二十 频率与概率
基础练习
一、选择题(每小题5分,共15分)
1.“今天北京的降雨概率是80%,上海的降雨概率是20%”,下列说法不正确的是 ( )
A.北京今天一定降雨,而上海一定不降雨
B.上海今天可能降雨,而北京可能没有降雨
C.北京和上海都可能没降雨
D.北京降雨的可能性比上海大
解析:选A.北京的降雨概率80%大于上海的降雨概率20%,说明北京降雨的可能性比上海大,也可能都降雨,也可能都没有降雨,但是不能确定北京今天一定降雨,上海一定不降雨,所以B,C,D正确,A错误.
2.某制药厂正在测试一种减肥药的疗效,有1 000名志愿者服用此药,体重变化结果统计如下:
体重变化 体重减轻 体重不变 体重增加
人数 600 200 200
如果另有一人服用此药,估计这个人体重减轻的概率约为 ( )
A.0.1 B.0.2 C.0.5 D.0.6
解析:选D.由表中数据得:估计这个人体重减轻的概率约为P==0.6.
3.抛掷一枚质地均匀的硬币,如果连续抛掷1 000次,那么第999次出现正面朝上的概率是 ( )
A. B.
C. D.
解析:选D.抛掷一枚质地均匀的硬币,只考虑第999次,有两种结果:正面朝上,反面朝上.每种结果等可能出现,故所求概率为.
【补偿训练】
(多选题)近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾的分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000 t生活垃圾,经分拣以后统计数据如表(单位:t).根据样本估计本市生活垃圾的分类投放情况,则下列说法正确的是 ( )
“厨余垃 圾”箱 “可回收垃 圾”箱 “其他垃 圾”箱
厨余垃圾 400 100 100
可回收垃圾 30 240 30
其他垃圾 20 20 60
A.厨余垃圾投放正确的概率为
B.居民生活垃圾投放错误的概率为
C.该市三类垃圾中投放正确的概率最高的是可回收垃圾
D.厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为18 000
解析:选ABC.对于A:厨余垃圾的投放的正确的概率为,故A正确;
对于B:居民生活垃圾的投放的错误概率==,故B正确;
对于C:该市三类垃圾中投放正确的概率最高的是“可回收垃圾”,故C正确;
对于D:厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱、“其他垃圾”箱的投放量的平均数
==200,
所以s2=[(400-200)2+(100-200)2+(100-200)2]=20 000≠18 000,故D错误.
二、填空题(每小题5分,共10分)
4.一个容量为20的样本,数据的分组及各组的频数如下:[10,20)2个;[20,30)3个;[30,40)x个;[40,50)5个;[50,60)4个;[60,70)2个.则x等于 ;根据样本的频率分布估计,数据落在[10,50)的概率约为 .
解析:样本总数为20个,所以x=20-16=4,所以P==0.7.
答案:4 0.7
5.一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率,公司收集了20 000部汽车的相关信息,时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日,共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎,则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似值是 .
解析:这一年内汽车挡风玻璃破碎的频率为=0.03,此频率值为概率的近似值.
答案:0.03
三、解答题(共10分)
6.健身馆某项目收费标准为每次60元,现推出会员优惠活动:具体收费标准如下:
消费次数 第1次 第2次 第3次 不少于4次
收费比例 0.95 0.90 0.85 0.80
现随机抽取了100位会员统计他们的消费次数,得到数据如下:
消费次数 1次 2次 3次 不少于4次
频数 60 25 10 5
假设该项目的成本为每次30元,根据给出的数据回答下列问题:
(1)估计1位会员至少消费2次的概率;
(2)某会员消费4次,求这4次消费获得的平
均利润.
解析:(1)根据消费次数表,估计1位会员至少消费2次的概率P==.
(2)第1次消费利润为60×0.95-30=27(元);第2次消费利润为60×0.90-30=24(元);
第3次消费利润为60×0.85-30=21(元);第4次消费利润为60×0.80-30=18(元);
这4次消费获得的平均利润为
=22.5(元).
提升练习
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.每道选择题有4个选项,其中只有1个选项是正确的.某次考试共12道选择题,某同学说:“每个选项正确的概率是,若每题都选择第一个选项,则一定有3道题的选择结果正确”.这句话 ( )
A.正确 B.错误
C.有一定道理 D.无法解释
解析:选B.从四个选项中正确选择选项是一个随机事件,是指这个事件发生的概率,实际上,做12道选择题相当于做12次试验,每次试验的结果是随机的,因此每题都选择第一个选项可能没有一个正确,也可能有1个,2个,3个,…,12个正确.因此该同学的说法是错误的.
【补偿训练】
某工厂生产的产品合格率是99.99%,这说明 ( )
A.该厂生产的10 000件产品中不合格的产品一定有1件
B.该厂生产的10 000件产品中合格的产品一定有9 999件
C.合格率是99.99%,很高,说明该厂生产的10 000件产品中没有不合格产品
D.该厂生产的产品合格的可能性是99.99%
解析:选D.合格率是99.99%,是指该工厂生产的每件产品合格的可能性大小,即合格的概率.
2.小明同学进行投球练习,连投了10次,恰好投进了8次.若用A表示“投进球”这一事件,则事件A发生的 ( )
A.概率为0.8 B.频率为0.8
C.频率为8 D.以上都不正确
解析:选B.因为投球一次即进行一次试验,投球10次,投进8次,即事件A发生的频数为8,所以事件A发生的频率为=0.8.
3.有5本中文书,2本英文书,3本日文书,从中任意取出一本书,取到中文书的概率为 ( )
A. B. C. D.
解析:选C.总共有书5+3+2=10(本),中文书有5本,所以取到中文书的概率为=.
4.(多选题)下列说法错误的是 ( )
A.抛掷一枚硬币正面朝上的概率为0.5,则抛掷两次硬币,一定是一次正面朝上,一次反面朝上
B.抛掷一枚质地均匀的硬币10次,结果是4次正面朝上,所以事件“正面朝上”的概率为0.4
C.当试验次数很大时,随机事件发生的频率接近其概率
D.在一次试验中,随机事件可能发生也可能不发生,所以事件发生和不发生的概率各是0.5
解析:选ABD.A.错误,理由:抛掷一枚硬币是随机试验,在一次试验中出现某种结果也是随机的,所以抛掷两次硬币也可能出现两次正面朝上和两次反面朝上.
B.错误,理由:事件“正面朝上”的频率是0.4,而不是概率是0.4.
C.正确,理由:这是频率的稳定性.
D.错误,理由:随机事件发生的概率不一定是0.5.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.设有外形完全相同的两个箱子,甲箱中有99个白球,1个黑球,乙箱中有1个白球,99个黑球.随机地抽取一箱,再从取出的一箱中抽取一球,结果取得白球,我们可以认为这球是从 箱中取出的.
解析:因为甲箱中有99个白球、1个黑球,所以随机地取出一球,得白球的可能性是;
乙箱中有1个白球和99个黑球,从中任取一球,得白球的可能性是.
由此看到,这一白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多.
既然在一次抽样中抽得白球,当然可以认为是由概率大的箱子中抽出的.
所以我们推断是从甲箱中抽出的.
答案:甲
【补偿训练】
某工厂为了节约用电,规定每天的用电量指标为1 000度,按照上个月的用电记录,在30天中有12天的用电量超过指标,若这个月(按30天计)仍没有具体的节电措施,则该月的第一天用电量超过指标的概率约是 .
解析:由频率的定义可知上个月用电量超过指标的频率为=0.4,由频率估计概率知第一天用电量超过指标的概率约是0.4.
答案:0.4
6.投掷硬币的结果如下表:
投掷硬币的次数 200 500 c
正面向上的次数 102 b 404
正面向上的频率 a 0.482 0.505
则a= ,b= ,c= .
据此可估计若掷硬币一次,正面向上的概率为 .
解析:a==0.51,b=500×0.482=241;
c==800.
易知正面向上的频率在0.5附近,所以若掷硬币一次,正面向上的概率应为0.5.
答案:0.51 241 800 0.5
三、解答题(共10分)
7.汉字是世界上最古老的文字之一,字形结构体现着人类追求均衡对称、和谐稳定的天性.如图所示,三个汉字可以看成轴对称图形.
小敏和小慧利用“土”“口”“木”三个汉字设计了一个游戏,规则如下:将这三个汉字分别写在背面都相同的三张卡片上,背面朝上,洗匀后抽出一张,放回洗匀后再抽出一张,若两次抽出的汉字能构成上下结构的汉字(如“土”“土”构成“圭”),则小敏获胜,否则小慧获胜.你认为这个游戏对谁有利 说明理由.
解析:每次游戏时,所有可能出现的结果如表所示:
土 口 木
土 (土,土) (土,口) (土,木)
口 (口,土) (口,口) (口,木)
木 (木,土) (木,口) (木,木)
共有9种结果,且每种结果出现的可能性相同.其中,能组成上下结构的汉字的结果有4种:(土,土)“圭”,(口,口)“吕”,(木,口)“杏”或“呆”,(口,木)“呆”或“杏”,所以小敏获胜的概率为,小慧获胜的概率为,所以这个游戏对小慧有利.
【补偿训练】
某中学为了了解初中部学生的某项行为规范的养成情况,在校门口按系统抽样的方法:每2分钟随机抽取一名学生,登记佩戴胸卡的学生的名字.结果,150名学生中有60名佩戴胸卡.然后,调查了初中部的所有学生,有500名学生佩戴胸卡.据此估计该中学初中部共有多少名学生.
解析:设初中部有n名学生,依题意得=,解得n=1 250.所以估计该中学初中部共有学生1 250名.二十 频率与概率
基础练习
一、选择题(每小题5分,共15分)
1.“今天北京的降雨概率是80%,上海的降雨概率是20%”,下列说法不正确的是 ( )
A.北京今天一定降雨,而上海一定不降雨
B.上海今天可能降雨,而北京可能没有降雨
C.北京和上海都可能没降雨
D.北京降雨的可能性比上海大
2.某制药厂正在测试一种减肥药的疗效,有1 000名志愿者服用此药,体重变化结果统计如下:
体重变化 体重减轻 体重不变 体重增加
人数 600 200 200
如果另有一人服用此药,估计这个人体重减轻的概率约为 ( )
A.0.1 B.0.2 C.0.5 D.0.6
3.抛掷一枚质地均匀的硬币,如果连续抛掷1 000次,那么第999次出现正面朝上的概率是 ( )
A. B.
C. D.
【补偿训练】
(多选题)近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾的分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000 t生活垃圾,经分拣以后统计数据如表(单位:t).根据样本估计本市生活垃圾的分类投放情况,则下列说法正确的是 ( )
“厨余垃 圾”箱 “可回收垃 圾”箱 “其他垃 圾”箱
厨余垃圾 400 100 100
可回收垃圾 30 240 30
其他垃圾 20 20 60
A.厨余垃圾投放正确的概率为
B.居民生活垃圾投放错误的概率为
C.该市三类垃圾中投放正确的概率最高的是可回收垃圾
D.厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为18 000
二、填空题(每小题5分,共10分)
4.一个容量为20的样本,数据的分组及各组的频数如下:[10,20)2个;[20,30)3个;[30,40)x个;[40,50)5个;[50,60)4个;[60,70)2个.则x等于 ;根据样本的频率分布估计,数据落在[10,50)的概率约为 .
5.一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率,公司收集了20 000部汽车的相关信息,时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日,共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎,则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似值是 .
三、解答题(共10分)
6.健身馆某项目收费标准为每次60元,现推出会员优惠活动:具体收费标准如下:
消费次数 第1次 第2次 第3次 不少于4次
收费比例 0.95 0.90 0.85 0.80
现随机抽取了100位会员统计他们的消费次数,得到数据如下:
消费次数 1次 2次 3次 不少于4次
频数 60 25 10 5
假设该项目的成本为每次30元,根据给出的数据回答下列问题:
(1)估计1位会员至少消费2次的概率;
(2)某会员消费4次,求这4次消费获得的平
均利润.
提升练习
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.每道选择题有4个选项,其中只有1个选项是正确的.某次考试共12道选择题,某同学说:“每个选项正确的概率是,若每题都选择第一个选项,则一定有3道题的选择结果正确”.这句话 ( )
A.正确 B.错误
C.有一定道理 D.无法解释
【补偿训练】
某工厂生产的产品合格率是99.99%,这说明 ( )
A.该厂生产的10 000件产品中不合格的产品一定有1件
B.该厂生产的10 000件产品中合格的产品一定有9 999件
C.合格率是99.99%,很高,说明该厂生产的10 000件产品中没有不合格产品
D.该厂生产的产品合格的可能性是99.99%
2.小明同学进行投球练习,连投了10次,恰好投进了8次.若用A表示“投进球”这一事件,则事件A发生的 ( )
A.概率为0.8 B.频率为0.8
C.频率为8 D.以上都不正确
3.有5本中文书,2本英文书,3本日文书,从中任意取出一本书,取到中文书的概率为 ( )
A. B. C. D.
4.(多选题)下列说法错误的是 ( )
A.抛掷一枚硬币正面朝上的概率为0.5,则抛掷两次硬币,一定是一次正面朝上,一次反面朝上
B.抛掷一枚质地均匀的硬币10次,结果是4次正面朝上,所以事件“正面朝上”的概率为0.4
C.当试验次数很大时,随机事件发生的频率接近其概率
D.在一次试验中,随机事件可能发生也可能不发生,所以事件发生和不发生的概率各是0.5
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.设有外形完全相同的两个箱子,甲箱中有99个白球,1个黑球,乙箱中有1个白球,99个黑球.随机地抽取一箱,再从取出的一箱中抽取一球,结果取得白球,我们可以认为这球是从 箱中取出的.
【补偿训练】
某工厂为了节约用电,规定每天的用电量指标为1 000度,按照上个月的用电记录,在30天中有12天的用电量超过指标,若这个月(按30天计)仍没有具体的节电措施,则该月的第一天用电量超过指标的概率约是 .
6.投掷硬币的结果如下表:
投掷硬币的次数 200 500 c
正面向上的次数 102 b 404
正面向上的频率 a 0.482 0.505
则a= ,b= ,c= .
据此可估计若掷硬币一次,正面向上的概率为 .
三、解答题(共10分)
7.汉字是世界上最古老的文字之一,字形结构体现着人类追求均衡对称、和谐稳定的天性.如图所示,三个汉字可以看成轴对称图形.
小敏和小慧利用“土”“口”“木”三个汉字设计了一个游戏,规则如下:将这三个汉字分别写在背面都相同的三张卡片上,背面朝上,洗匀后抽出一张,放回洗匀后再抽出一张,若两次抽出的汉字能构成上下结构的汉字(如“土”“土”构成“圭”),则小敏获胜,否则小慧获胜.你认为这个游戏对谁有利 说明理由.
【补偿训练】
某中学为了了解初中部学生的某项行为规范的养成情况,在校门口按系统抽样的方法:每2分钟随机抽取一名学生,登记佩戴胸卡的学生的名字.结果,150名学生中有60名佩戴胸卡.然后,调查了初中部的所有学生,有500名学生佩戴胸卡.据此估计该中学初中部共有多少名学生.
