九 幂函数
基础练习
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.下面给出的几个函数中,是幂函数的为( )
A.y= B.y=10x
C.y=2x-3 D.y=
2.已知幂函数y=f(x)的图象过点(3,),则log2f(2)的值为 ( )
A. B.- C.1 D.-1
3.若α∈{-1,,2,3},则使函数y=xα满足①定义域为R,②增函数,③奇函数的α的值为 ( )
A.-1 B. C.2 D.3
4.已知函数f(x)=(a2-a-1)为幂函数,则实数a的值为 ( )
A.-1或2 B.-2或1
C.-1 D.1
5.若(a+1<(3-2a,则a的取值范围是 ( )
A., B.,
C.,2 D.,+∞
6.(多选题)已知n∈{-2,-1,0,1,2,3},若-n>-n,则n= ( )
A.0 B.-1 C.2 D.-2
二、填空题(每小题5分,共10分)
7.已知(0.71.3)m<(1.30.7)m,则实数m的取值范围是 .
8.已知y=(m2+2m-2)+2n-3是幂函数,则m= ,n= .
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.比较下列各题中两个幂的值的大小:
(1)2.,2..(2)(,(.
(3)(-0.31,0.3.
10.点(,2)与点-2,-分别在幂函数f(x),g(x)的图象上,问当x为何值时,有:
(1)f(x)>g(x);(2)f(x)=g(x);(3)f(x)
提升练习
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.已知幂函数f(x)=xα满足2f(2)=f(16),若a=f(log42),b=f(ln 2),c=f,则a,b,c的大小关系是 ( )
A.a>c>b B.a>b>c
C.b>a>c D.b>c>a
2.下列函数中,在区间(0,+∞)上为减函数的是 ( )
A.y= B.y=x2-1
C.y= D.y=log2x
3.已知函数f(x)既是二次函数又是幂函数,函数g(x)是R上的奇函数,函数h(x)=+1,则h(3)+h(2)+h(1)+h(0)+h(-1)+h(-2)+h(-3)= ( )
A.0 B.5 C.6 D.7
4.(多选题)已知幂函数f(x)=xα的图象经过函数g(x)=ax-2-(a>0且a≠1)的图象所过的定点,则幂函数f(x)具有的性质是 ( )
A.在定义域内有单调递减区间
B.图象过点(1,1)
C.是奇函数
D.其定义域是R
二、填空题(每小题5分,共20分)
5.已知函数f(x)=(2m2+m)为幂函数且是奇函数,则实数m= .
6.0.1,0.2,6.2从小到大依次是 .
7.已知幂函数f(x)=(m∈Z)为偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,则f(2)的值为 .
8.已知幂函数f(x)=xα过点2,,则α= .满足f(a+1)三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知幂函数y=f(x)的图象过点(4,m)和(9,3).
(1)求m的值.
(2)求函数g(x)=2f(x)在区间[16,36]上的值域.
10.已知幂函数y=x3m-9(m∈N*)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上单调递减,求满足(a+3<的a的取值范围.九 幂函数
基础练习
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.下面给出的几个函数中,是幂函数的为( )
A.y= B.y=10x
C.y=2x-3 D.y=
解析:选D.幂函数的解析式是y=xα(α为常数).
2.已知幂函数y=f(x)的图象过点(3,),则log2f(2)的值为 ( )
A. B.- C.1 D.-1
解析:选A.设幂函数y=f(x)的解析式为f(x)=xα,所以f(3)=3α=,所以α=,则f(x)=,所以f(2)==,所以log2f(2)=log2=.
3.若α∈{-1,,2,3},则使函数y=xα满足①定义域为R,②增函数,③奇函数的α的值为 ( )
A.-1 B. C.2 D.3
解析:选D.当α=-1时,y=x-1=的定义域为{x|x≠0},不满足条件①;
当α=时,y=的定义域为[0,+∞),不满足条件①;
当α=2时,y=x2为偶函数,不满足条件②;
当α=3时,y=x3满足①定义域为R,②增函数,③奇函数,满足条件.
4.已知函数f(x)=(a2-a-1)为幂函数,则实数a的值为 ( )
A.-1或2 B.-2或1
C.-1 D.1
解析:选C.因为f(x)=(a2-a-1)为幂函数,
所以a2-a-1=1,即a=2或-1.
又a-2≠0,所以a=-1.
5.若(a+1<(3-2a,则a的取值范围是 ( )
A., B.,
C.,2 D.,+∞
解析:选B.令f(x)==,所以f (x)的定义域是(0,+∞),且在(0,+∞)上是减函数,故原不等式等价于解得6.(多选题)已知n∈{-2,-1,0,1,2,3},若-n>-n,则n= ( )
A.0 B.-1 C.2 D.-2
解析:选BC.因为-<-,
且-n>-n,
所以y=xn在(-∞,0)上为减函数.
又n∈{-2,-1,0,1,2,3},所以n=-1或n=2.
二、填空题(每小题5分,共10分)
7.已知(0.71.3)m<(1.30.7)m,则实数m的取值范围是 .
解析:因为0<0.71.3<1,1.30.7>1,
所以0.71.3<1.30.7,
又因为(0.71.3)m<(1.30.7)m,
所以幂函数y=xm在(0,+∞)上单调递增,
所以m>0.
答案:(0,+∞)
8.已知y=(m2+2m-2)+2n-3是幂函数,则m= ,n= .
解析:因为y=(m2+2m-2)+2n-3是幂函数,
所以解得
所以m=-3,n=.
答案:-3
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.比较下列各题中两个幂的值的大小:
(1)2.,2..(2)(,(.
(3)(-0.31,0.3.
解析:(1)因为y=为[0,+∞)上的增函数,又2.3<2.4,所以2.<2..
(2)因为y=为(0,+∞)上的减函数,
又<,所以(>() .
(3)因为y=为R上的偶函数,所以(-0.31=0.3.又函数y=为[0,+∞)上的增函数,且0.31<0.35,
所以0.3<0.3,即(-0.31<0.3.
10.点(,2)与点-2,-分别在幂函数f(x),g(x)的图象上,问当x为何值时,有:
(1)f(x)>g(x);(2)f(x)=g(x);(3)f(x)解析:设f(x)=xα,g(x)=xβ.
因为()α=2,(-2)β=-,
所以α=2,β=-1.
所以f (x)=x2,g(x)=x-1.
分别作出它们的图象,如图所示.
由图象知
(1)当x∈(-∞,0)∪(1,+∞)时,f(x)>g(x);
(2)当x=1时,f(x)=g(x);
(3)当x∈(0,1)时,f(x)提升练习
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.已知幂函数f(x)=xα满足2f(2)=f(16),若a=f(log42),b=f(ln 2),c=f,则a,b,c的大小关系是 ( )
A.a>c>b B.a>b>c
C.b>a>c D.b>c>a
解析:选C.由2f(2)=f(16)可得2·2α=24α,所以1+α=4α,
所以α=,即f(x)=.
由此可知函数f(x)在R上单调递增.
而由换底公式可得log42==,ln 2=,=,
因为1又因为<,所以a>c.
2.下列函数中,在区间(0,+∞)上为减函数的是 ( )
A.y= B.y=x2-1
C.y= D.y=log2x
解析:选C.对于A选项,函数y=在区间(0,+∞)上为增函数;对于B选项,函数y=x2-1在区间(0,+∞)上为增函数;对于C选项,函数y=在区间(0,+∞)上为减函数;对于D选项,函数y=log2x在区间(0,+∞)上为增函数.
3.已知函数f(x)既是二次函数又是幂函数,函数g(x)是R上的奇函数,函数h(x)=+1,则h(3)+h(2)+h(1)+h(0)+h(-1)+h(-2)+h(-3)= ( )
A.0 B.5 C.6 D.7
解析:选D.函数f(x)既是二次函数又是幂函数, 所以f(x)=x2,所以h(x)=+1.
因为函数g(x)是R上的奇函数, 所以h(x)+h(-x)=++2 =-+2=2.
又g(0)=0,所以h(0)=1,
所以h(3)+h(2)+h(1)+h(0)+h(-1)+h(-2)+h(-3)= h(3)+ h(-3)+h(2)+h(-2)+h(1)+ h(-1)+ h(0)=3×2+ 1=7.
4.(多选题)已知幂函数f(x)=xα的图象经过函数g(x)=ax-2-(a>0且a≠1)的图象所过的定点,则幂函数f(x)具有的性质是 ( )
A.在定义域内有单调递减区间
B.图象过点(1,1)
C.是奇函数
D.其定义域是R
解析:选ABC.由x-2=0,即x=2,可得g(2)=1-=,所以函数g(x)=ax-2-(a>0且a≠1)的图象所过的定点为2,,则2α=,解得α=-1,则f(x)=,定义域为{x|x≠0},则减区间为(-∞,0),(0,+∞),
图象经过点(1,1),且为奇函数,D不正确.
二、填空题(每小题5分,共20分)
5.已知函数f(x)=(2m2+m)为幂函数且是奇函数,则实数m= .
解析:因为f(x)为幂函数,
所以2m2+m=1, 得m=或m=-1.
当m=时,f(x)==,
定义域为{x|x>0},显然不具有奇偶性;
当m=-1时,f(x)=x-1=(x≠0),是奇函数.
答案:-1
6.0.1,0.2,6.2从小到大依次是 .
解析:0.2=0.<0.1,0.2=<6.2,
6.2=2.=0.<0.1.
答案:0.2<6.2<0.1
7.已知幂函数f(x)=(m∈Z)为偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,则f(2)的值为 .
解析:因为幂函数f(x)=(m∈Z)为偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,则指数是偶数且大于0,因为-m2-2m+3=-(m+1)2+4≤4,
因此指数等于2或4,当指数等于2时,求得m为非整数不符合题意,当指数等于4时,m=-1,即f(x)=x4.所以f(2)=24=16.
答案:16
8.已知幂函数f(x)=xα过点2,,则α= .满足f(a+1)解析:因为幂函数f(x)=xα过点2,,
所以f(2)=2α=,则α=-3,
所以f(x)=x-3在(-∞,0),(0,+∞)上是减函数,
所以不等式f(a+1)或
解得答案:-3 (-∞,-1)∪,
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知幂函数y=f(x)的图象过点(4,m)和(9,3).
(1)求m的值.
(2)求函数g(x)=2f(x)在区间[16,36]上的值域.
解析:(1)设f(x)=xα,所以3=9α,所以α=,所以m=f(4)==2.
(2 )因为x∈[16,36],所以f(x)∈[4,6],
所以g(x)∈[24,26]=[16,64].
10.已知幂函数y=x3m-9(m∈N*)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上单调递减,求满足(a+3<的a的取值范围.
解析:因为函数在(0,+∞)上单调递减,所以3m-9<0,解得m<3,又m∈N*,所以m=1,2.
因为函数的图象关于y轴对称,所以3m-9为偶数,故m=1,则原不等式可化为(a+3<(5-2a.
因为y=在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减,所以a+3>5-2a>0或5-2a解得a.