十一 函数的应用(二)
基础练习
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.我们定义函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)为“下整函数”,定义y={x}({x}表示不小于x的最小整数)为“上整函数”.例如[4.3]=4,[5]=5;{4.3}=5,{5}=5.某停车场收费标准为每小时2元,即不超过1小时(包括1小时)收费2元;超过1小时,但不超过2小时(包括2小时)收费4元,以此类推.若某人停车时间为x小时,则他应付费为 ( )
A.2[x+1]元 B.2([x]+1)元
C.2{x}元 D.{2x}元
2.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,之后增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用 ( )
A.一次函数 B.二次函数
C.指数型函数 D.对数型函数
3.把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是θ1 ℃,空气的温度是θ0 ℃,t min后物体的温度θ ℃可由公式θ=θ0+(θ1-θ0)e-0.24t求得.把温度是100 ℃的物体,放在10 ℃的空气中冷却t min后,物体的温度是40 ℃,那么t的值约等于( )
(保留三位有效数字,参考数据:ln 3取1.099,ln 2取0.693)
A.2.89 B.3.89 C.4.58 D.5.57
4.(多选题)如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系:y=at,下列叙述正确的是 ( )
A.第5个月时,浮萍的面积就会超过30 m2
B.浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月
C.浮萍每个月增加的面积都相等
D.若浮萍蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所经过的时间分别为t1,t2,t3,则t1+t2=t3.
二、填空题(每小题5分,共15分)
5.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y=0.5×+5x(x∈N*),若每台产品的售价为8万元,则当产量
为7台时,生产者可获得的利润为 万元.
6.如图所示的是一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系,已知甲、乙两城相距80 km,有人根据函数图象,提出了关于这两位旅行者的如下信息:
①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h,晚到1 h;
②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动;
③骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者;
④骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者的速度一样.
其中所有正确信息的序号是 .
7.某食品的保鲜时间t(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系
t=且该食品在4 ℃的保鲜时间是16小时.已知甲在某日上午11时购买了该食品,并将其放在室外,且此日的室外温度随时间变化如图所示,
该食品在6 ℃时的保鲜时间是 小时;
到了此日13时,甲所购买的食品还在保鲜时间内吗 (填“是”或“否”)
三、解答题(每小题10分,共20分)
8.某公司制订了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过8万元时,按销售利润的15%进行奖励;当销售利润超过8万元时,若超过A万元,则超过部分按log5(2A+1)进行奖励.记奖金为y(单位:万元),销售利润为x(单位:万元).
(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式.
(2)如果业务员小江获得3.2万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元
9.(1)已知函数y=f(x)是函数y=log2x的反函数.求y=f(x)的解析式.
(2)若x∈(0,+∞),试分别写出使不等式:①log2x<2x
(3)求不等式loga(x-3)>loga(5-x)的解集.十一 函数的应用(二)
基础练习
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.我们定义函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)为“下整函数”,定义y={x}({x}表示不小于x的最小整数)为“上整函数”.例如[4.3]=4,[5]=5;{4.3}=5,{5}=5.某停车场收费标准为每小时2元,即不超过1小时(包括1小时)收费2元;超过1小时,但不超过2小时(包括2小时)收费4元,以此类推.若某人停车时间为x小时,则他应付费为 ( )
A.2[x+1]元 B.2([x]+1)元
C.2{x}元 D.{2x}元
解析:选C.当x=1时,应付费2元,此时2[x+1]=4,2([x]+1)=4,故排除A,B;当x=0.5时,付费为2元,此时{2x}=1,故排除D,故选C.
2.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,之后增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用 ( )
A.一次函数 B.二次函数
C.指数型函数 D.对数型函数
解析:选D.根据基本初等函数的图象与性质可知,一次函数增长的速度不变,不满足题意;要满足调整后初期利润增长迅速,如果是二次函数,则必须开口向上,而此时在二次函数对称轴的右侧增长的速度是越来越快,没有慢下来的可能,不符合要求;要满足调整后初期利润增长迅速,如果是指数函数,则底数必是大于1的数,而此时指数函数增长的速度也是越来越快的,也不满足要求;对于对数函数,当底数大于1时,对数函数增长的速度先快后慢,符合要求.
3.把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是θ1 ℃,空气的温度是θ0 ℃,t min后物体的温度θ ℃可由公式θ=θ0+(θ1-θ0)e-0.24t求得.把温度是100 ℃的物体,放在10 ℃的空气中冷却t min后,物体的温度是40 ℃,那么t的值约等于( )
(保留三位有效数字,参考数据:ln 3取1.099,ln 2取0.693)
A.2.89 B.3.89 C.4.58 D.5.57
解析:选C.依题意将θ1=100,θ0=10,θ=40代入公式θ=θ0+(θ1-θ0)e-0.24t可得,e-0.24t=解得,t=≈4.58.
4.(多选题)如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系:y=at,下列叙述正确的是 ( )
A.第5个月时,浮萍的面积就会超过30 m2
B.浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月
C.浮萍每个月增加的面积都相等
D.若浮萍蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所经过的时间分别为t1,t2,t3,则t1+t2=t3.
解析:选AD.由函数图象可知,该函数过点(1,2),所以a=2,则y=2t,当t=5时,y=32>30,故A正确.当t=2时,y=4,当y=2t=12时,t=log212,因为log212-2-1.5>0,所以浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过的时间超过1.5个月,故B错误.第一个月增加1,第二个月增加2,第三个月增加4,因此C错误.浮萍蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所经过的时间分别为t1,t2,t3,则=2,=3,=6,即×=,所以t1+t2=t3,故D正确.
二、填空题(每小题5分,共15分)
5.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y=0.5×+5x(x∈N*),若每台产品的售价为8万元,则当产量
为7台时,生产者可获得的利润为 万元.
解析: 当产量为7台时,总成本y=0.5×+5×7=39,则生产者可获得的利润为7×8-39=17(万元).
答案:17
6.如图所示的是一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系,已知甲、乙两城相距80 km,有人根据函数图象,提出了关于这两位旅行者的如下信息:
①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h,晚到1 h;
②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动;
③骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者;
④骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者的速度一样.
其中所有正确信息的序号是 .
解析:看时间轴易知①正确;骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线,所以是匀速运动,而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线,所以是变速运动,因此②正确;两个图象的交点表示此时两者行驶的路程相同,故③正确,④错误.
答案:①②③
7.某食品的保鲜时间t(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系
t=且该食品在4 ℃的保鲜时间是16小时.已知甲在某日上午11时购买了该食品,并将其放在室外,且此日的室外温度随时间变化如图所示,
该食品在6 ℃时的保鲜时间是 小时;
到了此日13时,甲所购买的食品还在保鲜时间内吗 (填“是”或“否”)
解析:因为食品的保鲜时间t(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系t=且该食品在4 ℃的保鲜时间是16小时.
所以24k+6=16,即4k+6=4,解得k=-,
所以t=当x=6时,t=8.
到了此日11时,温度为11℃,此时保鲜时间为小时,
故到13时,甲所购买的食品不在保鲜时间内.
答案:8 否
三、解答题(每小题10分,共20分)
8.某公司制订了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过8万元时,按销售利润的15%进行奖励;当销售利润超过8万元时,若超过A万元,则超过部分按log5(2A+1)进行奖励.记奖金为y(单位:万元),销售利润为x(单位:万元).
(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式.
(2)如果业务员小江获得3.2万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元
解析:(1)由题意知当0≤x≤8时,y=0.15x;
当x>8时,y=8×0.15+log5(2x-15)=1.2+log5(2x-15),
所以y=
(2)由题意知1.2+log5(2x-15)=3.2,解得x=20.所以,小江的销售利润是20万元.
9.(1)已知函数y=f(x)是函数y=log2x的反函数.求y=f(x)的解析式.
(2)若x∈(0,+∞),试分别写出使不等式:①log2x<2x(3)求不等式loga(x-3)>loga(5-x)的解集.
解析:(1)因为函数y=f(x)是函数y=log2x的反函数,所以f(x)=2x.
(2)令y=f(x)=2x,y=x2,y=g(x)=log2x,可得22=4,24=42=16,画出图像(图略).
①因为log2x<2x②因为log2x4,解集为(0,2)∪(4,+∞).
(3)因为loga(x-3)>loga(5-x),
所以当a>1时,
解得4所以当a>1时,解集为(4,5);
因为当0解得31时,解集为(4,5);
当0