十八 事件之间的关系与运算
基础练习
一、选择题(每小题5分,共15分)
1.甲、乙两个元件构成一串联电路,设E=“甲元件故障”,F=“乙元件故障”,则表示电路故障的事件为 ( )
A.E∪F B.E∩F C.E∩ D.∪
【补偿训练】
1.根据某地医疗所的调查,该地区居民血型的分布为:O型52%,A型15%,AB型5%,B型28%.现有一血型为A型的病人需要输血,若在该地区任选一人,则此人能为病人输血的概率为( )
A.67% B.85%
C.48% D.15%
2.某兴趣小组从包括甲、乙的小组成员中任选3人参加活动,若甲、乙至多有一人被选中的概率是,则甲、乙均被选中的概率是 ( )
A. B. C. D.
2.给出事件A与B的关系示意图,如图所示,则 ( )
A.A B
B.A B
C.A与B互斥
D.A与B互为对立事件
3.(多选题)黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表:
血型 A B AB O
该血型的 人所占比例 0.28 0.29 0.08 0.35
已知同种血型的人可以输血,O型血可以给任何一种血型的人输血,任何血型的人都可以给AB血型的人输血,其他不同血型的人不能互相输血,下列结论正确的是 ( )
A.任找一个人,其血可以输给B型血的人的概率是0.64
B.任找一个人,B型血的人能为其输血的概率是0.29
C.任找一个人,其血可以输给O型血的人的概率为1
D.任找一个人,其血可以输给AB型血的人的概率为1
二、填空题(每小题5分,共10分)
4.一个口袋内有大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出一个球,摸出红球或白球的概率为0.58,摸出红球或黑球的概率为0.62,那么摸出不是红球的概率为 .
5.某购物网站开展一种商品的预约购买活动,规定每个手机号只能预约一次,预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品.规则如下:(ⅰ)摇号的初始中签率为0.19;(ⅱ)当中签率不超过1时,可借助“好友助力”活动增加中签率,每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05.为了使中签率超过0.9,则至少需要邀请 位好友参与到“好友助力”活动.
【补偿训练】
某医院一天派出医生下乡医疗,派出医生人数及其概率如下:
医生 人数 0 1 2 3 4 5人及 以上
概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04
则至少派出医生2人的概率是 .
三、解答题(共10分)
6.某地区的年降水量在下列范围内的概率如表所示:
年降水量 (单位:mm) [100, 150) [150, 200) [200, 250) [250, 300)
概率 0.12 0.25 0.16 0.14
(1)求年降水量在[100,200)(mm)范围内的概率.
(2)求年降水量在[150,300)(mm)范围内的概率.
【补偿训练】
某射手在一次射击训练中,射中10环,9环,8环,7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28,计算这个射手在一次射击中:
(1)射中10环或7环的概率.
(2)不够7环的概率.十八 事件之间的关系与运算
基础练习
一、选择题(每小题5分,共15分)
1.甲、乙两个元件构成一串联电路,设E=“甲元件故障”,F=“乙元件故障”,则表示电路故障的事件为 ( )
A.E∪F B.E∩F C.E∩ D.∪
解析:选A.由题意知,甲、乙两个元件构成一串联电路,E=“甲元件故障”,F=“乙元件故障”,根据串联电路可知,甲元件故障或者乙元件故障,都会造成电路故障,
所以电路故障的事件为:E∪F.
【补偿训练】
1.根据某地医疗所的调查,该地区居民血型的分布为:O型52%,A型15%,AB型5%,B型28%.现有一血型为A型的病人需要输血,若在该地区任选一人,则此人能为病人输血的概率为( )
A.67% B.85%
C.48% D.15%
解析:选A.O型血与A型血的人能为A型血的人输血,故所求的概率为52%+15%=67%.
2.某兴趣小组从包括甲、乙的小组成员中任选3人参加活动,若甲、乙至多有一人被选中的概率是,则甲、乙均被选中的概率是 ( )
A. B. C. D.
解析:选B.由题意可知事件“甲、乙至多有一人被选中”与事件“甲、乙均被选中”为对立事件,则甲、乙均被选中的概率是P=1-=.
2.给出事件A与B的关系示意图,如图所示,则 ( )
A.A B
B.A B
C.A与B互斥
D.A与B互为对立事件
解析:选C.由互斥事件的定义可知C正确.
3.(多选题)黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表:
血型 A B AB O
该血型的 人所占比例 0.28 0.29 0.08 0.35
已知同种血型的人可以输血,O型血可以给任何一种血型的人输血,任何血型的人都可以给AB血型的人输血,其他不同血型的人不能互相输血,下列结论正确的是 ( )
A.任找一个人,其血可以输给B型血的人的概率是0.64
B.任找一个人,B型血的人能为其输血的概率是0.29
C.任找一个人,其血可以输给O型血的人的概率为1
D.任找一个人,其血可以输给AB型血的人的概率为1
解析:选AD.任找一个人,其血型为A,B,AB,O型血的事件分别记为A',B',C',D',它们两两互斥.由已知,有P(A')=0.28,P(B')=0.29,P(C')=0.08,P(D')=0.35.因为B,O型血可以输给B型血的人,所以“可以输给B型血的人”为事件B'∪D',根据概率的加法公式,得P(B'∪D')=P(B')+P(D')=0.29+0.35=0.64,故A正确;
B型血的人能为B型,AB型血的人输血,其概率为0.29+0.08=0.37,B错误;
由O型血只能接受O型血的人输血知,C错误;
由任何人的血都可以够给AB型血的人,知D正确.
二、填空题(每小题5分,共10分)
4.一个口袋内有大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出一个球,摸出红球或白球的概率为0.58,摸出红球或黑球的概率为0.62,那么摸出不是红球的概率为 .
解析:设A={摸出红球},B={摸出白球},C={摸出黑球},则A,B,C两两互斥,A与为对立事件,因为P(A+B)=P(A)+P(B)=0.58,P(A+C)=P(A)+P(C)=0.62,P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=1,所以P(C)=0.42,P(B)=0.38,P(A)=0.20,所以P()=1-P(A)=1-0.20=0.80.
答案:0.80
5.某购物网站开展一种商品的预约购买活动,规定每个手机号只能预约一次,预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品.规则如下:(ⅰ)摇号的初始中签率为0.19;(ⅱ)当中签率不超过1时,可借助“好友助力”活动增加中签率,每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05.为了使中签率超过0.9,则至少需要邀请 位好友参与到“好友助力”活动.
【解题指南】先求出需要增加中签率为0.71,再用0.71除以0.05得14.2,取15即可得到答案.
解析:因为摇号的初始中签率为0.19,所以要使中签率超过0.9,需要增加中签率0.9-0.19=0.71,因为每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05,所以至少需要邀请=14.2,所以至少需要邀请15位好友参与到“好友助力”活动.
答案:15
【补偿训练】
某医院一天派出医生下乡医疗,派出医生人数及其概率如下:
医生 人数 0 1 2 3 4 5人及 以上
概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04
则至少派出医生2人的概率是 .
解析:由题意可知,事件“至少派出医生2人”包含“派出的医生数是2,3,4,5人及以上”,这几个事件是互斥的,概率之和为0.3+0.2+0.2+0.04=0.74,故至少派出医生2人的概率是0.74.
答案:0.74
三、解答题(共10分)
6.某地区的年降水量在下列范围内的概率如表所示:
年降水量 (单位:mm) [100, 150) [150, 200) [200, 250) [250, 300)
概率 0.12 0.25 0.16 0.14
(1)求年降水量在[100,200)(mm)范围内的概率.
(2)求年降水量在[150,300)(mm)范围内的概率.
解析:记这个地区的年降水量在[100,150)(mm)、[150,200)(mm)、[200,250)(mm)、[250,300)(mm)范围内分别为事件A,B,C,D.这四个事件是彼此互斥的,根据互斥事件的概率加法公式,有
(1)年降水量在[100,200)(mm)范围内的概率是P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.12+0.25=0.37.
(2)年降水量在[150,300)(mm)范围内的概率是P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)
=0.25+0.16+0.14=0.55.
【补偿训练】
某射手在一次射击训练中,射中10环,9环,8环,7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28,计算这个射手在一次射击中:
(1)射中10环或7环的概率.
(2)不够7环的概率.
【解题指南】先设出事件,判断是否互斥或对立,然后再使用概率加法公式求解.
解析:(1)设“射中10环”为事件A,“射中7环”为事件B,由于在一次射击中,A与B不可能同时发生,故A与B是互斥事件.“射中10环或7环”的事件为A∪B.
故P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.21+0.28=0.49.
所以射中10环或7环的概率为0.49.
(2)不够7环从正面考虑有以下几种情况:射中6环,5环,4环,3环,2环,1环,0环,但由于这些概率都未知,故不能直接求解,可考虑从反面入手,不够7环的反面为大于等于7环,即7环,8环,9环,10环,由于此两事件必有一个发生,另一个不发生,故是对立事件,可用对立事件的方法处理.
设“不够7环”为事件E,则事件为“射中7环或8环或9环或10环”,由(1)可知“射中7环”“射中8环”等彼此是互斥事件,
所以P()=0.21+0.23+0.25+0.28=0.97,
从而P(E)=1-P()=1-0.97=0.03.
所以不够7环的概率是0.03.
