八 指数函数与对数函数的关系
基础练习
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.设f (x)=3x+9,则f-1(x)的定义域是 ( )
A.(0,+∞) B.(9,+∞)
C.(10,+∞) D.(-∞,+∞)
解析：选B.因为f (x)=3x+9>9,所以反函数的定义域为(9,+∞).
2.将y=2x的图象作如下平移,再作关于直线y=x对称的图象,可得到函数y=log2(x+1)的图象,其正确的平移是 ( )
A.先向上平移一个单位长度
B.先向右平移一个单位长度
C.先向左平移一个单位长度
D.先向下平移一个单位长度
解析：选D.将y=2x向下平移一个单位得到y=2x-1,再作关于直线y=x对称的图象即可得到.
3.已知函数g(x)=f(x)+x2是奇函数,当x>0时,函数f(x)的图象与函数y=log2x的图象关于y=x对称,则g(-2)= ( )
A.-7 B.-8 C.-9 D.-10
解析：选B.因为x>0时,f(x)的图象与函数y=log2x的图象关于y=x对称,
所以x>0时,f(x)=2x,
所以x>0时,g(x)=2x+x2,
又因为g(x)是奇函数,
所以g(-2)=-g(2)=-(4+4)=-8.
4.已知函数f(x)=log3(x-2)的定义域为A,则函数g(x)=(x∈A)的值域为 ( )
A.(-∞,0) B.(-∞,1)
C.[1,+∞) D.(1,+∞)
解析：选D.由x-2>0得,x>2,函数g(x)==2x-2>1,所以,函数g(x)=(x∈A)的值域为(1,+∞).
5.(多选题)以下命题错误的是 ( )
A.函数y=x的反函数是y=logx.
B.函数y=log3x的反函数的值域为R.
C.函数y=ex的图象与y=lg x的图象关于y=x对称.
D.函数f(x)=x的反函数为g(x),那么g(x)的图象一定过点(1,0).
解析：选ABC.f(x)=x的反函数为g(x)=lox,所以g(x)的图象一定过点(1,0).
二、填空题(每小题5分,共10分)
6.若函数y=的图象关于直线y=x对称,则a的值为 .
解析：由y=可得x=,则原函数的反函数是y=,所以=,得a=-1.
答案:-1
7.已知函数y=ax+b的图象过点(1,4),其反函数的图象过点(2,0),则a= ,b= .
解析：由函数y=ax+b的图象过点(1,4),得a+b=4.由反函数的图象过点(2,0),则原函数图象必过点(0,2),得a0+b=2,因此a=3,b=1.
答案:3 1
三、解答题(每小题10分,共20分)
8.求函数y=2x+1(x<0)的反函数.
解析：因为y=2x+1,0<2x<1,所以1<2x+1<2.
所以1
由2x=y-1,得x=log2(y-1).
所以f-1(x)=log2(x-1)(19.已知f(x)=loga(ax-1)(a>0,且a≠1).
解方程f(2x)=f-1(x).
解析：令y=loga(ax-1),则ay=ax-1,
所以x=loga(ay+1),
所以f-1(x)=loga(ax+1).
由f(2x)=f-1(x),
得loga(a2x-1)=loga(ax+1),
所以a2x-1=ax+1,解得ax=2或ax=-1(舍去),所以x=loga2.
提升练习
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则 f(8)= ( )
A.3 B. C.-3 D.-
解析：选A.由题意可知f(x)=logax,f(2)=loga2=1,a=2,即f(x)=log2x,f(8)=log28=3.
2.设方程x+log2x=2的解为x1,x+2x=2的解为x2,则x1+x2= ( )
A. B.1 C. D.2
解析：选D.由x+log2x=2的解为x1,
得log2x1=-x1+2,
同理x+2x=2的解为x2,得=-x2+2,
又函数y=log2x与函数y=2x互为反函数,图象关于直线y=x对称,且y=-x+2与y=x互相垂直,且交点为(1,1),
则函数y=log2x与函数y=-x+2的交点A(x1,y1),函数y=2x与函数y=-x+2的交点B(x2,y2),关于直线y=x对称,即A(x1,y1)与B(x2,y2)关于点(1,1)对称,
即x1+x2=2
3.函数f(x)=log3(2x-1)的反函数y=f-1(x)的值域为 ( )
A.(1,+∞) B.[0,+∞)
C.(0,+∞) D.[1,+∞)
解析：选C.y=f-1(x)的值域即为原函数的定义域,由2x-1>0得x>0.
4.(多选题)已知函数f(x)=x的图象与函数g(x)的图象关于直线y=x对称,令h(x)=g(1-|x|),则关于h(x)有下列命题,正确的有 ( )
A.h(x)的图象关于原点对称
B.h(x)为偶函数
C.h(x)的最小值为0
D.h(x)在(0,1)上为减函数
解析：选BC.g(x)=lox,
则h(x)=lo(1-|x|)(-1又因为h(x)=lo(1-|x|)≥lo1=0,所以C正确.因为u=1-|x|在(0,1)上为减函数,h(x)=lou为减函数,所以h(x)在(0,1)上为增函数,D错.
二、填空题(每小题5分,共20分)
5.若函数f(x)的图象和g(x)=ln(2x)的图象关于直线x-y=0对称,则f(x)的解析式为 .
解析：因为函数f(x)的图象与g(x)=ln(2x)的图象关于x-y=0对称,所以f(x)=ex.
答案:f(x)=ex
6.已知函数y=f(x)在定义域R上是单调函数,值域为(-∞,0),满足f(-1)=-,且对于任意x,y∈R,都有f(x+y)=-f(x)f(y).y=f(x)的反函数为y=f-1(x),若将y=kf(x)(其中常数k>0)的反函数的图象向上平移1个单位,将得到函数y=f-1(x)的图象,则实数k的值为 .
解析：由题意,设f(x)=y=-ax,
根据f(-1)=-,解得a=3,
所以f(x)=y=-3x,那么x=log3(-y),(y<0),x与y互换,可得f-1(x)=log3(-x),(x<0),则y=kf(x)=-k·3x,那么x=log3,x与y互换,可得y=log3-,向上平移1个单位,可得y=log3-+1,即log3(-x)=log3-,故得k=3.
答案:3
7.设函数g(x)的图象与f (x)=x∈R,且x≠-的图象关于直线y=x对称,则g(2)的值等于 .
解析：因为g(x)的图象与f(x)=的图象关于直线y=x对称,所以g(x)与f (x)互为反函数,由=2,解得x=-,所以g(2)=-.
答案:-
8.设函数f(x)=logax(a>0,a≠1)满足f(27)=3,则a= ,f-1(log92)= .
解析：因为f(27)=3,
所以loga27=3,即a=3.
所以f(x)=log3x,所以f-1(x)=3x.
所以f-1(log92)===.
答案:3
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知函数f(x)=ax-k的图象过点(1,3),其反函数y=f-1(x)的图象过点(2,0),求f(x)的表达式.
解析：因为y=f-1(x)的图象过点(2,0),
所以y=f(x)的图象过点(0,2),
即得
所以f(x)=2x+1.
10.设a>0,且a≠1,函数y=有最大值,求函数f(x)=loga(3-2x)的单调区间.
解析：设t=x2-2x+3=(x-1)2+2.
当x∈R时,t有最小值,为2.
因为y=有最大值,
所以0由f (x)=loga(3-2x),
得其定义域为-∞,.
设u(x)=3-2x,x∈-∞,,
则f(x)=logau(x).
因为u(x)=3-2x在-∞,上是减函数,0所以f(x)=logau(x)在-∞,上是增函数.
所以f(x)=loga(3-2x)的单调增区间为-∞,,无单调减区间.八 指数函数与对数函数的关系
基础练习
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.设f (x)=3x+9,则f-1(x)的定义域是 ( )
A.(0,+∞) B.(9,+∞)
C.(10,+∞) D.(-∞,+∞)
2.将y=2x的图象作如下平移,再作关于直线y=x对称的图象,可得到函数y=log2(x+1)的图象,其正确的平移是 ( )
A.先向上平移一个单位长度
B.先向右平移一个单位长度
C.先向左平移一个单位长度
D.先向下平移一个单位长度
3.已知函数g(x)=f(x)+x2是奇函数,当x>0时,函数f(x)的图象与函数y=log2x的图象关于y=x对称,则g(-2)= ( )
A.-7 B.-8 C.-9 D.-10
4.已知函数f(x)=log3(x-2)的定义域为A,则函数g(x)=(x∈A)的值域为 ( )
A.(-∞,0) B.(-∞,1)
C.[1,+∞) D.(1,+∞)
5.(多选题)以下命题错误的是 ( )
A.函数y=x的反函数是y=logx.
B.函数y=log3x的反函数的值域为R.
C.函数y=ex的图象与y=lg x的图象关于y=x对称.
D.函数f(x)=x的反函数为g(x),那么g(x)的图象一定过点(1,0).
二、填空题(每小题5分,共10分)
6.若函数y=的图象关于直线y=x对称,则a的值为 .
7.已知函数y=ax+b的图象过点(1,4),其反函数的图象过点(2,0),则a= ,b= .
三、解答题(每小题10分,共20分)
8.求函数y=2x+1(x<0)的反函数.
9.已知f(x)=loga(ax-1)(a>0,且a≠1).
解方程f(2x)=f-1(x).
提升练习
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则 f(8)= ( )
A.3 B. C.-3 D.-
2.设方程x+log2x=2的解为x1,x+2x=2的解为x2,则x1+x2= ( )
A. B.1 C. D.2
3.函数f(x)=log3(2x-1)的反函数y=f-1(x)的值域为 ( )
A.(1,+∞) B.[0,+∞)
C.(0,+∞) D.[1,+∞)
4.(多选题)已知函数f(x)=x的图象与函数g(x)的图象关于直线y=x对称,令h(x)=g(1-|x|),则关于h(x)有下列命题,正确的有 ( )
A.h(x)的图象关于原点对称
B.h(x)为偶函数
C.h(x)的最小值为0
D.h(x)在(0,1)上为减函数
二、填空题(每小题5分,共20分)
5.若函数f(x)的图象和g(x)=ln(2x)的图象关于直线x-y=0对称,则f(x)的解析式为 .
6.已知函数y=f(x)在定义域R上是单调函数,值域为(-∞,0),满足f(-1)=-,且对于任意x,y∈R,都有f(x+y)=-f(x)f(y).y=f(x)的反函数为y=f-1(x),若将y=kf(x)(其中常数k>0)的反函数的图象向上平移1个单位,将得到函数y=f-1(x)的图象,则实数k的值为 .
7.设函数g(x)的图象与f (x)=x∈R,且x≠-的图象关于直线y=x对称,则g(2)的值等于 .
8.设函数f(x)=logax(a>0,a≠1)满足f(27)=3,则a= ,f-1(log92)= .
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知函数f(x)=ax-k的图象过点(1,3),其反函数y=f-1(x)的图象过点(2,0),求f(x)的表达式.
10.设a>0,且a≠1,函数y=有最大值,求函数f(x)=loga(3-2x)的单调区间.