三 指数函数的性质与图象的应用
基础练习
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2019·全国卷Ⅱ)设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex-1,则当x<0时,f(x)= ( )
A.e-x-1 B.e-x+1
C.-e-x-1 D.-e-x+1
解析:选D.当x<0时,-x>0,则有f(-x)=e-x-1,又因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)=-e-x+1.
2.已知函数f(x)=2x,则f(1-x)的图象为 ( )
解析:选B.f(1-x)=21-x=x-1是减函数,故排除选项C,D,又当x=0时,f(1-0)=0-1=2,排除A.
3.已知a=-1.1,b=π0 ,c=30.9,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.c
C.b解析:选D.由指数函数的性质可得:a=-1.1=31.1>30.9=c>1=π0=b,即b4.设函数f(x)定义域为R,对于给定的正数k,定义函数fk(x)=若函数f(x)=2|x|,则( )
A.f2(-2)=-4
B.f2(x)在(-∞,-1)单调递减
C.f2(x)为奇函数
D.f2(x)最大值为2
解析:选B.对于选项A,f(-2)=4>2,所以f2(-2)=4,故A选项错误;
对于选项B,f(x)=2|x|的图象如图所示,
所以f2(x)的大致图象,如图所示,
由图象可知,f2(x)在(-∞,-1)单调递减,故B选项正确;
对于选项C,由f2(x)图象可知,图象关于y轴对称,所以函数f2(x)是偶函数,故C选项错误;对于选项D,由f2(x)图象可知,f2(x)的最小值为2,无最大值,故D选项错误.
【补偿训练】
1.当0A.(1-a>(1-a)b
B.(1+a)a>(1+b)b
C.(1-a)b>(1-a
D.(1-a)a>(1-b)b
解析:选D.对A,因为01>b,
则(1- a<(1-a)b,故A错误;
对B,因为0对C,由A选项,y=(1-a)x单调递减,又b>,则(1-a)b<(1-a,故C错误;
对D可得(1-a)a>(1-a)b,
又1-a>1-b,则(1-a)b>(1-b)b,
则(1-a)a>(1-b)b,故D正确.
2.(多选题)高斯(Gauss)是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数,例如:[-2.3]=-3,[15.31]=15.已知函数f(x)=-,G(x)=[f(x)],则下列说法正确的有 ( )
A.G(x)是偶函数
B.G(x)的值域是{-1,0}
C.f(x)是奇函数
D.f(x)在R上是增函数
解析:选BC.对于A,G(-1)=[f(-1)]==0,G(1)=[f(1)]=-=-1,
所以G(1)≠G(-1),所以G(x)不是偶函数,A错误;
对于B,f(x)=-
=-+,
因为2x>0,所以1+2x>1,所以0<<1,所以f(x)∈-,,
当f(x)∈-,0时,G(x)=[f(x)]=-1,
当f(x)∈0,时,G(x)=[f(x)]=0,
所以G(x)的值域是{-1,0},B正确;对于C,f(-x)+f(x)=-+-=1-=0,
所以f(x)为奇函数,C正确;
对于D,y=2x在R上单调递增,所以y=在R上单调递减,
f(x)=-=-+在R上单调递减,即f(x)在R上是减函数,D错误.
5.(多选题)对于函数f(x)的定义域中的任意的x1,x2(x1≠x2),当f(x)=10x时,下列结论中正确的是 ( )
A.f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)
B.f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)
C.>0
D.<0
解析:选AC.因为f(x)=10x,且x1≠x2,
所以f(x1+x2)=1=1·1=f(x1)·f(x2),所以A正确;
因为f(x1·x2)=1≠1+1=f(x1)+f(x2),所以B不正确;
因为f(x)=10x是增函数,所以f(x1)-f(x2)与x1-x2同号,所以>0,所以C正确.D不正确.
二、填空题(共5分)
6.函数y=的单调递减区间为 .
解析:令u=x2+2x-3,其函数图象开口向上,对称轴为x=-1.x∈(-∞,-1)时,函数是减函数;y=2u是增函数.由复合函数的单调性可知函数y=的单调递减区间为(-∞,-1).
答案:(-∞,-1)
三、解答题(共10分)
7.已知函数y=9x-2·3x+2,x∈[1,2],求函数的值域.
解析:y=9x-2·3x+2=(3x)2-2·3x+2,设t=3x,因为x∈[1,2],所以t∈[3,9],
则函数化为y=t2-2t+2,t∈[3,9].
因为f(t)=(t-1)2+1,f(t)在[3,9]上递增,所以f(3)≤f(t)≤f(9),所以5≤f(t)≤65,即值域为[5,65].
【补偿训练】
已知函数y=ax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为20,记f(x)=.
(1)求a的值;
(2)证明f(x)+f(1-x)=1;
(3)求f+f+f+…+f的值.
解析:(1)由题意,函数y=ax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为20,
因为指数函数y=ax(a>0且a≠1)在[1,2]上单调递增或单调递减,可得a+a2=20,得a=4或a=-5(舍去),所以a=4.
(2)由(1)知f(x)=,则f(1-x)===,所以f(x)+f(1-x)=+==1.
(3)由(2)知,f+f=f+f=…=f+f=1,
所以f+f+…+f=f+f+
f+f
+…+f+f=1 011,
即f+f+f+…+f=1 011.
提升练习
一、选择题(每小题5分,共15分)
1.(2019·全国卷Ⅲ)函数y=在[-6,6]上的图象大致为 ( )
解析:选B.因为y=f(x)=,
所以f(-x)==-
=-f(x),
所以f(x)为奇函数,排除选项C.
又因为f(4)=≈=8,
根据图象进行判断,可知选项B符合题意.
2.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数.例如:[-3.5]=-4,[2.1]=2,已知函数f(x)=-,则函数 y=[f(x)]+[f(-x)]的值域是 ( )
A.{0,1} B.{1}
C.{-1,0,1} D.{-1,0}
解析:选D.因为f(x)=,
f(-x)==-f(x),
所以f(x)为奇函数.
因为函数f(x)=-,
所以化简得出:f(x)=-.
因为ex+1>1,
所以0<<1,-<-<,
所以当f(x)∈-,0时,
[f(x)]=-1,[f(-x)]=0,当f(x)∈0,时,[f(x)]=0,[f(-x)]=-1,
当f(x)=0时,[f(x)]=0,[f(-x)]=0,
所以函数y=[f(x)]+[f(-x)]的值域为{-1,0}.
3.(多选题)若4x+2x+1+m>1对一切实数x成立,则能满足不等式的实数m的取值可以是 ( )
A.-1 B.1 C.0 D.2
解析:选BD.4x+2x+1+m>1等价于(2x)2+2·2x+1>2-m,即(2x+1)2>2-m.
因为2x∈(0,+∞),所以2x+1∈(1,+∞),
所以2-m≤1.解得m≥1.
二、填空题(每小题5分,共15分)
4.不等式23-2x<0.53x-4的解集为 .
解析:原不等式可化为23-2x<24-3x,因为函数y=2x是R上的增函数,所以3-2x<4-3x,解得x<1,则不等式的解集为{x|x<1}.
答案:{x|x<1}
【补偿训练】
已知函数f(x)=
,满足对任意x1≠x2,都有<0成立,则a的取值范围是 .
解析:由题意,函数f(x)对任意的x1≠x2都有<0成立,
即函数f(x)= 为R上的减函数,可得 解得0答案:05.对于函数f(x),若在定义域内存在实数x0满足f(-x0)=-f(x0),则称函数f(x)为“倒戈函数”.设f(x)=3x+m-1(m∈R,m≠0)是定义在[-1,1]上的“倒戈函数”,则实数m的取值范围是 .
解析:因为f(x)=3x+m-1是定义在[-1,1]上的“倒戈函数”,存在x0∈[-1,1]满足f(-x0)=-f(x0),所以+m-1=--m+1,所以2m=--+2,构造函数y=--+2,x0∈[-1,1],令t=,t∈,3,y=--t+2=2-t+在,1上单调递增,在(1,3]单调递减,所以t=1时取得最大值0,t=或t=3取得最小值-,y∈-,0,所以-≤2m<0,所以-≤m<0
答案:-,0
6.已知函数f(x)=+a为奇函数,则a的值为 .
解析:方法一:因为f(x)为奇函数,
所以f(-x)+f(x)=0,即+a++a=0,
所以2a=--=-=-1,所以a=-.
方法二:f(0)=+a=+a,
又f(0)=0,所以a=-.
答案:-
【补偿训练】
函数f(x)=2|x-a|(a∈R)满足f(1+x)=f(1-x),且f(x)在[m,+∞)上单调递增,则实数m的最小值等于 .
解析:因为f(x)=2|x-a|,所以f(x)的图象关于直线x=a对称.
又由f(1+x)=f(1-x),知f(x)的图象关于直线x=1对称,
故a=1.且f(x)的增区间是[1,+∞),
由函数f(x)在[m,+∞)上单调递增,知[m,+∞) [1,+∞),
所以m≥1,故m的最小值为1.
答案:1
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.已知9x-10·3x+9≤0,求函数y=x-1-4·x+2的最大值和最小值.
解析:由已知得(3x)2-10·3x+9≤0,
得(3x-9)(3x-1)≤0.
所以1≤3x≤9,故0≤x≤2.
而y=x-1-4·x+2=4·2x-4·x+2,
令t=x≤t≤1,则y=f(t)=4t2-4t+2=4t-2+1.
当t=即x=1时,ymin=1;
当t=1即x=0时,ymax=2.
8.已知函数f(x)=3x,且f(a+2)=18,g(x)=3ax-4x的定义域为[-1,1].
(1)求3a的值及函数g(x)的解析式.
(2)试判断函数g(x)的单调性.
(3)若方程g(x)=m有解,求实数m的取值范围.
解析:(1)f(a+2)=3a+2=32·3a=18,
所以3a=2,
所以g(x)=(3a)x-4x=2x-4x.
(2)g(x)=2x-4x=-(2x)2+2x,
令2x=t∈,2,
所以g(x)=μ(t)=-t2+t=-t-2+在t∈,2上单调递减,又t=2x为单调递增函数,所以g(x)在x∈[-1,1]上单调递减.
(3)由(2)知g(x)=μ(t)=-t2+t=
-t-2+在t∈,2上单调递减,所以g(x)∈-2,,即m∈-2,.三 指数函数的性质与图象的应用
基础练习
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2019·全国卷Ⅱ)设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex-1,则当x<0时,f(x)= ( )
A.e-x-1 B.e-x+1
C.-e-x-1 D.-e-x+1
2.已知函数f(x)=2x,则f(1-x)的图象为 ( )
3.已知a=-1.1,b=π0 ,c=30.9,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.cC.b4.设函数f(x)定义域为R,对于给定的正数k,定义函数fk(x)=若函数f(x)=2|x|,则( )
A.f2(-2)=-4
B.f2(x)在(-∞,-1)单调递减
C.f2(x)为奇函数
D.f2(x)最大值为2
【补偿训练】
1.当0A.(1-a>(1-a)b
B.(1+a)a>(1+b)b
C.(1-a)b>(1-a
D.(1-a)a>(1-b)b
2.(多选题)高斯(Gauss)是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数,例如:[-2.3]=-3,[15.31]=15.已知函数f(x)=-,G(x)=[f(x)],则下列说法正确的有 ( )
A.G(x)是偶函数
B.G(x)的值域是{-1,0}
C.f(x)是奇函数
D.f(x)在R上是增函数
5.(多选题)对于函数f(x)的定义域中的任意的x1,x2(x1≠x2),当f(x)=10x时,下列结论中正确的是 ( )
A.f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)
B.f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)
C.>0
D.<0
二、填空题(共5分)
6.函数y=的单调递减区间为 .
三、解答题(共10分)
7.已知函数y=9x-2·3x+2,x∈[1,2],求函数的值域.
【补偿训练】
已知函数y=ax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为20,记f(x)=.
(1)求a的值;
(2)证明f(x)+f(1-x)=1;
(3)求f+f+f+…+f的值.
提升练习
一、选择题(每小题5分,共15分)
1.(2019·全国卷Ⅲ)函数y=在[-6,6]上的图象大致为 ( )
2.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数.例如:[-3.5]=-4,[2.1]=2,已知函数f(x)=-,则函数 y=[f(x)]+[f(-x)]的值域是 ( )
A.{0,1} B.{1}
C.{-1,0,1} D.{-1,0}
3.(多选题)若4x+2x+1+m>1对一切实数x成立,则能满足不等式的实数m的取值可以是 ( )
A.-1 B.1 C.0 D.2
二、填空题(每小题5分,共15分)
4.不等式23-2x<0.53x-4的解集为 .
【补偿训练】
已知函数f(x)=
,满足对任意x1≠x2,都有<0成立,则a的取值范围是 .
5.对于函数f(x),若在定义域内存在实数x0满足f(-x0)=-f(x0),则称函数f(x)为“倒戈函数”.设f(x)=3x+m-1(m∈R,m≠0)是定义在[-1,1]上的“倒戈函数”,则实数m的取值范围是 .
6.已知函数f(x)=+a为奇函数,则a的值为 .
【补偿训练】
函数f(x)=2|x-a|(a∈R)满足f(1+x)=f(1-x),且f(x)在[m,+∞)上单调递增,则实数m的最小值等于 .
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.已知9x-10·3x+9≤0,求函数y=x-1-4·x+2的最大值和最小值.
8.已知函数f(x)=3x,且f(a+2)=18,g(x)=3ax-4x的定义域为[-1,1].
(1)求3a的值及函数g(x)的解析式.
(2)试判断函数g(x)的单调性.
(3)若方程g(x)=m有解,求实数m的取值范围.