五 对数运算法则
基础练习
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.(2020·全国Ⅰ卷)设alog34=2,则4-a= ( )
A. B. C. D.
2.log62+log63等于 ( )
A.1 B.2 C.5 D.6
3.(2022·郑州高一检测)已知a=log23,b=log25,则log415= ( )
A.2a+2b B.a+b
C.ab D.a+b
【补偿训练】
已知a=log32,那么log38-2log36用a表示是 ( )
A.a-2 B.5a-2
C.3a-(1+a)2 D.3a-a2-1
4.计算log89·log932的结果为 ( )
A.4 B. C. D.
【补偿训练】
1.log52·log425等于 ( )
A.-1 B. C.1 D.2
2.质数也叫素数,17世纪法国数学家马林·梅森曾对“2p-1”(p是素数)型素数作过较为系统而深入的研究,因此数学界将“2p-1”(p是素数)形式的素数称为梅森素数.已知第12个梅森素数为M=2127-1,第14个梅森素数为N=2607-1,则下列各数中与最接近的数为(参考数据:lg 2≈0.3010) ( )
A.10140 B.10142 C.10144 D.10146
5.已知2a=3b=5,则log512= ( )
A. B.
C.a+2b D.2a+b
6.(多选题)下列各式均有意义,其中正确的是 ( )
A.loga(MN)=logaM+logaN
B.loga(M-N)=
C.logab=
D.logcd·logdf=logcf
二、填空题(共5分)
7.(2022·南阳高一检测)
= .
三、解答题(每小题10分,共20分)
8.计算:(1)lg -lg +lg 12.5-log89·log34.
(2)(log25+log40.2)(log52+log250.5).
【补偿训练】
已知loga2=m,loga3=n.
(1)求的值.
(2)求loga18.
9.不用计算器求下列各式的值:
(1)lg 25+lg 4++2log3.
(2)[(1-log63)2+log62·log618]÷log64.
提升练习
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.若5a=2b=1且abc≠0,则+= ( )
A.2 B.1 C.3 D.4
2.如果关于lg x的方程lg 2x+(lg 2+lg 3)lg x+lg 2·lg 3=0的两根为lg x1,lg x2,那么x1·x2的值为 ( )
A.lg 2·lg 3 B.lg 2+lg 3
C. D.-6
【补偿训练】
若lg 2=a,lg 3=b,则等于 ( )
A. B.
C. D.
3.若2a=3b(ab≠0),则log32= ( )
A. B. C.ab D.
【补偿训练】
在,,lo,lobn(a,b均为不等于1的正数,且ab≠1)其中与logab相等的有 ( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
4.(多选题)当a>0且a≠1,x>0,y>0,n∈N*时,下列各式恒成立的是 ( )
A.logaxn=nlogax
B.logax=nloga
C.=x
D.logaxn+logayn=n(logax+logay)
5.2022年5月10日凌晨,天舟四号货运飞船在长征七号遥五运载火箭的托举下一飞冲天,2022年中国空间站建造任务首战告捷.在所有航天工程中,火箭的作用毋庸置疑,在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v(km/s)和燃料的质量M(kg)、火箭(除燃料外)的质量m(kg)的函数关系是v=2 000 ln1+.按照这个规律,若火箭的最大速度v可达到第二宇宙速度11.2 km/s,则火箭的燃料质量M与火箭质量m之比约为 ( )
(参考数据:e0.0056≈1.0056)
A.0.004 4 B.2.005 6
C.1.005 6 D.0.005 6
6.在有声世界,声强级是表示声强度相对大小的指标.声强级y(单位:dB)与声强度I(单位:W/m2)之间的关系为y=10lg ,其中基准值I0=10-12W/m2.若声强级为60 dB时的声强度为I60,声强级为90 dB时的声强度为I90,则的值为 ( )
A.10 B.30 C.100 D.1 000
二、填空题(每小题5分,共10分)
7.(lg 2)2+lg 5·lg 20+()0+0.02×-2= .
8.已知lg (x+2y)+lg (x-y)=lg 2+lg x+lg y(x≠1,y≠1),则= .logx2+logxy=
三、解答题(共10分)
9.若a,b是方程2(lg x)2-lg x4+1=0的两个实根,求lg(ab)·(logab+logba)的值.
【补偿训练】
1.已知loga(x2+4)+loga(y2+1)=loga5+loga(2xy-1)(a>0且a≠1),求log8的值.
2.计算下列各式的值.
(1)-2-lg 0.01+ln e3.
(2)(lo5+log2)log52.
3.声音通过空气的震动所产生的压强叫声压强,简称声压,单位为帕斯卡(Pa),把声压的有效值取对数来表示声音的强弱,这种表示声音强弱的叫做声压级,若声压级用S表示,单位为分贝(dB).若S=20lg (其中声压的有效值表示为Pt,k=2×10-5Pa),根据以上材料,回答下列问题:
(1)若两人小声交谈时声压的有效值Pt=0.000 2 Pa,求其声压级;
(2)已知我市某个学校高一学生在学校礼堂开展辩论会,如果测得声压级为100 dB.求该学校礼堂此时声压的有效值.五 对数运算法则
基础练习
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.(2020·全国Ⅰ卷)设alog34=2,则4-a= ( )
A. B. C. D.
解析:选B.由alog34=2可得log34a=2,所以4a=9,所以有4-a=.
2.log62+log63等于 ( )
A.1 B.2 C.5 D.6
解析:选A.log62+log63=log6(2×3)=log66=1.
3.(2022·郑州高一检测)已知a=log23,b=log25,则log415= ( )
A.2a+2b B.a+b
C.ab D.a+b
解析:选D.log415=log215=(log23+log25)=a+b.
【补偿训练】
已知a=log32,那么log38-2log36用a表示是 ( )
A.a-2 B.5a-2
C.3a-(1+a)2 D.3a-a2-1
解析:
选A.log38-2log36=log323-2(log32+log33)=3log32-2(log32+1)=3a-2(a+1)=a-2.
4.计算log89·log932的结果为 ( )
A.4 B. C. D.
解析:选B.log89·log932=·==.
【补偿训练】
1.log52·log425等于 ( )
A.-1 B. C.1 D.2
解析:选C.log52·log425=·
=·=1.
2.质数也叫素数,17世纪法国数学家马林·梅森曾对“2p-1”(p是素数)型素数作过较为系统而深入的研究,因此数学界将“2p-1”(p是素数)形式的素数称为梅森素数.已知第12个梅森素数为M=2127-1,第14个梅森素数为N=2607-1,则下列各数中与最接近的数为(参考数据:lg 2≈0.3010) ( )
A.10140 B.10142 C.10144 D.10146
解析:选C.=≈=2480,取x=2480,则lg x=lg2480=480lg 2≈480×0.3010=144.48,x≈10144.
5.已知2a=3b=5,则log512= ( )
A. B.
C.a+2b D.2a+b
解析:选A.因为2a=3b=5,所以a=log25,b=log35,=log52,=log53,
所以log512=log5(22·3)=2log52+log53=+=.
6.(多选题)下列各式均有意义,其中正确的是 ( )
A.loga(MN)=logaM+logaN
B.loga(M-N)=
C.logab=
D.logcd·logdf=logcf
解析:选AD.由对数的运算性质知A正确,B错误;
由换底公式可知logab=,故C选项错误,D正确.
二、填空题(共5分)
7.(2022·南阳高一检测)
= .
解析:原式=
===2.
答案:2
三、解答题(每小题10分,共20分)
8.计算:(1)lg -lg +lg 12.5-log89·log34.
(2)(log25+log40.2)(log52+log250.5).
解析:(1)方法一:lg -lg +lg 12.5-log89·log34=lg ××12.5-·=1-=-.
方法二:lg -lg +lg 12.5-log89·log34
=lg -lg +lg -·
=-lg 2-lg 5+3lg 2+(2lg 5-lg 2)-·
=(lg 2+lg 5)-=1-=-.
(2)原式=log25+log2log52+log5
=(log25+log25-1)(log52+log52-1)
=(log25-log25)(log52-log52)
=·log25·log52=.
【补偿训练】
已知loga2=m,loga3=n.
(1)求的值.
(2)求loga18.
解析:(1)因为loga2=m,loga3=n,
所以am=2,an=3,
所以=÷an=22÷3=.
(2)loga18=loga(2×32)
=loga2+loga32=loga2+2loga3
=m+2n.
9.不用计算器求下列各式的值:
(1)lg 25+lg 4++2log3.
(2)[(1-log63)2+log62·log618]÷log64.
解析:(1)原式=lg(25×4)+2+log3
=lg 100+2+log33=2+2+1=5.
(2)原式=[(log66-log63)2+log62·log6(2×32)]÷log64
=log62+log62·(log62+log632)÷log622
=[(log62)2+(log62)2+2log62·log63]÷2log62
=log62+log63
=log6(2×3)
=1.
提升练习
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.若5a=2b=1且abc≠0,则+= ( )
A.2 B.1 C.3 D.4
解析:选A.因为5a=2b=1, 所以取常用对数得,a lg 5=b lg 2=,
所以+=2lg 5+2lg 2=2(lg 5+lg 2)=2.
2.如果关于lg x的方程lg 2x+(lg 2+lg 3)lg x+lg 2·lg 3=0的两根为lg x1,lg x2,那么x1·x2的值为 ( )
A.lg 2·lg 3 B.lg 2+lg 3
C. D.-6
解析:选C.由已知,得lg x1+lg x2
=-(lg 2+lg 3)=-lg 6=lg .
因为lg x1+lg x2=lg (x1·x2),
所以lg (x1·x2)=lg ,所以x1·x2=.
【补偿训练】
若lg 2=a,lg 3=b,则等于 ( )
A. B.
C. D.
解析:选A.=
==.
3.若2a=3b(ab≠0),则log32= ( )
A. B. C.ab D.
解析:选A.2a=3b alg 2=blg 3,
所以log32==.
【补偿训练】
在,,lo,lobn(a,b均为不等于1的正数,且ab≠1)其中与logab相等的有 ( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
解析:选C.=logab,=logba,lo=logba,lobn=logab.
4.(多选题)当a>0且a≠1,x>0,y>0,n∈N*时,下列各式恒成立的是 ( )
A.logaxn=nlogax
B.logax=nloga
C.=x
D.logaxn+logayn=n(logax+logay)
解析:选ABD.要使式子=x恒成立,
必须logax=1,即a=x时恒成立.
5.2022年5月10日凌晨,天舟四号货运飞船在长征七号遥五运载火箭的托举下一飞冲天,2022年中国空间站建造任务首战告捷.在所有航天工程中,火箭的作用毋庸置疑,在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v(km/s)和燃料的质量M(kg)、火箭(除燃料外)的质量m(kg)的函数关系是v=2 000 ln1+.按照这个规律,若火箭的最大速度v可达到第二宇宙速度11.2 km/s,则火箭的燃料质量M与火箭质量m之比约为 ( )
(参考数据:e0.0056≈1.0056)
A.0.004 4 B.2.005 6
C.1.005 6 D.0.005 6
解析:选D.由题意可知11.2=2 000 ln1+,则ln 1+=0.005 6 1+=e0.005 6≈1.005 6,所以=0.005 6.
6.在有声世界,声强级是表示声强度相对大小的指标.声强级y(单位:dB)与声强度I(单位:W/m2)之间的关系为y=10lg ,其中基准值I0=10-12W/m2.若声强级为60 dB时的声强度为I60,声强级为90 dB时的声强度为I90,则的值为 ( )
A.10 B.30 C.100 D.1 000
解析:选D.由题意y=10lg 可得90=10lg ,60=10lg
所以30=90-60=10lg -10lg
=10lg -lg
所以3=lg -lg ,所以3=lg·=lg ,所以=103=1000.
二、填空题(每小题5分,共10分)
7.(lg 2)2+lg 5·lg 20+()0+0.02×-2= .
解析:(lg 2)2+lg 5·lg 20+()0+0.02×-2=(lg 2)2+lg 5·(2lg 2+lg 5)+1+[(0.3)3×9=(lg 2+lg 5)2+1+×9=1+1+100=102.
答案:102
8.已知lg (x+2y)+lg (x-y)=lg 2+lg x+lg y(x≠1,y≠1),则= .logx2+logxy=
解析:由已知条件得
即
整理得
所以x-2y=0,所以=2.
logx2+logxy=logx(2y)=1.
答案:2 1
三、解答题(共10分)
9.若a,b是方程2(lg x)2-lg x4+1=0的两个实根,求lg(ab)·(logab+logba)的值.
解析:方法一:原方程可化为2lg 2x-4lg x+1=0.
依题意知,lg a+lg b=2,lg a·lg b=,
所以lg (ab)(logab+logba)
=(lg a+lg b)+
=2×
==12.
方法二:原方程可化为2(lg x)2-4lg x+1=0,
设t=lg x,则原方程化为2t2-4t+1=0.
所以t1+t2=2,t1t2=.
由已知a,b是原方程的两个实根,
则t1=lg a,t2=lg b,
所以lg a+lg b=2,lg a·lg b=.
所以lg(ab)·(logab+logba)
=(lg a+lg b)+
=
=(lg a+lg b)·
=2×=12.
【补偿训练】
1.已知loga(x2+4)+loga(y2+1)=loga5+loga(2xy-1)(a>0且a≠1),求log8的值.
解析:由对数的运算法则,可将等式化为
loga[(x2+4)·(y2+1)]
=loga[5(2xy-1)],
所以(x2+4)(y2+1)=5(2xy-1).
整理,得x2y2+x2+4y2-10xy+9=0,
配方,得(xy-3)2+(x-2y)2=0,
所以所以=.
所以log8=log8=lo2-1=-.
2.计算下列各式的值.
(1)-2-lg 0.01+ln e3.
(2)(lo5+log2)log52.
解析:(1)原式=4-32-lg 10-2+ln e3
=4-9+2+3=0.
(2)原式=lo5+log2·log52
=(2log25+log25)log52
=log25·log52=.
3.声音通过空气的震动所产生的压强叫声压强,简称声压,单位为帕斯卡(Pa),把声压的有效值取对数来表示声音的强弱,这种表示声音强弱的叫做声压级,若声压级用S表示,单位为分贝(dB).若S=20lg (其中声压的有效值表示为Pt,k=2×10-5Pa),根据以上材料,回答下列问题:
(1)若两人小声交谈时声压的有效值Pt=0.000 2 Pa,求其声压级;
(2)已知我市某个学校高一学生在学校礼堂开展辩论会,如果测得声压级为100 dB.求该学校礼堂此时声压的有效值.
解析:(1)由题意,当Pt=0.000 2 Pa时,S=20lg =20lg=20lg 10
=20(dB),即声压级为20 dB.
(2)声压级为100 dB时,由S=20lg 可得100=20lg ,所以=105,
即Pt=105×2×10-5=2(Pa),故该学校礼堂此时声压的有效值为2 Pa.
