二十二 统计与概率的应用
基础练习
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.根据医疗所的调查,某地区居民血型分布为:O型50%,A型15%,AB型5%,B型30%.现有一血型为O型的病人需要输血,若在该地区任选1人,那么能为该病人输血的概率为 ( )
A.50% B.15% C.45% D.65%
解析:选A.仅有O型血的人能为O型血的人输血.故选A.
2.经检验,某厂的产品合格率为98%,估算该厂8 000件产品中的次品件数为( )
A.7 840 B.160 C.16 D.784
解析:选B.由合格率为98%,则次品率为1-98%=2%,故8 000件产品中的次品件数为8 000×2%=160.
3.先将一个棱长为3的正方体木块的六个面分别涂上颜色,再将该正方体均匀切割成棱长为1的小正方体,现从切好的小正方体中任取一块,所得小正方体恰有一面涂有颜色的概率是 ( )
A. B. C. D.
解析:选A.将棱长为3的正方体均匀切割成棱长为1的小正方体,一共可切割成27块,而只有位于大正方体的各个面中心的小正方体恰有一面涂有颜色,共6块,因此,所得小正方体恰有一面涂有颜色的概率是=.
4.(多选题)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃,B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃,.下面叙述正确的有 ( )
A.各月的平均最低气温都在0 ℃,以上
B.七月的平均温差比一月的平均温差大
C.三月和十一月的平均最高气温基本相同
D.平均最高气温高于20 ℃的月份有5个
解析:选ABC.对于选项A,由图易知各月的平均最低气温都在0 ℃以上,A正确;
对于选项B,七月的平均最高气温点与平均最低气温点间的距离大于一月的平均最高气温点与平均最低气温点间的距离,所以七月的平均温差比一月的平均温差大,B正确;
对于选项C,三月和十一月的平均最高气温均为10 ℃,所以C正确;
对于选项D,平均最高气温高于20 ℃的月份有七月、八月,共2个月份,故D错误.
5.蜜蜂包括小蜜蜂和黑小蜜蜂等很多种类.在我国的云南及周边各省都有分布.春暖花开的时候是放蜂的大好季节.养蜂人甲在某地区放养了9 000只小蜜蜂和1 000只黑小蜜蜂,养蜂人乙在同一地区放养了1 000只小蜜蜂和9 000只黑小蜜蜂.某中学生物小组在上述地区捕获了1只黑小蜜蜂.那么,生物小组的同学认为这只黑小蜜蜂是哪位养蜂人放养的比较合理 ( )
A.甲 B.乙
C.甲或乙 D.以上都对
解析:选B.从养蜂人甲放的蜜蜂中,捕获一只蜜蜂是黑小蜜蜂的概率为,而从养蜂人乙放的蜜蜂中,捕获一只蜜蜂是黑小蜜蜂的概率为,所以,现在捕获的这只黑小蜜蜂是养蜂人乙放养的可能性较大.
二、填空题
6.(5分)一个总体分为A,B两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B层中每个个体被抽到的概率都为,则总体中的个体数为 .
解析:设总体中的个体数为x,则=,所以x=120.
答案:120
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.甲、乙两人玩一种游戏,每次由甲、乙各出1到5根手指头,若和为偶数算甲赢,否则算乙赢.
(1)若以A表示和为6的事件,求P(A).
(2)现连玩三次,若以B表示甲至少赢一次的事件,C表示乙至少赢两次的事件,试问B与C是否为互斥事件 为什么
(3)这种游戏规则公平吗 试说明理由.
解析:(1)基本事件空间与点集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤5,1≤y≤5}中的元素一一对应.
因为S中点的总数为5×5=25(个),所以基本事件总数为n=25.
事件A包含的基本事件数共5个:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),
所以P(A)==.
(2)B与C不是互斥事件.因为事件B与C可以同时发生,如甲赢一次,乙赢两次的事件即符合题意.
(3)这种游戏规则不公平.由(1)知和为偶数的基本事件数为13个:(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5).
所以甲赢的概率为,乙赢的概率为.
所以这种游戏规则不公平.
8.假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为了解它们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试,结果统计如图所示:
(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率;
(2)这两种品牌产品中,某个产品已使用了200小时,试估计该产品是甲品牌的概率.
解析:(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为=,用频率估计概率,所以甲品牌产品寿命小于200小时的概率为.
(2)根据抽样结果,寿命大于200小时的产品共有75+70=145(个),其中甲品牌产品是75个,所以在样本中,寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是=,用频率估计概率,所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为.
提升练习
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.某班有男生25人,其中1人为班长,女生15人,现从该班选出1人,作为该班的代表参加座谈会,下列说法中正确的是 ( )
(1)选出1人是班长的概率为;
(2)选出1人是男生的概率为;
(3)选出1人是女生的概率为;
(4)在女生中选出1人是班长的概率为0.
A.(1)(2) B.(1)(3)
C.(3)(4) D.(1)(4)
解析:选D.本班共有40人,1人为班长,故(1)对;而“选出1人是男生”的概率为=;“选出1人为女生”的概率为=,因班长是男生,所以“在女生中选班长”为不可能事件,概率为0.
2.有大小相同的五个球上面标有1,2,3,4,5.现从中任取两球,则这两球的序号不相邻的概率为 ( )
A. B. C. D.
解析:选C.从五个小球中任取两球的基本事件共有10种.其中序号相邻的有(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),共4种,所求概率P=1-==.
3.某校举办了盛大的宣传活动,内容之一是有关党的历史和丰功伟绩的知识竞赛.活动首先在各年级内进行,最后由高一、高二、高三三个年级组分别推荐一名学生参加总决赛.为了公平起见,决定用抽签法确定三名选手的参赛顺序,则这三名选手的参赛顺序与其年级序号均不相同的概率为 ( )
A. B. C. D.
解析:选D.设这三名选手的年级序号分别为1,2,3,
则这三名选手的参赛顺序有123,132,213,231,312,321,共6种情况,
其中满足这三名选手的参赛顺序与其年级序号均不相同的有231,312,共2种情况,
所以这三名选手的参赛顺序与其年级序号均不相同的概率P==.
4.某比赛为两运动员制定下列发球规则:
规则一:投掷一枚硬币,出现正面向上,甲发球,反面向上,乙发球;
规则二:从装有2个红球与2个黑球的布袋中随机地取出2个球,如果同色,甲发球,否则乙发球;
规则三:从装有3个红球与1个黑球的布袋中随机地取出2个球,如果同色,甲发球,否则乙发球.
则对甲、乙公平的规则是 ( )
A.规则一和规则二
B.规则一和规则三
C.规则二和规则三
D.规则二
解析:选B.规则一:每人发球的概率都是,是公平的.规则二:所有情况有(红1,红2),(红1,黑1),(红1,黑2),(红2,黑1),(红2,黑2),(黑1,黑2)6种,同色的有2种,所以甲发球的可能性为,不公平.规则三:所有情况有(红1,红2),(红1,红3),(红2,红3),(红1,黑),(红2,黑),(红3,黑),同色球有3种,所以两人发球的可能性都是,是公平的.
二、填空题(每小题5分,共20分)
5.某班(共50名同学)举行了一次主题为“明初心·知使命”的党史知识竞赛活动,根据全班同学的竞赛成绩(均在80~100之间)绘制成频率分布直方图如图.
若从成绩在[80,88)的同学中随机选出两人,则至少有一人成绩在[80,84)的概率为 .
解析:由(a+2a+5a+8a+9a)×4=1,解得a=0.01.
由频率分布直方图知,成绩在[80,84)的有50×0.04=2(人),在[84,88)的有50×0.08=4(人).
设此六人分别为A,B和c,d,e,f,则从成绩在[80,88)的同学中随机选出2位,
有AB,Ac,Ad,Ae,Af;Bc,Bd,Be,Bf;
cd,ce,cf;de,df;ef共15种可能情形.
其中两人成绩都在[84,88)分的有cd,ce,cf;de,df;ef共6种可能情形.
则至少有一人成绩在[80,84)的有9种情形,故“至少有一人成绩在[80,84)”的概率为=.
答案:
6.若样本数据是以频率分布直方图的形式给出,这时已不存在原始数据,因此要确定其p%分位数,只能估算,其p%分位数即为频
率分布直方图中使左侧小矩形面积之和等于p%的分点值.
例如:若某校100名学生的数学测试成绩的频率分布直方图如图,则可估计其80%分位数为 .(精确到0.1)
解析:分数在130以下的学生所占比例为5%+18%+30%+22%=75%.
在140以下的学生所占比例为75%+15%=90%.因此80%分位数一定位于[130,140)内,由130+10×≈133.3.可以估计80%分位数为133.3.
答案:133.3
7.某汽车站,每天均有3辆开往南京的分为上、中、下等级的客车.某天袁先生准备在该汽车站乘车前往南京办事,但他不知道客车的车况,也不知道发车顺序.为了尽可能乘上上等车,他采取如下策略:先放过第一辆,如果第二辆比第一辆好则上第二辆,否则上第三辆,那么他乘上上等车的概率为 .
解析:上、中、下三辆车的出发顺序是任意的,有上、中、下;上、下、中;中、上、下;中、下、上;下、上、中;下、中、上,6种情况,若第二辆车比第一辆好,有3种情况:下、中、上;下、上、中;中、上、下,符合条件的仅有2种情况;若第二辆不比第一辆好,有3种情况:中、下、上;上、中、下;上、下、中,其中仅有1种情况符合条件.所以袁先生乘上上等车的概率P==.
答案:
8.某公司有5万元资金用于投资开发项目,如果成功,一年后可获收益12%;一旦失败,一年后将丧失全部资金的50%,下表是去年200例类似项目开发的实施结果.
投资成功 投资失败
192次 8次
则该公司一年后估计可获收益的平均数是 元.
解析:应先求出投资成功与失败的概率,再计算收益的平均数.设可获收益为x元,如果成功,x的取值为5×12%,如果失败,x的取值为-5×50%.
一年后公司成功的概率约为,失败的概率为,所以估计一年后公司收益的平均数5×12%×-5×50%××10 000=4 760(元).
答案:4 760
三、解答题
9.(10分)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定考评级别,公司准备了两种不同的饮料共5杯,其颜色完全相同,并且其中3杯为A饮料,另外2杯为B饮料,公司要求此员工一一品尝后,从5杯饮料中选出3杯A饮料.若该员工3杯都选对,测评为优秀;若3杯选对2杯测评为良好;否则测评为合格.假设此人对A和B饮料没有鉴别能力.
(1)求此人被评为优秀的概率.
(2)求此人被评为良好及以上的概率.
解析:将5杯饮料编号为:1,2,3,4,5,编号1,2,3表示A饮料,编号4,5表示B饮料,则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为:(123),(124),(125),(134),
(135),(145),(234),(235),(245),(345),共有10种.
令D表示此人被评为优秀的事件,E表示此人被评为良好的事件,F表示此人被评为良好及以上的事件,则
(1)P(D)=.
(2)P(E)=,P(F)=P(D)+P(E)=.二十二 统计与概率的应用
基础练习
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.根据医疗所的调查,某地区居民血型分布为:O型50%,A型15%,AB型5%,B型30%.现有一血型为O型的病人需要输血,若在该地区任选1人,那么能为该病人输血的概率为 ( )
A.50% B.15% C.45% D.65%
2.经检验,某厂的产品合格率为98%,估算该厂8 000件产品中的次品件数为( )
A.7 840 B.160 C.16 D.784
3.先将一个棱长为3的正方体木块的六个面分别涂上颜色,再将该正方体均匀切割成棱长为1的小正方体,现从切好的小正方体中任取一块,所得小正方体恰有一面涂有颜色的概率是 ( )
A. B. C. D.
4.(多选题)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃,B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃,.下面叙述正确的有 ( )
A.各月的平均最低气温都在0 ℃,以上
B.七月的平均温差比一月的平均温差大
C.三月和十一月的平均最高气温基本相同
D.平均最高气温高于20 ℃的月份有5个
5.蜜蜂包括小蜜蜂和黑小蜜蜂等很多种类.在我国的云南及周边各省都有分布.春暖花开的时候是放蜂的大好季节.养蜂人甲在某地区放养了9 000只小蜜蜂和1 000只黑小蜜蜂,养蜂人乙在同一地区放养了1 000只小蜜蜂和9 000只黑小蜜蜂.某中学生物小组在上述地区捕获了1只黑小蜜蜂.那么,生物小组的同学认为这只黑小蜜蜂是哪位养蜂人放养的比较合理 ( )
A.甲 B.乙
C.甲或乙 D.以上都对
二、填空题
6.(5分)一个总体分为A,B两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B层中每个个体被抽到的概率都为,则总体中的个体数为 .
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.甲、乙两人玩一种游戏,每次由甲、乙各出1到5根手指头,若和为偶数算甲赢,否则算乙赢.
(1)若以A表示和为6的事件,求P(A).
(2)现连玩三次,若以B表示甲至少赢一次的事件,C表示乙至少赢两次的事件,试问B与C是否为互斥事件 为什么
(3)这种游戏规则公平吗 试说明理由.
8.假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为了解它们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试,结果统计如图所示:
(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率;
(2)这两种品牌产品中,某个产品已使用了200小时,试估计该产品是甲品牌的概率.
提升练习
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.某班有男生25人,其中1人为班长,女生15人,现从该班选出1人,作为该班的代表参加座谈会,下列说法中正确的是 ( )
(1)选出1人是班长的概率为;
(2)选出1人是男生的概率为;
(3)选出1人是女生的概率为;
(4)在女生中选出1人是班长的概率为0.
A.(1)(2) B.(1)(3)
C.(3)(4) D.(1)(4)
2.有大小相同的五个球上面标有1,2,3,4,5.现从中任取两球,则这两球的序号不相邻的概率为 ( )
A. B. C. D.
3.某校举办了盛大的宣传活动,内容之一是有关党的历史和丰功伟绩的知识竞赛.活动首先在各年级内进行,最后由高一、高二、高三三个年级组分别推荐一名学生参加总决赛.为了公平起见,决定用抽签法确定三名选手的参赛顺序,则这三名选手的参赛顺序与其年级序号均不相同的概率为 ( )
A. B. C. D.
4.某比赛为两运动员制定下列发球规则:
规则一:投掷一枚硬币,出现正面向上,甲发球,反面向上,乙发球;
规则二:从装有2个红球与2个黑球的布袋中随机地取出2个球,如果同色,甲发球,否则乙发球;
规则三:从装有3个红球与1个黑球的布袋中随机地取出2个球,如果同色,甲发球,否则乙发球.
则对甲、乙公平的规则是 ( )
A.规则一和规则二
B.规则一和规则三
C.规则二和规则三
D.规则二
二、填空题(每小题5分,共20分)
5.某班(共50名同学)举行了一次主题为“明初心·知使命”的党史知识竞赛活动,根据全班同学的竞赛成绩(均在80~100之间)绘制成频率分布直方图如图.
若从成绩在[80,88)的同学中随机选出两人,则至少有一人成绩在[80,84)的概率为 .
6.若样本数据是以频率分布直方图的形式给出,这时已不存在原始数据,因此要确定其p%分位数,只能估算,其p%分位数即为频
率分布直方图中使左侧小矩形面积之和等于p%的分点值.
例如:若某校100名学生的数学测试成绩的频率分布直方图如图,则可估计其80%分位数为 .(精确到0.1)
7.某汽车站,每天均有3辆开往南京的分为上、中、下等级的客车.某天袁先生准备在该汽车站乘车前往南京办事,但他不知道客车的车况,也不知道发车顺序.为了尽可能乘上上等车,他采取如下策略:先放过第一辆,如果第二辆比第一辆好则上第二辆,否则上第三辆,那么他乘上上等车的概率为 .
8.某公司有5万元资金用于投资开发项目,如果成功,一年后可获收益12%;一旦失败,一年后将丧失全部资金的50%,下表是去年200例类似项目开发的实施结果.
投资成功 投资失败
192次 8次
则该公司一年后估计可获收益的平均数是 元.
三、解答题
9.(10分)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定考评级别,公司准备了两种不同的饮料共5杯,其颜色完全相同,并且其中3杯为A饮料,另外2杯为B饮料,公司要求此员工一一品尝后,从5杯饮料中选出3杯A饮料.若该员工3杯都选对,测评为优秀;若3杯选对2杯测评为良好;否则测评为合格.假设此人对A和B饮料没有鉴别能力.
(1)求此人被评为优秀的概率.
(2)求此人被评为良好及以上的概率.
