十四 数据的数字特征
基础练习
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.在某次测量中得到的A样本数据如下:42,43,46,52,42,50,若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据,则A,B两样本的下列数字特征对应相同的是 ( )
A.平均数 B.标准差
C.众数 D.中位数
解析:选B.设样本A中的数据为xi,则样本B中的数据为yi=xi-5,则样本数据B中的众数和平均数以及中位数和A中的众数,平均数,中位数都相差5,只有标准差没有发生变化.
2.甲、乙两台机床同时生产一种零件,现要检验它们的运行情况,统计10天中两台机床每天出的次品数分别为甲:0,1,0,2,2,0,3,1,2,4;乙:2,3,1,1,0,2,1,1,0,1.则出次品数较少的为 ( )
A.甲 B.乙
C.相同 D.不能比较
解析:选B.因为=1.5,=1.2,所以乙出次品数较少.
3.一组数据中的每一个数据都减去80,得到一组新数据,若求得新数据的平均数是1.2,方差是4.4,则原来数据的平均数和方差分别是 ( )
A.81.2,4.4 B.78.8,4.4
C.81.2,84.4 D.78.8,75.6
解析:选A.原数据的平均数应为1.2+80=81.2,原数据的方差与新数据的方差相同,即为4.4.
4.已知某样本的容量为50,平均数为70,方差为75.现发现在收集这些数据时,其中的两个数据记录有误,一个错将80记录为60,另一个错将70记录为90.在对错误的数据进行更正后,重新求得样本的平均数为,方差为s2,则 ( )
A.=70,s2<75 B.=70,s2>75
C.>70,s2<75 D.<70,s2>75
解析:选A.由题意,可得==70,
设收集的48个准确数据分别记为x1,x2,…,x48,
则75=[(x1-70)2+(x2-70)2+…+(x48-70)2+(60-70)2+(90-70)2]
=[(x1-70)2+(x2-70)2+…+(x48-70)2+500],
s2=[(x1-70)2+(x2-70)2+…+(x48-70)2+(80-70)2+(70-70)2]
=[(x1-70)2+(x2-70)2+…+(x48-70)2+100]<75,所以s2<75.
5.样本(x1,x2,…,xn)的平均数为,样本(y1,y2,…,ym)的平均数为(≠).若样本(x1,x2,…,xn,y1,y2,…,ym)的平均数=α+(1-α),其中0<α<,则n,m的大小关系为 ( )
A.nm
C.n=m D.不能确定
解析:选A.由已知得x1+x2+…+xn=n,y1+y2+…+ym=m,
===α+(1-α),
整理得(-)[αm+(α-1)n]=0,
因为≠,所以αm+(α-1)n=0,
即=,又α∈0,,
所以0<<1,
所以<1,所以n6.(多选题)为比较甲、乙两地某月14时的气温状况,随机选取该月中的5天,这5天中14时的气温数据.
甲:26 ℃,28 ℃,29 ℃,31 ℃,31 ℃
乙:28 ℃,29 ℃,30 ℃,31 ℃,32 ℃
考虑以下结论:
①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温;
②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温;
③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差;
④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差.
其中能得到的统计结论的编号为 ( )
A.① B.② C.③ D.④
解析:选AD.根据平均数和标准差的计算公式直接求解即可.
二、填空题(每小题5分,共10分)
7.设该工厂连续5天生产的口罩数依次为x1,x2,x3,x4,x5(单位:十万只),若这组数据x1,x2,x3,x4,x5的方差为1.44,且,,,,的平均数为4,则该工厂这5天平均每天生产口罩 十万只.
解析:依题意,得++…+=20.
设x1,x2,x3,x4,x5的平均数为,
根据方差的计算公式有[(x1-)2+(x2-)2+…+(x5-)2]=1.44.
所以(++…+)-2(x1+x2+…+x5)+5=7.2,即20-10+=7.2,所以=1.6.
答案:1.6
8.若五个数1,2,3,4,a的平均数是3,则a= ,这五个数的标准差是 .
解析:由=3,得a=5;
由s2=[(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2]=2,得标准差s=.
答案:5
三、解答题(每小题10分,共30分)
9.某学员在一次射击测试中射靶10次,命中环数如下:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.求平均命中环数和命中环数的标准差.
解析:==7.
因为s2=[(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(5-7)2+(4-7)2+(9-7)2+(10-7)2+ (7-7)2+(4-7)2]=4,所以s=2.
10.某纺织厂订购一批棉花,其各种长度的纤维所占的比例如表所示:
纤维长度/厘米 3 5 6
所占的比例(%) 25 40 35
(1)请估计这批棉花纤维的平均长度与方差.
(2)如果规定这批棉花纤维的平均长度为4.90厘米,方差不超过1.200平方厘米,两者允许误差均不超过0.10视为合格产品.请你估计这批棉花的质量是否合格
解析:(1)=3×25%+5×40%+6×35%=4.85(厘米).
s2=(3-4.85)2×0.25+(5-4.85)2×0.4+(6-4.85)2×0.35=1.327 5(平方厘米).
由此估计这批棉花纤维的平均长度为4.85厘米,方差为1.327 5平方厘米.
(2)因为4.90-4.85=0.05<0.10,1.327 5-1.200=0.127 5>0.10,故棉花纤维长度的平均值达到标准,但方差超过标准,所以可认为这批产品不合格.
11.为了检查一批手榴弹的杀伤半径,抽取了其中20颗做试验,得到这20颗手榴弹的杀伤半径,并列表如下:
杀伤半径/米 7 8 9 10 11 12
手榴弹数/颗 1 5 4 6 3 1
(1)在这个问题中,总体、个体、样本和样本容量各是什么
(2)求出这20颗手榴弹的杀伤半径的众数、中位数和平均数,并估计这批手榴弹的平均杀伤半径.
解析:(1)总体是要检查的这批手榴弹的杀伤半径的全体;个体是每一颗手榴弹的杀伤半径;样本是所抽取的20颗手榴弹的杀伤半径;样本容量是20.
(2)在20个数据中,10出现了6次,次数最多,所以众数是10米.
20个数据从小到大排列,第10个和第11个数据是最中间的两个数,分别为9米和10米,所以中位数是×(9+10)=9.5(米).样本平均数=×(7×1+8×5+9×4+10×6+11×3+12×1)=9.4(米),
所以,估计这批手榴弹的平均杀伤半径为9.4米.
提升练习
一、选择题(每小题5分,共15分)
1.有甲、乙两班,甲班有m个人,乙班有n个人.在一次考试中甲班平均分是a分,乙班平均分是b分.则甲、乙两班在这次考试中的总平均分是 ( )
A. B.
C. D.
解析:选D.因为甲班有m个人,乙班有n个人.在一次考试中甲班平均分是a分,乙班平均分是b分,
所以甲乙两班在这次考试中的总分为:(ma+nb)分,
所以甲乙两班在这次考试中的总平均分是.
2.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标,常用区间[0,10]内的一个数来表示,该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取10位北京市民,他们的幸福感指数分别为3,4,5,5,6,7,7,8,9,10.则这组数据的75%分位数是 ( )
A.7 B.7.5 C.8 D.8.5
解析:选C.由题意,这10个人的幸福指数已经从小到大排列,因为75%×10=7.5,
所以这10个人的75%分位数是从小到大排列后第8个人的幸福指数,即8.
3.(多选题)乐乐家共有七人,已知今年这七人年龄的众数为35,平均数为44,中位数为55,标准差为19,则5年后,下列说法中正确的是 ( )
A.这七人岁数的众数变为40
B.这七人岁数的平均数变为49
C.这七人岁数的中位数变为60
D.这七人岁数的标准差变为24
解析:选ABC.根据众数、平均数、中位数的概念得5年后,每人的年龄相应增加5,而标准差不变,所以这七人年龄的众数变为40;平均数变为49;中位数变为60;标准差不变,为19.
二、填空题(每小题5分,共10分)
4.已知一组正数x1,x2,x3,x4的方差s2=(+++-16),则数据x1+2,x2+2,x3+2,x4+2的平均数为 .
解析:由题意可得s2=(xi-)2
=(-2xi·+)
=(-2xi)+=-2+
=-=-4,则=4.
由于x1,x2,x3,x4均为正数,则其平均数>0,所以=2.
因此,数据x1+2,x2+2,x3+2,x4+2的平均数为'=(xi+2)=xi+2=+2=4.
答案:4
5.数据8,12,15,18,21,23,23,23,28,33,34,35的80%分位数是 .
解析:这组数据有12个数,因为12×80%=9.6, 所以这组数据的80%分位数是x10=33.
答案:33
三、解答题(共10分)
6.某地区教育部门要了解初中学生阅读课外书籍的情况,随机调查了本地区500名初中学生一学期阅读课外书的本数,并绘制了如图的统计图,请根据统计图反映的信息回答问题.
(1)这些课外书籍中,哪类书的阅读数量最大
(2)这500名学生一学期平均每人阅读课外书多少本 (精确到1本)
(3)若该地区共有2万名初中学生,请估计他们一学期阅读课外书的总本数.
解析:(1)这些类型的课外书籍中,小说类课外书阅读数量最大.
(2)(2.0+3.5+6.4+8.4+2.4+5.5)×100÷500=5.64≈6(本).
答:这500名学生一学期平均每人阅读课外书6本.
(3)20 000×6=120 000(本)或2×6=12(万本).
答:他们一学期阅读课外书的总数是12万本.十四 数据的数字特征
基础练习
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.在某次测量中得到的A样本数据如下:42,43,46,52,42,50,若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据,则A,B两样本的下列数字特征对应相同的是 ( )
A.平均数 B.标准差
C.众数 D.中位数
2.甲、乙两台机床同时生产一种零件,现要检验它们的运行情况,统计10天中两台机床每天出的次品数分别为甲:0,1,0,2,2,0,3,1,2,4;乙:2,3,1,1,0,2,1,1,0,1.则出次品数较少的为 ( )
A.甲 B.乙
C.相同 D.不能比较
3.一组数据中的每一个数据都减去80,得到一组新数据,若求得新数据的平均数是1.2,方差是4.4,则原来数据的平均数和方差分别是 ( )
A.81.2,4.4 B.78.8,4.4
C.81.2,84.4 D.78.8,75.6
4.已知某样本的容量为50,平均数为70,方差为75.现发现在收集这些数据时,其中的两个数据记录有误,一个错将80记录为60,另一个错将70记录为90.在对错误的数据进行更正后,重新求得样本的平均数为,方差为s2,则 ( )
A.=70,s2<75 B.=70,s2>75
C.>70,s2<75 D.<70,s2>75
5.样本(x1,x2,…,xn)的平均数为,样本(y1,y2,…,ym)的平均数为(≠).若样本(x1,x2,…,xn,y1,y2,…,ym)的平均数=α+(1-α),其中0<α<,则n,m的大小关系为 ( )
A.nm
C.n=m D.不能确定
6.(多选题)为比较甲、乙两地某月14时的气温状况,随机选取该月中的5天,这5天中14时的气温数据.
甲:26 ℃,28 ℃,29 ℃,31 ℃,31 ℃
乙:28 ℃,29 ℃,30 ℃,31 ℃,32 ℃
考虑以下结论:
①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温;
②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温;
③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差;
④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差.
其中能得到的统计结论的编号为 ( )
A.① B.② C.③ D.④
二、填空题(每小题5分,共10分)
7.设该工厂连续5天生产的口罩数依次为x1,x2,x3,x4,x5(单位:十万只),若这组数据x1,x2,x3,x4,x5的方差为1.44,且,,,,的平均数为4,则该工厂这5天平均每天生产口罩 十万只.
8.若五个数1,2,3,4,a的平均数是3,则a= ,这五个数的标准差是 .
三、解答题(每小题10分,共30分)
9.某学员在一次射击测试中射靶10次,命中环数如下:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.求平均命中环数和命中环数的标准差.
10.某纺织厂订购一批棉花,其各种长度的纤维所占的比例如表所示:
纤维长度/厘米 3 5 6
所占的比例(%) 25 40 35
(1)请估计这批棉花纤维的平均长度与方差.
(2)如果规定这批棉花纤维的平均长度为4.90厘米,方差不超过1.200平方厘米,两者允许误差均不超过0.10视为合格产品.请你估计这批棉花的质量是否合格
11.为了检查一批手榴弹的杀伤半径,抽取了其中20颗做试验,得到这20颗手榴弹的杀伤半径,并列表如下:
杀伤半径/米 7 8 9 10 11 12
手榴弹数/颗 1 5 4 6 3 1
(1)在这个问题中,总体、个体、样本和样本容量各是什么
(2)求出这20颗手榴弹的杀伤半径的众数、中位数和平均数,并估计这批手榴弹的平均杀伤半径.
提升练习
一、选择题(每小题5分,共15分)
1.有甲、乙两班,甲班有m个人,乙班有n个人.在一次考试中甲班平均分是a分,乙班平均分是b分.则甲、乙两班在这次考试中的总平均分是 ( )
A. B.
C. D.
2.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标,常用区间[0,10]内的一个数来表示,该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取10位北京市民,他们的幸福感指数分别为3,4,5,5,6,7,7,8,9,10.则这组数据的75%分位数是 ( )
A.7 B.7.5 C.8 D.8.5
3.(多选题)乐乐家共有七人,已知今年这七人年龄的众数为35,平均数为44,中位数为55,标准差为19,则5年后,下列说法中正确的是 ( )
A.这七人岁数的众数变为40
B.这七人岁数的平均数变为49
C.这七人岁数的中位数变为60
D.这七人岁数的标准差变为24
二、填空题(每小题5分,共10分)
4.已知一组正数x1,x2,x3,x4的方差s2=(+++-16),则数据x1+2,x2+2,x3+2,x4+2的平均数为 .
5.数据8,12,15,18,21,23,23,23,28,33,34,35的80%分位数是 .
三、解答题(共10分)
6.某地区教育部门要了解初中学生阅读课外书籍的情况,随机调查了本地区500名初中学生一学期阅读课外书的本数,并绘制了如图的统计图,请根据统计图反映的信息回答问题.
(1)这些课外书籍中,哪类书的阅读数量最大
(2)这500名学生一学期平均每人阅读课外书多少本 (精确到1本)
(3)若该地区共有2万名初中学生,请估计他们一学期阅读课外书的总本数.
