生素的残留量y(单位:mg)与时间t(单位:年)近似满足数学函数关系式y=λ(1-e-λt),其中λ为抗生素的残留系数.经测试发现,当t=23时,y=λ,则抗生素的残留系数λ的值约为 ( )
A.10 B. C.100 D.
解析:选B.当t=23时,y=λ,则λ=λ,e-23λ=,-23λ=ln ,即23λ=ln 10≈2.3,故λ≈.
5.设函数f(x)=若f (a)=1,则a的值为 ( )
A.-1 B.1
C.-1或1 D.-1或1或-2
解析:选C.因为f(a)=1,
所以或
(a2+a>0与a>0的公共解为a>0),
所以或
所以a=-1或a=1.
【补偿训练】
已知a=0.23,b=log36,c=log714,则 ( )
A.c>b>a B.b>c>a
C.a>c>b D.a>b>c
解析:选B.因为0log72, 所以b>c>a.
6.函数f(x)=lg ,x∈(-1,1)的图象关于 ( )
A.y轴对称 B.x轴对称
C.原点对称 D.直线y=x对称
解析:选C.f(x)=lg ,x∈(-1,1),
所以f(-x)=lg =lg
=-lg =-f(x).
即f (x)为奇函数,关于原点对称.
7.函数f(x)=lo(x2-4)的单调递增区间为 ( )
A.(0,+∞) B.(-∞,0)
C.(2,+∞) D.(-∞,-2)
解析:选D.函数y=f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),因为函数y=f(x)是由y=lot与t=g(x)=x2-4复合而成的,又y=lot在(0,+∞)上单调递减,g(x)在(-∞,-2)上单调递减,所以函数y=f(x)在(-∞,-2)上单调递增.
8.(2022·全国甲卷)已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9,则 ( )
A.a>0>b B.a>b>0
C.b>a>0 D.b>0>a
解析:选A.由9m=10可得m=log910=>1,而lg 9lg 11<=<1=,所以>,即m>lg 11,
所以a=10m-11>10lg 11-11=0.
又lg 8lg 10<=<,所以>,即log89>m,
所以b=8m-9<-9=0.
综上,a>0>b.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
9.已知正数x,y,z,满足3x=4y=12z,则 ( )
A.6z<3x<4y B.+=
C.x+y>4z D.xy<4z2
解析:选AC.由题意,可令3x=4y=12z=m>1,由指对互化得:=x,=y,=z,所以=logm3,=logm4,=logm12,则有+=,故选项B错误;
对于选项A,-=logm12-logm9=
logm>0,所以x>2z,又-=logm81-logm64=logm>0,所以4y>3x,所以4y>3x>6z,故选项A正确;
对于选项C,D,
因为+=,所以z=,
所以4z2-xy=
=-<0,所以xy>4z2,
则z>4z2,则x+y>4z,所以选项C正确,选项D错误.
10.已知loga<1(a>0且a≠1),则实数a的取值范围可以是 ( )
A.0, B.,+∞
C.,1 D.(1,+∞)
解析:选AD.因为loga<1=logaa,
所以当01时,y=loga<0,所以a>1符合题意.综上知A,D正确.
11.已知三个数60.5,0.56,log0.56,说法正确的是 ( )
A.三个数中最大的是60.5
B.三个数中最小的是log0.56
C.三个数中最大的是log0.56
D.三个数中最小的是0.56
解析:选AB.因为60.5>60=1;0<0.56<0.50=1;log0.5612.对于下列结论中,正确的是 ( )
A.函数y=ax+2(x∈R)的图象可以由函数y=ax(a>0且a≠1)的图象平移得到
B.函数y=2x与函数y=log2x的图象关于y轴对称
C.方程log5(2x+1)=log5(x2-2)的解集为{-1,3}
D.函数y=ln (1+x)-ln (1-x)为奇函数
解析:选AD.y=ax+2的图象可由y=ax的图象向左平移2个单位得到,A正确;
y=2x与y=log2x的图象关于直线y=x对称,B错误;
由log5(2x+1)=log5(x2-2),
得
所以
所以x=3,C错误;
设f(x)=ln (1+x)-ln (1-x),定义域为(-1,1),关于原点对称,f(-x)=ln (1-x)-ln (1+x)=-[ln (1+x)-ln (1-x)]=-f(x).所以f(x)是奇函数,D正确.
三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13.设函数f(x)=则f= ;不等式f(x)>4的解集为 .
解析:因为log23所以f==3;
不等式f(x)>4可化为 或
解得x>17或无解,所以原不等式的解集为(17,+∞).
答案:3
14.(2021·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a= .
解析:设g(x)=a·2x-2-x,由已知g(x)为奇函数,则g(0)=a·20-2-0=a-1=0,因此a=1.
答案:1
15.曲线y=loga(x-3)+3(a>0,a≠1)恒过定点 .
解析:由loga1=0,知曲线y=loga(x-3)+3(a>0,a≠1)恒过定点(4,3).
答案:(4,3)
16.已知定义在R上的函数f(x)=ln(-x)++2x+1,定义在R上的函数y=g(x)满足g(x)+g(-x)=2,设函数f(x)与g(x)图象交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),则f(2)+f(-2)的值为 ;(xi+yi)的值为 (用n表示).
【解题提示】根据f(x)的解析式计算f(-x)+f(x)的值,则f(2)+f(-2)可求;先判断出f(x)的对称性,然后根据g(x)的对称性,分析出图象交点的对称性,由此求解出(xi+yi)的值.
解析:因为f(-x)+f(x)
=+
ln(-x)++2x+1=2 ,
即f(-x)+f(x)=2,所以f(-2)+f(2)=2,f(x)的图象关于点(0,1)对称.
又因为g(x)+g(-x)=2,
所以g(x)的图象也关于点(0,1)对称,
所以f(x),g(x)图象的交点关于点(0,1)对称,
则(xi+yi)=(x1+x2+…+xn)+(y1+y2+…+yn)=
+
所以(xi+yi)=+=n.
答案:2 n
四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)求下列函数的定义域.
(1)f(x)=;
(2)f(x)=.
解析:(1)要使函数有意义,须满足
所以
所以函数的定义域为{x|x>-1且x≠7}.
(2)要使函数有意义,须满足:92x-1-≥0,所以34x-2≥3-3,所以x≥-,
所以函数的定义域为.
18.(12分)若lg a,lg b是方程2x2-4x+1=0的两根,求lg(ab)·的值.
解析:因为lg a,lg b是方程2x2-4x+1=0的两根,
所以
所以
所以=(lg a-lg b)2
=(lg a+lg b)2-4lg a·lg b
=-4lg a·lg b
=22-4×=2.
所以lg(ab)·=2×2=4.
19.(12分)已知函数f(x)=log4(4x+1)+2kx(k∈R)是偶函数.
(1)求k的值;
(2)若方程f(x)=m有解,求实数m的取值范围.
解析:(1)由函数f(x)是偶函数,
可知f(x)=f(-x),
所以log4(4x+1)+2kx=log4(4-x+1)-2kx,即log4=-4kx,
所以log44x=-4kx,
所以x=-4kx,即(1+4k)x=0对一切x∈R恒成立, 所以k=-.
(2)由m=f(x)=log4(4x+1)-x
=log4=log42x+,
因为2x+≥2,当且仅当x=0时等号成立,所以m≥log42=.
故要使方程f(x)=m有解,实数m的取值范围为,+∞.
20.(12分)已知函数f(x)=loga(a>0,a≠1),其定义域为D.
(1)若D=R,求实数t的取值范围.
(2)若存在 D,使得f(x)在上的值域为,求实数t的取值范围.
【解题提示】(1)根据等价转化为ax+t>0恒成立问题,简单计算即可.
(2)根据复合函数的单调性(同增异减),不管a>1还是0解析:(1)因为f(x)的定义域为R,所以ax+t>0恒成立,所以t>-ax恒成立,
因为-ax<0,所以t≥0,所以t的取值范围为[0,+∞).
(2)注意不论a>1还是0都有f(x)在定义域上单调递增,
由f(x)在上的值为可知,
即
所以m,n是ax--t=0的两个根,设u=(u>0),因为m0且两根之积即-t>0,解得-21.(12分)分贝是计量声音强度相对大小的单位.物理学家引入了声压级(spl)来描述声音的大小:把声压P0=2×10-5帕作为参考声压,把所要测量的声压P与参考声压P0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级.声压级是听力学中最重要的参数之一,单位是分贝(dB).分贝值在60以下为无害区,60~110为过渡区,110以上为有害区.
(1)根据上述材料,列出分贝y与声压P的函数关系式;
(2)某地声压P=0.002帕,试问该地为以上所说的什么区
(3)某晚会中,观众用仪器测量到最响亮的一次音量达到了90分贝,试求此时的声压是多少
解析:(1)由已知,得y=20lg.
又因为P0=2×10-5,则y=20lg.
(2)当P=0.002帕时,
y=20lg=20lg102=40(分贝).
由已知条件知40分贝小于60分贝,所以该地为无害区.
(3)由题意,得90=20lg,则=104.5,
所以P=104.5P0=104.5×2×10-5
=2×10-0.5≈0.63(帕).
22.(12分)已知指数函数y=g(x)满足g(2)=4,定义域为R的函数f (x)=是奇函数.
(1)确定y=g(x)的解析式.
(2)求m,n的值.
(3)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求实数k的取值范围.
解析:(1)因为指数函数y=g(x)满足g(2)=4.所以g(x)=2x.
(2)由(1)知f(x)=.
因为f (x)在R上是奇函数,
所以f (0)=0,即=0,所以n=1.
所以f(x)=.
又由f(1)=-f(-1)知=-,
解得m=2.
故m=2,n=1.
(3)由(2)知f (x)==-+,易知f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.
又f(x)是奇函数,从而不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0等价于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2),
所以t2-2t>k-2t2,即3t2-2t-k>0.
由判别式Δ=4+12k<0
可得k.