七 对数函数的性质与图象的应用
基础练习
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.(2020·全国Ⅲ卷)已知55<84,134<85,设a=log53,b=log85,c=log138,则 ( )
A.a
C.b【补偿训练】
1.已知定义在R上的偶函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,若a=f(20.7),b=f(-ln 2),c=flo,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.cC.a2.(2019·全国卷Ⅲ)设f(x)是定义域为R的偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,则 ( )
A.flog3>f()>f()
B.flog3>f()>f()
C.f()>f()>flog3
D.f()>f()>flog3
3.下列不等式成立的是 ( )
A.log32B.log32C.log23D.log232.已知函数f(x)=|ln x|,若0A.(2,+∞) B.[2,+∞)
C.(3,+∞) D.[3,+∞)
【补偿训练】
函数y=log2(x+)(x∈R)的奇偶性为 ( )
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
3.(2019·浙江高考)在同一直角坐标系中,函数y=,y=logax+(a>0且a≠1)的图象可能是 ( )
【补偿训练】
已知函数f(x)=|log2x|,则下列不等式成立的是 ( )
A.f(2)B.fC.fD.f4.(多选题)在同一坐标系中,f(x)=kx+b与g(x)=logbx的图象如图,则下列关系不正确的是 ( )
A.k<0,0B.k>0,b>1
C.fg(1)>0(x>0)
D.x>1时,f(x)-g(x)>0
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.函数f(x)=ln x2的定义域是 ,减区间为 .
6.已知函数f(x)=loga(x+2)+loga(3-x)(其中0三、解答题(共10分)
7.已知函数f(x)=ax2-2ax+b(a>0),在区间[0,3]上有最大值16,最小值0.设g(x)=.
(1)求g(x)的解析式;
(2)若不等式g(log2x)-k·log2x≥0在[4,16]上恒成立,求实数k的取值范围.
【补偿训练】
设函数f(x)=(log2x+log24)(log2x+log22)的定义域为,4.
(1)若t=log2x,求t的取值范围.
(2)求y=f(x)的最大值与最小值,并求出取最值时对应的x的值.
提升练习
一、选择题(每小题5分,共15分)
1.若a=log63,b=log105,c=log147,则 ( )
A.a>b>c B.b>c>a
C.a>c>b D.c>b>a
2.已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[-1,1]时,f(x)=x2,则y=f(x)与y=log7x的图象的交点的个数为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【补偿训练】
函数f(x)=log2x在区间[2,2a]上的最大值与最小值之差为,则a= .
3.设函数f(x)=ln|2x+1|-ln |2x-1|,则f(x) ( )
A.是偶函数,且在,+∞单调递增
B.是奇函数,且在-,单调递减
C.是偶函数,且在-∞,-单调递增
D.是奇函数,且在-∞,-单调递减
二、填空题(每小题5分,共15分)
4.(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=-eax.若f(ln 2)=8,则a= .
5.函数f(x)=|log3x|在区间[a,b]上的值域为[0,1],则b-a的最小值为 .
6.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上为增函数,f=0,则不等式f(lox)>0的解集为 .不等式f(lox)<0的解集为 .
三、解答题(共10分)
7.已知函数f(x)=lo(x2-2ax+3).解决下列问题:
(1)若函数f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围;
(2)若函数f(x)的值域为R,求实数a的取值范围;
(3)若函数f(x)在[-1,+∞)内有意义,求实数a的取值范围;
(4)若函数f(x)的定义域为(-∞,1)∪(3,+∞),求实数a的值;
(5)若函数f(x)的值域为(-∞,-1],求实数a的值;
(6)若函数f(x)在(-∞,1]内为增函数,求实数a的取值范围.七 对数函数的性质与图象的应用
基础练习
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.(2020·全国Ⅲ卷)已知55<84,134<85,设a=log53,b=log85,c=log138,则 ( )
A.aC.b解析:选A.易知a,b,c∈(0,1),==log53·log58<
=<=1,
所以a55=85b>134b,即b【补偿训练】
1.已知定义在R上的偶函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,若a=f(20.7),b=f(-ln 2),c=flo,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.cC.a解析:选B.因为f(x)是偶函数,
所以f(-x)=f(x)所以f(-ln 2)
=f(ln 2),flo=flog32,
因为20.7>1,0 所以f(log32)2.(2019·全国卷Ⅲ)设f(x)是定义域为R的偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,则 ( )
A.flog3>f()>f()
B.flog3>f()>f()
C.f()>f()>flog3
D.f()>f()>flog3
解析:选C.依据题意,函数f(x)为偶函数且函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,则函数f(x)在(-∞,0)上单调递增;
因为flog3=f(-log34)=f(log34);
又因为0<<<1所以f()>f()>flog3.
3.下列不等式成立的是 ( )
A.log32B.log32C.log23D.log23解析:选A.因为y=log2x在(0,+∞)上是增函数,所以log25>log23>log22=1.
又y=log3x在(0,+∞)上为增函数,
所以log32所以log322.已知函数f(x)=|ln x|,若0A.(2,+∞) B.[2,+∞)
C.(3,+∞) D.[3,+∞)
解析:选B.f(x)=|ln x|的图象如下:
因为0所以|ln a|=|ln b|且01,
所以-ln a=ln b,所以ab=1,
所以2a+b≥2=2,当且仅当2a=b,即a=,b=时等号成立,故选B.
【补偿训练】
函数y=log2(x+)(x∈R)的奇偶性为 ( )
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
解析:选A.当x∈R时,
f(-x)=log2(-x+)
=log2(-x)
=log2
=log2=-log2(+x)
=-f(x).
故该函数是奇函数.
3.(2019·浙江高考)在同一直角坐标系中,函数y=,y=logax+(a>0且a≠1)的图象可能是 ( )
解析:选D.y=logax+的图象过,0点,排除A,C.y==x与y=logax+的单调性相异.可排除B.
【补偿训练】
已知函数f(x)=|log2x|,则下列不等式成立的是 ( )
A.f(2)B.fC.fD.f解析:选A.因为f(2)=|log22|=1,
f=|log2|=log23,
f=|log2|=2,
所以f(2)4.(多选题)在同一坐标系中,f(x)=kx+b与g(x)=logbx的图象如图,则下列关系不正确的是 ( )
A.k<0,0B.k>0,b>1
C.fg(1)>0(x>0)
D.x>1时,f(x)-g(x)>0
解析:选ABC.由直线方程可知,k>0,01时,g(x)<0,f(x)>0,所以f(x)-g(x)>0,所以D正确.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.函数f(x)=ln x2的定义域是 ,减区间为 .
解析:由x2>0知定义域为{x|x≠0}.
由复合函数的单调性知单调递减区间是(-∞,0).
答案:{x|x≠0} (-∞,0)
6.已知函数f(x)=loga(x+2)+loga(3-x)(其中0解析:因为x+2>0且3-x>0,
所以-2令t=-x2+x+6,则原函数可化为y=logat,是减函数,
因为-2当t=时,函数f(x)=-2,
即loga=-2,所以a=.
答案:
三、解答题(共10分)
7.已知函数f(x)=ax2-2ax+b(a>0),在区间[0,3]上有最大值16,最小值0.设g(x)=.
(1)求g(x)的解析式;
(2)若不等式g(log2x)-k·log2x≥0在[4,16]上恒成立,求实数k的取值范围.
解析:(1)因为f(x)=a(x-1)2+b-a(a>0),即f(x)在(0,1)上为减函数,在(1,3)上为增函数,又在[0,3]上有最大值16,最小值0,所以f(1)=b-a=0,f(3)=3a+b=16,解得a=b=4,
所以g(x)=4x+-8(x≠0).
(2)因为g(log2x)-klog2x≥0,
所以4log2x+-8≥klog2x,
由x∈[4,16],则log2x∈[2,4],
所以k≤42-+4=4-12,设t=,t∈,,
所以h(t)=4(t-1)2在,上为减函数,当t=时,h(t)最小值为1,所以k≤1,即k∈(-∞,1].
【补偿训练】
设函数f(x)=(log2x+log24)(log2x+log22)的定义域为,4.
(1)若t=log2x,求t的取值范围.
(2)求y=f(x)的最大值与最小值,并求出取最值时对应的x的值.
解析:(1)因为t=log2x为单调递增函数,而x∈,4,
所以t的取值范围为log2,log24,即t∈[-2,2].
(2)记t=log2x,
则y=f(x)=(log2x+2)(log2x+1)
=(t+2)(t+1)(-2≤t≤2).
因为y=t+2-
在-2,-上是减函数,在-,2上是增函数,所以当t=log2x=-,即x==时,
y=f(x)有最小值f=-;
当t=log2x=2,即x=22=4时,
y=f(x)有最大值f(4)=12.
提升练习
一、选择题(每小题5分,共15分)
1.若a=log63,b=log105,c=log147,则 ( )
A.a>b>c B.b>c>a
C.a>c>b D.c>b>a
解析:选D.a=,b=,c=,
令f(x)==1-(x>0),
则f(x)在(0,+∞)上是单调增函数.
又0所以f(log23)2.已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[-1,1]时,f(x)=x2,则y=f(x)与y=log7x的图象的交点的个数为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
解析:选D.因为f(x+2)=f(x),
所以T=2,
又因为x∈[-1,1]时,f(x)=x2,利用图象法分别作出y=f(x)与y=log7x的图象可得有6个交点.
【补偿训练】
函数f(x)=log2x在区间[2,2a]上的最大值与最小值之差为,则a= .
解析:因为f(x)=log2x在区间[2,2a]上为单调增函数,
由题可得:log2(2a)-log22=,
所以log2=,所以a=.
答案:
3.设函数f(x)=ln|2x+1|-ln |2x-1|,则f(x) ( )
A.是偶函数,且在,+∞单调递增
B.是奇函数,且在-,单调递减
C.是偶函数,且在-∞,-单调递增
D.是奇函数,且在-∞,-单调递减
解析:选D.函数f(x)的定义域为,关于原点对称,
f(-x)=ln|-2x+1|-ln|-2x-1|=
ln|2x-1|-ln|2x+1|=-f(x),所以f(x)为奇函数,
x∈-,时,f(x)=ln(2x+1)-ln(1-2x),单调递增;
x∈-∞,-时,f(x)=ln(-2x-1)-ln(1-2x)=ln=ln1+,单调递减.
二、填空题(每小题5分,共15分)
4.(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=-eax.若f(ln 2)=8,则a= .
解析:因为ln 2>0,所以-ln 2<0,由于f(x)是奇函数,所以f(-ln 2)=-f(ln 2)=-8,即-e(-ln 2)a=-8,解得a=-3.
答案:-3
5.函数f(x)=|log3x|在区间[a,b]上的值域为[0,1],则b-a的最小值为 .
解析:由题知函数f(x)=|log3x|在区间[a,b]上的值域为[0,1],当f(x)=0时,x=1;
当f(x)=1时,x=3或.
故要使值域为[0,1],
定义域可以为[x,3]≤x≤1,
也可以为,x(1≤x≤3),因此,b-a的最小值为.
答案:
6.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上为增函数,f=0,则不等式f(lox)>0的解集为 .不等式f(lox)<0的解集为 .
解析:因为f(x)是R上的偶函数,
所以它的图象关于y轴对称.
因为f(x)在[0,+∞)上为增函数,
所以f(x)在(-∞,0]上为减函数.
由f=0,得f-=0.
所以f(lox)>0 lox<-或lox> x>2或0所以x∈0,∪(2,+∞).
所以不等式f(lox)<0的解集为,2
答案:0,∪(2,+∞) ,2
三、解答题(共10分)
7.已知函数f(x)=lo(x2-2ax+3).解决下列问题:
(1)若函数f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围;
(2)若函数f(x)的值域为R,求实数a的取值范围;
(3)若函数f(x)在[-1,+∞)内有意义,求实数a的取值范围;
(4)若函数f(x)的定义域为(-∞,1)∪(3,+∞),求实数a的值;
(5)若函数f(x)的值域为(-∞,-1],求实数a的值;
(6)若函数f(x)在(-∞,1]内为增函数,求实数a的取值范围.
解析:(1)若函数f(x)的定义域为R,则对 x∈R,x2-2ax+3>0恒成立,即(-2a)2-12<0,所以-(2)若函数f(x)的值域为R,则x2-2ax+3可以取到所有正数,所以(-2a)2-12≥0,所以a≤-或a≥,即a的取值范围为(-∞,-]∪[,+∞).
(3)若函数f(x)在[-1,+∞)内有意义,则 x∈[-1,+∞),x2-2ax+3>0恒成立,
函数y=x2-2ax+3的图象,对称轴x=a,当a≤-1时,(-1)2-2a×(-1)+3>0,解得-2当a>-1时,-a2+3>0,解得-1(4)因为函数f(x)的定义域为(-∞,1)∪(3,+∞),所以x2-2ax+3=0的两根为1,3,即2a=1+3,所以a=2.
(5)因为函数f(x)的值域为(-∞,-1],所以函数y=x2-2ax+3的最小值为2,
即x=a时,y=a2-2a2+3=2,解得a=±1.
(6)因为函数f(x)在(-∞,1]内为增函数,
所以函数y=x2-2ax+3在(-∞,1]上单调递减,且12-2a+3>0,
所以对称轴x=a≥1,且a<2,
所以实数a的取值范围为[1,2).