六 对数函数的性质与图象
基础练习
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.下列函数是对数函数的是 ( )
A.y=log(-2)x B.y=log2x2
C.y=log2x D.y=log2(x+2)
解析:选C.由对数函数的定义知y=log2x=log4x是对数函数.
【补偿训练】
下列函数表达式中,是对数函数的有 ( )
①y=logx6;②y=logax(a∈R);③y=log8x;④y=ln x;⑤y=logx(x+2);⑥y=log2(x+1).
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析:选B.由对数函数的定义知y=log8x与y=ln x是对数函数.
2.函数y=的定义域是 ( )
A.(-∞,2)
B.(2,+∞)
C.(2,3)∪(3,+∞)
D.(2,4)∪(4,+∞)
解析:选C.因为所以x>2且x≠3.
【补偿训练】
函数f(x)=+lg(3x+1)的定义域是 ( )
A.-,+∞ B.-,2
C.-2, D.(-∞,2]
解析:选B.函数f(x)=+lg(3x+1)的定义域需满足,解得-
3.函数f(x)=loga(6-ax)在[0,2]上为减函数,则a的取值范围是 ( )
A.(0,1) B.(1,3)
C.(1,3] D.[3,+∞)
解析:选B.由函数f(x)=loga(6-ax)在[0,2]上为减函数,可得函数t=6-ax在[0,2]上大于零,且t为减函数,且a>1,故有 ,解得14.将函数y=log2(2x+2)的图象向下平移1个单位长度,再向右平移1个单位长度,得到函数g(x)的图象,则g(x)= ( )
A.log2(2x+1)-1 B.log2(2x+1)+1
C.log2x-1 D.log2x
解析:选D.将函数y=log2(2x+2)的图象向下平移1个单位长度,可得y=log2(2x+2)-1,
再向右平移1个单位长度,可得y=log2[2(x-1)+2]-1=log2(2x)-1,
所以g(x)=log2(2x)-1=log2x.
【补偿训练】
1.已知函数f(x)=log3x,将函数y=f(x)的图象向右平移1个单位长度,再将所得的函数图象上的点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,然后将所得的图象上的点的纵坐标伸长为原来的3
倍,横坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,则函数g(x)的解析式为 ( )
A.g(x)=3log3x-1
B.g(x)=log3x-
C.g(x)=3log3(2x-1)
D.g(x)=3log3(2x-2)
解析:选C.由函数f(x)=log3x的图象向右平移1个单位长度得到函数y=log3(x-1)的图象,再将函数y=log3(x-1)图象上的点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到函数y=log3(2x-1)的图象,然后将函数y=log3(2x-1)图象上的点的纵坐标伸长为原来的3倍,横坐标不变,得到函数g(x)=3log3(2x-1)的图象.
2.已知函数f(x)=若f(a)=,则实数a= ( )
A.-1 B.
C.1或- D.-1或
解析:选D.f(a)= 或 a=或a=-1.
3.已知函数y=ax2-bx+c的图象如图所示,则函数y=a-x与y=logb x在同一坐标系中的图象是 ( )
解析:选B.由函数y=ax2-bx+c的图象可得,函数y=ax2-bx+c的图象过点(0,0),(4,0),(2,-2),分别代入函数式,,
解得,
函数y=a-x=2x与y=logbx=log2x都是增函数,只有选项B符合题意.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.若对数函数f(x)=lox在(0,+∞)上是增函数,则a的取值范围是 .
解析:由题意得a2-1>1即a>或a<-.
答案:{a|a>或a<-}
6.已知函数f(x)= 满足对任意的实数x1≠x2,都有<0成立,则实数a的取值范围是 .
解析:函数f(x)满足对任意的实数x1≠x2,都有<0成立,
所以函数是R上的减函数,
则
解得1≤a<2,所以a的取值范围为[1,2).
答案:[1,2)
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.求下列函数的定义域:
(1)y=log3.
(2)y=lo(3-x).
解析:(1)因为>0,所以x>-,
所以函数y=log3的定义域为-,+∞.
(2)因为
所以
所以函数的定义域为(1,2)∪(2,3).
8.已知f(x)=log3x.
(1)作出这个函数的图象.
(2)当0f(2)的a值.
解析:(1)令y=f(x)=log3x,作出函数y=log3x的图象如图所示:
(2)令f(x)=f(2),即log3x=log32,解得x=2.
由如图所示的图象知:
当0故当0f(2)的a值.
提升练习
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.奇函数f(x)满足f(2-x)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+a),则f(2 023)= ( )
A.0 B.1 C.2 D.-1
解析:选D.因为函数f(x)为奇函数,
则f(0)=log2a=0,解得a=1,
所以当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+1),由已知条件可得f(x)=f(2-x)=-f(x-2)=f(x-4),所以f(2023)=f(2023-4)=f(2019)=f(2015)=…=f(3)=f(-1)=-f(1)=-log22=-1.
2.函数f(x)=1+log2x与g(x)=21-x在同一直角坐标系下的图象大致是 ( )
解析:选C.由对数函数y=log2x过定点(1,0)可知,函数f(x)=1+log2x的图象过定点(1,1),且是单调递增的.同理,函数g(x)=21-x的图象过定点(1,1),并且是单调递减的.观察函数图象可得选项C满足条件.
【补偿训练】
已知函数f(x)=logax(0解析:选A.由题意知x=0时,y=f(1)=0,排除C,D,x=1时,y=f(2)<0,排除B.
3.已知m∈R,若定义[m]表示不超过m的最大整数,如[-1.7]=-2,[2.6]=2,[-3]=-3,若正实数x,y,z满足2x=3y=6z,则= ( )
A.5 B.4 C.3 D.2
解析:选B.令2x=3y=6z=k>0,可得x=log2k,y=log3k,z=log6k,=+=+=+=log26+log36=2+log23+log32=2+log23+,
因为log23+>2,而且log26∈(2,3),log36∈(1,2),所以∈(4,5),取整后为4.
【补偿训练】
(多选题)可以使得函数y=有意义的x的值为 ( )
A.1 B. C. D.,1
解析:选AB.要使函数有意义,需满足所以
所以x≥1,
所以函数y=的定义域为[1,+∞).选项A,B满足题意.
4.(多选题)关于函数f(x)=ln ,下列说法中正确的有 ( )
A.f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞)
B.f(x)为奇函数
C.f(x)在定义域上是增函数
D.对任意x1,x2∈(-1,1),都有f(x1)+f(x2)=f
解析:选BD.函数f(x)=ln=ln-1,其定义域满足(1-x)(1+x)>0,解得-1因为f(-x)=ln=ln-1
=-ln=-f(x),是奇函数,所以B对.
函数y=-1在定义域内是减函数,根据复合函数的单调性,同增异减,所以f(x)在定义域内是减函数,C不对.
f(x1)+f(x2)=ln+ln
=ln×=f.所以D对.
二、填空题(每小题5分,共20分)
5.函数f(x)=1-loga(2-x)(a>0,且a≠1)的图象恒过定点 .
解析:当x=1时,不管a为何值,f(1)=1是定值,所以f(x)过定点(1,1).
答案:(1,1)
6.图中的曲线是y=logax的图象,已知a的值分别为,,,,相应曲线C1,C2,C3,C4中的a依次为a1,a2,a3,a4,则它们的值分别为 .
解析:在x轴上方,由对数函数的“底大图右”的性质得到a2>a1>1>a4>a3,
所以a1,a2,a3,a4的值分别为,,,.
答案:,,,
三、解答题(共10分)
7.已知f(x)=loga(a>0,a≠1).
(1)求f(x)的定义域.
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明.
(3)若f=1,求a的值.
解析:(1)因为f(x)=loga,需有>0,即(1+x)(1-x)>0,(x+1)(x-1)<0,所以-1所以函数f(x)的定义域为(-1,1).
(2)因为f(-x)=loga=loga-1
=-loga=-f(x),
所以f(x)为奇函数.
(3)因为f=loga=loga3.
所以loga3=1,故a=3.
【补偿训练】
1.(1)已知函数y=lg (x2+2x+a)的定义域为R,求实数a的取值范围.
(2)已知函数f(x)=lg [(a2-1)x2+(2a+1)x+1],若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围.
解析:(1)因为y=lg (x2+2x+a)的定义域为R,
所以x2+2x+a>0恒成立,所以Δ=4-4a<0,所以a>1.故a的取值范围是(1,+∞).
(2)依题意(a2-1)x2+(2a+1)x+1>0对一切x∈R恒成立.
当a2-1≠0时,
解得a<-.
当a2-1=0时,显然(2a+1)x+1>0,对x∈R不恒成立.
所以a的取值范围是-∞,-.
2.已知集合A={x|y=ln(x-1)+},B=.
(1)求A∩B,A∪B.
(2)已知函数f(x)=log2log2,x∈A∪B,求函数f(x)的最大值并求函数最大值时x的值.
解析:(1)由得1所以A=,
由log2x≥,得x≥,即x≥,
所以B={x|x≥},
所以A∩B=,A∪B={x|x>1}.
(2)f(x)=log2log2
=(log2x-1)(2-log2x)
=-(log2x)2+3log2x-2
=-log2x-2+,x∈(1,+∞),
所以当log2x=时,f(x)取得最大值,此时x==2.
3.已知函数f(x)=lg (ax2+2x+1).
(1)若f(x)的定义域为R,求实数a的范围.
(2)若f(x)的值域为R,求实数a的范围.
解析:(1)若f(x)的定义域为R,则关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R.
当a=0时,x>-,这与x∈R矛盾,所以a≠0,
当a≠0时,由题意得
解得a>1.
即a的范围为{a|a>1}.
(2)若f(x)的值域为R,则ax2+2x+1能取遍一切正数,所以a=0或
解得0≤a≤1.
即a的范围为{a|0≤a≤1}.六 对数函数的性质与图象
基础练习
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.下列函数是对数函数的是 ( )
A.y=log(-2)x B.y=log2x2
C.y=log2x D.y=log2(x+2)
【补偿训练】
下列函数表达式中,是对数函数的有 ( )
①y=logx6;②y=logax(a∈R);③y=log8x;④y=ln x;⑤y=logx(x+2);⑥y=log2(x+1).
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.函数y=的定义域是 ( )
A.(-∞,2)
B.(2,+∞)
C.(2,3)∪(3,+∞)
D.(2,4)∪(4,+∞)
【补偿训练】
函数f(x)=+lg(3x+1)的定义域是 ( )
A.-,+∞ B.-,2
C.-2, D.(-∞,2]
3.函数f(x)=loga(6-ax)在[0,2]上为减函数,则a的取值范围是 ( )
A.(0,1) B.(1,3)
C.(1,3] D.[3,+∞)
4.将函数y=log2(2x+2)的图象向下平移1个单位长度,再向右平移1个单位长度,得到函数g(x)的图象,则g(x)= ( )
A.log2(2x+1)-1 B.log2(2x+1)+1
C.log2x-1 D.log2x
【补偿训练】
1.已知函数f(x)=log3x,将函数y=f(x)的图象向右平移1个单位长度,再将所得的函数图象上的点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,然后将所得的图象上的点的纵坐标伸长为原来的3
倍,横坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,则函数g(x)的解析式为 ( )
A.g(x)=3log3x-1
B.g(x)=log3x-
C.g(x)=3log3(2x-1)
D.g(x)=3log3(2x-2)
2.已知函数f(x)=若f(a)=,则实数a= ( )
A.-1 B.
C.1或- D.-1或
3.已知函数y=ax2-bx+c的图象如图所示,则函数y=a-x与y=logb x在同一坐标系中的图象是 ( )
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.若对数函数f(x)=lox在(0,+∞)上是增函数,则a的取值范围是 .
6.已知函数f(x)= 满足对任意的实数x1≠x2,都有<0成立,则实数a的取值范围是 .
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.求下列函数的定义域:
(1)y=log3.
(2)y=lo(3-x).
8.已知f(x)=log3x.
(1)作出这个函数的图象.
(2)当0f(2)的a值.
提升练习
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.奇函数f(x)满足f(2-x)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+a),则f(2 023)= ( )
A.0 B.1 C.2 D.-1
2.函数f(x)=1+log2x与g(x)=21-x在同一直角坐标系下的图象大致是 ( )
【补偿训练】
已知函数f(x)=logax(03.已知m∈R,若定义[m]表示不超过m的最大整数,如[-1.7]=-2,[2.6]=2,[-3]=-3,若正实数x,y,z满足2x=3y=6z,则= ( )
A.5 B.4 C.3 D.2
【补偿训练】
(多选题)可以使得函数y=有意义的x的值为 ( )
A.1 B. C. D.,1
4.(多选题)关于函数f(x)=ln ,下列说法中正确的有 ( )
A.f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞)
B.f(x)为奇函数
C.f(x)在定义域上是增函数
D.对任意x1,x2∈(-1,1),都有f(x1)+f(x2)=f
二、填空题(每小题5分,共20分)
5.函数f(x)=1-loga(2-x)(a>0,且a≠1)的图象恒过定点 .
6.图中的曲线是y=logax的图象,已知a的值分别为,,,,相应曲线C1,C2,C3,C4中的a依次为a1,a2,a3,a4,则它们的值分别为 .
三、解答题(共10分)
7.已知f(x)=loga(a>0,a≠1).
(1)求f(x)的定义域.
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明.
(3)若f=1,求a的值.
【补偿训练】
1.(1)已知函数y=lg (x2+2x+a)的定义域为R,求实数a的取值范围.
(2)已知函数f(x)=lg [(a2-1)x2+(2a+1)x+1],若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围.
2.已知集合A={x|y=ln(x-1)+},B=.
(1)求A∩B,A∪B.
(2)已知函数f(x)=log2log2,x∈A∪B,求函数f(x)的最大值并求函数最大值时x的值.
3.已知函数f(x)=lg (ax2+2x+1).
(1)若f(x)的定义域为R,求实数a的范围.
(2)若f(x)的值域为R,求实数a的范围.
